矩阵逆运算法则
第三节 逆矩阵
A21 A22 A2 n
An 1 An 2 * , 称 A 为 A 的伴随矩阵。 Ann
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定理2.3
A 0 A 可逆，且 A
1
A
*
A
其中
A 为 A 的伴随矩阵。
*
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证明
AA
1
A 显然 A 0， 有意义。 A
0 A 0 0 0 I A
AA
1
A 1 1 0 * AA A A 0
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定理2.4 定理2.5 定义2.13
若 若
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A可逆
A 0.
A不可逆 A 0 .
3 0 1 1 2 2 5 3
1
3 A 5
1 2
3 B 0 1
1 2 3
2 5 A A
*
1 ，从而 3
X BA
1
1 1 10 3 13
A 21 A A 22 A A 23 A
A 31 A A 32 A A 33 A
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8 5 1
29 18 3
A11 A 11 A 7 12 A 1 A13 A
* 1
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四、小结与思考
逆矩阵的概念及运算性质.
逆矩阵 A 1 存在 A 0 . 逆矩阵的计算方法
1 待定系数法 ;
2 利用公式 A 1
3.3 逆矩阵
求矩阵X使满足 AXB C .
1 2 3
解 A 2 2 1 2 0, B
2 1 5 3
1 0,
3 4 3
A , B 都存在.
1
1
3 2 1 1 且 A 3 2 3 5 2 , 1 1 1
3 1 B , 5 2
1
【例3】设
解：
且
3 1 0 A 2 1 1 2 1 4 3 1 0 A 2 1 1 2 1 4 1 1 1 2 2 11 1 10 A11 ( 1) 5 A12 ( 1) 2 4 1 4
判断A是否可逆，若 可逆， 求其逆。 =5≠0 ，A可逆。
AB A B E 1 0
A 0, B 0
由定理2· 1知，A、B均可逆
A 1 得 在等式AB=E的两边左乘
A ( AB) A E ( AB) B1 EB1
1 1
B A1
B 1 得 在等式AB=E的两边右乘
A B 1
【例4】已知n阶方阵A满足A3 +A2-A-E=0, 证明 A可逆，并求A-1
由已知 2A(A-E) A 解：ห้องสมุดไป่ตู้
3 3
3
A E +2A( E A) E
3
( A E )(A2 A E) ( E A)(2 A) E
( E A)(A2 A E) E
E 由推论知： A 可逆，且 ( E A)1 A2 A E
5、若A、B是同阶可逆矩阵，则AB可逆。且
( AB)1 B1 A1
证明：
( AB)( B1 A1 ) A( BB1 ) A1 AEA1 AA1 E
矩阵的逆及其求法_2023年学习资料
方法二（逆阵法-因为方程可写成矩阵形式Ax=b,其中-2-3-21-,b=--1-,x=-X2 4-由于A=2≠0，故A可逆，因此x=Ab,-其中调-A1=-43-=2,--2,=-O-15
13-33-6,-4-2-=5-A33-22-于是-A1=--晟風-X-1-2-32-4103 O-16
利用方阵的逆矩阵及矩阵的乘法给出了求解变量-个数等于方程个数的一种方法（第一章给出了行列式-法 但对于较大时，两种方法都不适用.我们将-在余下的章节讨论第三种方法.-和-17
则求1的解的问题归结为求2的解矢量问题-而后者即求AX=B中未知矩阵X的问题。这需要用到-逆矩 的问题。-代数方程-ax=b-的解x=ab-问矩阵方程AX=B-的解是否为X=AB-若可以，那 A1的含义是什么呢？-O-3
逆矩阵的概念-定义1设A为n阶方阵，如有n阶方阵-B,使-AB=BA-E-则称A为可逆阵，B为 的逆阵，记作B=A1-又称可逆阵为非奇异阵，不可逆阵为奇异阵.-例设A=-潮-因为-AB=BA E.-所以B是A的一个逆矩阵。
例8求解下列矩阵方程-3-2-6-X=--1-0-5--210-A-≠0-X=AB-AB=-4 11-50--40-=E:A-B-19-O-27
0-2-例10设A=-11-4-B-XA=B-3-求X。-解-A--2XA=B,A--2XA' =BA-A1-2XAE=BA,4=-1,-A-I-2X=-BA,X=A-+BA-AE六-308
逆矩阵的求法一：伴随矩阵法-例2.15设-判断A是否可逆，如果可逆，求出其逆矩阵-解-因为A= 3-=4-6=-2≠0，故A可逆，且-晟晟-12
推论-若方阵A、B有AB=E,则A、B均可逆-证明1因为-6喝-AB=A B=E=1,-故-A 0，B≠0，-于是A、B均可逆-13
2.6 矩阵的逆和求法
第二章
矩阵逆及其求法
一、逆矩阵的概念
二、方阵可逆的判别定理
三、逆矩阵的基本性质
四、用矩阵的初等变换求逆矩阵
1
线性方程组的矩阵表示法
设 A (aij )mn X (xi )n1 B (bi )m1
a11x1 a12x2 a1n xn b1
n 元线性方程组 a21x1 a22x2 a2n xn b2
8
( A E)1 1 ( A2 A E) 8
31
例14若 A3 A 2E 0 ，判别 A 及 ( A 2E) 可逆，
并求其逆。
解 (1)
A( A2 E) 2E ,
A2 E
A
E,
A 可逆 且 A1 1 (E A2 ) 2
2
(2) A2 ( A 2E) 2A( A 2E) 3( A 2E) 8E 0
1 2
4 1
2 1
n
1 0
0 2n
An 11
2 4
1 0
0 2n
1 2
4 1
2 1
2 2n 2 2n1
22nn111
21
二、逆矩阵求解方法二——初等变换法 初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，为了
充分发挥其作用，有必要对它进一步探讨。
定理3 A可逆 A 行 E Pm P2P1A E
Pm P2P1E A1 E 行 A1
0 2 8 3 0 1 0 0 12 7 2 1
23
1 ~ 0
0
0 1 0
1 2 12
1 2 7
0 1 2
0 0 1
~
1 0 0
0 1 0
1 2 1
1
2 7
12
0
逆矩阵 算法-概述说明以及解释
逆矩阵算法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述逆矩阵是矩阵理论中一个非常重要的概念，它在线性代数、数值计算等领域中都有广泛的应用。
简单来说，对于一个可逆的方阵A，存在另一个方阵B，使得A与B的矩阵乘积等于单位矩阵I，那么我们称B为A的逆矩阵。
逆矩阵在很多实际问题中起到了至关重要的作用。
本文将主要介绍逆矩阵的定义、性质以及计算方法。
首先，我们将给出逆矩阵的定义，并讨论什么样的矩阵会存在逆矩阵以及如何判断一个矩阵是否可逆。
然后，我们将深入探讨逆矩阵的性质，比如逆矩阵的唯一性以及逆矩阵与矩阵的乘法规则等。
接下来，我们将介绍一些常见的逆矩阵计算方法，包括伴随矩阵法、初等变换法以及利用矩阵的特征值和特征向量来求逆矩阵等。
逆矩阵算法在数值计算中具有广泛的应用领域。
例如，在线性方程组的求解中，我们可以利用逆矩阵的性质来求解未知数向量。
此外，在图像处理、信号处理、网络优化等领域也都可以看到逆矩阵算法的应用。
逆矩阵算法的发展前景非常广阔，随着计算机计算能力的不断提升，逆矩阵算法将能够承担更加复杂和庞大的计算任务。
总之，逆矩阵算法是一项重要且充满潜力的计算方法，它在线性代数和数值计算领域具有重要的地位。
通过深入研究和应用逆矩阵算法，我们可以更好地理解矩阵的性质和应用，从而为实际问题的求解提供有效的数学工具。
在接下来的正文中，我们将详细介绍逆矩阵的定义、性质以及计算方法，以期帮助读者更好地理解和应用逆矩阵算法。
文章结构部分的内容如下所示：1.2 文章结构本文将按照以下结构组织内容：引言部分将首先概述逆矩阵算法的背景和重要性，介绍本文的目的，并对整篇文章进行总结。
正文部分将着重介绍逆矩阵的定义，包括数学上对逆矩阵的准确描述。
随后，我们将详细探讨逆矩阵的性质，包括逆矩阵与原矩阵之间的关系，以及逆矩阵的特点和作用。
最后，我们将介绍逆矩阵的计算方法，包括传统的高斯消元法和基于分解的LU分解法等。
结论部分将重点探讨逆矩阵算法的重要性，阐述逆矩阵算法在实际问题中的应用领域，如线性方程组的求解、图像处理和机器学习等。
矩阵逆运算法则
矩阵逆运算法则矩阵逆运算法则是数学中非常重要的概念，它是一种按照固定的规则来计算矩阵的逆的方法，其主要目的是为了解决矩阵运算中出现的难题。
由于它在各种科学、技术领域都有着广泛的应用，因此它的学习和掌握非常重要。
矩阵逆运算法则的主要内容有：1.定义矩阵逆：矩阵逆是指一个方阵A的矩阵逆是指另一个矩阵，使得A×A和A倒数相等。
2.逆矩阵的性质：(1)矩阵乘积的逆等于每个矩阵乘以自己的逆；(2)如果A是个单位矩阵，则A的逆矩阵就是它自己的逆；(3)如果A 的行列式不为零，若A×B=C，则有C×A=B，即可以矩阵逆运算法则求解。
3.矩阵逆运算法则：(1)首先要将原矩阵变为上三角阵，然后求上三角矩阵到原矩阵的变换矩阵。
(2)将上述变换矩阵转换为上三角阵，然后再转换为单位矩阵，求出原矩阵到单位矩阵的变换矩阵。
(3)根据变换矩阵乘以原矩阵等于单位矩阵的性质，可以推出原矩阵的逆。
综上所述，矩阵逆运算法则是经过精心研究和论证出来的一套精确的、完善的数学方法，是求解矩阵运算难题的一个重要工具。
它通过分析和解决矩阵运算问题而为人们提供了许多便利，它在工程设计、工程校核、信号处理、矩阵求导等诸多领域都有广泛地使用。
此外，在矩阵转置、矩阵求导等运算中，矩阵逆运算法则也能够得到广泛的应用，即在求解某个函数的极值的问题时，要先求得梯度矩阵的转置矩阵，再用矩阵逆运算法则求出各变量的确切值，才能得到函数的极值。
因此，矩阵逆运算法则在现代科技、数理科学发展史中起着举足轻重的作用，被广泛地应用在多个领域，其重要性不言而喻。
只有运用正确的方法，熟练掌握方法的技巧，才能有效解决具体的矩阵运算问题。
学习和掌握矩阵逆运算法则有助于我们更好地解决矩阵运算产生的各种难题，让我们更加深刻地理解矩阵逆运算法则的概念及其重要意义。
逆矩阵的性质及其若干求法
安阳师范学院本科学生毕业论文逆矩阵的性质及其若干求法作者戴丽丰系 (院) 数学与统计学院专业数学与应用数学年级 2010 级本科学号 100801071指导教师贾红艳论文成绩日期2014年06月学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含他人已经发表或已经撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。
所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
签名：日期：论文使用授权说明本人了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借读；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。
签名：导师签名：日期逆矩阵的性质及其若干求法戴丽丰（安阳师范学院 数学与统计学院, 浙江 金华 321000)摘 要：矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位.为了更便捷地求逆矩阵，根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法. 主要有定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法与解方程组法，并对部分进行了简要论证。
关键词：逆矩阵；伴随矩阵；初等变换；分块矩阵；MATLAB1 引言矩阵理论是线性代数以及高等代数的核心内容，无论是二次型，还是线性变换以及欧几里得空间都可以借助于矩阵简便的解决相关问题．可以说，掌握矩阵理论是学好线性代数必不可少的条件．而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位.比如逆矩阵可以用来解线性方程组.逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.伴随矩阵法要求计算矩阵的行列式的值和它的伴随矩阵.当其阶数较高时,它的计算量是很大的,因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.为了更便捷地求矩阵的逆,本文根据矩阵的特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法,这些方法能帮助我们更快更准地解决繁琐的求逆矩阵问题.同时,它还是我们更好的学习线性代数的必备基础知识,认真掌握它,可供我们以后继续在数学方面深造打下坚实的基础. 2 预备知识 2.1 逆矩阵的定义设A 为n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵B ，使得AB BA E ==(这里的E 是单位矩阵)成立，那么矩阵A 称为可逆矩阵，此时矩阵B 称为A 的逆矩阵，简称为矩阵A 的逆.如果A 的逆矩阵不存在，那么A 称为不可逆矩阵.A 的逆矩阵记作1-A ，即如果AB BA E ==，那么1-=A B .2.2逆矩阵的性质性质1 如果矩阵A 可逆的，那么A 的逆矩阵是唯一的.证明 设1B ，2B 都是A 的逆矩阵，则()()11121222B B E B AB B A B EB B =====， 所以A 的逆矩阵是唯一的.性质2 如果A 可逆，那么1-A 可逆，且A A =--11)(. 性质3 如果A 可逆，数0≠λ，那么A λ可逆，且111)(--=A A λλ.性质4 如果A 可逆，那么'A 可逆，且'11'()()A A --=.性质5 如果A ，B 都是n 阶可逆矩阵，那么AB 可逆，且111)(---=A B AB . 证明 因为111111()()()AB B A A BB A AEA AA E------====111111()()()B A AB B A A B B EB B B E------====所以AB可逆，且111)(---=ABAB.3 逆矩阵的求法3.1 用定义求逆矩阵设A是一个n阶矩阵，如果存在n阶矩阵A，使A B B A E==，则称A矩阵是可逆矩阵，并称B是A的逆矩阵.例1已知n阶矩阵A满足2A A E-=，证明2A E+可逆，并求出它的逆矩阵1(2)A E-+.证：由220A A E--=，得(3)(2)40A E A E E-++=，则(2)(3)40A E A E E+-+=，即1(2)[(3)]4A E A E E+--=且1[(3)](2)4A E A E E--+=，由定义可知，2A E+可逆且11(2)(3)4A E A E-+=--.3.2 用伴随矩阵法求逆矩阵设A是n阶实矩阵，若0≠A,那么*11AAA⋅=-证明: 设()1>n阶矩阵111212212212nnn n nna a aaa aAa a a⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭由行列式等于它的任意一行（列）的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和，以及行列式的某一行（列）的元素与另外一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零，以下等式成立：11220i j i j in jnA i ja A a A a Ai j⎧=+++=⎨≠⎩，若，若1220i ij i j ni njA i ja A a A a Ai j⎧=+++=⎨≠⎩，若，若这里的代数余子式，中元素是行列式ijijaAA由此可知，若令1121121222*12,nnn n nnA A AAA AAA A A⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭那么=⋅=⋅AAAA**⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛AAAA⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=EEEEA≠A,由此可得，EAAAAAA=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅**11由矩阵定义可知：*11AAA⋅=-证毕.注：用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快捷，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过EAA=-1来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.例 2 判定矩⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=323222321A阵是否可逆，若可逆，求1-A.解：12322240323A⎡⎤⎢⎥==-≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦A∴可逆1122223A==122233A=-=1322232A==-212323A=-=2213633A==-2312432A=-=3123222A==-3213422A=-=3312222A==-所以⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----==-2112112321212424622411*1AAA.3.3 用初等变换法求逆矩阵求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A可逆，则A可通过初等变换，化为单位矩阵I，即存在初等矩阵SPPP,,21使sppp21A⋅E=()1用1-A右乘上式两端，得：sppp211-=A()2比较（1）（2）两式，可以看到当A通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵E作同样的初等变换，就化为A的逆矩阵1-A.用矩阵表示()A E−−−−→行初等变化()1E A-这是求逆矩阵的初等行变换法，或者1A EE A-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−−→⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭列初等变换这是用列初等变换求逆矩阵，这都是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.现在让我们从具体的题目中看看这类题的解析.例 3用初等行变换求逆矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=31121112A的逆矩阵.解()A E=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡13111211112→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11121211311→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---21511211311→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21131211311→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--32313111211311→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----3231311343532111111→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----323131134353213132311，故=-1A⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----323131343532313231.3.4 用分块矩阵求逆矩阵3.4.1分块矩阵的一般求法在进行高阶矩阵运算时，经常将高阶矩阵按某种规则分成若干块，并视每一小块是矩阵的元素，按照矩阵的运算法则进行计算，二小块之间的运算同样是按矩阵的运算法则进行运算，由此可以求出一个矩阵的逆矩阵.特别地，我们有，若T为可逆矩阵，且A BTC D⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡------+=--------------11111111111111)()()()(BCADCABCADBCADBACABCADBAAT证明：设A、D分别为r阶、s阶的方阵，则：()()()()11111111100rsE A A B D C A B AB D CABA B ETC D E E D CA B CA D CA B---------⎛⎫+-⋅⋅--⎛⎫ ⎪=→⎪ ⎪⎪⎝⎭---⎝⎭∴()()()()11111111111A AB D CA B AB D CABA BTC D D CA B CA D CA B-----------⎛⎫+---⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪---⎝⎭证毕由于这个公式太难记，因此我们在解决这类题目时往往将其转化为三角分块矩阵再求其逆.3.4.2 准对角线型矩阵的求逆设A、B都是非奇异矩阵,且A为n阶方阵，B为m阶方阵，若矩阵=C⎪⎪⎭⎫⎝⎛BA，则1-C⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--11BA.证明： A、B均为非奇异矩阵，则00≠≠BA且∴AC A BB==≠A∴可逆设A⎪⎪⎭⎫⎝⎛=WZYX,nmEX Y AEZ W B⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中nmXA EYBZAWB E=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，又 A、B均为可逆矩阵，∴11X AYZW B--⎧=⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴---111BAC证毕.可以将上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角线型矩阵中去，即：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11111AAAAAAAA3.4.3 准三角型矩阵求逆设A、C为非奇异矩阵，则1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛CBA=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11110CBCAA.证： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛-CAEBAECBA1两边求逆得：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛------111110CACBAEBAE∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------111111110CBCAACAEBAECBA证毕.同理可证⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----111110CBCAACBA.此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.例 4 已知1252142112001100T⎛⎫⎪⎪=⎪-⎪⎝⎭，求1T-.解将T分块如下：1252142112001100A BTC⎛⎫⎪⎛⎫⎪== ⎪⎪-⎝⎭⎪⎪⎝⎭，其中125212,,142111A B C-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可求的1*1*11121112,1111||||322A A C CA C--⎛⎫-⎪⎛⎫====⎪ ⎪-⎪⎝⎭-⎪⎝⎭从而11111111126311112263120033110033A A BCTC-----⎛⎫---⎪⎪⎪⎪⎛⎫-==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎪⎪-⎝⎭3.5 matlab求逆矩阵法MATLAB的强大功能之一体现在能直接处理向量或矩阵。
逆矩阵的计算
6 − 4 2 * 得 A = − 3 − 6 5 , 所以 2 2 − 2
1 3 − 2 1 * 3 5 −1 A = A = − . −3 A 2 2 1 1 − 1
需要说明的是：通常利用伴随阵 来计算A的逆 需要说明的是：通常利用伴随阵A* 来计算 的逆 矩阵的方法只限于阶数不超过3的矩阵， 矩阵的方法只限于阶数不超过3的矩阵，否则计算量可 能很大。 能很大。 对于阶数高于3 的矩阵， 对于阶数高于3 的矩阵，以后将介绍用初等变换 的方法来求逆矩阵。 的方法来求逆矩阵。
12 0 0 1 * 1 −1 A = A = 0 8 0 | A| 24 0 0 6
1 2 =0 0
0 1 3 0
0 0 . 1 4
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a1 0 , 由上例可推得设A = 0 0
1 a1 0 则A−1 = 0 0 0 1 a2 0 0 L L O L
(λA) =
−1
1
A−1 .
(4).若A可逆, 则A 也可逆 且( A ) = ( A ) . ,
T
T −1
−1 T
证 AT ( A−1 )T = ( A−1 A)T = ET = E.
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当| A|≠ 0时,
定义
A = E, A = ( A ) ,
0
−k
−1 k
为正整数。 其中 k 为正整数。
, 当| A|≠ 0, λ, µ为整数时有
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矩阵逆运算法则
矩阵逆运算法则定义为：如果A是一个n阶方阵，且满足A*A⁻¹=I，其中I为n阶单位矩阵，那么A阶就存在逆矩阵A⁻¹，A⁻¹是A的逆矩阵。
给定一个n阶非奇异矩阵A，计算A的逆矩阵A⁻¹可以采用列主元消元法和伴随矩阵法，其中，列主元消元法有展开法、置换法和消去法三种方法。
1.展开法：首先将方阵A拆分为三个矩阵，即A=(L|U|I)，其中，L 是一个单位对角线下三角阵，U是一个上三角阵，I是单位矩阵，接着，采用消元法，将L和U消去，从而得到A⁻¹=I。
2.置换法：首先，将方阵A拆分为三个矩阵，L和U，以及一个置换矩阵P，其中，P的作用是使得A转换成低阶半正定矩阵。
然后，通过置换法将P和U消去，从而得到A⁻¹=P⁻¹。
3.消去法：首先，将方阵A拆分为三个矩阵，即A=(L|U|I)，其中L 是一个单位对角线下三角阵，U是一个上三角阵，I是单位矩阵。
然后，采用消去法，逐步消元，从而得到A⁻¹=I。
伴随矩阵法：给定n阶非奇异矩阵A，令A的伴随矩阵为C，即
C=adj(A)，其中adj(A)为矩阵A的代数余子式矩阵，那么A的逆矩阵A⁻¹可以通过A⁻¹=C/det(A)得到。