西安交大西工大 考研备考期末复习 数理统计第一部分 基本概念(带答案)

第一部分 基本概念基础练习一． 填空题1若1210,,,X X X 相互独立，2~(,),1,2,,10i i iX N i μσ=，并且σ已知，则1210,,,X X X 的函数=2χ________服从于210χ（）分布.答案：102211)ii i X μσ=-∑（2 ),(~),,(~222211σσμμN Y N X ，从总体X 、Y 中分别抽取容量为1n 、2n 的样本，样本均值分别为X 、Y X Y -则,= 。

答案： ),(22212121n n N σσμμ+-3设T 服从自由度为{}{}λλ<=>T P a T P t n 则若分布的,,= 。

答案：21a- 4设621,,,X X X 是取自总体)1,0(~N X 的样本，264231)()(∑∑==+=i i i i X X Y ，则当c ＝ 时， cY 服从2χ分布，)(2χE ＝ .。

答案：1/3，25设总体X 服从N(a,22)分布，12(,,,)n X X X 是来自此总体的样本，X 为样本均值，试问样本容量n>_________，才能使E(|X -a|2)≤0.1。

答案：n >406设12,,n X X X ，为总体X 的一个样本，若11ni i X X n ==∑且EX μ=，2DX σ=，则EX = _________，DX = __________。

答案：μ，2nσ7设总体()22X N σ服从正态分布，，1216,,X X X ，是来自总体X 的一个样本，且161116i i X X ==∑, 则48X σ-服从 ____ ______分布.答案：()01N ，8某地的食用水中以每cm3中含大肠杆菌个数 X 为特性指标，已知它服从均值为λ 的泊松分布，从水中抽一个容量为n 的样本 Z Z Z n 12,,, ，则样本的联合分布律为 。

答案：P Z x Z x x e n x i i nn i 111===-=∏,,!b gλλ12()12(!!!)n n ex x x n x x x λλ-+++=9某种元件的寿命服从均值为1λ的指数分布，用寿命作为元件的特性指标，任取n 个元件，其寿命构成一个容量为n 的样本，则样本分布的联合分布密度为 。

答案：f x x x fx x x x n inni n120121,,,exp b gb gc h ==-+++=∏λλ10总体N ( 20，32 )的容量分别为10，15的两个独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率为 。

（已知φ ( 0.2449 ) = 0.5948） 答案：0.8104二． 选择题1设n X X X ,,,21 为来自总体)1,0(~N X 的简单随机样本，X 为 样本均值，2S 为样本方差，则 。

A 、~(0,1)nX NB 、)(~22n nSχC 、)1(~)1(--n t SXn D 、)1,1(~)1(2221--∑=n F X X n n i i答案：D2设)1,0(~N X ，∑==n i i X n X 11，∑=--=n i i X X n S 122)(11，服从自由度为)1(-n 的2χ分布的随机变量是 。

A 、∑=ni iX12； B 、2S ； C 、2)1(X n -； D 、2)1(S n -.答案：D3设X 服从()2N σ0，，则服从自由度为()1n -的t 分布的随机变量是 。

A 、nX S B 、2nXSCD答案：D 4设()12,,n X X X 为正态总体()2~,X N μσ的样本，X 与2S 分别为该样本的样本均值与样本方差，则 A 、()1,0~N nX σμ- B 、()n S n 222~1χσ-C 、()1~+-n t nS X μ D 、()()n X X X n 222221~χ+++ 答案：A5设n 1X ,,X 为正态总体N(2,σμ)的样本,记∑=--=ni ix x n S 122)(11,则下列选项中正确的是 。

A 、)(~)(11222--n S n χσB 、)(~)1(222n Sn χσ-C 、)1(~)1(22--n S n χ D 、)1(~222-n S χσ答案：A6 设12,,,n X X X 是来自正态总体(,1)N μ的一个简单随机样本，2,X S 分别为样本均值与样本方差，则 。

A 、)1,0(~N X ； B 、)1(~)(221--∑=n X X i ni χ；C 、)(~)(221n X i ni χμ-∑=； D 、)1(~1/--n t n S X .答案：C7设12,,n X X X ，为总体X 的样本，期望μ、方差σ2未知，X 、S 2分别为样本均值和样本方差，则下列样本函数为统计量的是 。

A 、211()n i i X X n =-∑ B 、 11n i i X n μσ=-∑C 、22(1)n s σ- DX答案：C8某种产品的平均生产时间是65秒(每件)，标准差为25秒，设产品的生产时间服从正态分布，问样本容量n= 时，才能使样本均值以95 %的概率处于区间 (65- 15，65+15 )之内。

(已知Φ (1.96 ) = 0.95)A 、11B 、12C 、13D 、14答案：A9设总体2~(,)X N μσ，μ，σ2为已知常数，且σ ≠ 0，12,,,n X X X 为X的一个样本，则统计量()21ni i X μ=-∑的分布密度函数为 。

（设χ2( n )分布的密度函数已知为(;)x n ϕ ）A 、(;)x n ϕB 、22(;)x n σϕσ--C 、2(;)x n σϕ-D 、2(;)x n ϕσ- 答案：B10 设2~(,)X N a σ，12,,n X X X ，为X 的一个样本，则21()n i i E X X =⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦∑A 、2σB 、2n σC 、2(1)n σ-D 、2(1)n σ+ 答案：C三． 计算题1设X 服从)1,0(N ，),,(1n X X 是来自总体X 的样本，2321)(X X X Y ++=＋2654)(X X X ++。

试求常数C ，使得CY 服从2χ分布。

解：根据正态分布的性质知)3,0(~321N X X X ++，)3,0(~654N X X X ++，则)1,0(~3/)(321N X X X ++，)1,0(~3/)(654N X X X ++， 从而)1(~]3/)[(22321χX X X ++，)1(~]3/)[(22654χX X X ++，又由于,,,321X X X ，654,,X X X 相互独立及2χ分布的可加性知2321]3/)[(X X X ++＋)2(~]3/)[(22654χX X X ++，则当31=C 时，CY 服从2χ分布。

2在总体)4,12(~N X ，从X 中随机抽取容量为6的样本),(61X X .求样本均值与总体均值之差的绝对值大于2的概率。

解：由题意：)3/2,12(~N X ，则)3/2,0(~N EX X -，所求概率为)]3/2/2()3/2/2([1}2|{|1}2|{|-Φ-Φ-=<--=>-EX X P EX X P ＝2[1(2.4495)]-Φ＝0.01。

3总体Z 服从参数为0<p<1的0-1分布，从中抽取样本12,,n Z Z Z ，，求样本均值Z n Z i i n==∑11的分布列。

解：Z i 有分布列 i n =12,,, b g则1~(,)ni i Z B n p =∑故有即Z 有分布列 P Z k n C p p k n nkkn k=H G KJ =-=-1012c h ,,,,, 。

4 设总体ξ ~ N (μ，σ2 )，ξ1，ξ2， ，ξn 为一个样本，ξξ==∑11n i i n,s n i i n2211=-=∑ξξd i，又设ξn+1 ~ N (μ，σ2 )，且与ξ1，ξ2， ，ξn 相互独立，试求统计量Y s n n n =--++ξξ111的抽样分布。

解：()~,,~,ξμσξμσn N N n +--F H G I KJ 12200c h 故()()222111~0,0,n n n N N n n σξξξμξμσσ++⎛⎫+⎛⎫-=---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则ξξσn n n N +-+12101di b g ()~,又nsn 2221σχ~-b g ，并记Z ns n =-221σb g ,及~(0,1)U N 由η∆U Z n t n ~-1b g 知 ()~ξξσσξξn n n nns n sn n t n ++-+L NM O QP -=--+-122111111b g b g自测题一、 填空题1设n X X X ,,21独立同分布，且1X 服从于),(2δa N ，2,S X 分别是样服从于_______（分布）。

答案：)1(-n t2若n X X X ,,,21 是取自总体()2,σμN 的一个样本，则∑==ni i X n X 11服从答案：⎪⎪⎭⎫⎝⎛n N 2,σμ3设样本观察值为：5，10，15，20，15，则样本均值、方差=x ，=2s ．答案：13，32.54设X 、Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则Z =2YX 服从___________分布 (同时要写出分布的参数) . 答案：)1(t 分布5设X 1, X 2, …, X 20 是来自总体N (μ, σ2)的样本，则∑μ-σ=201i 2i 2)X (1服从________分布 (同时写出分布的参数). 答案：)20(2χ二、 计算题1设125,,X X X ，是来自正态总体()124N ，的一个样本，（1）求样本均值超过13的概率；（2）求样本均值小于10的概率. 解： 125X X X ，，，是来自总体()124N ，的一个样本∴ 4125X N ⎛⎫⎪⎝⎭服从，分布 于是（1）{}{}13113P X P X >=-≤1X P ⎧⎫=-≤12⎛=-Φ ⎝⎭()1 1.12=-Φ10.8686=-0.131=即样本均值超过13的概率为0.131。

2设总体X 服从()20.3N μ，，12,,n X X X ，是总体X 的一个样本，X 是样本均值，试问：样本容量n 至少应取多少才能使{}0.10.95P X μ-<≥.解：{}102X P X P ⎧-<=<⎪⎭(=Φ1=-Φ()1 2.236=-Φ10.9874=-0.0126=即求样本均值小于10的概率为0.0126.3将一枚硬币作四次独立抛掷。

第k 次( k = 1，2，3，4 )抛掷如果出现正面，记X k = 1，如果出现背面，记X k = 0。