4 边界层和阻力公式
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求阻力的物理公式
求阻力的物理公式求解阻力的物理公式是力学中的一个重要内容，它描述了物体在流体介质中运动时所受到的阻力大小。
阻力是物体运动时所受到的阻碍力，它的大小与物体的速度、物体形状以及流体介质的性质有关。
在流体介质中，物体受到的阻力可以分为粘性阻力和湍流阻力两种。
粘性阻力是由于流体黏性而产生的，主要影响低速运动的物体。
湍流阻力是由于流体的湍流而产生的，主要影响高速运动的物体。
对于低速运动的物体，可以使用斯托克斯定律来计算粘性阻力。
斯托克斯定律指出，物体在粘性流体中匀速直线运动时，其受到的粘性阻力与物体的速度成正比。
具体公式为：阻力 F = 6πηrv，其中η为流体的黏性系数，r为物体的半径，v为物体的速度。
这个公式适用于小球在粘性流体中的运动，如沉没在水中的小球。
对于高速运动的物体，可以使用空气动力学的原理来计算湍流阻力。
根据空气动力学的原理，湍流阻力与物体的速度的平方成正比，与物体的形状有关。
具体公式为：阻力 F = 0.5ρCDAv²，其中ρ为流体的密度，CD为物体的阻力系数，A为物体的截面积，v为物体的速度。
这个公式适用于空气中的运动物体，如飞机在空中飞行时所受到的阻力。
除了上述两种常见的阻力计算公式外，还有其他一些特殊情况下的阻力计算方法。
例如，当物体在液体中做旋转运动时，阻力受到的影响会更加复杂。
此时可以使用斯托克斯定律的变种公式来计算阻力。
另外，当物体在流体中做周期性振动时，也会受到一定的阻力。
这时可以使用振荡阻尼公式来计算阻力。
这些特殊情况下的阻力计算方法需要根据具体情况进行推导和计算。
求解阻力的物理公式是力学中的重要内容。
通过合理选择适用的阻力公式，可以准确计算物体在流体介质中运动时所受到的阻力大小。
阻力的计算有助于我们理解物体在流体中的运动规律，对于设计和优化运动装置、飞行器等具有重要意义。
流体力学5章3-边界层与绕流阻力
h ja h jb V2 2 .04 2 0 .2 0 .04m 2g 2 9 .8
例2 油在管径 d=100mm、长度 l=16km 的管道中流动。若
管道水平放置，油的密度ρ =915kg/m3，ν =1.86×10-4m2/s， 求每小时通过 50t 油所需要的功率。
h j1 3
（2）引水管出口 选取断面 1-1 位于下游水库内，断面 4-4 位于引水管进口。则断 面 4-4 与 2-2 间为突然扩大式流道。A4=A，A2=B2h2。由表 5-4（序号 6）知
h j 42
42
V2 42 2g
A4 0.5 1 A2
流 体 力 学 与 流 体 机 械
第一节 边界层概念 2 边界层的形成与发展
U
层流边界层
过渡区
紊流边界层
Rex=Ux/
层流底层
x
边界层的发展
流体流过光滑平板时，边界层由层流转变为湍流发生在 Rek=21053106
Fluid Mechanics and Machinery
流 体 力 学 与 流 体 机 械
2、局部损失 V2 hj 2g
圆管突然扩大
波达定理
v1 A1 =v2 A2
2
V——特征断面的平均流速 ——局部损失系数，根据实验测定
(v1 v2 )2 hj 2g
A1 v12 v12 h f 1 1 A 2 g 2g 2 A2 v2 2 v2 2 h f 1 2 A 2 g 2g 1
局部阻力系数是在不受其他阻力干扰的孤立条件下测定的； 若几个局部区域互相靠近，则与孤立的测定值可能不同。 水头损失的叠加原则 实际情况中，在计算一条管道上的总水 头（压强、能量）损失时，只能将管道上的所有沿程损失与局 部损失按算术加法求和计算。
例2 油在管径 d=100mm、长度 l=16km 的管道中流动。若
管道水平放置，油的密度ρ =915kg/m3，ν =1.86×10-4m2/s， 求每小时通过 50t 油所需要的功率。
h j1 3
（2）引水管出口 选取断面 1-1 位于下游水库内，断面 4-4 位于引水管进口。则断 面 4-4 与 2-2 间为突然扩大式流道。A4=A，A2=B2h2。由表 5-4（序号 6）知
h j 42
42
V2 42 2g
A4 0.5 1 A2
流 体 力 学 与 流 体 机 械
第一节 边界层概念 2 边界层的形成与发展
U
层流边界层
过渡区
紊流边界层
Rex=Ux/
层流底层
x
边界层的发展
流体流过光滑平板时，边界层由层流转变为湍流发生在 Rek=21053106
Fluid Mechanics and Machinery
流 体 力 学 与 流 体 机 械
2、局部损失 V2 hj 2g
圆管突然扩大
波达定理
v1 A1 =v2 A2
2
V——特征断面的平均流速 ——局部损失系数，根据实验测定
(v1 v2 )2 hj 2g
A1 v12 v12 h f 1 1 A 2 g 2g 2 A2 v2 2 v2 2 h f 1 2 A 2 g 2g 1
局部阻力系数是在不受其他阻力干扰的孤立条件下测定的； 若几个局部区域互相靠近，则与孤立的测定值可能不同。 水头损失的叠加原则 实际情况中，在计算一条管道上的总水 头（压强、能量）损失时，只能将管道上的所有沿程损失与局 部损失按算术加法求和计算。
第四章 边界层理论
描述不可压缩流体在边界 层中作稳态二维流动的微 分方程
普兰德首先发现，当Re较 大时，边界层的厚度<<x。 可以通过比较数量级简化 方程。
普兰德边界层方程
通过数量级比较得到的简化方程：
普兰德边 界层方程
u x u x 1 dP 2u x ux uy x y dx y 2 u x u y 0 x y
【例】沿平壁层流边界层的计算
温度为20℃的空气在常压下以5m/s的速度流过一块宽1 m的平板壁 面。试计算距平板前缘0.5m处的边界层厚度及进入边界层内的质量 流率，并计算这一段平板壁面的曳力系数与承受的摩擦曳力。假设 临界雷诺数Rexc=5×105。 解：
(1)判断边界层流型：20oC空气， 1.81105 Pa.s 1.205kg / m3 Re0.5 1.664 105 5 1050.5处的边界层为层流边界层
4.2曳力系数和范宁摩擦因数
圆柱体在流体中的运动：
Fd ' CD
u0
2
2
D
Fd’－流体对圆柱体所施加的总曳力（drag force） u0－圆柱体的运动速度 CD－曳力系数（drag coefficient） D－圆柱体的直径 球体或其他形状的物体在流体中的运动 u0 2 2 Fd Fd CD A CD 2 u0 2 A A－物体在垂直于它的运动方向的平面上的投影面积 流体在圆管中流动所受到的摩擦阻力，习惯上采用范宁摩擦因数： τs－流体流过管壁的剪应力 2 s f= f－Fanning friction factor ub2 ub－流体的主体流速
递过程和质量传递过程有着密切的关系。
边界层概念
Prandtl(1904)提出边界层概念，把统一 的流场，划分成两个区域，边界层和外 流区；其流体流动（沿流动方向和沿与 流动方向垂直的方向）有不同的特点。 边界层：流体速度分布明显受到固体壁 面影响的区域。 边界层的形成： 壁面处流体的“不滑脱”no-slip 流体的“内摩擦”作用 边界层厚度δ U＝00.99 U0
普兰德首先发现，当Re较 大时，边界层的厚度<<x。 可以通过比较数量级简化 方程。
普兰德边界层方程
通过数量级比较得到的简化方程：
普兰德边 界层方程
u x u x 1 dP 2u x ux uy x y dx y 2 u x u y 0 x y
【例】沿平壁层流边界层的计算
温度为20℃的空气在常压下以5m/s的速度流过一块宽1 m的平板壁 面。试计算距平板前缘0.5m处的边界层厚度及进入边界层内的质量 流率，并计算这一段平板壁面的曳力系数与承受的摩擦曳力。假设 临界雷诺数Rexc=5×105。 解：
(1)判断边界层流型：20oC空气， 1.81105 Pa.s 1.205kg / m3 Re0.5 1.664 105 5 1050.5处的边界层为层流边界层
4.2曳力系数和范宁摩擦因数
圆柱体在流体中的运动：
Fd ' CD
u0
2
2
D
Fd’－流体对圆柱体所施加的总曳力（drag force） u0－圆柱体的运动速度 CD－曳力系数（drag coefficient） D－圆柱体的直径 球体或其他形状的物体在流体中的运动 u0 2 2 Fd Fd CD A CD 2 u0 2 A A－物体在垂直于它的运动方向的平面上的投影面积 流体在圆管中流动所受到的摩擦阻力，习惯上采用范宁摩擦因数： τs－流体流过管壁的剪应力 2 s f= f－Fanning friction factor ub2 ub－流体的主体流速
递过程和质量传递过程有着密切的关系。
边界层概念
Prandtl(1904)提出边界层概念，把统一 的流场，划分成两个区域，边界层和外 流区；其流体流动（沿流动方向和沿与 流动方向垂直的方向）有不同的特点。 边界层：流体速度分布明显受到固体壁 面影响的区域。 边界层的形成： 壁面处流体的“不滑脱”no-slip 流体的“内摩擦”作用 边界层厚度δ U＝00.99 U0
工流C4
d y y 2 2U U 2 d y y o
上两式代入动量积分方程可得 2U 2 d 2 d w U 0.133U dx dx 1 2 2 2 d d d 30.1 dx dx， 2 U 0.133U
边界层方程化为布拉修斯方程（三阶常微分方程）
2 f f f 0
边界条件为
0,
f f 0； , f 1
可用龙格－库塔方法数值求解布拉修斯方程。
理论值与实验值吻合很好。 解得层流边界层厚度式
x x 5.0 5.0 U U 5.0 Ux ， Re x 或表为 x Re x
因 /l
1 是小量， , 2 项可忽略。方程还原为
u v 0 x y u u p 2u u v 2 y x x x p 0 y
边界条件： y 0 : u v 0;
y : u U ( x)
图中白色粒子的踪迹长度正比于 流速。结果显示： (1)板附近的流速小，远处流速大； (2)低流速局限于近壁狭窄区域； (3)低速区的厚度沿流动方向逐渐增长； (4) 随流速增大，平板附近低速层的厚度变得更薄。 平板上的低速层由粘性不滑移引起，称为边界层。 2、风洞流线型体绕流实验 一细长流线型回转体沿纵向 固定在风洞实验段轴线上。 沿表面子午线开一排测压小孔，依次与多管测压 计相连。测压计读数显示表面的压强分布。
由 x 0, 0 C 0。整理得厚度为
0.382( ) x
1/ 5
4/ 5
U
或
0.382 Ux 1/ 5 , Rex x Rex
4 边界层 - 5射流
v∞ ηx
ω : y向无因次尺寸
η
(有的为 4.8)
3. 平板壁面上的摩擦阻力: 壁面切应力 τ0 = µ
y =0
∂vx ∂2ϕ v∞ ′ = = v∞ f ′ (ω = 0) 2 ∂y ∂y νx ′ 由 可 : y = 0,ω = 0 f ′ (ω) = 0.33206 表 知 即 ∂vx ∂y
Ⅲ Ⅰ：边界层区 Ⅱ: 尾流区 Ⅰ Ⅲ 势流区 Ⅱ
dvx 在势流区内因为 , 很小 粘性的影响可忽略, , dy 可近视为τ = 0, 给求解带来方便
• 依边界层的概念—切应力的影响只限于边界层内. 解释: δ (x)与物体尺寸相比,一般是很薄的,只 是紧靠物体边界的薄层,故称其为边界层,但边界 层内速度梯度却很大。
δ δ
d dv∞ ρ ∫ vx (v∞ − vx )dy + ρ ∫ (v∞ − vx )dy =τ 0 dx 0 dx 0
δ
δ
∫ (v
0
δ
∞
− vx )dy
由于粘性存在使边界层内流量减少量 = δ1v∞
δ 1−位移厚度
vx 1 δ 1 = ∫ (v∞ − vx )dy = ∫ 1− )dy （ v∞ 0 v∞ 0
δ δ δ δ δ δ
摩擦力： 面： Pδ BC dP dδ x方向的合外力：δ + Pdδ − Pδ −δ P dx − P dx −τ 0dx dx dx dP = −δ dx −τ 0dx dx δ δ d d dP 2 依动量定理有： (∫ ρvx dy)dx − v∞ (∫ ρvx dy)dx = −δ dx −τ 0dx dx 0 dx 0 dx d d dP 2 均除dx, 有 (∫ ρvx dy) − v∞ (∫ ρvx dy) = −δ −τ 0 dx 0 dx 0 dx 依势流柏努利方程（柏努利方程微分式） dP 1 dP dv∞ + v∞dv∞ = 0 ⇒ = −v∞ ρ ρ dx dx
边界层
dp = 0则整个流场压力处处相等。 dx 边界层微分方程虽然是在平壁的情况下导出的，但对曲率不太大的
dU e = ，， 0 dx
曲线壁面仍然适用。此时，x轴沿壁面方向，y轴沿壁面法线方向。
§8—3 边界层动量积分方程
一、边界层动量积分方程
由卡门在1921年提出。
推导前提：二元定常，忽略质量力，且u>>υ(由边界 层微分方程的数量级比较可看出)，所以只考虑x方向 的动量变化，不引入y方向的流速υ。
+ = 0 ，u~1， 并且边界层内，由u≥υ，故认为或由连续方程 ∂x ∂y υ~△ ∵x~1并且我们认为u~1，而y~△，必然是υ~△，这样才能满足连续方 1 ∆ 程，∂ u ∂ υ + =1 + =0 ，1 ∆ 。 ∂x ∂y dy ∆y = lim 注意：导数又称为微商，例如 dx ∆x→0 ∆x ，类似地在进行数量级比较 时，我们可以写成 ∂ u ~ 1 ，即 ∂y 是1的数量级。
1 ∂p ∂υ ∂υ ∂ 2υ ∂ 2υ u +υ =− + v( 2 + 2 ) ∂x ∂y ∂x ∂y ρ ∂y ∆ ∆ ∆ ∆ 1 ∆ ∆2 2 1 ∆ 1 ∆
∂u ∂u ∂ 2u 1 ∂p +v =− +ν u ∂x ∂y ∂y 2 ρ ∂x
∂p =0 ∂y
∂u ∂ υ + =0 ∂x ∂ y
方程第二项积分的物理意义为：
∫
δ
0
ρu (U e − u )dy 表示了因粘性影响而产生的流体动量的减少量。
ρδ 2 ⋅1⋅U e 2 = ρ ∫ u (U e − u )dy
0
令
δ
δ2 =
1 Ue
流体主要计算公式
流体主要计算公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1主要的流体力学事件有：1738年瑞士数学家：伯努利在名着《流体动力学》中提出了伯努利方程。
1755年欧拉在名着《流体运动的一般原理》中提出理想流体概念，并建立了理想流体基本方程和连续方程，从而提出了流体运动的解析方法，同时提出了速度势的概念。
1781年拉格朗日首先引进了流函数的概念。
1826年法国工程师纳维，1845年英国数学家、物理学家斯托克思提出了着名的N-S方程。
1876年雷诺发现了流体流动的两种流态：层流和紊流。
1858年亥姆霍兹指出了理想流体中旋涡的许多基本性质及旋涡运动理论，并于1887年提出了脱体绕流理论。
19世纪末，相似理论提出，实验和理论分析相结合。
1904年普朗特提出了边界层理论。
20世纪60年代以后，计算流体力学得到了迅速的发展。
流体力学内涵不断地得到了充实与提高。
理想势流伯努利方程（3-14）或（3-15）物理意义:在同一恒定不可压缩流体重力势流中，理想流体各点的总比能相等即在整个势流场中，伯努利常数C 均相等。
（应用条件：“”所示）符号说明物理意义几何意义单位重流体的位能（比位能）位置水头单位重流体的压能（比压能）压强水头单位重流体的动能（比动能）流速水头单位重流体总势能（比势能）测压管水头总比能总水头二、沿流线的积分1.只有重力作用的不可压缩恒定流，有2.恒定流中流线与迹线重合：沿流线（或元流）的能量方程：（3-16）注意：积分常数C，在非粘性、不可压缩恒定流流动中，沿同一流线保持不变。
一般不同流线各不相同（有旋流）。
（应用条件：“”所示，可以是有旋流）流速势函数（势函数）观看录像>>存在条件：不可压缩无旋流，即或必要条件存在全微分d直角坐标（3-19）式中：——无旋运动的流速势函数，简称势函数。
势函数的拉普拉斯方程形式对于不可压缩的平面流体流动中，将（3-19）式代入连续性微分方程（3-18），有：或?（3-20）适用条件：不可压缩流体的有势流动。
船舶阻力第2章 粘性阻力
当x一定，由v增大引起雷诺数增大时，界层厚 度减薄，边界层内速度分布的丰满度增大。摩 擦切应力随雷诺数增大而增大。
当雷诺数增大时，摩擦阻力系数和局部摩擦阻 力系数均随之减少。
7
3）摩擦阻力与平板湿面积的关系
如果流体介质给定，当界层内的流动状态固定 时，则摩擦切应力为常数。显然板长为L的平 板摩擦阻力的值正比于平板的湿面积。
3
二、摩擦阻力的成因与主要特性 1、摩擦阻力系数 由牛顿内摩擦定理有：
则整个平板的摩擦阻力为：
4
若平板如上图所示，则平板摩擦阻力系数为：
5
2、摩擦阻力的主要特性
1）在相同来流条件下，紊流边界层内速度梯度
较大，摩擦切应力较层流情况大，摩擦阻力系
数也较大。
6
2）雷诺数对摩擦阻力的影响
当来流速度不变，由x增大引起雷诺数增大时， 界层厚度增加，边界层内速度分布的丰满度减 小。摩擦切应力和局部摩擦阻力系数均随雷诺 数增大而减小。
17
（1）荷兰瓦根宁船池经验公式 （2）我国长江船型的近似公式计算 （3）交通部船舶运输科学研究所的江船公式
18
（4）利用桑地图谱
19
2、计算雷诺数
3、根据光滑平板摩擦阻力公式算出或由相应 的表中查得摩擦阻力系数。 4、决定粗糙度补贴系数的值。目前我国一般 取：
5、计算出船舶的摩擦阻力：
20
§2-5 粘压阻力的成因与特性
目前运用N-S方程理论计算粘性阻力时，应注意
1、由于RANS方法本身并不封闭，须引进所谓湍 流模式来定量描述雷诺应力，能否正确给出湍流 模式至关重要。
2、数值计算的方法和技巧。离散方法选取是否 适当、网格划分是否恰当以及计算网格的自动生 成在数值计算至关重要。
当雷诺数增大时，摩擦阻力系数和局部摩擦阻 力系数均随之减少。
7
3）摩擦阻力与平板湿面积的关系
如果流体介质给定，当界层内的流动状态固定 时，则摩擦切应力为常数。显然板长为L的平 板摩擦阻力的值正比于平板的湿面积。
3
二、摩擦阻力的成因与主要特性 1、摩擦阻力系数 由牛顿内摩擦定理有：
则整个平板的摩擦阻力为：
4
若平板如上图所示，则平板摩擦阻力系数为：
5
2、摩擦阻力的主要特性
1）在相同来流条件下，紊流边界层内速度梯度
较大，摩擦切应力较层流情况大，摩擦阻力系
数也较大。
6
2）雷诺数对摩擦阻力的影响
当来流速度不变，由x增大引起雷诺数增大时， 界层厚度增加，边界层内速度分布的丰满度减 小。摩擦切应力和局部摩擦阻力系数均随雷诺 数增大而减小。
17
（1）荷兰瓦根宁船池经验公式 （2）我国长江船型的近似公式计算 （3）交通部船舶运输科学研究所的江船公式
18
（4）利用桑地图谱
19
2、计算雷诺数
3、根据光滑平板摩擦阻力公式算出或由相应 的表中查得摩擦阻力系数。 4、决定粗糙度补贴系数的值。目前我国一般 取：
5、计算出船舶的摩擦阻力：
20
§2-5 粘压阻力的成因与特性
目前运用N-S方程理论计算粘性阻力时，应注意
1、由于RANS方法本身并不封闭，须引进所谓湍 流模式来定量描述雷诺应力，能否正确给出湍流 模式至关重要。
2、数值计算的方法和技巧。离散方法选取是否 适当、网格划分是否恰当以及计算网格的自动生 成在数值计算至关重要。
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倾斜变径管
( p A pB ) ( gz1 gz2 )
反映管段的总势能差、或者阻力损失与动能差 2）特例： * 变径管中范宁公式的使用
必须按照不同管径，分别使用
2 2 p f (u2 u1 ) 2
l u2 范宁公式： R d 2
2、不同管道中压差计读数R反映的信息
0.1 0.09
e/l
32lu p f 2 u ( Re , ) d λ
0.05 0.04 0.03
64 Re
0.08 0.07 0.06
( ) d
2
0.05 0.04 0.03 0.02 0.015 0.01 0.008 0.006 0.0045 0.002 0.001 0.0008 0.0006 0.0004 0.0002 0.0001
0.82 （常用公式）
u umax
提出问题
?
1-4-4 边界层的概念
流动边界层---
靠近固体壁面处，很薄的流体层
本节主要内容--* 平板上 边界层的产生 * 圆管中 发展 分离 研究边界层目的--指导流动阻力的研究与计算
1、平板上流体的流动边界层
1）边界层的形成 边界层理论是1904年普朗特提出 边界层厚度δ
影响因素：
f ( d , u , , , )
利用量纲分析法： ( R , ) e来自：管壁绝对粗糙度， mm
d ：管壁相对粗糙度
湍流λ 的获得方法： * 摩擦因子图（莫狄图） 书P47 图1.4.18 坐标：双对数坐标
d
p1
流过突出物前后的压力分布
p2
根据实验，得到莫狄（Moody）摩擦系数图。
4l w p1 p 2 因此， ( z1 z 2 ) g d
剪应力：Ff wdl
p1 p 2 对比机械能衡算方程： ( z1 z2 ) g R
4l w 所以， R d 8 w l u 2 改写为： R u 2 d 2 8 w 令： u 2
u u∞ u∞ u∞ u∞
δ
x0
圆管进口处层流边界层的发展
δ
δ
d
层流时
湍流时
充分发展的流动： 不管层流还是湍流，边界层厚度等于圆管半径。
⑤
流动边界层的分离 流体绕固体表面的流动。
(a）当流速较小时
流体贴着固体壁缓慢流过 (爬流)。
(b) 流速不断提高，达到某一程度时，边界层分离。
指：流体流过曲面时，由于流道形状的改变，造成流体边界层脱 离壁面的现象。边界层分离产生形体阻力
d
l u p f u2 d 2
0.02
0.01 0.009 0.008 102 103 104 105 106 107
0.00005
0.00001
Re
摩擦系数λ与Re、ε/l关系图
摩擦因子图（莫狄图） 分四个区域： 32lu 层流区 Re 2000 64 Re p f d 2 u 过渡流区 2000 Re 4000 问题：1、过渡流，按哪种流型查λ 按湍流查λ ，安全系数大； 2、对待过渡流的工程观点 工程设计时，避免过渡流（不稳定） 湍流区 Re 4000
α
l u2 范宁公式： R d 2
其它形式：
l u2 hf d 2g
l u 2 p f d 2
2、几点讨论
1）适用范围 2）特例：
p1 p 2 ( z1 z2 ) g R
圆形直管，对管的位置、流型无要求
* 水平管中范宁公式的形式
l u 2 水平管，p p f d 2
不完全湍流区
( Re , )
d
完全湍流区 (阻力平方区) 2 l u 2 ( ) p f u d d 2
du dy 0, 0，
x 0
dp / dy 0, 认为是实际流体流动 , 产生流动阻力
u x u0，du dy 0， * 边界层外， y ， 看作是理想流体流动 , 无流动阻力
层流边界层 u∞ u∞ δ A x0 u∞
y 0、ux 0 * 壁面处，
湍流边界层
r = R (壁面) ，
r = 0 (管中心) ，
max
0
2 p p r 2 2.速度分布（P35） 半径r处，u 1 2 R (1 2 ) r 4L R 1) 层流流动
抛物线 r = R (壁面) , u 0, max r = 0 (管中心) , u umax , 0
δ
δ
d
u∞
u∞
u∞
u∞
xent 进口段长度：层流， 0.0575 Re d xent 50d 湍流， 工程观点： xent (50 100)d （3）稳定管段 * 边界层充分发展后，在管中心处汇合 * 截面上各点δ 、du/dy不再变化 * 稳定管段中，所有流体都处在边界层内 * 管内流动状态---取决于汇合点处流动状态 * 稳定管段中边界层最大厚度---管道半径
形体阻力
* 由于边界层分离， 造成的能量损失。 * 化工管路中常见， 如弯管、阀门处 形体阻力>>直管阻力
减少形体阻力的方法--流线形、导向板
如汽车、飞机、桥墩都是流线型
p x
x
10 ~ 12时，发生分离
1.4.5 流体流动阻力的计算 小结流体流动阻力： 产生原因： 流体流动，流体有粘度 重要理论： 边界层理论 本节介绍：计算流动阻力的公式
流动状态描述： R xu e
X：特征尺寸 平板--- 离开平板前沿的距离 l 圆管--- 直径d 对平板，层流 → 湍流的临界雷诺数 u x u x 5 105 ~ 2 106 Re x v 问题： 圆直管内，流型判断
Re 2000 ~ 4000
3） 边界层厚度 层流边界层， 湍流边界层，
流动阻力
不直接反映压差 及流动阻力
书P77 第10题 重新分析 1、倾斜变为水平后，各种能量有何变化？
2、考虑阻力损失时，结果又怎样？
3、摩擦系数 1）层流
f ( d , u , , )
64 u 64 2 u d Re
l u2 范宁公式： R d 2
8 w 2 u
层流内层 平板上的流动边界层
2） 边界层的发展 层流边界层 → 湍流边界层 湍流边界层： • 湍流中心 u u ∞ ∞ • 过渡层 • 层流内层 δ
A
x0
层流边界层 u ∞
湍流边界层
层流内层
层流内层 平板上的流动边界层
层流内层很薄，但对传递过程影响很大； 传递阻力，主要集中于层流内层中； 湍动↑，层流内层厚度↓，传递阻力↓。
不是流体的物性参数，与流动状况密切相关
2）湍流速度分布 获得方法：实验测定、
经验公式 （P38）
特点：径向速度分布较平均， 速度梯度分布不均匀。
R e≥4000 ur u
r
R
d
umax
u umax
0.82
湍流
湍流时流体在圆管中的速度分布
层流
1 u umax 2
u r r 常用指数分布公式： (1 ) n umax R
2、总阻力 直管阻力（粘滞力引起） 局部阻力（形体阻力） 总阻力=直管阻力+局部阻力
Pi2
FIC
Pi1
一、圆形直管内的阻力损失 1、范宁公式 公式推导： 稳态流动流体 作受力分析
F F F
P
G
Ff 0
压力差：FP ( p1 p2 ) A
重力：FG gpV cos gA( z1 z2 )
u增加至uB、pA减小至pB、p / x 0，顺压梯度 B C uB减小至uC、pB增加至pC、p / x 0，逆压梯度 (c)边界层分离的条件 ▲ 逆压梯度，流体动能耗尽 ▲ 壁面附近的粘性摩擦
A B
流体流过单球体
2）分离对流动的影响 产生形体阻力， 使流动阻力损失↑↑。
4.64 0.5 x Re x
0.376 x Re x 0.8
2、圆形直管内的流动边界层 问题：与平板流动边界层的区别 （1）边界层从 壁面 → 管中心 发展；
u
δ
x0
圆管进口处层流边界层的发展
（2）存在进口段（正在发展的边界层） 问题：进口段对参数测量有何影响 测量参数时，应避开进口段。
8u ( w ) d
代入范宁公式： 2 l u 64u l u 2 32lu p f 2 d 2 u d d 2 d2
哈根-泊稷叶方程
32lu p f 2 d
2 p u p f 1 d 用于层流， f
2）湍流条件下的摩擦系数
影响因素复杂，一般由实验确定。
1.4 流体流动阻力
提出问题?
1、流动阻力产生的外因和内因 判断：* 牛顿型流体层流时所受的剪应力与法向 速度梯度成正比，与法向压力无关，其 粘度与法向速度梯度无关。 * 一般而言，气体比液体粘度小，且 随温度升高而增大。 2、流动类型、判据、如何看待过渡流、湍流的 特征； 稳定流型为层流和湍流，过渡流为不稳定流 型，设计时应避免。流体质点的脉动
层流边界层 湍流边界层
u 0.99u
u∞
u∞
u∞
A
δ 层流内层 平板上的流动边界层
例：
x0
20C的空气以10m/s流过平板时，在距离平板前
缘100mm处，边界层厚度约为1.8mm
1、平板上流体的流动边界层 边界层意义：
流动阻力及速度梯度，主要集中在边界层内 边界层内， y ，u u
1、流体阻力的三种表示方法
( p A pB ) ( gz1 gz2 )
反映管段的总势能差、或者阻力损失与动能差 2）特例： * 变径管中范宁公式的使用
必须按照不同管径，分别使用
2 2 p f (u2 u1 ) 2
l u2 范宁公式： R d 2
2、不同管道中压差计读数R反映的信息
0.1 0.09
e/l
32lu p f 2 u ( Re , ) d λ
0.05 0.04 0.03
64 Re
0.08 0.07 0.06
( ) d
2
0.05 0.04 0.03 0.02 0.015 0.01 0.008 0.006 0.0045 0.002 0.001 0.0008 0.0006 0.0004 0.0002 0.0001
0.82 （常用公式）
u umax
提出问题
?
1-4-4 边界层的概念
流动边界层---
靠近固体壁面处，很薄的流体层
本节主要内容--* 平板上 边界层的产生 * 圆管中 发展 分离 研究边界层目的--指导流动阻力的研究与计算
1、平板上流体的流动边界层
1）边界层的形成 边界层理论是1904年普朗特提出 边界层厚度δ
影响因素：
f ( d , u , , , )
利用量纲分析法： ( R , ) e来自：管壁绝对粗糙度， mm
d ：管壁相对粗糙度
湍流λ 的获得方法： * 摩擦因子图（莫狄图） 书P47 图1.4.18 坐标：双对数坐标
d
p1
流过突出物前后的压力分布
p2
根据实验，得到莫狄（Moody）摩擦系数图。
4l w p1 p 2 因此， ( z1 z 2 ) g d
剪应力：Ff wdl
p1 p 2 对比机械能衡算方程： ( z1 z2 ) g R
4l w 所以， R d 8 w l u 2 改写为： R u 2 d 2 8 w 令： u 2
u u∞ u∞ u∞ u∞
δ
x0
圆管进口处层流边界层的发展
δ
δ
d
层流时
湍流时
充分发展的流动： 不管层流还是湍流，边界层厚度等于圆管半径。
⑤
流动边界层的分离 流体绕固体表面的流动。
(a）当流速较小时
流体贴着固体壁缓慢流过 (爬流)。
(b) 流速不断提高，达到某一程度时，边界层分离。
指：流体流过曲面时，由于流道形状的改变，造成流体边界层脱 离壁面的现象。边界层分离产生形体阻力
d
l u p f u2 d 2
0.02
0.01 0.009 0.008 102 103 104 105 106 107
0.00005
0.00001
Re
摩擦系数λ与Re、ε/l关系图
摩擦因子图（莫狄图） 分四个区域： 32lu 层流区 Re 2000 64 Re p f d 2 u 过渡流区 2000 Re 4000 问题：1、过渡流，按哪种流型查λ 按湍流查λ ，安全系数大； 2、对待过渡流的工程观点 工程设计时，避免过渡流（不稳定） 湍流区 Re 4000
α
l u2 范宁公式： R d 2
其它形式：
l u2 hf d 2g
l u 2 p f d 2
2、几点讨论
1）适用范围 2）特例：
p1 p 2 ( z1 z2 ) g R
圆形直管，对管的位置、流型无要求
* 水平管中范宁公式的形式
l u 2 水平管，p p f d 2
不完全湍流区
( Re , )
d
完全湍流区 (阻力平方区) 2 l u 2 ( ) p f u d d 2
du dy 0, 0，
x 0
dp / dy 0, 认为是实际流体流动 , 产生流动阻力
u x u0，du dy 0， * 边界层外， y ， 看作是理想流体流动 , 无流动阻力
层流边界层 u∞ u∞ δ A x0 u∞
y 0、ux 0 * 壁面处，
湍流边界层
r = R (壁面) ，
r = 0 (管中心) ，
max
0
2 p p r 2 2.速度分布（P35） 半径r处，u 1 2 R (1 2 ) r 4L R 1) 层流流动
抛物线 r = R (壁面) , u 0, max r = 0 (管中心) , u umax , 0
δ
δ
d
u∞
u∞
u∞
u∞
xent 进口段长度：层流， 0.0575 Re d xent 50d 湍流， 工程观点： xent (50 100)d （3）稳定管段 * 边界层充分发展后，在管中心处汇合 * 截面上各点δ 、du/dy不再变化 * 稳定管段中，所有流体都处在边界层内 * 管内流动状态---取决于汇合点处流动状态 * 稳定管段中边界层最大厚度---管道半径
形体阻力
* 由于边界层分离， 造成的能量损失。 * 化工管路中常见， 如弯管、阀门处 形体阻力>>直管阻力
减少形体阻力的方法--流线形、导向板
如汽车、飞机、桥墩都是流线型
p x
x
10 ~ 12时，发生分离
1.4.5 流体流动阻力的计算 小结流体流动阻力： 产生原因： 流体流动，流体有粘度 重要理论： 边界层理论 本节介绍：计算流动阻力的公式
流动状态描述： R xu e
X：特征尺寸 平板--- 离开平板前沿的距离 l 圆管--- 直径d 对平板，层流 → 湍流的临界雷诺数 u x u x 5 105 ~ 2 106 Re x v 问题： 圆直管内，流型判断
Re 2000 ~ 4000
3） 边界层厚度 层流边界层， 湍流边界层，
流动阻力
不直接反映压差 及流动阻力
书P77 第10题 重新分析 1、倾斜变为水平后，各种能量有何变化？
2、考虑阻力损失时，结果又怎样？
3、摩擦系数 1）层流
f ( d , u , , )
64 u 64 2 u d Re
l u2 范宁公式： R d 2
8 w 2 u
层流内层 平板上的流动边界层
2） 边界层的发展 层流边界层 → 湍流边界层 湍流边界层： • 湍流中心 u u ∞ ∞ • 过渡层 • 层流内层 δ
A
x0
层流边界层 u ∞
湍流边界层
层流内层
层流内层 平板上的流动边界层
层流内层很薄，但对传递过程影响很大； 传递阻力，主要集中于层流内层中； 湍动↑，层流内层厚度↓，传递阻力↓。
不是流体的物性参数，与流动状况密切相关
2）湍流速度分布 获得方法：实验测定、
经验公式 （P38）
特点：径向速度分布较平均， 速度梯度分布不均匀。
R e≥4000 ur u
r
R
d
umax
u umax
0.82
湍流
湍流时流体在圆管中的速度分布
层流
1 u umax 2
u r r 常用指数分布公式： (1 ) n umax R
2、总阻力 直管阻力（粘滞力引起） 局部阻力（形体阻力） 总阻力=直管阻力+局部阻力
Pi2
FIC
Pi1
一、圆形直管内的阻力损失 1、范宁公式 公式推导： 稳态流动流体 作受力分析
F F F
P
G
Ff 0
压力差：FP ( p1 p2 ) A
重力：FG gpV cos gA( z1 z2 )
u增加至uB、pA减小至pB、p / x 0，顺压梯度 B C uB减小至uC、pB增加至pC、p / x 0，逆压梯度 (c)边界层分离的条件 ▲ 逆压梯度，流体动能耗尽 ▲ 壁面附近的粘性摩擦
A B
流体流过单球体
2）分离对流动的影响 产生形体阻力， 使流动阻力损失↑↑。
4.64 0.5 x Re x
0.376 x Re x 0.8
2、圆形直管内的流动边界层 问题：与平板流动边界层的区别 （1）边界层从 壁面 → 管中心 发展；
u
δ
x0
圆管进口处层流边界层的发展
（2）存在进口段（正在发展的边界层） 问题：进口段对参数测量有何影响 测量参数时，应避开进口段。
8u ( w ) d
代入范宁公式： 2 l u 64u l u 2 32lu p f 2 d 2 u d d 2 d2
哈根-泊稷叶方程
32lu p f 2 d
2 p u p f 1 d 用于层流， f
2）湍流条件下的摩擦系数
影响因素复杂，一般由实验确定。
1.4 流体流动阻力
提出问题?
1、流动阻力产生的外因和内因 判断：* 牛顿型流体层流时所受的剪应力与法向 速度梯度成正比，与法向压力无关，其 粘度与法向速度梯度无关。 * 一般而言，气体比液体粘度小，且 随温度升高而增大。 2、流动类型、判据、如何看待过渡流、湍流的 特征； 稳定流型为层流和湍流，过渡流为不稳定流 型，设计时应避免。流体质点的脉动
层流边界层 湍流边界层
u 0.99u
u∞
u∞
u∞
A
δ 层流内层 平板上的流动边界层
例：
x0
20C的空气以10m/s流过平板时，在距离平板前
缘100mm处，边界层厚度约为1.8mm
1、平板上流体的流动边界层 边界层意义：
流动阻力及速度梯度，主要集中在边界层内 边界层内， y ，u u
1、流体阻力的三种表示方法