第三章运输问题
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运筹学--第三章运输问题
并设Xij----第i个盐产地运往第j个盐销地的运量。 目标函数为：
minS=3 x11 3 x12 4 x13 5 x14 6 x21 ...... 2x34
运出量等于产量：
x11＋x12＋x13＋x14＝70 x21＋x22＋x23＋x24＝80 x31＋x32＋x33＋x34＝100
P13 e1 e6 P14 e1 e7 P21 e2 e4 P23 e2 e6 P32 e3 e5 P34 e3 e7
后面 有理 论探 讨。
即不存在一组不全为零的数 k1 , k2 ,..., k6使得：
k1 P13 k2 P14 ... k6 P34 0成立
u1 u2 u3 v1 v2 v3 v4
x11 1
x12 1
x13 1
x14 1
1
0 1
0 1
0
x21 0 1 0 1
x22 0 1 0 0 1
x23 0 1 0 0 1
x24 0 1 0 0
x31 0 0 1 1
x32 0 0 1 0 1
x33 0 0 1 0 0 1
1
1
x34 0 0 1 0 0 0 1
3 2 2
1 4 5
销地 产地 A1 A2 A3 销量
3 4
B1 x11 x21 x31 3
B2 x12 x22 x32 6
B3 x13 x23 x33 5
B4 x14 x24 x34 6
产量 7 4 9 20
回顾
min z cij xij
i 1 j 1
如何求初始可行解？
约束方程 m n 7个， 模型中有变量 m n 12个，
minS=3 x11 3 x12 4 x13 5 x14 6 x21 ...... 2x34
运出量等于产量：
x11＋x12＋x13＋x14＝70 x21＋x22＋x23＋x24＝80 x31＋x32＋x33＋x34＝100
P13 e1 e6 P14 e1 e7 P21 e2 e4 P23 e2 e6 P32 e3 e5 P34 e3 e7
后面 有理 论探 讨。
即不存在一组不全为零的数 k1 , k2 ,..., k6使得：
k1 P13 k2 P14 ... k6 P34 0成立
u1 u2 u3 v1 v2 v3 v4
x11 1
x12 1
x13 1
x14 1
1
0 1
0 1
0
x21 0 1 0 1
x22 0 1 0 0 1
x23 0 1 0 0 1
x24 0 1 0 0
x31 0 0 1 1
x32 0 0 1 0 1
x33 0 0 1 0 0 1
1
1
x34 0 0 1 0 0 0 1
3 2 2
1 4 5
销地 产地 A1 A2 A3 销量
3 4
B1 x11 x21 x31 3
B2 x12 x22 x32 6
B3 x13 x23 x33 5
B4 x14 x24 x34 6
产量 7 4 9 20
回顾
min z cij xij
i 1 j 1
如何求初始可行解？
约束方程 m n 7个， 模型中有变量 m n 12个，
第3章运输问题
13
§2 表上作业法
一、表上作业法迭代步骤 1. 按某种规则找出一个初始基可行解； 2. 对现行解作最优性判断，即求各非基变量的检 验数，判别是否达到最优解，如已是最优解，则 停止计算，如不是最优解，则进行下一步骤； 3. 在表上对初始方案进行改进，找出新的基可行 解，再按第2步进行判别，直至找出最优解。
21
用最小元素法确定例2初始调运方案
调 运 量 产地 销地
A
100
B
90
X12
C
70 100 100
X13
产量
200 100
250 100
甲
X11
80 150 65 100 75
乙
销 量
X21
X22
X23
100
150
200 100
450
22
得到初始调运方案为：
x11=100，x13=100，x22=150，x23=100
B
90
C
产量
甲
X11
70 100 100 -20
X12 X13
200
250
乙
销 量
15
80 150 65 100 75
X22 X23
X21
100
150
200
450
32
用沃格尔法确定的初始调运方案的检验数
调 运 量 产地 销地
A
50
B
90 150
X12
C
70 65 15 100
产量
200
甲 乙
销 量
为运输问题的一个基可行解。由于基变量 的检验数等于零，故有：
ui1 v j1 ci1 j1 u v c i2 j2 i2 j 2 uis v js cis js
§2 表上作业法
一、表上作业法迭代步骤 1. 按某种规则找出一个初始基可行解； 2. 对现行解作最优性判断，即求各非基变量的检 验数，判别是否达到最优解，如已是最优解，则 停止计算，如不是最优解，则进行下一步骤； 3. 在表上对初始方案进行改进，找出新的基可行 解，再按第2步进行判别，直至找出最优解。
21
用最小元素法确定例2初始调运方案
调 运 量 产地 销地
A
100
B
90
X12
C
70 100 100
X13
产量
200 100
250 100
甲
X11
80 150 65 100 75
乙
销 量
X21
X22
X23
100
150
200 100
450
22
得到初始调运方案为：
x11=100，x13=100，x22=150，x23=100
B
90
C
产量
甲
X11
70 100 100 -20
X12 X13
200
250
乙
销 量
15
80 150 65 100 75
X22 X23
X21
100
150
200
450
32
用沃格尔法确定的初始调运方案的检验数
调 运 量 产地 销地
A
50
B
90 150
X12
C
70 65 15 100
产量
200
甲 乙
销 量
为运输问题的一个基可行解。由于基变量 的检验数等于零，故有：
ui1 v j1 ci1 j1 u v c i2 j2 i2 j 2 uis v js cis js
第三章--运输问题
A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 B4 产量
3 11 3 10
7
1928
4
7 4 10 5
9
3
6
5
6
20
A1 A2 A3 A1 0 1 3 A2 1 0 M A3 3 M 0
B1
B2
B3
B4
B1
0142
B2
1021
B3
4203
B4
2130
A1 A2 A3 T1 T2 T3 T4 B1 B2 B3 B4 T1 2 3 1 0 1 3 2 2 8 4 6 T2 1 5 M 1 0 1 1 4 5 2 7 T3 4 M 2 3 1 0 2 1 8 2 4 T4 3 2 3 2 1 2 0 1 M 2 6
A1 A2 A3 T1 T2 T3 T4 B1 B2 B3 B4 产量 A1 0 1 3 2 1 4 3 3 1 3 10 27
1
A2 1 0 M 3 5 M 2 1 9 2 8 24 A3 3 M 0 1 M 2 3 7 4 10 5 29 T1 2 3 1 0 1 3 2 2 8 4 6 20 T2 1 5 M 1 0 1 1 4 5 2 7 20 T3 4 M 2 3 1 0 2 1 8 2 4 20 T4 3 2 3 2 1 2 0 1 M 2 6 20 B1 3 1 7 2 4 1 1 0 1 4 2 20 B2 11 9 4 8 5 8 M 1 0 2 1 20 B3 3 2 10 4 2 2 2 4 2 0 3 20 B4 10 8 5 6 7 4 6 2 1 3 0 20 销量 20 20 20 20 20 20 20 23 2 25 26
– 产地和销地之间虽有直达路线，但直达运输的费用或 运输距离分别比经过某些中转站还要高或远。
----第三章 运输问题
3
A2
31
B3
B4
产量
43 3
7
12
4
A3
6
39
销量
3
6
5
6
检验数的经济解释：空格（ A1 , B1） + 1 吨，保持产销平衡
(A1 , B3) - 1 吨，
(A2 , B3) + 1 吨，
(A2 , B1) - 1 吨
检验数=调整方案使运费的改变量
15
(+1)3 + (-1) 3 + (+1)2 + (-1) 1 = 1 (元)
14
①、方法一：闭回路法
每个空格都存在唯一的闭回路---从每一空格出发，用水平 线或垂直线向前划，每碰到一数字格就转 90 度后继续前 进，直到回到起始空格处为止。
例 (A1 , B1) 空格与数字格(A1 , B4) 、 (A2 , B4) 和 (A2 , B1)
表3.12/3.7 B1
B2
A1
ij = cij – ( ui + vj )
18
仍以例3.2所给出的初始基可行解表3.7为例：
第一步：在对应表3.7的数字格处填入单位运价
表3.7/3.14 B1
B2
B3
B4 行位势ui
A1
3
10
0
A2
1
2
-1
A3
4
5
-5
列位势 vj 2
9 3 10
第二步：增加一行和一列，列中填入行位势
ui ，行中填入列位势 vj
存的问题。设 xin+1 是产地 Ai 的贮存量，故有：
n
n1
xij xin1 xij ai (i 1,L , m)
广工管理运筹学第三章运输问题
闭合回路法的优点是能够找到全局最 优解，适用于大型复杂运输问题。但 该方法的计算复杂度较高，需要较长 的计算时间。
商位法
01
商位法是一种基于商位划分的优化算法，用于解决运输问题。该方法通过将供 应点和需求点划分为不同的商位，并最小化总运输成本。
02
商位法的计算步骤包括：根据地理位置和货物需求量，将供应点和需求点划分 为不同的商位；根据商位的地理位置和货物需求量，计算总运输成本；通过比 较不同商位的总运输成本，确定最优的配送路线。
80%
线性规划法
通过建立线性规划模型，利用数 学软件求解最优解，得到最小化 总成本的运输方案。
100%
启发式算法
采用启发式规则逐步逼近最优解 ，常用的算法包括节约算法、扫 描算法等。
80%
遗传算法
基于生物进化原理的优化算法， 通过模拟自然选择和遗传机制来 寻找最优解。
02
运输问题的数学模型
变量与参数
约束条件
供需平衡
每个供应点的供应量等于对应 需求点的需求量，这是运输问 题的基本约束条件。
非负约束
运输量不能为负数，即每个供 应点对每个需求点的运输量都 应大于等于零。
其他约束条件
根据实际情况，可能还有其他 约束条件，如运输能力的限制 、运输路线的限制等。
03
运输问题的求解算法
表上作业法
总结词
直到达到最优解。这两种方法都可以通过构建线性规划模型来求解最优解。
04
运输问题的优化策略
节约法
节约法是一种基于节约里程的优化算法，用于解决 运输问题。该方法通过比较不同配送路线的距离和 货物需求量，以最小化总运输距离为目标，确定最 优的配送路线。
节约法的计算步骤包括：计算各供应点到需求点的 距离，找出最短路径；根据最短路径和货物需求量 ，计算节约里程；按照节约里程排序，确定最优配 送路线。
运筹学-3运输问题
产销平衡问题 产销不平衡问题
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
运筹学第三章 运输问题
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 3
3 1
4
4
2
A3
销量 2
4 7
1 3
4
4 6
3
7 5
3
5
6
8
4 3 13
σ11=-3, σ12=-2,σ23=-4, σ31=-1,σ33=1, σ34=-1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 0
3 4
4
4
2
A3
销量 2
4 7
4
4 6
3
4 3
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x11检验数为 6-4+8-6+4-4=4
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 4
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x12检验数为 5-4+8-6=3
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
2、位势法 当运输问题变量的格数较多时，用闭 回路法计算检验数比较麻烦，而位势法比 较简便。 对于运输问题 minf=CX AX=b X≥0 设B为其一个可行基，则xij的检验数为 σ ij=CBB-1Pij-Cij
运筹学 第3章运输问题
检 验 数 表
最 优 方 案 判 别 准 则
B1 3 A1 A2 7 A3 vj
B2 11
B3 3 2
B4 10 8
ui
1
1Байду номын сангаас
2
9
0
1
4 10
-1
5
-1 -5
10
2 9
12
3 10
24=-1＜0，当前方案 不是最优方案。
26
2.3
闭回路调整法改进方案
min ij 0 pq
xpq 为换入变量
min
z cij xij
i 1 j 1
s.t.
n xij ai 1 jm xij b j i 1 xij 0
i 1,, m j 1,, n
4
运输问题的约束方程组系数矩阵及特征
x11 x12 .... x1n 1 1.......1 A 1 1 1 x21 x22 .... x2 n ...... xm1 xm 2 .... xmn 1 1.......1 ......... 1 1.......1 1 1 1 .......... 1 1 1
10
1. 最小元素法 （思想：就近供应） 不 能 同 时 划 去 行 和 列
销 产 A1 1 A2 A3 销量 3 9 B1 3 B2 11 B3 3 B4
表3-4
产量 10 7 8 5
4
2
3
3
7 4
1
10
6
6 5
3
6
保证填 4 有运量 的格子 9 为m+n1
该方案总运费： Z=4×3+3×10+3×1+1×2+6×4+3×5=86
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对于产销平衡的运输问题，初始调运方案总是存在的，并 且存在有限最优调运方案。 初始调运方案的三种确定方法： （1）最小元素法； （2）西北角法（又称左上角法，或阶梯法）； （3）伏格尔法（又称最大差额法）。
cmLiu@shufe
Operations Research
3.2.1 初始调运方案的确定
cmLiu@shufe
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3.2 运输问题的求解—表上作业法
依据表上作业法的求解步骤，运输问题的求 解需要解决以下三个问题： （1）初始调运方案的确定； （2）最优方案的判别； （3）方案的调整。
cmLiu@shufe
Operations Research
3.2.1 初始调运方案的确定
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Operations Research
3.1 运输问题及其数学模型
运输问题具有如下两个特点： （1）变量 xij 的系数列向量只有两个分量为1 （第i行和第m+j行），其余的分量都为零； （2）相互独立的约束方程的个数为m+n-1个。
表上作业法
cmLiu@shufe
Operations Research
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3.1 运输问题及其数学模型
从运输问题的数学模型可以看出：运输问题是有mn个变量，m+n个 约束方程的线性规划问题，其系数矩阵如下
x11 x12 x1n x21 x22 x2 n 0 1 0 0 0 1 xm1 xm 2 xmn 0 a1 a 0 2 1 am 0 b1 0 b2 1 bn 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0
cmLiu@shufe
Operations Research
3.1 运输问题及其数学模型
运输问题的提出： 设有m个产地，n个销地，第i个产地Ai的产量为ai（i=1,2…m），第j 个销地Bj的销量为bj（j=1,2,…n），第i个产地Ai到第j个销地Bj的单位运 价为cij，有关数据见产销平衡表和单位运价表，总产量等于总销量，问 如何调运，使总的运费最省？
产销平衡表
销地 产地
单位运价表
产量 a1 a2 … am
销地 产地
B1
B2 … Bn
B1
B2
… Bn
A1 A2 … AM 销量
b1 b2 … bn
A1 A2 … AM
c11 c12 …. c1n c21 c22 …. c2n …. …. …. …. cm1 cm2 …. cmn
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cmLiu@shufe
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3.2.1.1 最小元素法
用最小元素法确定例3.1的初始调运方案 ：
产销平衡表表
销地 产地
单位运价表
例3.1 某工厂下设三个分厂 ，假设这三个分厂生产的产品 是同质的，现在需要把三个分厂生产的产品运送到四个销售 部 ，每个分厂生产的产品数量（单位为件）、每个销售 部需要的产品数量（单位为件）以及每个产地到每个销售部的单位运 价（单位为元/件）如下表。问如何进行调运能够使总运费最省？
销地 产地 8 13 5 销量 5 6 10 4 3 7 5 8 4 11 9 12 5 产量 4 7 6 17
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3.2.1.1 最小元素法
基本思想： 就近供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定产销 关系，然后次小，一直到给出初始调运方案，即给出初始 基本可行解为止。
具体步骤： 从单位运价表中找出单位运价最小的元素，在产销平衡 表的相应位置上填上一个尽可能大的数，则产地的产量或 销地的销量至少有一个被满足。若某一个产地的产量被满 足，则在单位运价表中把相应的行划去；若某一个销地的 销量被满足，则在单位运价表中把相应的列划去，重复上 述过程，直到单位运价表中所有的元素均被划去，这时在 产销平衡表中得到的方案就是初始调运方案。
Operations Resea
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第三章 运输问题
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 运输问题及其数学模型 运输问题的求解—表上作业法 运输问题的进一步讨论 应用举例 电子表格的建模和求解 案例分析 分销系统结构
3.2 运输问题的求解—表上作业法
表上作业法求解运输问题的具体步骤： （1）写出运输问题的表格模型，即产销平衡表和单位运价 表，转（2）； （2）确定初始调运方案（相当于确定初始基本可行解）， 转（3）； （3）检验方案是否最优（相当于最优性的判别），若是最 优方案，则停止计算；否则转（4）； （4）调整调运方案，得新的方案（相当于从一个基本可行 解过渡到另外一个基本可行解），转(5)； （5）重复（3），（4），直到求出最优调运方案。
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3.1 运输问题及其数学模型
运输问题的数学模型： 设 xij 表示第i个产地 Ai 到第j个销地 B j 的运量，z为总运输费 用，则产销平衡问题为
min z cij xij
i 1 j 1 m n
n (i 1, 2,..., m) xij ai j 1 m s.t. xij b j ( j 1, 2,..., n) i 1 xi j 0 (i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n)
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3.2.1 初始调运方案的确定
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3.2 运输问题的求解—表上作业法
依据表上作业法的求解步骤，运输问题的求 解需要解决以下三个问题： （1）初始调运方案的确定； （2）最优方案的判别； （3）方案的调整。
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3.2.1 初始调运方案的确定
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3.1 运输问题及其数学模型
运输问题具有如下两个特点： （1）变量 xij 的系数列向量只有两个分量为1 （第i行和第m+j行），其余的分量都为零； （2）相互独立的约束方程的个数为m+n-1个。
表上作业法
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3.1 运输问题及其数学模型
从运输问题的数学模型可以看出：运输问题是有mn个变量，m+n个 约束方程的线性规划问题，其系数矩阵如下
x11 x12 x1n x21 x22 x2 n 0 1 0 0 0 1 xm1 xm 2 xmn 0 a1 a 0 2 1 am 0 b1 0 b2 1 bn 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0
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3.1 运输问题及其数学模型
运输问题的提出： 设有m个产地，n个销地，第i个产地Ai的产量为ai（i=1,2…m），第j 个销地Bj的销量为bj（j=1,2,…n），第i个产地Ai到第j个销地Bj的单位运 价为cij，有关数据见产销平衡表和单位运价表，总产量等于总销量，问 如何调运，使总的运费最省？
产销平衡表
销地 产地
单位运价表
产量 a1 a2 … am
销地 产地
B1
B2 … Bn
B1
B2
… Bn
A1 A2 … AM 销量
b1 b2 … bn
A1 A2 … AM
c11 c12 …. c1n c21 c22 …. c2n …. …. …. …. cm1 cm2 …. cmn
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3.2.1.1 最小元素法
用最小元素法确定例3.1的初始调运方案 ：
产销平衡表表
销地 产地
单位运价表
例3.1 某工厂下设三个分厂 ，假设这三个分厂生产的产品 是同质的，现在需要把三个分厂生产的产品运送到四个销售 部 ，每个分厂生产的产品数量（单位为件）、每个销售 部需要的产品数量（单位为件）以及每个产地到每个销售部的单位运 价（单位为元/件）如下表。问如何进行调运能够使总运费最省？
销地 产地 8 13 5 销量 5 6 10 4 3 7 5 8 4 11 9 12 5 产量 4 7 6 17
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3.2.1.1 最小元素法
基本思想： 就近供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定产销 关系，然后次小，一直到给出初始调运方案，即给出初始 基本可行解为止。
具体步骤： 从单位运价表中找出单位运价最小的元素，在产销平衡 表的相应位置上填上一个尽可能大的数，则产地的产量或 销地的销量至少有一个被满足。若某一个产地的产量被满 足，则在单位运价表中把相应的行划去；若某一个销地的 销量被满足，则在单位运价表中把相应的列划去，重复上 述过程，直到单位运价表中所有的元素均被划去，这时在 产销平衡表中得到的方案就是初始调运方案。
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第三章 运输问题
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 运输问题及其数学模型 运输问题的求解—表上作业法 运输问题的进一步讨论 应用举例 电子表格的建模和求解 案例分析 分销系统结构
3.2 运输问题的求解—表上作业法
表上作业法求解运输问题的具体步骤： （1）写出运输问题的表格模型，即产销平衡表和单位运价 表，转（2）； （2）确定初始调运方案（相当于确定初始基本可行解）， 转（3）； （3）检验方案是否最优（相当于最优性的判别），若是最 优方案，则停止计算；否则转（4）； （4）调整调运方案，得新的方案（相当于从一个基本可行 解过渡到另外一个基本可行解），转(5)； （5）重复（3），（4），直到求出最优调运方案。
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3.1 运输问题及其数学模型
运输问题的数学模型： 设 xij 表示第i个产地 Ai 到第j个销地 B j 的运量，z为总运输费 用，则产销平衡问题为
min z cij xij
i 1 j 1 m n
n (i 1, 2,..., m) xij ai j 1 m s.t. xij b j ( j 1, 2,..., n) i 1 xi j 0 (i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n)