勾股定理题型总结

勾股定理

1：勾股定理

2、勾股逆定理 3：勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法,用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下：

方法一：

4EFGH

S S S ∆+=正方形正方形ABCD

,2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可证．

方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的

面积．

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为

22

1

422S ab c ab c =⨯+=+

大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=

方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形,

2

11

2S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形,化简得证 4：勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222

a b c +=中,a ,b ,c 为

正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数

②记住常见勾股数可以提高解题速度,如3,4,5；

6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41等

③用含字母的代数式表示n 组勾股数：22

1,2,1n n n -+2,n ≥n 为正整数；

c

b

a H

G F E

D

C

B

A

C

A

B

D

D C

B

A

E

C

B

A

2221,22,221n n n n n ++++n 为正整数2222,2,m n mn m n -+,m n >m ,n 为正整数

勾股定理典型例题及专项训练 专题一：直接考查勾股定理

1．已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形的面积; 2、已知：如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2;求：四边形ABCD 的面积;

3：在∆ABC 中,AB=13,AC=15,高AD=12,则BC 的长为多少

4：已知如图,在△ABC 中,∠C=60°,AB=34,AC=4,AD 是BC 边上的高,求BC 的长; 5、如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,设AB=c,AC=b,BC=a,CD=h;

求证：222

1

11h b a

=+ 6.如图,△ABC 中,AB=AC,∠A=45o,AC 的垂直平分线分别交AB 、AC 于D 、E,若CD=1,则BD

等于

A ．1

B ．

C ．

D ．

7.已知一直角三角形的斜边长是2,周长是2+6,求这个三角形的面积． 8.如图Rt ABC ∆,90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积 6.如图,△ABC 中,AB=AC=20,BC=32,D 是BC 上一点,且AD ⊥AC,求BD 的长．

7.如图,△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,P 是△ABC 内一点,满足PA=3,PB=1,•PC=2,求∠BPC 的度数．

8. 已知△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4, 1AD 平分∠BAC,交BC 于D 点,求CD 长 2BE 平分∠ABC,交AC 于E,求CE 长 专题二 勾股定理的证明

a

b

c

l

C

A

A

B C

A

B

C

1、如图,直线l 上有三个正方形a b c ，，,若a c ，的面积分别为5和11,则b 的面积为 Ａ4

Ｂ6

Ｃ16

Ｄ55

2、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案,其中四边形ABCD 和EF 都是正方形. 证：△ABF ≌△DAE

3、图①是一个边长为()m n +的正方形,小颖将

图①中的阴影部分拼成图②的形状,由图①和图② 能验证的式子是

A ．2

2

()()4m n m n mn +--= B ．2

2

2

()()2m n m n mn +-+=

C ．222()2m n mn m n -+=+

D ．22

()()m n m n m n +-=-

专题三 网格中的勾股定理

1、如图1,在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是 ACD 、EF 、GH

BAB 、EF 、GH CAB 、CD 、GH DAB 、CD 、EF

2、如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC 中,边长为无理数的边数是

A ． 0

B ． 1

C ． 2

D ． 3

3、2010年四川省眉山市如图,每个小正方形的边长为1,A 、B 、C 是小正方形 的顶点,则∠ABC 的度数为

A

B

C

D

E

F

G

H

← → → ←

m n m n

m

n 图①

图②

第3题图

A．90° B．60° C．45° D．30°

4、如图,小正方形边长为1,连接小正方形的三个得到,可得△ABC,则边AC上的高为

A.

2

2

3

B.

5

10

3

C.

5

5

3

D.

5

5

4

5、如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点称为格

点,请以图中的格点为顶点画一个边长为3、、的三角形．所画的三角

形是直角三角形吗说明理由．

6、如图,每个小正方形的边长是1,在图中画出面积为2的三个形状不同的三

角形要求顶点在交点处,其中至少有一个钝角三角形

专题四实际应用建模测长

1、如图8,水池中离岸边D点米的C处,直立长着一根芦苇,出水部分BC的长是米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B恰好落到D点,并求水池的深度AC.

2、有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开

3、台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力,如图,据气象观测,距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20千米,风力就会减弱一级,该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30o方向往C移动,且台风中心风力不变,若城市所受风力达到或走过四级,则称为受台风影响.

1该城市是否会受到这交台风的影响请说明理由.

2若会受到台风影响,那么台风影响该城市持续时间有多少

3该城市受到台风影响的最大风力为几级

专题五梯子问题

1、如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米

2、一架方梯长25米,如图,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米,1这个梯子

的顶端距地面有多高2如果梯子的顶端下滑了4米,那么梯子的底端在水平方

向滑动了几米

3、如图,梯子AB斜靠在墙面上,AC⊥BC,AC=BC,当梯子的顶端A沿AC方向下

滑x米时,梯足B沿CB方向滑动y米,则x与y的大小关系是

A

D

B

C

E

A

D

B C

A. y x =

B. y x >

C. y x <

D. 不能确定 专题六 最短路线

1、如图,学校教学楼旁有一块矩形花铺,有极少数同学为了避开拐角走“捷径”,在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路假设2步为1米,却踩伤了花草．

A 、6

B 、5

C 、4

D 、3

2、如图,一圆柱体的底面周长为20㎝,高AB 为10㎝,BC 是上底面的直径;一蚂蚁从点A 出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程;

3、如图,有一个圆柱体,底面周长为20㎝,高AB 为10㎝,在圆柱的下底面A 点处有一只蚂蚁,它想绕圆柱体侧面一周爬行到它的顶端C 点处,那么它所行走的路程是多少

4、如图,假如这是一个圆柱体的玻璃杯, AD 是杯底直径,C 是杯口一点,其他已知条件不变,蚂蚁从外部点A 处爬到杯子的内壁到达高CD 的中点E 处,最短该走多远呢杯子的厚度

不计 5、如图,一只蚂蚁从一个棱长为1米,且封闭的正方体盒子外部的顶点A 向

6、如图,长方体的长为15cm,宽为10cm,高 为20cm,点B 到点C 的距离为5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A 点爬到B 点,需要爬行的最短距

离是多少

7、如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为2m 、、,A 和B 是台阶上两个

相对的顶点,A 点有一只蚂蚁,想到B 点去吃可口的食物,问蚂蚁沿着台阶爬行到B 点的最

短路程是多少 .

专题七 折叠三角形

E

B

A

C

A C

A

B C A 215

10

A 03

2

C'

F

E

B

D

A

C

C'

C

B

A

E F

D

B A

C

1、如图,一块直角三角形的纸片,两直角边AC=6㎝,BC=8㎝;现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,求CD 的长．

2、如图,小颍同学折叠一个直角三角形的纸片,使A 与B 重合,折痕为DE,若已知AC=10cm,BC=6cm,你能求出CE 的长吗

3、如图, △ABC 的三边BC=3,AC=

4、AB=5,把△ABC 沿最长边AB 翻折后得到 △ABC ′,则CC ′的长等于

A.56

B.512

C.513

D.524

专题八 折叠四边形

1、折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM, 求1CF 的长 2EC 的长.

2、在矩形纸片ABCD 中,AD=4cm,AB=10cm,按图所示方式折叠,使点B 与点D 重合,折痕为

EF,求1DE 的长；2EF 的长;

3.矩形纸片ABCD 的边长AB=4,AD=2．将矩形纸片沿EF 折叠,使点A 与点

C 重合,折叠后在其一面着色如图,则着色部分的面积为_____________. 4、如图2-3,把矩形ABC

D 沿直线BD 向上折叠,使点C 落在C ′的位置上,已知AB=•3,BC=7,重合部分△EBD 的面积为________．

5、如图5,将正方形ABCD 折叠,使顶点A 与CD 边上的点M 重合,折痕交AD 于E,交BC 于F,边AB 折叠后与BC 边交于点G;如果M 为CD 边的中点,且DE=6,求正方形ABCD 的面积

6、矩形ABCD 中,AB=6,BC=8,先把它对折,折痕为EF,展开后再沿BG 折叠,使A 落在EF 上的A1,求第二次折痕BG 的长; 专题九 旋转问题：

1、如图,P 是等边三角形ABC 内一点,PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长.

2、如图,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC=90°,E 、F 是BC 上的点,且∠EAF=45°,

A

B

C

D

E

G 第3题

F

试探究222

BE CF EF 、、间的关系,并说明理由.

3、如图所示,△ABC 是等腰直角三角形,AB=AC,D 是斜边BC 的中点,E 、F 分别是AB 、AC 边上的点,且DE ⊥DF,若BE=12,CF=5．求线段EF 的长;

4、如图所示,已知在∆ABC 中,AB=AC,∠BAC=︒90,D 是BC 上任一点,求证：

BD 2

222AD CD =+;