导数求参数的取值范围习题

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利用导数求参数范围举例

利用导数求参数范围举例例1.已知时都取得极值与在132)(23=-=+++=x x c bx ax x x f (1) 求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间．(2) 若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围．解：(1)2,21-=-=b a 2122)2(]2,1[)(,2)2(,21)1(23)1(,2722)32(132023,23)().2(222'>-<+>+=-+=+=-+-=+=-=-==----=c c c ，c c f x f c f c f cf c f x x x x x x x f 或解得从而上的最大值为在所以且或得由例2.已知函数1,13)(23=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值 (1) 求函数)(x f 的解析式.(2) 若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线y=)(x f 的三条切线,求实数m 的取值范围. 解:(1)求得x x x f 3)(3-=(2)设切点为33)(),3,(2'0300-=-x x f x x x M 因为200'20300020300200302066)(332)(,0332)1)(33(3),1)(33(x x x g m x x x g x A m x x x x m x x M x x m y -=++-=**=++---=----=-则设有三个不同的实数根的方程所以关于可作曲线的三条切线因为过点即所以又切线过点所以切线方程为)2,3(230)1(0)0(1,0)(,)1,0(,),1(),0,()(100)(00000000'---<<-⎩⎨⎧<>*==+∞-∞===的取值范围是所求的实数解得条件是有三个不同实根的充要的方程所以关于的极值点为故函数上单调递减在上单调递增在所以或得由m m g g x x x x g x g x x x g 例3．已知,)(2c x x f +=且)1()]([2+=x f x f f 。

高二导数求参数范围练习题

高二导数求参数范围练习题在高二数学中，导数是一个重要的概念。

它不仅在微积分中有着重要的作用，而且在实际问题中也有广泛的应用。

导数可以帮助我们研究函数的变化规律和性质。

在求参数范围的问题中，导数也扮演着重要的角色。

本文将通过几个练习题来演示如何使用导数求解参数的取值范围。

练习题一：已知函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a，b，c 是实数。

如果函数图像的顶点位于 x 轴上方，则参数 a 的取值范围是多少？解答：根据函数 f(x) = ax^2 + bx + c 的二次函数性质，当参数 a 大于零时，函数的图像开口向上，顶点位于 x 轴上方；当参数 a 小于零时，函数的图像开口向下，顶点位于 x 轴下方。

因此，要使函数图像的顶点位于 x 轴上方，参数 a 必须大于零。

即：a > 0。

练习题二：已知函数 g(x) = |x - a| + b，其中 a，b 是实数。

若函数图像在点 (1, 3) 处有一个拐点，则参数 b 的取值范围是多少？解答：根据函数 g(x) = |x - a| + b 的绝对值函数性质，在点 (1, 3) 处有一个拐点意味着函数图像在该点两侧的斜率不相等。

求解此题需要分别考虑拐点在 (1, 3) 左侧和右侧的情况。

首先考虑拐点在 (1, 3) 左侧的情况，即 x < 1。

当 x < 1 时，函数 g(x) = |x - a| + b 可以化简为 g(x) = -(x - a) + b = -x + a + b。

此时，函数图像的斜率为 -1。

根据斜率与函数的图像关系，当参数b 大于 3 - a 时，函数图像在 (1, 3) 左侧有一个拐点。

接下来考虑拐点在 (1, 3) 右侧的情况，即 x > 1。

当 x > 1 时，函数 g(x) = |x - a| + b 可以化简为 g(x) = x - a + b。

此时，函数图像的斜率为 1。

根据斜率与函数的图像关系，当参数b 小于 3 - a 时，函数图像在 (1, 3) 右侧有一个拐点。

专题11 导数为工具求解参数取值范围问题(原卷版)

专题11 导数为工具求解参数取值范围问题专题概述利用导数研究可导函数的单调性,求可导函数的极值和最值,以及用导数解决实际应用题是导数在中学数学中的主要应用,另外从高考试题来看,高考对导数的考查加强了试题的综合性和应用性,由此可见,导数的解题地位成了必不可少的工具,所以导数的应用成为久考不衰的考点．利用导数处理切线问题，注意三个条件的运用：设切点00(,)M x y ，则切线斜率为'0()k f x =，切点坐标满足切线方程；切点坐标满足曲线方程，圆的切线的处理注重圆心到直线等于半径以及切点与圆心的连线垂直切线等知识，注重方程思想的运用．利用导数求函数的极值和最值：1、求函数的极值，先求'()0f x =的根0x ，再和函数定义域比较，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，无极值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑0x 两侧导数是否异号，从而判断是否有极值.求函数的最值和求极值类似，先求'()0f x =的根0x ，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，利用单调性求最值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑0x 两侧导数是否异号，从而判断函数大致图象，从而求最值.典型例题【例1】（2020•3月份模拟）已知函数()(0)x f x ae a =>与2()2(0)g x x m m =->的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m 变化时，实数a 的取值范围为( ) A ．24(,)e +∞ B ．28(,)e +∞ C ．24(0,)e D ．28(0,)e 【例2】（2020•全国II 卷模拟）若函数()x f x alnx e =-有极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,)e -+∞B ．(1,)eC ．(1,)+∞D ．(0,)+∞【例3】（2020•3月份模拟）已知函数()1x f x e ax =+-，若0x ，()0f x 恒成立，则a 的取值范围是．【变式训练】1．（2019秋•九龙坡区期中）若函数()(sin )x f x e x a =+在区间(,)22ππ-上单调递增，则实数a的取值范围是( )A ．)+∞B ．(1,)+∞C ．()+∞D ．[1，)+∞2. （2020•3月份模拟）若对于曲线2x y e x =+上的任意一点处的切线l l ，总存在曲线cos y ax x =+上的一点处的切线2l ，使12l l ⊥，则实数a 的取值范围是．专题强化1．（2020•全国Ⅰ卷模拟）已知函数()2f x alnx x =-，若存在*x N ∈，使()0f x >成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2,)e +∞B ．4(2ln ，)+∞ C ．6(3ln ，)+∞ D ．(2,)+∞2．（2020春•全国月考）已知函数2(2),1,()1,1,ln x x f x x x -⎧=⎨-+>⎩若|()|0f x ax a -+恒成立，则实数a 的取值范围是()A ．1[,1]2-B ．[0，1]C ．[0，2]D ．[1，)+∞3．（2020•3月份模拟）已知函数2()f x ax x lnx =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式1212()()2()f x f x x x t +>++有解，则t 的取值范围是( )A ．(,22)ln -∞-B ．(-∞，22]ln -C ．(,1122)ln -∞-+D ．(-∞，1122]ln -+4．（2020•乐山模拟）已知函数27,0()2,0x xlnx x f x x x ⎧->⎪=⎨⎪-⎩，令函数3()()2g x f x x a =--，若函数()g x 有两个不同零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．9(,)16eB ．(,0)-∞C ．9(,0)(,)16e -∞ D ．9(,0)[,]16e -∞ 5．（2019秋•南城县校级期末）设()f x '是定义在R 上的函数()f x 的导数，函数()f x 满足2221()(1)2(0)2x f x f e x f x -'=+-，若()g x =2()0x g x x a--=有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0){1}-∞ B ．(-∞，0)(1⋃，)+∞ C ．(0,1)D ．(1,)+∞ 6．（2020•一卷模拟）已知不等式1a xx alnx x e ++对(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的最小值为()A ．B ．2e-C ．e -D ．2e -7．（2018秋•全国期末）若0x ∀时，不等式21(31)2xx e x a x --+-恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(,1)-∞B ．[0，1)C ．(-∞，1]3D ．1[3，2]8．（2019秋•廊坊月考）已知函数2()()f x x a lnx =-，曲线()y f x =上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是( ) A ．21(,0)e -B ．(1,0)-C ．21(,)e -+∞ D ．(1,)-+∞9．（2019•6月份模拟）设奇函数()f x 的定义域为(,)22ππ-，且()f x 的图象是连续不间断，(,0)2x π∀∈-，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<，若()2()cos 3f m f m π<，则m 的取值范围是( )A ．(,)23ππ-B ．(0,)3πC ．(,)23ππ--D ．(,)32ππ10．（2019•沈阳一模）已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是()A ．(-∞，4)(0-⋃，)+∞B ．(0,)+∞C ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞D ．(,1)-∞-11．（2020•全国一模）已知函数()x x f x e ae -=+在[0，1]上不单调，则实数a 的取值范围为． 12．（2020•全国一模）已知函数()a f x xlnx x =+，32()5g x x x =--，若对任意的1x ，21[2x ∈，2]，都有12()()2f x g x -成立，则a 的取值范围是．13．（2019•辽宁三模）设函数1()2f x lnx a x =++，1[x a ∈，]a ，若函数()f x 的极小值不大于32a+，则a 的取值范围为14．（2018•全国三模）若关于x 的方程1(2)0k x e lnx --=在(1,)+∞上有两个不同的解，其中e 为自然对数的底数，则实数k 的取值范围是．。

高考热点利用导数求函数参数的范围问题

难点一利用导数探求参数的范围问题1. 与函数零点有关的参数范围问题函数的零点，即的根，亦即函数的图象与轴交点横坐标，与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与轴的位置关系（或者转化为两个熟悉函数交点问题），进而确定参数的取值范围．例1（2020·全国高三专题练习）函数()()23xf x x e =-，关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同实数根，则正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2 B ．()2,+∞C ．3360,6e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】()()()()22331x x x x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或1x =，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >; 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()363f e-=，极小值()12f e =-，作出大致图象：令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根，且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，或者两个根都在()2,0e -内.()f x ()0f x =()f x xx因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内.令()21g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e >+，即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.故选：D2. 与曲线的切线有关的参数取值范围问题函数在点处的导数就是相应曲线在点处切线的斜率，即，此类试题能与切斜角的范围，切线斜率范围，以及与其他知识综合，往往先求导数，然后转化为关于自变量的函数，通过求值域，从而得到切线斜率的取值范围，或者切斜角范围问题．例2. （2020·全国高三专题练习（理））已知函数21()2,()f x x ax g x x=+=-，若存在点()()()()1122,,,A x f x B x g x ，使得直线AB 与两曲线()y f x =和()y g x =都相切，当实数a 取最小值时，12x x +=（）A．B．2CD．4-【答案】A 【解析】2()2,f x x ax =+Q ∴ ()22f x x a '=+，∴()1122f x x a '=+，又()21112f x x ax =+，过A 点切线方程为：()21122y x a x x =+-，①又1()g x x =-Q ，∴21()g x x'=，即()2221g x x '=，又()221g x x =-，因此过B 点的切线方程为：22212y x x x =-，② 由题意知①②都为直线AB , 1222121222x a x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，4118x a x =-，令4()8x h x x =-，332()122x x h x '-=-=， ()y f x =0x x ='0()f x 00(,())x f x '0()k f x =0x k令()0h x '=，x =(,0)x ∈-∞和时，()h x 单调递减，且(,0)x ∈-∞时()()00h x h >=，恒成立，)x ∈+∞时，()h x单调递增，x ∴=时，()min h x，1x ∴=，则2212x x==12x x ∴+=故选：A . 3.与不等式恒成立问题有关的参数范围问题含参数的不等式恒成立的处理方法：①的图象永远落在图象的上方；②构造函数法，一般构造，；③参变分离法，将不等式等价变形为，或，进而转化为求函数的最值. 3.1 参变分离法将已知恒成立的不等式由等价原理把参数和变量分离开，转化为一个已知函数的最值问题处理，关键是搞清楚哪个是变量哪个是参数，一般遵循“知道谁的范围，谁是变量；求谁的范围，谁是参数”的原则．例3．【河南省实验中学2019届模拟三】已知函数f （x ）=e x −x −1（e 是自然对数的底数）．（1）求证：e x ≥x +1；（2）若不等式f （x ）＞ax −1在x ∈[12,2]上恒成立，求正数a 的取值范围．思路分析：（1）要证e x ≥x +1，只需证f （x ）＝e x ﹣x ﹣1≥0，求导得f ′（x ）＝e x ﹣1，利用导数性质能证明e x ≥x +1．（2）不等式f （x ）＞ax ﹣1在x ∈[12，2]上恒成立，即a ＜e x −x x在x ∈[12，2]上恒成立，令g （x ）=e x −x x，x ∈[12，2]，利用导数性质求g （x ）=e x −x x在x ∈[12，2]上的最小值，由此能求出正数a 的取值范围．【详解】（1）由题意知，要证e x ≥x +1，只需证f (x )=e x −x −1≥0，求导得f ′(x )=e x −1，当x ∈(0，+∞)时，f ′(x )=e x −1>0，当x ∈(−∞,0)时，f ′(x )=e x −1<0，∴f （x ）在x ∈(0，+∞)是增函数，在x ∈(−∞,0)时是减函数，即f (x )在x =0时取最小值f (0)=0，∴f (x )≥f (0)=0，即f (x )=e x −x −1≥0，∴e x ≥x +1．（2）不等式f (x )>ax −1在x ∈[12,2]上恒成立，即e x −x −1>ax −1在x ∈[12,2]上恒成立，亦即a <e x −x x在x ∈[12，2]上恒成立，令g （x ）=e x −x x，x ∈[12,2]，以下求g (x )=e x −x x 在x ∈[12,2]上的最小值，g ′(x )=e x (x−1)x 2,当x ∈[12,1]时，g ′(x )≤0，当x ∈[1,2]]时，g ′(x )≥0，∴当x ∈[12,1]]时，g (x )单调递减，当x ∈[1,2]]时，g (x )单调递增，∴g (x )在x =1处取得最小值为g (1)=e −1，∴正数a 的取值范围是(0,e −1)．()()f x g x >()y f x =()y g x =()()()F x f x g x =-min ()0F x >()a h x >()a h x <()h x3.2 构造函数法参变分离后虽然转化为一个已知函数的最值问题，但是有些函数解析式复杂，利用导数知识无法完成，或者是不易参变分离，故可利用构造函数法．例4．（2020·四川三台中学实验学校高三开学考试）已知函数()ln f x x x a =+，()ln ,g x x ax a =-∈R . （1）求函数()f x 的极值；（2）若10a e<<，其中e 为自然对数的底数，求证：函数()g x 有2个不同的零点；（3）若对任意的1x >，()()0f x g x +>恒成立，求实数a 的最大值.（1）函数()f x 的定义域为0x >，因为()ln f x x x a =+，所以()ln 1f x x =+‘，当1x e >时，()0f x >‘，所以函数()f x 单调递增；当10x e<<时，()0f x <‘，所以函数()f x 单调递减，因此1e 是函数()f x 的极小值，故函数()f x 的极值为极小值，值为11()f a e e=-+；无极大值（2）函数()g x 的定义域为0x >，因为()ln ,g x x ax =-所以'1()g x a x=-，因为10a e <<，所以当1x a >时，'()0g x <，因此函数()g x 是递减函数，当10x a<<时，'()0g x >，函数()g x 是递增函数，所以函数()g x 的最大值为： max 1111()()ln ln 1g x g a a a a a==-⋅=-，因为10a e <<，所以11ln 1e a a>⇒>，因此有max ()0g x >，因为1e a >，所以(1)0g a =-<，因此当10x a<<时，函数()g x 有唯一零点；因为10a e <<，所以211a a >，22211111()ln 0g a a a a a =-<-<，故函数()g x 在1x a>时，必有唯一的零点，因此函数()g x 有2个不同的零点；（3）设()()()ln ln h x f x g x x x a x ax =+=++-，(1)0h =，'1()ln 1h x x a x =++-，因为211()0h x x x''=->，所以函数()h x '在1x >时单调递增，即'((2)1)h h a x '>=-当20a -≥时，即2a ≤，1x >时，'()0h x >，函数()h x 在1x >时单调递增，因此有()(1)0h x h >=，即当1x >时，()()0f x g x +>恒成立；当2a >时，''1(1)20,()10,aa h a h e e=-<=+>所以存在0(1,)a x e ∈，使得'0()0h x =，即当0(1,)x x ∈时，函数()h x 单调递减，所以此时0()()(1)0h x h x h <<=，显然对于当1x >时，()()0f x g x +>不恒成立，综上所述，2a ≤，所以实数a 的最大值为2. 4.与函数单调区间有关的参数范围问题若函数在某一个区间可导，函数在区间单调递增；函数在区间单调递减.若函数在某一个区间可导，且函数在区间单调递增恒成立；函数在区间单调递减恒成立.4.1 参数在函数解析式中转化为恒成立和恒成立问题后，利用恒成立问题的解题方法处理例5. （2020·陕西高三月考）已知函数()sin ln f x a x b x x =+-. （1）当0,1a b ==时，证明：()1f x -„. （2）当6b π=时，若()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，求a 的取值范围. （1）证明：当0,1a b ==时，()ln f x x x =-，所以1()xf x x-'=. 令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >. 所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以max ()(1)1f x f ==-，故()1f x -„. （2）解：当6b π=时，()cos 16f x a x xπ'=+-，由题可知()0f x '≥ 所以cos 106a x xπ+-…在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，即66cos x a x x π-…在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立.令6(),0,6cos 3x h x x x x ππ-⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，显然当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x <； ()f x D '()0f x >⇒()f x D '()0f x <⇒()f x D ()f x D ()f x D ⇒'()0f x ≥()f x D ⇒'()0f x ≤'()0f x ≥'()0f x ≤当,63x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h x >. 而当,63x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，22cos (6)sin ()06cos x x x x h x x x ππ+-'=>，所以()h x 在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()13h x h π⎛⎫<=⎪⎝⎭，所以1a …，即a 的取值范围是[1,)+∞. 点评：导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数y ＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则y ＝f(x)在该区间为增函数；如果f′(x)＜0，则y ＝f(x)在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法. 4.2 参数在定义域中函数解析式确定，故可先确定其单调区间，然后让所给定义域区间包含在单调区间中. 例6.已知函数ln ()a x f x x +=，曲线ln ()a x f x x+=在点(,())e f e 处的切线与直线20e x y e -+=垂直.注：e 为自然对数的底数.（1）若函数()f x 在区间(,1)m m +上存在极值，求实数m 的取值范围；（2）求证：当1x >时，1()21(1)(1)x xf x e e x xe ->+++. 思路分析：(1)求函数ln ()a x f x x +=的导数()f x '，由曲线ln ()a xf x x +=在点(,())e f e 处的切线与直线20e x y e -+=垂直可得21()f e e '=-，可求出a 的值，这时2ln '()(0)xf x x x=->，讨论导数的符号知函数()f x 仅当1x =时，取得极值，由1(,1)m m ∈+即可求实数m 的取值范围；（2）当1x >时，1()21(1)(1)x x f x e e x xe ->⇔+++11(1)(ln 1)211x x x x e e x xe -++>++g 令(1)(ln 1)()x x g x x++=，令12()1x x e h x xe -=+，由max min()()1g x h x e ⎛⎫>⎪+⎝⎭证之即可.试题解析：（1）因为ln ()a x f x x +=，所以21ln '()a x f x x --=.又据题意，得21'()f e e =-，所以221a e e -=-，所以1a =.所以1ln ()x f x x +=.所以2ln '()(0)xf x x x=->.当(0,1)x ∈时，'()0f x >，()f x 为增函数；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 为减函数.所以函数()f x 仅当1x =时，取得极值.又函数()f x 在区间(,1)m m +上存在极值，所以11m m <<+，所以01m <<.故实数m 的取值范围是(0,1).（2）当1x >时，1()21(1)(1)x x f x e e x xe ->+++，即为11(1)(ln 1)211x xx x e e x xe -++>++g .令(1)(ln 1)()x x g x x++=，则22[(1)(ln 1)]'(1)(ln 1)ln '()x x x x x x x g x x x ++-++-==.再令()ln x x x ϕ=-，则11'()1x x x xϕ-=-=. 又因为1x >，所以'()0x ϕ>.所以()x ϕ在(1,)+∞上是增函数.又因为(1)1ϕ=，所以当1x >时，'()0g x >. 所以()g x 在区间(1,)+∞上是增函数.所以当1x >时，()(1)g x g >，又(1)2g =，故()211g x e e >++.令12()1x x e h x xe -=+，则11122(1)(1)'2(1)'()2(1)(1)x x x x x x x x e xe xe e e e h x xe xe ---+-+-==++g .因为1x >，所以122(1)0(1)x x x e e xe --<+.所以当1x >时，'()0h x <，故函数()h x 在区间(1,)+∞上是减函数.又2(1)1h e =+，所以当1x >时，2()1h x e <+，所以()()1g x h x e >+，即1()21(1)(1)x x f x e e x xe ->+++. 点评：本题考查了利用导数判断函数单调性等基础知识，理解单调性的概念是解题关键. 5.与逻辑有关的参数范围问题新课程增加了全称量词和特称量词应用这一知识点，并且在考试卷中屡屡出现，使得恒成立问题花样推陈出新，别有一番风味，解决的关键是弄懂量词的特定含义.例7.已知函数()()22 01 0x x ax e x f x x x b⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，，在2x =处的切线斜率为272e .（1）求实数a 的值；（2）若0x >时，()y f x m =-有两个零点，求实数m 的取值范围. （3）设()()ln x g x b f x =+-，若对于130 2x ⎛⎤∀∈ ⎥⎝⎦，，总有()21 2.71828x e e e ⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，…，使得()()12f x g x ≥，求实数b 的取值范围.思路分析：（1）根据导数几何意义得()27'22e f =，所以求导数()()2'222x f x e x a x a ⎡⎤=+--⎣⎦列出等量关系，求解得34a =（2）利用导数研究函数()()22xf x x ax e =-单调变化趋势：在()0 1，单调递减，在()1 +∞，单调递增，再考虑端点值：()300,()2f f f ⎛⎫==+∞→+∞ ⎪⎝⎭，所以要有两个零点，需 02e m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，（3）不等式恒成立问题，一般方法为转化为对应函数最值：()()min f x g x ≥，由前面讨论可知()()min 12ef x f ==-，所以()()ln ln 12x x e g x b b f x x ⎛⎫=+=-≤- ⎪-⎝⎭在1 x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有解，即1ln 21e b x x ≤-⋅-的最大值，先求ln 1x y x =-，1 x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，最大值，而=利用导数易得1x e =时ln 1x y x =-取最大值1e +，即()21e b e ≤-+ 试题解析：（1）0x >时，()()()()222 '222x x f x x ax e f x e x a x a ⎡⎤=-=+--⎣⎦，，由条件知()27'22e f =，∴34a =. （2）0x >时，()()22xf x x ax e =-，∴()()()1'1232x f x e x x =-+，()f x 在()0 1，单调递减，在()1 +∞，单调递增，()3002f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()min 12e f f ==-，∴ 02e m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()y f x m =-有两个零点. （3）由题意，即要()()min min f x g x ≥ （*）当0x >时，()232xf x x x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由（2）知()()min 12e f x f ==-，当0x >时，0x -<，∴()()ln ln 1x x g x b b f x x ⎛⎫=+=- ⎪-⎝⎭，()2ln 1'x g x b x -=⋅，∵21 x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴2ln 10x x -≤.①若0b >，()g x 在1 e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，()()min 11g x g e b e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.∵()()min min f x g x <，∴（*）不成立.②若0b <，()g x 在1 e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数，()()min 11g x g b e e ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.要使()()min min f x g x ≥，只要()12e b e -≥+，则()21e b e ≤-+. (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．综合上述五种类型，利用导数求解含参问题时，首先具备必要的基础知识（导数的几何意义、导数在单调性上的应用、函数的极值求法、最值求法等），其次要灵活掌握各种解题方法和运算技巧，比如参变分离法，分类讨论思想和数形结合思想等，涉及极值和最值问题时，一般情况下先求导函数，然后观察能否分解因式，若能则比较根的大小，并与定义域比较位置关系、分段考虑导函数符号，划分单调区间，判断函数大致图像；若不能分解因式，则考虑二次求导，研究函数是否具有单调性.利用导数处理参数范围问题并不可怕，关键在于通过解题不断摸索解题思路，形成一种解题格式和套路.。

(完整版)导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳

导数习题题型十七:含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1．求导后,导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

★已知函数ax x a x x f 2)2(2131)(23++-=(a 〉0），求函数的单调区间)2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a xax x f ln )2(2)(+--=（a 〉0）求函数的单调区间 222))(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-='★★★例3已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。

（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程; （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。

解：（Ⅰ）当1a =时,曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。

(Ⅱ）由于0a ≠,所以()()12)1(222+-+='x x a x f ，由()'0f x =,得121,x x a a=-=。

这两个实根都在定()()()()()()22'2222122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++义域R 内，但不知它们之间的大小。

因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。

（1)当0a >时,则12x x <.易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数。

故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。

例说高考题中的利用导数求参数范围

例说高考题中的利用导数求参数范围导数，作为解决与高次函数有关问题的一种工具，有着无可比拟的优越性。

一与二次函数的性质、单调性、不等式等相联系求解策略：利用“要使a x f >)(成立，只需使函数的最小值a x f >min)(恒成立即可；要使a x f <)(成立，只需使函数的最大值a x f <max)(恒成立即可”.这也是近两年高考考查和应用最多的一种.例1（05湖北理）已知向量a =(2x ,1+x )，a =(x -1,t )，若b a x f ∙=)(在区间(-1,1)上是增函数，求t 的取值范围.解析：由向量的数量积定义，)(x f =2x (x -1)+(1+x )t =3x-+2x +tx +t∴)(x f '=23x -+x 2+t .若)(x f 在区间(-1,1)上是增函数，则有)(x f '≥0⇔t ≥23x -x 2在 (-1,1)上恒成立.若令)(x g =23x -x 2=-3(31-x )2-31在区间[-1,1]上，max)(x g =)1(-g =5，故在区间(-1,1)上使t ≥)(x g 恒成立，只需t ≥)1(-g 即可，即t ≥5.即t 的取值范围是[5，∞）.点评：本题除了用导数反映单调性，还借助了二次函数的性质求出最值，且要注意边界值的取舍。

例2使不等式4x -22x >a -2对任意的实数x 都成立，求实数a 的取值范围. 解析：注意到不等式的次数较高，应想到构造函数，求导.令)(x f =4x -22x ，则如果原不等式对任意的实数x 都成立等价于m in)(x f >a -2.又)(x f '=34x -x 4=42x (1-x )，令)(x f '=0，解得，x =0或x =1.)(x f '的符号及)(x f 的单调性如下：因为)(x f 在R 上的极值只有一个，故此极小值即为最小值，即m in)(x f =)1(f = -1，∴m in)(x f = -1>a -2，即a >3.点评：本题是利用导数求得函数的最值，进而求出参数范围的。

利用导数求参数范围的八种策略

策略一：分离变量法案例1、（2009福建卷）若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________.答案：(,0)a ∈-∞案例2、（2008湖北卷）若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（）A. [1,)-+∞B. (1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1)-∞- 答案：C案例3、（2008广东卷）设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（）A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <- 答案：B案例4、（2008江苏卷）设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为．答案：4a =．案例5、（2005湖北卷）已知向量a =(2x ,1+x )，a =(x -1,t )，若b a x f ∙=)(在区间(-1,1)上是增函数，求t 的取值范围.答案：[5，+≦）案例6、已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。

答案：2a >案例7、已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。

答案：1322a -<< 策略二：主次元变换法（略）策略三、极值法案例1.（07全国卷二）已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<答案：（1）23(31)2y t x t =--；（2）（略）案例2、（2009陕西卷）已知函数3()31,0f x x ax a =--≠ ()I 求()f x 的单调区间；()II 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围。

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一．已知函数单调性，求参数的取值范围
类型1．参数放在函数表达式上
例１．设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(23．
的取值范围
求上为增函数在若的值求常数处得极值在若a x f a x x f ,)0,()()2(.
,3)()1(-∞=
解题方法总结：求)('x f 后，若能因式分解则先因式分解，讨论)('x f =0两根的大小
判断函数)(x f 的单调性，若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成
立问题.
基础训练：
.)().2(;
)().1(1
,1)1(32)(.123的极值讨论的单调区间求其中设函数x f x f a x a x x f ≥+--=
类型2．参数放在区间边界上
例２．已知函数)(,0)(23x f y x d cx bx ax x f ==+++=曲线处取得极值在过原点和点
ｐ(-1,2),若曲线)(x f y =在点P 处的切线与直线 452的夹角为x y =且切线的倾斜角为
钝角.
(1) 求)(x f 的表达式
(2) 若)(x f 在区间[2m-1,m+1]上递增,求m 的取值范围.
.,]1,[)(,73)(.223的取值范围求上单调递增在若已知函数a a a x f x x x f +-+=
二．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围
类型１．参数放在不等式上
例3.已知时都取得极值与在13
2)(23=-=+++=x x c bx ax x x f (1) 求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间．
(2) 若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围．
总结:区间给定情况下,转化为求函数在给定区间上的最值.
基础训练：
__________)(]2,1[,522)(.32
3
的取值范围是则实数都有若对任意已知函数m m x f x x x x x f >-∈+--=
类型2．参数放在区间上
例４．已知三次函数d cx x ax x f ++-=235)(图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且
)(x f 在x=3处有极值.
（１）求)(x f 的解析式.
（２）当),0(m x ∈时, )(x f >0恒成立,求实数m 的取值范围.
.___________24.434的取值范围是则实数都成立对任意实数若不等式a ，x a x x -≥-
三．知函数图象的交点情况，求参数的取值范围．
例5.已知函数1,13)(23=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值
(1) 求函数)(x f 的解析式.
(2) 若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线y=)(x f 的三条切线,求实数m 的取值范围.
总结:从函数的极值符号及单调性来保证函数图象与x 轴交点个数.
基础训练：
轴仅有一个交点
与曲线在什么范围内取值时当的极值求函数为实数设x x f y a x f a
x x x x f a )(,)2()()1()(,.523=+--=
四. 开放型的问题，求参数的取值范围。

例６．已知,)(2c x x f +=且)1()]([2+=x f x f f 。

（1）设)]([)(x f f x g =，求)(x g 的解析式。

（2）设)()()(x f x g x λϕ-=，试问：是否存在R ∈λ，使)(x ϕ在（1,-∞-）上是单调递减函数，且在（0,1-）上是单调递增函数；若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。