高中数学九讲之反三角函数与三角方程(学生)

模块： 四、三角
课题： 8、反三角函数与三角方程
教学目标： 理解()sin y x x R =∈不存在反函数，理解反正弦函数的概念，了解其图像和基本性质，会用反正弦函数值表示角的大小；类比研究反余弦、反正切函数；会写简单三角方程的解集．
重难点： 反正弦函数的图像和基本性质，最简三角方程的解． 一、 知识要点
2、 简单的三角方程
（1）三角方程定义：含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程． （2）最简三角方程的解集
sin x a =，||1a ≤，则解集为(){
}
|1arcsin ,k
x x k a k Z π=+-∈；
cos x a =，||1a ≤，则解集为{}|2arccos ,x x k a k Z π=±∈；
tan x a =，a R ∈，则解集为{}|arctan ,x x k a k Z π=+∈．
（3）三角方程的解法
简单的三角方程是通过三角函数与代数的恒等变形，化为最简的三角方程来解，最后应写出最简三角方程的解集．
二、 例题精讲
例1、（1）求函数3sin ,,22y x x ππ⎡⎤
=∈⎢
⎥⎣⎦
的反函数； （2）求函数()
2arccos 2y x x =-的单调增区间；
（3）求函数y =的定义域和值域．
例2、已知1,0a a b ≤≠，求11
tan arccos tan arccos 4242
a a
b b ππ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．
例3、求函数()2
1arccos 5arccos ,,12y x x x ⎡⎤
=-∈-
⎢⎥⎣⎦
的最大值和最小值，以及相应的x 的值．
例4、已知方程2
40x ++=的两个实数根为1x 与2x ，记1arct an
x α=，2arctan x β=，求αβ+的值．
例5、解下列三角方程：
（1）sin5cos 0x x -=；
（2）2
sin θθ=； （3）()sin 212sin cos 120x x x --+=； （4）2
sin 3sin cos 10x x x -+=．
例6、求实数m 的取值范围，使关于x 的方程22
2sin 2sin cos cos 10x x x x m +---=有解．
例7、解关于x 的方程cos22cos 230x x a ++-=，a R ∈．
*例8、点P 在曲线5sin arccos 3x y ⎛
⎫
= ⎪⎝⎭
的图像上，求点P 到直线100x y +-=的最大和最小距离．
三、 课堂练习
1、函数()arcsin 2y x =-的定义域为 ，值域为 ．
2、函数arccos 2
y x π
=-，[]1,1x ∈-的奇偶性为 ．
3、若3
x π=
是方程()2cos 1x α+=的解，其中()0,2απ∈，则α= ．
4、若sin t x =，,63x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，则arccos t 的取值范围是 ．
5、函数123arccos 4
x
y -=的反函数的最大值是 ，最小值是 ．
6、设sin cos 0x x a +=在[)0,2x π∈内有相异两实根，则实数a 的取值范围
是 ．
四、 课后作业 一、填空题
1、方程sin x x -=
在[]0,π上的解是 ．
2、若函数()2arcsin 2y x =-的值域是,3ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
，则此函数的定义域为 ． 3、7arccos sin
6
π⎛
⎫= ⎪⎝
⎭ ，11sin arccos 23⎡⎤
⎛⎫-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦ ． 4、方程sin 40x =的解集为M ，方程cos 21x =的解集为N ，则M 与N 的关系
为 ．
5、方程()()
2lg cos sin lg 2cos 1x x x +=-的解集是 ． 6、函数()
2arcsin 1y x x =++的定义域为M ，值域为N ，则M N = ．
二、选择题
7、函数sin y x =，3,22x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣
⎦的反函数为（ ） A 、[]arcsin ,1,1y x x =∈-
B 、[]arcsin ,1,1y x x π=-∈-
C 、[]arcsin ,0,1y x x π=+∈
D 、[]arcsin ,0,1y x x π=-∈
8、下列命题中正确的是（ ）
A 、若点()(),20P a a a ≠为角α终边上一点，则sin 5
α=
B 、同时满足1sin ,cos 2αα=
= C 、当||1a <时，()tan arcsin a 的值恒正
D 、三角方程tan 3x π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
{}|,x x k k Z π=∈ 9、函数()
2
arccos 2y x x =-的值域为（ ）
A 、[]0,π
B 、1arccos ,8π⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭
⎣⎦
C 、10,arccos 8⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
D 、10,arccos 8
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
三、解答题
10、（1）求函数(
)2
31lg 14arcsin 2x y x
-=-+的定义域；
（2）求()arcsin 1arccos2y x x =-+的值域； （3）求()
2arcsin y x x =-的定义域； （4）判断函数()sin 2arccos y x =的奇偶性；
（5）求满足不等式()arccos 1arccos x x -≥的x 的取值范围．
11、已知函数()2
cos 12f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，()1
1sin 22
g x x =+
． （1）设0x 是函数()y f x =的一个零点，求()0g x 的值； （2）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．
12、解下列三角方程：
（1）sin cos cos2x x x +=； （2）1cos cos 2cos 48
x x x =
； （3）2
3tan 22sec x x +=； （4）cos 2tan 12x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
．。