(新课标)2017春高中数学第2章数列2.3等比数列第2课时等比数列的性质课时作业新人教B版必修5资料

2017春高中数学 第2章 数列 2.3 等比数列 第2课时 等比数列的性质课时作业 新人教B 版必修5基 础 巩 固一、选择题1．在等比数列{a n }中，a 4＋a 5＝10，a 6＋a 7＝20，则a 8＋a 9等于导学号 27542444( D ) A ．90 B ．30 C ．70 D ．40[解析] ∵q 2＝a 6＋a 7a 4＋a 5＝2， ∴a 8＋a 9＝(a 6＋a 7)q 2＝20q 2＝40.2．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是导学号 27542445( D ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列[解析] 设等比数列的公比为q ，∵a 6a 3＝a 9a 6＝q 3， ∴a 26＝a 3a 9，∴a 3，a 6，a 9成等比数列，故选D ．3．等比数列{a n }各项为正数，且3是a 5和a 6的等比中项，则a 1·a 2·…·a 10＝导学号 27542446( B )A ．39B ．310C ．311D ．312[解析] 由已知，得a 5a 6＝9，∴a 1·a 10＝a 2·a 9＝a 3·a 8＝a 4·a 7＝a 5·a 6＝9， ∴a 1·a 2·…·a 10＝95＝310.4．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝导学号 27542447( A )A ．5 2B ．7C ．6D ．4 2[解析] ∵a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，且{a n }是各项均为正数的等比数列，∴a 2＝35，a 8＝310.∴a 8a 2＝32，即q 6＝32.∴q 3＝62. ∴a 4a 5a 6＝a 35＝(a 2q 3)3＝(35×62)3＝5 2.5．(2015·新课标Ⅱ文，9)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝导学号 27542448( C )A ．2B ．1C ．12D ．18[解析] 解法一：根据等比数列的性质，结合已知条件求出a 4，q 后求解． ∵a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8，∴q ＝2.∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C ．解法二：直接利用等比数列的通项公式，结合已知条件求出q 后求解． ∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12，故选C ．6．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10导学号 27542449( B )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35[解析] 由题意可知a 5a 6＝a 4a 7， 又a 5a 6＋a 4a 7＝18得a 5a 6＝a 4a 7＝9，而log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·…·a 10) ＝log 3(a 5a 6)5＝log 395＝log 3310＝10. 二、填空题7．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是 4. 导学号 27542450[解析] 设公比为q ，因为a 2＝1，则由a 8＝a 6＋2a 4得q 6＝q 4＋2q 2，q 4－q 2－2＝0，解得q 2＝2，所以a 6＝a 2q 4＝4.在等比数列中a n ＝a m ·qn －m.8．已知等比数列{a n }的公比q ＝－13，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8等于－3.导学号 27542451[解析]a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＋a 7q ＝1q＝－3.三、解答题9．等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝216，求a n .导学号 27542452 [解析] ∵a 1a 2a 3＝a 32＝216，∴a 2＝6，∴a 1a 3＝36， 且a 1＋a 3＝21－a 2＝15.∴a 1、a 3是方程x 2－15x ＋36＝0的两根， 解方程，得x 1＝3，x 2＝12. 当a 1＝3时， q ＝a 2a 1＝2，a n ＝3·2n －1(n ∈N ＋)；当a 1＝12时，q ＝12，a n ＝12·(12)n －1(n ∈N ＋)．10．三个正数构成等比数列，它们的积是27，平方和为91，求这三个数.导学号 27542453[解析] 设三数为a q，a ，aq ，则⎩⎪⎨⎪⎧a q ·a ·aq ＝27 ① a q 2＋a 2＋a 2q 2＝91 ②由①得a ＝3，代入②中得q ＝±3或q ＝±13，∵三个数为正数，∴q >0，∴q ＝3或13.当q ＝3时，三数为1,3,9； 当q ＝13时，三数为9,3,1.综上知，这三个数为1,3,9.能 力 提 升一、选择题1．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于导学号 27542454( B )A ．210B ．220C ．216D ．215[解析] 设A ＝a 1a 4a 7…a 28，B ＝a 2a 5a 8…a 29，C ＝a 3a 6a 9…a 30，则A 、B 、C 成等比数列，公比为q 10＝210，由条件得A ·B ·C ＝230，∴B ＝210， ∴C ＝B ·210＝220.2．如果数列{a n }是等比数列，那么导学号 27542455( A ) A ．数列{a 2n }是等比数列 B ．数列{2a n }是等比数列 C ．数列{lg a n }是等比数列 D ．数列{na n }是等比数列[解析] 设b n ＝a 2n ，则b n ＋1b n ＝a 2n ＋1a 2n ＝(a n ＋1a n)2＝q 2，∴{b n }成等比数列；2a n ＋12a n ＝2a n ＋1－a n ≠常数；当a n <0时lg a n 无意义；设c n ＝na n ， 则c n ＋1c n ＝ n ＋1 a n ＋1na n ＝ n ＋1 q n≠常数． 3．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为导学号 27542456( D )A ．9B ．1C ．2D ．3[解析] a 3a 5a 7a 9a 11＝a 51q 30＝243，∴a 29a 11＝ a 1q 8 2a 1q10＝a 1q 6＝5243＝3. 4．已知2a ＝3,2b ＝6,2c＝12，则a ，b ，c 导学号 27542457( A ) A ．成等差数列不成等比数列 B ．成等比数列不成等差数列 C ．成等差数列又成等比数列 D ．既不成等差数列又不成等比数列[解析] 解法一：a ＝log 23，b ＝log 26＝log 2 3＋1，c ＝log 2 12＝log 2 3＋2.∴b －a ＝c －b .解法二：∵2a·2c＝36＝(2b )2，∴a ＋c ＝2b ，∴选A ．二、填空题5．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝16.导学号 27542458[解析] ∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27 ＝4a 7－a 27＝0，∵b 7＝a 7≠0，∴b 7＝a 7＝4.∴b 6b 8＝b 27＝16.6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是3或27.导学号 27542459[解析] 设此三数为3、a 、b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋ba －6 2＝3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15b ＝27.∴这个未知数为3或27. 三、解答题7．{a n }为等比数列，且a 1a 9＝64，a 3＋a 7＝20，求a 11.导学号 27542460 [解析] ∵{a n }为等比数列，∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64，又a 3＋a 7＝20， ∴a 3、a 7是方程t 2－20t ＋64＝0的两个根． ∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4， 当a 3＝4时，a 3＋a 7＝a 3＋a 3q 4＝20， ∴1＋q 4＝5，∴q 4＝4.当a 3＝16时，a 3＋a 7＝a 3(1＋q 4)＝20， ∴1＋q 4＝54，∴q 4＝14.∴a 11＝a 3q 8＝64或1.8．设{a n }是各项均为正数的等比数列，b n ＝log 2a n ，若b 1＋b 2＋b 3＝3，b 1·b 2·b 3＝－3，求此等比数列的通项公式a n .导学号 27542461[解析] 由b 1＋b 2＋b 3＝3，得log 2(a 1· a 2·a 3)＝3， ∴a 1·a 2·a 3＝23＝8，∵a 22＝a 1·a 3，∴a 2＝2，又b 1·b 2·b 3＝－3，设等比数列{a n }的公比为q ，得log 2(2q)·log 2(2q )＝－3.∴1－(log 2q )2＝－3，∴log 2q ＝±2.解得q ＝4或14，∴所求等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2·q n －2＝22n －3或a n ＝25－2n .9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式.导学号 27542462[解析] 设{a n }的公差为d .由S 3＝a 22，得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得S 22＝S 1S 4. 又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ， 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意； 若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1.。