分段函数——2015年高考中的热点题型
高考数学函数专题训练《分段函数》含答案解析
高考数学函数专题训练 分段函数一、选择题1.已知函数21,1()11,1x x f x x x x -⎧<⎪=+⎨⎪-⎩…，若()f a 3=，则实数a 的值为( )A ．2B ．2-C ．2±D ．2或3-【答案】C【解析】Q 函数21,1()11,1x x f x x x x -⎧<⎪=+⎨⎪-⎩…，()3f a =，∴当1a <时，1()31a f a a -==+，解得2a =-； 当1a …时，2()13f a a =-=，解得2a =或2a =-（舍)．综上，实数a 的值为2±．故选C ． 2. 若()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是(),-∞+∞的增函数,则a 的取值范围是( )A ．2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2,35⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),3-∞D ．2,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A【解析】由于函数()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是(),-∞+∞的增函数，则函数()34y a x a =--在(),1-∞上是增函数，所以，30a ->，即3a <；且有()23141a a -⨯-≤，即351a -≤，得25a ≥， 因此，实数a 的取值范围是2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选A.3. 若函数()314,025,0xx f x x x x ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--+>⎩，，当[],1x m m ∈+时，不等式()()2-<+f m x f x m 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(),4-∞- B ．(),2-∞-C ．()2,2-D ．(),0-∞【答案】B【解析】依题意得：函数()314,025,0xx f x x x x ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--+>⎩，在x ∈R 上单调递减，因为()()2-<+f m x f x m ，所以2m x x m ->+，即2x m <，在[],1x m m ∈+上恒成立， 所以2(1)m m +<，即2m <-，故选B ．4. 已知函数lg ,0()1lg ,0x x f x x x >⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，若()()f m f m >-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,0)(1,)-⋃+∞B ．(,1)(1,)-∞-+∞UC ．(1,0)(0,1)-UD ．(,1)(0,1)-∞-U【答案】A【解析】由函数的解析式可得函数()f x 为奇函数，则不等式()()f m f m >-即()()f m f m >-，即()0f m >，由此可得可得实数m 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞.故选A.5. 已知函数1,0,()ln(),0,kx x f x x x -≥⎧=⎨--<⎩若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围为（ ） A ．(,0)-∞ B ．1(0,)2C ．(0,)+∞D ．(0,1)【答案】D【解析】要使函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，只需函数()()ln 0y x x =--<的图象关于原点对称的函数()ln 0y x x =>的图象与直线()10y kx x =->的交点个数为2即可.如图,可作出函数()()ln 0y x x =--<关于原点对称的函数()ln 0y x x =>的图象，当直线1y kx =-与ln y x =的图象相切时,设切点为(),ln m m ,又ln y x =的导数为1'y x =，则1ln 1km mk m -=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得11m k =⎧⎨=⎩，可得切线的斜率为1，结合图象可知()0,1k ∈时,函数ln y x =的图象与直线1y kx =-有2个交点,即函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对,故选D.6. 已知函数f(x)=2-(0),0(0),()(0)x ax b xxg x x⎧+>⎪=⎨⎪<⎩在区间24,-4a b ba⎛⎫++⎪⎝⎭上满足f(-x)+f(x)=0,则g(-2)的值为()A．-22B．22C．-2D．2【答案】B【解析】由题意知f(x)是区间24,-4a b ba⎛⎫++⎪⎝⎭上的奇函数,∴a+4a-b2+4b=0,由于()224244b b b-+=--+≤，由对勾函数的性质，当0a>时，44aa+≥，故a<0,∴(b-2)2+2---aa⎛⎪⎝⎭=0,解得b=2,a=-2.∴g(-2)=-f(2)=-2-2a+b=-2+22+2=22.故选B.7. 已知函数()22log042708433x xf xx x x⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，，，若a b c d,,,互不相同，且满足，()()()()f a f b f c f d===则abcd的取值范围是（）A．()3233，B．()3234，C．()3235，D．()3236，【答案】C【解析】由题意，可画出函数()f x图象如下：由题意，,,,a b c d Q 互不相同，∴可不妨设a b c d ＜＜＜．∵()()f a f b =，由图象，可知22log a log b -=．即：220log a log b +=．∴20log ab =，∴1ab =．又∵()()()()f a f b f c f d ===，∴依据图象，它们的函数值只能在0到2之间， ∴4578c d ＜＜，＜＜．根据二次函数的对称性，可知：2612c d +=⨯=．∴()()2·121245abcd cd c c c c c ，＜＜==-=-+则可以将abcd 看成一个关于c 的二次函数．由二次函数的知识，可知：212c c -+在45c ＜＜上的值域为()3235，． abcd ∴的取值范围即为()3235，，故选C ． 8. 已知函数（，且）在上单调递增，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由函数()f x 的解析式可知函数在区间上单调递增，当时，函数单调递减，由复合函数的单调性法则可知：，且函数在处满足：，解得：，故，方程恰有两个不相等的实数解，则函数与函数的图像有且仅有两个不同的交点，绘制函数的图像如图中虚线所示，令可得：，由可知，，则直线与函数的图像在区间上存在唯一的交点，原问题转化为函数与二次函数在区间上存在唯一的交点，很明显当，即时满足题意，当直线与二次函数相切时，设切点坐标为，亦即，由函数的解析式可得：，故：，则，切点坐标为，从而：，即.据此可得：的取值范围是.故选D .9. 已知函数11ln ,01()1,12x x x f x x -+<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若方程2()(1)()0f x a f x a -++=恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为 A ．)0,(-∞ B ．(0,)+∞ C ．(1,)+∞ D ．(0,1)【答案】D【解析】2()(1)()0f x a f x a -++=可变形为[()][()1]0f x a f x --=，即()a x f =或()1=x f ，由题可知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当(]0,1x ∈时，函数()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，画出函数()f x 的大致图象，如图所示，当且仅当1x =时，()1=x f ，因为方程2()(1)()0f x a f x a -++=恰有三个不同的实数根，所以()a x f =恰有两个不同的实数根，即(),y f x y a ==的图象有两个交点，由图可知10<<a 时，(),y f x y a ==的图象有两个交点，所以实数a 的取值范围为(0,1)，故选D ．10. 已知函数()2,02()211,0x x f x x f x x ⎧≤≠-⎪=+⎨⎪-+>⎩且若关于x 的方程()f x kx =都有4个不同的根，则k 的取值范围是( ) A ．52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．75,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．75,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【解析】()f x kx =都有4个不同的根，等价于(),,y f x y kx ==的图象有四个交点，因为()2,02()211,0x xf x x f x x ⎧≤≠-⎪=+⎨⎪-+>⎩且，所以，若01x <≤，则110x -<-≤，则2()(1)111f x f x x =-+=++；若12x <≤，则2Bq mRυυ=，则2()(1)12f x f x x=-+=+； 若23x <≤，则112x <-≤，则2()(1)131f x f x x =-+=+-； 若34x <≤，则213x <-≤，则2()(1)142f x f x x =-+=+-； 若45x <≤，则314x <-≤，则2()(1)153f x f x x =-+=+-； ...，作出()f x 的图象如图，求得()()4,7,2,5A B ，则75,42OAOB kk ==， 由图可知，7542k ≤<时，(),,y f x y kx ==的图象有四个交点，此时，关于x 的方程()f x kx =有4个不同的根，所以，k 的取值范围是75,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选C .11. 已知函数1,03 ()lg(6),36gx a xf xx a x⎧-<≤⎪=⎨--<<⎪⎩，（其中a R∈），若()f x的四个零点从小到大依次为1x，2x，3x，4x，则4121iix x x=+∑的值是（）A．16 B．13 C．12 D．10【答案】B【解析】由题意可知，()f x有四个零点等价于函数lg,03()lg(6),36x xg xx x⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩图象与函数y a=有四个交点，如图所示，由图形可知，1lg x a-=，2lg x a=，3lg(6)x a-=，4lg(6)x a--=，∴110ax-=，210ax=，3610ax-=，4610ax--=，即110ax-=，210ax=，3610ax=-，4610ax-=-，所以121x x=，41101061061012a a a aiix--==++-+-=∑，故412113iix x x=+=∑，故选B．12. 已知函数ln,1()1(2)(),1x xf xx x a xe≥⎧⎪=⎨+-<⎪⎩（a为常数，e为自然对数的底数）的图象在点(),1A e处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，求实数a 的取值范围是（ ） A．33a --<<-+B．233a -+<<C．3a <--233a -+<< D．3a -+<【答案】C【解析】由()ln f x x =，1x ≥，得()1f x x '=，()1'f e e= ()f x ∴在点(),1A e 处的切线方程为1y x e=，① 函数()()()12y f x x x a e==+-，1x <② ∴由①②联立方程组可得：11(2)()y x ey x x a e ⎧=⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，其中1x <,化简得：2(1)20x a x a +--=，③Q 切线与该函数的图象在(),1A e 点有一个交点，∴只需要满足③在当1x <时有两个不相同的交点，很明显2x =-不是函数的零点，整理方程可得：()222322x x a x x x +==++-++，问题转化为函数y a =与平移之后的对勾函数()2232y x x =++-+有两个不同的交点， 绘制函数()2232y x x =++-+的图像如图所示，结合均值不等式的结论可知，当2x >-时，()2232232y x x =++-≥+， 当2x <-时，()2232232y x x =++-≤-+， 且当1x =时，()222323y x x =++-=+， 结合函数图像可知，实数a 的取值范围是：322a <--或23223a -+<<. 故选C . 二、填空题13．函数22,1()log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩的值域为____________．【答案】(,2)-∞【解析】当1x <时，()2xf x =，其值域为()0,2，当1x ≥时，()2log f x x =-，其值域为(],0-∞所以函数()22,1log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩的值域为(]()(),00,2,2-∞⋃=-∞14. 函数223,0,(),0,x x f x x x --<⎧=⎨≥⎩若0a b >>，且()()f a f b =，则()f a b +的取值范围是________． 【答案】[)1-+∞，【解析】设()()f a f b t ==，作出函数()f x 的图象， 由图象可得0t ≥时，由()2f a a t ==，解得a t =，由()23f bb t =--=，解得32tb --=， 则23131(1)12222t a b t t t t --+=+=-+-=---， 因为0t ≥，则0t ≥，设m a b =+， 则21(1)112m a b t =+=---≤-， 此时()()23231f a b f m m +==--≥-=-， 所以()f a b +的取值范围是[1,)-+∞.15. 设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【解析】当(]0,2x ∈时，()2()11,f x x =--即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f xg x =在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点； 当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k -+=的距离为12211k k k +=+，得24k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点1,1（）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =. 综上可知，满足()()f x g x =在(]0,9上有8个实根的k 的取值范围为1234⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，. 16. 已知函数()()ln ,02,2x x e f x f e x e x e⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，函数()()F x f x ax =-有4个零点，则实数a 的取值范围是____________. 【答案】10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】设2e x e <<，则02e x e <-<，故()()ln 2f x e x =-，即()()ln ,0ln 2,2x x e f x e x e x e ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩， 绘制函数图像如图所示，函数()()F x f x ax =-有4个零点则函数()f x 与函数y ax =有4个交点，如图所示，考查临界情况，当直线与函数相切时，设切点坐标为()00,x ax ，由题意可得：0001ln a x x ax ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得：01x e a e =⎧⎪⎨=⎪⎩. 则直线与函数相切时斜率为1e， 数形结合可知实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
2015《分段函数》
2015届中考专题复习《分段函数》1 、今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0≤x≤100和x≥100时，y与x的函数关系式；（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？2、我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费a元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，按每吨b元（b a>）收费．设一户居民月用水x吨，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图13所示．（1）求a的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？（2）求b的值，并写出当10x>时，y与x之间的函数关系式；（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？3．（8分）（2014•十堰）某市政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力，积极完善城镇居y元．（1）直接写出x≤50000时，y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）若某居民大病住院医疗费用按标准报销了20000元，问他住院医疗费用是多少元？4．（8分）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？5、 参加保险公司的医疗保险，住院治疗的病人享受分段报销，保险公司制定的报销细则如下表.某人住院治疗后得到保险公司报销金额是1000元，那么此人住院的医疗费是6、某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过203m 时，按2元／3m 计费；月用水量超过203m 时，其中的203m 仍按2元／3m 收费，超过部分按2.6元／3m 计费．设每户家庭用用水量为3m x 时，应交水费y 元． （1）分别求出0≤x ≤20和x ＞20时y 与x 的函数表达式； 小明家这个季度共用水多少立方米？7．（10分）（2013•徐州）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起（1）若甲用户3月份的用气量为60m ，则应缴费 元；（2）若调价后每月支出的燃气费为y （元），每月的用气量为x （m 3），y 与x 之间的关系如图所示，求a 的值及y 与x 之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若乙用户2、3月份共用1气175m 3（3月份用气量低于2月份用气量），共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？8．（8分）“兄弟餐厅”采购员某日到集贸市场采购草鱼，若当天草鱼的采购单价y （元）与采购量x （斤）之间的关系如图，且采购单价不低于4元/斤．（1）直接写出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）若这天他采购草鱼的量不多于．．．20斤，那么这天他采购草鱼最多用去多少钱？9.（本小题满分7分）已知某企业2014年用水量x （吨）与该月应交的水费y （元）之间的函数关系如图．（1）求2014年水费y （元）关于x （吨）的函数关系式；（2）为贯彻省委“五水共治”发展战略，鼓励企业节约用水，该市自2015年1月开始对月用水量超过96吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x 超过96吨，则除按2014年收费标准收取水费外，超过96吨部分每吨另加收16x元.这样企业每月“用水费用”就可能包括水费和污水处理费. 求2015年水费y （元）关于x （吨）的函数关系式．10．（2013•荆州）如图，某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕．他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据可绘制的函数图象，其中日销售量y （千克）与销售时间x （天）之间的函数关系如图甲所示，销售单价p （元/千克）与销售时间x （天）之间的函数关系如图乙所示．（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式； （2）分别求出第10天和第15天的销售金额； （3）此次销售过程中第几天的日销售额最高，最高为多少元？11、某公司专销产品A ，第一批产品A 上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A 上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图(3)中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图(4)中的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系． （1）试写出第一批产品A 的市场日销售量y 与上市时间t 的关系式； （2）第一批产品A 上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？12 、 心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y 随时间t 的变化规律有如下关系式：⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≤++-=)4020(3807)2010(240)100(100242t t t t t t y（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？ （2）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？13一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从五月一日起的50天内，它的市场售价y 1与上市时间x 的关系可用图1的一条线段表示：它的种植成本y 2与上市时间x 的关系，可用图2中抛物线的一部分来表示。
高考数学《分段函数的性质与应用》基础知识与专项练习题(含答案)
高考数学《分段函数的性质与应用》基础知识与专项练习题（含答案）分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。
即“分段函数——分段看” 一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。
3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。
如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x −的关系，要注意,x x −的范围以代入到正确的解析式。
4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。
否则是断开的。
例如：()221,34,3x x f x x x −≤⎧=⎨−>⎩，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。
再比如 ()221,31,3x x f x x x −≤⎧=⎨−>⎩中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。
（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。
例如：()13f x x =−+，可转化为：()13,113,1x x f x x x −+≥⎧=⎨−+<⎩5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。
分段函数--2015年高考中的热点题型
年高考中一道亮丽的风景线． 下面对这 ８ 道考题一
一加以解析，供参考．
例 １ （ 浙 江 卷 第 １０ 题 ） 已 知 函 数 ｆ（ ｘ） ＝
ìïïｘ í
＋
２ ｘ
－ ３，ｘ ≥ １， 则 ｆ（ｆ（ － ３）） ＝
；ｆ（ ｘ）
îïｌｇ（ ｘ２ ＋ １） ，ｘ ＜ １，
的最小值是 ．
解 因为当 ｘ ≤ ２ 时，ｆ（ｘ） ＝ － ｘ ＋ ６ ≥ ４，而函 数 ｆ（ｘ） 的值域是［４， ＋ ∞ ），故当 ｘ ＞ ２ 时，ｆ（ｘ） 单调
递增，且 ｆ（ｘ） ＞ ４，即 ａ ＞ １ 且 ３ ＋ ｌｏｇａ２ ≥ ４，解得 １ ＜ ａ ≤ ２，故实数 ａ 的取值范围是（１，２］ ．
点评 本题主要考查分段函数的单调性和值
范围是 ．
解 ① 若 ａ ＝ １， 则
ｆ（ｘ） ＝
{２ｘ － １，ｘ ＜ １，
４（ｘ － １）（ｘ － ２），ｘ ≥ １，
作 ｆ（ｘ） 的图象如图 １ 所示．
由图可得 ｆ（ｘ） 的最小值为
图１
－ １．
② 法 １ 注意到，当 ｘ ＜ １ 时，ｆ（ｘ） ＝ ２ｘ － ａ ＝
０⇔ｘ ＝ ｌｏｇ２ａ ＜ １⇔０ ＜ ａ ＜ ２． （１） 若 ａ ≤ ０，由上知，当 ｘ ＜ １ 时，ｆ（ｘ） ＝ ２ｘ － ａ
单调递增；当 ｘ ＞ ａ 时，ｆ（ｘ） ＝ ｘ２ ＞ ａ２ 且单调递增．又 因为 ０ ＜ ａ ＜ １，所以 ａ２ ＞ ａ３，故函数 ｙ ＝ ｆ（ｘ） 单调
递增且在点 ａ 处不连续，其图象与直线 ｙ ＝ ｂ 最多只
有一个交点，不合题意． （４） 若 ａ ＞ １，当 ｘ ≤ ａ 时，ｆ（ｘ） ＝ ｘ３ ≤ ａ３ 且单
图 ２ 图 ３
2015年安徽省高考一轮复习专题-----分段函数的几种常见题型及解法
分段函数的几种常见题型及解法分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 下面就几种具体的题型解析如下：1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域.2．求分段函数的函数值例2．已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求1[()]f f .3．求分段函数的最值例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值.4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ）222(10).()2(02)x x x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 222(10).()2(02)xx x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12).()1(24)xx x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 226(12).()3(24)x x x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 5．作分段函数的图像例5．函数|ln ||1|x y e x =--的图像大致是（ ）6．判断分段函数的奇偶性例6．判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.7．判断分段函数的单调性yx11OCD例7．判断函数32(0)()(0)x x x f x xx ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.例8．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.8．解分段函数的方程例9．、设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为9．解分段函数的不等式例10．设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >, 则0x 得取值范围是（ ）.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞例11．设函数2(1)(1)()4(1)x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃ 【点评：】以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显.。
例释分段函数中的热点题型
常用解 法是求 出分段 函数在 每一个子 区间上 的最值 ， 取各 区 间上最 大值 中的最大值 即为 分段 函数 的最大值 ； 各 区间上 最 小值 的最小值 即为分段 函数 的最小值．
三、 分 段 函数 的解析 式
一
：
（ …；
Ｉ ｆ （ ｘ ＋１ ） ， ｚ＜４ ，
、
作 分段 函数 的 图像
此类 题型 就是根据 分段 函数 的解 析式作 出每段 上 的图
则ｆ （ ２ ＋ｌ ｏ ｇ ２ ３ ） ＝ ——．
解 因 为 ３ ＜ ２＋ ｌ ｏ ｇ ２ ３＜ ４ ， 所以 ｆ （ ２＋ ｌ ｏ ｇ ２ ３ ）＝ ｆ （ ３＋ ｌ ｏ ｇ ２ ３ ）且 ３＋ ｌ ｏ ｇ ２ ３＞ ４ ， 从而 ｆ （ ２＋ ｌ ｏ ｇ ２ ３ ）＝
． 厂 （ ）＝ ２ 一３ ．当 ＜ １时，由 于 ＋ １ ≥ １ ， 则
， ，
＿ ２ Ｉ
、
、
一
／
／
ｆ （ ｘ ） ＝ｌ ｇ （ １ ＋ 。 ） ≥ｆ （ Ｏ ） ＝０ ． 故， ｍ ｉ ） ＝２ 一３ ．
评 注 本 题主要考 查分段 函数 的求 值和最值 ． 此类题 目
例 ６（ ２ ０ １ ４年 全 国新 课标 卷 ） 设 函数
４ ３
解 令 ｚ＜ ０ ， 则 － Ｘ＞ ０ ， 所以 ， （ 一 ）＝ （ 一 ） 一
４ （ 一 Ｘ ）＝ 。 ＋４ ｘ ， 因为 ｆ （ ｘ ） 是定义在 上的奇 函数， 所 以， （ 一 ） ＝一 ， （ ∞ ） ， 即， （ ｚ ） ＝一 。 一４ ｘ ， 所以
像， 有的可以考虑图像 变换 得到．
2015年高考数学第一轮复习：分段函数的计算
2015年高考数学第一轮复习：分段函数的计算主编：宁永辉 主编单位：永辉中学生学习中心题型一：求函数值。
例一：【2009年文科数学山东卷，T7】定义在R 上的函数)(x f 满足=)(x f ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x ，则)3(f 的值为（ ）A 、1-B 、2-C 、1D 、2【解析】：因为：03>；所以：)1()2()3(f f f -= ①；因为：02>；所以：)0()1()2(f f f -= ②； 因为：01>；所以：)1()0()1(--=f f f ③；因为：00≤；所以：2)04(log )0(2=-=f ；因为：01≤-，所以：5log )]1(4[log )1(22=--=-f ； 把5log )1(,2)0(2=-=f f 代入③式中：5log 2)1()0()1(2-=--=f f f ；把2)0(,5log 2)1(2=-=f f 代入②式中：5log 25log 2)0()1()2(22-=--=-=f f f ； 把5log 2)1(,5log )2(22-=-=f f 式中：2)5log 2(5log )1()2()3(22-=---=-=f f f ；例二：【2009文科数学辽宁卷，T6】已知函数)(x f 满足：4≥x ，则xx f )21()(=；当4<x 时)1()(+=x f x f ，则=+)3log 2(2f （ ） A 、241 B 、121 C 、81 D 、83 【解析】：因为：43log 22<+；所以：)3log 3()3log 2(22+=+f f ；因为：43log 32>+；所以：2413181)21(81)21()21()21()3log 3(31log 3log 33log 322122=⨯=⨯=⋅==++f ； 所以：241)3log 3()3log 2(22=+=+f f ； 例三：【2010年文科数学湖北卷】已知函数3log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩则1(())9f f =A 、4B 、41 C 、4- D 、41- 【解析】因为：091>；所以：291log )91(3-==f ；)2())91((-=f f f ； 因为：02≤-；所以：412)2(2==--f ； 所以：41)2())91((=-=f f f ；0,lg >x x 例四：【2011年文科数学陕西卷】设=)(x f ，则=-))2((f f 。
函数专题：分段函数的6种常见考法-【题型分类归纳】
函数专题：分段函数的6种常见考法一、分段函数的概念若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数.【注意】分段函数是一个函数而不是几个函数二、分段函数问题解题思路1、分段求解时解决分段函数问题的基本原则；当求()0f x 的值时，要先判断0x 属于定义域中的“哪段”，然后再代入相应的解析式求解。
2、有关分段函数的不等式问题，要先按照分段函数的“分段”进行分类讨论，从而将问题转化为简单的不等式组来解。
3、已知分段函数，求参数值，往往要对含参数的自变量属于“哪段”进行分类讨论，然后再代入相应的解析式，列出方程求解，当出现()()f f a 的形式时，应从内往外依次求值。
4、求解分段函数参数的取值范围问题时，一般将参数当成已知，画出分段函数图象，根据函数图象列出满足要求的不等式（组）。
题型一 求分段函数值【例1】已知函数()2,222,2xx x f x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，则()1f =（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C【解析】当2x ≤时，()22x f x =+，()11224f ∴=+=，故选：C.【变式1-1】若()()231log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()()016f f +=_________.【答案】5【解析】因函数()()231log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，所以()()020163log 16145f f +=+=+=.【变式1-2】若函数()2321,3,log ,3,x x f x x x ⎧+<=⎨⎩则()()2f f =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【解析】因为()222219f =⨯+=，所以()()()329log 92f f f ===，故选：C.【变式1-3】已知函数()()21log 21,02,0,x x x f x x +⎧+>=⎨≤⎩，则()()2f f -=______.【答案】1【解析】由题意可得()11222f --==，所以()()21log 2122f f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭==-.题型二 根据分段函数值求参数【例2】已知函数()2,0,2,0.x x a x f x x ⎧+≤=⎨>⎩若()14f f ⎡⎤-=⎣⎦，且1a >-，则=a （ ） A ．12- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】C【解析】由题意知，2(1)(1)1f a a -=-+=+，又1a >-，所以10a +>，所以1[(1)](1)24af f f a +-=+==，解得1a =，故选：C【变式2-1】设函数21,1()2,1x a x x f x x -⎧+<=⎨≥⎩，若1124f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则=a _____________. 【答案】134【解析】因为21,1()2,1x a x x f x x -⎧+<=⎨≥⎩，所以21151224f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1124f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得5144f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以54124a -=，52422a --=， 所以524a -=-，得134a =，【变式2-2】设函数2,1(),1x a x f x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()()29f f -=，则实数a 的值为___________. 【答案】5【解析】()22f -=，()()()2249f f f a -==+=，解得：5a =.【变式2-3】（多选）已知()12,0,ln ,0,x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，若()()1f f a =，则实数a 的值可以为（ ）A ．1e 2- B ．12 C ．1 D ．e e 【答案】ACD【解析】因为()12,0,ln ,0,x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，()()1f f a =，所以当0a ≤时，()12>0f a a =-，所以()()()()12ln 121f f a f a a =-=-=， 所以12e a -=，解得1e 02a -=<，所以1e2a -=满足； 当01a <≤时，()ln 0f a a =≤，所以()()()ln 12ln 1f f a f a a ==-=， 所以ln 0a =，解得1a =，满足题意；当>1a 时，()ln >0f a a =，所以()()()()ln ln ln 1f f a f a a ===， 所以ln e a =，解得e e a =，满足题意； 故选：ACD.题型三 根据分段函数的单调性求参数【例3】若函数()()22212311x ax x f x a x x ⎧--+>⎪=⎨-+≤⎪⎩，，是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．213⎛⎤⎥⎝⎦，B ．215⎡⎫-⎪⎢⎣⎭， C ．23⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， D ．223⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【答案】D【解析】由题意得，1a -≤ 解得1a ≥-；230-<a ，解得23a >；当1x =时122231--+≤-+a a ，解得2a ≤. 综上得实数a 的取值范围为223a <≤.故选：D.【变式3-1】已知函数()()2,0112,0x x f x x x a x a x ⎧≤⎪=-⎨⎪--++>⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,0-B ．[]1,0-C ．()1,-+∞D ．[)1,-+∞ 【答案】B【解析】当0x ≤时，()1111x f x x x ==+--单调递减， ()f x 在R 上递减， 102a +∴-≤且()20010201a a ≥--+⨯+-， 解得10a -≤≤，故选：B .【变式3-2】已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围为（ ）A ．(),2-∞-B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．(],2-∞ D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】对任意的()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，()f x ∴在R 上单调递减，()22011222a a -<⎧⎪∴⎨⎛⎫-≥- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：138a ≤，即实数a 的取值范围为13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：B.【变式3-3】已知(6)4,1()log ,1a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩在区间-∞+∞（，）上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,6)B ．6[,6)5C ．6[1,]5D ．(1,)+∞ 【答案】B【解析】()f x 在-∞+∞（，）上为单调递增函数；601(6)14log 1a a a a a ->⎧⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩，解得665a ≤<；∴实数a 的取值范围为6[,6)5．故选：B ．【变式3-4】若2210()(1)(1)20axax x f x a a x ⎧+≥=≠⎨-⋅<⎩，在定义域(,)-∞+∞上是单调函数，则a 的取值范围_______. 【答案】((,21,2⎤-∞⎦.【解析】()f x 在定义域(,)-∞+∞上是单调函数，①函数的单调性是增函数时，可得当0x =时，()20121a -⋅≤即，211a -≤解之得22a -≤0x ≥时，21y ax =+是增函数，0a ∴>0x <时 2(1)2ax a -⋅是增函数，210a ∴->，得1a <-或1a >，综上实数a 的取值范围是12a <≤②函数的单调性是减函数时，可得当0x =时， ()20121a -⋅≥即211a -≥，解之得2a ≤2a ≥0x ≥时，21y ax =+是减函数，0a ∴<又0x <时， 2(1)2axa -⋅减函数，210a ∴->，得1a <-或1a >综上：实数a 的取值范围是2a ≤- 综上所述：a 的取值范围为((,21,2⎤-∞-⎦。
经典分段函数专题
经典分段函数专题高考真题类型一：与期有关 类型二：与单调性有关 类型三：奇偶性有关类型四：与零点和交点问题有关 类型五;与求导和函数性质有关 类型六：数形结合咼考真题2010IlX 已知函数心）』"+ 1'心°,则满足不等式/（1-X 2）>∕（2x ）的X 的围是1, XVo【解析】考查分段函数的单调性。
卩一XnXW （-1返-1） l-x 2>020112x + a,x < 1右√(l -α) = ∕(l + d), -x-2a,x≥ 1则a 的值为201210 .（程组求解）设/⑴是定义在R 上且期为2的函数，在区间上,UX +1» -1 ≤ .¥ < 0 >bx + 2八. 其中e beR •若/,0 ⅛ Λ ⅛ 1 > x + 1【解析】因为T = 2、所以/(-1) = /(1),求得2a+b = O.1 31 1由 =T = 2得/£)=于(一三，解得3" + ” = —2.IK （分类程求解）已知实数a≠0,函数/（x ）=/U) = 则a + 3b 的值为▲a = 2b = -4所以 a + 3b = -∖0. 2013H ・(分区间二次不等式求解)已知/(X)是定义在R 上的奇函数。
当x>0时,fw = x 2-4x,则不等式/(x) > X 的解集用区间表示为 __________________ -【答案】(-5, 0) U (5, + 8)【解析】做出f(x) = x 2-4x (x>0)的图像 如下图所示。
由于/(X)是定义在R 上的奇 函数,利用奇函数图像关于原点对称做出x< 0的图像n 不等式/(x) > X,表示函数y= /(X) 的图像在y=x 的上，观察图像易得：解集为(-5, 0) u(5, +8)。
201413.(期函数+数形结合求围)已知f(x)是定义在R 上且期为3的函数,当x∈[03) 时,f(x) =∣Λ-2-2x + l∣.g 函数y = f(x)-a 在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数H 的取值围是一 ▲. 【答案】(Om【解析】作出函数/U)=Λ∙2-2Λ + 1,X ∈[0,3)的图象，可见/(0) = 1 当x = l 时，1 7/(x)IK C /(3) = -.程f(x)-cι = °在x∈[-3,4]±有 10个零点，即函数y = fW 和图象与直线)=0在[-3,4]上有10个交点，由于函数/⑴的期为3,因此直线y = d 与 函数/(X)= Λ-2-2Λ + i,x∈[0,3)的应该是4个交点，则有6∕∈(0 i)2a + b = 03cZ 一2'解得2015 13.(绝对值分类讨论+数形结合求根个数)已知函数/(A)=IliixI,0,0 <x≤ 1亠S8W = ∖l , ZlI n 1.则程I/W+ ^(x) 1=1实根的个数为 12 _41—2,牙 > 1【答案】4【解析】由题意得：求函数r=/(A-)⅛τ=l-^∙)交点个数以及函数J- =∕(X) ⅛ι∙= -l-g(χ)交点个数之和, L0<x<L因⅜j'=l-5(χ)=7-r s x≥2 ,所以函顼尸/(工)与JyL-g(x)有两个交点，又X l-Ll <x< 2-LO<r<ly = -l-g(x> 5-Λ∖X≥2,所以函y = ∕(x)⅛τ=-l-^(x)W两个交点，因此共有4个交点.v a -3.1 < X<2【芳点定位】函数与方程【名师点暗】一些对数型方程不能直接求出其零点，常通过平移、对称变换转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法将程根的个数转化为对应函数零点个数，而函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数•这时函数图像是解题关键，不仅要研究其走势(单调性，极值点、渐近线等)，而且要明确其变化速度快慢.201611.(程求解)设f(*)是定义在R上且期为2的函数，在区间[71)上X + a,一ISXV(Xf(x)≈∖ 2V f上-1 O≤Λ<L5[Ij1则f(5a)的值是 ______________其中aeR.若/[-∣j = /【答案】；{ s∖ (9∖ 1 1 3*⅛2Γ⅛Γ^^2+" = iδ1则八夕3 2则/(56∕) = ∕(3) = ∕(-l) = -l + ^ = -l + - = -j2017 年r~ X^D14 •设/(X)是定义在R上且期为1的函数，在区间[OJ) ±l f(x) = [ 9 n其中集合X, X e D,D = {x∣x = -, n∈N*}t则程 /(X)-Igx = 0 的解的个数是▲ n【答案】8【解析】由于/(X)∈[0,1),则需考虑l≤x<10的情况，在此围，x∈Qfiχ∈D⅛, ⅛A∙=-√Λ<7∈N∖∕^≥2I且"4互质，P若IgXeQ l则由IgXe(0,1),可设lgx = -5m,n∈N∖∕n≥2l且加』互质, In因此IO-=^l则IO n=(V l此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg"Q, P P因此IgX不可能与每个期XeD对应的部分相等,只需考虑IgX与每个期X^D的部分的交点,画岀函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个期X^D的部分，且X = I处(Ig牙)'="=丄丁 <],则在x = l附近仅有一个交点,XlnIO InIO因此程/U)-IgX = O的解的个数为8・【考点】函数与程【名师点睛】对于程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值.结合函数的单调性、草图确定其中参数围・从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、期性等・由题意得彳弓个。
对高考真题中分段函数题型练习-含答案
对高考真题中分段函数考查的分类解析在高中数学考试大纲中，对分段函数的知识点有如下要求: (1)了解构成函数的要素会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(3)了解简单的分段函数，并能简单应用．(4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义; 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．(5)会运用函数图象理解和研究函数的性质．对近年来的高考试卷分析后，重点有以下三个考点，一、求简单的分段函数的函数值分段函数的求解过程，常要结合分段讨论和数形结合的思想，解题完成后再进行代入检验．例 1 (2015全国卷)设函数211log (2),1()2,1x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，则2(2)(log 12)f f -+=（ ）．A.3B.6C.9D.12 答案：C解析 由已知得2(2)1log 43f -=+=．又2log 121>， 所以22log 121log 62(log 12)226f -===．故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C.例2 (2015山东卷)设函数31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则满足()(())2f a f f a =的a 取值范围是（ ）．A.2[,1]3B.[0,1]C.2[,)3+∞ D.[1,)+∞ 答案：C解析 当1a ≥时，()21af a =>，所以，()(())2f a f f a =，即1a >符合题意．当1a <时，()31f a a =-，若()(())2f a f f a =，则()1f a ≥，即311a -≥，23a ≥，所以213a ≤<． 综上：a 取值范围是2[,)3+∞．例3 (2017全国卷)设函数1,0()2,0x x x f x x +≤⎧=⎨<⎩，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是 ．答案：1(,)4-+∞解析 令1()()()2g x f x f x =+-， 当0x ≤时，13()()()222g x f x f x x =+-=+，当102x <≤时，11()()()222xg x f x f x x =+-=++， 当12x >时，11()()()1)22x g x f x f x -=+-=．写成分段函数的形式：132,02111()()()2,022211)2,2x x x x g x f x f x x x x -⎧+≤⎪⎪⎪=+-=++<≤⎨⎪⎪>⎪⎩，函数()g x 在区间(,0]-∞，1(0,]2，1(,)2+∞三段区间内均单调递增，且1()14g -=，012012++>，011)21-⨯>，据此x 的取值范围是1(,)4-+∞．点评 例题1相对比较简单，是基本知识点考查，属于送分题，需要留意的是对数计算时要细心．例题2为分情况讨论，分别当1a ≥时和当1a <时进行计算，最后结合二种情况得出结论，考查了考生对函数基本概念的掌握程度．同时也对指数函数和不等式进行了考查，属于一个综合题．例题3也是对0x ≤时，102x <≤和12x >时的情况进行了讨论，并写成了分段函数形式，最终得出了x 的取值范围．从计算量和知识点多少上来说，该题有一定的难度．二、求分段函数的单调性函数函数的单调性是关于函数的一个重点考查角度，由于对分段函数的单调性的考查题目设置角度丰富，涵盖的知识点具有多样性和灵活性，因此相关的题目也丰富多彩．例1 (2016天津卷)已知函数2(43)3,0()log (1)1,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩(0a >且1a ≠)在R上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）．A.2(0,]3B.23[,]34C.123[,]334⎧⎫⎨⎬⎩⎭U D.123[,)334⎧⎫⎨⎬⎩⎭U 答案：C解析 由()f x 在R 上单调递减，则20143020(43)03log(01)1a a a a a <<⎧⎪-⎪-≥⎨⎪⎪+-⨯+≥++⎩， 解得1334a ≤≤．由图象可知，在[0,)+∞上，()2f x x =-有且只有一个解，故在(,0)-∞上，()2f x x =-同样有且只有一个解．当32a >，即23a >时，联立2(43)32x a x a x +-+=-，则2(43)4(32)0a a ∆=---=，解得34a =或1a =(舍去).当132a ≤≤时，由图象可知，符合条件．综上选C ．例2 (2018全国卷)已知函数2,0()1,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是（ ）．A.(,1]-∞B.(0,)+∞C.(1,0)-D.(,0)-∞解析 题中给出两个函数值的大小，由此求出自变量的范围，根据此题目中分段函数的图象的变化情况，可直接得出符合题目要求的自变量需要满足条件：2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <.选D ．点评 例题一给出了分段函数的单调性，要求符合题意的参数范围，例题二给出了两个函数值的大小，要求得出自变量的范围，这类型题目都是在考查给定函数的变化情况，也就是函数的单调性，研究分段函数的单调性，首先需要确定在不同范围上各个初等函数的变化情况，然后再结合分段函数的单调性判断各段函数的临界点需要满足的约束条件，需要同学们对基本初等函数的研究到位并且具有从局部到整体的解决问题的角度．三、求分段函数的值域对分段函数的值域的考查可以看作是对分段函数单调性的考查的一个延伸，是在对分段函的变化情况的 研究后对函数值的范围的判断，常常也需要对分段函数的图象有基本的把握．例1 (2016北京卷)设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩．①若0a =，则()f x 的最大值为 ；②若()f x 无最大值，则实数的取值范围是 ． 答案：2，(,1)-∞-．解析 求分段函数的最值时，应从局部到整体，根据自变量的范围选择相应的解析式，先确定每个解析式在相应范围上的最值，再整体比较得出分段函数的最值．含有参数的问题，还需要有对图象进行变化的能力．例1 (2015福建卷)若函数6,2()3log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩(0a >且1a ≠)的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是 ． 答案：(1,2]．解析 当2x ≤，故64x -+≥，要使得函数()f x 的值域为[4,)+∞，只需1()3log (2)a f x x x =+>的值域包含于[4,)+∞，故1a >，所以1()3log 2a f x >+，所以3log 24a +≥，解得12a <≤，所以实数的取值范围是(1,2]．点评 例题2考查分段函数的值域问题，是一个需要逆向思维的问题，分段函数的问题需要分段讨论，其中每个范围中得到的解集必须是相应范围的子集，最终答案应是各个范围下解的集合的并集，此类题目题型传统，解答方法单一，属于中档题目．。
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Ｃ． 卜 ，＋ ∞ ）
ｊ
２
解 ① 因为 当 ＜ １时
增， 且 ）＜ １ ） ＝２ ； 当 ≥ １ 时
中学 数学 杂志
２ ０ １ ５年第 ９期
值 范 围是 （
） ．
，
＜
≤ ，
Ａ ． （ ÷ ， ＋ ∞ ） Ｂ ． （ 一 。 。 ， ； ）
７ ７
范 围内， 有不同的对应法则 的函数 ， 它是一个 函数 ，
却 经 常被学 生 误认 为 是 几个 函数 ； 它 的 定 义 域 是各
段 函数定义域 的并集 ， 其值域也是各段 函数值域 的
并集． 分 段 函数 情 形 复 杂 、 综合性 强 ， 能 有 效 考 查 复 杂 函数 的图象 和性 质 ， 综 合考 查 函数 方程 思 想 、 数形
） ＝ ２ Ａ 一３ ． 若 ＜１ ， 则 ） ＝ ｌ ｇ （ ｘ ＋１ ） ≥ ０ ）
＝ ０．
综上可知
）的最小值是 ２ √ ２—３ ．
点评 本题主要考查分段函数 的求值和最值． 分段函数 的最小 （ 大 ）值是各段 函数最 小 （ 大 ）值
（ 如果有最小值或最大值 ）中的最小 （ 大） 者．
—
—
的最 小值是
１ ） ＝０ ．
． 一３ ） ） ＝ ０ ． 由 符 号 函 数 的 定 义 知， ｓ ｇ ｎ ［ ｇ （ ｘ ） ］ ＝
ｒ １ ， ｇ （ ）＞ ０ ， ｒ １ ， ＜０ ， ｒ 一１ ， ＜０ ，
解 因 为 一３ ） ＝ｌ ｇ ｌ Ｏ：１ ， 所 以
ｌ ｎ ｘ≥０且单 调递减 ； 当 １＜ ＜２时 ， ｈ （ ） ＝ｌ ｎ ｘ— ＋２单 调递 减 ， ｈ （ ２ ） ＜ｈ （ ｘ ）＜ ｈ （ １ ） ， 即ｌ ｎ ２—２ ＜ ｈ （ ｘ ）＜ １ ； 当 ≥ ２ 时， ｈ （ ｘ ） ＝ ｌ ｎ ｘ＋ 一６ 单 调递 增 ， ｈ （ ）≥ （ ２ ） ＝ｌ ｎ ２—２ ． 据 此 先画 出 函数 ｙ＝ｈ （ ｘ ）的 图象 如 图 ５ 所示 ， 再 将其 图象 在 轴下 方 的部分 翻折
若 ≥ １ ， 则 （ ） ＝
， 当 １＜ ＜
时，
｛ ０ ， ｇ （ ） ＝ ０ ， ＝ ｛ ０ ， ＝ ０ ， ＝ 一｛ ０ ， ＝ ０ ， 即
Ｉ 一１ ， ｇ （ ）＜０ ， ｌ 一１ ， ＞０ ， Ｉ １ ， ＞０ ，
厂（ ）＜０ ； 当 ＞√ ２时 （ ）＞０ ， 所以 ） ｉ ＝
中学数 学杂 志
２ ０ １ ５年 第 ９期
霸 ４ ‘ 弱酝
６
羁％９
分 段 函数— — ２ Ｏ １ ５年 高 考 中的 热点 题 型
湖北省 阳新 县 高级 中学 分 段 函数 是指 自变 量在 两个 或两 个 以上不 同的 ４ ３ ５ ２ ０ ０ 邹生 书
递增 ， 且 ）＞ ４ ， 即 ０＞ １ 且 ３＋ｌ ｏ ｇ 。 ２≥４ ， 解得 １
窖 （ ） ＝ ？ Ｌ 一 ＋ ２ ， １ ＜ ＜ ２ ，
一
பைடு நூலகம்
６． ≥ ２． ｒ —ｌ ｎ ｘ， ０ ＜ ≤ １，
Ｃ ・ （ ０ ， ÷ ） Ｄ ． （ ÷ ２ ）
解 因 ） ＝
２
ｒ ＋ ２， ＜０ 。
于是／ （ ． ）＋ ｇ （ Ｘ ） ＝ Ｊ ｌ ｎ ｘ— ＋２ ， １＜ ＜２ ，
域， 根据 函数的单调性和值域列不等式组是问题解
例３ （ 湖北 卷 第 ６题 ）已知 符 号 函数 ｓ ｇ ｎ ｘ＝
ｆ ｌ ， ＞０ ，
结合思想 、 化归转化思想和分类讨论思想 ， 因此分段
函数倍受高考命题人青 睐 ， 是历年高考 中的热点题
型． 在２ ０ １ ５年高考 的全国各省市 １ ５份理科试卷 中 有 ８份 试卷 考查 了分 段 函数 ， 这 ８道 题 目均 为客 观
、
Ｂ ． ［ ０ ， １ ］ Ｄ ． ［ １ ，十。 。） ） ＝３ ｘ一 １ 单 调递 ） ＝２ 单 调递
５ ７
，
∞） ， 则实数 口的取值范 围是
解 因为 当 ≤ ２时 ） ＝一 ＋６≥ ４ ， 而 函 ） 单 调 数 ）的值 域是 ［ ４ ， ＋∞ ） ， 故 当 ＞２ 时
加以解析 ， 供参考．
例 １ （ 浙江卷 第 ｌ ０题 ） 已 知 函 数 ）＝
）
Ｃ ． ｓ ｇ ｎ ［ ｇ （ ｘ ） ］＝ｓ ｇ ｎ ［ ｆ （ ） ］
｛ Ｉ ＋ 二 一３ ， ≥ｌ ， ’ 则
【 ｌ ｇ （ ＋１ ） ， ＜１ ，
一
３ ） ）＝
当 ＞ ０时 ， ＜０ ， 则厂 （ ）＜， （ 口 ） ， 从而 ｇ （ ｘ ）＜ ０ ； 当 ＝０ 时， ＝ ， 则 ） ＝ ０ ） ， 从 而ｇ （ ｘ ） ＝ ０ ；
例 ２ （ 福建卷 第 １ ４ 题 ） 若 函 数 ）＝
｛ ’ ， ＜ 则 满 足 口 ） ） ＝ ２ ， （ 的 。 的 取 值 范
Ａ ． ［ ２
，
｛ ３ － ＋ ｘ ｌ ＋ 。 ｇ ６
，
。
ｘ
（ 。＞。 ， 且 ｎ≠ １ ） 的值域是 ［ ４ ， ＋
ｊ
１ ］
题 且 大多 为客 观题 中的 压 轴题 ， 分 段 函数 成 为 ２ ０ １ ５ 年 高考 中一 道 亮 丽 的风 景 线 ． 下 面 对 这 ８道 考 题 一
一
｛ ０ ， ： ０ ，
） 是 Ｒ上的增函数， ｇ （ ｘ ） ： 厂 （ ）一
【 一 １ ， ＜ ０ ．
Ａ ． ｓ ｇ ｎ ［ ｇ （ ｘ ） ］＝ｓ ｇ ｎ ｘ
【 ｌ ｎ ＋ ｘ ２ — ６ 。 ≥ ２ ．
设ｈ （ ｘ ）ｆ （ ｘ ）＋ｇ （ ｘ ） ， 当 ０＜ ≤ １ 时， （ ） ＝ 一
｛ 一 ＋２ ， ０ ≤ ≤２ 【 （ 一２ ） ， ＞２
ｒ 一 ＋ ４， ＞ ２
所 以
２ 一 ） ＝