第四章有限元分析中的若干问题
有限元经典PPT第4章
Pii Kiiui
Ki1u1 Ki2u2 Kiiui K u i,i1 i1
ui
n
Kiiui Kiiui
Kiju j
4.1.2 平面应力问题有限元的基本思想和瑞雷－里兹法
v3 f3y
3
u3
f3x
f1y v1 u1
1 f1x
v2 f2y u2
2 f2x
给定一个三角形单元和作用在角点上 的六个力，要求得六个角点的位移。 或者是要求三角形角点发生指定的位 移，在三角形三个角点如何加力？
很显然，问题的精确解很困难。采用 瑞雷－里兹法求近似式解
e号单元的三个节点I,j,k的力对应的 力的平衡方程是第2i-1,2i;2j-1,2j;2k1,2k个平衡方程
e号单元的三个节点I,j,k的位移是第 2i-1,2i;2j-1,2j;2k-1,2k个未知数
弹性模量：E 横截面积：A
1
1 L
2
2L
3
局部系单元刚度阵：
k
1
EA L
1 -1
-1
1
2 集成总刚：
0 1
解得：
ux uy
L EA
3.8284L
EA
i
j
第一类位移条件：
Ki1u1 Ki2u2 Kiiui Ki1ui1
ui 0
令： Kij 0 i j
m
vi 0
Kii 1
um 0
Pi 0
ui 0
第二类位移条件：um um
大数
充大数法： Kii Kii
第一步：求转换矩阵
k2
EA 1 2L -1
-1
1
P
cos 0
T sin
有限元中的一些问题
有限元中的一些问题1.有限元软件中常用的单元的拓扑类型有哪些？分别用于什么场合？单元的拓扑类型：有限元软件中常用的拓扑结构单元：一维单元：杆与梁管单元；二维单元：平面三角形单元、平面四边形单元、膜单元、等参单元、壳单元等；三维单元：三维实体单元。
使用场合：工程中常把平面应变单元用于模拟厚结构，平面应力单元用于模拟薄结构，膜壳单元用于包含自由空间曲面的薄壁结构。
由于三角形单元的刚度比四变形单元略大，因此相对三节点三角形单元，优先选择四边形四节点单元。
如果网格质量较高且不发生变形，可使用一阶假定应变四边形或六面体单元，六面体单元优先四面体单元和五面体锲形单元。
十节点四面体单元与八节点六面体单元具有相同的精度。
网格较粗的情况下使用二阶缩减积分四边形或四面体单元，对于橡胶类体积不可压缩材料使用Herrmann单元，避免体积自锁。
2.有限元软件中常用的单元的几何类型有哪些？分别用于什么场合？(1)按形状分类：点单元：MASS；线单元：LINK、BEAM、COMBIN；面单元：PLANE、SHELL。
(2)按单元阶次分类：线性单元：对于结构分析问题，单元内的位移数值按线性变化，因而每个单元内的应力状态是保持不变的；二次单元：对于结构分析问题，单元内的位移数值按二次函数变化，因此每个单元内的应力状态是线性变化的；P单元：对于结构分析问题，单元内的位移数值按二阶到八阶函数变化，而且具有求解收敛自动控制功能，自动确定各位置上应采用的函数阶数。
使用场合：①点单元几何形状为点型的结构，可用以下单元模拟MASS单元主要用于动力学分析质量块结构的模拟。
②线单元几何形状为线型的结构，可以用以下单元模拟。
Link单元用于桁架、螺栓、螺杆等连接件的模拟。
Beam单元用于梁、螺栓、螺杆、连接件等的模拟。
Pipe单元用于管道、管件等结构的模拟。
Combin单元用于弹簧，细长构件等的模拟。
③面单元几何形状为面型的结构，可用以下单元模拟。
有限元第四章 一些数学概念和结论
a b a b cos a a b
Euclid空间的三角不等式
5. 收敛性与完备性 （1）收敛性
点列xn E
（赋范线性空间），若存在
lim xn x0 0
则，称 x 0 为点列x 的强极限，读作：x 强收敛于 n n 义不同。
n
x0
，模的定义不同收敛的涵
例２ 由于可以找出任意多个线性无 关的连续函数（1、x、x 2 x n ） 所以Ｃ空间为无限维线性空间。Ｌ2 空 间也是无限维线性空间。
u u i i , v vi i
i 1 i 1
的位移场则组成 2n 维线性空间。
3. 线性空间的模（范数）
（１）模的定义 当线性空间 E 中的任意一个元素 x 可用一个非负实数与之对应，记作‖x‖ （表示“大小”或“长度”）称为E 空间为模线性空间或赋范线性空间，实数‖x‖ 称为模或范数。模的性质如下：
b
２. 内积模
在内积空间，可以直接利用内积来定义元素的模
u
u, u
在内积空间Ｅ中，u 与 v 之间的距离可用内积模表示
u v
u v, u v
3. 正交性
内积空间与一般线性空间的不同之处是可以用内积来定义两个元素之间的正交关 系，函数之间的“正交”。 若（ u、v）＝０
b
1 2
L2 模 定义为：
u
L2
b 2 u dx a
按一致模收敛是一致收敛，按 L2 模收敛则是平均收敛。
§4-2 内积空间（酉空间）
１. 内积 对于线性空间Ｅ 的每一对元素 u、v 定义一个确定的实数与之对应，称
为 u、v 的内积，记作（u、v），且满足:
第4章 空间问题有限元分析-轴对称
Re N T f p
FL e 2 r0 N T 62 f p 21
圆环 2 r0 Ni f pr Ni f pz N j f pr
N j f pz
Nm f pr
T
Nm f pz
r0 -- 集中力作用点的径向坐标。
2019/10/18
第4章 空间问题有限元分析 空间轴对称问题
曹国华
2019/10/18
空间有限元分析-轴对称
1
主要内容
§ 4.1位移模式 § 4.2几何方程 § 4.3单元刚度 § 4.4等效载荷
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空间有限元分析-轴对称
3
1、研究对象
当弹性体的几何形状，约束情况，以及所受的外力都 轴对称于某一轴，则这种弹性体的应力分析问题称为轴对 称应力分析问题，在工程中如 活塞，压力容器等 。
空间有限元分析-轴对称
12
几何方程与物理方程
PA线应变
0，（略去高阶小量）.
PB线应变
εφ
PB PB PB
(u
φ
uφ φ
d φ)
u
ρdφ
1 uφ ; ρ φ
PA转角
α
DA
uφ ρ
d
ρ
uφ
,
PA d ρ ρ
2019/10/18
空间有限元分析-轴对称
空间有限元分析-轴对称
28
等效载荷
r Niri N j rj Nmrm
2、体积力移置
FFGee 2 [N] f rdrdz
若体积力为重，则单位体积 的力为
f
＝－0
有限元分析及应用第四章
则称ϕ1、ϕ２Lϕ n 线性相关；
(ii) 若 c1ϕ1 + c2ϕ 2 + L + cnϕ n ≡ 0
仅当
c1
才成立，则称
ϕ=1c、2
=L= ϕ２Lϕ
cn
n
≡0
线性无关。
（２） 线性空间的维数
若线性空间Ｅ满足
（i）任意 n+1 个元素一定线性相关。
（ii）存在着 n 个线性无关的元素。
则称线性空间Ｅ的维数为 n。
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cosα ≤ a ⋅ b
上式为 Euclid 空间的三角不等式，此式仅是 Schwarz 不等式的一个特例。 ５、收敛性与完备性 （1）收敛性
∀ 点列{xn } ∈E（赋范线性空间），若存在
lim xn − x0 = 0
n →∞
则，x0 称为点列{xn }的强极限，读作：{xn }强收敛于 x0 ，注意模的定义不同收敛的涵
c1ϕ1 + c2ϕ 2
c1ϕ1′ + c2ϕ 2′
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有限元分析与应用
霍战鹏
也在（a, b）上连续。所有函数本身及一阶导数都在（a, b）上连续的函数组成一种线性空
间，记作 C1[a, b]。 例４ Rn n 维欧氏空间是线性空间，R2（二维平面）, R3（三维空间）是 n 维欧氏空
形的项点为结点，以结点处的函数值对单元内的位移场进行分片线性插值。根据第 3-4 节的
分析可知，对于这样定义的函数 u(x,y)在Ω上连续，且积分
y
∫∫ ∫∫ ∫∫ Ω
u 2dxdy
、
Ω
∂u ∂x
2 dxdy
、
Ω
有限元分析第四章
19
4）形函数的性质
形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具 有以下性质： 性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点 上的值等于0。对于本单元，有
20
Ni ( xi , yi ) 1 Ni ( x j , y j ) 0 Ni ( xm , ym ) 0
（i、j、m）
利用 N i 1 (ai bi x ci y )和ai、bi、ci公式证明 2A
对于一个具体问题进行分析，不管采用什么样的单元， 分析过程与思路是一样的，所不同的只是各种单元的位移模 式和单元刚度矩阵不一样，其他的包括整体刚度矩阵的组装 过程都完全一样，所以我们仅仅对矩形单元位移模式的求取 和单元刚度矩阵的求解加以介绍。
4.7 收敛准则
可以证明，对于一个给定的位移模式，其刚度系统的数 值要比精确值大。所以，在给定载荷的作用下，有限元计算 模型的变形要比实际结构的变形小。因而，当单元网格分得 越来越细时，位移的近似解将由下方收敛于精确解，即得到 真实解的下界。 为了保证解答的收敛性，要求选取的位移模式必须满足 以下三个条件： 1）位移模式必须包含单元的刚体位移 也就是说，当节点位移是某个刚体位移所引起时，弹 性体内将不会产生应变。所以位移模式不但要具有描述单元 本身形变的能力，而且还要具有描述由其他变形而通过节点 位移引起单元刚体位移的能力。例如，三角形三节点位移模 式中，常数项就是用于提供刚体位移的。
Ni(x、y)
1 i(xi，yi) x xi
x xi N i ( x, y ) 1 x j xi
N m ( x, y ) 0
证
N
y j (xj，yj)
m (xm，ym)
xj
x
N i ( x, y )
有限元分析建模及若干问题PPT课件
a、线弹性支座：当支承结构或基础受外载产生较大的弹 性变形时，这种支座称为弹性支座。根据支反力的不同， 弹性支承可分为弹性线支座和弹性铰支座，它们分别产生 弹性线位移/支反力、线性角位移/反力矩。如图
b、非线性支座
c、斜支座
u
C）装配应力和温度应力 D）油缸/软绳问题（不可拉/压）
φ v
第17页/共37页
0.5
0.5
P
0.5
P
P
0.5
P
P
=
+
原结构
对称载荷
反对称载荷
第12页/共37页
9-6 模型简化
4）小特征删除 由于实际机械零件设计中很多结构的变化是因加工、装配、
调试等功能所需的并非或强度、刚度设计所重点关注的。 因而在对其进行力学分析计算时，可将这类细小的结构忽 略不计。如机械结构中常有的小孔、倒角、凸台、凹槽等。 这些结构通常尺寸较小，如不省略，反而会导致网格划分 困难，节点单元增加，如图所示为一经细节删除操作后有 限元网格模型。 几何模型简化操作实例
9-1 有限元分析的基本方
法 研究分析对象结构对象
有限元前处理(建模)
形成计算模型
选择计算分析程序
修改模型
上机试算
计算模型合理？
修改方案
优化设计
正式试算，结果分析 结构设计方案？
计算结果输出
有限元计算及后处理
设计方案输出 第1页/共37页
9-1 有限元分析的基本方法
1)建立实际工程问题的计算模型 利用几何、载荷的对称性简化模型， 建立等效模型
第15页/共37页
9-6 模型简化
• b、固定铰支：它与活动铰支的区别在于整个支座不能移 动，但是被支撑的结构可绕固定轴线或铰自由转动。如图。
有限元指导答疑
有限元指导答疑问：有限元分析中，如何选择合适的网格大小？答：网格的大小在有限元分析中非常关键，过大或者过小的网格都会导致计算结果的不准确。
一般而言，网格的大小应该适中，既能满足准确性的要求，又能保证计算效率。
选择合适的网格大小可以从以下几个方面考虑：1. 几何形状：根据模型的几何形状选择网格大小。
当模型的几何形状有很大差异时，需要在有界限的情况下，合理划分网格，以平衡计算精度和计算成本。
2. 材料特性：不同材料的性质可能会在不同尺寸和形状的网格上产生不同的响应。
在有限元分析中，需要对不同材料选择合适的网格大小以确保计算结果的准确性。
3. 变形和位移要求：如果模型中存在大位移或者大变形的情况，需要选择更小的网格大小，以便更好地捕捉这些变形和位移的细节特征。
选择合适的网格大小需要综合考虑模型的几何形状、材料特性以及需要准确表示的变形和位移。
在进行有限元分析时，可以根据经验和实践逐渐调整网格大小，以达到计算结果的准确性和计算效率的平衡。
问：如何处理有限元分析中的奇异性问题？答：有限元分析中的奇异性问题是指在某些特定情况下，有限元模型的刚度矩阵会变得特别大或者特别小，导致计算结果不准确或者无法得出解。
处理奇异性问题可以从以下几个方面考虑：1. 网格调整：尝试调整模型的网格，特别是在模型的奇异点处，可以通过增加或者减少网格的密度改善结果的准确性。
2. 改进模型：对于存在奇异性问题的模型，可以考虑通过改善其几何形状或者材料特性来解决奇异性问题。
通过添加约束条件、修复模型的几何缺陷等方式，可以减少奇异性问题对计算结果的影响。
3. 使用高阶元素：在一些情况下，奇异性问题可以通过使用高阶元素进行分析来解决。
高阶元素可以有效地处理模型的奇异性，提供更准确的计算结果。
需要注意的是，奇异性问题是一个较为复杂的问题，解决奇异性问题需要结合实际情况进行分析和探索。
在有限元分析中，不同的问题可能存在不同的奇异性，因此需要根据具体情况选择合适的方法进行处理。
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2n d
d
半带存储
2n
2n
4.2.7
4 3 2 1 28 19 10 1 8 7 6 5 9
节点编号的优化
12 11 10 16 15 14 20 19 18 24 23 22 28 27 26 32 31 30 36 35 34
29
20 11 2
33 13 17 21 25 29 d=(5+1)×2=12 (a) 30 31 32 33 34 35 36 21 12 22 13 4 23 14 6 24 15 25 16 7 8 26 17 27 18
x y
wi w j , iz jz
梁 l j 梁
4.2
减小解题规模的
对称问题
D
对称条件 q 平面问题：AB：v=0 AD：u=0 板壳问题：AB：v=0，θx=0,θz=0 AD：u=0，θy=0,θz=0
C B q
x
A
4.2.1
对称性和反对称性
F
对称结构，反对称载荷 F 在反对称载荷作用下，结构的位移及应力都 将反对称于对称轴。 利用对称性和反对称性简化计算对称结构不对 称载荷问题
F/2
F/2
F/2
F/2
4.2.2
周期性条件
D’
B’
D
周期对称结构 ：绕着某一轴， 每隔一定角度结构和载荷具 有重复性。
C’ A’ C A
B
ui ui , vi vi
工程上对于一些呈微弱非线性的问题，则常将它当
成线性问题来处理，所得结果既能满足工程要求，又可
降低成本。例如许多混凝土结构（水坝、高层建筑、冷 却塔、桥梁、大型机电设备基地等）实际上都是非线性
结构，其非线性现象较弱，初步分析时，常看作线性结
构。只有当分析其破坏性态时，才按非线性考虑。
4.2.6
多工位载荷的合并处理
如何取一子结构示意 图
4.2.2
周期性条件
4.2.3
降维处理和几何简化
维数降低，计算量将降低几倍、几十倍。
齿轮、连杆、球轴承等许多零件都 可以近似作为平面问题。
4.2.3
降维处理和几何简化
小圆孔、小圆角、小凸台、浅沟槽
4.2.3
降维处理和几何简化
忽略细节可以减小所划分的单元节点数
4.2.4 子结构技术
第四章 有限元分析中的若干问题
第四章 有限元分析中的若干问题
有限元计算模型的建立
减小解题规模的常用措施
4.1
有限元计算模型的建立
有限元模型一要保证力学的完整性（承载完整的力 学信息）， 二要保证计算的有效性（保证计算机可以 快速计算） 力学信息：载荷性质、结构类型、材料行为、结构 对称性，而且预测响应情况。——问题类型：线性问题、 非线性问题；静力问题、动力问题；小变形问题、大变 形、大应变问题。 有限元建模过程包括选择单元类型，确定单元的尺 寸大小，保证网格划分质量，定义材料和单元特性，处 理载荷和边界条件，确定计算方法和控制参数，要求输 出结果等。
5) 认真选取单元,使之能很好的反映结构构件的传力特点, 尤其是主要受力构件应该做到尽可能的不失真. 6) 应根据结构特点,应力分布情况,单元的性质,精度要求 及其计算量的大小等仔细划分计算网格. 7) 在几何上要尽可能地逼近真实的结构体,其中特别要注 意曲线与曲面的逼近问题. 8) 仔细处理载荷模型,正确生成节点力,同时载荷的简化不 应该跨越主要的受力构件. 9) 质量的堆积应该满足质量质心,质心矩及其惯性矩等效 要求. 10) 超单元的划分尽可能单级化并使剩余结构最小.
当计算的结构比较复杂，整体刚度矩阵的阶数往往 会很大而超出计算机容量，这时可以考虑一小块一小块 地来计算，最后再将各子块边界节点归结在一起，这就 是子结构分析法。这种方法还可以用在需要局部精确分 析的场合，如应力集中处、局部发生塑性变形需要进行 非线性分析处、设计可能改变的局部等，可以只重复计 算部分结构，节约计算时间和计算成本。
4.2.6
多工位载荷的合并处理
比如要对一个建筑结构进行有限元静力分析，建筑结构 受有恒载如自重、一般不动的家具等重量，活载如行走的人、 装修施工等，建筑外面还可能受到风、雪的作用，这些力以 不同大小作用上去就构成了多种载荷工况。
4.2.7
节点编号的优化
半带宽d=相关节点号的最大差值+1）×节点自由度数
3
5 (b)
9 d=(10+1)×2=22
4.2.4 子结构技术
一 架 飞 机 可 以 分 成 几 块 子 结 构
4.2.4 子结构技术
福特公司一辆轿车侧边用子结构方案分析模型
4.2.4 子结构技术
小孔
切口 焊接
转角 集中力作用区域，点接触区域
载荷传递（固定连接，焊 接，锚固，加强棒，等）
厚度变化处
不同材料交界处
4.2.5
线形近似化
4.1.1
有限元建模的准则
有限元建模过程包括选择单元类型，确定单元的
尺寸大小，保证网格划分质量，定义材料和单元特性，
处理载荷和边界条件，确定计算方法和控制参数，要 求输出结果等。
1) 有限元模型应满足平衡条件.
2) 变形协调条件. 3) 必须满足边界条件. 4) 刚度等价原则.
4.1.1
有限元建模的准则
梁二 A
uA uA , v A v A
梁一
4.1.3
连接条件的处理
n i
B
两物体在i点滑动连接 两物体在 i点沿法线方向位移相同， 切向可以不同
A
板梁接合
ui u j l , i
y j x
x j y j
y z
i 板 梁 x
vi v j i l , i
4.1.2 边界条件的处理
(a)固定支撑 固定端所有自由度全约束
A A B
B
(b)固定铰支、可动铰支 uA=vA=0，vB=0
n
(c)斜支撑 垂直于支撑面方向位移为零
A
B
4.1.2 边界条件的处理
(d)指定位移 uC=Δ
B A C Δ
(e)弹性支撑 A B点与基础之间增加弹簧单元
(f)弹性支撑 取部分弹性基础作为分析对象
有时要对一个结构进行多种载荷工况的分析， 为了节约计算成本，一个较好的办法是将各种载荷 矢量{Ri}，合并成载荷矩阵[R]，一起进行求解。方 程系数只需进行一次三角分解，计算量将大大降低。 对于线性问题，还可以先解出某些标准载荷模 式{Ra}、{Rb}、{Rc}下的解{ua}、{ub}、{uc}，若其他 载荷模式可以写成这些载荷的线性组合， {Ra}=a{Ra}+b{Rb}+c{Rc}，则它对应的解为 {ua}=a{ua}+b{ub}+c{uc}，其中a、b、c为线性组合系 数。
B k
(g)受力平衡结构 适当选点约束，消除刚体位移
A
C B A q D C B q
4.1.3
连接条件的处理
平面单元与平面梁在i点固接
方法I
ui ui， , vi vi
j
m
um um , vm vm
方法II
i k
ui ui , vi vi , i
两平面梁在A点铰接
u j uk 2l