教案_图学基础_图学基础-第5讲

第5讲
第四章 平面
§4—1 平面的表示法
一、以平面的几何元素的投影来表示平面 由初等几何得知，空间一平面可由下列任一组几何元素确定：
(1)不在同一直线上的三点。

(2)一直线和直线外的一点。

(3)相交两直线。

(4)
(5) 线，则转换成图5—1 (b)的形式；又如在图5—1 (c)中，连接BC 两点的同名投影，则转换成图5—1 (e)的形式。

平面经转换后，虽然其表示形式已不同，但平面在空间的位置始终未变。

二、以迹线来表示平面
1.迹线的概念 空间平面与投影面的交线称为平面的迹线(图5—2)。

平面与H 面的交线称为水平迹线，平面与V 面和W 面的交线分别称为正面迹线和侧面迹线。

若平面用P 标记，则其水平迹线用P H 标记，正面和侧面迹线分别用P V 和 P W 标记。

平面分别与OX 、OY 、OZ 轴的交点，也是两迹线的汇交点。

如图5—2(ɑ)中，P V 和P H 汇交于OX 轴上的点P X ；P H 和P W 汇交于OY 轴上的点P Y ；P V 和P W 汇交于OZ 轴上的点P Z 。

这三点P X 、P Y 、P Z 称为迹线集合点(或迹线共点)。

2.迹线的投影特点和画法
由于迹线是平面与投影面的交线，故它在该投影面上的投影与其本身重合，而其他两个投影分别在相应的投影轴上。

在投影图中，通常只画出与迹线本身重合的那个投影，并加标记，其余两投影在相应的投影轴上，均不画出并省略标记。

例如图5—2(ɑ)中，平面P 的正面迹线
图5—2 用迹线表示的平面
为P
V
，它的
上取一点N，则
点的正面投影n
三边位于不同投影面上的三角5—3所示的平面R，可看
图5—3 互相平行的两迹线表示平面
§4—2 平面对投影面的相对位置及其投影特性
在三投影面体系中，平面对投影面的相对位置可分为：平行于一个投影面(必然垂直于另外两个投影面)的平面，称为投影面的平行面(简称平行面)；垂直于一个投影面而倾斜于另外两个投影面的平面，称为投影面的垂直面(简称垂直面)；对三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面。

其中前两类平面统称为特殊位置平面。

平面与投影面的夹角称为倾角。

平面与H面的倾角用α表示，与V面的倾角用β表示，与W面的倾角用γ表示。

一、投影面平行面的投影特性
面垂直于V面和H
图5—4
1.水平面的水平投影反映实形。

2.
3.
因此，我必定是水平面。

水平面P
正平面和
二、投影面
垂直面分为三种：垂直于H面倾斜于V面和W的平面，称为铅垂面；垂直于V面倾斜于H面和W面的平面，称为正垂面；垂直于W面倾斜于V面和H面的平面称为侧垂面。

如图5—6为一由四边形确定的铅垂面，其投影特性是：
重合。

其正面和侧面投影为空间平面的类似形。

1.铅垂面的水平投影积聚成一倾斜的直线段，并与它的水平迹线T
H
2.铅垂面的水平投影和OX轴、OY
轴的夹角，分别反映铅垂面T与V面和W面的倾角β、γ。

H
正垂面和侧垂面的投影特性请参阅表4—2，表4—2（见教材P40）。

图5—6 铅垂面的投影特性
三、一般位置平面的投影特性
一般位置平面倾斜于三个投影面H、V、W，因此它的三个投影均为空间平面的类似形。

也就是说它的三个投影即没有积聚性，也不能
如图4—7
一、在平行面和垂直面上取点、取线
由于平行面和垂直面至少与一个投影面垂直，其投影有积聚性，故在这类平面上取点和直线，可利用积聚性的投影来求得。

如图5—8所示的ΔABC平面为正平面，其水平投影积聚为平行于OX轴的直线ɑbc，在此平面上取一点E(e,e′)，只要把点的水平投影e取在ɑbc线上或其延长线上，E点就一定在ΔABC所决定的平面内；又如F(f,f′)点，其正面投影f′虽然在Δɑ′′c′之外，但其水平投影f点在平面的水平投影ɑbc线上，所以F点一定在ΔABC所确定的平面内。

又如图5—9所示，空间有四个点A、B、C、D，试判断四个点是否属于同一平面。

从图5—9中可见A、B、C三点构成一铅垂面，其水平投影ɑ、b、c在一条直线上，而D点的水平投影d不在平面的水平投影ɑbc直线上，故D点不在ABC面内。

在平行面和
二、在一般
若直线具有下列
1.直线通过
2.直线通过
如图5—10P上。

如图5—11
如果
综上所述，要在一找点。

它们之间有着相互制约的因果关系，并没有什么先后的顺序之分。

这一点，要有充分的理解。

例5—1. 已知一平面由两平行直线AB和CD所确定，试在该平面上取点、取线(图5—12)。

1.分析
先在两已知直线上各取一点，并把它们连接起来，即为所求的直线。

2.作图步骤
在AB上任取一点Ⅰ(1，1′)，在CD上任取一点Ⅱ(2，2′)。

连接1、2和1′2′，则得所求直线MN的两个投影。

在MN上任取两点E(e,e′)和F(f,f′)，它们也一定在这个平面上。

图5—12 在平面内取点和直线
例5—2.
解法一：作图步骤如图5—13(ɑ)所示。

(1)连接ɑd并延长之，使之与bc相交于点1。

(2)自1向正面投影连线与b′c′相交于点1′。

(3)连接ɑ′1′,然后自d向正面投影连线与ɑ′1′相交于d′，即得所求。

解法二：作图步骤如图5—13(b)所示。

(1)过d点作ɑb的平行线并与bc相交于2，与ɑc相交于3。

(2)自2向正面投影连线与b′c′相交于2′，并过2′作ɑ′b′的平行线与ɑ′c′相交于3′。

(3)自d向正面投影连线与2′3′相交于d′，即得所求。

例5—3. 试完成平面四边形ABCD的正面投影〔图5—14(ɑ)〕。

(ɑ) (b)
图5—14 求平面四边形的正投影
1.分析
由题意知道C三点所决定，而D点则是这
2.
(1)连接
(2)连接ɑ′
(3)连接b′
三、包含
图5—15 包含一般位置直线作一般位置面
1.包含一般位置直线可作一般位置平面和投影面垂直面。

图5—15所示，均为包含已知直线AB所作的一般位置平面。

可见包含已知直线AB可作无数个一般位置平面，且可用平面的任意一种几何元素表示法来表示所作的平面。

图5—16所示为包含已知直线AB作的铅垂面。

作铅垂面时，必须利用垂直面的积聚性进行作图，作图时必须保证平面的水平投影(或水平迹线)与直线的水平投影重合。

包含已知直线AB所作的铅垂线是唯一的。

图5—16 包含一般位置直线作铅垂面
同理，包含一般位置直线AB也可作正垂面和侧垂面。

2.包含投影面平行线可作投影面的平行面、垂直面和一般位置平面。

包含平行线
例如：个一般位置平面，但不能作铅
3.包含
包含垂直面
例如：欲包含铅垂线AB作平面。

经分析可知，包含铅垂线AB可作一个正平面，一个侧平面，并可作无穷多个铅垂面，其投影图如图5—18所示。

4.包含空间一点作平面时，如果没有其他附加条件，可作无数多个平面。

作图时，一般应先过已知点任作一直线，再利用上述方法包含直线作平面，则该点必在新作的平面上。