待定系数法求函数的解析式
用待定系数法求函数解析式
• 二次函数的图象经过（0,0）(-1,-1), (1,9) 求这个函数的解析式
• 例题2：已知二次函数的图像的顶点坐标为 （1，-3），且与y轴交于（0，1）。试确 定此函数的解析式。
解：由题意可设抛物线的解析式为: y=a(x-1) 3
2
函数图像与y轴交于点（0， 1 ） 1=(0-1) 3 a 4
y x
y
y x
y
x x
y=a(x-h)²
y=ax²
y=a(x-h)² +k
y=ax² +c
例题1：已知二次函数图像经过点A（0，-1） B（1，0），C（-1，2），求这个函数的解 析式。
解：设二次函数的解析式为 y=ax 2 bx c 函数图像经过点Ａ（0,-1），Ｂ（1,0），Ｃ(-1,2) -１=ｃ ０=ａ＋ｂ＋ｃ ２=ａ-ｂ＋ｃ a 2 b 1 c 1 函数解析式为： y 2x2 x 1
课堂小结
确定二次函数解析式的一般方法是待定系数法， 在选择二次函数的关系式设成什么形式时，可以根据 题目的条件灵活选择，以简单为原则，一般地二次函 数的解析式可以设为如下三种形式： （1）一般式（三点式） y＝ax 2 bx c 当题目给出不特殊的三个点的坐标时，可用此式。
2
（2）顶点式 y a( x h) k 当题目给出两点且其中有一个为顶点时，可用此式。
2
y 4( x 1) 3
2
即：y 4 x 8x 1
2
例题3：已知二次函数的图像点A（1，0） , 1 3 B(3，0),C( ，- ），求这个函数的解析 2 2 式。
解：设抛物线的解析式为： y a ( x 1)( x 3) 1 3 抛物线经过点（ ，- ） 2 2 3 1 1 - a ( 1)( 3) 2 2 2 6 a 5 6 y ( x 1)( x 3) 5 6 2 24 18 即：y x x 5 5 5
用待定系数法求函数解析式
k+b=2 解方程得：k=1, b=1 因此：所求二次函数是：y=x+1
例题解析
例3 已知一元二次函数的顶点坐标为（1，-2）并 且经过点（3，0）求f（x）的解析式.
解： 设所求的二次函数为f(x)= a(x-k)2+h (a0)
由已知得： f(x)=a(x-1)2-2
将点（3，0）代入上式得a= 1
2
因此：所求二次函数是：f（x） =1 2（x-1） 2-2
例题解析
例2 已知一元二次函数f（x）在x=-1,0,1处的函 数值分别为7，-1，-3，求f（x）的解析式.
解： 设所求的二次函数为f(x)= ax2+bx+c (a0)
a-b +c=7
由已知得：
c=-1
a+b+c=-3
解方程得： a=3, b=-5, c =-1
如果知道这个函数的一般形式, 可先把所求函数 写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设 条件求出这些待定系数. 这种通过求待定系数来 确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.
待定系数法的步骤：
设列解答
例题解析
例1 已知一个一次函数的图象过两点（－1,0）, （1,2），求这个函数的解析式？
解：设所求的一次函数为y=kx+b -k+b=0
因此：所求二次函数是： y=3x2-5x-1
跟踪练习：
1.已知一次函数的图象经过两点（－1，0）， （1，2），求这个函数的解析式.
2.已知一元二次函数的图像经过三点（0，-1）， （1，2）， （-3，2），求这个函数的解析式.
3.已知一元二次函数的图像顶点为（0，-1），且 经过点（1，2）求这个函数的解析式.
待定系数法求函数解析式
已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式
已知抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式
例1、已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5）（－1, 0）三点，求这个函数的解析式？
解： 设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
∵二次函数的图象过点（0,-3）（4，5）（－1, 0） a= 1 c=-3 解得 b=-2 16a+4b+c=5 ∴ x=0时,y=-3; a-b+c=0 c= -3
交点式： y=a(x-x1)(x-x2)
-1
o
1
x
顶点式： y=a(x-h)2+k
故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1) 即：y=－x2+1
已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5） 对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？
解：设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c c=-3 依题意得 16a+4b+c=0 - b =1 2a
用待定系数法求函数的解析式的一般步骤
一、设 二、代 三、解 四、还原
用待定系数法确定二次函数的解析式时， 应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。
二次函数常用的几种解析式
一般式 顶点式 交点式 y=ax2+bx+c (a≠0) y=a(x-h)2+k (a≠0) y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
x=4时,y=5;
∴所求二次函数为 y=x2-2x-3
x=-1时,y=0;
最低点为（ x=1，y最值 1， =-4 -4）
例2、已知抛物线的顶点为（1，－4）， 且过点（0，－3），求抛物线的解析式？
考点02 求函数解析式的3种方法(解析版)
专题二 函数考点2 求函数解析式的3种方法【方法点拨】求函数解析式的常用方法1. 待定系数法：已知函数的类型，利用所给条件，列出方程或方程组，用待定系数法确定系数.2. 配凑法或换元法：已知复合函数f[g(x)]=F(x)的解析式，把F(x)配凑成关于g(x)的表达式，再用x 代替g(x)，称为配凑法；或者，直接令g(x)=t ，解方程把x 表示成关于t 的函数，再代回，称为换元法，此时要注意新元t 的取值范围.3解方程组法(或赋值法)：已知关于f(x)与f(1/x)或f(-x)的表达式，可通过对自变量的不同赋值构造出不同的等式通过解方程组求出f(x).【高考模拟】1．已知()f x 是偶函数,且当0x >时,2()f x x x =-,则当0x <时,()f x 的解析式为（ ） A ．2()f x x x =-B ．2()f x x x =--C ．2()f x x x =+D ．2()f x x x =-+【答案】C【分析】利用()f x 是偶函数，()()f x f x -=，当0x <，()2f x x x -=+，即可求得答案 【解析】设0x <，则0x ->，当0x >时,()2f x x x =- ()2f x x x ∴-=+，()f x 是偶函数，则()()f x f x -=()2f x x x ∴=+ ()0x <故选C【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式，掌握解题方法，较为简单．2．已知幂函数()f x 的图象经过点()327，，则()f x 的解析式()f x =（ ）．A ．3xB ．3xC ．9xD ．3log x【答案】A【分析】 设幂函数解析式为()f x x α= ，将点()327，代入即可求解. 【解析】设幂函数为()f x x α= 函数经过点（3，27），273α∴= 解得3α=故()f x 的解析式()3f x x = 故选A【点睛】本题考查幂函数解析式的确定，是基础题；解题时需要认真审题，准确代入数值.3．若函数2()1x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数，则()f x 的解析式为（ ）． A ．2()1x f x x =-+ B ．2()1x f x x =+ C ．21()1x f x x +=+ D ．2()1x f x x x =++ 【答案】B【解析】【分析】由奇函数得()()f x f x -=-，代入后求出解析式【解析】函数()21x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数 ()()f x f x ∴-=-，即()()00f f -=-，()00f =，001a a ==， 即()21x f x x bx =++()()11f f -=-，1122b b -=--+ 解得0b =则()21x f x x =+ 故选B【点睛】 本题考查了函数奇偶性的运用，当奇函数定义域取到零时有()00f =，然后再赋值法求出解析式，较为基础。
用待定系数法求一次函数解析式
四、画龙点晴
规律1：确定一个待定系数需要一个条件， 规律 ：确定一个待定系数需要一个条件， 确定两个待定系数需要2个条件 个条件． 确定两个待定系数需要 个条件． 规律2：确定正比例函数的表达式需要一个条件， 规律 ：确定正比例函数的表达式需要一个条件，
确定一次函数的表达式需要2个条件． 确定一次函数的表达式需要 个条件． 个条件
四、画龙点晴
1、列方程解应用题的基本步骤有哪些？ 、列方程解应用题的基本步骤有哪些？ 2、用待定系数法求一次函数解析式的基本步骤: 、用待定系数法求一次函数解析式的基本步骤 找两点坐标 设 列 解 答
思路： 思路：求一次函数的解析式 求k、b的值 列二元一次方程组 解方程组
五、融会贯通——分类与分层 融会贯通 分类与分层
{
设 列 解 答
{
一次函数的解析式为
y=2x-1
三
1、已知一次函数y＝kx＋b ，当x＝2时y的值为 ，当x＝－ 、已知一次函数 ＝ ＋ 的值为4， ＝－2 ＝ 时 的值为 ＝－ 时， y的值为 ，求k、b的值 （P120/6） 的值为-2， 、 的值.（ ） 的值为 的值 2、已知直线 y＝kx＋b经过点（9，0）和点（24，20），求k、 、 经过点（ ， ）和点（ ， ）， ），求 、 ＝ ＋ 经过点 b的值 （ P118/2） 的值. 的值 ） 3、已知一次函数的图象经过点(-4，9)与(6,3)，求这个函数 、已知一次函数的图象经过点 ， 与 ， 的解析式。（ 的解析式。（ P120/7） ） 4、 已知直线 y＝kx＋b经过点（3，6）和点 、 经过点（ ， ） ＝ ＋ 经过点 这条直线的函数解析式。 这条直线的函数解析式。 （ P137/4） ）
5 = 3k + b − 9 = −4k + b 解得 k =2 b = −1
用待定系数法求一次函数解析式
y＝3x－30
60 元上网费用； (2)若小李 4 月份上网 20 小时，他应付________
(3)若小李 5 月份上网费用为 75 元，则他在该月份的上网时间 是__________．
35
点拨：(1)当 x≥30 时，设函数解析式为 y＝kx＋b，
30k b 60 k 3 则 ，解得 .所以 y＝3x－30. b 30 40k b 90
k=2 ∴ y=2 x +2 ∴ x=-1 时 y=度y（厘米）在一定限度内 所挂重物质量x（千克）的一次函数，现已测得 不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量 的重物时，弹簧的长度是7.2厘米，求这个一次 函数的解析式。
解:设这个一次函数的解析式为:y=kx+b 根据题意,把x=0,y=6和x=4,y=7.2代入,得： b=6 k=0.3 4k+b=7.2 解得 b=6
Page 2
变式3：已知一次函数y=2x+b 的 图象过点(2,-1).求这个一次函数 的解析式．
解： ∵ y=2x+b 的图象过点（2，-1）.
∴ -1=2×2 + b
解得
b=-5
∴这个一次函数的解析式为y=2x-5
Page
3
变式4：已知一次函数y=kx+b 的图象 与y=2x平行且过点(2,-1).求这个一 次函数的解析式． ∵ y=kx+b 的图象与y=2x平行. 解：
当B点的坐标为（0,4）时，则 y=kx+4
4 ∴ 0=3k+4， ∴k= - ∴ 3 4 ∴ 0=3k+4， ∴k= 3
y= -
4 x+4 3
当B点的坐标为（0,-4）时，则 y=kx-4
用待定系数法求解析式
例3．
练习3： 已知一元二次函数f(x)的图象经过点（３，８）,
且与x轴交于两点（－１,０）,（5,０）,求函数f(x)的
已解析解知：式由一。题元意可二设次函数函的数解析f式(x为)的f (图x) 象a(x经1)(过x 点5) （0，因3为）图且象经与过（X３轴，交８）于两点（1，0） ,（3，代入0）得 ,8求 a函(3数1)(3f5()x)的解析式。
所以 a 1
因此,函数的解析式为 f (x) (x 1)(x 5)
三、小结：
已知条件
已知一次函数经过两点 A(x0,y0)，B(x1,y1)
可设函数解析式为
f (x) kx b(k 0)
已知二次函数经过不重
合的三点A(x0,y0),B(x1,y1),
C(x2,y2)
f (x) ax2 bx c(a 0)
这种通过求待定系数来确定变量之间关系（函
数解析式）的方法叫做待定系数法。
二、典例讲解与练习：
例1、已知一元二次函数f(x)在x=-1,0,1处的函 数值分别为7，-1，-3，求这个函数 f(x)的解析 式。
练习1：
已知一元二次函数f(x),且x=0,-1,1 处的函数值分别为3, 6, 2,求这个函数 f(x)的解析式。
思考：
问题1： 一元二次函数 f(x)的图象的对称轴是直线x=2, 并且图象经过点P(2,0),Q(0,4)，求函数f(x)的解 析式。
问题2： 一元二次函数 f(x)满足 f(2+x)=f(2-x) , 且函数 有最大值2，与 y 轴交于点（0，-6），求函数 f(x)的解析式。
一、复习引入
１．已学的函数及其解析式：
①正比例函数： y k x
②反比例函数： ③一 ຫໍສະໝຸດ 函 数：y k xy kxb
用待定系数法求函数解析式用
经过点P（1,2）的一次函数的解析式，则这个一次
函数解析式为 y x 1 。
2、（2007年郴州）已知正比例函数y=kx经过点 P(1，2），求这个正比例函数的解析式为 y 2x 。
3、（2010年郴州）已知双曲线 （1，2）则双曲线的解析式为
y
k x
y
的图象经过A
2 。
x
展现 自我
1、（2013年郴州）已知：如图，一次函数的图
象与y轴交于C（0，3），且与反比例函数y= 2 的图象在第一象限内交于A，B两点，其中 x
A（1，a），求这个一次函数的解析式．1
这个一次函数的解析式y=-x+3
．
2、（2012年郴州）已知反比例函数的图象与 直线y=2x相交于A（1，a），求这个反比例 函数的解析式． 这个反比例函数的解析式为y= 2
（1）求抛物线的表达式； （2）、（3）待续
y 2 x2 11 x 4 33
方法点拔 看图找点 见形想式 建模求解
畅谈所得
感悟提升
通过本节课的复习你对用待 定系数法求函数解析式又有什么 新的认识？
轻松 应对
任选以下三个条件中的一个，求二次函数
y=ax2＋bx＋c的解析式； ① 0）已知直线上两个点的坐标
反比例函数
yy kk(k 0) xx
二次函数一般式 y=ax2+bx+c
已知双曲线上一个点的坐标 已知抛物线上三个点的坐标
二次函数顶点式 y＝a(x-h)2+k 已知抛物线顶点坐标（h, k）
二次函数交点式
y=a(x-x1)(x-x2)
已知抛物线与x 轴的两个交 点(x1,0)、 (x2,0),
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一次函数的解析式
1、把y=kx+b （k ≠0，b 为常数）叫做一次函数的标准解析式，简称标准式。
直线过()11,y x ， ()22,y x =>2121x x y y k --=,或1212x x y y k --=
b:与y 轴交点的刻度（ 纵坐标）
1：若点A （2，4）在直线y=kx-2上，则k=（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．0
2：一条直线通过A （2,6），B （-1,3）两点，求此直线的解析式。
3：一条直线通过A （1,6），B （0,3）两点，求此直线的解析式。
4：若A （0，2），B （-2，1），C （6，a ）三点在同一条直线上，则a 的值为（ ）
A ．-2
B ．-5
C ．2
D ．5
5.已知点M （4，3）和N （1，-2），点P 在y 轴上，且PM+PN 最短，则点P 的坐标是（ ）
A ．（0，0）
B ．（0，1）
C ．（0，-1）
D ．（-1，0）
6.如图，已知一次函数y=kx+b 的图象经过A （0，1）和B （2，0），当x ＞0时，y 的取值范围是（ ）
A ．y ＜1
B ．y ＜0
C ．y ＞1
D ．y ＜2
7.已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示
（1）当x ＜0时，y 的取值范围是______。
（2）求k ，b 的值．
用待定系数法求二次函数解析式
二次函数的解析式有三种基本形式：
1、一般式：y=ax2+bx+c (a≠0)。
C:与y轴交点刻度（纵坐标）
2、顶点式：y=a(x－h)2+k (a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。
3、交点式：y=a(x－x
1)(x－x
2
) (a≠0)，其中x
1
,x
2
是抛物线与x轴的交点
的横坐标。
1.已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5），（－1, 0）三点，求这个函数的解析式？
2.已知二次函数的图象经过点)4
,0(
),
5
,1
(-
-
-和)1,1(．求这个二次函数的解析式．
3. 已知抛物线的顶点为（1，－4），且过点（0，－3），求抛物线的解析式？
4.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6；求抛物线的解析式？
5.. 已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5），对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？
6.如图，已知两点A（－8，0），（2，0），与y轴正半轴交于点C（0、4）。
求经过A、B、C 三点的抛物线的解析式。