2020高考数学专题复习概率文

2020高考数学专题复习：概率（文科）

1.某果农选取一片山地种植沙糖桔,收获时,该果农随机选取果树20株作为样本测量它们,每一株的果实产量(单位:kg),获得的所有数据按照区间(](](](]60,55,55,50,50,45,45,40进行分组,得到频率分布直方图如图,已知样本

中产量在区间

(4550,??上的果树株数是产量在区间(5060,??上的果树株数的4

3倍. (Ⅰ)求a ,b 的值 (Ⅱ)从样本中产量在区间(5060,??上的果树随机抽取两株,求产量在区间(5560,??上的果树至少有一株被抽中的

概率.

图3

频率组距

2.一个均匀的正四面体上分别有4321

，，，四个数字,现随机投掷两次,正四面体面朝下的数字分别为c b , (Ⅰ)记

()()2

33-+-=c b z ,求4=z 的概率

(Ⅱ)若方程02

=--c bx x 至少有一根{

}4,3,2,1∈x ，称该方程为“漂亮方程”,求方程为“漂亮方程”的概率.

3.以下茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆A 学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆B 学习的次数. 乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以x 表示. (Ⅰ)如果7=x ,求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差

(Ⅱ)如果9=x ,从学习次数大于8的学生中选两名同学,求选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的

次数和大于20的概率.

4.某市为了了解今年高中毕业生的体能状况,从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试,成绩在0.8米(精确到1.0米)以上的为合格.把所得数据进行整理后,分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图),已知从左到右前5个小组的频率分别为30.0,28.0,14.0,10.0,04.0.第6小组的频数是

(Ⅰ)求这次铅球测试成绩合格的人数

(Ⅱ)若由直方图来估计这组数据的中位数,指出它在第几组内,并说明理由

(Ⅲ)若参加此次测试的学生中,有9人的成绩为优秀,现在要从成绩优秀的学生中,随机选出2人参加“毕业运动会”,已知a 、b 的成绩均为优秀,求两人至少有1人入选的概率.

5.高三某班有两个数学课外兴趣小组,第一组有2名男生,2名女生,第二组有3名男生,2名女生.现在班主任老师要从第一组选出2人,从第二组选出1人,请他们在班会上和全班同学分享学习心得. (Ⅰ)求选出的3人均是男生的概率

(Ⅱ)求选出的3人中有男生也有女生的概率.

甲组

0 1

x 8 2

9 2

1 9 乙组

6.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为4321

，，， (Ⅰ)从袋中随机抽取一个球,将其编号记为a ,然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球,将其编号记为b .求关于x 的一元二次方程2

20x ax b ++=有实根的概率

(Ⅱ)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m ,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n .若以

(,)m n 作为点p 的坐标,求点p 落在区域??

?<-+≥-050

y x y x 内的概率.

7.某网站体育版块足球栏目组发起了“射手的上一场进连续进球有关系”的调查活动，在所有参与调查的人中，持“有关系”“

有关系无关系不知道 40岁以下

800 450 200 40岁以上（含40岁）

100

150

300

(Ⅰ)n 个人，已知从持“有关系”态度的人中抽取45人，求n （Ⅱ）在持“不知道”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任选取2人，求至少一人在40岁以下的概率

（Ⅲ）在接受调查的人中，有8人给这项活动打出分数如下：8.29.09.38.79.69.28.69.4

，，，，，，，，把这8个人打出的分数看做一个总体，从中任取1个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过6.0 的概率

8.一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是4,3,2,1，现从盒子中随机抽取卡片． (Ⅰ)若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率

（Ⅱ）若第一次随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到2的概率

9.某学校组织500名学生体检，按身高（单位：cm ）分组：第1组[)160,155，第2组[)165,160，第3组

[)170,165，第4组[)175,170，第5组[]180,175，得到的频率分布直方图如图所示．

(Ⅰ)下表是身高的频数分布表，求正整数n m ,的值

（Ⅱ）现

在要从第

3,2,1组中用分层抽样的方法抽取6人，第3,2,1组应抽取的人数分别是多少？

（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在第3组的概率

区间 [)160155，

[)165160，

[)170165，

[)175170，

[]180175，

人数

150

10.参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：

（Ⅰ）求参加数学抽测的人数n、抽测成绩的中位数及分数分别在

[)

80,90

，

[]

90,100

内的人数

（Ⅱ）若从分数在

[]

80,100

内的学生中任选两人进行调研谈话，求恰好有一人分数在

[]

90,100

内的概率．

()()()()()()()() ()()()()()

()

.2,4;

;4,1,1;

100

.4.

4,3

,3,2

,2,1,

2020高考数学专题复习：概率模拟题

1.某高级中学共有学生2000人，各年级男、女生人数如下表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二

年级女生的概率是19

（Ⅰ）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少人？

（Ⅱ）已知

245

245≥

≥z

y求高三年级女生比男生多的概率.

2.某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费每满100元可以转动如图所示的圆盘一次，其中O为圆心，且标有20元、10元、0元的三部分区域面积相等，假定指针停在任一

位置都是等可能的．当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券.（例如：某顾客消费了

218元，第一次转动获得了20元，第二次获得了10元，则其共获得了30元优惠券.）

顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动．

高一高二高三

女生373 x y

男生377 370 z

(Ⅰ) 若顾客甲消费了128元，求他获得优惠券面额大于0元的概率?

（Ⅱ）若顾客乙消费了280元，求他总共获得优惠券金额不低于20元的概率?

3.随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图. (Ⅰ) 根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高

（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于cm 173的同学，求身高为cm 176的同学被抽中的概率

4.商场举行购物抽奖活动，每位顾客从装有编号为3,2,1,0四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖

(Ⅰ) 求中三等奖的概率（Ⅱ）求中奖的概率

5.为了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：10,9,8,7,6,5.把这6名学生的得分看成一个总体 (Ⅰ) 求该总体的平均数

（Ⅱ）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过5.0的概率

6.为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校C B A ,,的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关

数据见下表（单位：人） (Ⅰ) 求y x ,

（Ⅱ）若从高校C B ,抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C 的概率

7．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况统计图如下：

(Ⅰ) 估计该校男生的人数

（Ⅱ）估计该校学生身高在185~170之间的概率

（Ⅲ）从样本中身高在190~180之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在190~185之间的概率

8．设平面向量

m a ()1,m =, n b =()n ,2，其中{

}4,3,2,1,∈n m (Ⅰ) 请列出有序数组()n m ,的所有可能结果（Ⅱ）记“使得m a ⊥（m a -n

b ）成立的()n m ,”为事件A ，求事件A 发生的概率

9.设连续掷两次骰子得到的点数分别为m n 、,令平面向量(,)a m n =r ,(1,3)b =-r

．

(Ⅰ)求使得事件“a b ⊥r r

”发生的概率

(Ⅱ)求使得事件“||||a b ≤r r

”发生的概率

(Ⅲ)使得事件“直线x n m y =

与圆()132

2=+-y x 相交”发生的概率．

高校相关人数抽取人数

A 18 x

B 36 2

10.设有关于x 的一元二次方程2

20x ax b ++=．

(Ⅰ) 若a 是从0123，

，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求方程有实根的概率（Ⅱ）若a 是从区间[03]，

任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率 11.设一元二次方程2

0Ax Bx C ++=,根据下列条件分别求解

(Ⅰ) 若C B A 、,1=是一枚骰子先后掷两次出现的点数,求方程有实数根的概率

（Ⅱ）设3,-=-=A C A B ,A 随机的取实数使方程有实数根,求方程至少有一个非正实数根的概率

12.为了解一个小水库中养殖的鱼有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：千克），并将所得数据分组，画出频率分布直方图（Ⅰ）估计数据落在()30.1,15.1中的概率

（Ⅱ）将上面捕捞的100条鱼分别作记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数

13.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，在图中以X 表示.

(Ⅰ) 如果8=X ,求乙组同学植树棵树的平均数和方差

（Ⅱ）如果9=X ，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.

14.某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为54321

，，，，．现从一批该日用品中随机抽取20

(Ⅰ) 若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有4件，等级系数为5的恰有2件，求c b a 、、的值（Ⅱ）在(Ⅰ)条件下，将等级系数为4的3件记为3

21,,x x x ,等级为5的2件记为21,y y ，现从

1321,,,,y y x x x 这5件日用品中任取两件，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率

15.在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分，用n

x 表示编号为()6,,2,1Λ=n n 的同学所得成绩，

(Ⅰ) 求第6位同学的成绩

x ，及这6位同学成绩的标准差S

（Ⅱ）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间()75,68中的概率

16.某河流上一座水力发电站，每年六月份的发电量Y 与该河上游在六月份时的降雨量X 有关，据统计，当

70=X 时，460=Y ；X 每增加10，Y 增加5．已知近

年X

的值

为:,110,200,220,160,140,160,200,70,160,110,140 160,140,220,160,110,140,200,160,160

份该水力发电站的发电量低于490或超过530的概率

17.（某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共n 2小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．

(Ⅰ) 假设2=n ，求第一大块地都种植品种甲的概率

（Ⅱ）试验时每大块地分成8小块，即8=n ，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：

品种甲403 397 390 404 388 400 412 406

品种乙419 403 412 418 408 423 400 413

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种哪一品种？

18.假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：

（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率

（Ⅱ）这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率

19.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：

[)[)[)[)[]

100

(Ⅰ) 求图中a的值

（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分

（Ⅲ）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，

求数学成绩在[)90,50

之外的人数

分数段[)60,50[)70,60[)80,70[)90,80 y

x:1:11:24:35:4

20.袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为3,2,1；蓝色卡片两张，标号分别为2,1.

(Ⅰ) 从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率

(Ⅱ) 现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.

21.某地有小学21所,中学14所,大学7所，现采取分层抽样的从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查

(Ⅰ) 求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目

（Ⅱ）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，

（1）列出所有可能的抽取结果

（2）求抽取的2所学校均为小学的概率

22.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.

y(单位：元)关于当天需求量n的函数解析式

（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

日需求量n14 15 16 17 18 19 20

频数10 20 16 16 15 13 10

(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数

(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.

1时，则视为合格品，否则视为不合格品，在近期一次23.若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过mm

产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品,计算这

分组频数频率

[)2,3-

-0.1

[)1,2-

-8

(]2,10.5

(]3,210

(]43，

合计50 1

（Ⅰ）将上面表格中缺少的数据补齐

（Ⅱ）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(]3,1

内的概率

（Ⅲ）现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格,据此估算这批产品中的合格品的件数

24.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表:

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％

（Ⅰ）确定

x,的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值

（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率）

25.某中学从高二年级学生中随机地抽取120名学生，测得身高情况如下表所示.

(Ⅰ) 请在频率分布表中的①，②位置上填上适当的数据，并补全频率分布直方图

（Ⅱ）现从190

180～这些同学中随机地抽取两名，求身高为185以上(包括185)的同学被抽到的概率

26.由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再

创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此，某新闻媒体进行了网上调查，所

支持保留不支持

20岁以下800 450 200

20岁以上（含20岁）100 150 300

（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，求n值（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人20岁以下的概率

（Ⅲ）在接受调查的人中，有8人给这项活动打出的分数如下：

2.8,0.9,

3.9,7.8,6.9,2.9,6.8,

4.9把这8个人打出的分数看作一个总体，从中任取1个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.

27.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

(Ⅰ) 求回归直线方程$y a

bx+

=，其中20

（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(Ⅰ)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？

28.某班同学利用寒假进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

（Ⅰ）补全频率分布直方图并求

,的值

（Ⅱ）从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率

29.有E D C B A ,,,,五位工人参加技能竞赛培训．现分别从B A ,二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．用茎叶图表示这两组数据如下：

（Ⅰ）现要从B A ,中选派一人参加技能竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，派哪位工人参加合适? （Ⅱ）若从参加培训的5位工人中选2人参加技能竞赛，求B A ,二人中至少有一人参加技能竞赛的概率．

30.汽车是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2020年开始，将对2CO 排放量超过km g /130的

1M 型新车进行惩罚，某检测单位对甲、乙两类1M 型品抽取5辆进行2CO 排放量检测，记录如下

甲 80 110 120

140

150 乙

100

120

160

经测算发现，乙品牌车2CO 排放量的平均值为

120/.

x g km 乙

（Ⅰ）从被检测的5辆甲类品牌中任取2辆，则至少有一辆2CO 排放量超标的概率是多少？（Ⅱ）若乙类品牌的车比甲类品牌的2CO 的排放量的稳定性要好，求x 的范围

31.某中学随机抽取了50名学生举行了一次环保知识竞赛,本次竞赛的成绩(得分均为整数,满分100分)整理得

到的频率分布直方图如右. (Ⅰ) 若图中第一组(成绩为[

)

40,50)对应矩形高是第六组(成绩为[

)

90,100)对应矩形高的一半,试求第一组、第

六组分别有学生多少人?

（Ⅱ）在(Ⅰ)的条件下,若从第一组中选出一名学生,从第六组中选出2名学生,共3名学生召开座谈会,求第一组中学生1A 和第六组中学生1B 同时被选中的概率？

32.某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1,2,,8…，其中5ξ≥为标准A ，3ξ≥为标准

B ，产品的等级系数越大表明产品的质量越好．已知某厂执行标准B 生产该产品，且该厂的产品都符合相应

的执行标准．从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7

该行业规定产品的等级系数7ξ≥的为一等品，等级系数57ξ≤<的为二等品，等级系数35ξ≤<的为三等品．

（Ⅰ）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率

（Ⅱ）从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽得2件产品等级系数都是8的概率

33.某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本单位全体650人中采用分层抽样的办法抽取50人进行了问卷调查，得到了如下列联表：

喜欢户外运动不喜欢户外运动合计男性 5 女性 10 合计 50

已知在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是35

(Ⅰ) 请将上面的列联表补充完整（Ⅱ）求该公司男、女员各多少名

（Ⅲ）是否有%5.99的把握认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由；下面的临界值表仅供参考：

2()P K k ≥ 0.15

0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

()=,()()()()n ad bc K n a b c d

a b c d a c b d -=+++++++参考公式：其中

34.电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性 (Ⅰ)根据已知条件完成下面的22?列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

(Ⅱ)将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率

非体育迷体育迷合计男女合计

()()()()()()()()()()()()()()()[][]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()107

.90%3.8413.0333100.10,45,15,3043%.59.932532532533.51,3015,9,6234

1123;4,231.130,90011700220,220,10730.10735.5.418529.15

2:4.1000,60,65.028%.5.993.8,50/503425.8100033020250204.25027.8

,9.107,10026.362135.0,

625107

,9.1,20,15241980,7.0237.075,4.7617

,851017,85225115.1,2,321.15

,10320.1073,05.019.291514575,411856.S 57.25S 412400,6

1173.0210,1304255.0;15.0,35.0,15.016.5

2.7,901552104.1.0,2.0,05.014.41164,1611,4351

3.2000,47.012.4

34,003,012.

0336

11.6412910.3653663629.811.168.53159,217035,4007.

,3,16.15787,5.75.85

,834.52171.11703.32,322.115,1212222

2222

6222=

?<==?===

=?<+-=+=======?===?==?-+-=+--=======

=====≥=???<-≥=======

=====≥≤?+============???

??≥??=?==-+-?-=======

-===p k K p p x x y x p p S S x x p n a p K x x x x x L a p x p n p p x y x x p x n n n y p n x a p x x x x P X Y p S x p c b a S x n n A Ax Ax m n A P y x P x x x ；，，，

，，，，，

，，，，，，乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲φ

2020山东文科高考真题：概率

（14）海关同时从C B A ,,三个不同地区进口的商品进行抽样检查，从各地区进口该商品的数量如图所示，工作人员用分层抽样的的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测（Ⅰ）求这6件样品中来自C B A ,,各地区商品的数量

2件商品来自同地区的概率

（13）某小组共有A

B C D E 、、、、五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指标（单位:千克/米2）

（Ⅰ）从该小组身高低于80.1的同学中任选2人，求选到的2人身高都在78.1以下的概率

（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在70.1以上且体重指标都在[)9.23,5.18中的概率

（12）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1、2、3；蓝色卡片两张，标号分别为1、2.

（Ⅰ）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率

（Ⅱ）现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.

（11）甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.

（Ⅰ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率（Ⅱ）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.

（10）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为4,3,2,1 （Ⅰ）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率

（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为

n ，求2+

（09）汽车厂生产C B A ,,三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表

按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆. （Ⅰ）求Z 的值

（Ⅱ）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率

（Ⅲ）用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，得分如下，

7.8,6.9,2.9,6.8,4.9:2.8,0.9,3.9.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过5.0的概率.

（08）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者

21A A A 、、通晓日语，

21B B B 、、通晓俄语，21C C 、通晓韩语.

从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组. （Ⅰ）求1A 被选中的概率

（Ⅱ）求1B 和1C 不全被选中的概率.

()()()()()()().

,3108.0.7510

740009.16

133110.3

29411.15

810312.10

32113.15

423114；，；；，，；，，

2020.解：(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有： (A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(B ，C)，(B ，D)，(C ，D)，共6个．

选到的2人身高都在1.78以下的事件有：(A ，B)，(A ，C)，(B ，C)，共3个．

因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为36＝1

(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：

(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(C ，D)，(C ，E)，(D ，E)，共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．

选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有：(C ，D)，(C ，E)，(D ，E)，共3个．

因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为3

10.

2020.（1）甲校两男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 来表示，两女教师用E 、 F 表示. 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能结果为：

(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A D A E A F B D B E B F C D C E C F 共9种.

从中选出两名教师性别相同的结果有：(,),(,),(,),(,)A D B D C E C F 共4种，

选出的两名教师性别相同的概率为

9P =

（2）从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能结果为：

()()()()()()()()()()()()()()()F E F D E D F C E C D C F B E B D B C B F A E A D A C A B A ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共15种

从中选出的两名教师来自同一学校的结果有：(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A C B C B D D E E F 共6种，

选出的两名教师来自同一学校的概率为

62153P =

2020解: (1).设该厂本月生产轿车为n 辆,由题意得,5010100300n =

+,所以n=2000.

z=2000-100-300-150-450-600=400

设所抽样本中有m 辆舒适型轿车,用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以40010005m

,解

得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取2辆的基本事件为

(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件:

(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),

所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为

7 10.

(3)样本的平均数为

(9.48.69.29.68.79.39.08.2)9

x=+++++++=

那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数,总的个数

为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为

高考数学之概率大题总结

1（本小题满分12分）某赛季, 甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛, 他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示（1）求甲、乙两名运动员得分的中位数；（2）你认为哪位运动员的成绩更稳定？（3）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分, 求甲的得分大于乙的得分的概率．（参考数据：2222222981026109466++++++=, 236112136472222222=++++++） 2在学校开展的综合实践活动中, 某班进行了小制作评比, 作品上交时间为5月1日至30日, 评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计, 绘制了频率分布直方图(如图), 已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1, 第三组的频数为12, 请解答下列问题： (1)本次活动共有多少件作品参加评比？ (2)哪组上交的作品数量最多？共有多少件？ (3)经过评比, 第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖, 问这两组哪组获奖率高？ 3已知向量()1,2a =-r , (),b x y =r ．（1）若x , y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数, 求满足1a b =-r r g 的概率；（2）若实数,x y ∈[]1,6, 求满足0a b >r r g 的概率．

4某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支, 该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计, 统计结果如下表所示：（1）将各组的频率填入表中；（2）根据上述统计结果, 计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；（3）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管2支, 若将上述频率作为概率, 试求恰有1支灯管的使用寿命不足1500小时的概率． 5为研究气候的变化趋势, 某市气象部门统计了共100个星期中每个星期气温的最高温度和最低温度, 如下表：（1）若第六、七、八组的频数t 、m 、 n 为递减的等差数列, 且第一组与第八组的频数相同, 求出x 、t 、m 、n 的值；（2）若从第一组和第八组的所有星期中随机抽取两个星期, 分别记它们的平均温度为x , y , 求事件“||5x y ->”的概率． 6某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后,随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了22人. 抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图5 所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为0.05,此分数段的人数为5人. (1)问各班被抽取的学生人数各为多少人? (2)在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于90分的概率. 频率分数 90100110120130 0.05 0.100.150.200.250.300.350.4080 70

高考数学概率与统计知识点汇编

高中数学之概率与统计求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤：计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式 ()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质?? ?? ???等可能事件互斥事件独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算 ?? ?和事件积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件：独立事件： n 次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 例1．在五个数字12345，，，，中，。例2．若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）． [解答过程]0.3提示:13 35C 33. 54C 10 2P ===?

(完整word版)2018年高考数学总复习概率及其计算

第十三章概率与统计本章知识结构图

第一节概率及其计算考纲解读 1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。 2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。 3.掌握古典概型及其概率计算公式。 4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。 5.了解几何概型的意义。命题趋势探究 1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。 2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。知识点精讲一、必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下： ①必然要发生的事件叫必然事件； ②一定不发生的事件叫不可能事件； ③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。二、概率在相同条件下，做次重复实验，事件A 发生次，测得A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。对于必然事件A ，；对于不可能事件A ，=0. 三、基本事件和基本事件空间在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。四、两个基本概型的概率公式 1、古典概型条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同 ()(A) = ()A card P A card = Ω包含基本事件数基本事件总数 2、几何概型条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为 A μ.

()P A = A μμΩ 。五、互斥事件的概率 1、互斥事件在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。事件A 与事件B 互斥，则 ()()() P A B P A P B =+U 。 2、对立事件事件A,B 互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B 对立，记作B A =或A B =。 ()() 1P A p A =- 。 3、互斥事件与对立事件的联系对立事件必是互斥事件，即“事件A ，B 对立”是”事件A ，B 互斥“的充分不必要条件。题型归纳及思路提示题型176 古典概型思路提示首先确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：有限个不同的基本事件及各基本事件发生的可能性是均等的；其次计算出基本事件的总数及事件A 所包含的基本事件数；最后计算 ()A P A = 包含基本事件数基本事件总数。例13.1 设平面向量(),1m a m =，()2,n b n = ，其中{}, 1.2,3,4m n ∈ （1）请列出有序数组(),m n 的所有可能结果；（2）若“使得()m m n a a b ⊥-成立的(),m n 为事件A ，求事件A 发生的概率。分析：两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，从而可得m 与n 的关系，再从以上 (),m n 的16个有序数组中筛选出符合条件的，即得事件A 包含的基本事件个数。解析：（1）由{}, 1.2,3,4m n ∈，有序数组(),m n 的所有可能结果为()1,1 ， ()()() 1,2,1,3,1,4， ()()()() 2,1,2,2,2,3,2,4， ()()()() 3,1,3,2,3,3,3,4， ()()()()4,1,4,2,4,3,4,4 共16个。（2）因为(),1m a m =，()2,n b n =，所以()2,1m n a b m n -=-- .又()m m n a a b ⊥-，得 ()(),12,10m m n ?--= ，即22m 10m n -+-= ，所以()21n m =- 。故事件A 包含的

高考数学复习专题：统计与概率(经典)

11 12 13 3 5 7 2 2 4 6 9 1 5 5 7 图1 统计与概率专题一、知识点 1、随机抽样：系统抽样、简单随机抽样、分层抽样 1、用简单随机抽样从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男生被抽到的概率是( ) A ． 1001 B ．251 C ．5 1 D ． 5 1 2、为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为( ) A ．40 B ．30 C ．20 D ．12 3、某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人 B ．4人 C ．7人 D ．12人 2、古典概型与几何概型 1、一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是( ) A ．83 B ．32 C ．31 D ．4 1 2、如图所示，在正方形区域任意投掷一枚钉子，假设区域内每一点被投中的可能性相等，那么钉子投进阴影区域的概率为____________． 3、线性回归方程用最小二乘法求线性回归方程系数公式1 2 211 ???n i i i n i x y nx y b a y bx x nx ==-==--∑∑，．二、巩固练习 1、随机抽取某中学12位高三同学，调查他们春节期间购书费用（单位：元），获得数据的茎叶图如图1，这12位同学购书的平均费用是（） A.125元 B.5.125元 C.126元 D.5.126元 2、200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，时速在[50,60) 的汽车大约有（） A .30辆 B . 40辆 C .60辆 D .80辆 3、某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 ______人． 4、执行下边的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ． 0.04 0.030.020.01频率组距时速8070605040开始 10n S ==， S p

2020高考数学最可能考的50道题

高考数学历年考点框架理科数学每年必考知识点：复数、程序框图、三视图、函数与导数、三角函数、圆锥曲线、球的组合体、（计数原理、概率与统计模块）等。理科数学每年常考的知识点：常用逻辑用语、集合、线性规划、数列、平面向量、解三角形、定积分、直线与圆等。最后冲刺指导（14个专题） 1、集合与常用逻辑用语小题（1）集合小题历年考情：针对该考点，近9年高考都以交并补子运算为主，多与解不等式等交汇，新定义运算也有较小的可能，但是难度较低；基本上是每年的送分题，相信命题小组对集合题进行大幅变动的决心不大。常见集合元素限定条件;对数不等式、指数不等式、分式不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、对数函数的定义域、二次根式、、点集（直线、圆、方程组的解）；补集、交集和并集；不等式问题画数轴很重要；指数形式永远大于0不要忽记；特别注意代表元素的字母是还是。 2020高考预测：

（2）常用逻辑用语小题历年考情： 9年高考中2017年在复数题中涉及真命题这个概念．这个考点包含的小考点较多，并且容易与函数，不等式、数列、三角函数、立体几何交汇，热点就是“充要条件”；难点：否定与否命题；冷点：全称与特称（2015考的冷点），思想：逆否．要注意，这类题可以分为两大类，一类只涉及形式的变换，比较简单，另一类涉及命题真假判断，比较复杂。简单叙述：小范围是大范围的充分不必要；大范围是小范围的必要不充分。 2020高考预测：

2、复数小题历年考情： 9年高考，每年1题，考查四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．考查代数运算的同时，主要涉及考查概念有：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标、复数运算等。无法直接计算时可以先设z=a+b i 2020高考预测： 3、平面向量小题历年考情：

高考数学概率与统计

高考数学概率与统计 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-

第16讲概率与统计概率内容的新概念较多，相近概念容易混淆，本课时就学生易犯错误作如下归纳总结：类型一“非等可能”与“等可能”混同例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．错解掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为 P=1 11 剖析以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36 种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=5 36 ．类型二“互斥”与“对立”混同例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（） A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上均不对错解A 剖析本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的联系与区别主要体现在： (1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C．

类型三 “互斥”与“独立”混同例3 甲投篮命中率为O ．8，乙投篮命中率为，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少? 错解设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，则两人都恰好投中两次为事件A+B ，P(A+B)=P(A)+P(B)： 22223 30.80.20.70.30.825c c ?+?= 剖析本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同．解：设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，且A ，B 相互独立，则两人都恰好投中两次为事件A·B ，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 类型四 “条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同例4 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．错解记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球” 为事件C,所以P(C)=P(B/A)=6293 =. 剖析本题错误在于P(A ?B)与P(B/A)的含义没有弄清, P(A ?B)表示在样本空间S 中,A 与B 同时发生的概率；而P （B/A ）表示在缩减的样本空间S A 中，作为条件的 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。解: P （C ）= P(A ?B)=P （A ）P （B/A ）= 46410915 ?=. 备用

2019届理科数学高考中的概率与统计问题

2019届理科数学高考中的概率与统计问题一、选择题(每小题5分,共15分) 1.某市园林绿化局在名贵树木培埴基地种了一批红豆杉树苗,为了解这批红豆杉树苗的生长状况,随机抽取了15株进行检测,这15株红豆杉树苗的高度(单位:cm)的茎叶图如图6-1所示,利用样本估计总体的思想,求培埴基地种植的这批红豆杉树苗的高度在(140,145)内的概率为 () 图6-1 A.0.3 B.0.4 C.0.2 D.0.1 2.如图6-2,正方形BCDE和正方形ABFG的边长分别为2a和a,连接CE和CG,现将一把芝麻随机地撒在该图形中,则芝麻落在阴影部分的概率是() 图6-2 A. B. C. D. 3.日常生活中,常听到一些谚语、俗语,比如“三个臭皮匠,顶个诸葛亮”,这句话有没有道理呢?我们假设三个臭皮匠中的老大、老二、老三能独立解出同一道问题的概率依次是0.6,0.5,0.4,而诸葛亮能独立解出同一道问题的概率是0.9,则三个臭皮匠与诸葛亮解出同一道问题的概率较大的是() A.三个臭皮匠 B.诸葛亮 C.一样大 D.无法确定二、填空题(每小题5分,共10分) 4.已知函数f(x)=log2x+2log4x,其中x∈(0,4],若在[,4]上随机取一个数x0,则f(x0)≤0的概率为. 5.第十三届全运会于2017年8月27日在天津举行,在自由体操比赛中,5位评委给甲、乙两位体操运动员打分(满分为30分)的茎叶图如图6-3所示,则甲、乙两位体操运动员中,得分的方差较大的是.(填甲或乙) 图6-3

三、解答题(共36分) 6.(12分)已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关.为了确定某一个时段鸡舍的控制温度,某企业需要了解鸡舍的时段控制温度x(单位:℃)对某种鸡的时段产蛋量y(单位:t)和时段投入成本z(单位:万元)的影响.为此,该企业选取了7个鸡舍的时段控制温度x i和产蛋量y i(i=1,2,…,7)的数据,对数据初步处理后得到了如图6-4所示的散点图及一些统计量的值.其中k i=ln y i,=k i. 图6-4 (1)根据散点图判断,y=bx+a与y=c1(e为自然对数的底数)哪一个适宜作为该种鸡的时段产蛋量y关于鸡舍的时段控制温度x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断及表中的数据,建立y关于x的回归方程; (3)已知时段投入成本z与x,y的关系为z=e-2.5y-0.1x+10,当鸡舍的时段控制温度为28 ℃时,鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值是多少? 附:对于一组具有线性相关关系的数据(u1,v1),(u2,v2),…,(u n,v n),其回归直线v=βu+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为=(-)(-) (-) , ＾ =-. 参考数据:

18题-高考数学概率与统计知识点

高考数学第18题（概率与统计） 1、求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝ ) ()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤：计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝ k n k k n p p C --)1(. 其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结

的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表. 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：（1）0≥i P ，=i 1，2，…;（2）++2 1 P P (1) ②常见的离散型随机变量的分布列：（1）二项分布 n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n ，并且k n k k n k q p C k P P -===)(ξ，其中n k ≤≤0，p q -=1，随机变量ξ的分布列如下：称这样随机变量ξ服从二项分布，记作),(~p n B ξ ，其中n 、p 为参数，并记：) ,;(p n k b q p C k n k k n =- . （2）几何分布在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机

2020年高考数学(理)热点题型：概率与统计(含答案)

概率与统计热点一常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式. 【例1】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率； (2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列. 解依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为1 3，去参加乙游戏的概率为23. 设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4). 则 P (A i )＝C i 4? ??? ? 13i ? ?? ??234－i . (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P (A 2)＝C 24? ??? ? 132? ?? ??232＝8 27. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3＋A 4，且A 3与A 4互斥， ∴P (B )＝P (A 3＋A 4)＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34? ??? ?133 ×23＋C 44? ?? ??134＝19. (3)依题设，ξ的所有可能取值为0，2，4. 且A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥.

概率与统计高考数学

辅导讲义：概率与统计一、知识回顾： 1、总体、个体、样本、样本容量：总体：在统计中，所有考察对象的全体。个体：总体中的每一个考察对象。样本：从总体中抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本。样本容量：样本中个体的数目。 2、统计的基本思想:用样本估计总体，即通常不直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体的相应情况。 3、抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。 4、简单随机抽样：一般地，从个体为N烦人总体中逐个不放回地取出n个个体作为样本（n

(3)随机数表是统计工作者用计算机生成的随机数，并保证表中的每个位置上的数字是等可能出现的。 8、抽签法—编号、制签、搅拌、抽取，关键是“搅拌”后的随机性；随机数表法—编号、选数、取号、抽取，其中取号的方向具有任意性。 9、简单随机抽样的特点：它的总体个数有限的；它是逐个地进行抽取；它是一种不放回抽样；它是一种等概率抽样． 10、系统抽样：将总体平均分成几个部分，然后按照一定的规则，从每个部分中抽取一个个体作为样本，这样的抽样方法称为系统抽样。也可称为“等距抽样”。注：如果个体总数不能被样本容量整除时该怎么办？ (1)随机将这1003个个体进行编号1，2，3，……1003。 (2)利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体(可以随机数表法),剩下的个体数1000能被100整除，然后按系统抽样的方法进行。 11、系统抽样的步骤：（1）采用随机的方式将总体中的 N 个体编号。（2）整个的编号分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔k 。当 n N （为总体中的个体的个数，n 为样本容量）是整数时，取n N k = ；当n N 不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N '能被n 整除，这时取n N k ' = ，并将剩下的总体重新编号；（3）在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l ；（4）按照一定的规则抽取样本，通常将编号为k n l k l k l l )1(2-+++，，，，的个体抽出。 12、简单随机抽样、系统抽样的特点是什么？简单随机抽样：①逐个不放回抽取；②等可能入样；③总体容量较小。系统抽样：①分段，按规定的间隔在各部分抽取；②等可能入样；③总体容量较大。 13、分层抽样：一般地，当总体由差异明显几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较明显的几部分，然后按照各部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法有限性

高三数学概率统计知识点归纳

高三数学概率统计知识点归纳 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

概率统计知识点归纳平均数、众数和中位数平均数、众数和中位数．要描述一组数据的集中趋势，最重要也是最常见的方法就是用这“三数”来说明．一、正确理解平均数、众数和中位数的概念平均数平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化． 2．众数在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数．一组数据中的众数有时不唯一．众数着眼于对各数出现的次数的考察，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既不需要排列，又不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多的那一个（或几个）数据就可以了．当一组数据中有数据多次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势． 3．中位数中位数就是将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数（或处在最中间的两个数的平均数）．一组数据中的中位数是唯一的．二、注意区别平均数、众数和中位数三者之间的关系平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，但它们描述的角度和适用的范围又不尽相同．在具体问题中采用哪种量来描述一组数据的集中趋势，那得看数据的特点和要关注的问题．三、能正确选用平均数、众数和中位数来解决实际问题由于平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以利用平均数、众数和中位数可以来解决现实生活中的问题．

极差、方差、标准差极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的，反映一组数据的波动范围或波动大小的量. 极差一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围,差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大. 二、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. 求一组数据的方差可以简记先求平均，再求差，然后平方，最后求平均数.一组数据x1、x2、x3、…、xn 的平均数为x ，则该组数据方差的计算公式为： ])()()[(1222212x x x x x x n S n -++-+-= . 三、标准差在计算方差的过程中，可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致，在实际的应用时常常将求出的方差再开平方，此时得到量为这组数据的标准差. 即标准差=方差. 四、极差、方差、标准差的关系方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比较两组数据的波动大小.两组数据中极差大的那一组并不一定方差也大.在实际问题中有时用到标

经典高考概率分布类型题归纳

经典高考概率分布类型题归纳 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

经典高考概率分布类型题归纳高考真题一、超几何分布类型二、二项分布类型三、超几何分布与二项分布的对比四、古典概型算法五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类）六、综合算法高考真题 2010年 22、（本小题满分10分）（相互独立事件）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。（1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列；（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。【解析】本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。（1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且 P （X=10）=0.8×0.9=0.72， P （X=5）=0.2×0.9=0.18， P （X=2）=0.8×0.1=0.08， P （X=-3）=0.2×0.1=0.02。由此得X 的分布列为：（2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件。由题设知4(4)10n n --≥，解得14 5 n ≥，又n N ∈，得3n =，或4n =。所求概率为3 344 0.80.20.80.8192P C =??+= 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。

题高考数学概率与统计知识点

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高考数学第18题（概率与统计） 1、求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤：计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式 ()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质?? ?? ???等可能事件互斥事件独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算?? ?和事件积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.

第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件：独立事件： n 次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 2.离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……，ξ取每一个值 i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表. 机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 为随由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：（1）0≥i P ，=i 1，2，…;（2）++21P P …=1. ②常见的离散型随机变量的分布列：（1）二项分布

2017年高考数学—概率统计(解答+答案)

2017年高考数学—概率统计（解答+答案） 1.（17全国1理19．（12分））为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2 (,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 0.212≈，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =???．用样本平均数x 作为μ的估计值?μ ，用样本标准差s 作为σ的估计值?σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除????(3,3)μ σμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2 (,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=， 160.997 40.959 2=0.09≈．

2.（17全国1文19．（12分））为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212 s ==≈，18.439≈，16 1 ()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =???．（1）求(,)i x i (1,2,,16)i =???的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =???的相关系数()() n i i x x y y r --= ∑， 0.09≈．

(word完整版)统计概率高考试题(参考答案)

统计、概率练习试题 1、【2012高考山东】 (4)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是 (A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差【答案】D 2、【2012高考四川】交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为（） A 、101 B 、808 C 、1212 D 、2012 【答案】B 3、某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家。为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市__________家。 4、【2012高考陕西】对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则改样本的中位数、众数、极差分别是（） A ．46，45，56 B ．46，45，53 C ．47，45，56 D ．45，47，53 【答案】A. 5、【2012高考湖北】容量为20的样本数据，分组后的频数如下表则样本数据落在区间[10,40]的频率为 A 0.35 B 0.45 C 0.55 D 0.65 2【答案】B 6、【2012高考广东】由正整数组成的一组数据1234,,,x x x x ，其平均数和中位数都是2，且

高考数学概率与统计知识点

高中数学之概率与统计求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤：计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式 ()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质 ?? ?? ???等可能事件互斥事件独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算 ?? ?和事件积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件：独立事件： n 次独立重复试验:求解

第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 例1．在五个数字12345，，，，中，。例2．若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）． [解答过程]0.3提示:13 35C 33. 54C 10 2P ===? 例2．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为． [解答过程]1 . 20提示: 51.10020P == 例3.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为__________.（精确到0.01） [考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力. [解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为 33244555550.800.200.800.200.800.94 C C C ??+??+?=. 故填0.94. 离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……， ξ取每一个值i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表. 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：（1）0≥i P ，=i 1，2，…;（2）++21P P …=1. ②常见的离散型随机变量的分布列：（1）二项分布

高考数学概率与统计(理科)部分分类汇编

鑫榜教育概率与统计（理）江苏5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为_______ 安徽理（20）（本小题满分13 分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p , p , p ，假设p , p ,p 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立. （Ⅰ）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q,q,q ，其中q,q ,q 是p,p , p的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值（数字期望）EX ；（Ⅲ）假定p p p ，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。北京理17．本小题共13 分以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示。（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（Ⅱ）如果X=9 ，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望。 12 2 2 （注：方差s2x1 x x2 x K x n x ，其中x为x1，x2，??x n的平均数） n 福建理13．盒中装有形状、大小完全相同的5 个球，其中红色球3 个，黄色球2个。若从中随机取出2个球，则所取出的2 个球颜色不同的概率等于__________ 。福建理19．（本小题满分13 分）某产品按行业生产标准分成8 个等级，等级系数X 依次为1,2，??，8，其中X≥5为标准 A ，X≥为标准B，已知甲厂执行标准 A 生产该产品，产品的零售价为 6 元/件；乙厂执行标准 B 生产该产品，产品的零售价为 4 元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准（I）已知甲厂产品的等级系数X1 的概率分布列如下所示： x15678 P0．4a b0．1 且X1 的数字期望EX1=6，求 a，b 的值； II ）为分析乙厂产品的等级系数X2 ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3533855634 6347534853 8343447567 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2 的数学期望． III ）在（I）、（II ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．

2020高考数学专题复习 概率 文