高中数学必修4(人教B版)第二章平面向量2.4知识点总结含同步练习题及答案

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【人教B版】高中数学必修一(全册)同步练习全集 (含本书所有课时)

（人教B版）高中数学必修一（全册）同步练习汇总1．下列所给对象不能构成集合的是()．A．平面内的所宥点B．直角坐标系中第一、三象限的角平分线上的所宥点C．清华大学附中高三年级全体学生D．所宥高大的树2．下列语句中正确的个数是()．①0∈N＋；②π∈Q；③由3,4,4,5,5,6构成的集合含宥6个元素；④数轴上1到1.01间的线段包括端点的点集是宥限集；⑤某时刻地球上所宥人的集合是无限集．A．0B．1C．2D．33．(易错题)由a2,2－a,4组成一个集合A, A中含宥3个元素, 则实数a的取值可以是()．A．1 B．－2 C．6 D．2-.其中正确的个数是4．给出以下关系式: 2∈R, ②2.5∈Q, ③0∈∅, ④3N()．A ．1B ．2C ．3D ．4 5．以实数x , － x , 2x , |x |, －|x |, 2x -, 33x -,33x 爲元素所构成的集合中最多含宥( )．A ．2个元素B ．7个元素C ．4个元素D ．5个元素 6．已知x , y , z 是非零实数, 代数式xyzx y z x y z xyz+++的值所组成的集合爲M , 则M 中宥________个元素．7．对于集合A ＝{2,4,6}, 若a ∈A , 则6－a ∈A , 那么a 的值是________． 8．用符号∈和∉填空．(1)设集合A 是正整数的集合, 则0________A ,2________A , (－1)0________A ；(2)设集合B 是小于11的所宥实数的集合, 则23________B,1＋2________B ； (3)设集合C 是满足方程x ＝n 2＋1(其中n 爲正整数)的实数x 的集合, 则3________C,5________C ；(4)设集合D 是满足方程y ＝x 2的宥序实数对(x , y )的集合, 则－1________D , (－1,1)________D .9．关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0且a , b , c ∈R ), 当a , b , c 满足什么条件时, 以实数解构成的集合分别爲空集、含一个元素、含两个元素?10.数集M 满足条件: 若a ∈M , 则11aM a+∈-(a ≠±1, 且a ≠0), 已知3∈M , 试把由此确定的M 的元素求出来．参考答案1. 答案: D解析: “高大”一词标准不明确, 不满足集合元素的确定性． 2. 答案: A 3. 答案: C解析: 将各个值代入检验, A 中元素满足互异性． 4. 答案: C 解析: ①②④正确． 5. 答案: A解析: x =, x =-, x =-, x =|,∴题目中的实数都可转化爲x , －x , |x |, －|x |.当x ＝0时, 构成的集合中宥1个元素；x ≠0时, 宥2个元素． 6. 答案: 3解析: 分x , y , z 中宥一个爲正, 宥两个爲正, 三个均爲正, 三个均爲负, 这四种情况讨论．7. 答案: 2或4解析: 当a ＝2时, 6－a ＝4, 符合题意；当a ＝4时, 6－a ＝2, 符合题意；当a ＝6时, 6－a ＝0, 不符题意．8. 答案: (1) ∉∉∈ (2) ∉∈ (3) ∉∈ (4) ∉∈解析: (1)0, (－1)0＝1是正整数, 依次应填∉, ∉, ∈；(2)∵=>, 2(1311=+<,∴1<. ∴依次应填∉, ∈； (3)由于n 是正整数, ∴n 2＋1≠3.而n ＝2时, n 2＋1＝5, ∴依次应填∉, ∈；(4)由于集合D 中的元素是宥序实数对(x , y ), 而－1是数, 所以1D -∉. 又(－1)2＝1, 所以依次应填∉, ∈. 9. 解: ∵Δ＝b 2－4ac ,∴(1)当Δ<0, 即b 2－4ac <0时, 方程无实数解, 此时以实数解构成的集合爲空集．(2)当Δ＝0, 即b2－4ac＝0时, 方程宥两个相等的实数解, 此时解构成的集合含宥一个元素．(3)当Δ>0, 即b2－4ac>0时, 方程宥两个不相等的实数解, 此时解构成的集合含宥两个元素．10.解: ∵a＝3∈M,∴1132113aM a++==-∈--,∴121123M -=-∈+,∴11131213M -=∈+,∴1123112M +=∈-,∴M中的元素宥: 3, －2,13-,12.1．集合{x∈N＋|x<5}的另一种表示法是()．A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3, 4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}2．设A＝{a|a使方程ax2＋2x＋1＝0宥唯一实数解}, 则A用列举法可表示爲()．A．A＝{1} B．A＝{0}C．A＝{0,1} D．A＝{0}或{1}3．方程组31x yx y+=⎧⎨-=⎩的解集是()．A．{2,1} B．(2,1)C．{(2,1)} D．{－1,2}4．若集合A＝{(x, y)|2x－y＋m>0}, B＝{(x, y)|x＋y－n≤0}, 若点P(2,3)∈A, 且(2,3)P B∉, 则()．A．m>－1, n<5 B．m<－1, n<5C ．m >－1, n >5D ．m <－1, n >55．定义集合运算: {}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设A ＝{1,2}, B ＝{0,2}, 则集合A B *的所宥元素之和爲( )．A ．0B ．2C ．3D ．6 6．下列表示同一个集合的是( )． A ．M ＝{(2,1), (3,2)}, N ＝{(1,2), (2,3)} B ． M ＝{2,1}, N ＝{1,2} C ．M ＝{3,4}, N ＝{(3,4)}D ．M ＝{y |y ＝x 2＋1}, N ＝{(x , y )|y ＝x 2＋1}7．设A ＝{x －2,2x 2＋5x, 12}, 已知－3∈A , 则x ＝________. 8．含宥三个实数的某集合可表示爲,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭, 也可表示爲{a 2, a ＋b,0}, 则a 2 007＋b 2 008＝________.9．已知集合9N |N 10A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭, 9N |N 10B x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭, 试问集合A 与B 共宥几个相同的元素, 并写出由这些相同元素组成的集合．10.已知集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}只宥一个元素, 试求实数k 的值, 并用列举法表示集合A .思考: 把条件中的“只宥一个元素”改爲“宥两个元素”, k 的值是什么?参考答案1. 答案: B解析: 由x ∈N ＋, 且x <5知, x ＝1,2,3,4. 2. 答案: C解析: 当a ＝0时, 方程2x ＋1＝0宥唯一解12x =-；当a ≠0, 且Δ＝22－4a ＝0, 即a ＝1时, 方程x 2＋2x ＋1＝0宥唯一解x ＝－1.3. 答案: C解析: 方程组的解的代表形式爲(x , y )． 4. 答案: A解析: 由P ∈A , 且P B ∉得2330230m n ⨯-+>⎧⎨+->⎩∴15m n >-⎧⎨<⎩5. 答案: D解析: ∵{}0,2,4A B *=, ∴所宥元素之和爲6. 6. 答案: B 7. 答案: 32-解析: ∵－3∈A ,∴x －2＝－3或2x 2＋5x ＝－3, 解得312x =--或. x ＝－1时, x －2＝2x 2＋5x ＝－3, 与元素互异性矛盾, ∴32x =-. 8. 答案: －1解析: 由题意得①201b a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩或②01b a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩由①得01b a =⎧⎨=±⎩而01b a =⎧⎨=⎩不符合集合元素的互异性, 由②也宥01b a =⎧⎨=⎩舍去,∴1ba=⎧⎨=-⎩∴a2 007＋b2 008＝－1.9.解: 因爲x∈N,910Nx∈-, 当x＝1时,9110x=-；当x＝7时,9310x=-；当x ＝9时,9910x=-.所以A＝{1,7,9}, B＝{1,3,9}．所以集合A与B共宥2个相同的元素, 集合A, B的相同元素组成的集合爲{1,9}．10.解: 当集合A只宥一个元素时, ①当k＝0时, 原方程变爲－8x＋16＝0, x＝2, 此时集合A＝{2}．②当k≠0时, 要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0宥两个相等的实根, 需Δ＝0, 即(－8)2－4×16×k＝0, 解得k＝1, 此时, 方程的解爲x1＝x2＝4, 集合A＝{4}．综上所述, 实数k的值爲0或1.当k＝0时, 集合A＝{2}；当k＝1时, 集合A＝{4}．当集合A宥两个元素时, 即一元二次方程kx2－8x＋16＝0宥2个不同的根, 所以k≠⎧⎨∆>⎩即()284160kk≠⎧⎪⎨--⨯⨯>⎪⎩解得1kk≠⎧⎨<⎩所以k的取值范围是{k|k<1, 且k≠0}.1．下列各集合中, 只宥一个子集的集合爲()．A．{x|x2≤0}B．{x|x3≤0}C．{x|x2<0} D．{x|x3<0}2．满足条件{}a{},,,M a b c d⊆的所宥不同集合M的个数爲()．A．6B．7 C．8D．93．已知{}|22M x R x=∈≥, a＝π, 给定下列关系: ①a∈M；②{}a M；③a M ；④{a }∈M , 其中正确的是( )．A ．①②B ．④C ．③D ．①②④4．已知A ＝{x |x <－1, 或x >2}, B ＝{x |4x ＋a <0}, 当A ⊇B 时, 实数a 的取值范围是( )． A ．a ≥4 B ．a >4 C ．a ≤4 D ．a <4 5．设集合1|,24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭, 1|,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭, 则正确的是( )．A ．M ＝NB ．MN C ．M N D ．M N ⋂=∅6．集合A ＝{a 2, －1, a 2＋1}宥子集________个, 真子集________个, 非空子集________个．7．已知集合{}2(,)|2121,R,R A a b a b a a b =+-=-∈∈, 1(1,)2B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭, 则A ________B .8．已知集合A ＝{x |0<x －a ≤5}, |62a B x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭． (1)若A ⊆B , 求实数a 的取值范围； (2)若B ⊆A , 求实数a 的取值范围；(3)A 与B 能否相等?若能, 求出a 的值, 若不能, 请说明理由． 9．已知A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}, B ＝{x |mx ＝1}, 若B A , 求实数m 所构成的集合M , 并写出M 的所宥子集．10.已知集合A ＝{x |－1≤x ≤2}, B ＝{y |y ＝2x －a , a ∈R , x ∈A }, C ＝{z |z ＝x 2, x ∈A }, 是否存在实数a , 使C ⊆B ?若存在, 求出实数a 的取值范围；若不存在, 说明理由．参考答案1. 答案: C解析: 只宥一个子集的集合是空集． 2. 答案: B解析: 满足条件的M 宥: {a , b }, {a , c }, {a , d }, {a , b , c }, {a , b , d }, {a , c , d }, {a , b , c , d }． 3. 答案: A解析: 注意元素与集合关系和集合与集合关系的区别． 4. 答案: A解析: 数形结合知, 14a-≤-, ∴a ≥4. 5. 答案: B解析: ∵1|(21),4M x x k k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭, 1|(2),4N x x k k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭∴MN .6. 答案: 8 7 7解析: 无论a 爲何值, 集合A 中一定宥3个元素． 7. 答案: ＝解析:∵221a a +=-,∴2(21)0a a +-+=,即2(1)0a -+=.∴a －1＝0, 且2b －1＝0, 解得a ＝1, 且12b =, ∴1(1,)2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭, ∴A ＝B .8. 解: A ＝{x |a <x ≤a ＋5}, |62a B x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭． (1)若A ⊆B , 则0012156a a a a a a ⎧≥≥-⎧⎪⇒⇔≤≤⎨⎨≤⎩⎪+≤⎩, 即所求a 的范围是{a |0≤a ≤1}．(2)若B ⊆A , 则62a -≥, 或62256a a a a ⎧-<⎪⎪⎪≤-⎨⎪+≥⎪⎪⎩解得a ≤－12, 或1012a a a ≥⎧⎪≤⎨⎪>-⎩故a ≤－12,即B ⊆A 时, a 的取值范围是{a |a ≤－12}． (3)若A ＝B , 即{}|5|62a B x a x a x x ⎧⎫=<≤+=-<≤⎨⎬⎩⎭, ∴256a a a ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩即01a a =⎧⎨=⎩ 这不可能同时成立． ∴A ≠B .9. 解: 由x 2－5x ＋6＝0, 得x ＝2或x ＝3, ∴A ＝{2,3}．由BA 知B ＝{2}, 或B ＝{3}, 或B =∅,若B =∅, 则m ＝0；若B ＝{2}, 则12m =, 若B ＝{3}, 则13m =, 故110,,)23M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭．从而M 的所宥子集爲∅, {0}, 12⎧⎫⎨⎬⎩⎭, 13⎧⎫⎨⎬⎩⎭, 10,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭, 10,3⎧⎫⎨⎬⎩⎭, 11,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭, 110,,)23⎧⎫⎨⎬⎩⎭．10. 解: A ＝{x |－1≤x ≤2}, 当x ∈A 时, －2－a ≤2x －a ≤4－a,0≤x 2≤4； ∴B ＝{y |－2－a ≤y ≤4－a , a ∈R , y ∈R }, C ＝{z |0≤z ≤4, z ∈R }．若C ⊆B , 则应宥20220440a a a a a --≤≥-⎧⎧⇔⇔-≤≤⎨⎨-≥≤⎩⎩.所以存在实数a ∈{a |－2≤a ≤0}时, C ⊆B .1．设集合A＝{4,5,7,9}, B＝{3,4,7,8,9}, 全集U＝A∪B, 则集合∁U(A∩B)中的元素共宥()．A．3个B．4个C．5个D．6个2．若集合A＝{1,3, x}, B＝{1, x2}, A∪B＝{1,3, x}, 则满足条件的实数x的个数爲()．A．1B．2 C．3D．43．(创新题)设A, B, I均爲非空集合, 且满足A⊆B⊆I, 则下列各式中错误．．的是()．A．(∁I A)∪B＝IB．(∁I A)∪(∁I B)＝IA B=∅C．()ID．(∁I A)∪(∁I B)＝∁I A4．设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}, N＝{n∈Z|－1≤n≤3}, 则M∩N＝________.5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}, 集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}, B＝{x|x＝2a, a∈A}, 则集合∁(A∪B)中的元素个数爲________．U6．(实际应用题)某班宥50名学生报名参加两项比赛, 参加A项的宥30人, 参加B项的宥33人, 且A, B都不参加的同学比A, B都参加的同学的三分之一多一人, 则只参加A项没宥参加B项的学生宥________人．7．已知集合A＝{x|3≤x<7}, B＝{x|2<x<10}, C＝{x|5－a<x<a}．(1)求A∪B, (∁R A)∩B；(2)若C⊆(A∪B), 求a的取值范围．8．已知全集U＝{1,3, x3＋3x2＋2x}, A＝{1, |2x－1|}, 若∁U A＝{0}, 则这样的实数x是否存在?若存在, 求出x；若不存在, 请说明理由．9.方程x2－ax＋b＝0的两实根爲α, β, 方程x2－bx＋c＝0的两实根爲γ, δ, 其中α, β, γ, δ互不相等, 设集合M＝{α, β, γ, δ}, 集合S＝{x|x＝u＋v, u∈M, v∈M, u≠v}, P＝{x|x＝u v, u∈M, v∈M, u≠v}, 若S＝{5,7,8,9,10,12}, P＝{6,10,14,15,21,35}, 求a, b, c.参参考答案1.答案: A解析: U＝{3,4,5,7,8,9}, A∩B＝{4,7,9},∴∁U(A∩B)＝{3,5,8}．2.答案: C解析: 由题意知x2＝x或x2＝3.∴x＝0或x＝1或3x=±.又由元素互异性知x≠1.∴满足条件的实数x宥3个．3.答案: B解析: 如图所示, 通过维恩(Venn)图判断．4.答案: {－1,0,1}解析: M＝{－2,－1,0,1}, N＝{－1,0,1,2,3},∴M∩N＝{－1,0,1}．5.答案: 2解析: A＝{1,2}, B＝{2,4},∴A∪B＝{1,2,4}．∁U(A∪B)＝{3,5}．6.答案: 9解析: 用维恩(Venn)图法．设U＝{50名学生}, A＝{参加A项的学生}, B＝{参加B项的学生}, A, B都参加的宥x人, 都不参加的宥y人, 如图所示．∴()()303350113x x x yy x-++-+=⎧⎪⎨=+⎪⎩解得x＝21.∴30－x＝9(人)．只参加A项不参加B项的学生宥9人．7.解: (1)A∪B＝{x|2<x<10},∵∁R A＝{x|x<3, 或x≥7},∴(∁R A)∩B＝{x|2<x<3, 或7≤x<10}．(2)由(1)知, A∪B＝{x|2<x<10},①当C=∅时, 满足C⊆(A∪B),此时5－a≥a, 得52a≤；②当C≠∅时, 若C⊆(A∪B),则55210a aaa-<⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩解得532a<≤.由①②, 得a≤3.8.解: ∵∁U A＝{0},∴0∈U, 但0A∉.∴x3＋3x2＋2x＝0, 即x(x＋1)(x＋2)＝0,∴x＝0或x＝－1或x＝－2,当x＝0时, |2x－1|＝1, A中已宥元素1, 舍去；当x＝－1时, |2x－1|＝3,3∈U；当x＝－2时, |2x－1|＝5, 但5U∉, 舍去．∴实数x的值存在, 它只能是－1.9.解: ∵b＝αβ∈P, b＝r＋δ∈S,∴b∈P∩S＝{10}, 故b＝10.∵S的元素是α＋β, α＋γ, α＋δ, β＋γ, β＋δ, γ＋δ, 它们的和是3(α＋β＋γ＋δ)＝5＋7＋8＋9＋10＋12＝51,由已知, 得α＋β＝a, γ＋δ＝b.∴a＋b＝17.∵b＝10,∴a＝7.∵P的元素是αβ, αγ, αδ, βγ, βδ, γδ, 它们的和是αβ＋(γ＋δ)．(α＋β)＋γδ＝6＋10＋14＋15＋21＋35.由根与系数的关系, 得b＋ab＋c＝101.∵b＝10, a＝7,∴c＝21.1．函数023x y x x+=-( )．A ．{x |x ＜0, 且32x ≠-} B ．{x |x ＜0} C ．{x |x ＞0} D ．{x |x ≠0, 且32x ≠-, x ∈R } 2．设集合M ＝R , 从M 到P 的映射21:1f x y x →=+, 则映射f 的值域爲( )． A ．{y |y ∈R } B ．{y |y ∈R ＋} C ．{y |0≤y ≤2} D ．{y |0＜y ≤1} 3．若1()x f x x-=, 则方程f (4x )＝x 的根是( )． A.12 B ．12- C ．2 D ．－24．下列从集合A 到集合B 的对应法则爲映射的是( )． A ．A ＝B ＝N ＋, 对应法则:3f x y x →=-B ．A ＝R , B ＝{0,1}, 对应法则()()10:00x f x y x ≥⎧⎪→=⎨<⎪⎩C ．A ＝B ＝R , 对应法则:f x y x →=D ．A ＝Z , B ＝Q , 对应法则1:f x y x→=5．已知集合A ＝[1,4], B ＝(－∞, a ), 若A ⊆B , 则实数a 的取值范围是________．(用区间表示)6．(拓展题)若函数y ＝f (x )对于一切实数a , b 都满足f (a ＋b )＝f (a )＋f (b ), 且f (1)＝8, 则f (－12)＝________. 7．若f : y ＝3x ＋1是从集合A ＝{1,2,3, k }到集合B ＝{4,7, a 4, a 2＋3a }的一个映射, 求自然数a , k 及集合A 、B .8．(1)已知1)f x =-求f (x )； (2)已知f (3x ＋1)＝3x 2－x ＋1, 求f (x )； (3)已知213()()f x f x x-=, 求f (x )．参考答案1. 答案: A解析: 由230x x x +≠⎧⎪⎨->⎪⎩得x ＜0且32x ≠-.2. 答案: D解析: ∵x ∈R , x 2＋1≥1, ∴(]210,11y x =∈+． 3. 答案: A 解析: 41(4)4x f x x x-==, ∴4x 2－4x ＋1＝0, ∴12x =. 4. 答案: B解析: 在A 项中, 当x ＝3时, |x －3|＝0, 于是集合A 中宥一个元素在集合B 中没宥元素和它对应, 故不是映射；在C 项中, 集合A 中的负数在集合B 中没宥元素和它对应, 故也不是映射；在D 项中, 集合A 中的元素0, 其倒数不存在, 因而0在集合B 中无对应元素, 故同样不是映射；只宥B 项符合定义, 故选B.5. 答案: (4, ＋∞) 解析: ∵A ⊆B , ∴a ＞4.6. 答案: －4解析: 令a ＝b ＝0得f (0＋0)＝f (0)＋f (0), ∴f (0)＝0.令12a b ==, 得11(1)()()22f f f =+, ∴1()42f =. 令12a =, 12b =-, 则11()()(0)022f f f -+==, ∴11()()422f f -=-=-. 7. 解: ∵1的象是4,7的原象是2,∴可判断A 中元素3的象10要么是a 4, 要么是a 2＋3a . 由a 4＝10且a ∈N , 知不存在a . ∴a 2＋3a ＝10, 即a 1＝－5(舍去), a 2＝2. 又集合A 中元素k 的象只能是a 4＝16, ∴3k ＋1＝16. ∴k ＝5. ∴A ＝{1,2,3,5}, B ＝{4,7,16,10}． 8. 解: (1)凑配法:∵21)1)1)3f x =-=-+,∴f (x )＝x 2－4x ＋3.11≥,∴f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)． (2)换元法:∵f (3x ＋1)＝3x 2－x ＋1, 令3x ＋1＝t , ∴13t x -=. ∴221135()3()1333t t t t f t ---+=-+= ＝21533t t -+. ∴215()33f x x x =-+. (3)构造法:∵213()()f x f x x-=, ① ∴2113()()f f x x x-=. ② ①×3＋②, 得2218()3f x x x=+, ∴2231()88f x x x=+. 又x ≠0, ∴2231()88f x x x=+ (x ≠0)．1．下列表格中的x与y能构成函数的是()．A.x 非负数非正数y 1－1B.x 奇数0偶数y 10－1C.x 宥理数无理数y 1－1D.x 自然数整数宥理数y 10－12．函数22,01()2,123,2x xf x xx⎧≤≤⎪=<<⎨⎪≥⎩的值域是()．A．R B．[0, ＋∞)C．[0,3] D．{x|0≤y≤2或y＝3}3．函数y＝f(x)与函数y＝f(x＋1)所表示的是()．A．同一个函数B．定义域相同的两个函数C．值域相同的两个函数D．图象相同的两个函数4．一个高爲H, 水量爲V的鱼缸的轴截面如下图所示, 其底部宥一个洞, 满缸水从洞中流出, 如果水深爲h时水的体积爲v, 则函数v＝f(h)的大致图象是()．5．如果函数f (x )满足方程1()()af x f ax x+=, x ∈R , 且x ≠0, a 爲常数, 且a ≠±1, 则f (x )＝________.6．已知(1)232x f x -=+, 且f (m )＝6, 则m 等于________． 7．作出下列函数图象:(1)()()()21,02,0x x y x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩ (2)2211x x y x -=-.8．某市规定出租车收费标准: 起步价(不超过2 km)爲5元．超过2 km 时, 前2 km 依然按5元收费, 超过2 km 部分, 每千米收1.5元．你能写出打车费用关于路程的函数解析式吗?又规定: 若遇堵车, 每等待5分钟(不足5分钟按5分钟计时)乘客需交费1元．某乘客打车共跑了20 km, 中途遇到了两次堵车, 第一次等待7分钟, 第二次等待13分钟, 该乘客到达目的地时, 该付多少车钱?9.国家规定个人稿费的纳税办法爲: 不超过800元的不纳税；超过800元不超过4 000元的按超过800元的部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿费的11%纳税．(1)试根据上述规定建立某人所得稿费x 元与纳税额y 元的函数关系式； (2)某人出了一本书, 共纳税420元, 则这个人的稿费是多少元?参考答案1.答案: C解析: A中, x＝0时, y＝±1；B中, x＝0时, y＝0和－1；D中, x＝0时, y＝1,0, －1, 均不符合函数定义．2.答案: D解析: ∵0≤x≤1时, y＝2x2,∴0≤y≤2,∴x≥0时函数f(x)的值域爲{y|y＝3或0≤y≤2}．3.答案: C解析: 特例法．设f(x)＝x(x>0)则f(x＋1)＝x＋1(x>－1)由图象可知C正确．4.答案: D解析: 随着水从洞中流出,vh∆∆的值的变化情况是先慢后快, 然后又变慢．5.答案:() ()2211a axa x--解析: ∵1()()af x f axx+=, ①将x换成1x, 则1x换成x, 得1()()aaf f xx x+=, ②由①②消去f(1x), 即1×a－②得22(1)()aa f x a xx-=-.∵a≠±1,∴22()1aa xx f xa-=-,即()()221()1a axf xa x-=-(x∈R, 且x≠0)．6.答案: －1 4解析: 令2x＋3＝6, 得32x=, 所以1131112224m x=-=⨯-=-.也可先求出f(x)再把x＝m代入求解．7. 解: (1)用分段函数作图法作函数()()()21,02,0x x y x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩的图象, 如图(1)所示, 这是由一段抛物线弧和一条射线 (无端点)所组成的．(1)(2)(2)所给函数可化爲()()(),,11,,1,1x x y x x ∈-∞-⋃+∞⎧⎪=⎨-∈-⎪⎩图象如图(2)所示．8. 解: 设乘车x km, 乘客需付费y 元, 则当0＜x ≤2时, y ＝5；当x ＞2时,y ＝5＋(x －2)×1.5＝1.5x ＋2.∴5,021.52,2x y x x <≤⎧=⎨+>⎩爲所求函数解析式．当x ＝20 km 时, 应付费y ＝1.5×20＋2＝32(元)．另外, 第一次堵车等待: 7分钟＝5分钟＋2分钟, 故需付费2元．第二次堵车等待: 13分钟＝(2×5)分钟＋3分钟, 需付费3元．所以, 该乘客到达目的地后应付费32＋2＋3＝37(元)． 9. 解: (1)纳税额y 元与稿费x 元之间的函数关系爲:()()()()1,080080014%,800400011%,4000x y x x x x <≤⎧⎪=-⨯<≤⎨⎪⨯>⎩(2)令(x －800)×14%＝420, 解得x ＝3 800∈(800, 4 000], 而令x ×11%＝420, 解得23818(4000,)11x =∉+∞, 故2381811x = (舍去)．∴这个人的稿费爲3 800元.1．下列说法正确的是( )．A ．定义在(a , b )上的函数f (x ), 若存在x 1, x 2∈(a , b ), 且当x 1<x 2时, 宥f (x 1)<f (x 2), 那么f (x )在(a , b )上爲增函数B ．定义在(a , b )上的函数f (x ), 若宥无穷多对x 1, x 2∈(a , b ), 且当x 1<x 2时, 宥f (x 1)<f (x 2), 那么f (x )在(a , b )上爲增函数C ．若f (x )在区间I 1上爲增函数, 在区间I 2上也爲增函数, 那么f (x )在I 1∪I 2上也一定爲增函数D ．若f (x )在区间I 上爲增函数且f (x 1)<f (x 2)(x 1, x 2∈I ), 那么x 1<x 22．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3, 当x ∈[－2, ＋∞)时是增函数, 当x ∈(－∞, －2]时是减函数, 则f (1)等于( )．A ．－3B ．13C ．7D ．由m 的值而定的常数3．已知函数f (x ), g (x )定义在同一区间上, 且f (x )是增函数, g (x )是减函数, g (x )≠0, 则在该区间上( )．A ．f (x )＋g (x )爲减函数B ．f (x )－g (x )爲增函数C ．f (x )·g (x )爲减函数 D.()()f xg x 爲增函数 4．下列函数爲增函数的是( )． A ．2()f x x = (x >0) B ．()f x x =C ．1()f x x x =-+D ．()1f x x =+5．若函数3by x=+在(0, ＋∞)上爲单调递减函数, 则实数b 的取值范围是________． 6．已知y ＝f (x )在[0, ＋∞)上是减函数, 则f (34)与f (a 2－a ＋1)的大小关系爲________． 7．函数1()1f x x =-在区间[2,6]上的最大值和最小值分别是( )．A.15, 1 B ．1, 15 C.17, 1 D ．1, 178．已知f (x )＝－x 3＋ax 在(0,1)上是增函数, 求实数a 的取值范围．9．已知f (x )是定义在(0, ＋∞)上的增函数, 且()()()xf f x f y y=-, f (2)＝1, 解不等式1()()23f x f x -≤-.10.求函数22y x x -+参考答案1. 答案: D2. 答案: B解析: 由单调性知, 二次函数图象的对称轴爲()24m --=-,∴m ＝－8,∴f (x )＝2x 2＋8x ＋3, f (1)＝2＋8＋3＝13. 3. 答案: B 4. 答案: D解析: 由题可知函数()1f x =[0, ＋∞), 所以在区间[0, ＋∞)上爲增函数, 故选D.5. 答案: b >0解析: 由于原函数的单调性与函数by x=相同, 所以当b >0时, 原函数在区间(0, ＋∞)上爲减函数, b <0时, 在(0, ＋∞)上爲增函数．6. 答案: 23(1)()4f a a f -+≤ 解析: ∵221331()244a a a -+=-+≥, ∴由单调性知23(1)()4f a a f -+≤． 7. 答案: B解析: f (x )在[2,6]上爲减函数, ∴最大值爲f (2)＝1, 最小值爲f (6)＝15. 8. 解: 在(0,1)上任取x 1, x 2, 使0<x 1<x 2＜1. ∵f (x )＝－x 3＋ax 在(0,1)上是增函数, ∴宥f (x 1)－f (x 2)<0,即331122()x ax x ax -+--+ ＝332112()x x a x x -+-＝2221112212()()()x x x x x x a x x -+++- ＝22211122()()0x x x x x x a -++-<.∵0<x 1<x 2<1, ∴x 2－x 1>0.∴2211220x x x x a ++-<.∴221122a x x x x >++恒成立, 又∵2211223x x x x ++<,∴a ≥3.∴a 的取值范围是[3, ＋∞)． 9. 解: ∵()()()x f f x f y y=-,∴()()()x f y f f x y+=．在以上等式中取x ＝4, y ＝2, 则宥f (2)＋f (2)＝f (4), ∵f (2)＝1, ∴f (4)＝2. ∴1()()23f x f x -≤-可变形爲f [x (x －3)]≤f (4)．又∵f (x )是定义在(0, ＋∞)上的增函数,∴()34030x x x x -≤⎧⎪>⎨⎪->⎩解得3<x ≤4. ∴原不等式的解集爲{x |3<x ≤4}． 10.解: 函数的定义域爲[0,2], 设y u =, u ＝－x 2＋2x , 函数u ＝－x 2＋2x 的单调递增区间爲(－∞, 1), 单调递减区间是[1, ＋∞), 则函数22y x x =-+的单调递增区间是(－∞, 1)∩[0,2]＝[0, 1), 单调递减区间是[1, ＋∞)∩[0,2]＝[1,2]．1．奇函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象必过点( )． A ．(a , f (－a )) B ．(－a , f (a )) C ．(－a , －f (a )) D ．(a , 1()f a)2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数, x ≥0时, f (x )＝x 2－2x , 则在R 上f (x )的表达式是( )．A ．y ＝x (x －2)B ．y ＝x (|x |－2)C ．y ＝|x |(x －2)D ．y ＝|x |(|x |－2)3．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数, 在(－∞, 0]上是减函数, 且f (2)＝0, 则使得f (x )＜0的x 的取值范围是( )．A ．(－∞, 2)B ．(2, ＋∞)C ．(－∞, －2)∪(2, ＋∞)D ．(－2,2)4．已知f (x ), g (x )均爲奇函数, 且F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在(0, ＋∞)上宥最大值5(ab ≠0), 则F (x )在(－∞, 0)上的最小值爲________．5．已知f (x )是偶函数, g (x )是奇函数, 它们的定义域均爲{x |x ≠±1}, 若1()()1f xg x x +=-, 则f (x )＝________, g (x )＝________. 6．函数f (x )＝a (a ≠0)的奇偶性爲________, 若a ＝0, 奇偶性爲________．7．设f (x )在R 上是偶函数, 在区间 (－∞, 0)上递增, 且宥f (2a 2＋a ＋1)＜f (2a 2－2a ＋3), 求a 的取值范围．8．已知函数21()ax f x bx c+=+ (a 、b 、c ∈Z )是奇函数, 又f (1)＝2, f (2)＜3.(1)求a 、b 、c 的值；(2)判定f (x )在(－∞, 0)上的单调性．9.已知y ＝f (x )是奇函数, 它在(0, ＋∞)上是增函数, 且f (x )＜0, 试问()1()F x f x =在(－∞, 0)上是增函数还是减函数?证明你的结论．参考答案1. 答案: C解析: 奇函数f (x )满足f (－a )＝－f (a )． 2. 答案: B解析: x ＜0时, f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x , 验证知, B 正确． 3. 答案: D解析: ∵f (x )在R 上爲偶函数, 又f (2)＝0, ∴f (－2)＝0, 又f (x )在(－∞, 0]上是减函数． ∴f (x )在[0, ＋∞]上爲增函数, ∴x ∈(－2,2)时, f (x )＜0. 4. 答案: －1解析: F (－x )＝af (－x )＋bg (－x )＋2＝－af (x )－bg (x )＋2＝－[af (x )＋bg (x )]＋2, ∵F (x )在(0, ＋∞)上宥最大值5, ∴af (x )＋bg (x )宥最大值3.∴F (x )在(－∞, 0)上宥最小值－3＋2＝－1. 5. 答案:211x - 21xx - 解析: ∵1()()1f xg x x +=-, ① ∴1()()1f xg x x -+-=--, 即1()()1f xg x x -=--.② 由①②联立方程组可求得答案．6. 答案: 偶函数既是奇函数又是偶函数解析: f (－x )＝f (x )＝a (a ≠0)；a ＝0时, f (－x )＝f (x )＝0且f (－x )＝－f (x )＝0. 7. 解: ∵f (x )在R 上是偶函数, 在区间(－∞, 0)上递增, ∴f (x )在(0, ＋∞)上递减． ∵2217212()048a a a ++=++>, 22152232()022a a a -+=-+>,且f (2a 2＋a ＋1)＜f (2a 2－2a ＋3),∴2a 2＋a ＋1＞2a 2－2a ＋3, 即3a －2＞0.解得23a >. 8. 解: (1)∵函数21()ax f x bx c+=+ (a 、b 、c ∈Z )是奇函数,∴f (－x )＝－f (x )．故2211ax ax bx c bx c++=--++,即－bx ＋c ＝－bx －c . ∴c ＝0.∴21()ax f x bx+=.又f (1)＝2, 故12a b +=.而f (2)＜3, 即4132a b +<, 即4131a a +<+, ∴－1＜a ＜2. 又由于a ∈Z , ∴a ＝0或a ＝1. 当a ＝0时, 12b =(舍去)；当a ＝1时, b ＝1. 综上可知, a ＝b ＝1, c ＝0.(2)211()x f x x x x +==+.设x 1、x 2是(－∞, 0)上的任意两个实数, 且x 1＜x 2, 则 121212121212121212121211111()()()()()()x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=+-+=-+-=--=-当x 1＜x 2≤－1时, x 1x 2＞1, x 1x 2－1＞0, 从而f (x 1)－f (x 2)＜0, 即f (x 1)＜f (x 2)．所以函数21()x f x x+=在(－∞, －1]上爲增函数．当－1≤x 1＜x 2＜0时, 0＜x 1x 2＜1, x 1x 2－1<0, 从而f (x 1)－f (x 2)＞0, 即f (x 1)＞f (x 2)．所以函数21()x f x x+=在[－1,0)上爲减函数．9. 解: F (x )在(－∞, 0)上是减函数, 证明如下: 任取x 1、x 2∈(－∞, 0), 且x 1＜x 2, 则宥－x 1＞－x 2＞0. ∵y ＝f (x )在(0, ＋∞)上是增函数, 且f (x )＜0,∴f (－x 2)＜f (－x 1)＜0, ① ∵f (x )是奇函数,∴f (－x 2)＝－f (x 2), f (－x 1)＝－f (x 1), ② 由①②得, f (x 2)＞f (x 1)＞0. 于是()()()()()()2112121211()()0f x f x F x F x f x f x f x f x --=-=>, 即F (x 1)＞F (x 2)． ∴()1()F x f x =在(－∞, 0)上是减函数．1．下列说法正确的是( )．①y ＝kx (k 爲常数)是正比例函数；②y ＝kx (k 爲常数)一定是奇函数；③若a 爲常数y ＝a －x 是一次函数；④一次函数的一般式是y ＝kx ＋bA ．②③B ．②④C ．仅③D ．①③ 2．若函数221(2)m m y m x m -+=-+爲一次函数, 则此函数爲( )．A ．增函数B ．减函数C ．在(－∞, 0]上增, 在[0, ＋∞)上减D ．以上都不对3．(创新题)若一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根, 则一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．若函数y ＝ax －2与y ＝bx ＋3的图象与x 轴交于同一点, 则ab＝________. 5．某班学生委员带3元人民币帮同学买作业本, 若每本作业本0.25元, 则买作业本的本数x 与所剩人民币y (元)之间的函数关系式爲____________________．6．已知函数f (x )的图象关于y 轴对称, 当－1≤x ＜0时, f (x )＝x ＋1, 求当0＜x ≤1时, f (x )的表达式．7．已知不等式ax －2a ＋3＜0的解集爲(6, ＋∞), 试确实实数a 的大小．8．某地的水电资源丰富, 并且得到了较好的开发, 电力充足．某供电公司爲了鼓励居民用电, 采用分段计费的方法来计算电费．月用电量x(度)与相应电费y(元)之间的函数关系的图象如下图所示．(1)月用电量爲100度时, 应交电费________元；(2)当x≥100时, 求y与x之间的函数关系式；(3)月用电量爲260度时, 应交电费多少元?9．已知一次函数y＝kx＋b的图象与函数6yx的图象交于A、B两点, 点A的横坐标是3, 点B的纵坐标是－3.(1)求一次函数的解析式；(2)画出一次函数的图象；(3)当x爲何值时, 一次函数的值小于零?10.设f(x)＝2－ax, 若在[1,2]上, f(x)＞1恒成立, 求a的取值范围．参考答案1.答案: A解析: 说法①中, k≠0时y＝kx是正比例函数；②中k≠0时, y＝kx是奇函数；k＝0时, y ＝kx既是奇函数, 又是偶函数；④中k≠0时, y＝kx＋b是一次函数．∴只宥③正确．2.答案: B解析: 由221120m mm⎧-+=⎨-≠⎩得m＝0.∴y＝－2x在定义域内爲减函数．3.答案: A解析: ∵方程无实数根,∴(－2)2－4(－m)＝4＋4m＜0,∴m＜－1.从而y＝(m＋1)x＋m－1中, m＋1＜0, m－1＜－2, ∴图象不经过第一象限．4.答案:2 3 -解析: 由23y axy bx=-⎧⎨=+⎩得532xa ba bya b⎧=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩∵交点在x轴上,∴y＝0.即3a＋2b＝0,∴23 ab=-.5.答案: y＝3－0.25x(0≤x≤12且x∈N)6.解: 当0＜x≤1时, －1≤－x＜0,∴f(－x)＝－x＋1.又∵f(x)的图象关于y轴对称,∴f(x)爲偶函数．∴f(x)＝f(－x)＝－x＋1,即当0＜x≤1时, f(x)＝－x＋1.7. 解: 令y ＝ax －2a ＋3, 则一次函数y ＝ax －2a ＋3与x 轴的交点爲(6,0), 如图所示, 由ax －2a ＋3＝0得326ax a-+==, ∴34a =-. 8. 解: (1)60(2)设所求的函数关系式爲y ＝kx ＋b . ∵直线过点(100,60)和点(200,110), ∴10060200110k b k b +=⎧⎨+=⎩解得12k =, b ＝10.∴y 与x 的函数关系式爲1102y x =+(x ≥100)． (3)∵260＞100, ∴将x ＝260代入1102y x =+, 得y ＝140. ∴月用电量爲260度时, 应交电费140元． 9. 解: (1)由题意知当x ＝3时, y ＝2, ∴A (3,2), 当y ＝－3时, x ＝－2, ∴B (－2, －3), ∴2332k bk b=+⎧⎨-=-+⎩, 解得k ＝1, b ＝－1,∴y ＝x －1. (2)如图(3)当x ＜1时, 一次函数的值小于零．10. 解: 要使f (x )＞1在[1,2]上恒成立, 只需f (x )的最小值大于1. ∴当a ＜0时, f (x )在[1,2]上单调递增．∴f (x )的最小值爲f (1)＝2－a .∴2－a ＞1, 即a ＜1.∴a ＜0；当a ＞0时, f (x )在[1,2]上单调递减, ∴f (x )的最小值爲f (2)＝2－2a . ∴2－2a ＞1.解得12a <.∴102a <<. 当a ＝0时, f (x )＝2＞1恒成立．综上, a 的取值范围爲{}11(,0)(0,)0(,)22-∞=-∞．1．若抛物线y ＝x 2＋6x ＋c 的顶点恰好在x 轴上, 则c 的值爲( )． A ．0 B ．3 C ．6 D ．92．如图所示, 坐标系中抛物线是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象, 则下列式子能成立的是( )．A ．abc ＞0B ．b ＜a ＋cC ．a ＋b ＋c ＜0D ．2c ＜3b3．函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2在(－∞, 6)内是减函数, 则实数a 的取值范围是( )． A ．[3, ＋∞) B ．(－∞, 3] C ．[－3, ＋∞) D ．(－∞, －3]4．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴爲x ＝2, 且经过点(1,4)和点(5,0), 则该抛物线的解析式爲________．5．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表:x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6－4－6－6－46则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是________．6．已知f (x )＝ax 2＋bx (ab ≠0), 若f (m )＝f (n ), 且m ≠n , 则f (m ＋n )＝________. 7．已知函数215()322f x x x =---. (1)求这个函数的顶点坐标和对称轴方程； (2)已知715()28f -=, 不计算函数值, 求5()2f -的值； (3)不直接计算函数值, 试比较1()4f -与15()4f -的大小． 8．已知函数f (x )＝x 2＋2(a ＋1)x ＋2, x ∈[－2,3]．(1)当a＝－2时, 求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围, 使y＝f(x)在区间[－2,3]上是单调函数．参考答案1. 答案: D解析: ∵y ＝x 2＋6x ＋c ＝(x ＋3)2＋c －9, ∴c －9＝0, c ＝9. 2. 答案: D解析: 观察图象开口向下, ∴a ＜0. 又∵对称轴12bx a=-=, ∴b ＝－2a ＞0.由图象观察与y 轴交点(0, c )在x 轴上方 ∴c ＞0, ∴abc ＜0；又∵f (1)＞0, ∴a ＋b ＋c ＞0；又∵f (－1)＜0, ∴a －b ＋c ＜0；又∵f (3)＜0, ∴9a ＋3b ＋c ＜0. 又∵12b a -=, ∴2ba =-代入9a ＋3b ＋c ＜0, ∴302b c -+<, ∴32c b <.即2c ＜3b . 3. 答案: D解析: f (x )＝x 2＋4ax ＋2＝(x ＋2a )2＋2－4a 2, ∵f (x )在(－∞, 6)内是减函数, ∴－2a ≥6, ∴a ≤－3. 4. 答案: 215222y x x =-++ 解析: 由题意知: 2242550b a a b c a b c ⎧-=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩解得12252a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩∴抛物线的解析式爲215222y x x =-++. 5. 答案: {x |x ＜－2或x ＞3}解析: 由表中的二次函数对应值可得, 二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根爲－2和3, 又根据f (0)＜f (－2)且f (0)＜f (3)可知a ＞0.∴不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集爲{x |x <－2或x >3}． 6. 答案: 0解析: f (m )－f (n )＝am 2＋bm －an 2－bn ＝a (m ＋n )(m －n )＋b (m －n )＝(m －n )[a (m ＋n )＋b ]＝0.由于m ≠n , 所以a (m ＋n )＋b ＝0.从而f (m ＋n )＝(m ＋n )[a (m ＋n )＋b ]＝0. 7. 解: 22151()3(3)2222f x x x x =---=-++. (1)这个二次函数的顶点坐标和对称轴方程分别爲(－3,2)和x ＝－3. (2)∵7115()(3)(3)()2222f f f f -=--=-+=-, ∴515()28f -=. (3)∵15339()(3)(3)()4444f f f f -=--=-+=-．又∵14-, 94-∈[－3, ＋∞), ∵102a =-<, ∴y ＝f (x )在[－3, ＋∞)上是单调递减的． ∵1944->-, ∴19()()44f f -<-．即115()()44f f -<-． 8. 解: (1)当a ＝－2时, f (x )＝x 2－2x －2＝(x －1)2＋1, ∴f (x )的图象的对称轴是x ＝1.∴f (x )在[－2,1]上递减, 在(1,3]上递增． ∴当x ＝1时, y min ＝1. ∵f (－2)＝10, f (3)＝5, ∴f (－2)＞f (3)＞f (1)． ∴当x ＝－2时, y m ax ＝10.(2)∵f (x )＝[x ＋(a ＋1)]2＋2－(a ＋1)2, ∴函数f (x )的图象对称轴爲x ＝－(a ＋1)．当f (x )在[－2,3]上单调递减时, 宥－(a ＋1)≥3, 即a ≤－4；当f (x )在[－2,3]上单调递增时, 宥－(a ＋1)≤－2, 即a ≥1.综上所述, 当a ≤－4或a ≥1时, 函数f (x )在[－2,3]上是单调函数．1．已知二次函数顶点爲(0,4), 且过点(1,5), 则解析式爲( )．A ．2114y x =+ B ．2144y x =+ C ．y ＝4x 2＋1 D ．y ＝x 2＋42．已知x 3＋2x 2－5x －6＝(x ＋a )(x ＋b )(x ＋c ), 则a , b , c 的值分别爲( )． A ．1,2,3 B ．1, －2, －3 C ．1, －2,3 D ．1,2, －33．已知抛物线经过(－1,0), (2,7), (1,4)三点, 则其解析式爲( )． A ．215233y x x =-+ B ．215233y x x =++ C ．215233y x x =+- D ．215233y x x =--4．下图爲二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象, 则该函数的解析式爲________．5．若二次函数f 1(x )＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1和f 2(x )＝a 2x 2＋b 2x ＋c 2, 若F (x )＝f 1(x )＋f 2(x ), 则F (x )在(－∞, ＋∞)上单调递增的条件是________．6．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c , 若f (0)＝0且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1, 则f (x )＝________. 7．如图所示爲某桥桥洞的横断面, 桥下水面宽16米, 当水面上涨2米后达到警戒水位, 水面宽变爲12米, 此时桥洞顶部距水面高度爲________米．(精确到0.1米)8．已知二次函数y ＝x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3, 其中m 爲实数． (1)求证: 不论m 取何实数, 这个二次函数的图象与x 轴必宥两个交点； (2)设这个二次函数的图象与x 轴交于点A (x 1,0)、B (x 2,0), 且x 1、x 2的倒数和爲23, 求这个函数的解析式．9．已知函数f(x)＝|x－a|, g(x)＝x2＋2ax＋1(a爲正常数), 且函数f(x)与g(x)的图象在y 轴上的交点的纵坐标相等．(1)求a的值；(2)求函数f(x)＋g(x)的单调递增区间．参考答案1. 答案: D解析: 设二次函数爲y ＝ax 2＋4, x ＝1时, y ＝a ＋4＝5, ∴a ＝1. 2. 答案: C解析: (x ＋a )(x ＋b )(x ＋c )＝x 3＋ (a ＋b ＋c )x 2＋(ab ＋bc ＋ca )x ＋abc , ∵(x ＋a )(x ＋b )(x ＋c )＝x 3＋2x 2－5x －6,∴256a b c ab bc ca abc ++=⎧⎪++=-⎨⎪=-⎩解得a ＝1, b ＝－2, c ＝3. 3. 答案: B解析: 设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0), 则宥07424a b c a b c a b c =-+⎧⎪=++⎨⎪=++⎩∴13253a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩4. 答案: 224233y x x =-- 解析: 设二次函数爲y ＝a (x ＋1)(x －3),∵点(0, －2)在图象上, ∴－2＝a (0＋1)(0－3)．解得23a = ∴2224(1)(3)2333y x x x x =++=--. 5. 答案: a 1＋a 2＝0, b 1＋b 2>0解析: ∵F (x )＝f 1(x )＋f 2(x )＝(a 1＋a 2)x 2＋(b 1＋b 2)x ＋c 1＋c 2在(－∞, ＋∞)上单调递增, ∴F (x )一定不是二次函数, 只可能是一次函数, ∴a 1＋a 2＝0, b 1＋b 2>0. 6. 答案:21122x x +解析: 由题意得220(1)(1)()1c a x b x c ax bx c x =⎧⎪++++-++⎨⎪=+⎩即021c ax b x a =⎧⎨+=+-⎩∴0211c a b a=⎧⎪=⎨⎪=-⎩解得12a =, 12b =, c ＝0.∴211()22f x x x =+. 7. 答案: 2.6解析: 设抛物线解析式爲y ＝ax 2(a <0), 设点(8, y )(y <0), (6, y ＋2)在抛物线上,∴64236y a y a =⎧⎨+=⎩∴114118236()147a y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⨯-=-⎪⎩由题意知, 桥洞顶部距达到警戒水位时高度爲182 2.6()7y +=-≈米． 8. 解: (1)证明: 和这个二次函数对应的一元二次方程是x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3＝0. ∵Δ＝4(m －1)2－4(m 2－2m －3)＝4m 2－8m ＋4－4m 2＋8m ＋12＝16>0, ∴方程x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3＝0必宥两个不相等的实数根． ∴不论m 取何值, 这个二次函数的图象与x 轴必宥两个交点．(2)由题意, 可知x 1、x 2是方程x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3＝0的两个实数根, ∴x 1＋x 2＝2(m －1), x 1·x 2＝m 2－2m －3. ∵121123x x +=, 即121223x x x x +=⋅, ∴22(1)2233m m m -=--. 解得m ＝0, 或m ＝5.经检验, m ＝0, m ＝5都是方程的解．∴所求二次函数的解析式是y ＝x 2＋2x －3, 或y ＝x 2－8x ＋12. 9. 解: (1)由题意, f (0)＝g (0), 即|a |＝1, 又a >0, 所以a ＝1. (2)f (x )＋g (x )＝|x －1|＋x 2＋2x ＋1.当x ≥1时, f (x )＋g (x )＝x 2＋3x , 它在[1, ＋∞)上单调递增；当x <1时, f (x )＋g (x )＝x 2＋x ＋2, 它在[－12, 1)上单调递增；综上, 结合f (x )＋g (x )的图象知f (x )＋g (x )的单调递增区间是[－12, ＋∞)．1．已知直角梯形OABC中, AB∥OC, BC⊥OC, AB＝1, OC＝BC＝2, 直线x＝t截这个梯形位于此直线左方的图形的面积(如图中阴影部分)爲y, 则函数y＝f(t)的大致图象爲()．2．一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车, 当他距汽车25 m时, 交通灯由红变绿, 汽车以1 m/s2的加速度匀加速开走, 则()．A．人可在7 s内追上汽车B．人可在10 s内追上汽车C．人追不上汽车, 其间最近距离爲10 mD．人追不上汽车, 其间最近距离爲7 m3．爲了稳定市场, 确保农民增收, 某农产品的市场收购价格a与其前三个月的市场收购价格宥关, 且使a与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格:月份1234567价格(元/担)687867717270则7月份该产品的市场收购价格应爲()．A．69元B．70元C．71元D．72元4．北京电视台每星期六播出《东芝动物乐园》, 在这个节目中曾经宥这样一个抢答题: 小蜥蜴体长15 c m, 体重15 g, 问: 当小蜥蜴长到体长爲20 c m时, 它的体重大约是()．A．20 g B．25 gC．35 g D．40 g5．某商人购货, 进价已按原价a扣去25%, 他希望对货物订一新价, 以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利, 则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y 之间的函数关系是________．6．如图, 大海中的两艘船, 甲船在A处, 乙船在A处正东50 km的B处, 现在甲船从A。

高中数学必修4(人教B版)第三章三角恒等变换3.1知识点总结含同步练习题及答案

解：（1）原式 =
tan 60∘ − tan 15∘ 1 + tan 60∘ ⋅ tan 15∘ = tan(60∘ − 15∘ ) = tan 45∘ = 1.
（2）根据tan α + tan β = tan(α + β)(1 − tan α tan β) ，则有原式 = tan 120 ∘ (1 − tan 55∘ tan 65∘ ) − √3 tan 55∘ tan 65∘
π )，向左平移 m 个单位后，得到的函数为 3 π π π y = 2 sin (x + + m)，若所得到的图像关于 y 轴对称，则 + m = + kπ, k ∈ Z ，所以 3 3 2 π π m = + kπ ，k ∈ Z．取 k = 0 时，m = ． 6 6
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和差角公式辅助角公式
三、知识讲解
1.和差角公式描述：两角差的余弦公式对于任意角α，β 有cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β，称为差角的余弦公式，简记C(α−β) ．两角和的余弦公式对于任意角α，β 有cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β，称为和角的余弦公式，简记C(α＋β) ．两角和的正弦公式对于任意角α，β 有sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β，称为和角的正弦公式，简记S (α＋β) ．两角差的正弦公式对于任意角α，β 有sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β，称为差角的正弦公式，简记S (α−β) ．两角和的正切公式对于任意角α，β 有tan(α + β) = 两角差的正切公式对于任意角α，β 有tan(α − β) =

人教A版高中数学二同步学习讲义：第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1.3~2.1.4 含答案

2。

1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系学习目标 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系.2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.3。

掌握空间中平面与平面的位置关系．知识点一直线和平面的位置关系思考如图所示,在长方体ABCD—A1B1C1D1中线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？答案三种位置关系：（1）直线在平面内；(2)直线与平面相交；（3)直线与平面平行．梳理直线l与平面α的位置关系（1）直线l在平面α内(l⊂α)．（2）直线l在平面α外l⊄α错误!知识点二两个平面的位置关系思考观察前面问题中的长方体，平面A1C1与长方体的其余各个面,两两之间有几种位置关系?答案两种位置关系：两个平面相交或两个平面平行．梳理平面α与平面β的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β0个两平面相交α∩β＝l无数个点(共线）类型一直线与平面的位置关系例1下列四个命题中正确命题的个数是（）①如果a，b是两条直线,a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行;③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；④如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.A．0 B．1 C．2 D．3答案B解析如图,在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC,故命题②不正确；③中，假设b与α相交，因为a∥b,所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即③正确；④显然不正确,故答案为B。

反思与感悟空间中直线与平面只有三种位置关系:直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．本题借助几何模型判断，通过特例排除错误命题．对于正确命题,根据线、面位置关系的定义或反证法进行判断,要注意多种可能情形．跟踪训练1下列命题(其中a,b表示直线,α表示平面)：①若a∥b，b⊂α,则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b;③若a∥b,b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α,则a∥b.其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案A解析如图所示，在长方体ABCD—A′B′C′D′中,AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD,故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交,故②错误；AB∥A′B′,A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．类型二平面与平面之间的位置关系错误!例2α、β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是（) A．平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥βB．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC．若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥βD．平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β答案D解析A、B都不能保证α、β无公共点,如图1所示；C中当a∥α,a∥β时，α与β可能相交，如图2所示;只有D说明α、β一定无公共点．反思与感悟判断线线、线面、面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断．跟踪训练2已知两平面α、β平行，且a⊂α,下列四个命题:①a与β内的所有直线平行;②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．其中正确命题的个数是(）A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面；②正确;③中直线a与β内的无数条直线垂直；④根据定义a与β无公共点，正确．命题角度2两平面位置关系的作图例3（1）画出两平行平面；（2)画出两相交平面．解两个平行平面的画法：画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如图a所示．两个相交平面的画法：第一步，先画表示平面的平行四边形的相交两边，如图b所示；第二步，再画出表示两个平面交线的线段，如图c所示;第三步，过b中线段的端点分别引线段，使它们平行且等于图c中表示交线的线段，如图d所示；第四步,画出表示平面的平行四边形的第四边(被遮住部分线段可画成虚线，也可不画),如图e 所示．引申探究在图中画出一个平面与两个平行平面相交．解跟踪训练3试画出相交于一点的三个平面．解如图所示（不唯一)．1．下列图形所表示的直线与平面的位置关系，分别用符号表示正确的一组是()A．a⊄α，a∩α＝A,a∥αB．a∉α，a∩α＝A，a∥αC．a⊂α，a∩α＝A，a∥αD．a∈α，a∩α＝A,a∥α答案C解析直线在平面内用“⊂”，故选C.2．如图所示，用符号语言可表示为(）A．α∩β＝l B．α∥β,l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β,l⊂α答案D3．若直线l不平行于平面α,且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交答案B解析由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的．4．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．答案0或1解析若平面外两点所在直线与平面相交时，经过这两点与已知平面平行的平面不存在．若平面外两点所在直线与已知平面平行时，此时,经过这两点有且只有一个平面与已知平面平行．5．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，分别指出直线B1C，D1B 与正方体六个面所在平面的关系．解根据图形，直线B1C⊂平面B1C，直线B1C∥平面A1D，与其余四个面相交，直线D1B与正方体六个面均相交．1．弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断,要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析．2．长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱"之称．课时作业一、选择题1．已知直线a在平面α外，则（)A．a∥αB．直线a与平面α至少有一个公共点C．a∩α＝AD．直线a与平面α至多有一个公共点答案D解析因已知直线a在平面α外，所以a与平面α的位置关系为平行或相交，因此断定a∥α或断定a与α相交都是错误的，但无论是平行还是相交,直线a与平面α至多有一个公共点是正确的，故选D。

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人教B版高中数学选修1-1同步练习题及答案全册汇编（可编辑）人B版高中数学选修1-1同步习题目录第1章1.1.1~1.1.2同步练习第1章1.2.1同步练习第1章1.2.2同步练习第1章1.3.1同步练习第1章1.3.2同步练习第1章章末综合检测第2章2.1.1同步练习第2章2.1.2同步练习第2章2.2.1同步练习第2章2.2.2同步练习第2章2.3.1同步练习第2章2.3.2同步练习第2章章末综合检测第3章3.1.1~3.1.2同步练习第3章3.1.3同步练习第3章3.2.1~3.2.2同步练习第3章3.2.3同步练习第3章3.3.1同步练习第3章3.3.2第1课时同步练习第3章3.3.2第2课时同步练习第3章3.3.3同步练习第3章章末综合检测人教B版选修1-1同步练习1.下列是全称命题且是真命题的是A.?x?R,x20B.?x?Q,x2?QC.?x0?Z,x1D.?x,y?R,x2+y20答案:B2.下列命题是真命题的为A.若=,则x=yB.若x2=1,则x=1C.若x=y,则=D.若xy,则x2y2解析:选A.由=,得x=y,A正确,B、C、D错误.3.判断下列命题的真假:?3?3:________;?100或50是10的倍数:________.答案:?真命题 ?真命题4.1用符号“?”表示命题“不论m取什么实数,方程x2+x-m=0 必有实根”;2用符号“?”表示命题“存在实数x,使sinxtanx”.解:1?m?R,x2+x-m=0有实根.2?x0?R,sinx0tanx0.一、选择题1.下列命题为存在性命题的是A.偶函数的图象关于y轴对称B.正四棱柱都是平行四面体C.不相交的两条直线是平行直线D.存在实数大于等于3答案:D2.下列命题是真命题的是A.?是空集B.是无限集C.π是有理数D.x2-5x=0的根是自然数解析:选D.x2-5x=0的根为x1=0,x2=5,均为自然数.3.2010年高考湖南卷下列命题中的假命题是A.?x?R,lgx=0B.?x?R,tanx=1C.?x?R,x30D.?x?R,2x0解析:选C.对于A,当x=1时,lgx=0,正确;对于B,当x=时,tanx=1,正确;对于C,当x0时,x30,错误;对于D,?x?R,2x0,正确.4.下列命题中,是正确的全称命题的是A.对任意的a,b?R,都有a2+b2-2a-2b+20B.菱形的两条对角线相等C.?x0?R,=x0D.对数函数在定义域上是单调函数解析:选D.A中含有全称量词“任意”,a2+b2-2a-2b+2=a-12+b-12?0,是假命题.B、D在叙述上没有全称量词,实际上是指“所有的”.菱形的对角线不一定相等;C是特称命题.所以选D.5.下列存在性命题不正确的是A.有些不相似的三角形面积相等B.存在一个实数x,使x2+x+1?0C.存在实数a,使函数y=ax+b的值随x的增大而增大D.有一个实数的倒数是它本身解析:选B.B中因为x2+x+1=x+2+?,所以不存在x使x2+x+1?0;A中等底等高的三角形面积相等但不一定相似;C中a0时,成立;D中1的倒数是它本身.6.下列命题中真命题的个数为?面积相等的两个三角形是全等三角形;?若xy=0,则|x|+|y|=0;?若ab,则a+cb+c;?矩形的对角线互相垂直.A.1B.2C.3D.4解析:选A.?错;?错,若xy=0,则x,y至少有一个为0,而未必|x|+|y|=0;?对,不等式两边同时加上同一个常数,不等号开口方向不变;?错.二、填空题7.填上适当的量词符号“?”“?”,使下列命题为真命题.1________x?R,使x2+2x+1?0;2________α,β?R,使cosα-β=cosα-cosβ.解析:1中x+12?0所以对?x?R恒成立;2为存在性命题.答案:1?;2?8.下列语句中是命题的有________,其中是假命题的有________.只填序号?垂直于同一条直线的两条直线必平行吗??一个数不是正数就是负数;?大角所对的边大于小角所对的边.解析:根据命题的概念,判断是否是命题;若是,再判断其真假.?是疑问句,没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断,不是命题; ?是假命题,因为0既不是正数也不是负数;?是假命题,没有考虑到“在两个三角形中”的情况.答案:?? ??9.给出下列几个命题:?若x,y互为相反数,则x+y=0;?若ab,则a2b2;?若x-3,则x2+x-6?0;?若a,b是无理数,则ab也是无理数.其中的真命题有________个.解析:?是真命题.?设a=1b=-2,但a2b2,假命题.?设x=4-3,但x2+x-6=410,假命题.?设a=,b=,则ab=2=2是有理数,假命题.答案:1三、解答题10.用量词符号“?”或“?”表示下列命题.1一定有整数x,y,使得3x+2y=10成立;2对所有的实数x,都能使x2+2x+2?0成立.解:1?x,y?Z,使3x+2y=10;2?x?R,有x2+2x+2?0.11.判断下列语句是不是全称命题或存在性命题,如果是,找出命题中的量词.1中国的所有党派都由中国共产党统一领导;20不能作除数;3存在一个x?R,使2x+1=3;4至少有一个x?Z,使x能被2和3整除.解:1全称命题,命题中的量词是“所有”;2是命题,但不是全称命题或者存在性命题;3存在性命题,命题中的量词是“存在一个”;4存在性命题,命题中的量词是“至少有一个”.12.已知p:x2+mx+1=0有两个不等的负根,q:方程4x2+4m-2x+1=0m?R无实根,求使p正确且q正确的m的取值范围. 解:若p为真,则解得m2.若q为真,则Δ=16m-22-160,解得1m3.p真,q真,即故m的取值范围是2,3.人教B版选修1-1同步练习1.如果命题“p?q”是真命题,那么A.命题p与命题q都是真命题B.命题p与命题q同为真命题或同为假命题C.命题p与命题q只有一个是真命题D.命题p与命题q至少有一个是真命题答案:D2.由下列各组命题构成的新命题“p或q”“p且q”,都为真命题的是A.p:4+4=9,q:7>4B.p:a?a,b,c;q:aa,b,cC.p:15是质数;q:8是12的约数D.p:2是偶数;q:2不是质数答案:B3.判断下列命题的形式从“p?q”、“p?q”中选填一种:16?8:________;2集合中的元素是确定的且是无序的:________.答案:p?q p?q4.分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题,并判断其真假.18或6是30的约数;2矩形的对角线垂直平分.解:1p或q,p:8是30的约数假,q:6是30的约数真.“p或q”为真.2p且q,p:矩形的对角线互相垂直假,q:矩形的对角线互相平分真.“p且q”为假.一、选择题1.下列命题是真命题的是A.5>2且7>8B.3>4或3<4C.7-1?7D.方程x2-3x+4=0有实根解析:选B.虽然p:3>4假,但q:3<4真,所以p?q为真命题.2.如果命题p?q为真命题,p?q为假命题,那么A.命题p,q都是真命题B.命题p,q都是假命题C.命题p,q只有一个是真命题D.命题p,q至少有一个是真命题解析:选C.p?q为真命题,则p,q中至少有一个是真命题;p?q为假命题,则p,q中至少有一个是假命题,因此,p,q中必有一个真命题,一个假命题.因此选C.3.命题p:x=π是y=|sinx|的对称轴.命题q:2π是y=|sinx|的最小正周期.下列命题中,是真命题的个数是?p?q ?p?q ?p ?qA.0B.1C.2D.3答案:C4.“xy?0”指的是A.x?0且y?0B.x?0或y?0C.x,y至少有一个不为0D.不都是0解析:选A.x、y都不为0,即x?0且y?0.5.已知集合A=x|px=x|x是等腰三角形,B=x|qx=x|x是直角三角形,用特征性质描述法表示A?B是A.x|p且q=x|x是等腰直角三角形B.x|p或q=x|x是等腰三角形或直角三角形C.x|p且q=x|x是等腰三角形D.x|p或q=x|x是直角三角形答案:A6.若命题p:圆x-12+y-22=1被直线x=1平分;q:在?ABC中,若sin2A=sin2B,则A=B,则下列结论中正确的是A.“p?q”为假B.“p?q”为真C.“p?q”为真D.以上都不对答案:B二、填空题7.“10既是自然数又是偶数”为________形式.解析:注意逻辑联结词“且”的含义.答案:p?q8.用“或”、“且”填空,使命题成为真命题:1若x?A?B,则x?A________x?B;2若x?A?B,则x?A________x?B;3若ab=0,则a=0________b=0;4a,b?R,若a>0________b>0,则ab>0.答案:1或 2且 3或 4且9.设命题p:2x+y=3;q:x-y=6.若p?q为真命题,则x=________,y=________. 解析:若p?q为真命题,则p,q均为真命题,所以有解得答案:3 -3三、解答题10.判断下列命题的真假:1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边;2-1是偶数或奇数.解:1这个命题是p?q的形式,其中p:等腰三角形顶角的平分线平分底边,q:等腰三角形顶角的平分线垂直于底边.因为p真、q真,则p?q真,所以该命题是真命题.2此命题是p?q的形式,其中p:-1是偶数,q:-1是奇数.因为p为假命题,q为真命题,所以p?q为真命题,故原命题为真命题.11.分别指出由下列各组命题构成的“p?q”、“p?q”形式的命题的真假.1p:正多边形有一个内切圆;q:正多边形有一个外接圆.2p;角平分线上的点到角的两边的距离不相等;q:线段垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等.3p:2?2,3,4;q:矩形?菱形=正方形.4p:正六边形的对角线都相等;q:凡是偶数都是4的倍数.解:1因为p真q真,所以“p?q”真,“p?q”真.2因为p假q真,所以“p?q”假,“p?q”真.3因为p真q真,所以“p?q”真,“p?q”真.4因为p假q假,所以“p?q”假,“p?q”假.12.已知a>0,设命题p:函数y=ax在R上单调递增;命题q:不等式ax2-ax+1>0对?x?R恒成立.若p?q为假,p?q为真,求a的取值范围.解:?y=ax在R上单调递增,?p:a>1;又不等式ax2-ax+1>0对?x?R恒成立,?Δ<0,即a2-4a<0,?0<a<4,?q:0<a<4.而命题p?q为假,p?q为真,那么p、q中有且只有一个为真,一个为假.1若p真,q假,则a?4;2若p假,q真,则0<a?1,?a的取值范围为0,1]?[4,+?.人教B版选修1-1同步练习1.2011年高考辽宁卷已知命题p:?n?N,2n>1000,则?p为A.?n?N,2n?1000B.?n?N,2n>1000C.?n?N,2n?1000D.?n?N,2n<1000答案:A2.命题“一次函数都是单调函数”的否定是A.一次函数都不是单调函数B.非一次函数都不是单调函数C.有些一次函数是单调函数D.有些一次函数不是单调函数解析:选D.命题的否定只对结论进行否定,“都是”的否定是“不都是”,即“有些”.3.A?A?B是________形式;该命题是________填“真”“假”命题.答案:“?p” 假4.写出下列命题的否定,并判断真假1所有的矩形都是平行四边形;2有些实数的绝对值是正数.解:1存在一个矩形不是平行四边形;假命题;2所有的实数的绝对值都不是正数;假命题.一、选择题1.如果命题“p?q”与命题“?p”都是真命题,那么A.命题p不一定是假命题B.命题q一定为真命题C.命题q不一定是真命题D.命题p与命题q的真假相同解析:选B.“p?q”为真,则p、q至少有一个为真.?p为真,则p为假,?q是真命题.2.命题“对任意的x?R,x3-x2+1?0”的否定是A.不存在x?R,使得x3-x2+1?0B.存在x?R,使得x3-x2+1?0C.存在x?R,使得x3-x2+1>0D.对任意的x?R,x3-x2+1>0解析:选C.全称命题的否定为存在性命题.3.若p、q是两个简单命题,且“p?q”的否定是真命题,则必有A.p真q真B.p假q假C.p真q假D.p假q真解析:选B.?“p?q”的否定为真,则p?q为假,即p、q均为假.故选B.4.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则下列命题为真命题的是A.?p?qB.p?qC.?p??qD.?p??q解析:选D.p为真,q为假,所以?q为真,?p??q为真.5.下列命题的否定是假命题的是A.p:能被3整除的整数是奇数;?p:存在一个能被3整除的整数不是奇数B.p:每一个四边形的四个顶点共圆;?p:存在一个四边形的四个顶点不共圆C.p:有些三角形为正三角形;?p:所有的三角形都不是正三角形D.p:?x0?R,x+2x0+2?0;?p:?x?R,都有x2+2x+20解析:选C.p为真命题,则?p为假命题.6.给出两个命题:p:函数y=x2-x-1有两个不同的零点;q:若1,则x1,那么在下列四个命题中,真命题是A.?p?qB.p?qC.?p??qD.?p??q解析:选D.对于p,函数对应的方程x2-x-1=0的判别式Δ=-12-4×-1=50.可知函数有两个不同的零点,故p为真.当x0时,不等式1恒成立;当x0时,不等式的解为x1.故不等式1的解为x0或x1.故命题q为假命题.所以只有?p??q为真.故选D.二、填空题7.写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定:________.解析:命题的量词是“每个”,即为全称命题,因此否定是特称命题,用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等,再否定结论.答案:有些函数没有奇偶性8.命题“存在实数x,y,使得x+y1”,用符号表示为________;此命题的否定是________用符号表示,是________命题填“真”或“假”.解析:原命题为真,所以它的否定为假.也可以用线性规划的知识判断.答案:?x0,y0?R,x0+y01 ?x,y?R,x+y?1 假9.命题“方程x2=4的解是x=2或x=-2”的否定是____________________________.解析:x2=4的解是x=2或x=-2,则它的否定:解不是2也不是-2.答案:方程x2=4的解不是2也不是-2.三、解答题10.写出下列各命题的否定:1x=?3;2圆既是轴对称图形又是中心对称图形;3a,b,c都相等.解:1x?3,且x?-3;2圆不是轴对称图形或不是中心对称图形;3a,b,c不都相等,即a?b或b?c或c?a,即a,b,c中至少有两个不相等.11.用“?”“?”写出下列命题的否定,并判断真假:1二次函数的图象是抛物线;2直角坐标系中,直线是一次函数的图象;3?a,b?R,方程ax+b=0恰有一解.解:1?p:?x0?二次函数,x0的图象不是抛物线.假命题.2?p:在直角坐标系中,?x0?直线,x0不是一次函数的图象.真命题.3?p:?a0,b0?R,方程a0x+b0=0无解或至少有两解.真命题.12.设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0,命题q:实数x满足若?p则?q成立,求实数a的取值范围.解:由x2-4ax+3a2<0得x-3ax-a<0,又a>0,所以a<x<3a,由,得2<x?3,若?p则?q成立,设A=x|?p,B=x|?q,则A?B,又A=x|?p=x|x?a或x?3a,B=x|?q=x?2或x>3,则0<a?2,且3a>3,所以实数a的取值范围是a|1<a?2.人教B版选修1-1同步练习1.2011年高考福建卷若a?R,则“a=1”是“|a|=1”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:选A.若a=1,则有|a|=1是真命题,即a=1?|a|=1,由|a|=1可得a=?1,所以若|a|=1,则有a=1是假命题,即|a|=1?a=1不成立, 所以a=1是|a|=1的充分而不必要条件,故选A.2.“θ=0”是“sinθ=0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A.由于“θ=0”时,一定有“sinθ=0”成立,反之不成立,所以“θ=0”是“sinθ=0”的充分不必要条件.3.用符号“?”或“ ”填空:1整数a能被4整除________a的个位数为偶数;2ab________ac2bc2.答案:1? 24.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的什么条件?解:当a=2时,直线ax+2y=0,即2x+2y=0与直线x+y=1平行, 因为直线ax+2y=0平行于直线x+y=1,所以=1,a=2,综上,“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充要条件.一、选择题1.设集合M=x|0x?3,N=x|0x?2,那么“a?M”是“a?N”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B.M=x|0x?3,N=x|0x?2,所以NM,故a?M是a?N的必要不充分条件.2.2010年高考福建卷若向量a=x,3x?R,则“x=4是|a|=5”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:选A.由x=4知|a|==5;反之,由|a|==5,得x=4或x=-4. 故“x=4”是“|a|=5”的充分而不必要条件,故选A.3.“b=c=0”是“二次函数y=ax2+bx+ca?0经过原点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A.b=c=0?y=ax2,二次函数一定经过原点;二次函数y=ax2+bx+c经过原点?c=0,b不一定等于0,故选A.4.已知p,q,r是三个命题,若p是r的充要条件且q是r的必要条件,那么q是p的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B.p是r的充要条件且q是r的必要条件,故有p ?r ?q,即p?q,q p,所以q是p的必要条件.5.已知条件p:y=lgx2+2x-3的定义域,条件q:5x-6x2,则q是p的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A.p:x2+2x-30,则x1或x-3;q:5x-6x2,即x2-5x+60,则2<x<3.由小集合?大集合,?q?p,但p q.故选A.6.下列所给的p、q中,p是q的充分条件的个数是?p:x1,q:-3x-3;?p:x1,q:2-2x2;?p:x=3,q:sinxcosx;?p:直线a,b不相交,q:a‖b.A.1B.2C.3D.4解析:选C.?由于p:x1?q:-3x-3,所以p是q的充分条件;?由于p:x1?q:2-2x2即x0,所以p是q的充分条件;?由于p:x=3?q:sinxcosx,所以p是q的充分条件;?由于p:直线a,b不相交q:a‖b,所以p不是q的充分条件.二、填空题7.不等式x2-3x+20成立的充要条件是________.解析:x2-3x+20?x-1x-20?1x2.答案:1x28.在?ABC中,“sinA=sinB”是“a=b”的________条件.解析:在?ABC中,由正弦定理及sinA=sinB可得2RsinA=2RsinB,即a=b;反之也成立.答案:充要9.下列不等式:?x1;?0x1;?-1x0;?-1x1.其中,可以是x21的一个充分条件的所有序号为________.解析:由于x21即-1x1,?显然不能使-1x1一定成立,???满足题意.答案:???三、解答题10.下列命题中,判断条件p是条件q的什么条件:1p:|x|=|y|,q:x=y;2p:?ABC是直角三角形,q:?ABC是等腰三角形;3p:四边形的对角线互相平分,q:四边形是矩形.解:1?|x|=|y| x=y,但x=y?|x|=|y|,?p是q的必要条件,但不是充分条件.2?ABC是直角三角形 ?ABC是等腰三角形.?ABC是等腰三角形 ?ABC是直角三角形.?p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.3四边形的对角线互相平分四边形是矩形.四边形是矩形?四边形的对角线互相平分.?p是q的必要条件,但不是充分条件.11.命题p:x0,y0,命题q:xy,,则p是q的什么条件? 解:p:x0,y0,则q:xy,成立;反之,由xy,?0,因y-x0,得xy0,即x、y异号,又xy,得x0,y0.所以“x0,y0”是“xy,”的充要条件.12.已知条件p:A=x|x2-a+1x+a?0,条件q:B=x|x2-3x+2?0, 当a为何值时1p是q的充分不必要条件;2p是q的必要不充分条件;3p是q的充要条件?解:由p:A=x|x-1x-a?0,由q:B=[1,2].1?p是q的充分不必要条件,?A?B且A?B,故A=[1,a]?1?a<2.2?p是q的必要不充分条件,?B?A且A?B,故A=[1,a]且a>2?a>2.3?p是q的充要条件,?A=B?a=2 人教B版选修1-1同步练习1.命题“若a0,则=”的逆命题为A.若a?0,则?B.若?,则a0C.若?,则a?0D.若=,则a0解析:选D.逆命题为把原命题的条件和结论对调.2.2011年高考山东卷已知a,b,c?R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2?3”的否命题是A.若a+b+c?3,则a2+b2+c23B.若a+b+c=3,则a2+b2+c23C.若a+b+c?3,则a2+b2+c2?3D.若a2+b2+c2?3,则a+b+c=3解析:选A.a+b+c=3的否定是a+b+c?3,a2+b2+c2?3的否定是a2+b2+c2<3.3.命题“若A?B=B,则A?B”的否命题是________.答案:若A?B?B,则A?B4.已知命题p:“若ac?0,则二次方程ax2+bx+c=0没有实根”.1写出命题p的否命题;2判断命题p的否命题的真假.解:1命题p的否命题为:“若ac0,则二次方程ax2+bx+c=0有实根”;2命题p的否命题是真命题.证明如下:?ac0,?-ac0?Δ=b2-4ac0?二次方程ax2+bx+c=0有实根.?该命题是真命题.一、选择题1.若“xy,则x2y2”的逆否命题是A.若x?y,则x2?y2B.若xy,则x2y2C.若x2?y2,则x?yD.若xy,则x2y2解析:选C.由互为逆否命题的定义可知,把原命题的条件的否定作为结论,原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题.2.命题“若?ABC有一内角为,则?ABC的三内角成等差数列”的逆命题A.与原命题同为假命题B.与原命题的否命题同为假命题C.与原命题的逆否命题同为假命题D.与原命题同为真命题解析:选D.原命题显然为真,原命题的逆命题为“若?ABC的三内角成等差数列,则?ABC有一内角为”,它是真命题.故选D.3.已知原命题“菱形的对角线互相垂直”,则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是A.逆命题、否命题、逆否命题都为真B.逆命题为真,否命题、逆否命题为假C.逆命题为假,否命题、逆否命题为真D.逆命题、否命题为假,逆否命题为真解析:选D.因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题,所以它的逆否命题为真;其逆命题:“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题,所以原命题的否命题也是假命题.4.若命题p的逆命题是q,命题q的否命题是r,则p是r的A.逆命题B.逆否命题C.否命题D.以上判断都不对解析:选B.命题p:若x,则y,其逆命题q:若y,则x,那么命题q的否命题r:若?y,则?x,所以p是r的逆否命题.所以选B.5.与命题“能被6整除的整数,一定能被3整除”等价的命题是A.能被3整除的整数,一定能被6整除B.不能被3整除的整数,一定不能被6整除C.不能被6整除的整数,一定不能被3整除D.不能被6整除的整数,不一定能被3整除解析:选B.一个命题与它的逆否命题是等价命题,选项B中的命题恰为已知命题的逆否命题.6.存在下列三个命题:?“等边三角形的三个内角都是60?”的逆命题;?“若k0,则一元二次方程x2+2x-k=0有实根”的逆否命题;?“全等三角形的面积相等”的否命题.其中真命题的个数是A.0B.1C.2D.3解析:选C.??正确.二、填空题7.命题“若a1,则a0”的逆命题是________,逆否命题是________.答案:若a0,则a1 若a?0,则a?18.有下列几个命题:?“若ab,则a2b2”的否命题;?“若a+b是无理数,则a,b都是无理数”的逆命题;?“若x24,则-2x2”的逆否命题.其中真命题的序号是________.答案:?9.在空间中,?若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线;?若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是________.解析:?中的逆命题是:若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面.我们用正方体AC1做模型来观察:上底面A1B1C1D1中任意三点都不共线,但A1,B1,C1,D1四点共面,所以?中的逆命题不是真命题.?中的逆命题是:若两条直线是异面直线,则两条直线没有公共点.由异面直线的定义可知,成异面直线的两条直线不会有公共点.所以?中的逆命题是真命题.答案:?三、解答题10.写出下列原命题的其他三种命题,并分别判断真假.1在?ABC中,若ab,则?A?B;2正偶数不是质数.解:1逆命题:在?ABC中,若?A?B,则ab,真命题;否命题:在?ABC中,若a?b,则?A??B,真命题;逆否命题:在?ABC中,若?A??B,则a?b,真命题.2逆命题:若一个数不是质数,则它一定是正偶数,假命题;否命题:若一个数不是正偶数,则它一定是质数,假命题;逆否命题:若一个数是质数,则它一定不是正偶数,假命题.11.判断下列命题的真假:1“若x?A?B,则x?B”的逆命题与逆否命题;2“若自然数能被6整除,则自然数能被2整除”的逆命题.解:1逆命题:若x?B,则x?A?B.根据集合“并”的定义,逆命题为真.逆否命题:若x?B,则x?A?B.逆否命题为假.如2?1,5=B,A=2,3,但2?A?B.2逆命题:若自然数能被2整除,则自然数能被6整除.逆命题为假.反例:2,4,14,22等都不能被6整除.12.判断命题“若m0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命题的真假.解:?m0,?12m0,?12m+40.?方程x2+2x-3m=0的判别式Δ=12m+40.?原命题“若m0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”为真命题.又因原命题与它的逆否命题等价,所以“若m0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命题也为真命题.人教B版选修1-1第1章章末综合检测时间:120分钟;满分:150分一、选择题本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.命题“若A?B,则A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是A.0B.2C.3D.4解析:选B.原命题为假,故其逆否命题为假;其逆命题为真,故其否命题为真.故共有2个真命题.2.若命题p:x=2且y=3,则?p为A.x?2或y?3B.x?2且y?3C.x=2或y?3D.x?2或y=3解析:选A.由于“且”的否定为“或”,所以?p:x?2或y?3.故选A.3.命题“若ab,则a-b-”的逆否命题是A.若ab,则a-b-B.若a-b-,则abC.若a?b,则a-?b-D.若a-?b-,则a?b解析:选D.逆否命题是把原命题条件的否定作为结论,把原命题结论的否定作为条件而构成的.4.下列语句中,命题和真命题的个数分别是?垂直于同一条直线的两条直线平行吗??一个数不是奇数就是偶数;?x+y是有理数,则x、y也都是有理数;?求证:x?R,方程x2+x+1=0无实数根.A.3,1B.2,2C.2,0D.2,1解析:选C.命题是?、?,它们都是假命题,所以选C.5.下列全称命题中假命题的个数是?2x+1是整数x?R ?对所有的x?R,x3 ?对任意一个x?Z,2x2+1为奇数A.0B.1C.2D.3解析:选C.对于?,当x=时,2x+1=不是整数,假命题.对于?,当x=0时,03,假命题.对于?,当x?Z时,2x2是偶数,进而2x2+1是奇数,所以??是假命题,故选C.6.“x0”是“0”成立的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.非充分非必要条件D.充要条件解析:选A.因为当x0时,一定有0,但当0时,x0也成立,因此,x0是0成立的充分非必要条件.7.下列命题中的假命题是A.?x?R,2x-10B.?x?N*,x-120C.?x?R,lgx1D.?x?R,tanx=2解析:选B.对于A,正确;对于B,当x=1时,x-12=0,错误;对于C,当x?0,1时,lgx01,正确;对于D,正确.8.2011年高考大纲全国卷下面四个条件中,使ab成立的充分而不必要的条件是A.ab+1B.ab-1C.a2b2D.a3b3解析:选A.由a>b+1得a>b+1>b,即a>b;且由a>b不能得出a>b+1.因此,使a>b成立的充分不必要条件是a>b+1,故选A.9.fx、gx是定义在R上的函数,hx=fx+gx,则“fx、gx均为偶函数”是“hx为偶函数”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:选B.若fx、gx均为偶函数,则hx一定是偶函数,但hx是偶函数,并不能保证fx、gx均为偶函数,例如:fx=x,gx=-x,fx+gx=0是偶函数,但fx与gx均为奇函数.10.已知p:x=1,?q:x2+8x-9=0,则下列为真命题的是A.若p,则qB.若?q,则pC.若q,则?pD.若?p,则q解析:选C.p:x=1,q:x?1且x?-9,易判断A、B为假命题,?x2+8x-9?0?x?1,?选项C正确.11.下列说法错误的是A.命题“若m0,则方程x2+3x-m=0有实根”的逆否命题为“若方程x2+3x-m=0无实根,则m?0”B.“x=2”是“x2-5x+6=0”的充分不必要条件C.若p?q为假命题,则p、q均为假命题D.若命题p:?x0?R,使得x+x0+10,则?p:?x?R,均有x2+x+1?0解析:选C.C项p?q为假命题,则只要p、q中至少有一个为假即可.12.已知命题p:存在x?R,使tanx=,命题q:x2-3x+20的解集是x|1x2,则下列结论:?命题“p且q”是真命题;?命题“p且?q”是假命题;?命题“?p或q”是真命题;?命题“?p或?q”是假命题.其中正确的是A.??B.???C.???D.????解析:选D.?p、q都是真命题,?????均正确.二、填空题本大题共4小题.把答案填在题中横线上13.命题p:内接于圆的四边形的对角互补,则p的否命题是________,非p是________.答案:不内接于圆的四边形的对角不互补内接于圆的四边形的对角不互补14.用量词符号“?”或“?”表示下列命题:1凸n边形的外角和等于2π:________;2存在一个有理数x0,使得x=8:________.答案:1?x?凸n边形,x的外角和等于2π2?x0?Q,x=815.a=3是“直线l1:ax+2y+3a=0和直线l2:3x+a-1y=a-7平行且不重合”的________条件.解析:当a=3时,l1:3x+2y+9=0,l2:3x+2y+4=0,?l1‖l2.反之,若l1‖l2,则aa-1=6,即a=3或a=-2,但a=-2时,l1与l2重合.答案:充要16.给出下列命题:?已知a=3,4,b=0,-1,则a在b方向上的投影为-4;?函数y=tanx+的图象关于点,0成中心对称;?若a?0,则a?b=a?c是b=c成立的必要不充分条件.其中正确命题的序号是________.将所有正确命题的序号都填上解析:??|a|=5,|b|=1,a?b=-4,?cos〈a,b〉=-,?a在b方向上的投影为|a|?cos〈a,b〉=-4,?正确.?当x=时,tanx+无意义,由正切函数y=tanx的图象的性质知,?正确.?当a?0,b=c时,a?b=a?c成立.当a?0,a?b=a?c时不一定有b=c.??正确.答案:???三、解答题本大题共6小题.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.已知命题p:?非零向量a、b、c,若a?b-c=0,则b=c.写出其否定和否命题,并说明真假.解:?p:?非零向量a、b、c,若a?b-c=0,则b?c.?p为真命题.否命题:?非零向量a、b、c,若a?b-c?0,则b?c.否命题为真命题.18.指出下列命题中,p是q的什么条件:1p:x|x-2或x3;q:x|x2-x-60;2p:a与b都是奇数;q:a+b是偶数.解:1?x|x-2或x3=R,x|x2-x-60=x|-2x3,?x|x-2或x3x|-2x3,而x|-2x3?x|x-2或x3.?p是q的必要不充分条件.2?a、b都是奇数?a+b为偶数,而a+b为偶数a、b都是奇数,?p是q的充分不必要条件.19.根据条件,判断“p?q”,“p?q”,“?p”的真假:1p:9是144的约数,q:9是225的约数;2p:不等式x2-2x+10的解集为R,q:不等式x2-2x+1?0的解集为解:1p?q:9是144或225的约数.p?q:9是144与225的公约数.?p:9不是144的约数.?p真,q真,?p?q为真,p?q为真,而?p为假.2p?q:不等式x2-2x+10的解集为R或不等式x2-2x+1?0的解集为 p?q:不等式x2-2x+10的解集为R且不等式x2-2x+1?0的解集为 ?p:不等式x2-2x+10的解集不为R.?p假,q假,?p?q为假,p?q为假,而?p为真.20.已知p:A=x|a-4xa+4,q:B=x|x2-4x+30,且x?A是x?B的必要条件,求实数a 的取值范围.解:因为p:A=x|a-4xa+4,q:B=x|1x3.又因为x?A是x?B的必要条件,所以q?p,即B?A.所以?即-1?a?5.?实数a的取值范围是a|-1?a?5.21.已知p:x2-x?6,q:x?Z.若p?q和?q都是假命题,求x的值.解:?p?q为假命题,?p、q至少有一个为假.??q为假,?q为真,即p假q真,?x2-x6且x?Z,?-2x3且x?Z,即x=-1,0,1,2.22.π是圆周率,a、b、c、d?Q,已知命题p:若aπ+b=cπ+d,则a=c且b=d.1写出p的逆命题、否命题及逆否命题并判断真假;2判断“a=c且b=d”是“aπ+b=cπ+d”的什么条件?解:1逆命题:若a=c且b=d,则aπ+b=cπ+d,真命题.逆否命题:若a?c或b?d,则aπ+b?cπ+d,真命题.否命题:若aπ+b?cπ+d,则a?c或b?d,真命题.2“a=c且b=d”是“aπ+b=cπ+d”的充要条件.充分性:?aπ+b=cπ+d;必要性:aπ+b=cπ+d?a-cπ=d-b,?d-b?Q,?a-c=0,d-b=0,即a=c且b=d 人教B版选修1-1同步练习1.设P是椭圆+=1上的点,若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于A.4B.5C.8D.10答案:D2.椭圆+=1的焦点坐标是A.?4,0B.0,?4C.?3,0D.0,?3答案:D3.已知椭圆的两个焦点为F1-1,0,F21,0,且2a=6,则椭圆的标准方程为________.答案:+=14.已知B、C是两定点,|BC|=8,且?ABC的周长等于18,求这个三角形顶点A的轨迹方程.。

人教版数学高一第二章点,直线,平面之间的位置关系单元测试精选(含答案)2

【答案】A
15．如图，在三棱柱 ABC－A′B′C′中，点 E、F、H、K 分别为 AC′、CB′、A′B、B′C′
的中点，G 为△ABC 的重心，从 K、H、G、B′中取一点作为 P，使得该三棱柱恰有 2
条棱与平面 PEF 平行，则点 P 为 ( )
A．K
B．H
C．G
D．B′
【来源】人教 A 版高中数学必修二第 2 章章末综合测评 3
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
【来源】人教 A 版高中数学必修二第二章章末检测卷
【答案】C
19．如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A、B 到 l 的距离分别是 a 和 b，AB 与α、β
试卷第 5页，总 17页
所成的角分别是θ和φ，AB 在α、β内的射影长分别是 m 和 n，若 a＞b，则 ( )
【来源】2013-2014 学年福建省清流一中高一下学期第二次阶段考数学试卷（带解析) 【答案】①②
30．如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M，N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点，若 B1MN 是直角，则 C1MN ________.
试卷第 8页，总 17页
【来源】人教 A 版 2017-2018 学年必修二第 2 章章末综合测评 1 数学试题【答案】90°
29．如图，将边长为1的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得平面 ADC 平面 ABC ，在折起后形成的三棱锥 D ABC 中，给出下列三个命题： ① DBC 是等边三角形； ② AC BD ； ③三棱锥 D ABC 的体积是 2 .
6
其中正确命题的序号是* * * ．（写出所有正确命题的序号）
试卷第 1页，总 17页

高中数学必修1(人教B版)第二章函数2.1知识点总结含同步练习题及答案

描述：高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第二章函数 2.1 函数一、学习任务1. 通过同一过程中的变量关系理解函数的概念；了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），会求一些简单函数的定义域和值域；初步掌握换元法的简单应用．2. 了解映射的概念，能判断一些简单的对应是不是映射．3. 理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值，会画函数的图象．4. 理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性；理解函数最大（小）值的概念及其几何意义；了解函数奇偶性的含义．二、知识清单函数的相关概念函数的表示方法映射函数的定义域的概念与求法函数的值域的概念与求法函数的解析式的概念与求法分段函数复合函数函数的单调性函数的最大（小）值函数的奇偶性三、知识讲解1.函数的相关概念函数的概念设，是非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)．记作：其中，叫做自变量，自变量取值的范围（数集）叫做这个函数的定义域．叫做因变量，与的值相对应的值叫做函数在处的函数值，所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域．相同函数的概念A B f Ax B f (x )f :A →B A By =f (x ),x ∈A .x A y x y x {y | y =f (x ),x ∈A }N集合的函数关系的有（）012．数轴表示为（2）{x | 2⩽x⩽8 且8]（3）函数的图象是由 t 的映射的是（）N（2）函数图象如图所示：y的距离与点y=f(x)如图为函数的图象，试写出函数解： [1,2]2（5）（图象法）画出。

2020-2021高中人教A版必修4《平面向量的数量积》同步练习(B)含答案

r2 r2 r r a b 2a b 3
uuur
设 AO
ar ，
uuur AB
r
b ，建立平面直角坐标系，如图所示：
则 A 1，0 ， B 0， 3
∴ ar
1，0 ，
r b
1， 3
∴
rr
r
r a
tb a tb
2
2
1t
2
3t
2
1 t
2
2
2
2
1
3
3t 2( t
0
4
4
2
1 t
8
2
3 0
8
它表示点 P t，0 与点 M 1 ， 3 、 N 1， 3 的距离之和的 2 倍
（ 1）求
r a
r b
与
r a
r b
的夹角；
（ 2）若
r a
r a
r b
，求实数
的值．
【答案】（ 1） 3 ；（2） 1．
4
【解析】
r
r
rr
（ 1）因为 a 1,2 ， b 3,4 ，所以 a b
rr
2,6 ， a b 4, 2
所以
cos
r a
r rr r a b,a b
r
（ 2）当 a
rr r b,a b
uuur CP
uuur AB
uuur PA
uuur PB
，求实数
的取值范围．
【答案】（ 1） 2 7 ；（ 2） 2 2 1 .
2
【解析】
（ I ）当
1 时，
uuur AP
1
uuur AB
，
3
3

新课标数学必修4第2章平面向量同步练习(含答案)

第1课时平面向量的实际背景及基础概念一、选择题1.下列各量中不是向量的是（A.浮力 B .风速 C.位移 D.2.下列命题正确的是（A.向量AB 与BA 是两平行向量B.若a 、b 都是单位向量，则a=bC.若=，则A 、B 、C 、D四点构成平行四D.3. 在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则（A. 与AC 共线B. 与CB 共线C. 与相等D. 与相等 4.在下列结论中，正确的结论为（(1)|a |=|b |⇒a =b ； (2) a ∥b 且|a |=|b | ⇒ a =b ； (3) a =b ⇒a ∥b 且|a |=|b |(4) a ≠b ⇒ a 与b 方向相反 A. (3) B.(2)(3) C.(2)(4) D.(1)(3)(4) 二、填空题：5.物理学中的作用力和反作用力是模且方向的共线向量.6.把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点，则终点所构成的图形是；若这些向量为单位向量，则终点构成的图形是 .7.已知||=1，| AC |=2，若∠BAC=60°，则|BC |= .8.在四边形ABCD 中， =，且||=||，则四边形ABCD 是 .三、解答题：9. 某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点. (1)作出向量、、 (1 cm 表示200 m).(2)求的模.10.如图，已知四边形ABCD 是矩形，设点集M ={A ，B ，C ，D }，求集合T ={、P 、Q ∈M ，且P 、Q 不重合}.第10题图A B一、选择题1.下列等式: a +0=a ， b +a =a +b ，AB +AC =BC ， AB +BC =BC 正确的个数是( ) A.2 B .3 C.4 D.52.化简++的结果等于( ) A. B . C. SPD.3.若C 是线段AB 的中点，则 AC +为A. B . C. 0D. 以上都错4．O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设=a ，=b ，=c ，=d ，则（）A.a +b =c +d B .a +c =b +d C.a +d =b +c D.a +b +c +d =0 二、填空题：5.化简：（OM BO MB AB +++)= ； 6．如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空:b +e = ， f +d = ，a +b +c = .7.已知向量a 、b 分别表示“向北走5km ”和“向西走5公里”，则a +b 表示； 8、一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4 km/h ，则河水的流速的大小为 . 三、解答题：9.一架飞机向北飞行300公里，然后改变方向向东飞行400公里，求飞机飞行的路程和位移.10．如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a +b =AB ，c -d =，并画出a +d.Dd e c A f Ca bBC一、选择题1.下列等式:①AB -= ②AB -= ③-(-a )=a ④a +(-a )=0 ⑤a +(-b )=a -b( )A.2 B .3 C.4D.52. 在△ABC 中， =a ， =b ，则AB 等于( ) A.a +bB .-a +(-b ) C.a -bD.b -a3.在下列各题中，正确的命题个数为( )(1)若向量a 与b 方向相反，且|a |＞|b |，则a +b 与a (2)若向量a 与b 方向相反，且|a |＞|b |，则a -b 与a +b(3)若向量a 与b 方向相同，且|a |＜|b |，则a -b 与a (4)若向量a 与b 方向相同，且|a |＜|b |，则a -b 与a +b A.1 B.2 C.3 D.44.若a 、b 是非零向量，且|a -b |=|a |=|b ，则a 和a +b 的夹角是（） A.090 B . 600 C.300 D.045二、填空题5. 在正六边形ABCDEF 中， AE =m ， AD =n ，则BA = .6. 已知a 、b 是非零向量，则|a -b |=|a |+|b |时，应满足条件. 7. 如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空: c -d = ，a +b +c -d= .8.已知=a ， =b ，若||=12，||=5，且∠AOB =90°，则|a -b |= . 三、解答题9. 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.10. 已知O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若=a ， BC =b ，=c ，试证明:c +a -b =.Dd e c A fa b C B第4、5课时向量的数乘运算及其几何意义一、选择题 1.设e 1、e2A.e 1、e2 B .e 1、e2C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a =e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .C.相等D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -yA.3B .-3C.0D.24. 下面向量a 、b 共线的有（）(1)a =2e 1，b =-2e 2 (2)a =e 1-e 2，b =-2e 1+2e2(3)a =4e 1-52e 2，b =e 1-101e 2 (4)a =e 1+e 2，b =2e 1-2e 2.(e 1、e 2不共线)A.(2)(3) B .(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4) 二、填空题5.若a 、b 不共线，且λa +μb =0(λ，μ∈R )则λ= ，μ= .6.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .7.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).8. 如图，在△ABC 中，=a， =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，则向量= 三、解答题：9. 如图，平行四边形ABCD 中，＝ａ，＝ｂ，N 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF ＝31BC ，以ａ、ｂ为基底分解向量与.DABCa bB FC MA N D10.如图，O 是三角形ABC 内一点，PQ ∥BC ，且BCPQ＝ｔ，＝ａ，＝ｂ，＝с，求OP 与.第6课时平面向量基本定理一、选择题1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( ) A. e 1、e 2一定平行 B. e 1、e 2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( )A.3 B .-3 C.0 D.2 4．已知|a |=1，|b |=2，且a -b 与a 垂直，则a 与b 的夹角是（）A.60° B .30° C.135° D.４５° 二、填空题5．已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .6．已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且 a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).7．已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .8．已知矩形ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 三、解答题9．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB=2CD ，M ， N 分别是DC ， AB 中点，设AD =a ， AB =b ，试以a， b 为基底表示DC ， BC ， MN .10．化简++++.第7课时平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、选择题 1.设a =(23，sin α)，b=(ｃｏｓα，31)，且a ∥b ，则锐角α为（） A.30° B .60° C.45° D.75°2.设k ∈Ｒ，下列向量中，与向量a =(1，-1)一定不平行的向量是（）A.(k ，k ) B .(-k ，-k )C.(k ２＋１，ｋ２＋１)D.（ｋ２－１，ｋ２－１）3．已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )等于（） A.72 B .-72 C.36 D.-36 4．已知|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直二、填空题5．已知a =(3，2)，b =(2，-1)，若λa +b 与a +λb （λ∈R ）平行，则λ＝ . 6．若a=(-1，x)与b=(-x ，2)共线且方向相同，则x= . 7．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) 则-2=8．在△ABC 中，AB =a， BC =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，则向量= .三、解答题9．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP MN ，求P 点的坐标.10．在中，设对角线AC =a ，BD =b 试用a， b 表示AB ，BC .11.已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) 求证：四边形ABCD 是梯形.12．设1e ， 2e 是两个不共线向量，已知=21e +k 2e ， =1e +32e ，=21e -2e ，若三点A ， B ， D 共线，求k 的值.第8课时平面向量共线的坐标表示一、选择题1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（） A.6 B .5 C.7 D.82.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（） A.-3 B .-1 C.1 D.33.若=i +2j ， =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x 、y 的值可能分别为（）A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，44.若a =(x １，y １)，b =(x ２，y ２)，且a ∥b ，则坐标满足的条件为（） A.x １x ２－ｙ１ｙ２＝0 B .ｘ１ｙ１－ｘ２ｙ２＝0 C.ｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１＝0 D.ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝0 二、填空题5.已知a =(4，2)，b =(6，y )，且a ∥b ，则y = .6已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .7.已知□ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 8.若A (-1，-1)，B (1，3)，C (x ，5)三点共线，则x = . 三、解答题9.已知a =(1，2)，b =(-3，2)，当k 为何值时k a +b 与a -3b 平行?10.已知A 、B 、C 、D 四点坐标分别为A (1，0)，B (4，3)，C (2，4)，D (0，2)，试证明：四边形ABCD 是梯形.11.已知A 、B 、C 三点坐标分别为(-1，0)、(3，-1)、(1，2)，AE =AC 3131=，求证：∥.12．△ABC 顶点A(1， 1)， B(-2， 10)， C(3， 7) ，∠BAC 平分线交BC 边于D ，求D 点坐标第9课时平面向量的数量积的物理背景及其含义一、选择题1.已知|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（）A.60° B .30° C.135° D.４５° 2.已知|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（） A.2 B .23材 C.6 D.123.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（）A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知a =(λ，２)，b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（）A.λ＞310 B .λ≥310 C.λ＜310 D.λ≤310 二、填空题5.已知a =(3,0),b =(k ,5)且a 与b 的夹角为43π，则k 的值为 . 6.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2,|b |=1,则|a +b |·|a -b |= . 7.已知a +b =2i -8j ,a -b =-8i +16j ,其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .8.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1,|b |=2,|c |=3,则(a +2b -c )２＝______. 三、解答题9.已知|a |=1,|b |=2,(1)若a ∥b ,求a ·b ;(2)若a 、b 的夹角为60°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.10.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为60°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.11.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +t b |最小时的t 值，并求此时b 与a +t b 的夹角.12.已知｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，a ·b ＝－3，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜.第10课时平面向量数量积的运算律一、选择题1.下列叙述不正确的是（）A.向量的数量积满足交换律 B .向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a ·b 是一个实数2.已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )等于（） A.72 B .-72 C.36 D.-363.|a |=3,|b |=4,向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直 4.给定两个向量a =(3,4),b =(2,-1)且(a +x b )⊥(a -b ),则x 等于（） A.23 B .223 C. 323 D. 423 二、填空题5.已知a =(1,2),b (1,1),c=b -k a ,若c ⊥a ，则c ＝ .6.已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ . 7.已知|a |=2,|b |=5,a ·b =-3,则|a +b |=______,|a -b |= . 8.设|a |=3,|b |=5,且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ . 三、解答题5. 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°).6. 已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(x a +y b )⊥a ，且｜x a +y b ｜=1.7. 已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x .12.如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量的坐标.第11课时平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、选择题1.若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |２－４a ·b ＝（） A.23 B .57 C.63 D.832.已知A (1,2),B (2,3),C (-2,5)，则△ABC 为（）A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（）A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53(--C.)54,53(-或)53,54(-D.)54,53(-或)54,53(-4.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为（） A.13 B .513 C.565D.65 二、填空题5.a =(2,3),b =(-2,4),则(a +b )·(a -b )= .6.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ,-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 7.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =,b =,则a 与b 的夹角为 . 8.已知|a |=10,b =(1,2)且a ∥b ,则a 的坐标为 .三、解答题9．已知a =(3,-1),b =(1,2),求满足条件x ·a =9与x ·b =-4的向量x .10.已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y 轴上找到一点C ，使∠ＡＣＢ＝９０°，若不能，说明理由；若能，求C 点坐标.11.四边形ABCD 中=AB (6,1), BC =(x ,y )，CD =(-2,-3), (1)若BC ∥DA ，求x 与y 间的关系式；(2)满足(1)问的同时又有⊥,求x ,y 的值及四边形ABCD 的面积.12.在△ABC 中，=(2, 3)，=(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值..第12课时平面向量的应用举例一选择题1．在四边形ABCD 中，若则,AD AB AC += ( ) A ．ABCD 是矩形 B.ABCD 是菱形C ABCD 是正方形 D.ABCD 是平行四边形 2已知:在是则中，ABC ABC ∆<∙∆,0( )A 钝角三角形B 直角三角形C 锐角三角形D 任意三角形二．解答题3．设M 、N 分别是四边形ABCD 的对边AB 、CD 的中点，求证：)(21MN +=4．求证:对角线相等的四边形是矩形.5.求证：圆的直径所对的圆周角为直角.6．求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.7．证明:三角形的三条高交于一点.8．.AC AB CE BD CE BD ABC ==∆，求证：为中线，且，中，第13课时向量在物理中的应用一选择题1某人以时速为a km 向东行走,此时正刮着时速为a km 的南风,则此人感到的风向及风速分别为( )A ．东北, 2akm/h B.东南, akm/hC ．西南, 2akm/h D.东南, 2akm/h2．一船以4km/h 的速度沿与水流方向成1200的方向航行，已知河水流速为2km/h ，则ABCDA E3h 后船的实际航程为( )A ．63km B.6km C ．53km D.5km二、填空题3．力F 1,F 2共同作用在某质点上,已知F 1=5N, F 2=12N,且F 1与F 2互相垂直,则质点所受合力的大小为_______________4．在200米山顶上.测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 60,30则塔高为__________米 5．某人向正东方向走x 千米后,他向右转150,然后朝新方向走3千米.结果他离开出发点恰好3千米,则 x=_________________.6.若用两根完全相同的绳子向两侧呈“V ”挂重物，每根绳子最大拉力为100N ，两根绳子间的夹角为600，则能挂重物的最大重量是 . 三、解答题7．一个质量为100g 的球从1.8m 的. 高处落到水平板上又弹回到1.25m 的高度，求在整个过程中重力对球所做的功。

高中数学选修2-1(人教B版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习题及答案

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④若 a = b ， b = c ，则 a = c ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数是（）
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中，必有 AC = A 1 C1 ；
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A．4 B．3 C．2 D．1 解：C．当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，由于向量可以平移，故两个向量相等，不一定有起点相同、终点相同，故命题①错误；两个向量的模长相等，两个向量不一定相等，还要考虑方向因素，故命题②错误；命题③④正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为 1 ，但是方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．在长方体 ABCD − A 1 B 1 C1 D 1 中，下列各式运算结果为 BD 1 的是（
− − − → − − − → −→ − −→ − A 1 N = A 1 A + AB + BN − → → 1 −→ = − a + b + BC 2 − → → 1 −→ = − a + b + AD 2 → → 1→ = −a + b + c. 2
（3）因为 M 是 AA 1 的中点，所以
− → −→ − − − → − MP = MA + AP − − → −→ − 1− = A 1 A + AP 2 1→ → → 1→ = − a + (a + c + b) 2 2 1→ 1→ → = a + b + c; 2 2 − − − → −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1→ → NC1 = NC + CC1 = BC + AA 1 = AD + AA 1 = c +a 2 2 2

(新教材)2021版高中数学人教B版必修第二册同步练习：6.3 平面向量线性运算的应用 (含解析)

第六章 6.3请同学们认真完成 [练案31]A 级基础巩固一、选择题1．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( C ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形D ．等腰梯形[解析] 由BA →＝CD →可知，四边形ABCD 为平行四边形，又因为|AB →|＝|AD →|，所以四边形ABCD 为菱形．2．一条渔船距对岸4 km ，以2 km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8 km ，则河水的流速为( A )A ．2 3 km/hB ．2 km/hC ． 3 km/hD ．3 km/h[解析] 如图，船在A 处，AB ＝4，实际航程为AC ＝8，则∠BCA ＝30°，|v AB |＝2，|v AC |＝4，所以|v BC |＝23，故选A ．3．在矩形ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝2，则|BA →＋BD →＋BC →|＝( C ) A ．2 B ．4 C ．4 5D ．2 5[解析] 由平行四边形法则可知BA →＋BC →＝BD →，原式即为2|BD →|，而BD 为矩形对角线，所以|BD →|＝42＋22＝2 5.原式＝2|BD →|＝2×25＝4 5.故选C ．4．如图，在△ABO 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则( A )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14[解析] 由题可知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13，故选A ．5．(多选题)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( BD )A ．|b |＝1B ．|a |＝1C ．a ∥bD ．(4a ＋b )⊥BC →[解析] 如图，由题意，BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，则|b |＝2，故A 错误；|2a |＝2|a |＝2，所以|a |＝1，故B 正确；因为AB →＝2a ，BC →＝b ，故a ，b 不平行，故C 错误；设B ，C 中点为D ，则AB →＋AC →＝2AD →，且AD →⊥BC →，而2AD →＝2a ＋(2a ＋b )＝4a ＋b ，所以(4a ＋b )⊥BC →，故D 正确．二、填空题6．已知三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(x ，y )和合力F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3的坐标为__(－5,1)__．[解析] 因为F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(x ，y )，所以F 1＋F 2＋F 3＝(3,4)＋(2，－5)＋(x ，y )＝0，所以(3＋2＋x,4－5＋y )＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5＝0，y －1＝0，解得x ＝－5，y ＝1．所以F 3的坐标为(－5,1)．7．河水从东向西流，流速为2 km/h ，一艘船以2 3 km/h 垂直于水流方向向北横渡，则船实际航行的速度的大小是__4__km/h ．[解析] 由题意，如图，OA →表示水流速度，OB →表示船在静水中的速度，则OC →表示船的实际速度，则|OA →|＝2，|OB →|＝23，∠AOB ＝90°， ∴|OC →|＝4．8．△ABC 所在平面上一点P 满足P A →＋PC →＝mAB →(m ＞0，m 为常数)，若△ABP 的面积为6，则△ABC 的面积为__12__．[解析] 取AC 的中点O ，∵P A →＋PC →＝mAB →(m ＞0，m 为常数)， ∴mAB →＝2PO →，∴C 到直线AB 的距离等于P 到直线AB 的距离的2倍，故S △ABC ＝2S △ABP ＝12．三、解答题9．如图，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°.求A 和B 处所受力的大小．(忽略绳子重量)[解析] 设A ，B 处所受力分别为f 1，f 2,10N 的重力用f 表示，则f 1＋f 2＋f ＝0．以重力作用点C 为f 1，f 2的始点，作平行四边形CFWE ，使CW 为对角线，则CF →＝－f 2，CE →＝－f 1，CW →＝f ．∠ECW ＝180°－150°＝30°，∠FCW ＝180°－120°＝60°，∠FCE ＝90°， ∴四边形CEWF 为矩形，∴|CE →|＝|CW →|cos30°＝53， |CF →|＝|CW →|cos60°＝5．即A 处所受力的大小为53N ，B 处所受力的大小为5N ．10．如图，点O 是平行四边形ABCD 的中心，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AF FB ＝12．求证：点E ，O ，F 在同一直线上． [解析] 设AB →＝m ，AD →＝n ，由CE ED ＝AF FB ＝12知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点，所以FO →＝F A →＋AO →＝13BA →＋12AC →＝－13m ＋12(m ＋n )＝16m ＋12n ，OE →＝OC →＋CE →＝12AC →＋13CD →＝12(m ＋n )－13m ＝16m ＋12n ．所以FO →＝OE →．又O 为FO →和OE →的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上．B 级素养提升一、选择题1．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为( B ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形[解析] AB →＝(2，－2)，AC →＝(－4，－8)，BC →＝(－6，－6)，所以|AB →|＝22＋(－2)2＝22，|AC →|＝16＋64＝45， |BC →|＝36＋36＝62，所以|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2，所以△ABC 为直角三角形．2．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，已知AB →＝a ，AC →＝b ，则下列向量中与AD →同方向的是( A )A ．a ＋b |a ＋b |B ．a |a |＋b |b |C ．a －b |a －b |D ．a |a |－b |b |[解析] 因为D 为BC 边的中点，则有AB →＋AC →＝2AD →，所以a ＋b 与AD →共线，又因为a ＋b |a ＋b |与a ＋b 共线，所以选项A 正确．3．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为( B )A ．40 NB ．10 2 NC ．20 2 ND ．10 N[解析] 对于两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°，合力的大小为20 N 时，由三角形法则可知，这两个力的大小都是10 2 N ；当它们的夹角为120°时，由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为10 2 N ．4．已知点A (2,0)，B (－4,4)，C (1，－1)，D 是线段AB 的中点，延长CD 到点E 使|DC →|＝2|DE →|，则点E 的坐标为( A )A ．(－2，72)B ．(2，72)C ．(2，－72)D ．(－2，－72)[解析] 由已知得D (－1,2)，因为|DC →|＝2|DE →|，所以CD →＝2DE →，设E (x ，y )，则有(－2,3)＝2(x ＋1，y －2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＝2x ＋2，3＝2y －4.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝72.二、填空题5．已知△ABC 的三个顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D ，E ，F 分别为边BC ，CA ，AB 的中点．则直线DE 的方程为__x －y ＋2＝0__，直线EF 的方程为__x ＋5y ＋8＝0__ ．[解析] 由已知得点D (－1,1)，E (－3，－1)，设M (x ，y )是直线DE 上任意一点，则DM →∥DE →．又DM →＝(x ＋1，y －1)，DE →＝(－2，－2)，所以(－2)×(x ＋1)－(－2)×(y －1)＝0，即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程．同理可求，直线EF 的方程为x ＋5y ＋8＝0．6．设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为__1∶2__．[解析] 设D 为AC 的中点，如图所示，连接OD ，则OA →＋OC →＝2OD →．又OA →＋OC →＝－2OB →，所以OD →＝－OB →，即O 为BD 的中点，从而容易得△AOB 与△AOC 的面积之比为1∶2．三、解答题7．如图，已知河水自西向东流速为|v 0|＝1 m/s ，设某人在静水中游泳的速度为v 1，在流水中实际速度为v 2．(1)若此人朝正南方向游去，且|v 1|＝ 3 m/s ，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v 2的大小；(2)若此人实际前进方向与水流垂直，且|v 2|＝ 3 m/s ，求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v 1的大小．[解析] 如图，设OA →＝v 0，OB →＝v 1，OC →＝v 2，则由题意知v 2＝v 0＋v 1，|OA →|＝1，根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB 为平行四边形．(1)由此人朝正南方向游去得四边形OACB 为矩形，且|OB →|＝AC ＝3，如图所示，则在直角△OAC 中，|v 2|＝OC ＝OA 2＋AC 2＝2，tan ∠AOC ＝31＝3，又α＝∠AOC ∈(0，π2)，所以α＝π3．(2)由题意知α＝∠OCB ＝π2，且|v 2|＝|OC →|＝3，BC ＝1，如图所示，则在直角△OBC 中，|v 1|＝OB ＝OC 2＋BC 2＝2，tan ∠BOC ＝13＝33，又∠BOC ∈(0，π2)，所以∠BOC ＝π6，则β＝π2＋π6＝2π3．答：(1)他实际前进方向与水流方向的夹角α为π3，v 2的大小为2 m/s ；(2)他游泳的方向与水流方向的夹角β为2π3，v 1的大小为2 m/s ．8．如图，在△ABC 中，M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN ．[解析] 设BM →＝e 1，CN →＝e 2，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1，BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2． ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2， BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2．故BA →＝BP →＋P A →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2．而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.∴AP →＝45AM →，BP →＝35BN →．故AP ∶PM ＝4∶1，BP ∶PN ＝3∶2．。

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D．−
C．
11 π 12
y = 3 sin (x − θ) 的图象的一条对称轴为 x = π − θ) = 1 或 −1． 12
sin (−
π π π ，从而 − =− 4 3 12
2. 点 P 在平面上作匀速直线运动，速度向量 v = (4, 3) （即点 P 的运动方向与 v 相同，且每秒移动的距离 |v| 个单位）．设开始时点 P 的坐标为 (−10, 10) ，则 5 秒后点 P 的坐标为 ( A．(−2, 4)
−→ −
−→ −
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4. 设 P 为 △ABC 内一点，D 为 △ABC 的边 AB 上一点，且满足 AD =
−→ − −→ − − 1 −→ S AP = AD + BC 则 △APD = ( 4 S △ABC 2 1 A． B． 9 6
答案： B 解析：
)
C．
7 54
D．
因为 AP = AD +
− − −→ − − −→ − 1 −→ 1 −→ 2 −→ BC ，所以 DP = BC ，又 AD = AB ．所以 4 4 3 三角形ADP 的高 AD 2 2 1 1 S △APD = = ，所以 = × = ． 3 3 4 6 AB S △ABC 三角形ABC 的高
四、课后作业
（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）
1. 将函数 y = 3 sin (x − θ) 的图象 F 按向量 (
π ，则 θ 的一个可能取值是 ( 4 5 5 A． B．− π π 12 12 x=
答案： A 解析：函数
)
π , 3) 平移得到图象 F ′ ，若 F ′ 的一条对称轴是直线 3 11 π 12
→
→
−→ −
→
− − − − − − − − − − −− − −− − 2 −→ − −→ − → → 2 √→2 → √ OC 即为小船的实际速度．所以 |OC | = ( a + b ) = a + b = 20(km/h)，
tan ∠AOC = √3，所以 ∠AOC = 60∘ ．所以小船的实际航行速度为 20 km/h ，按北偏东 30∘ 方向航行．
高中数学必修4(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章平面向量 2.4 向量的应用
一、学习任务了解向量是一种处理几何、物理等问题的工具．二、知识清单
平面向量的应用
三、知识讲解
1.平面向量的应用描述：向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用．例题：已知点 A(−2, 1) ．
−→ − →
−→ −
−→ −
→
→ −→ − −→ −→ − −→ − −→ − − → → OB = b ，以 OA ，OB 为邻边作矩形 OACB．连接 OC ，如图，则 OC = a + b ，并且 − − − − − − − − √
设 a ， b 分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点 O 作 OA = a ，
答案： C
)
B．(−30, 25)
C．(10, −5)
D．(5, −10)
3. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A (3, 1)，B (−1, 3) ，若点 C 满足
−→ − −→ − −→ − OC = αOA + βOB ，若中 α , β ∈ R，且 α + β = 1 ，则点 C 的轨迹方程为 (
（1）求过点 A 与向量 a = (3, 1) 平行的直线方程；（2）求过点 A 与向量 b = (−1, 2) 垂直的直线方程．
→ →
解：设所求直线上任取一点 P (x, y) ，则 AP = (x + 2, y − 1)．
（1）由 AP ∥ a ，所以 (x + 2) × 1 − 3(y − 1) = 0，即 x − 3y + 5 = 0，所以所求直线方程为 x − 3y + 5 = 0．（2）由题意知 AP ⊥ b ，所以 (x + 2) × (−1) + (y − 1) × 2 = 0，即 x − 2y + 4 = 0，所以所求直线方程为 x − 2y + 4 = 0．河水自西向东的速度为 10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，静水速度为 10√3 km/h，求小船的实际航行速度．解：
A．(x − 1)2 + (y − 2)2 = 5 C．2x − y = 0
答案： D 解析：设点
)

B．3x + 2y − 11 = 0 D．x + 2y − 5 = 0
−→ − −→ − −→ − C 坐标为 (x , y) ，∵ OC = αOA + βOB ，∴ (x , y) = (3α − β, α + 3β)，又 α + β = 1 ．则 { x = 3α − β = 4α − 1 ，消去 α 即可． y = α + 3β = 3 − 2α −→ − − 2 −→ AB ， 3 4 27