GARCH模型与随机波动模型的对比：期权定价和风险管理
期权定价方法综述
期权定价方法综述期权定价方法综述期权是金融市场中一种重要的金融衍生品，它给予购买者在未来特定时间以特定价格购买或卖出某个标的资产的权利，而不具有强制性。
为了确定一个合理的期权价格，各种期权定价方法应运而生。
本文将对期权定价方法进行综述，并介绍其中几种经典的方法。
1. 期权定价的基本原理期权定价方法的起点是基于期权的内在价值、时间价值和风险溢价。
内在价值指的是期权当前的实际价值，即权利金与标的资产价格之间的差额；而时间价值是指未来时间期权可能产生的价值，因为期权有一定的时间延迟；风险溢价是指市场参与者对未来不确定性风险的补偿。
期权定价方法的目标是确定期权价格，使期权价值与其内在价值、时间价值和风险溢价相匹配。
2. 期权定价方法的分类2.1. 传统期权定价方法传统期权定价方法包括二项式模型、几何布朗运动模型和风险中性定价模型。
二项式模型基于离散时间和离散状态，适用于欧式期权定价。
几何布朗运动模型基于连续时间和连续状态，并假设标的资产价格服从几何布朗运动，适用于欧式和美式期权定价。
风险中性定价模型则基于市场风险中性的假设，将期权价格视为资产组合的风险中性价格，适用于欧式期权定价。
2.2. 数值模拟方法数值模拟方法包括蒙特卡洛模拟和蒙特卡洛树模拟。
蒙特卡洛模拟通过生成大量随机数模拟资产价格的演化，并计算期权价格的期望值，适用于各种类型的期权定价。
蒙特卡洛树模拟将二项式模型和蒙特卡洛模拟相结合，通过生成蒙特卡洛树模拟资产价格的演化，计算期权价格的期望值，适用于欧式和美式期权定价。
2.3. 波动率传播方法波动率传播方法包括BS模型、GARCH模型和SV模型。
BS模型基于标准布朗运动模型，假设标的资产价格服从几何布朗运动，并计算期权价格的解析解，适用于欧式期权定价。
GARCH模型和SV模型通过建立对资产价格波动率的模型，计算出期权价格的解析解，适用于欧式期权定价。
3. 期权定价方法的比较3.1. 传统期权定价方法相对简单，计算速度较快，适用于欧式期权定价，但对于复杂期权和美式期权可能不适用。
garch波动率模型
garch波动率模型GARCH波动率模型是金融领域中常用的一种波动率预测模型，它基于过去的波动率信息来预测未来的波动率。
本文将介绍GARCH 模型的原理、应用和局限性。
一、GARCH模型的原理GARCH模型是由Engle于1982年提出的，它的全称是Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity model，翻译过来就是广义自回归条件异方差模型。
GARCH模型的基本思想是通过对过去一段时间的波动率进行建模，来预测未来的波动率。
GARCH模型的核心是通过对过去的波动率进行建模，来捕捉波动率的自相关性和异方差性。
在GARCH模型中，波动率是一个时间序列，它的波动会受到过去一段时间内的波动率的影响。
GARCH 模型通过引入自回归项和移动平均项，来捕捉波动率的自相关性和异方差性。
二、GARCH模型的应用GARCH模型在金融领域有着广泛的应用，特别是在风险管理和衍生品定价中。
通过对未来波动率的预测，可以帮助投资者和交易员更好地管理风险和制定交易策略。
1. 风险管理：GARCH模型可以用来估计金融资产的风险价值，即在给定的置信水平下，资产可能的最大损失。
通过对不同资产的风险价值进行估计，可以帮助投资者更好地分散风险，保护资产。
2. 衍生品定价：GARCH模型可以用来估计衍生品的隐含波动率，从而为衍生品的定价提供基础。
隐含波动率是指市场上衍生品的价格中所隐含的未来波动率，通过GARCH模型的预测，可以帮助交易员判断衍生品的市场价格是否合理。
三、GARCH模型的局限性尽管GARCH模型在金融领域有着广泛的应用，但它也存在一些局限性。
1. 假设限制：GARCH模型假设波动率是一个时间序列，它的波动受到过去波动率的影响。
然而，在实际应用中，市场的波动率可能受到其他因素的影响，如宏观经济变量、政治事件等，这些因素无法被GARCH模型捕捉到。
2. 参数估计：GARCH模型的参数估计比较复杂，需要通过最大似然估计等方法来求解。
金融学十大模型
金融学十大模型金融学是研究资金在时间和空间上的配置和交换的学科，它关注的是资源的配置和风险的管理。
在金融学中，有许多重要的模型被广泛应用于理论研究和实际应用。
本文将介绍金融学领域里的十大模型，并分别进行详细的解析。
1. 资本资产定价模型（CAPM）资本资产定价模型是描述资本市场证券价格与其预期收益之间关系的理论模型。
它将资产的预期收益与市场风险相关联，通过风险溢酬来衡量资产的预期收益。
2. 期权定价模型（Black-Scholes模型）期权定价模型是用来计算期权价格的数学模型。
Black-Scholes模型是最为著名的期权定价模型之一，它通过考虑股票价格、期权行权价格、波动率、无风险利率等因素，来估计期权的公平价格。
3. 资本结构理论（Modigliani-Miller定理）资本结构理论是研究公司资本结构选择和公司价值之间关系的模型。
Modigliani-Miller定理指出，在没有税收和破产成本的情况下，公司的价值与其资本结构无关。
4. 有效市场假说（EMH）有效市场假说认为市场价格已经充分反映了所有可得到的信息，投资者无法通过分析市场数据获得超额收益。
EMH对于投资者的决策和资产定价具有重要的指导意义。
5. 金融工程模型（Black-Scholes-Merton模型）金融工程模型是应用数学和计量经济学方法来研究金融市场的模型。
Black-Scholes-Merton模型是其中最为著名的模型之一，它被广泛应用于期权定价、风险管理和金融衍生品的设计与定价等领域。
6. 信息传播模型（Diffusion Model）信息传播模型用于解释市场中信息的传播和价格的形成过程。
它假设市场参与者根据自身的信息和观点进行交易，通过交易行为将信息传递给其他参与者，从而影响市场价格的变动。
7. 多因素模型（Multi-Factor Model）多因素模型是用来解释资产收益率与市场因素和其他因素之间关系的模型。
它考虑了多个因素对资产收益率的影响，有助于投资者理解资产价格波动的原因。
金融市场波动性模型
金融市场波动性模型金融市场的波动性是指金融资产价格或市场指数在一定时间内的波动程度。
波动性对于投资者、交易员和决策者来说都是重要的参考因素，因为它直接影响到投资回报和风险管理策略。
为了更好地理解和预测金融市场的波动性，许多学者和从业者开发了各种波动性模型。
本文将介绍并分析几种经典的金融市场波动性模型。
一、历史波动性模型历史波动性模型是一种基于历史数据的统计模型，它假设未来的波动性与过去的波动性相关。
其中最常用的历史波动性模型是简单移动平均波动率（Simple Moving Average, SMAV）模型和加权移动平均波动率模型（Weighted Moving Average, WMAV）。
这些模型通过计算一段时间内的价格变动平均值来估计未来的波动性。
然而，历史波动性模型存在一些缺点。
首先，它没有考虑到时间序列的非平稳性特征，即波动性在不同时间段可能会发生变化。
其次，它仅仅依赖于过去的数据，忽略了其他可能影响波动性的因素。
因此，历史波动性模型在预测短期和特殊事件下的波动性表现较差。
二、随机波动性模型随机波动性模型基于统计推断和随机过程理论，试图根据金融时间序列的特征来建立波动性模型。
其中最著名的模型是平方根扩散过程模型（Stochastic Volatility, SV）和ARCH/GARCH模型。
平方根扩散过程模型是一种连续时间模型，其中波动性是时间和价格的函数。
它通过考虑波动性的随机变化来解决历史波动性模型中的一些问题。
然而，平方根扩散过程模型通常需要复杂的参数估计和计算方法，因此在实际应用中较少使用。
ARCH/GARCH模型是一种离散时间模型，它通过利用过去的波动性信息来预测未来的波动性。
ARCH模型假设波动性是过去波动性的函数，而GARCH模型在ARCH模型的基础上增加了条件异方差的自回归项。
ARCH/GARCH模型在实证研究和实际应用中得到了广泛的应用，尤其是在金融风险管理领域。
三、随机波动率模型随机波动率模型考虑到了波动性的时间变化和波动性的波动性，它是金融市场波动性模型的最新发展。
用GARCH模型预测股票指数波动率
用GARCH模型预测股票指数波动率目录Abstract (2)1.引言 (3)2.数据 (6)3.方法 (7)3.1．模型的条件平均 (7)3.2. 模型的条件方差 (8)3.3 预测方法 (9)3.4 业绩预测评价 (9)4.实证结果和讨论 (12)5.结论 (16)References (18)AbstractThis paper is designed to make a comparison between the daily conditional variance through seven GRACH models. Through this comparison, to test whether advanced GARCH models are outperforming the standard GARCH models in predicting the variance of stock index. The database of this paper is the statistics of 21 stock indices around the world from 1 January to 30 November 2013. By forecasting one –step-ahead conditional variance within different models, then compare the results within multiple statistical tests. Throughout the tests, it is found that the standard GARCH model outperforms the more advanced GARCH models, and recommends the best one-step-ahead method to forecast of the daily conditional variance. The results are to strengthen the performance evaluation criteria choices; differentiate the market condition and the data-snooping bias.This study impact the data-snooping problem by using an extensive cross-sectional data establish and the advanced predictive ability test. Furthermore, it includes a 13 years’ period sample set, which is relatively long for the unpredictability forecasting studies. It is part of the earliest attempts to inspect the impact of the market condition on the forecasting performance of GARCH models. This study allows for a great choice of parameterization in the GARCH models, and it uses a broad range of performance evaluation criteria, including statistical loss function and the Mince-Zarnowitz regressions. Thus, the results are more robust and diffusely applicable as compared to the earliest studies.KEY WORDS: GARCH models; volatility, conditional variance, forecast, stock indices.1.引言波动性预测可以运用到投资组合选择，期权定价，风险管理和以波动性为基础的交易策略。
股票收益率的波动性分析与模型
股票收益率的波动性分析与模型股票市场一直是投资者关注的焦点之一，投资者希望能够通过股票获得良好的收益。
然而，股票市场的波动性使得股票收益率不可预测，这对投资者构建有效的投资组合和制定合理的投资决策带来了很大的困扰。
因此，研究股票收益率的波动性分析与模型成为了重要的课题。
一、股票收益率的波动性分析股票收益率的波动性是指股票价格在一定时间内的变化幅度，波动性越大，意味着收益率存在较大的风险。
对于投资者来说，了解股票收益率的波动性对于评估投资风险、制定合理的投资策略非常重要。
1.历史波动性分析：投资者可以通过对股票过去一段时间内的收益率进行统计分析，计算出历史波动性指标，如标准差、方差等，来评估未来股票的波动性水平。
2.隐含波动性分析：隐含波动性指的是投资者根据期权市场定价模型反推出的预期未来波动性水平。
通过期权定价模型中的隐含波动率计算方法，可以估计市场对未来股票收益率波动性的预期。
3.波动性指数：投资者可以通过跟踪波动性指数，如CBOE波动率指数（VIX），来衡量市场风险情绪，并推测出未来股票收益率的波动性水平。
二、股票收益率波动性模型为了更准确地预测股票收益率的波动性，研究者们提出了多种波动性模型，以下介绍两种常用的模型。
1.GARCH模型：广义自回归条件异方差模型（GARCH）是由Engle（1982）提出的一种波动性模型，它通过过去一段时间内的价格数据来预测未来的波动性水平。
GARCH模型综合考虑了历史波动性和收益率的相关性，能够更准确地描绘股票收益率的波动性特征。
2.EGARCH模型：扩展广义自回归条件异方差模型（EGARCH）是对GARCH模型的改进，引入了杠杆效应的概念。
杠杆效应指的是股票价格下跌对波动性的影响大于上涨对波动性的影响。
EGARCH模型能够在一定程度上解释股票市场的非对称波动性。
三、股票收益率波动性模型的应用股票收益率波动性模型的应用主要有两个方面。
1.风险管理：通过量化波动性，投资者可以对股票市场的风险进行有效控制，制定合理的风险管理策略。
GARCH模型在股票市场波动性预测中的应用研究
GARCH模型在股票市场波动性预测中的应用研究引言股票市场的波动性是投资者关注的重要指标之一。
准确预测波动性对于投资组合管理、风险管理和衍生品定价等方面具有重要意义。
GARCH（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）模型是一种常用的时间序列模型，常用于股票市场波动性的预测。
本文将介绍GARCH模型的基本原理和应用，并分析其在股票市场波动性预测中的研究成果和局限性。
一、GARCH模型的基本原理GARCH模型是ARCH模型的拓展，旨在捕捉时间序列中存在的异方差性。
异方差性是指随着时间的推移，时间序列的波动性不是恒定的，而是变动的。
具体而言，GARCH模型通过引入滞后期的波动性变量来建模时间序列的波动性。
GARCH模型的一般形式为：σ²_t = ω + αε²_(t-1) + βσ²_(t-1)其中，σ²_t是时间t的条件异方差；ω、α和β是待估计的参数；ε_t是满足独立同分布的序列。
GARCH模型的基本思想是基于历史数据，通过对波动性的自相关进行建模，来预测未来的波动性。
参数α和β表示过去波动性对当前波动性的权重，参数ω则表示当前波动性的基本水平。
二、GARCH模型在股票市场波动性预测中的应用研究近年来，GARCH模型在股票市场波动性预测方面得到了广泛的应用。
研究者通过收集大量的历史股票数据，将GARCH模型应用于波动性的预测，得到了一系列重要的结论。
1. GARCH模型能够捕捉到股票市场的波动性聚集效应。
波动性聚集效应是指在股票市场中，当市场状况不好时，波动性往往会集中爆发；而在市场状况良好时，波动性往往较为平稳。
GARCH模型能够很好地捕捉到这种聚集效应，为投资者提供了重要的参考。
2. GARCH模型能够提供波动性的条件预测。
根据GARCH模型的估计结果，研究者可以得到未来一段时间内的波动性预测。
GARCH模型在金融时间序列中的应用
GARCH模型在金融时间序列中的应用金融市场中的时间序列分析一直以来都是研究者关注的热门领域之一。
随着金融市场的复杂性和波动性不断增加，传统的时间序列模型往往无法充分捕捉到市场的动态特征。
因此，GARCH模型应运而生，并成为了金融领域中最常用的时间序列模型之一。
GARCH模型，即广义自回归条件异方差模型（Generalized Autoregressive Conditionally Heteroscedasticity Model），是对传统的自回归模型进行了扩展。
它通过引入条件异方差的概念，更好地描述了金融时间序列中常见的波动聚集现象。
GARCH模型的核心思想是，当金融时间序列中的波动较大时，未来的波动也很可能较大；反之，当波动较小时，未来的波动也很可能较小。
这种波动聚集的现象在金融市场中普遍存在，例如股票价格的波动、汇率的波动等。
传统的自回归模型无法准确地捕捉到这种动态特征，而GARCH模型通过引入条件异方差项，可以更好地预测未来的波动。
在金融实际应用中，GARCH模型在许多方面发挥着重要作用。
首先，GARCH 模型广泛用于金融市场的风险管理。
金融市场中的波动性是投资者面临的主要风险之一，通过建立GARCH模型，可以对未来的波动进行预测，从而制定合理的风险管理策略。
其次，GARCH模型也被用于金融衍生品的定价。
在期权定价中，波动率的预测是十分重要的，而GARCH模型正是恰当地描述了波动率的动态特征。
通过GARCH模型，可以更准确地估计期权的价格，提高金融衍生品定价的精确性。
此外，GARCH模型还可以用于金融时间序列的波动预测。
金融市场中的波动并不是完全随机的，而是存在一定的规律性。
通过GARCH模型，可以对未来的波动进行预测，为投资者提供决策参考。
例如，在股票交易中，投资者可以通过GARCH模型对股票价格的波动进行预测，从而制定合理的买入和卖出策略。
然而，GARCH模型也存在一些局限性。
首先，GARCH模型假设金融市场中的波动服从特定的统计规律，但实际上市场中的波动常常受到许多复杂的因素影响，不一定符合GARCH模型的假设。
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GARCH模型与随机波动模型的对比：期权定价和风险管理译自Alfred Lehar，Martin Scheicher，Christian Schittenkopf ：GARCH vs. stochastic volatility:Option pricing and risk management摘要：在本文中，我们比较了B-S期权定价模型的两种通常延伸的样本绩效，即GARCH(广义自回归条件异方差)和SV（随即波动）。
我们为日内的FTSE 100（英国富时100指数）期权价格校正了三个模型并且采用了两套绩效标准，即样本估价误差和风险值调整措施。
当我们分析模型结果和观测价格的一致性时，GARCH明显优于SV和标准B-S模型。
然而，假定的金融衍生工具持仓量的市场风险预测显示出相当大的误差。
与实际盈亏的符合程度较低并且两个模型间没有明显的差别。
因此，总体来说，我们注意到如果只是基于定价的目的而不是VaR预测，则期权定价模型越复杂越能改进B-S方法。
1.引言在任何金融市场中，金融衍生工具的恰当估价对从业者来说都至关重要。
金融衍生工具如今是投资者投资组合的主要组成部分。
金融衍生产品的流通量和成交量从20世纪70年代开始就显著增长，该事实充分反映了金融市场的这一发展。
对市场参与者而言，主要的问题是由标准B-S模型得到的价格与观测价格显著不同。
这些系统估价误差可以由一个被称作“微笑”效应的特征事实证明如下：当波动性避开期权价格与价值状况和到期日发生冲突时，理论模型预测的结果就严重偏离事实。
这些理论误差表明实际上波动率不是恒定的而是随时间变化的。
这一结果与几何中布朗运动的恒定变动框架形成了对比，而布朗运动是B-S方法的基础。
定价误差源于不切实际的假定，而且对市场参与者测定其投资组合的市场风险产生了严重的后果。
在最近的几年中，监管部门已经允许金融机构使用内部风险模型来测定市场误差并分配经济资本。
基于这些目的，VaR已成为最常见的方法（概念）。
它测算了在一到十天的持有期内给定可能性的情况下，由不利的价格变动引起的可能的投资组合损失。
在CAD（资本充足指引）的基础上，监管部门要求大型银行和证券公司每天计算其投资组合的VaR值。
期权定价模型是marking-to-model systems（标记-模型系统）的关键组成部分，银行运用此系统来计算其交易活动的管理资本和经济资本。
由于以下一系列的原因，计算金融衍生工具持仓量的潜在损失极具挑战性。
首先，因为期权收益分配是基本资产收益分配的复值函数，所以期权是非线性金融衍生工具。
风险因子的数目会增加，维珈风险也需要俘获（确定）。
其次关于基本资产的期权收益分配的含义被曲解为正态分布是一个准确度有限的近似值。
由于这些原因，致力于风险管理的实践者已经恢复了对学术研究文献中提及的期权定价模型的兴趣。
本文的目的是在三种常用的波动参数化法的基础上比较期权定价模型，这三种波动参数化方法是:恒定波动率，GARCH和随即波动率。
我们运用两套标准来完成这一比较评估：统计和经济损耗函数，首先，我们测定涉及观测期权价格的误差。
然后测试三种模型的匹配性来预测假定持仓量的市场风险。
在这一过程中恒定波动率法自然是基准检测步骤。
通过再造微笑现象，一项更复杂的规范可能降低定价误差。
先前的比较研究表明，如果为基础工具的随机过程采用更好的技术参数，那么的确可以降低B-S模型的定价误差。
我们的比较研究的中心是风险管理的三种评估方法的效果。
因此我们通过分析假定期权持仓量的VaR值扩展了这一著作。
到目前为止，当定价模型用于计算金融衍生工具的VaR值时其表现如何还没有证据。
在这一观点下，我们的研究填补了一道实践者极其感兴趣的鸿沟。
我们分三步进行论述。
首先，我们通过非线性最小平方和过程来估计高频富时100期权价格中的三个随机过程。
从而，恒定波动率的单参数案例可以推广为更复杂的随机过程。
估计结果是中性风险者的参数。
这对于研究方法而言是一个明显的优势，这些研究方法中的参数首先由收益序列估计，然后经过调整用于风险中性评估。
因此，我们的信息集不限于历史的股票价格，而是包含关于远期价格过程的市场预期。
凭借这种统一标准的估计，直接阐明了两个最流行的变量模型——GARCH和SV 的优缺点。
其次，我们通过有关观测价格的中值误差测定样本外的定价效能并且达到降低价值状况和到期日偏差的程度。
我们发现较复杂的波动模型优于较简单的隐含波动法。
然而，模型选择至关重要：只有GRACH模型在定价效能方面提出有效改进。
相反，SV的中值定价误差接近于那些波动率恒定的基准模型。
第三步是风险管理应用，其中我们依靠蒙特卡罗模拟运用完全评价法来计算下一天的VaR值。
我们比较假定持仓量的的盈亏一致性。
我们的测试表明盈/亏分配的两端建模匹配性较差。
尤其是GARCH 和SV无法对基准B-S模型作出改进。
因此，我们决定依靠效能指标来为模型排名。
虽然我们在样本定价效能中找到了很大的改进余地，但这些都没有在投资组合总市值的变动分配预测中反映出来。
所以，尽管定价误差有所下降，我们却无法改进期权交易中实际的翌日损/益建模系统。
方法论中的这些差异值得注意，因为到目前为止文献大多关注定价效能。
本文的其余部分组成如下：第二部分描述数据集。
第三部分给出了三种期权定价模型的详细说明。
第四部分包含实证结果。
在第五部分我们记录了来自于VaR应用的估计结果和调查结果。
我们在第六部分总结了我们的研究成果并为未来的研究提供了意见。
2.样本和评估方法我们的样本由伦敦国际金融期权期货交易所的富时100指数基础上的欧式期权交易数据构成。
期权价格与富时100和精确到秒的时间标记同步记录。
我们的高频观察值始于1993年1月4日，止于1997年10月22日，覆盖了1210个交易日。
样本包含102211个成交的看涨期权和看跌期权。
第一步要仔细检查数据的交易误差以及价格是否存在套利机会。
然后所有合约的到期时间不超过两周，价格在五点以下，价值状况在[-0.1,0.1]范围之外，去掉年度隐含波动率低于5%或高于50%的数据。
最终的数据集包含65549个期权合约（33633个看涨期权和31916个看跌期权）。
表1样本统计分析最小值10%分位数25%分位数50%分位数75%分位数90%分位数最大值富时100指数2727.73015.43204.03740.34274.14836.55366.敲定价2525297532253725422547755875期权价格510224892153843到期时间1417284278170368利率 4.28 5.24 5.64 5.89 6.35 6.777.58股息收益率 3.01 3.32 3.64 3.88 4.02 4.14 4.36隐含波动率 5.029.1010.8014.0717.2819.9748.52表1给出了期权合约的简要描述。
我们公布了样本特征值的最小值，百分之十分位数，百分之二十五分位数，百分之五十分位数，百分之七十五分位数，百分之九十分位数和最大值。
取样周期内，富时100指数从大约2700点攀升到5000点以上。
因此执行价从2525到5875不等。
所有期权合约的平均到期时间是42天。
最长的合约到期时间超过一年。
表1中我们也记录了富时100的无风险利率和事后股息收益率的统计数据，这些数据被应用到期权定价模型中。
最后记录了所有期权隐含波动率的百分位数。
平均隐含波动率约为14%，80%的合约的隐含波动率介于9%到20%之间。
由于样本包含1210个交易日内的65549个期权合约，因此平均每天交易的合约数目大约为54.但是，交易行为并不是平均分布的。
交易量最少的一天是1993年5月4日，只记录了7笔交易，而在交易量最多的1997年7月16日成交了351笔交易。
因此，每天重估期权定价模型毫无意义。
另一方面，我们需要在相对较短的时间间隔内重估模型以便调整参数。
在试验计划中我们运用了滑窗技术。
时间窗口规格是10个交易日，意味着期权合约是在10天内收集成的。
在这一数据集合中，参数是通过相对定价误差平方最小化来估计的。
其中N时间窗口中的合约数目，而和分别表示观测期权价格和理论期权价格。
我们选择相对定价误差因为在参数估计中绝对定价误差高市价的期权比重太大。
然后在另一个10天的时窗内测试样本外的模型。
最后，变动10天时窗并再估模型。
总共研究了120个期权数目从114到1357的时窗。
这一过程看来是在数据集规格（市场有效信息的数量）和估算值时间相关性之间的合理取舍。
3.理论框架3.1.Black-Scholes模型Black和Scholes（1973）在他们开创性的论文中导出这样的结果：风险中性测度下标的股票价格S的动态分析是一个物理测度情况下波动率恒定的几何布朗运动（在附加条件下：如恒定无风险利率，无交易成本等）。
然而，偏差用无风险利率减去股息收益率代替：其中是一个维纳过程。
尤其要注意的是，波动率被假定为恒定的。
由于方程（2）的结果，带有敲定价K的欧式看涨期权的价格由下式给出：其中T-t是期权到期时间且欧式看跌期权价格可由下式得到：给定一组观测期权价格，可以以最小的定价误差估计（隐含）波动率。
正如第二部分描述的一样，参数是在十交易日内估计的从而使SRPE最小化。
3.2.Hull-White期权定价模型Hull和White（1987）提出了一个期权定价模型，其中股票价格S和即时方差V遵循以下随即过程：其中参数a和b决定了长期均值和对于方差的均值回归速度，可以解释为波动率的波动率。
两个维纳过程和有相关系数。
在该模型中有两个不确定来源，即资产价格未来轨迹和波动率的未来轨迹。
在上述参数化过程中，波动性风险价格设定为0,。
这一假设意味着波动性风险不存在风险溢价。
与此相反，Heston（1993）已经引入了一个具有非零波动性风险价格的闭式模型。
Hull-White模型考虑到了期权价格波动率的相关系数和波动率（波动率的波动率）的影响。
波动率的波动率较高意味着收益的风险中性分布显示出较高的峰度。
对该模型来说，出现最大限度的盈利和亏损比资产价格遵循对数正态分布的Black-Scholes模型可能性更大。
当收益冲击和波动率冲击之间的相关系数为0时，风险中性分布是对称的、尾肥的。
相关系数的符号决定了分布的对称性。
考虑到相关系数为负的实证相关案例，收益风险中性分布的左尾比右尾包含更多的机率质量。
正如Abken和Nandi(1996)讨论的一样，负偏斜性对定价有影响： B-S定价模型对价外看涨期权定价过高。
为使参数估计的计算可行，像Hull和White（1988）模型中一样，我们运用泰勒级数展开。
假定时刻t的方差为其长期均值V=-a/b且未来轨迹由方程（6）说明。