第11讲_断裂力学问题有限元分析
有限元分析方法和材料断裂准则
一、有限元模拟方法金属切削数值模拟常用到两种方法，欧拉方法和拉格朗日方法。
欧拉方法适合在一个可以控制的体积内描述流体变形，这种方法的有限元网格描述的是空间域的，覆盖了可以控制的体积。
在金属切削过程中，切屑形状的形成过程不是固定的，采用欧拉方法要不断的调整网格来修改边界条件，因此用欧拉方法进行动态的切削过程模拟比较困难。
欧拉方法适用于切削过程的稳态分析（即“Euler方法的模拟是在切削达到稳定状态后进行的”[2]），仿真分析之前要通过实验的方法给定切屑的几何形状和剪切角[1]。
而拉格朗日方法是描述固体的方法，有限元网格由材料单元组成，这些网格依附在材料上并且准确的描述了分析物体的几何形状，它们随着加工过程的变化而变化。
这种方法在描述材料的无约束流动时是很方便的，有限元网格精确的描述了材料的变形情况。
实际金属切削加工仿真中广泛采用的拉格朗日方法，它可以模拟从初始切削一直到稳态的过程，能够预测切屑的形状和工件的残余应力等参数[2]。
但是用这种方法预定义分离准则和切屑分离线来实现切屑和工件的分离，当物质发生大变形时常常使网格纠缠，轻则严重影响了单元近似精度，重则使计算中止或者引起严重的局部变形[1]。
为了克服欧拉描述和拉格朗日描述各自的缺点，Noh和Hirt在研究有限差分法时提出了ALE(Arbitrary Lagrange-Euler)描述，后来又被Hughes，liu和Belytschko等人引入到有限元中来。
其基本思想是:计算网格不再固定，也不依附于流体质点，而是可以相对于坐标系做任意运动。
由于这种描述既包含Lagrange的观点，可应用于带自由液面的流动，也包括了Euler观点，克服了纯Lagrange方法常见的网格畸变不如意之处。
自20世纪80年代中期以来，ALE描述己被广泛用来研究带自由液面的流体晃动问题、固体材料的大变形问题、流固祸合问题等等。
金属的高速切削过程是一个大变形、高应变率的热力祸合过程，正适合采用ALE方法。
有限元分析课件
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1.3 有限单元法的计算步骤
有限单元法的计算步骤归纳为以下三个 基本步骤： 网格划分（离散化） 单元分析 整体分析
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1.3.1网格划分
对弹性体进行必要的简化，再将弹性体 划分为有限个单元组成的离散体。 单元之间通过单元节点相连接。 由单元、结点、结点连线构成的集合称 为网格。
弹性力学问题的单元分析，就是建立各 个单元的节点位移和节点力之间的关系 式。
由于将单元的节点位移作为基本变量， 单元分析首先要为单元内部的位移确定 一个近似表达式，然后计算单元的应变、 应力，再建立单元中节点力与节点位移 的关系式。
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1.3.2单元分析
单元有三个结点I、J、M，每个结点有两个位移 u、v和两个结点力U、V。
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有限单元法的数学基础（1）
数学家们则发展了微分方程的近似解法， 包括有限差分方法，变分原理和加权余 量法。
在1963年前后，经过J. F. Besseling, R.J. Melosh, R.E. Jones, R.H. Gallaher, T.H.H. Pian（卞学磺）等许多人的工作， 认识到有限单元法就是变分原理中Ritz近 似法的一种变形，发展了用各种不同变 分原理导出的有限元计算公式。
4) 了解有限元软件的基本结构和有限单元法当 前的进展情况。
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课程评估
混凝土的开裂有限元分析-XinzhengLu
2 (1 + ν ) K III E
!
求θ 使得(σθ)max
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
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计算方法
∂σ θ =0 ∂θ r = r0
裂缝扩展判断标准
∂ 2σ θ ∂θ 2 <0 r =r0
受弯破坏
!
裂缝使得混凝土的抗弯刚度损失超过1/3 斜裂缝是构件破坏的重要原因 裂面抗剪贡献占整个构件承载力的30%以上
!
受剪受扭破坏
! !
!
局部承压破坏、受拉破坏都和裂缝行为 关系密切
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K I cos
θ0
2
(3 cos θ 0 − 1) − K II sin
θ0
2
K θ > K IC
!
(9 cos θ 0 + 5) > 0
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有限元法求KI, KII
u= 1 4G 1 4G r [K I f1 (θ ) + K II g1 (θ )] 2π r [K I f 2 (θ ) + K II g 2 (θ )] 2π
! ! !
最大周向应力理论
σr =
σθ = τ rθ =
裂缝扩展单位长度时所需要的能量 G 弹性情况下，能量判据可以与应力强度因子判 据互换
混凝土的开裂有限元分析
(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2 = 2σ s
σx =
KI 2πr
cos
θ 2
(1 −
sin
θ 2
sin
3θ 2
)
σy =
KI 2πr
cos
θ 2
(1 +
sin
θ 2
sin
3θ 2
)
τ xy =
K I cos θ (sin θ cos 3θ ) 2πr 2 2 2
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混凝土的开裂有限元分析
江见鲸 陆新征 清华大学土木工程系
2005
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脆性材料与半脆性材料
! 脆性材料 (brittle) ! 半脆性材料 (Quasi-brittle)
脆性断裂
半脆性断裂
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xε
x
−τ xy
∂v ∂x
dS
( ) W
=
1 2
σ xε x
+σ yε y
+ τ xyγ xy
5
∫ ∫ J w
= 2
c 0
W4
dy
+
0 c
W6
dy
6
4c
J = Jw − JΓ
1
23c
d
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虚裂纹扩展法
! 计算当前结构的应变能U1 ! 在有限元模型中得到裂纹尖端 ! 将裂纹尖端向前移动很小的一点da（单元尺寸
+
断裂力学
K I K IC
KIC：断裂韧性，为材料常数
KI和KIC的关系就如同与s的关系。 KI的量刚[力][长度]-3/2，常用单位kg.mm-3/2
应力强度因子
应力强度因子
应力强度因子一般写为：
K I Y a
σ 为名义应力（裂纹位臵上按照无裂纹计算的应 力）； a 为裂纹度因子的计算方法：查手册法、应力 集中系数法、复变函数法、积分变换法、应力集 中系数法、有限元和边界元法。
裂纹扩展的能量分析
一、裂纹扩展的能量率
在裂纹扩展过程中，要消耗能量主要的有： 裂纹表面能：裂纹扩展，裂纹的表面积增加，而产生新表面就需要消耗 能量。如增加单侧表面单位面积所需的能量为g，在扩展过程中要形成上下两 个表面，故单位裂纹面积所需的能量共为2g 。 对非纯弹性材料来说，裂纹扩展前还要产生塑性变形，这也需要消耗能 量，如裂纹扩展单位面积为克服塑性变形所消耗的能量为Up（塑性变形能Up 往往要比裂纹表面能大3—6个数量级）。 总的来说，裂纹扩展单位面积所消耗的能量为：R 2g U P R 就表明裂纹要扩展的阻力，而裂纹要扩展,就必须有动力去克服这种阻 力，如设裂纹扩展单位面积，系统供给的动力为 G，则显然，只有在G≥R时， 裂纹才能扩展。 裂纹扩展所需要的动力，应由和外力有关系的系统提供。如整个系统的 能量用U表示（势能），裂纹扩展面积为dA，则裂纹扩展所需要的能量由整个 系统的势能下降来提供。 G dA dU
裂纹扩展的能量分析
一、裂纹扩展的能量释放率
据：
G dA dU
关于裂纹的扩展速度
按照裂纹扩展速度来分，断裂力学可依静止的裂纹、亚临界 裂纹扩展以及失稳扩展和止裂这三个领域来研究。 亚临界裂纹扩展和断裂后失稳扩展的主要区别，在于前者不 但扩展速度较慢，而且如果除去使裂纹扩展的因素 ( 例如卸 载)，则裂纹扩展可以立即停止，因而零构件仍然是安全的； 失稳扩展则不同，扩展速度往往高达每秒数百米以上，就是 立即卸载也不一定来得及防止最后的破坏。 在静止的裂纹方面，我们主要对裂纹问题作应力分析，即计 算表征裂端应力场强度的参量，例如计算象应力强度因子、 能量释放率这一类的力学参量。
钢筋混凝土受弯构件的断裂有限元分析_王振波
式中: 〔 为钢筋单元的弹塑性矩阵 ; 〔 为单元应变矩阵. f ( ) = ( x / ) 2+ ( y / ) 2. D ep 〕 B〕 混凝土与钢筋之间的联系单元采用双向正交的线性弹簧组成, 用于模拟钢筋与混凝土之 间的剪切滑移 ; 其结构的支配方程为〔 K〕 { } = { R } . 钢筋混凝土非线性计算采用逐步迭代 法 . 对每一级荷载, 第一次迭代采用切线刚度矩阵, 在以后的迭代中刚度矩阵保持不变. 1. 2 钢筋混凝土断裂有限元计算 按线弹性断裂力学理论 , 带有裂缝的结构在荷载等因素的作用下, 裂缝尖端处的应力和 应变具有 r 计算:
问题学者们进行了大量的研究 , 并给出了一些相当有价值的结论 . 纵观其研究 , 不难发 现 , 用断裂力学理论所研究的钢筋混凝土构件均是在较低配筋率下进行的 . 工业与民用建筑 结构中的构件大多数是具有较高配筋率的混凝土构件 . 本文根据混凝土线弹性断裂力学原 理 , 按断裂准则, 采用缝端具有奇异单元的断裂有限元, 对五种不同配筋率的钢筋混凝土梁 进行了断裂有限元分析与计算, 同时进行了以应力为判据的钢筋混凝土非线性有限元分析, 并将上述两种计算结果与试验结果进行了比较 .
〔 2、 3〕
1 有限元计算
1. 1 钢筋混凝土非线性有限元分析
4〕 在有限元模式中混凝土采用四边形八结点等参数单元 〔 . 钢筋采用三结点一维杆单元;
单元的形函数 N i ( ) 取为 N1 = 元的劲度矩阵
收稿日期 : 1997-02-21; 修订日期 : 1997-05-10 王振波 : 男 , 1960 年生 , 硕士
1997钢筋混凝土受弯构件的断裂有限元分析王振波徐道远蒋桐杨春河河海大学土木工程学院南京210098南京建筑工程学院基础部摘要将混凝土线弹性断裂?学用于钢筋混凝土结构对五种?同含钢率的钢筋混凝土?的裂缝扩展问题分别进?了以应?为判据的钢筋混凝土非线性有限元计算和以应?强度因子为判据的断裂有限元计算同时对两组?同配筋率的钢筋混凝土?进?了试验研究
混凝土的开裂有限元分析
裂纹尖端应力场
应力强度因子
弹性理论得到的裂纹尖端应力
σx = σy = τ xy =
KI 2πr K II
θ θ 3θ cos (1 − sin sin ) 2 2 2
θ θ 3θ cos (1 + sin sin ) 2 2 2 2πr θ θ 3θ cos (sin cos ) 2 2 2
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开裂单元
多裂缝模型
当主应力方向和裂缝方向差距较大时，由于裂 面剪力锁死往往导致出现错误结果 多裂缝模型认为当主应力方向和裂缝方向夹角 超过一定范围θ后，原有的裂缝闭合，重新在 新的主应力方向生成新的裂缝 θ ＝30度（6裂缝模型）45度（4裂缝模型）
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固定裂缝模型与转动裂缝模型
固定裂缝模型
分布裂缝模型中，一般认为，当单元内 部的最大拉应力达到开裂应力时，混凝 土即开裂 混凝土开裂后，改变混凝土材料为各向 异性材料，主应力和主应变方向可能不 再一致。同时，初始裂缝方向和主应力 方向也不再一致，裂缝表面将出现剪应 力
分离裂缝模型的具体步骤
开裂标准和裂缝发展方向
主拉应力 虚拟裂缝模型 断裂力学方法
开裂标准和裂缝发展方向 裂缝发展与模型网格调整 裂面行为
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实际裂缝
虚拟裂缝
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(完整版)断裂力学试题
一、简答题（本大题共5小题，每小题6分，总计30分）1、（1）数学分析法：复变函数法、积分变换；（2）近似计算法：边界配置法、有限元法；（3）实验标定法：柔度标定法；（4）实验应力分析法：光弹性法.2、假定：（1）裂纹初始扩展沿着周向正应力为最大的方向；（2）当这个方向上的周向正应力的最大值（）max达到临界时，裂纹开始扩展•S3、应变能密度:W S，其中S为应变能密度因子，表示裂纹尖端附近应力场r密度切的强弱程度。
4、当应力强度因子幅值小于某值时，裂纹不扩展，该值称为门槛值。
5、表观启裂韧度，条件启裂韧度，启裂韧度。
二、推导题（本大题10分）D-B模型为弹性化模型，带状塑性区为广大弹性区所包围，满足积分守恒的诸条件。
积分路径：塑性区边界。
AB 上：平行于x1，有dx2 0 , ds dx1 , T22007断裂力学考试试题B卷答案BD上：平行于捲，有dx20 , ds dx1 , T2u iJ (Wdx2 T L ds)s V s V S(V A三、计算题（本大题共1、利用叠加原理：微段K]ABT2 V D)3小题，每小题集中力qdx U2dx1%BDT2U£dx1X120分,dK]总计60分）a 2q . a0 (2 2.(a x ) dx 10分sin cos — a cos sin a2b 2b 2b 2b— cos — a sin a 2b 2b2b(_ 2 2)cos — 2b a 2 cos a si n a2b2b 2b 2ba)2la sin 1(豎)a cosK i2qJ — 0 赢T d 当整个表面受均布载荷时，6 a .2、边界条件是周期的：a.zy0, xy 0c.所有裂纹前端又Z 应为2b 的周期函数si2z皿2冷 采用新坐标： z aZ % a)J (sin 七严2陶)20 时，sin —— ——,cos —2b 2b 2bK i 2qsin 1(a a ) q a10分令 x acos 一 a 2 x 2 a cosb.在所有裂纹内部应力为零.y0,x a, a 2b x a2b 在区间内单个裂纹时Zz z 2 a 210分d(sin -2b［吃（加sin ( a)2ba sin2b .2 a . a」 --------- cos——sin 】2b 2b0时,2 2帥莎(a)] (s^a)22b cos asin a 2b2b2bK I1吧0 F_Zsin2b1 a . a ——cos——sin —2b2b 2b2b ta n—a2ba tan—2b 10分注意行为规范3、当复杂应力状态下的形状改变能密度等于单向拉伸屈服时的形状改变能密度，材料屈服，即：2 2 2 2(1 2 ) ( 2 3) ( 3 1 ) 2 s对于I型裂纹的应力公式：(X2y)2xy1Kl cos-[1 sin-]2 2 r 2 2遵考场10分纪程•律0(平面应力,薄板或厚板表面)K I22scos2[1 3sin2—]2 2--平面应力下，I型裂纹前端屈服区域的边界方10分r、简答题1.断裂力学中, (80 分)按裂纹受力情况，裂纹可以分为几种类型？请画出这些类型裂纹的受力示意图。
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4
主讲：练章华 教授
在以后的30多年里，高速度大功率的设备不断出现，工程结构构件向 大型化、全焊接结构发展。尽管严格按传统方法进行设计，并采用了 高强度材料，但仍然发生了许多与断裂有关的事故。
例如：1938年到1942年全世界有40座铁桥突然断裂倒塌。美国建造的 5000艘全焊接“自由轮”中发生过1000多起脆断事故，有238艘报废。 1950年美国北极星导弹固体燃料发动机壳体由于裂纹导致机壳破坏， 实验时发生爆炸。
KI cos sin cos3 2r 2 2 2
三个应力中σy对裂纹 扩展的影响最大
位移分布
u KI 8G
2r
(2k
1)
cos 2
cos3 2Βιβλιοθήκη Lzh_CAE v KI 8G
2r
(2k
1) sin
2
sin
3 2
K I a
k 3 (平面应力) 1
k 3 4(平面应变 )
归结于构件中不可避免地存在裂纹和缺陷而引起低应力脆断。
因此，人们又开始了对裂纹扩展的深入研究。
Lzh_CAE
5
主讲：练章华 教授
欧文(G．R．Irwin)1948年和奥洛万(Orowan)1952年各自独立 地提出了塑性变形能问题，扩大了格里菲斯理论的适用范围， 使其也能适用于金属等塑性材料。
1957年欧文将裂纹分为三种基本类型，提出了应力强度因子概念和 裂纹端部附近应力、位移公式。从此，线弹性断裂力学的基本体系 开始建立并得到进一步地发展。
这个结论显然与事实不符，并使应力集中的解释遇到
了困难。实践促使人们探索新的理论。
Lzh_CAE
3
主讲：练章华 教授
1920年格里菲斯(A．A．Griffith)研究了玻璃等材料的脆性断 裂问题，首次提出了用能量观点建立的材料断裂准则。
由于细微裂纹的存在使玻璃的实际强度大大低于理论强度，并推 导出实际强度与裂纹长度的平方根成反比的关系，格里菲斯理论 对于强度理论是一个突破，也为断裂力学的形成奠定了基础。
Lzh_CAE
9
主讲：练章华 教授
2). 裂纹端部的应力、位移及应力强度因子
裂纹端部指的是裂纹尖端附近的区域，它的 应力场和位移场是研究岩石断裂的基础。假 设裂纹体是线弹性材料，用弹性理论可以求 出不同类型裂纹的应力场和位移场。并引出 应力强度因子的概念。
I型裂纹问题
(1)．I型裂纹
无限大板含中心穿透裂纹受双向拉伸载荷时的情况即为典型的I型裂纹
不能用应力这个参量来判断材料是否发生断裂。对于带有裂纹的
材料，判断其断裂与否，需要寻找新的特征参数。
Lzh_CAE
12
主讲：练章华 教授
材料的应力强度因子已达到KI的临界值，应力强度因子达到这个临 界值，裂纹就会失稳扩展，这个临界值称之为材料的断裂韧度，记 作KIC 。
断裂韧度KIC是含裂纹材料抵抗裂纹失稳扩展能力的指标，是 材料的固有特性，通过专门的试验方法来测定。
(1). I型，称张开型，受到垂直于裂纹面的拉应力作用。
(2). Ⅱ型，称滑开型，又称面内剪切型，受到平行于裂纹面并且垂直
于裂纹前缘的剪应力作用。
(3). Ⅲ型，称撕开型，又称面外剪切型，受到平行于裂纹面并且平行
Lzh_CAE 于裂纹前缘的剪应力作用。
8
主讲：练章华 教授
三种基本类型裂纹中，I型裂纹是引起低应力脆断的主要原因，是 研究的重点类型。在实际的裂纹中，经常出现两种或两种以上裂纹 的组合型式，即在复合外力作用下，裂纹扩展不属于单一类型的裂 纹，这种裂纹称为复合型裂纹。
第11讲
主讲：练章华 教授
第七章 断裂力学问题的有限元分析
Lzh_CAE
1
前言
主讲：练章华 教授
要确定结构能否（继续）安全使用最为重要的是要确定结构 中存在的微观或宏观裂纹是否将继续扩展并导致结构破坏。
这种扩展可以缓慢而稳定并仅在载荷增加时存在，或者， 裂纹扩展到一定程度突然变为不稳定扩展。
发生在循坏加载条件下的裂纹稳定扩
Lzh_CAE
6
2. 岩石断裂力学的发展
主讲：练章华 教授
断裂力学是研究含裂纹材料断裂韧性和裂纹扩展规律的学科，它已 被引入到岩石力学中去，它的研究方法拓宽了解决岩石力学问题的 思路。岩石断裂的裂纹效应：岩石是一种节理裂隙繁多的多裂纹介 质的固体。
断裂力学是以连续介质力学为基础的，但它主要研究的是裂纹尖端的 应力奇异性，研究裂纹端部应力与位移场的强弱程度，从而构成了岩 石断裂破坏的条件，产生断裂判据。
问题。取坐标原点在裂纹中心，x轴在裂纹面内并垂直于裂纹前缘，在
Lzh_CAE 无穷远处作用双向均匀拉应力σ，裂纹长度2a。
10
裂纹尖端附近的应力分布为：
主讲：练章华 教授
应力分布
x
KI 2r
cos 2
1 sin
2
sin
3 2
y
KI 2r
cos 2
1
sin
2
sin
3 2
xy
11
y
0
a 2r
主讲：练章华 教授
1. 当r→0时，σy→∞，并且即使外部荷载σ很小，这时材料会发生
断裂，显然，这与实际情况不符。
2. 实际情况是，在r→0处，并非应力为∞。当应力达到某一值时，
材料就会屈服，因而在裂纹顶端处形成一定大小的塑性区，该处
的应力应变关系已不是线性关系。
3. 以一点应力的大小来衡量裂纹体的稳定已失去意义，也就是说，
实践证明，许多脆性材料，包括岩石、水泥、陶瓷、玻璃等，其构件
在远低于屈服应力的条件下发生断裂，即所谓“低应力脆断”，这证
Lzh_CAE 明材料中存在的裂纹效应。
7
3 断裂力学基本理论
1). 三种基本裂纹类型
主讲：练章华 教授
I
II
III
I型－张开型 II型－滑移型
III型－斯开型
图7.1 三种基本裂纹类型
含裂纹的构件产生脆断的临界条件为
KI = KIC
Lzh_CAE
13
主讲：练章华 教授
(2)． Ⅱ型裂纹 与I型裂纹相似，对于如图Ⅱ型裂纹，它是一带有中心穿透裂纹的无 限大平板，无限远处作用有均匀分布的剪应力τ，裂纹端部任一点A 的应力分量为：
展，通常称为疲劳裂纹扩展。
Lzh_CAE
2
1. 断裂力学的形成
主讲：练章华 教授
人类在很早以前就认识到，材料的缺陷和不均匀会大大降低强度。人 们对这个问题的研究开始是在材料力学的范畴内用应力集中的观点加 以解释，在安全系数上给予粗略地考虑。
20世纪初用弹性力学方法得到了裂纹端部的应力解答， 按此解答裂纹尖端的应力是无穷大，这样，无论外力 大小，只要存在尖裂纹，就会导致破坏。