2016_2017学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法课件
已知 a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能都大于 1 4.
【精彩点拨】
“不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对
立面为“全部大于”．
1 【自主解答】 假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 都大于4. ∵a，b，c∈(0,1)， ∴1－a>0,1－b>0,1－c>0.
我还有这些不足： (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) (2) _________________________________________________ _________________________________________________
即过 a，b，m 有一个平面 α，如图．
假设过 a，b，m 还有一个平面 β 异于平面 α， 则 a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与 a∥b，过 a，b 有且只有一个平面矛盾． 因此，过 a，b，m 有且只有一个平面．
用反证法证明唯一性命题的一般思路 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在 性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存 在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一 性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．
反设词 存在某个 x0 不成立 存在某个 x0 成立 綈 p 且綈 q 綈 p 或綈 q
至少有 n 个 至多有 n－1 个 至多有 n 个 至少有 n＋1 个
[ 再练一题] 2．已知 a，b，c，d∈R，且 a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c， d 中至少有一个是负数. 【导学号：60030058】
阶 段 一
阶 段 三
2.2
直接证明与间接证明 2.2.2 反证法
学 业 分 层 测 评
阶 段 二
1．了解反证法的思考过程、特点．(重点、易混点) 2．会用反证法证明简单的数学问题．(重点、难点)
[ 基础· 初探] 教材整理 反证法 阅读教材 P89～P91 的内容，完成下列问题．
原命题 不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过 1．定义：假设________
【解析】 “p 且 q”的否定形式为“綈 p 或綈 q”．
【答案】 x≠0 或 y≠0
4．完成反证法证题的全过程． 题目：设 a1，a2，„，a7 是由数字 1,2，„，7 任意排成的一个数列，求证： 乘积 p＝(a1－1)(a2－2)„(a7－7)为偶数． 证明：假设 p 为奇数，则________ 均为奇数． 因奇数个奇数之和为奇数，故有 奇数＝________________ ＝________________ ＝0. 但奇数≠偶数，这一矛盾说明 p 为偶数．
5．若 a，b，c 互不相等，证明：三个方程 ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝ 0，cx2＋2ax＋b＝0 至少有一个方程有两个相异实根．
【证明】 假设三个方程中都没有两个相异实根， 则 Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0. 相加得 a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－ a)2≤0，∴a＝b＝c.这与 a，b，c 互不相等矛盾． ∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．
【解析】 由假设 p 为奇数可知 a1－1，a2－2，„，a7－7 均为奇数，故(a1 －1)＋(a2－2)＋„＋(a7－7)＝(a1＋a2＋„＋a7)－(1＋2＋„＋7)＝0 为奇数， 这与 0 为偶数矛盾． 【答案】 a1－1，a2－2，„，a7－7 (a1－1)＋(a2－2)＋„＋(a7－7) (a1＋a2＋„＋a7)－(1＋2＋„＋7)
应用反证法常见的“结论词”与“反设词” 当命题中出现“至多”“至少”等词语时， 直接证明不易入 手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论 词”与“反设词”如下：
结论词 至少有一个 至多有一个
反设词 一个也没有 至少有两个
结论词 对所有 x 成立 对任意 x 不成立 p或q p且q
【证明】 假设 a，b，c，d 都是非负数， 因为 a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1. 又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd， 所以 ac＋bd≤1， 这与已知 ac＋bd>1 矛盾， 所以 a，b，c，d 中至少有一个是负数．
[ 探究共研型]反证法解题的实质是什么？ 【提示】 否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确．
已知直线 m 与直线 a 和 b 分别交于 A，B 两点，且 a∥b.求证：过 a， b，m 有且只有一个平面． 【精彩点拨】 “有且只有”表示“存在且唯一”，因此在证明时，要分 别从存在性和唯一性两方面来考虑．
【自主解答】 因为 a∥b， 所以过 a，b 有一个平面 α. 又因为 m∩a＝A，m∩b＝B， 所以 A∈a，B∈b， 所以 A∈α，B∈α. 又因为 A∈m，B∈m，所以 m⊂α，
[ 质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
[ 小组合作型]
利用反证法证明否定性命题
(1)用反证法证明：“若方程 ax2＋bx＋c＝0，且 a，b，c 都是奇数， 则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根 x0 为( A．整数 C．自然数或负整数 B．奇数或偶数 D．正整数或负整数 b， )
(2)已知三个正整数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数列，求证： a， c不成等差数列．
[ 再练一题] 3．若函数 f(x)在区间[ a，b] 上的图象连续，且 f(a)<0，f(b)>0，且 f(x)在[ a， b] 上单调递增，求证： f(x)在(a，b)内有且只有一个零点． 【证明】 由于 f(x)在[ a，b] 上的图象连续，且 f(a)<0， f(b)>0，即 f(a)· f(b)<0，
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)反证法属于间接证明问题的方法．( ) )
(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．( (3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．(
【答案】 (1)√ (2)× (3)√
)
2．已知平面 α∩平面 β＝直线 a，直线 b⊂α，直线 c⊂β，b∩a＝A，c∥a， 求证：b 与 c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假设__________． 【解析】 ∵空间中两直线的位置关系有 3 种：异面、平行、相交，∴应 假设 b 与 c 平行或相交． 【答案】 b 与 c 平行或相交
2．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的 是( ) A．三个内角中至少有一个钝角 B．三个内角中至少有两个钝角 C．三个内角都不是钝角 D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角 【解析】 “至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至
少有两个”． 【答案】 B
3．“x＝0 且 y＝0”的否定形式为________．
正确的推理，最后得出矛盾，因此说明___________ 假设错误 ，从而证明了________ 原命题 成立， 这种证明方法叫做反证法． 2．反证法常见的矛盾类型
已知条件 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与___________ 假设 矛盾，或与__________________ 定义、公理、定理 、事实矛盾等． 矛盾，或与_____
【证明】 假设数列{Sn}是等比数列，则 S2 2＝S1S3，
2 2 即 a2 (1 ＋ q ) ＝ a · a (1 ＋ q ＋ q )， 1 1 1
因为 a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2， 即 q＝0，这与公比 q≠0 矛盾． 所以数列{Sn}不是等比数列．
利用“反证法”“证明”“至少” “至多”等存在性命题
1．用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有 “ 不 ”“ 不是 ”“ 不可能 ”“ 不存在 ” 等词语的命题称 为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适 合使用反证法． 2．反证法证明问题的一般步骤
[ 再练一题] 1．(2016· 晋州高二检测)设数列{an}是公比为 q 的等比数列，Sn 是它的前 n 项和．求证：数列{Sn}不是等比数列．
[ 构建· 体系]
1．“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”的否定正确的为( A．a，b，c 都是奇数 B．a，b，c 都是偶数 C．a，b，c 中至少有两个偶数
)
D．a，b，c 中都是奇数或至少有两个偶数 【解析】 自然数 a，b，c 的奇偶性共有四种情形：(1)3 个都是奇数；(2)2
个奇数，1 个偶数；(3)1 个奇数，2 个偶数；(4)3 个都是偶数，所以否定正确的 是 a，b，c 中都是奇数或至少有两个偶数． 【答案】 D
所以 f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为 m，则 f(m)＝0. 假设 f(x)在(a，b)内还存在另一个零点 n，即 f(n)＝0，则 n≠m. 若 n>m，则 f(n)>f(m)，即 0>0，矛盾； 若 n<m，则 f(n)<f(m)，即 0<0，矛盾． 因此假设不正确，即 f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
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高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课件1 新人教B版选修2-2
否定结论——推出矛盾——肯定结论， 即分三个步骤：反设—归谬—存真
反设——假设命题的结论不成立； 归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理， ````````得出矛盾；
存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立。
用反证法证明命题的过程用框图表示为：
肯定条件 否定结论
导致
反设
逻辑矛盾K12课件 不成立
K12课件
2
思考？
（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只 鸽子在同一只鸽笼，对吗？
（2）A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C 说A、B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则A、B都撒谎.
由A撒谎, 知B没有撒谎.
这与B撒谎矛盾.
那么假设C没有撒谎不成立,
则C必定是在撒谎.
K12课件
11
2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反 证 法
K12课件
1
复习 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法
2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法 已知条件 结论 由因导果
分析法 结论 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
三个步骤：反设—归谬—存真
归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
K12课件
10
归纳总结：
哪些命题适宜用反证法加以证明？
（1）直接证明有困难 （2）否定性命题 （3）唯一性命题 （4）至多，至少型命题
正难则反!
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”
K12课件
反设——假设命题的结论不成立； 归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理， ````````得出矛盾；
存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立。
用反证法证明命题的过程用框图表示为：
肯定条件 否定结论
导致
反设
逻辑矛盾K12课件 不成立
K12课件
2
思考？
（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只 鸽子在同一只鸽笼，对吗？
（2）A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C 说A、B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则A、B都撒谎.
由A撒谎, 知B没有撒谎.
这与B撒谎矛盾.
那么假设C没有撒谎不成立,
则C必定是在撒谎.
K12课件
11
2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反 证 法
K12课件
1
复习 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法
2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法 已知条件 结论 由因导果
分析法 结论 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
三个步骤：反设—归谬—存真
归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
K12课件
10
归纳总结：
哪些命题适宜用反证法加以证明？
（1）直接证明有困难 （2）否定性命题 （3）唯一性命题 （4）至多，至少型命题
正难则反!
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”
K12课件
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课件 新人教B版选修2-2.pptx
c不成等差数列.
10 证明
反思与感悟
对某些结论为肯定形式或者否定命题的证明，从正面突破较困难时， 可用反证法.通过反设将肯定命题转化为否定命题或否定命题转化为肯 定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达 到证题的目的.
13
跟踪训练1 已知正整数，a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证a，b，c不可 能都是奇数. 证明 假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数. 左边＝奇数＋奇数＝偶数，右边＝奇数，得偶数＝奇数，矛盾. ∴假设不成立，∴a，b，c不可能都是奇数.
原结论词 至少有一个 至多有一个 至少有n个
至多有n个
反设词
一个也没有 至少有两个 至多有n－1个
(不存在)
至少有n＋1个
17
跟踪训练2 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋c， y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴 有两个不同的交点.
思考1
本故事中王戎运用了什么论证思想？ 答案 运用了反证法思想.
5 答案
思考2
反证法解题的实质是什么？ 答案 否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确.
6 答案
梳理
(1)反证法的概念 一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个 真命题 矛盾，从而判定 綈q 为假，推出q 为真的方法，叫做反证法. (2)反证法常见的几种矛盾 ①与假设矛盾； ②与 数学公理 、定理、公式、定义或 已被证明了的结论 矛盾； ③与 公认的简单事实 矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾).
22 证明
当堂训练
23
1.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设 A.三角形中至少有一个直角或钝角
10 证明
反思与感悟
对某些结论为肯定形式或者否定命题的证明，从正面突破较困难时， 可用反证法.通过反设将肯定命题转化为否定命题或否定命题转化为肯 定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达 到证题的目的.
13
跟踪训练1 已知正整数，a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证a，b，c不可 能都是奇数. 证明 假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数. 左边＝奇数＋奇数＝偶数，右边＝奇数，得偶数＝奇数，矛盾. ∴假设不成立，∴a，b，c不可能都是奇数.
原结论词 至少有一个 至多有一个 至少有n个
至多有n个
反设词
一个也没有 至少有两个 至多有n－1个
(不存在)
至少有n＋1个
17
跟踪训练2 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋c， y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴 有两个不同的交点.
思考1
本故事中王戎运用了什么论证思想？ 答案 运用了反证法思想.
5 答案
思考2
反证法解题的实质是什么？ 答案 否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确.
6 答案
梳理
(1)反证法的概念 一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个 真命题 矛盾，从而判定 綈q 为假，推出q 为真的方法，叫做反证法. (2)反证法常见的几种矛盾 ①与假设矛盾； ②与 数学公理 、定理、公式、定义或 已被证明了的结论 矛盾； ③与 公认的简单事实 矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾).
22 证明
当堂训练
23
1.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设 A.三角形中至少有一个直角或钝角
高中数学选修2-2课件2.2.2《反证法》课件
反证法的思维方法：
正难则反
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成------立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -----论正确 归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
例1：用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾,
例4 如图2.2 2,AB,CD为圆
的两条相交弦,且不全为直径. A
D
求证 AB,CD不能互相平分.
动画演示.
C
B
证明 假设AB,CD互相平分,
图2.2 2
则ACBD为平行四边形,故ACB ADB,
CAD CBD. 因为ABCD为圆内接四边形,所以
ACB ADB 180 0,CAD CBD 180 0.
指有面额的那面.
上述现 象可以用直 接证明的方 法解释, 但是, 我们这 里采用反证法.
假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上. 由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上,都需要 翻转奇数次,所以3枚硬币全部反面朝上时,需要
翻转3个奇数之和次,即要翻转奇数次.
但由于每次用双手同时翻转2枚硬币,3枚硬币被
翻转的次数只能是2 的倍数,即偶数次.这个矛盾
说明假设错误,原结论正确,即无论怎样翻转都不
正难则反
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成------立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -----论正确 归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
例1：用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾,
例4 如图2.2 2,AB,CD为圆
的两条相交弦,且不全为直径. A
D
求证 AB,CD不能互相平分.
动画演示.
C
B
证明 假设AB,CD互相平分,
图2.2 2
则ACBD为平行四边形,故ACB ADB,
CAD CBD. 因为ABCD为圆内接四边形,所以
ACB ADB 180 0,CAD CBD 180 0.
指有面额的那面.
上述现 象可以用直 接证明的方 法解释, 但是, 我们这 里采用反证法.
假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上. 由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上,都需要 翻转奇数次,所以3枚硬币全部反面朝上时,需要
翻转3个奇数之和次,即要翻转奇数次.
但由于每次用双手同时翻转2枚硬币,3枚硬币被
翻转的次数只能是2 的倍数,即偶数次.这个矛盾
说明假设错误,原结论正确,即无论怎样翻转都不
2.2.2反证法课件人教新课标2
活动与探究
1.反证法证明时常见的矛盾有哪些?
答:(1)与已知条件矛盾;(2)与假设矛盾;(3)与公认的事实矛盾;(4)与
数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾.
2.可用反证法证明的题型有哪些?
答:(1)一些基本命题、基本定理;
(2)易导出与已知矛盾的命题;
(3)“否定性”命题;
(4)“唯一性”命题;
的两个实根.
因为 α≠β,不妨设 α<β,又因为函数 f(x)在[a,b]上是增函数,
所以 f(α)<f(β).
这与假设 f(α)=0=f(β)矛盾,
所以方程 f(x)=0 在区间[a,b]上至多有一个实根.
方法点拨:“至多”“至少”问题,从正面处理,情况多而复杂,若用反
证法从反面处理会简化解决问题的过程.
设 α 和 β 相交于过点 A 的直线 c.
∵a⊥α,c⊂ α,∴a⊥c.
同理可得 b⊥c.
这样在平面 β 内,过点 A 就有两条直线垂直于 c,
这与平面内过直线上一点只能作一条该直线的垂线矛盾,故假设
错误,
从而这样的直线 a 是唯一的.
2.2.2
问题导学
反证法
当堂检测
一
二
课前预习导学
课堂合作探索
辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.这个过程包括下面三
个步骤:
(1)反设——假设命题的结论不成立,即假设原结论的反面为真;
(2)归谬——由“反设”作为条件,经过一系列正确的推理,得出矛盾;
(3)存真——由矛盾结果断定反设错误,从而肯定原结论成立.
即反证法的证明过程可以概括为:反设——归谬——存真.
一
二
课前预习导学
1.反证法证明时常见的矛盾有哪些?
答:(1)与已知条件矛盾;(2)与假设矛盾;(3)与公认的事实矛盾;(4)与
数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾.
2.可用反证法证明的题型有哪些?
答:(1)一些基本命题、基本定理;
(2)易导出与已知矛盾的命题;
(3)“否定性”命题;
(4)“唯一性”命题;
的两个实根.
因为 α≠β,不妨设 α<β,又因为函数 f(x)在[a,b]上是增函数,
所以 f(α)<f(β).
这与假设 f(α)=0=f(β)矛盾,
所以方程 f(x)=0 在区间[a,b]上至多有一个实根.
方法点拨:“至多”“至少”问题,从正面处理,情况多而复杂,若用反
证法从反面处理会简化解决问题的过程.
设 α 和 β 相交于过点 A 的直线 c.
∵a⊥α,c⊂ α,∴a⊥c.
同理可得 b⊥c.
这样在平面 β 内,过点 A 就有两条直线垂直于 c,
这与平面内过直线上一点只能作一条该直线的垂线矛盾,故假设
错误,
从而这样的直线 a 是唯一的.
2.2.2
问题导学
反证法
当堂检测
一
二
课前预习导学
课堂合作探索
辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.这个过程包括下面三
个步骤:
(1)反设——假设命题的结论不成立,即假设原结论的反面为真;
(2)归谬——由“反设”作为条件,经过一系列正确的推理,得出矛盾;
(3)存真——由矛盾结果断定反设错误,从而肯定原结论成立.
即反证法的证明过程可以概括为:反设——归谬——存真.
一
二
课前预习导学
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课件1 a选修22a高二选修22数学课件
2.2.2 反证法
2021/12/8
第一页，共三十六页。
知识点 反证法 提出问题
著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小 朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结 满了李子，小朋友们一哄而上，去摘李子，独有王戎 没动．等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的．
2021/12/8
第二页，共三十六页。
(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论
的反面为真；
(2)归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的
推理，得出矛盾；
2021/12/8
第十二页，共三十六页。
(3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原 结论成立．
即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬 ——存真．
2021/12/8
么 a，b 至少有 1 个能被 5 整除”，则假设的内容是( )
A．a，b 都能被 5 整除 B．a，b 都不能被 5 整除
C．a 不能被 5 整除
D．a，b 有 1 个不能被 5 整除
2021/12/8
第二十七页，共三十六页。
【解析】用反证法只否定结论即可，而“至少有 一个”的反面是“一个也没有”，故 B 正确. 【答案】B
内容 总结 (nèiróng)
2.2.2 反证法
No
Image
12/8/2021
第三十六页，共三十六页。
2021/12/8
第三十二页，共三十六页。
5．若下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋ a2＝0，x2＋2ax－2a＝0 中至少有一个方程有实根，试求 实数 a 的取值范围．
2021/12/8
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解：若三个方程均无实根，
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知识点 反证法 提出问题
著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小 朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结 满了李子，小朋友们一哄而上，去摘李子，独有王戎 没动．等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的．
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第二页，共三十六页。
(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论
的反面为真；
(2)归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的
推理，得出矛盾；
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第十二页，共三十六页。
(3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原 结论成立．
即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬 ——存真．
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么 a，b 至少有 1 个能被 5 整除”，则假设的内容是( )
A．a，b 都能被 5 整除 B．a，b 都不能被 5 整除
C．a 不能被 5 整除
D．a，b 有 1 个不能被 5 整除
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【解析】用反证法只否定结论即可，而“至少有 一个”的反面是“一个也没有”，故 B 正确. 【答案】B
内容 总结 (nèiróng)
2.2.2 反证法
No
Image
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5．若下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋ a2＝0，x2＋2ax－2a＝0 中至少有一个方程有实根，试求 实数 a 的取值范围．
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解：若三个方程均无实根，
《反证法》人教版高中数学选修1-2PPT课件(第2.2.2课时)
知识要点
反证法主要适用于以下两种情形： (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰. (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很 少的几种情形.
知识要点
用反证法证题时,应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的.
矛盾
所以 _假__设__不__成__立 ,即求证的命题正确. 命题成立
l3
P
l1
l2
知识要点
反证法的步骤 一、提出假设 假设待证命题不成立，或是命题的反面成立. 二、推理论证 以假设为条件，结合已知条件推理，得出与已知条件或是正确命题相矛盾的结论. 三、得出矛盾 这与“......”相矛盾. 四、结论成立 所以假设不成立，所求证的命题成立.
∴ ∠ 1 =∠ 2 =∠3(两直线平行，同位角相等) ∴ l 3∥ l2（同位角相等，两直线平行 ） 归纳
l1
l１
l2
P 2
l1
3
请同学们自己比较两种证明方法的各自特点，从中体验反证法的思考过程和特点.
新知探究
结合我们讲过的例子，我们可以得到什么？
思考
由上面的例子可以看出，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件 矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
知识要点
宜用反证法证明的题型
（1）以否定性判断作为结论的命题； （2）某些定理的逆命题； （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等.
(人教A版)数学【选修2-2】2-2-2《反证法》ppt课件
规律技巧 用反证法证明“至多”“至少”型命题，可减 少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什 么，避免出现错误．需仔细体会“至多有一个”“至少有一 个”的含义.
三 用反证法证明否定性命题 【例3】 求证抛物线上任取四点所组成的四边形不可能
是平行四边形．
已知：如图所示，A，B，C，D是抛物线y2＝2px(p>0)上的 任意四点，其坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4， y4)．连接AB，BC，CD，DA.
答案 D
3．求证：如果a>b>0，那么n
n a>
b(n∈N，且n>1)．
证明 假设n a不大于n b，则n a＝n b，或n a<n b.
当n a＝n b时，则有a＝b. 这与a>b>0相矛盾．
当n
n a<
b时，则有a<b，
这也与a>b相矛盾．
所以n
a>
b.
4．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋
求证：四边形ABCD不可能是平行四边形． 【分析】 解答本题的关键在于通过假设，根据平行四边 形对边所在直线的斜率相等，推出结论与已知条件相矛盾，从 而肯定原命题正确．
【证明】 由题意得，直线AB的斜率为 kAB＝xy22－－xy11＝y12＋py2，同理kBC＝y32＋py2， kCD＝y42＋py3，kDA＝y12＋py4. 假设四边形ABCD为平行四边形，则有kAB＝kCD，kBC＝kDA. 即有yy23＋ ＋yy12＝ ＝yy31＋ ＋yy44， ，① ② 由①－②，得y1－y3＝y3－y1，
π 2
，b＝y2－2z＋
π3，c＝z2－2x＋6π.
高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法课件新人教B版选修22
第二十八页，共28页。
手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论
词”与“反设词”如下：
结论词
反设词
至少有一个 一个也没有
至多有一个 至少有两个
至少有 n 个 至多有 n－1 个
结论词
反设词
对所有 x 成立 存在某个 x0 不成立 对任意 x 不成立 存在某个 x0 成立
p或q
綈 p 且綈 q
至多有 n 个 至少有 n＋1 个
第二十一页，共28页。
[构建·体系]
第二十二页，共28页。
1．“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”的否定正确的为( ) A．a，b，c 都是奇数 B．a，b，c 都是偶数 C．a，b，c 中至少有两个偶数 D．a，b，c 中都是奇数或至少有两个偶数 【解析】 自然数 a，b，c 的奇偶性共有四种情形：(1)3 个都是奇数；(2)2 个奇数，1 个偶数；(3)1 个奇数，2 个偶数；(4)3 个都是偶数，所以否定正确的 是 a，b，c 中都是奇数或至少有两个偶数． 【答案】 D
第三页，共28页。
2．常见的几种矛盾 (1)与假设矛盾； (2)与__________、定理、公式、定义或____________矛盾； (3)与______________矛盾(例如，导出 0＝1,0≠0 之类的矛盾)． 【答案】 1．假设 真命题 綈 q 为假 q 为真 2．(2)数学公理 已被证明了的结论 (3)公认的简单事实
p且q
綈 p 或綈 q
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[再练一题] 2．已知 a，b，c，d∈R，且 a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c， d 中至少有一个是负数． 【证明】 假设 a，b，c，d 都是非负数， 因为 a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1. 又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd， 所以 ac＋bd≤1， 这与已知 ac＋bd>1 矛盾， 所以 a，b，c，d 中至少有一个是负数．
手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论
词”与“反设词”如下：
结论词
反设词
至少有一个 一个也没有
至多有一个 至少有两个
至少有 n 个 至多有 n－1 个
结论词
反设词
对所有 x 成立 存在某个 x0 不成立 对任意 x 不成立 存在某个 x0 成立
p或q
綈 p 且綈 q
至多有 n 个 至少有 n＋1 个
第二十一页，共28页。
[构建·体系]
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1．“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”的否定正确的为( ) A．a，b，c 都是奇数 B．a，b，c 都是偶数 C．a，b，c 中至少有两个偶数 D．a，b，c 中都是奇数或至少有两个偶数 【解析】 自然数 a，b，c 的奇偶性共有四种情形：(1)3 个都是奇数；(2)2 个奇数，1 个偶数；(3)1 个奇数，2 个偶数；(4)3 个都是偶数，所以否定正确的 是 a，b，c 中都是奇数或至少有两个偶数． 【答案】 D
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2．常见的几种矛盾 (1)与假设矛盾； (2)与__________、定理、公式、定义或____________矛盾； (3)与______________矛盾(例如，导出 0＝1,0≠0 之类的矛盾)． 【答案】 1．假设 真命题 綈 q 为假 q 为真 2．(2)数学公理 已被证明了的结论 (3)公认的简单事实
p且q
綈 p 或綈 q
第十五页，共28页。
[再练一题] 2．已知 a，b，c，d∈R，且 a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c， d 中至少有一个是负数． 【证明】 假设 a，b，c，d 都是非负数， 因为 a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1. 又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd， 所以 ac＋bd≤1， 这与已知 ac＋bd>1 矛盾， 所以 a，b，c，d 中至少有一个是负数．
2.2.2-反证法-课件
∴ {cn}不是等比数列 .
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第二章
推理与证明
【名师点评】
(1)当结论为否定形式的命题时 ,通过反设 ,
转化为肯定性命题 .可作为条件应用进行推理 ,因此对此类 问题用反证法很方便 . (2)用反证法证明问题的一般步骤: ①假设命题的结论不成立 ,即假设结论的反面成立 ; ②从这个假设出发 ,经过推理论证 ,得出矛盾; ③从矛盾判定假设不正确 ,从而肯定命题的结论正确 .
跟踪训练
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第二章
推理与证明
知能演练轻松闯关
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第二章
推理与证明
本部分内容讲解结束
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第二章
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例1 设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列 ,cn＝an＋bn,
证明:数列 {cn}不是等比数列 .
【证明】 假设 {cn}是等比数列 , 则当 n≥ 2 时 ,(an＋ bn)2＝ (an－1＋bn－ 1)· (an＋1＋bn＋ 1). 2 ∴ a2 ＋ 2 a b ＋ b n n n n ＝ an－ 1an＋ 1＋ an－ 1bn＋1＋bn－ 1an＋ 1＋bn－1bn＋ 1. 设 {an},{bn}的公比分别为 p,q(p≠ q).
2.2.2反证法课件人教新课标4
2
，b=y2-2z+ 3
，c=z2-
2x+
6
，求证:a，b，c中至少有一个大于0.
【解题探究】1.题(1)中“至少有两个钝角”的含义是什么？ 2.题(2)中a，b，c有什么特点？怎样应用这些特点？ 【探究提示】1.“至少有两个钝角”的含义是“有两个钝角或两 个以上钝角”，即钝角的个数大于等于2.
(2)用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不 是反证法.用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有 一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情 况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结 论成立. (3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在 性和唯一性.
结论词 至少有一个
至多有一个 至少有n个 至多有n个
反设词 一个也没有
至少有两个 至多有n-1个 至少有n+1个
结论词 对所有x
成立 对任意x 不成立
p或q p且q
反设词
存在某个 x0不成立 存在某个
x0成立 p且q p或q
【变式训练】已知a，b，c是互不相等的实数，求证:由 y1=ax2+2bx+c，y2=bx2+2cx+a和y3=cx2+2ax+b确定的三条抛物线 至少有一条与x轴有两个不同的交点.
证明.
(2)用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b
至少有一个能被5整除”，则假设的内容是
.
【解析】(1)当直接证明比较困难时，可以采用反证法，本题即 属于此类型，需用反证法证明比较合适. 答案:反证法 (2)“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即a，b至少有一 个能被5整除的否定是a，b都不能被5整除. 答案:a，b都不能被5整除