连续体力学课件

二、液体的表面张力（surface tension)
雨后初晴的礼物
液体的表面张力的成因解释
1、分子力
当分子间距离略大于平衡距离r0时， 分子力表现为引力( 108 m)
2、液体表面状况
汽化层 液体表面层
液体内部
表面层液体分子间距比液体内部 分子间距大，分子之间呈现引力
定义
f
存在于液体表面；由分子间的吸引 力引起的；使液体表面具有自发收 缩趋势的力称液体的表面张力；方 向沿着液面的切线方向。
Ⅱ、球形液面附加压强
如图球形液面上的一小 液面，在周界上取一线 元dl，作用在dl上的表面 张力 df dl
球 冠
df j dl r
//
c
R
df
df
^
R
j
o
df力的方向垂直dl且与球面相切。将df分解 为与半径r垂直和平行的两个分力 df 与 df
^
//
df df cos j dl cos j df df sin j dl sin j
R O
CB A
2 2 PC R R
4 PC PA R
膜内压强大于膜外压强，并与半径成反比。
【例2】一个肥皂泡的直径为圆形水珠的
二倍，设肥皂泡的 是水的三倍，求水滴 和肥皂泡的内外压强差之比。
【解】
P水 2 水 / R水 P肥 4 肥 / R肥
水 R肥 1 1 2 2 肥 R水 2 3
本章主要研究液体的表面性质、液体的流动性质和黏滞 性质，这些性质无疑对农业和生物学是非常重要的。
§1.2 静止液体的力学性质
一、液体的压强
压强（液体的正应力）：经过某点的任一假想面 元上正压力与该面元面积之比在面元趋近于零时 的极限。 f f p lim p S 0 S S 液体中压强与面元ΔS的取向无关，即各向同性 （ isotropy）
P 内P 外?
p内－p外＝2 /R
p内－p外＝-2 /R
[例1]一个膜厚度很薄的圆形肥皂泡，假定泡内外均为 空气，泡内外的压强差为多少？
Ⅲ.球形液膜内、外压强差
如图,由于球形液膜很薄，内外 膜半径近似相等，设A、B、C 三 点压强分别为PA 、PB 、PC ，则：
PB PA PA 2 R PB PC 2 R
2r f^ R
附加压强
2
f ^ 2r 2 ps 2 2 r Rr R
2
——拉普拉斯球公式 球形液面附加压强与表面张力系数成正比，与球面半径R 成反比。半径越小，附加压强越大；半径越大，附加压强 越小；半径无限大时，附加压强等于零，这正是水平液面 的情况。
2 凸液面：p p0 R 2 凹液面：p p0 R
dS dS 表面张力系数在数值上等于增加单位液体表面积时，外力所 需做的功，或增加单位液体表面积时，表面能的增加。
dW Fdx 2ldx dS
【例1】 把一个半径为5cm的金属细圆环从液体中拉出，圆
环所在平面与液体表面平行。已知，刚拉出圆环时需用力 28.3×10-3N。若忽略圆环的重力，该液体的表面张力系数为 多少? 解： 作用在圆环上的液体表面张力为
第一章 连续体力学
（Mechanics of continuous medium)
引 言
连续体力学又称连续介质力学，包括固体的弹 性力学和流体力学。连续体的共同特点是其内部质 点之间可以有相对运动。处理连续体的办法是不再 把它看成一个个离散的质点，而是取“质元”，即 有质量的体积元。
连续介质假设
四、润湿与不润湿
液滴单独存在时由于表面张力的作用，表面总是凸起。 但是当液体与固体接触时可能表现出不同的表面现象, 由分子力不对称引起。
1. 定义
润湿: 液体沿固体表面 延展的现象，称液体润 湿固体。 不润湿：液体在固体表 面上收缩的现象，称液 体不润湿固体。
润湿、不润湿与相互接触的液体、固体的性质有关。 水——玻璃：润湿 水——石蜡：不润湿
1 3
例3 RA RB PSA PSB 空气由 A B
RA 、RB
膜内压强大于膜外压强，并 与半径成反比，与表面张力 系数成正比。
A
B
体积较大的肺泡表面积↑，表面活性剂的浓度↓， 肺泡的表面张力系数↑，产生的附加压强↑，对 抗由于半径增加对附加压强的减小；体积较小 的肺泡表面积↓，表面活性剂的浓度↑，肺泡的 表面张力系数↓，同理。
// ^
由圆对称性，在圆周界上 的其他线元上，作用着同 样大小的表面张力，这些 力的水平分力相互抵消， 垂直分力方向相同，合力 为：
//
j
dl df
^
r
c
df
R
j
o
f ^ df ^
2r 0
sin jdl sin j 2r
2
r 2r 由于 sin j , 则f ^ R R
(8 4 r 4 R ) 4 (8r R ) 1 4 4 3 3 r R R 8 r 2 3 3
dW 4 R
2
讨论
2. 测量表面张力系数的实验方法


拉脱法
液滴法
3. 影响表面张力系数的因素(Factors ) 液体种类(varieties of liquid) 温度(temperature) 温度越高，表面张力系数越小 表面活性物质(surface activator)
三、拉普拉斯公式（Laplace formula）
由于表面张力的存在,弯 曲液面内外(inside and outside)的压强不等,其压 强差服从拉普拉斯公式:
pout
pin
pin pout
2 R
R
拉普拉斯方程的推导:
Ⅰ：附加压强的产生1.液面弯曲P 01)凸液面时，如图 s 周界 上表面张力沿切线方向，合 力指向液面内， s 好象紧 压在液体上，使液体受一附 加压强 ps ，由力平衡条件， 液面下液体的压强：
p x p y p z pn
对于液体中的任一点，来自任何方向 的压强均相同。
液体压强的各向同性（ isotropy）
等高的地方压强相等
p A pB
液体压强随高度的变化
h A
p A p0 gh
等高各点压强相等
在流体中取一柱状体元，在水平方向 应用平衡方程 pAS pB S , pA pB 表明：流体内等高各点压强相等, 即等压面与竖直方向垂直
f 2 2R
由题
f 28.3 103 N/m
28.3 10 3 3 4 . 5 10 N/m 2 4 5 10
4R 28.3 103
【例2】将一个半径为 R 的球型液珠
分散成 8 个半径相同的小液滴需作功多少？ （设表面张力系数为） dW 【解】 dW dS dS2 2 2 2
在化妆品行业中，乳化剂是乳霜、乳液、洁面、 卸妆等护肤产品中不可或缺的成分。
表面张力的例子
a. 水面上的爬虫能不落入水中 b.把一根缝衣针放在一张薄餐巾纸上，用纸托 住缝衣针轻轻地放在水面上，纸被水浸透后 沉入水底，而缝衣针会浮在水面上。 c.在杯中装满水(注意杯口的外沿必须干燥)，放在 桌上。将干净的分币轻轻地从水面投下，要求尽 量减少水面的扰动。随着投入的分币数增多，水 面会明显超出杯口，但水不溢出来。 d.雨伞的伞面织物都有细小的孔，下雨天 用撑开的 伞遮雨，雨水不会从小孔中漏下来
dF＿ α
H dh
h
dl
α
dF
解：如图所示，取长为L,宽为dl的狭长面元，该 面元受力dF=ρghLdl，方向垂直该面元 dF在水平方向的分力： dF ghLdl sin gLhdh

2 坝受水平推力 F gL hdh 1 gLH 2 0 3 2 7 1 1 . 0 10 9 . 8 1088 5 13 . 3 10 N 2 H
p1 y1
如有自由表面，令p2=p0，p1=p，则 p = p0+ρgh
例题1、在密度为 的液体中竖直放置一个长为a，宽 为b的长方形平板，板的上边与水面相齐，求此板面所 受液体压力的大小（不考虑大气压的影响）
例2：已知坝长L=1088m， 水深H=5m，不计大气压， 求水对坝的水平推力
0 dF
A PAΔS y w z B PBΔS
（p+dp）ΔS dy pΔS
压强沿竖直方向的分布
取一高为dy的柱状体元，在竖直方向 应用平衡条件：
x dp pS ( p dp)S g Sdy 0, dp gdy, g , 设ρ,g与y无关， dy p2 y2 dp g dy , p2 p1 g ( y2 y1 ) gh, p1 p2 gh
表面活性剂的作用
I. 润湿作用
可湿性粉剂中原药多为有机化合物，具有憎水性，只有在表面活性剂存 在的条件下，降低水的表面张力，药粒才有可能被水所润湿，形成水悬 液； 在粒剂及供喷粉用的粉剂中，有的也含有一定量的表面活性剂，其目的 是为了提高药剂在受药表面的附着性和沉积量，提高有效成分在有水分 条件下的释放速度和扩展面积，提高防病、治病效果。
液体表面张力服从以 下基本规律:
l
f l
称表面张力系数( coefficient of surface tension), 1 其单位是 N m
讨论
1. 表面张力系数的物理意义(physical significance ) 力的属性(property of force) 作用在液体表面单位长 度直线上的表面张力 能的属性(property of energy) 增加单位液体表面积时所增加的表面能