数学分析：21-8重积分的计算及应用典型例题
《重积分应用举例》PPT课件
b
对 y 轴 的 转 动 惯 量 为 o a x
Iy x2dxd,y D
整理课件
20
bdya(1by)x2dx 1 a3b.
00
12
同 理 ： 对 x 轴 的 转 动 惯 量 为
Ix Dy2dxdy112ab3.
整理课件
21
三、引力
设空间一物体对物体外一点 P0 x0, y0, z0 处的
zdvdzzdxdyahzdvydydxxoy平面上有设有一平面薄片占有xoy面上的闭区域的转动惯量为薄片对于轴的转动惯量薄片对于轴的转动惯量设一均匀的直角三角形薄板两直角边长分别为ab求这三角形对其中任一直角边的转动惯量
第四节 重积分应用举例
❖一、曲面的面积 ❖二、质心和转动惯量 ❖三、引力
整理课件
曲面面积公式为：A 1 x y2 x z 2dy;dz Dyz
３．设曲面的方程为：yh(z,x)
曲面面积公式为：A
1 yz
2 y x
2dz.dx
Dzx
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8
例 1求 球 面 x 2 y 2 z 2 a 2 ， 含 在 圆 柱 体 x 2 y 2 a 内 部 x 的 那 部 分 面 积 .
则有 dAds.
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6
d为dA 在xo面 y 上的 , 投 d 影 dA co , s
cos 1 ,
1fx2fy2
dA 1fx 2fy2d曲面S的面积元素
A 1fx2fy2d, D
曲面面积公式为：A 1(xz)2(yz)2dxd
Dxy
整理课件
7
同理可得
２．设曲面的方程为：xg(y,z)
单位质量质点的引力为 F Fx, Fy , Fz
重积分中的典型例题
重积分中的典型例题例1．设222:r y x D r ≤+，求2221lim cos()d d rx y r D ex y x y r π++→+⎰⎰．解： 由积分中值定理，存在(,)r D ξη∈，使22222cos()d d cos()πrxy D e x y x y e r ξηξη+++=+⋅⎰⎰，当+→0r 时，)0,0(),(→ηξ，故原式22lim cos() 1.r e ξηξη++→=+=例2．证明：抛物面221z x y =++上任意一点000(,,)P x y z 处的切平面与抛物面22z x y =+ 所围成立体的体积为一常数．证明： 抛物面122++=y x z 在点000(,,)P x y z 处的切平面为220000221z x x y y x y =+--+，由22220000,221,z x y z x x y y x y ⎧=+⎨=+--+⎩ 求得投影区域2200()()1D x x y y -+-≤：，所围成立体的体积222222000000π(221)d d [1()()].2D DV x x y y x y x y x y x x y y =+--+--=----=⎰⎰⎰⎰例3．计算二重积分()2Dx y dxdy +⎰⎰，其中1:≤+y x D ．解： 设0,0,1:1≥≥≤+y x y x D ，利用积分区域x 轴、y 轴的对称性， 被积函数奇偶性以及积分区域关于直线y x =的对称性，有()2Dx y dxdy +⎰⎰11104(2)12x D x y dxdy dx xdy -=+=⎰⎰⎰⎰()11212x x d x =-=⎰．例4．设)(u f 为可微函数，且0)0(=f ，(0)3f '=，求极限22231lim (0)t x y t f dxdy t t π+→+≤>⎰⎰．解 ：因⎰⎰⎰⎰⎰==+≤+ttt y x rdr r f rdr r f d dxdy y x f 02022)(2)()(222πθπ，所以⎰⎰≤+→++222)(1lim 223t y x t dxdy y x f t π3)(2lim trdrr f tt ππ⎰+→=23)(2lim tt tf t +→=02()2lim (0)233t f t f t +→'===． 例5．证明：⎰⎰⎰-=baxabadx x b x f dy y f dx ))(()(，其中)(x f 连续函数． 证1： 因⎰⎰⎰⎰=Dxa badxdy y f dy y f dx )()(，其中b x a x y a D ≤≤≤≤,:y交换积分次序，有⎰⎰⎰⎰⎰-==bab yb ax abady y b y f dx y f dy dy y f dx ))(()()(⎰-=b adx x b x f ))((。
重积分的 计算 及应用
3 解:如图所示 D = D2 \ D , 1 1 O D1 D2 D A = ∫∫ dσ − ∫∫ dσ −2 D2 D 1 −4 1 3 12−y 2−y = ∫ dy∫ 2 d x − ∫ dy ∫ 2 d x
−4
y
−2
x
y
=[
12y − 1 y2计 ∫∫ 算
1(1). 设
由
确定 ,
由
x2 + y2 + z2 ≤ R2, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 所确定 , 则
C
上半球
(B)
∫∫∫Ω y dv = 4∫∫∫Ω
1
y dv
第一卦 限部分
2
z R
xyz dv
(D)
∫∫∫Ω xyz dv = 4∫∫∫Ω
1
Ω1 Ω2
O y
2
提示: 提示 利用对称性可知 , (A), (B), (D) 左边为 0 , 右边为正 , 显然不对 , 故选 ( C )
解答提示: 解答提示 P124 2 (3). 计算二重积分 其中D 为圆周 提示: 提示 利用极坐标 所围成的闭区域.
0 ≤ r ≤ Rcosθ
D:
原式
y O
− π ≤θ ≤ π 2 2
r = Rcosθ
D Rx
1 3 π 2 = R ∫ π (1− sin 3 θ ) dθ 3 −2 2 3 π 3 2 = R ∫ (1− sin θ ) d θ 0 3
∫∫D[ f
2
(x) + f ( y)]dxdy
2
a ≤ x ≤ b D: a ≤ y ≤ b
f 2 (x) dxdy = ∫∫D
b 2 f (x)dx a
重积分典型例题
重积分典型例题
例 1 在下列积分中改变累次积分的次序： (1) 解 (2) 解
ò
b a
dx ò f ( x , y ) dy ， ( a < b ) ；
a
x
ò
b a
dx ò f ( x , y ) dy = ò dy ò f ( x , y ) dx ．
a a y 2 ax 2 ax - x 2 2 ax 2 ax - x 2
òò ( x - a )( y - b ) dxdy £ òò | x - a | | y - b | dxd y £ òò
D D
| x - a || y - b | dxdy
[ a ,b ]´[ c , d }
= ò | x - a | dx × ò | y - b | dy
a c b =æ - x ) dx + ò ( x - a ) dx ö ç òa (a ÷× a è ø
2 2
f ( x , y ) dx + ò dy ò x , y ) dy ． y f (
2
2 a
2 a
a
2 a
例 2 计算下列重积分：
(1)
òò xy dxdy ，D 为抛物线 y
D p 2 òò xy dxdy = ò 2 xdx ò 0 D p 4 p 2 p 2 7 p 5 2 2 = × x 0 = ． 3 7 21 2 px - 2 px
解
令 x = ar cos q ， y = br sin q ，则 0 £ q £ 2 p ， 0 £ r £ 1 ，
¶ ( x, y ) = abr ．有 ¶ ( r , q )
《重积分计算习题》课件
重积分的几何意义
平面区域上的重积分
表示被积函数对应的曲面在平面区域 上所围成的体积。
空间区域上的重积分
表示被积函数对应的立体在空间区域 上所围成的体积。
02 重积分的基本计算方法
直角坐标系下的计算方法
直角坐标系下，重积分可以通过 将积分区域划分为若干个小矩形 ，然后分别对每个小矩形进行积
分，最后求和得到结果。
计算曲面的面积
重积分可以用来计算曲面 的面积，如球面、锥面等 。
确定空间点的位置
通过重积分可以确定空间 中某点的位置，如重心、 形心等。
在物理学中的应用
计算质量分布
在力学中，重积分可以用 来计算分布质量对物体运 动的影响。
计算引力场
在万有引力定律中，重积 分可以用来计算物体之间 的引力。
计算电场
在电动力学中，重积分可 以用来计算电荷分布产生 的电场。
如何提高重积分计算的准确性和效率
多做习题
通过大量的习题练习， 提高计算准确性和效率
。
细心审题
仔细阅读题目，确保理 解题意，避免因为理解
错误导致计算错误。
掌握计算技巧
掌握一些计算技巧，如 换元法、分部积分法等 ，可以提高计算效率。
利用数学软件
对于一些复杂积分，可 以利用数学软件进行计 算，提高计算准确性。
对于多重积分，可以按照积分次 序逐层积分，从外层到内层依次
积分。
在计算过程中，需要注意积分的 上下限，以及被积函数的定义域
。
极坐标系下的计算方法
在极坐标系下，重积分可以通过将积 分区域划分为若干个小圆环，然后分 别对每个小圆环进行积分，最后求和 得到结果。
在极坐标系下，需要注意极角和极径 的范围，以及被积函数的定义域。
《重积分的计算法》课件
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单击输入目录标题 重积分的概念 重积分的计算方法 重积分的应用 重积分的注意事项
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重积分的概念
定义与性质
重积分：对多元函数在某一区域内的积分 性质：重积分是积分的一种，具有积分的基本性质 计算方法：分为直接积分法和间接积分法 应用：广泛应用于物理学、工程学等领域
计算力矩和力： 用于计算力矩和 力，如桥梁、建 筑等结构设计
计算流体力学： 用于计算流体力 学问题，如流体 流动、热传导等
计算电磁场：用于 计算电磁场问题， 如电磁波传播、电 磁场分布等
在经济学中的应用
计算边际成本和边际收益 计算消费者剩余和生产者剩余 计算效用函数和需求函数 计算最优生产决策和定价策略
重积分的注意事项
计算过程中的误差控制
合理选择积分区间和积分方法
避免积分过程中的舍入误差
利用误差估计方法进行误差控 制
合理选择积分精度和收敛速度
Hale Waihona Puke 计算方法的选取与优化选取合适的计算方法：根据实际问题选择合适的计算方法，如矩形法、梯形法、辛普森法等。 优化计算方法：通过调整计算参数，如矩形法的宽度、梯形法的高度等，提高计算精度。 避免计算错误：注意计算过程中的错误，如计算过程中的舍入误差、计算过程中的数值稳定性等。 提高计算效率：通过优化计算方法，提高计算效率，如使用快速傅里叶变换、快速多极子算法等。
积分区域：选择合适的积分区域，避 免积分区域过大或过小
积分变量：选择合适的积分变量，避 免积分变量过多或过少
积分方法：选择合适的积分方法，避 免积分方法过于复杂或过于简单
积分精度：保证积分精度，避免积分 结果误差过大
积分收敛性：保证积分收敛性，避免 积分结果发散
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-重积分(圣才出品)
证明：假设 f 在 D 上可积，但在 D 上无界，那么，对 D 的任一分割
，
必在某个小区域 上无界．
当 i≠k 时，任取
令
由于 f 在 上无界，从而存在 从而
使得
另一方面，由 f 在 D 上可积知：存在
对任一 D 的分割
当
时，T 的任一积分和
都满足
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时）．即 f（x，y）在 D 上不可积．
因此
的极
7．证明：若 f（x，y）在有界闭区域 D 上连续，g（x，y）在 D 上可积且不变号，则
存在一点
使得
证明：不妨设
令 M，m 分别是 f 在 D 上的最大、最小值，从而
若
＝0，则由上式
若
则必大于 0，于是
于是任取
即可．
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为D内
证明：设 D 在 x 轴和 y 轴上的投影区间分别为[a，b]和[c，d]．
考虑
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由于
因此
所以
，同理可证
得
到
7．设 D＝[0，1]×[0，1]，
其中 表示有理数 x 化成既约分数后的分母．证明 f（x，y）在 D 上的二重积分存在而两个
同理可证先 y 后 x 的累次积分不存在．
8．设 D＝[0，1]×[0，1]，
其中 意义同第 7 题．证明 f（x，y）在 D 上的二重积分不存在而两个累次积分存在．
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证明：因为在正方形的任何部分内，函数 f 的振幅等于 1．所以二重积分不存在．对固
数学分析21.6重积分的应用(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分 6重积分的应用一、曲面的面积问题：设D 为可求面积的平面有界区域，函数f(x,y)在D 上具有连续的一阶偏导数，讨论由方程z=f(x,y), (x,y)∈D 所确定的曲面S 的面积.分析：对区域D 作分割T ，把D 分成n 个小区域σi (i=1,2,…,n). 曲面S 同时也被分割成相应的n 个小曲面片S i (i=1,2,…,n). 在每个S i 上任取一点M i , 作曲面在这一点的切平面πi , 并 在πi 上取出一小块A i , 使得A i 与S i 在xy 平面上的投影都是σi . 现在M i 附近，用切平面A i 代替小曲面片S i . 则当T 充分小时，有 △S=∑=∆ni i S 1≈∑=∆ni i A 1, 这里的△S, △S i , △A i 分别表示S, S i 和A i 的面积.∴当T →0时，可用和式∑=∆ni i A 1的极限作为S 的面积.建立曲面面积计算公式：∵切平面πi 的法向量就是曲面S 在点M i (ξi ,ηi ,ζi )处的法向量， 记其与z 轴的夹角为γi , 则|cos γi |=),(),(1122i i yi i xf f ηξηξ++.∵A i 在xy 平面上投影为σi , ∴△A i =iiγσcos ∆=i i i y i i x f f σηξηξ∆++),(),(122. 又和数∑=∆ni i A 1=∑=∆++ni i i i y i i x f f 122),(),(1σηξηξ是连续函数),(),(122y x f y x f y x ++在有界闭区域D 上的积分和，∴当T →0时，有△S=∑=→∆++ni i i i y i i x T f f 1220),(),(1lim σηξηξ=⎰⎰++Dy x dxdy y x f y x f ),(),(122, 或△S=∑=→∆ni i iT 1cos limγσ=⎰⎰∧Dz n dxdy ),cos(,其中),cos(∧z n 为曲面的法向量与z 轴正向夹角的余弦.例1：求圆锥z=22y x +在圆柱体x 2+y 2≤x 内那一部分的面积. 解：由x 2+y 2≤x, 得D={(r,θ)|0≤r ≤21, 0≤θ≤2π}, 又z x =22y x x +=r r θcos =cos θ, z y =22yx y+=r r θsin =sin θ, ∴△S=⎰⎰++Dyxdxdy z z 221=⎰⎰πθ202102rdr d =π42.例2：设平面光滑曲线的方程为y=f(x), x ∈[a,b] (f(x)>0). 求证：此曲线绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面的面积为： S=⎰'+ba dx x f x f )(1)(22π.证：由上半旋转面方程为z=22)(y x f -, 得 z x =22)()()(yx f x f x f -', z y =22)(yx f y --. 即有221yxz z ++=2222222)()()()(1yx f y y x f x f x f -+-'+=2222)())(1)((yx f x f x f -'+. ∴S=⎰⎰--'+b a x f x f dy y x f x f x f dx )()(222)()(1)(2=⎰⎰-'+b a x f dyy x f dx x f x f )(0222)(1)(1)(4=⎰⎰---'+ba x f x yf d x f y dx x f x f )(01222))(()(11)(1)(4=⎰⎰-'+b a dt tdx x f x f 102211)(1)(4=⎰'+b adx x f x f )(1)(22π.注：若空间曲面S 由参量方程：x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)∈D 确定, 其中x(u,v), y(u,v), z(u,v)在D 上具有连续一阶偏导数，且),(),(v u u y x ∂,),(),(v u u z y ∂,),(),(v u u x z ∂中至少有一个不等于0，则 曲面S 在点(x,y,z)的法线方向数为⎝⎛∂),(),(v u u z y ,),(),(v u u x z ∂,⎪⎪⎭⎫∂),(),(v u u y x , 则 它与z 轴的夹角的余弦的绝对值为：),cos(∧z n =222),(),(),(),(),(),(),(),(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂v u u y x v u u x z v u u z y v u u y x=2222222)())((),(),(v u v u v u vvvuuuz z y y x x z y x z y x v u u y x ++-++++∂=21),(),(FEG v u u y x -∂,其中E=222u u u z y x ++,G=222v v v z y x ++,F=v u v u v u z z y y x x ++.当),(),(v u u y x ∂≠0，则有△S=⎰⎰∧Dz n dxdy ),cos(=dudv z n v u u y x D ⎰⎰'∧∂),cos(),(),(=dudv F EG D ⎰⎰'-2.例3：求球面上两条纬线和两条经线之间 的曲面的面积(图中阴影部分). 解：设球面方程为：(R 为球的半径). x=Rcos ψcos φ,y=Rcos ψsin φ, z=Rsin ψ.由E=222ψψψz y x ++=R 2, G=222ϕϕϕz y x ++=R 2cos 2ψ, F=ϕψϕψϕψz z y y x x ++=0， 得2F EG -=R 2cos ψ. ∴△S=⎰⎰2121cos 2ψψϕϕψψϕd R d =R 2(φ2-φ1)(sin ψ2-sin ψ1).二、质心引例：设V 是密度函数为ρ(x,y,z)的空间物体，ρ(x,y,z)在V 上连续. 为求得V 的质心坐标公式，先对V 作分割T ，在属于T 的每一小块v i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi )，则小块v i 的质量可用ρ(ξi ,ηi ,ζi )△v i 近似代替. 若把每一小块看作质量集中在(ξi ,ηi ,ζi )的质点时，整个物体就可用这n 个质点的质点系来近似代替. 由于质点系的质心坐标公式为：∑∑==∆∆=ni iiiini iiiiin v v x 11),,(),,(ζηξρζηξρξ, ∑∑==∆∆=ni iiiini iiiiin v v y 11),,(),,(ζηξρζηξρη, ∑∑==∆∆=n i iiiini ii i i in v v z 11),,(),,(ζηξρζηξρζ.当T →0时，n x , n y , n z 的极限x , y , z 就定义为V 的质心坐标，即⎰⎰⎰⎰⎰⎰=VVdVz y x dVz y x x x ),,(),,(ρρ, ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=VVdVz y x dVz y x y y ),,(),,(ρρ, ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=VVdVz y x dVz y x z z ),,(),,(ρρ.当物体V 的密度均匀即ρ为常数时，则有⎰⎰⎰∆=VxdV Vx 1, ⎰⎰⎰∆=VydV Vy 1, ⎰⎰⎰∆=VzdV Vz 1, 这里△V 为V 的体积.又密度分布为ρ(x,y)的平面薄板D 的质心坐标为：⎰⎰⎰⎰=DDd y x d y x x x σρσρ),(),(, ⎰⎰⎰⎰=DDd y x d y x y y σρσρ),(),(. 当平面薄板的密度均匀时，即ρ为常数时，则有⎰⎰∆=Dxd D x σ1, ⎰⎰∆=D yd D y σ1, △D 为薄板D 的面积.例4：求密度均匀的上半椭球体的质心.解：设椭球体由不等式a x 2+by 2+c z 2≤1表示.由对称性知x =0, y =0, 又由ρ为常数，得z =⎰⎰⎰⎰⎰⎰VVdVdVz ρρ=abc abc ππ3242=83c .三、转动惯量质点A 对于轴l 的转动惯量J 是质点A 的质量m 和A 与转动轴l 的距离r 的平方的乘积，即J=mr 2.设ρ(x,y,z)为空间物体V 的密度分布函数，它在V 上连续. 对V 作分割T ，在属于T 的每一小块v i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi )，则v i 的质量可用ρ(ξi ,ηi ,ζi )△v i 近似代替. 当以质点系{(ξi ,ηi ,ζi ), i=1,2,…, n}近似替代V 时，质点系对于x 轴的转动惯量为：i i i i ni i i x v J n∆+=∑=),,()(122ζηξρζη.当T →0时，上述积分和的极限就是物体V 对于x 轴的转动惯量 J x =⎰⎰⎰+VdV z y x z y ),,()(22ρ. 类似地,V 对于y 轴与z 轴的转动惯量分别为：J y =⎰⎰⎰+VdV z y x x z ),,()(22ρ, J z =⎰⎰⎰+VdV z y x y x ),,()(22ρ.同理，V 对于坐标平面的转动惯量分别为：J xy =⎰⎰⎰VdV z y x z ),,(2ρ, J yz =⎰⎰⎰VdV z y x x ),,(2ρ, J xz =⎰⎰⎰VdV z y x y ),,(2ρ.平面薄板对于坐标轴的转动惯量分别为：J x =⎰⎰Dd y x y σρ),(2, J y =⎰⎰Dd y x x σρ),(2. 以及有J l =⎰⎰Dd y x y x r σρ),(),(2,其中l 为转动轴, r(x,y)为D 中点(x,y)到l 的距离函数.例5：求密度均匀的圆环D 对于垂直于圆环面中心轴的转动惯量. 解：设圆环D 为R 12≤x 2+y 2≤R 22, 密度为ρ, 则D 中任一点(x,y)与转轴的距离平方为x 2+y 2, 于是转动惯量为：J=⎰⎰+Dd y x σρ)(22=⎰⎰21320R R dr r d πθρ=2πρ(R 24-R 14)=例6：求均匀圆盘D 对于其直径的转动惯量.解：设D 为x 2+y 2≤R 2, 密度为ρ, D 内任一点(x,y)与y 轴的距离为|x|, 于是转动惯量为：(m 为圆盘质量) J=⎰⎰Dd x σρ2=⎰⎰Rdr r d 02320cos θθρπ=⎰πθθρ2024cos 4d R =44R ρπ=42mR .例7：设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量.解：设球体由x 2+y 2+z 2≤R 2表示，密度为k 222z y x ++, k 为比便常数. 切平面方程为x=R, 则球体对于平面x=R 的转动惯量为： J=k ⎰⎰⎰-++VdV x R z y x 2222)(=k ⎰⎰⎰-ππϕθϕϕθ003220sin )cos sin (Rdr r r R d d=kR 6⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππϕθϕθϕθ023220cos sin 61cos sin 5241d d =⎰πθθ2026cos 911d kR =911k πR 6.四、引力求密度为ρ(x,y,z)的立体对立体外质量为1的质点A 的引力.设A 的坐标为(ξi ,ηi ,ζi )，V 中点的坐标用(x,y,z)表示. V 中质量微元dm=ρdV 对A 的引力在坐标轴上的投影为 dF xyz其中K 为引力系数， r=222)()()(ζηξ-+-+-z y x 是A 到dV 的距离，于是 力F 在三个坐标轴上的投影分别为： F x =K ⎰⎰⎰-VdV r x ρξ3, F y =K ⎰⎰⎰-V dV r y ρη3, F z =K ⎰⎰⎰-VdV r z ρζ3, 所以F=F x i+F y j+F z k.例8：设球体V 具有均匀的密度ρ, 求V 对球外一点A(质量为1)的引力(引力系数为k).解：设球体为x 2+y 2+z 2≤R 2，球外一点坐标为(0,0,a) (R<a). 则F x =F y =0,F z =k ⎰⎰⎰-++-V dV a z y x a z ρ2/3222])([=k ρ⎰⎰⎰-++--zD R R a z y x dxdydz a z 2/3222])([)(, 其中D z ={(x,y)|x2+y2≤R 2-z 2}. 运用极坐标计算得： F z =k ρdr a z r rd dz a z z R RR ⎰⎰⎰---+-2202/32220])([)(πθ =2πk ρ⎰-+----R R dz aaz R a z )21(22=2πk ρ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--++-+-⎰-R R dz a az R R a a az R a R 22222222212= 2πk ρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+----+---⎰⎰--RRRRaz d a az R a R a az d a az R a R )2(214)2(241222222222=2πk ρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+-----RRRRa az R a R a a az R a R 22222322222)2(612 =2πk ρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++----222233)(6)()(2a R a R a a R R a R=2πk ρ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++-232332a R R a R R R =2334a R k ρπ-. (注：z ≤R<a)习题1、求曲面az=xy 包含在圆柱x 2+y 2=a 2内那部分的面积.解：∵z x =a y, z y =ax , D={(r,θ)|0≤r ≤a, 0≤θ≤2π}, ∴曲面面积为： S=⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+Ddxdy a x a y 221=⎰⎰+a dr a r r d 022201πθ=)122(322-a π.2、求锥面z=22y x +被柱面z 2=2x 所截部分的曲面面积. 解：且面在xy 平面的投影区域为：D={(r,θ)|0≤r ≤1, 0≤θ≤2π}, 且z x =22yx x +, z y =22yx y +, ∴曲面面积为：S=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++Ddxdy y x y y x x 2222221=⎰⎰10202rdr d πθ=π2.3、求下列均匀密度的平面薄板质心：(1)半椭圆2222by a x +≤1, y ≥0；(2)高为h, 底分别为a 和b 的等腰梯形.解：(1)设质心位置为(x ,y ), 由对称性得x =0.y =⎰⎰⎰⎰DDd yd σρσρ=⎰⎰⎰⎰DDd yd σσ=⎰⎰Dyd ab σπ2=dr r ab d ab ⎰⎰πθθπ122sin 2=π34b . (2)不妨设a 为下底，以下底中点为原点建立直角坐标系，则 D={(x,y)|l 1(y)≤x ≤l 2(y),0≤y ≤h}.设质心位置为(x ,y ), 由对称性得x =0.又等腰三角形的面积为2)(hb a +, ∴y =⎰⎰+D yd h b a σ)(2=⎰⎰+h y l y l dx ydy h b a 0)()(21)(2=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+--+h ydy a h y h a b a h y h b a h b a 02)(22)(2)(2=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+h ydy a h y h b a h b a 0)()(2=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+h dy by y h b a h b a 02)(2=h b a a b )(32++. 其中：l 1(y): x=2)(2a h y h a b ---; l 2(y): x=2)(2ah y h b a +--.4、求下列均匀密度物体的质心.(1)z ≤1-x 2-y 2, z ≥0；(2)由坐标面及平面x+2y-z=1所围的四面体. 解：(1)设质心为(x ,y ,z ), 由对称性x =y =0, 应用柱面坐标变换有,z =⎰⎰⎰⎰⎰⎰VVdV dV z ρρ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰--221020110201r r dz r d r d zdz r d r d ππθθ=dr r r dr r r )1()1(212102210--⎰⎰=31. (2)设质心为(x ,y ,z ),∵V=⎰⎰⎰VdV =121， ∴x =⎰⎰⎰--+21001211x y x dz dy xdx V =⎰⎰---2101)21(12x dy y x xdx =⎰-1024)1(12dx x x =41. y =⎰⎰⎰--+yy x dz dx ydy V 210122101=⎰⎰---ydx x y ydy 210210)21(12=⎰-21022)21(12dy y y =81. z =⎰⎰⎰--+yy x zdz dx dy V21012211=⎰⎰--+-ydx y x dy 2102210)12(6=⎰--21033)21(6dy y =41-.5、求下列均匀密度的平面薄板的转动惯量： (1)半径为R 的圆关于其切线的转动惯量；(2)边长为a 和b, 且夹角为φ的平行四边形，关于底边b 的转动惯量.解：(1)设切线为x=R, 密度为ρ.则对任一点P(x,y)∈D, P 到x=R 的距离为R-x ，从而转动惯量 J=ρ⎰⎰-Dd x R σ2)(=ρ⎰⎰+-Rdr r Rr R r d 022220)cos cos 2(θθθπ=ρ⎰+-πθθθ2024)cos 41cos 3221(d R= R 4. (2)设密度为ρ. 以底边为x 轴，左端点为原点，则转动惯量 J=⎰⎰Dd y σ2=ρ⎰⎰+by y a dx dy y ϕϕϕcot cot sin 02=3sin 33ϕρb a .6、计算下列引力：(1)均匀薄片x 2+y 2≤R 2, z=0对于轴上一点(0,0,c) (c>0)处的单位质量的引力；(2)均匀柱体x 2+y 2≤a 2, 0≤z ≤h 对于点P(0,0,c) (c>h)处的单位质量的引力；(3)均匀密度的正圆锥体(高h, 底半径R)对于在它的顶点处质量为m 的质点的引力.解：(1)根据对称性知引力方向在z 轴上，∴F z =0, F y =0.F z =k ρ⎰⎰++Ddxdy c y x c 2/3222)(=kc ρ⎰⎰+R dr c r r d 02/32220)(πθ=2k .∴F={0,0,2k }.(2)根据对称性知引力方向在z 轴上，∴F z =0, F y =0. F z =k ρ⎰⎰⎰-++-VdV c z y x c z 2/3222])([=k ρ⎰⎰⎰-+-a h dr c z r rd dz c z 02/322200])([)(πθ=-2k πρdz c z a c z h⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-+022)(1=2k πρ[]h c h a c a --+-+2222)(. ∴F={0,0,2k πρ[]h c h a c a --+-+2222)(}.(3)以圆锥体的顶点为原点, 对称轴为z 轴建立xyz 三维直角坐标系. 根据对称性知引力方向在z 轴上，∴F z =0, F y =0.F z =k ρm ⎰⎰⎰++V dV z y x z 2/3222)(=k ρm ⎰⎰⎰+R hrR dz z r zrdr d 02/322020)(πθ=2k πR ρm ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-22221R h R h R . ∴F={0,0, 2k πR ρm ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-22221R h R h R }.7、求曲面⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=ψϕψϕψsin sin )cos (cos )cos (a z a b y a b x (0≤φ≤2π, 0≤ψ≤2π) 的面积，其中常数a,b 满足0≤a ≤b.解：∵x φ=-(b+acos ψ)sin φ, y φ=(b+acos ψ)cos φ, z φ=0; x ψ=-asin ψcos φ, y ψ=-asin ψsin φ, z ψ=acos ψ.∴E=222ϕϕϕz y x ++=(b+acos ψ)2, G=222ψψψz y x ++=a 2, F=ψϕψϕψϕz z y y x x ++=0. ∴S=σd F EG D ⎰⎰'-2=σψd a b a D ⎰⎰'+)cos (=⎰⎰+ππψψϕ2020)cos (d a b d a =4ab π2.8、求螺旋面⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕϕb z r y r x sin cos (0≤r ≤a, 0≤φ≤2π) 的面积.解：∵x r =cos φ, y r =sin φ, z r =0; x φ=-rsin φ, y φ=rcos φ, z φ=b.∴E=222r r r z y x ++=1, G=222ϕϕϕz y x ++=r 2+b 2, F=ϕϕϕz z y y x x r r r ++=0.∴S=σd F EG D ⎰⎰'-2=σd b r D ⎰⎰'+22=⎰⎰+πϕ20022d dr b r a=π⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++b b a a b b a a 22222ln .9、求边长为a 密度均匀的正方体关于其任一棱边的转动变量. 解：以正方体的一个顶点为原点，顶点上方的棱为z 轴，使 正方体处于第一卦限中，则正方体对z 轴上的棱的转动变量为： J z =ρ⎰⎰⎰+V dV y x )(22=ρ⎰⎰⎰+aaadz y x dy dx 00220)(=a ρ⎰⎰+aady y x dx 0220)(=a ρ⎰+adx a ax 032)31(=32a 5ρ. (ρ为正方体密度)。
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D
:
02
r
R
2
cos
原式
y r R cos
o D Rx
2 R3
2 (1 sin3 ) d
30
数学分析电子教案
P124 6. 把积分 其中由曲面 所围成的闭区域 . 提示: 积分域为
化为三次积分, 及平面
:
1 1 x2y2
原式 dx dy f (x, y, z)dz 1 x2 0
数学分析电子教案 P124 7 (1) .计算积分
由球面 x2 y2 z2 1 所围成的闭区域 .
提示: 被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数 ,
利用 对称性可知原式为 0.
数学分析电子教案
9.在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上,要接上一
个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个 薄片的重心恰好落在圆心上 ,问接上去的均匀矩形薄片
的另一边长度应为多少?
3. 掌握确定积分限的方法 图示法 (从内到外: 面、线、点) 列不等式法
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练习
P124 2 (3) ; 6; 7 (1), (3)
补充题: 计算积分
其中D 由
所围成.
解答提示: (接下页)
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P124 2 (3). 计算二重积分
其中D 为圆周
所围成的闭区域.
提示: 利用极坐标
其形心坐标为: x 1 , y 2
面积为:
形心坐标
5xA3 yA
[5 (1) 3 2]A 9
x
1 A
D
x
d xd y
y
1 A
D
y
d xd y
数例学3分. 析计电算子二教重案积分
(1) I D sgn( y x2 )dxdy, D : 1 x 1，0 y 1
(2) I ( x2 y2 2xy 2) dxdy, 其中D 为圆域 D
2
dx
0
f (x, y) d y
00
sin x
D1 f (x, y) d D2 f (x, y) d
1 arcsin y
dy
f (x, y) d x
1
yx
D1
D2
o
1x
2D2 (x y)dxdy 2D dxdy
2 ( 2 1)
3
2
说明: 若不用对称性, 需分块积分以教案 例4. 交换下列二次积分的顺序:
y
y sin x
解: 如图所示
o
D1
2
D2 x
I
dx
sin x
f (x, y) d y
在第一象限部分.
y
解:(1) 作辅助线 y x2 把与D 分成
1 D1
D1, D2 两部分,
I则 D1 dxdy D2 dxdy
1 o 1 x D2
1
dx
1
1
x2 dy
1
dx
1
x2
dy
0
2 3
数学(2分) 析提电示子: 教案
I D ( x2 y2 2xy 2) dxdy
y
作辅助线 y x 将D 分成 D1 , D2 两部分
P124 4,
数学分析电子教案 P124 4. 证明:
a dy
y em(ax) f (x)dx
a (a x)em(ax) f (x)dx
00
0
提示: 左端积分区域如图,
y a
交换积分顺序即可证得.
D yx
P124 7(2)求.
z
ln(x2 x2
y
y
2
2
z z2
2
1
1)
d
v,
ox
其中是
0
5
r2 dx
250
3
2
数学分析电子教案 补充题.
计算积分
其中D 由
所围成 .
y y2 2x
提示:如图所示 D D2 \ D1 ,
4 2
f (x, y) x y 在 D2内有定义且
o 4
D1 D2
D
x
连续,所以
6
D (x y) d D2 (x y) d D1 (x y) d
4
dy
6
12 y
y2 (x y)d x
2
dy
4
4 y
y2 (x y)d x
2
2
54311 15
数学分析电子教案 二、重积分计算的基本技巧
1. 交换积分顺序的方法
2. 利用对称性或重心公式简化计算 分块积分法
3. 消去被积函数绝对值符号 利用对称性
4. 利用重积分换元公式
练习题
P123 1 (总习题九) ; 7(2), 9 解答提示: (接下页)
其中是两个球
( R > 0 )的公共部分.
D2z
z R
R
2
提示: 由于被积函数缺 x , y , D1z
利用“先二后一” 计算方便 .
o x
y
原式 = R2 z2 dz 0
dxdy
D1 z
R R
z2 dz
2
d xd y
D2 z
R2 z2 (2Rz z2)dz
0
R R
z2 (R2
数学习分析题电子课教案
第九章
重积分的计算及应用
一、 重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用
数学分析电子教案一、重积分计算的基本方法 —— 累次积分法
1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.
2. 选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .
提示: 建立坐标系如图. 由对称性知 y 0, 即有
R
R2 x2
0 D yd x dy R d xb ydy
2 R3 R b2 3
由此解得 b 2R
y
y R2 x2
b ? Do
R
Rx
3
b
数学分析电子教案
例1. 计算二重积分 I (x2 xyex2 y2 ) dxdy ,其中: D (1) D为圆域
(2) D由直线
围成 .
解: (1) 利用对称性.
I x2 d x d y xyex2 y2 d x d y
D
D
y
1 2
D
(
x2
y
2
)
dxd
y
0
D
1
2
d
1
r
3
d
r
20
0
4
o 1x
数学分析电子教案
添加辅助线 y x, 将D 分为 D1, D2 ,
利用对称性 , 得
(2) 积分域如图:
xyex2 y2 dxd y
D1
xyex2 y2 dxd y
D2
1 x2 d x
x
dy 00
1
1
y
yx
o D2
D1
1x
1 y x
数学分析电子教案 例2. 计算二重积分
其中D 是由曲
线
所围成的平面域 .
解: I 5D x dxdy 3D y dxdy
积分区域 (x 1)2 ( y 2)2 32
z2)dz
2
59 R5
480
数学分析电子教案
P124 7 (3).计算三重积分
其中是由
xoy平面上曲线
绕 x 轴旋转而成的曲面与平面
所围成的闭区域 .
xx
z
提示: 利用柱坐标 y r cos
o
z r sin
1 2
r2
x
5
x5
y
: 0 r 10
0 2
原式
2 d
0
10 r3 dr