最新人教B版高中数学必修二同步练习：投影与直观图、三视图 Word版含答案

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高中数学 1.1 空间几何体 1.1.4 投影与直观图课后训练

1.1.4 投影与直观图课后训练1．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段( )．A．平行且相等 B．平行不相等C．相等不平行 D．既不平行也不相等2．在灯光下，圆形窗框在与窗框平行的墙面上的影子的形状是( )．A．平行四边形 B．椭圆形C．圆形 D．菱形3．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形是( )．A．正方形 B．矩形C．菱形 D．梯形4．如下图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )．5．甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一张四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9”，甲说他看到的是“6”，乙说他看到的是“6”，丙说他看到的是“9”，丁说他看到的是“9”，则下列说法正确的是( )．A．甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边B．丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙C．甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁D．甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边6．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB 边上的中线的实际长度是__________．7．给出下列说法：①正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2，有一内角为45°；②水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形；③不等边三角形水平放置的直观图是不等边三角形；④水平放置的平面图形的直观图是平面图形．写出其中正确说法的序号__________．8．如图所示，已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为__________．9．画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm,2 cm，高2 cm)．10．在水平放置的平面α内有一边长为2的正方形A′B′C′D′(如图)，其中对角线A′C′位于水平位置．已知该正方形是某个平行四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出原平行四边形，并求其面积．参考答案1. 答案：A2. 答案：C 由点光源的中心投影的性质可知影子应是圆形．3. 答案：C4. 答案：C 根据斜二测画法的规则：平行于x 轴或在x 轴上的线段的长度在新坐标系中不变，在y 轴上或平行于y 轴的线段的长度在新坐标系中变为原来的12，并注意到∠xOy ＝90°，∠x ′O ′y ′＝45°，因此由直观图还原成原图形为选项C.5. 答案：D 可以从每个人观察的角度进行分析．6. 答案：52在直观图中，∠A ′C ′B ′＝45°，则在原图形中∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则斜边AB ＝5，故斜边上的中线长为52. 7. 答案：④ 对于①，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x 轴、y 轴，则结论正确；但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x 轴、y 轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上或与坐标轴平行，则其直观图中相邻两边长不一定符合“横不变，纵减半”的规则；对于②，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形；对于③，只要坐标系选取的恰当，不等边三角形水平放置的直观图可以是等边三角形．8.答案：22a 过C ′作y ′轴的平行线C ′D ′与x ′轴交于D ′，则2sin 45a C'D'==︒. 又∵C ′D ′是原△ABC 的高CD 的直观图，∴CD =.∴211222ABC S AB CD a ∆=⋅==. 9. 答案：解：(1)画轴，以底面△ABC 的垂心O 为原点，OC 所在直线为y 轴，平行于AB 的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，以上底面△A ′B ′C ′的垂心O ′与O 的连线为z 轴，建立空间坐标系．(2)画下底面，在xOy 平面上画△ABC 的直观图，在y轴上量取OC =cm，OD =cm.过D 作AB ∥x 轴，且AB ＝2 cm ，以D 为中点，则△ABC 为下底面三角形的直观图．(3)画上底面，在z 轴上截取OO ′＝2 cm ，过O ′作x ′轴∥x 轴，y ′轴∥y 轴，在y ′轴上量取6O'C'=，12O'D'=cm ，过D ′作A ′B ′∥x ′轴，A ′B ′＝1 cm ，且以D ′为中点，则△A ′B ′C ′为上底面三角形的直观图．(4)连线成图，连接AA ′，BB ′，CC ′，并擦去辅助线，则三棱台ABC －A ′B ′C ′即为所要画的正三棱台的直观图．10. 答案：解：平行四边形ABCD 如图所示．∵A ′C ′在水平位置，A ′B ′C ′D ′为正方形，∴在四边形ABCD 中，DA ⊥AC ，AC ⊥CB .又∵DA ＝2D ′A ′＝4，AC ＝A ′C ′＝，BC ＝2B ′C ′＝4，∴S 四边形ABCD ＝AC ·AD ＝。

高中数学人教B版必修2学业测评：1.1.4 投影与直观图 Word版含解析

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y 轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′等于()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°【解析】在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.【答案】 C2．由斜二测画法得到：①相等的线段和角在直观图中仍然相等；②正方形在直观图中是矩形；③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形；④菱形的直观图仍然是菱形．上述结论正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3【解析】只有平行且相等的线段在直观图中才相等，而相等的角在直观图中不一定相等，如角为90°，在直观图中可能是135°或45°，故①错，由直观图的斜二测画法可知②③④皆错．故选A.【答案】 A3．如图1-1-57为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是()【导学号：60870017】图1-1-57A B C D【解析】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直．【答案】 C4．(2016·江西师大附中高一检测)已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图1-1-58所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC中∠ABC的大小是()图1-1-58A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】根据斜二测画法可知△ABC中，BC＝2，AO＝3，AO⊥BC，∴AB ＝AC＝12＋(3)2＝2，故△ABC是等边三角形，则∠ABC＝60°.【答案】 C5．下列说法：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；③两条相交直线的平行投影是两条相交直线．其中正确的个数为()A．0 B．1C．2 D．3【解析】二、填空题6．下列图形：①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体．其中投影不可能是线段的是________．【解析】根据投影的定义知②⑤不可能．【答案】②⑤7．如图1-1-59所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则在直观图中梯形的高为________．图1-1-59【解析】按斜二测画法，得梯形的直观图O ′A ′B ′C ′，如图所示，原图形中梯形的高CD＝2，在直观图中C ′D ′＝1，且∠C ′D ′E ′＝45°，作C ′E ′垂直于x ′轴于E ′，则C ′E ′＝C ′D ′·sin 45°＝22.【答案】 228．(2016·雅安高二检测)如图1-1-60所示，斜二测画法得到直观图四边形A ′B ′C ′D ′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是________．图1-1-60【解析】在梯形A ′B ′C ′D ′中，B ′C ′＝A ′D ′＋2·A ′B ′cos 45°＝1＋2，则原平面图形是上底为1，下底为1＋2，高为2的直角梯形，其面积S ＝12(1＋1＋2)×2＝2＋ 2.【答案】 2＋ 2三、解答题9．如图1-1-61，△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．图1-1-61【解】画法：(1)如图②，画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；①②(2)在图①中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在图②中，在x轴上取OD ＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.(3)连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图②.10．有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图．【解】(1)先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示；(2)过正六边形的中心O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′＝3 cm，如图②所示；(3)连接V′A′、V′B′、V′C′、V′D′、V′E′、V′F′，如图③所示；(4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示．[能力提升]1．如图1-1-62所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC 的三边及中线AD中，最长的线段是()图1-1-62A．AB B．ADC．BC D．AC【解析】还原直观图后知，原图形是以AC为斜边的直角三角形ABC，AD 是直角边BC的中线，所以AC最长．【答案】 D2．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图1-1-63所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，则△ABC中AB边上的中线的长度为()图1-1-63 A.732B.73 C ．5 D.52【解析】由斜二测画法规则知△ABC 是∠ACB 为直角的三角形，其中AC＝3，BC ＝8，AB ＝73，所以AB 边上的中线长为732.【答案】 A3．如图1-1-64，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6，O ′C ′＝2，则原图形OABC 的面积为________.【导学号：60870018】图1-1-64【解析】易知原图形OABC 是平行四边形，且OA ＝BC ＝6，平行四边形的高为OE ，则OE ×12×22＝O ′C ′.∵O ′C ′＝2，∴OE ＝42，∴S ▱OABC ＝6×42＝24 2.【答案】 24 24．(2016·咸阳高一检测)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD ，如图1-1-65所示，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，求原平面图形的面积．图1-1-65 【解】过A作AE⊥BC，垂足为E，又∵DC⊥BC且AD∥BC，∴四边形ADCE是矩形，∴EC＝AD＝1，由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1知BE＝2 2，∴原平面图形是梯形且上下两底边长分别为1和1＋22，高为2，∴原平面图形的面积为12×⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.。

高中数学第一章立体几何初步1.1.4投影与直观图同步练习含解析新人教B版必修2

1．下列关于直观图画法的说法不正确的是( )．A ．原图中平行于x 轴的线段，其对应线段仍平行于x 轴，且长度不变B ．原图中平行于y 轴的线段，其对应线段仍平行于y 轴，且长度不变C ．画与坐标系xOy 对应的坐标系x ′O ′y ′时，∠x ′O ′y ′可等于135°D ．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同2．如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列说法中正确的是( )．A ．内心的平行投影还是内心B ．重心的平行投影还是重心C ．垂心的平行投影还是垂心D ．外心的平行投影还是外心3．下晚自习后，小华走路回家，在经过一盏路灯时，他发现自己的影子( )．A ．变长B ．变短C ．先变长后变短D ．先变短后变长4．对于一条底边在x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的( )．A ．2倍B ．2倍C ．2倍D ．12倍 5．若线段AB 平行于投射面，O 是AB 上一点，且AO ∶OB ＝m ∶n ，则点O 的平行投影O ′分线段AB 的平行投影A ′B ′的长度之比是______．6．小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为1 m 的竹竿影长0.9 m ，但当他马上测树高时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙，如图所示．他测得留在地面部分的影子长2.7 m ，留在墙壁部分的影高1.2 m ，则树的高度为(太阳光线可看作为平行光线)______．7．如图所示，在水平放置的平面α内有一边长为1的正方形A ′B ′C ′D ′，其中对角线A ′C ′处于水平位置．已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．8．小迪身高1.6 m，一天晚上放学回家，走到两路灯之间，她发现自己的身影的顶部正好在A 路灯的底部，她又向前走了5 m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10 m．(两路灯的高度是一样的)求：(1)路灯的高度；(2)当小迪走到B路灯下，她在A路灯下的身影有多长？9.某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成60°角，房屋向南的窗户AB高1．6米，现要在窗子外面的上方安装一个水平遮阳篷AC，如图所示．求：(1)当遮阳篷AC的宽度在什么范围内，太阳光线能直接射入室内？(2)当遮阳篷AC的宽度在什么范围时，太阳光线不能直接射入室内？(精确到0.01米)参考答案1. 答案：B2. 答案：C3. 答案：D4. 答案：B解析：底边上的高变为原来的2倍． 5. 答案：m ∶n6. 答案：4.2 m解析：树高为AB ，影长为BE ，CD 为树留在墙上的影高， ∴ 1.210.9CD CE CE ==，CE ＝1.08 m ，树影长BE ＝2.7＋1.08＝3.78 m ，树高1 4.2m 0.9AB BE ==. 7. 解：四边形ABCD 的图形如图所示．∵A ′C ′在水平位置，A ′B ′C ′D ′为正方形，∴在四边形ABCD 中，DA ⊥AC ．∵DA ＝2D ′A ′＝2，AC A C =''=∴·ABCD S AC AD ==四边形8. 解：如图所示，设A 、B 为两路灯，小迪从MN 移到PQ ，并设C 、D 分别为A 、B 路灯的底部．由题目已知得MN ＝PQ ＝1.6 m ，NQ ＝5 m ，CD ＝10 m.(1)设CN ＝x ，则QD ＝5－x ，路灯高BD 为h .∵△CMN ∽△CBD ，即 1.610CN MN x CD BD h=⇒=.① 又∵△PQD ∽△ACD ，即1.6510PQ QD x AC CD h -=⇒=② 由①②式得x ＝2.5 m ，h ＝6.4 m ，即路灯高为6.4 m.(2)当小迪移到BD所在线上(设为DH)时，连接AH交地面于E，则DE长即为所求的影长．∵1.66.410DH DE DE DEH CEAAC CE DE∆∆⇒=⇒=+∽，解得10m3DE=，即影长为10m3.9.解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，AB＝1.6 m，则AC2＝BC2－AB2，BC＝2AC，∴AC2＝4AC2－1.62，∴AC0.92(m)．当0≤A C≤0.92米时，太阳光线可直接射入室内．。

人教B版高中数学必修二同步练习：投影与直观图、三视图 Word版含答案

A CB图 1.1.4-2人教B版数学必修2：投影与直观图、三视图同步练习1、在画水平放置的平面图形时，在原来的图形中，若两条线段平行且相等则在直观图中对应的两条线段( )A.平行且相等.B.平行不相等.C.相等不平行.D.既不平行也不相等.2、若一个三角形，采用斜二侧画法作其直观图时，其直观图的面积是原三角形面积的( ) A.21倍 B.２倍 C.22倍 D.2倍主视图左视图俯视图4.一个水平放置的四边形的斜二侧直观图是一个底角是45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形，那么原四边形的面积是( )A.2+2B.1+2C.1+22125、如图1.1.4-3所示的直观图所表示的平面图形是A.正三角形.B.锐角三角形.C.钝角三角形.D.6、如图所示：水平放置在平面α内的直观图，(1)RtΔABC，(2)(3)正方形ABCD，其中正确个数是( )A.0B.1C.2D.3A A C Bα B C αB C α D A 7.下面是由六个相同的长方体堆成的物体，如图1.1.4-5 ①．图1.1.4-1D图1.1.4-3图 1.1.4-4俯视图(1)画出这个物体的正视图．(2)改变视图的形状使它的俯视图如图1.1.4-5②，试画出它的左视图．8．在由实物图到三视图的过程中，实物上的某些点的位置又是如何变化的呢？如图所示，在右侧两个视图上确定A、B、C、D9.一个物体由几块正方体叠成，它的三视图如图．试问：(1)该物体有几层高？(2)该物体最长的地方有多长？(3)最低部分位于哪里？10.下面是一些立体图形的视图，如图图 1.1.4-9，但是观察的方向不同，试说11. 把10个相同的小正方形，按如图所示的位置堆放，它的外表含有若干小正方形．如果将图中标有A的一个小正方体搬去，这时外表含有的小正方形个数与搬去前相比( )A．不增不减 B．减少1个 C．减少2个 D．减少3个图 1.1.4-8①②③图1.1.4-9①图1.1.4-6 图1.1.4-7参考答案1.A2.A3.D4.A5. B6. C7. 解 (1)如图1.1.4-6．(2)如图①、②、③、④、⑤、⑥．8. 解 (1)2层． (2)左边一纵最长，长为3个正方形的边长．(3)右纵与横第二行的交叉处是空的，最低．正视图① ②③④ ⑤⑥ 图1.1.4-7。

高中数学人教B版必修二同步练习：几何体的结构三视图和直观图及柱体锥体与台体的表面积含答案

人教B 版数学必修2：几何体的结构、三视图和直观图及柱体、锥体与台体的表面积一、选择题1. 一个长方体共一项点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是 ( ) A.23 B.32 C.6 D.62. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( ) A.ππ221+ B.ππ441+ C.ππ21+ D.ππ241+ 3. 如下图所示，已知棱长为a 的正方体（左图），沿阴影面将它切割成两块，拼成右图所示的几何体，那么拼成的几何体的全面积为（）A 、()2222a +B 、()2223a +C 、()2225a +D 、()2224a +4. 已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H.设四面体EFGH 的表面积为T ，则S T 等于（）A ．91B ．94C ．41D ．31 5. 一个正四面体在平面α上的射影不可能是（）A. 正三角形B. 三边不全等的等腰三角形C. 正方形D. 邻边不垂直的菱形二、填空题6. 已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为43R ，则该圆柱的全面积为 . 7. 一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为 .8. 如图正方体1111D C B A ABCD 的棱长为a ，将该正方体沿对角面D D BB 11切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为．9. 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm ，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是 . 10. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是 .三、解答题11. 如图①是一个正三棱柱形容器，底面边长为a ,高为2a ,内装水若干.将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图②，这时水面恰好为中截面.请问图①中容器内水面的高度是多少？图① 图②12. 三棱柱ABC—A 1 B1 C1中，AB=AC=10，BC=12，顶点A 1与A 、B 、C 的距离都等于13，求这个三棱柱的侧面积.13. 直平行六面体各棱的长都等于5，两条对角线的平方差为50，求这个平行六面体的全面积．14. 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，求个有孔正方体的表面积（含孔内各面）【课时29答案】1.C2.A3.D4.A5.DBD A D 1B 116. 249R π7. 60︒8. 102cm9. 102cm 10.2π11.a 23. 12. 396. 13.325100+14. 解决本题的关键是研究这6个小方孔之间的关系．如果这6个小方孔互相都不相交，那么问题会变得相对简单．但实际上，由图看它们是相交的．在解答过程中，不仅要看出来相交，还要看出来谁与谁相交，有几个交叉孔，因为这将直接影响到表面积的计算．为了便于叙述，我们把这6个小孔都给编上号，如图，这样①与⑤有一个交叉孔；①与③有一个交叉孔；②与⑥有一个交叉孔；②与④有一个交叉孔；③与⑥有一个交叉孔；④与⑤有一个交叉孔．一共有6个交叉孔．于是下面的计算便可以进行了．正方体6个面的表面积为5×5×6=150．每个面有2个小正方形，6个面，共有=1 2．每一个孔的内表面积为4×5=20，6个孔为20×6=1 20．每个交叉孔的表面积为6，6个孔为6×6=36．所以150－1 2+120－36=222为所求．。

人教B版数学必修二讲义：第1章 1.1 1.1.4 投影与直观图 Word版含答案

1.1.4投影与直观图1．平行投影(1)投影①定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．②投射线：光线．③投射面：留下影子的屏幕．(2)平行投影当投射光线为一束平行线时，该投影称为平行投影．(3)平行投影的性质①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．2．直观图的概念(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．3．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)画线：已知图形中平行于或在x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于或在x′轴、y′轴的线段．(3)取长度：已知图形中在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段，长度为原来的一半．4．立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．1．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的()C[正方形的直观图是平行四边形，且平行于x轴的边长为3 cm，平行于y 轴的边长为1.5 cm.]2.如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′B′＝A′C′，那么△ABC 是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形B[由斜二测画法的规则可知△ABC为直角三角形，且直角边的长度关系为AC＝2AB.]3．一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是________．①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体．②⑤[线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点．]【例1】按图的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．[思路探究]按照斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图．[解]画法：(1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝12OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝12GA，H′D′＝12HD.(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．1．用斜二测画法画水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图所示．[解]画法：(1)如图①所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(如图②)．①(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝12OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.②(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．【例2】画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．[思路探究]画轴→画底面→画顶点→成图[解]画法：(1)画轴：①②画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.(2)画底面：以O为中心，在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD.(3)画顶点：在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图：顺次连接P A、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.1．画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可．2．直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变．”2．用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．[解](1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x ′O ′z ′＝90°.(2)画底面：在面x ′O ′y ′内，画出正六边形的直观图ABCDEF .(3)画侧棱：过A 、B 、C 、D 、E 、F 分别作z ′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA ′、BB ′、CC ′、DD ′、EE ′、FF ′都等于侧棱长．(4)成图：顺次连线A ′、B ′、C ′、D ′、E ′、F ′，并加以整理就得到正六棱柱的直观图，如图所示．1．如图，△A ′B ′C ′是水平放置的△ABC 斜二测画法的直观图，能否判断△ABC 的形状？[提示] 根据斜二测画法规则知：∠ACB ＝90°，故△ABC 为直角三角形．2．若探究1中△A ′B ′C ′的A ′C ′＝6，B ′C ′＝4，则AB 边的实际长度是多少？ [提示] 由已知得△ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，故AB ＝AC 2＋BC 2＝10.3．若已知一个三角形的面积为S ，它的直观图面积是多少？[提示] 原三角形面积为S ＝12a ·h (a 为三角形的底，h 为三角形的高)，画直观图后，a ′＝a ，h ′＝12h ·sin 45°＝24h ，S ′＝12a ′·h ′＝12a ·24h ＝24×12a ·h ＝24S .【例3】如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．[思路探究]由直观图还原平面图形的关键(1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段扩大为原来的2倍．(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．[解]①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；③连接AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形的形状是________．菱形[如图所示，在原图形OABC中，应有OA BC，OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝OD2＋CD2＝(42)2＋22＝6(cm)，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．]1．由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．2．若一个平面多边形的面积为S，它的直观图面积为S′，则S′＝2 4S.1．本节课的重点是了解中心投影与平行投影，难点是画几何体的直观图．2．本节课掌握的规律方法(1)判断几何体投影形状及画投影的方法．(2)画出空间几何体的直观图．(3)直观图的还原与计算．3．本节课的易错点是混淆中心投影和平行投影.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．()(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴．()(3)平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变．()(4)斜二测坐标系取的角可能是135°. ()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√[提示]平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故(3)错误；由斜二测画法的基本要求可知(1)(2)(4)正确．2．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是()A．直角三角形的直观图仍是直角三角形B．梯形的直观图是平行四边形C．正方形的直观图是菱形D．平行四边形的直观图仍是平行四边形D[由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确．]3．如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．22[画出直观图，BC对应B′C′，且B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，故顶点B′到x′轴的距离为2 2.]4．画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图．[解](1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5 cm，在y′轴上截取O′A′＝12AO＝34cm，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．。

人教课标版(B版)高中数学必修2基础练习-投影、直观图和三视图

1.1.4-1.1.5 投影与直观图、三视图1.两条相交直线的平行投影是【】A.两条相交直线B.一条直线C.一条折线D.两条相交直线或一条直线2.如果一个几何体的正视图是矩形，则这个几何体不可能是【】A. 棱柱B. 棱台C. 圆柱D. 圆锥3.下列选项中，三视图都一样的几何体是【】A.长方体B.正方体C.四棱柱D.四棱锥4. 一个圆柱的三视图中，一定没有的图形是【】A.正方形B.长方形C. 三角形D. 圆5.以下说法正确的是【】A.三角形的直观图是三角形B.圆形的直观图是圆形C.正方形的直观图是正方形D.菱形的直观图是菱形6.一个几何体的某一方向的视图是圆，则它不可能是【】A. 球体B. 圆锥C. 圆柱D.长方体7.下列说法正确的是【】A. 相等的线段在直观图中仍然相等B. 若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行C. 两个全等三角形的直观图一定也全等D. 两个图形的直观图是全等的三角形，则这两个图形一定是全等三角形8.已知正方形的直观图是有一条边长为4的平行四边形，则此正方形的面积是【】A. 16B. 16或64C. 64D. 以上都不对9. 已知某物体的三视图如图所示，那么这个物体的形状是_______________.正视图侧视图俯视图10.下图是某个圆锥的三视图，请根据正视图中所标尺寸，则俯视图中圆的面积为__________，圆锥母线长为______.俯视图正视图左视图参考答案1. D2. D3.B4.C5.A6.D7. B8. B9.正四棱锥10.100π，。

新高中人教B版数学必修二同步练习：1.1.5_三视图(含答案)

1.1.5 三视图【课时目标】1．了解正投影的概念；2．理解三视图的原理和视图间的相互关系，能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简单组合)的三视图．1．正投影在物体的平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为__________．2．三视图(1)一个投射面水平放置，叫做______________，投射到水平投射面的图形叫__________．一个投射面放置在正前方叫做____________，投射到直立投射面内的图形叫__________，和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做______________，投射到侧立投射面内的图形叫做__________．(2)将空间图形向水平投射面、直立投射面、侧立投射面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局(俯视图放在________的下面，长度与__________一样，左视图放在__________的右面，高度与__________一样，宽度与__________的宽度一样即“长对正、高平齐、宽相等”)放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的__________．一、选择题1．下列说法正确的是()A．任何几何体的三视图都与其摆放的位置有关B．任何几何体的三视图都与其摆放的位置无关C．有的几何体的三视图与其摆放的位置无关D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形2．如图所示的一个几何体，哪一个是该几何体的俯视图()3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()5．如图所示的正方体中，M、N分别是AA1、CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是()6．一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是()二、填空题7．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．(1)对应________；(2)对应________；(3)对应________；(4)对应________；(5)对应________．8．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．9．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为________个．三、解答题10．在下面图形中，图(b)是图(a)中实物画出的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出左视图(尺寸不作严格要求)．11．(1)如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．(2)如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图．能力提升12．对如图所示的几何体正确的说法是()A．如果把(1)作为主视图，则(2)、(3)分别是俯视图和左视图B．如果把(2)作为主视图，则(1)、(4)分别是俯视图和左视图C．如果把(3)作为主视图，则(2)、(1)分别是俯视图和左视图D．如果把(4)作为主视图，则(2)、(1)分别是俯视图和左视图13．用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？在绘制三视图时，要注意以下三点：1．若两相邻物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓都用实线画出，不可见轮廓用虚线画出．2．一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度和主视图一样．左视图放在主视图的右面，高度和主视图一样，宽度和俯视图一样，简记为“长对正，高平齐，宽相等”．3．在画物体的三视图时应注意观察角度，角度不同，往往画出的三视图不同．1．1．5 三视图答案知识梳理1．正投影2．(1)水平投射面俯视图直立投射面主视图侧立投射面左视图(2)主视图主视图主视图主视图俯视图三视图作业设计1．C[球的三视图与其摆放位置无关．]2．C3．D[在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．]4．C[由三视图中的主、左视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C．]5．D6．A7．(1)D(2)A(3)E(4)C(5)B8．2 4解析三棱柱的高同左视图的高，左视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为4．9．710．解图(a)是由两个长方体组合而成的，主视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示)，左视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．11．(1)解该图形的三视图如图所示．(2)解该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，正视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，左视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合)．它的三视图如图所示．12．D[物体有不同的放法得到不同的视图，所以把不同的图作为主视图就是考查各种不同的放法时物体的三视图．若(2)为主视图，说明物体已经竖起来放，显然此时(1)(3)(4)里面没有适合的视图作为左视图和俯视图；若(3)为主视图，则俯视图(2)中的正方体小块的位置不正确；若(1)为主视图，则俯视图(2)中的正方体小块的位置不正确．所以D正确，故选D．]13．解由于主视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示，此种情况共用小立方块17块．数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块．。

人教B版高中数学必修2课堂训练投影与直观图

课堂练习(四) 投影与直观图(建议用时：40分钟)[合格基础练]一、选择题1．直线的平行投影可能是 ( )A．点B．线段C．射线D．曲线A[直线的平行投影可能是直线也可能是点，故选A.]2．下列说法正确的是 ( )A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的平行投影可能平行D．若一个三角形的平行投影是一个三角形，则这个三角形中位线的平行投影是该三角形平行投影的中位线D[因为当平面图形与投影面垂直时，所得正投影是线段，故A，B不正确；两条相交直线的平行投影不可能平行，故C不正确；D显然正确．]3．如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为( )A．平行四边形B．梯形C．菱形D．矩形D[因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形．]4．由斜二测画法得到：①相等的线段和角在直观图中仍然相等；②正方形在直观图中是矩形；③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形；④菱形的直观图仍然是菱形．上述结论正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3A[只有平行且相等的线段在直观图中才相等，而相等的角在直观图中不一定相等，如角为90°，在直观图中可能是135°或45°，故①错，由直观图的斜二测画法可知②③④皆错．故选A.]5.已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC中∠ABC的大小是( )A．30°B．45°C．60°D．90°C[根据斜二测画法可知△ABC中，BC＝2，AO＝3，AO⊥BC，∴AB＝AC＝12＋(3)2＝2，故△ABC是等边三角形，则∠ABC＝60°.]二、填空题6．在棱长为4 cm的正方体ABCDA1B1C1D1中，作直观图时，棱AA1在x轴上，棱AD在y 轴上，则在其直观图中，对应棱A′D′的长为________cm，棱A′A1′的长为________cm.2 4[在x轴上的线段长度不变，故A′A1′＝4 cm，在y轴上的线段变成原来的一半，故A′D′＝2 cm.]7.如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则在直观图中梯形的高为________．22[按斜二测画法，得梯形的直观图O′A′B′C′，如图所示，原图形中梯形的高CD＝2，在直观图中C′D′＝1，且∠C′D′E′＝45°，作C′E′垂直于x′轴于E′，则C′E′＝C′D′·sin 45°＝22 .]8．如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________．6[由直观图可知其对应的平面图形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，∴S △AOB ＝12OA ·OB ＝6.]三、解答题9．用斜二测画法画底面半径为1 cm ，高为3 cm 的圆锥的直观图．[解] 画法如下：(1)画x ′轴和y ′轴，两轴交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°；(2)分别在x ′轴、y ′轴上以O ′为中心，作A ′B ′＝2 cm ，C ′D ′＝1 cm ，用曲线将A ′，C ′，B ′，D ′连起来得到圆锥底面(圆)的直观图；(3)画z ′轴，在z ′轴方向上取O ′S ＝3 cm ，S 为圆锥的顶点，连接SA ′，SB ′； (4)擦去辅助线，得到圆锥的直观图．10．如图，A ′B ′C ′D ′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．[解] 由已知中A ′B ′C ′D ′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，可得该四边形的原图形，如图所示：这是一个底边长为2，高为2的平行四边形．故原图形的面积为2 2.[等级过关练]1．如图所示，△A ′B ′C ′是水平放置的△ABC 的直观图，则在△ABC 的三边及中线AD 中，最长的线段是( )A．AB B．ADC．BC D．ACD[还原直观图后知，原图形是以AC为斜边的直角三角形ABC，AD是直角边BC的中线，所以AC最长．]2.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上．点P 到直线CC1的距离的最小值为________．255[点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值．当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝2×122＋1＝255.]。

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A C
B
图 1.1.4-2
人教B版数学必修2：投影与直观图、三视图同步练习
1、在画水平放置的平面图形时，在原来的图形中，若两条线段平行且相等则在
直观图中对应的两条线段( )
A.平行且相等.
B.平行不相等.
C.相等不平行.
D.既不平行也不相等.
2、若一个三角形，采用斜二侧画法作其直观图时，其直观图的面积是原三角形
面积的( ) A.2
1
倍 B.２倍 C.2
2
倍 D.2倍
主视图左视图俯视图
4.一个水平放置的四边形的斜二侧直观图是一个底角是45°，腰和上底的长均
为1的等腰梯形，那么原四边形的面积是( )
A.2+2
B.1+2
C.1+2
212
5、如图1.1.4-3所示的直观图所表示的平面图形是
A.正三角形.
B.锐角三角形.
C.钝角三角形.
D.
6、如图所示：水平放置在平面α内的直观图，(1)RtΔABC，(2)
(3)正方形ABCD，其中正确个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
A A C B
α B C αB C α D A 7.下面是由六个相同的长方体堆成的物体，如图1.1.4-5 ①．
图1.1.4-1
D
图1.1.4-3
图 1.1.4-4
俯视图
(1)画出这个物体的正视图．
(2)改变视图的形状使它的俯视图如图1.1.4-5②，试画出它的左视图．
8．在由实物图到三视图的过程中，实物上的某些点的位置又是如何变化的呢？如图所示，在右侧两个视图上确定A、B、C、D
9.一个物体由几块正方体叠成，它的三视图如图．试问：
(1)
该物体有几层高？
(2)该物体最长的地方有多长？
(3)最低部分位于哪里？
10.下面是一些立体图形的视图，如图图 1.1.4-9，但是观察的方向不同，试说
11. 把10个相同的小正方形，按如图所示的位置堆放，它的外表含有若干小正方形．如果将图中标有A的一个小正方体搬去，这时外表含有的小正方形个数与搬去前相比( )
A．不增不减 B．减少1个 C．减少2个 D．减少3个
图 1.1.4-8
①②③
图1.1.4-9
①
图1.1.4-6 图1.1.4-7
参考答案
1.A
2.A
3.D
4.A
5. B
6. C
7. 解 (1)如图1.1.4-6．
(2)如图①、②、③、④、⑤、⑥．
8. 解 (1)2层． (2)左边一纵最长，长为3个正方形的边长．
(3)右纵与横第二行的交叉处是空的，最低．
正视图
① ②
③
④ ⑤
⑥ 图1.1.4-7。