宜宾市2020届高三年级“一诊”数学理科试卷附答案详析
2
5
18.解：（1）∵ Sn 2an 2 ，当 n 1 时 S1 2a1 2 ∴ a1 2
当 n 2 时 Sn 2an 2 ， Sn1 2an1 2
两式相减得 an 2an 2an1 (n 2)
an 2an1 n 2 a1 2 0
宜宾市 2020 届高三年级“一诊”数学理科试卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合U {1, 2,3, 4,5, 6} ， A {1,3, 4} ，则 ðU A A．{5,6} B．{1, 2, 3, 4} C．{2,5, 6} D．{2,3, 4,5,6}
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案 C
A
D
D
B
A
C
A
B
A
C
D
二、填空题
13．14 14． , 2 2ln 2
15． 2 10
16． 4 注：写成单元数集才给分
三、解答题
3 x2 1 3ax 4
3 x 1 3a 4x 3x 1 3
4x 3a 3 a 3
3 （II） f (2) 3 6a b 0
f (2) 2 6a 2b 2a 2 0
解得
a b
2 9
或
a b
（II）某职工日行步数
ω
=
157(百步)
，
ε=
157-126.5 126.5
×100
≈
24
职工获得三次抽奖机会
设职工中奖次数为 X
个方案？
21 ．（12 分） 已知函数 f (x) ln x ax .
（1）讨论 f (x) 在其定义域内的单调性； （2）若 a 1，且 f (x1) f (x2 ) ，其中 0 x1 x2 ,求证： x1 x2 x1x2 3 .
3
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
an an1
2
n
2 ∴ an是以首项为 2 ，公比为 2 的等比数列
an 2n ....................6 分
（2）由（1）知 bn (2n 1)2n
Tn 1 2 3 22 5 23 (2n 3) 2n1 (2n 1) 2n
ABCD
7．设曲线
f
(x)
1 cos sin x
x
在
x
=
π 3
处的切线与直线
y
ax
1 平行，则实数
a
等于
A． 1
B． 2 3
C． 2
D． 2
8 ．“关注夕阳，爱老敬老”，某企业从 2012 年开始每年向敬老院捐赠物资和现金，下表记录了该企业第 x 年（2012 年是第一年）捐赠的现金数 y （万元）：
{ } 13 ．在等差数列 an 中，若 a1 = 2 ， a2 + a3 = 10 ，则 a7 = .
14 ．若函数 f (x) = ex -x2 -ax 在区间（0, + ）单调递增，则 a 的取值范围是.
15 ．在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 ABC 的面积为 4 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ b 4, BA AC 8 ，则 a .
宜宾市高 2017 级一诊考试题数学（理工类）参考答案
说明：
一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响 的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错 误，就不再给分．
记职工个人每日步行数为 ω，其超过平均值 μ 的百分数 ε= ω-μ ×100 ，若 ε (0,10] ，职工获得一次抽奖机 μ
会；若 ε (10, 20] ，职工获得二次抽奖机会；若 ε (20,30] ，职工获得三次抽奖机会；若 ε (30, 40] ，职工获 得四次抽奖机会；若 ε 超过 50 ，职工获得五次抽奖机会．设职工获得抽奖次数为 n ．
3 （1）若 sin C 1 ， a c 10 ，求 c ；
5
（2）若 a 4 ， c 5 ，求 ABC 的面积 S .
18 ．（12 分）
已知数列 an的前 n 项和为 Sn ，满足 Sn 2an 2 ． （1）求数列 an的通项公式； （2）设 bn (2n 1)an ,求数列 bn的前 n 项和 Tn ．
23．（10 分）[选修 4-5：不等式选讲] 已知函数 f (x) x 2 t,t R ， g(x) x 3 . （1） x R ，有 f (x) g(x) ，求实数 t 的取值范围；
（2）若不等式 f (x) 0 的解集为 1,3，正数 a、b 满足 ab 2a b 2t 2 ，求 a 2b 的最小值.
2Tn 1 22 3 23 5 24 (2n 3) 2n (2n 1) 2n1 两式相减得
Tn 2 2 （22 23 2n1） (2n 1) 2n
5
Tn
2
23
(1 2n1) 1 2
(2n
（2）由余弦定理可得， cos A b2 c2 a2 ，即 3 b2 5 16 ,5b2 6 5b 55 0
2bc
5 2 5b
得 b 11 5 …………………………………………………………10 分 5
则 S 1 bc sin A 22 …………………………………………………………12 分
1 3
当 a 1,b 3 时 f (x) 3 (x 2)2 0 ，函数无极值； 4
a 2,b 9, a b 11
20.（I） a 0.012,b 0.010 ， μ = 125.6 ...........................................4 分
3
3
sin B 0,cos A 3 ，则 sin A 4 …………………………………3 分
5
5
由正弦定理得， a sin A 4 ，即 a 4c ，……………………………………………5 分 c sin C
联立 a c 10 ，得 c 2 …………………………………………………………………6 分
4
17．解：（1） a cos C (5 b c) cos A,sin Acos C (5 sin B sin C) cos A ……………1 分
3
3
sin Acos C cos Asin C 5 sin B cos A ， 5 sin B cos A sin( A C) sin B ………………2 分
22．（10 分）[选修 4-4：坐标系与参数方程]
如图，在极坐标系
Ox
中，以
C1
(1,
π 2
)
和
C2
(2,
3π 2
)
为圆心的两
点
O
，射线
OA，OB
的夹角为
π 3
，分别交
C1
于
O、A
两点，交
C2
两点．
（1）写出 C1 与 C2 的极坐标方程；
（2）求 OAB 面积最大值．
第 20 题图
圆外切于 于 O、B
16 ．若函数 f (x) x a －a 在区间 0, 2 上为减函数，则满足条件的 a 的集合是.
x 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17－21 题为必考题，每个试题考生都 必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分. 17 ．（12 分） 在 ABC 中，a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边，满足 a cos C (5 b c) cos A .
P | O P O A O B , 2, , R 所表示的区域的面积是.
2 ， OA OB 1 ， 则 点 集
A． 4 2 B． 4 3 C． 6 2 D． 8 3 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。
1) 2n1
2n2
6
(2n
1) 2n1
(2n
3)2n1
6
Tn (2n 3)2n1 6
...........................................12 分
19. f (x) 3 x2 3ax b 4
（I） f (x) 3 x2 3ax 1 0 4
20．（12 分）
手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计职工一天行走步数（单位：百步）得到如下频率分布直方图：
由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为 125 （百步），其中同一组中的数据用该组区间的中
点值为代表． （1）试计算图中的 a、b 值，并以此估计该单位职工一天行走步数的平均值 μ ； （2）为鼓励职工积极参与健康步行，该单位制定甲、乙两套激励方案：
四川省宜宾市高考数学一诊试卷(理科)解析版
高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，4}，则∁U A=（）A. {5，6}B. {1，2，3，4}C. {2，5，6}D. {2，3，4，5，6}2.已知i是虚数单位，复数m+1+（2-m）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A. （-∞，-1）B. （-1，2）C. （2，+∞）D. （-∞，-1）∪（2，+∞）3.已知向量，且，则实数m=（）A. -4B. 4C. ±2D. ±44.展开式中的常数项是（）A. 189B. 63C. 42D. 215.已知，则（）A. b＜c＜aB. c＜b＜aC. c＜a＜bD. b＜a＜c6.函数f（x）=的图象大致是（）A. B.C. D.7.设曲线在处的切线与直线y=ax+1平行，则实数a等于（）A. -1B.C. -2D. 28.“关注夕阳，爱老敬老”，某企业从2012年开始每年向敬老院捐赠物资和现金，x2012y若由表中数据得到y关于x的线性回归方程是，则可预测2019年捐赠的现金大约是（）A. 5.95万元B. 5.25万元C. 5.2万元D. 5万元9.执行如图所示的程序框图，如果输入n=2019，则输出的S=（）A.B.C.D.10.若9人已按照一定顺序排成三行三列的方阵，从中任选3人，则至少有两人位于同行或同列的概率是（）A. B. C. D.11.已知，函数f（x）=sin（2ωx+）在区间内没有最值，则ω的取值范围（）A. B. C. D.12.在平面直角坐标系中，O是坐标原点，若两定点A，B满足，，则点集所表示的区域的面积是．（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在等差数列{a n}中，若a1=2，a2+a3=10，则a7=______．14.若函数f（x）=e x-x2-ax在区间（0，+∞）单调递增，则a的取值范围是______．15.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知△ABC的面积为4，，则a=______．16.若函数在区间（0，2）上为减函数，则满足条件的a的集合是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足．（1）若，a+c=10，求c；（2）若a=4，，求△ABC的面积S．18.已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n-2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（2n-1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．19.已知函数．（1）若b=1，当x＞0时，f（x）的图象上任意一点的切线的斜率都非负，求证：a≥；（2）若f（x）在x=-2时取得极值0，求a+b．20.手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计职工一天行走步数（单位：百步）得到如下频率分布直方图：由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为125（百步），其中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表．（1）试计算图中的a、b值，并以此估计该单位职工一天行走步数的平均值；（2）为鼓励职工积极参与健康步行，该单位制定甲、乙两套激励方案：记职工个人每日步行数为ω，其超过平均值的百分数，若ε∈（0，10]，职工获得一次抽奖机会；若ε∈（10，20]，职工获得二次抽奖机会；若ε∈（20，30]，职工获得三次抽奖机会；若ε∈（30，40]，职工获得四次抽奖机会；若ε超过50，职工获得五次抽奖机会．设职工获得抽奖次数为n．方案甲：从装有1个红球和2个白球的口袋中有放回的抽取n个小球，抽得红球个数及表示该职工中奖几次；方案乙：从装有6个红球和4个白球的口袋中无放回的抽取n个小球，抽得红球个数及表示该职工中奖几次；若某职工日步行数为15700步，试计算他参与甲、乙两种抽奖方案中奖次数的分布列．若是你，更喜欢哪个方案？21.已知函数f（x）=ln x-ax．（1）讨论f（x）在其定义域内的单调性；（2）若a=1，且f（x1）=f（x2），其中0＜x1＜x2，求证：x1+x2+x1x2＞3．22.如图所示，“8”是在极坐标系Ox中分别以和为圆心，外切于点O的两个圆．过O作两条夹角为的射线分别交⊙C1于O、A两点，交⊙C2于O、B两点．（1）写出⊙C1与⊙C2的极坐标方程；（2）求△OAB面积最大值．23.已知函数f（x）=|x-2|-t，t∈R，g（x）=|x+3|．（1）x∈R，有f（x）≥g（x），求实数t的取值范围；（2）若不等式f（x）≤0的解集为[1，3]，正数a、b满足ab-2a-b=2t-2，求a+2b的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了补集及其运算，是基础题.根据全集U，以及A，求出A的补集即可．【解答】解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，4}，∴∁U A={2，5，6}．故选C.2.【答案】A【解析】解：∵复数m+1+（2-m）i在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得m＜-1．∴实数m的取值范围是（-∞，-1）．故选：A．由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题．3.【答案】D【解析】解：∵，∴=4+m2-16-4=0，解得m=±4．故选：D．根据即可得出，进行数量积和数量积的坐标运算即可求出m．本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积和数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：展开式的通项公式为：T r+1=•（3x3）7-r•=•37-r•，令21-=0，解得r=6；所以展开式中的常数项是T7=•3=21．故选：D．利用二项式展开式的通项公式，即可求出展开式中的常数项．本题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题．5.【答案】A【解析】解：，，；∵3＜9＜16，在（0，+∞）上单调递增；∴；∴b＜c＜a．故选：A．容易得出，然后根据函数在（0，+∞）上的单调性即可得出a，b，c的大小关系．考查分数指数幂和对数的运算，以及幂函数的单调性，增函数的定义．6.【答案】A【解析】解：x=1时，f（x）=0，又x=时，f（x）=，故选：A．利用特殊点代入确定．本题考查了函数图象变换，是基础题7.【答案】C【解析】解：∵切线与直线y=ax+1平行，斜率为a，又y'==，所以切线斜率k=f′（）=-2，所以y=ax+1的斜率为-2，即a=-2．故选：C．利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程即得．此题主要考查导数的计算，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由表格中的数据求得，．∴样本点的中心的坐标为（4.5，3.5），代入，得3.5=4.5m+0.35，解得m=0.7．∴线性回归方程为，取x=8，得．故选：A．由已知求得样本点的中心的坐标，代入求得m，则线性回归方程可求，取x=8求得y值即可．本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．9.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=++…+的值，可得：S=++…+=×（1-）+×（-）+…+（-）=×（1-）=．故选：B．由已知中的程序语句可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=++…+的值，利用裂项法可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.【答案】A【解析】解：九个人排成三行三列的方阵，从中任选三人，共有取法=84三行三列的方阵中取三个数位于不同行不同列的取法有3!=6 种．所以，至少有两个数位于同行或同列的概率是P=1-=，故选：A．先求“三行三列的方阵中取三个数至少有两人位于同行或同列”的对立事件“三行三列的方阵中取三个数位于不同行不同列”包含的基本事件个数和基本事件总数，即可得到所求．本题考查了古典概型的概率，对立事件的概率性质，主要考查分析和解决问题的能力，以及推理转化能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：当f（x）取得最值时，2ωx+=+kπ，解得x=+，k∈Z；依题意得x=+∉（，），k∈Z；令+≤，k∈Z，解得ω≥+k，k∈Z；由题意知k=0时，ω≥；令+≥，k∈Z，解得ω≤+，k∈Z；当k=1时，ω≤；所以ω的取值范围是[，]．故选：C．f（x）取最值时2ωx+=+kπ，求出x的值，则x∉（，），由此列出不等式组求得ω的取值范围．本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．12.【答案】D【解析】解：∵=cos∠AOB=1，∴cos∠AOB=，即∠AOB=60°．（1）若λ＞0，μ＞0，设=2，=2，则=+，∵|λ|+|μ|=λ+μ≤2，故当λ+μ=2时，E，F，P三点共线，故点P表示的区域为△OEF，此时S△OEF==2．（2）若λ＜0，μ＞0，设=-2，=2，则=-+，∵|λ|+|μ|=-λ+μ≤2，故当-λ+μ=2时，P，E，F三点共线，故点P表示的区域为△OEF，此时S△OEF=sin120°=2．同理可得：当λ＞0，μ＜0时，P点表示的区域面积为2，当λ＜0，μ＜0时，P点表示的区域面积为2，综上，P点表示的区域面积为24=8．故选：D．讨论λ，μ的符号，根据三点共线原理分别求出4种情况下，P点表示的区域面积即可得出答案．本题考查了平面向量的基本定理，考查分类讨论思想，属于中档题．13.【答案】14【解析】解：依题意，a2+a3=10=2a1+3d=2×2+3d，∴d=2，∴a7=a1+6d=2+12=14，故答案为：14．根据题意，计算出公差d，即可得到所求．本题考查了等差数列的通项公式，考查等差数列的基本量的运算，考查计算能力，属于基础题．14.【答案】（-∞，2-2ln2]【解析】解：函数f（x）=e x-x2-ax在区间（0，+∞）单调递增，∴f′（x）=e x-2x-a≥0在区间（0，+∞）上恒成立，即a≤e x-2x在区间（0，+∞）上恒成立，令y=e x-2x其在（0，+∞）上单调递增，∴y′=e x-2，当y′=0时x=ln2，∴0＜x＜lm2时，y′＜0函数递减，x＞ln2时，y′＞0；函数递增∴y min=e ln2-2ln2=2-2ln2，∴a≤2-2ln2；故答案为：（-∞，2-2ln2]．等价于f′（x）≥0在区间（0，+∞）上恒成立，分离参数a后化为求函数的最值即可，利用函数的单调性易求最值．该题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数恒成立问题，考查转化思想，恒成立问题往往转化为函数最值解决．15.【答案】2【解析】解：由=8可得bc•cos（π-A）=8，即c•cos A=-2，①又S△ABC==4，即c•sin A=2，②由①②可得tan A=-1，故A=，c=2，∴a===2．故答案为：2．根据条件列方程组，求出c和A的值，再根据余弦定理求出a．本题考查了平面向量的运算，余弦定理，属于基础题．16.【答案】{4}【解析】解：①a＜0时，在（0，2）上是增函数，x趋向0时，g（x）趋向-∞；x趋向2时，g（x）趋向，∴f（x）在（0，2）上没有单调性，不合题意；②a=0时，f（x）=|x|在（0，2）上为增函数，不合题意；③a＞0时，在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，∴时，g（x）取得最小值，解得，a≥4，显然a＜4和a＞4时，都不满足f（x）在（0，2）上是减函数，只有a=4时满足f（x）在（0，2）上是减函数，∴满足条件的a的集合是{4}．故答案为：{4}．容易判断出a＜0和a=0时，都不满足题意，a＞0时，在（0，）上是减函数，在（，+∞）时是增函数，g（x）在（0，+∞）上的最小值为，解即可得出a≥4，从而可判断a=4时满足题意，从而得出满足条件的a的集合．本题考查了对函数的单调性的讨论，函数单调性的定义，函数在（0，+∞）上的单调性和最小值，分类讨论的思想，考查了计算和推理能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵，∴sin A cos C=（）cos A，化简得，因为sin B≠0，所以cos A=，sin A=，由正弦定理sin A：sin C=4：1=a：c，所以a=4c，又a+c=10，所以c=2；（2）由（1）知cos A=，sin A=，由余弦定理可得，cos A=，，得，得b=，则S=．【解析】（1）利用正弦定理，边化角，求出sin A，再求出c；（2）利用余弦定理求得b的一元二次方程，求出b，代入面积公式即可．考查了正弦定理和余弦定理的应用，解三角形，中档题．18.【答案】解：（1）∵S n=2a n-2，当n=1时，S1=2a1-2，∴a1=2当n≥2时，S n=2a n-2，S n-1=2a n-1-2两式相减得a n=2a n-2a n-1（n≥2），a n=2a n-1，n≥2．∵a1=2≠0，∴，n≥2．∴{a n}是以首项为2，公比为2的等比数列，∴．（2）由（1）知，，两式相减得，，∴．【解析】（1）S n=2a n-2，当n=1时，S1=2a1-2，可得a1．当n≥2时S n=2a n-2，S n-1=2a n-1-2，两式相减得a n=2a n-2a n-1（n≥2），利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）知，利用错位相减法即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：由题可得：．（1）因为b=1，当x＞0时，f（x）的图象上任意一点的切线的斜率都非负；所以；即转化为∵∴∴．（2）因为f（x）在x=-2时取得极值0；所以：f'（-2）=3-6a+b=0且f（-2）=-2+6a-2b+2a2=0解得当a=1，b=3时，函数无极值；∴a=2，b=9，a+b=11．【解析】（1）根据已知条件把所求问题转化为导函数f'（x）的值恒大于等于0，再分离参数结合基本不等式即可得到结论；（2）根据f'（2）=0以及f（2）=0即可求出a，b；注意一定要检验．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及导数的几何意义，同时考查了恒成立问题和转化的数学思想，是一道综合题，有一定的难度．20.【答案】解：（1）由题意得：，解得a=0.012，b=0.010，∴=60×0.002×20+80×0.006×20+100×0.008×20+120×0.012×20+140×0.010×20+160×0.008×20+180×0.002×20+200×0.002×20=125.6．（2）某职工日行步数ω=157（百步），≈25，∴职工获得三次抽奖机会，设职工中奖次数为X，在方案甲下，E（X）==1，在方案乙下E（X）==1.8，∴更喜欢方案乙．【解析】（1）利用频率分布直方图列出方程组，能求出a，b，由此能估计该单位职工一天行走步数的平均值．（2）某职工日行步数ω=157（百步），≈25，从而职工获得三次抽奖机会，设职工中奖次数为X，在方案甲下，求出E（X）=1，在方案乙下，Xr可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出E（X）=1.8，因而更喜欢方案乙．本题考查频率、平均数的求法，考查最佳方案的判断，考查频率分布直方图、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：（1）①当a≤0时，f'（x）＞0，则f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；②；，（2）由（1）得：当a=1时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴0＜x1＜1＜x2，将要证的不等式转化为，考虑到此时，x2＞1，，又当x∈（1，+∞）时，-f（x）递增，故只需证明-f（x2）＞-f（），即证-，设Q（x）=，则，=，==．当x∈（0，1）时，Q'（x）＜0，Q（x）递减．所以，当x∈（0，1）时，Q（x）＞Q（1）=0．所以，从而命题得证．【解析】（1）先对函数求导，然后对a进行分类讨论，结合导数与函数单调性关系即可求解，（2）结合（1）所得单调性及0＜x1＜1＜x2，将要证的不等式转化为，由x2＞1，，从而结合-f（x）在1，+∞）时的单调性，构造函数即可证．本题主要考查了利用导数判定函数单调性及证明不等式，体现了转化思想与分类讨论思想的应用，属于中档试题．22.【答案】解：（1）⊙C1：ρ=2sinθ；⊙C2：ρ=-4sinθ；（2）由（1）得A（2sinθ，θ），B（，），则=-sinθ（sin-cosθsin）=+3sinθcosθ==．∴当sin（）=1时，△OAB面积最大值为．【解析】（1）直接由图可得⊙C1与⊙C2的极坐标方程；（2）由（1）得A（2sinθ，θ），B（，），代入三角形面积公式，整理后利用三角函数求最值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查三角形面积公式的应用，训练了利用三角函数求最值，是中档题．23.【答案】解：（1）由x∈R，有f（x）≥g（x），得|x-2|-t≥|x+3|恒成立，所以t≤|x-2|-|x+3|，由||x-2|-|x+3||≤|x-2-x-3|=5，所以-5≤|x-2|-|x+3|≤5，所以t≤-5；（2）由不等式f（x）≤0的解集为[1，3]，得|x-2|≤t，解得2-t≤x≤2+t，∴解得t=1，将t=1带入ab-2a-b=2t-2，整理得ab-2a-b=0，∴，所以a+2b=（a+2b）（）≥（1+2）2=9，当且仅当a=b=3时取等号，故a+2b的最小值为9．【解析】（1）参数分离，利用绝对值不等式的性质求出即可；（2）先求出t=1，代入ab-2a-b=2t-2，得到关于a，b的方程，再用柯西不等式求出即可．考查绝对值不等式的性质和基本不等式的应用，中档题．。
四川省宜宾市2019-2020学年高考一诊数学试题含解析
四川省宜宾市2019-2020学年高考一诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2560A x x x =--<，{}20B x x =-<，则A B =I ( )A ．{}32x x -<<B ．{}22x x -<<C ．{}62x x -<<D ．{}12x x -<< 【答案】D【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可.【详解】由题意知,集合}{16A x x =-<<,}{2B x x =<,由集合的交运算可得,}{12A B x x ⋂=-<<.故选:D【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题.2．数列{}n a 满足()*212n n n a a a n +++=∈N ，且1239a a a ++=，48a =，则5a =（ ） A ．212 B ．9 C ．172 D ．7【答案】A【解析】【分析】先由题意可得数列{}n a 为等差数列，再根据1239a a a ++=，48a =，可求出公差，即可求出5a ．【详解】数列{}n a 满足*212()n n n a a a n N +++=∈，则数列{}n a 为等差数列，1239a a a ++=Q ，48a =，1339a d ∴+=，138a d +=，52d ∴=， 54521822a a d ∴=+=+=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和通项公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．3．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1229,510⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．1229,510⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】A【解析】【分析】由02x π≤≤求出5x ωπ+范围，结合正弦函数的图象零点特征，建立ω不等量关系，即可求解. 【详解】当[0,2]x πÎ时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵()f x 在[]0,2π上有且仅有5个零点， ∴5265ππωππ≤+<，∴1229510ω≤<. 故选:A.【点睛】本题考查正弦型函数的性质，整体代换是解题的关键，属于基础题.4．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B【解析】【分析】 列出循环的每一步，由此可得出输出的v 值.【详解】由题意可得：输入3n =，1x =，2v =，3m =；第一次循环，2135v =⨯+=，312m =-=，312n =-=，继续循环；第二次循环，5127v =⨯+=，211m =-=，211n =-=，继续循环；第三次循环，7118v =⨯+=，110m =-=，110n =-=，跳出循环；输出8v =.故选：B.【点睛】本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题. 5．已知正四面体A BCD -外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为（ ）A ．183B ．163C ．143D ．123【答案】B【解析】【分析】设正四面体ABCD的外接球的半径R，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出正方体的棱长，从而得出正四面体的棱长，最后可求出正四面体的表面积．【详解】将正四面体ABCD放在一个正方体内，设正方体的棱长为a，如图所示，设正四面体ABCD的外接球的半径为R，则34863Rππ=，得6R=．因为正四面体ABCD的外接球3a=226R=2．而正四面体ABCD的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以，正四面体ABCD2a=2224=，因此，这个正四面体的表面积为234163a=故选：B．【点睛】本题考查球的内接多面体，解决这类问题就是找出合适的模型将球体的半径与几何体的一些几何量联系起来，考查计算能力，属于中档题．6．双曲线2212yx-=的渐近线方程为（）A．3y x=±B．y x=±C．2y x=D．3y x=【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程. 【详解】Q双曲线2212yx-=,∴双曲线的渐近线方程为y =，故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.7．复数z 满足()11i z i +=-，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C ．22-D ．22+ 【答案】C【解析】【分析】 利用复数模与除法运算即可得到结果.【详解】解: )()())1111112ii i z i i i ---=====++-， 故选：C【点睛】本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.8．已知[]2240a b a b +=⋅∈-r r r r ，，，则a r 的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[1，2]D ．[0，2]【答案】D【解析】【分析】 设2m a b =+r r r ，可得[]2240a b a m a ⋅=⋅-∈-r r r r r ，，构造（14a m -r r ）2≤22116m +r ，结合2m =r ，可得113422a m ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦r r ，，根据向量减法的模长不等式可得解. 【详解】设2m a b =+r r r ，则2m =r， []22240b m a a b a m a =-⋅=⋅-∈-r r r r r r r r ，，， ∴（14a m -r r ）2212a a =-r r •2116m m +≤r r 22116m +r|m r |2m r =2＝4，所以可得：2182m =r ， 配方可得222111192()428482m a m m =≤-≤+=r r r r ， 所以113422a m ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦r r ，， 又111||||||||||||444a m a m a m -≤-≤+r r r r r r 则a ∈r[0，2]．故选：D ．【点睛】本题考查了向量的运算综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.9．如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．920π+B ．926π+C ．520π+D ．526π+【答案】C【解析】【分析】 根据三视图还原为几何体，结合组合体的结构特征求解表面积.【详解】由三视图可知，该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体，其中半圆柱的底面半圆半径为1，高为4，长方体的底面四边形相邻边长分别为1，2，高为4，所以该几何体的表面积2112141222S ππ=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯14224520π+⨯⨯+⨯=+，故选C. 【点睛】本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原成几何体是求解关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.10．函数ln ||()x x x f x e=的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】利用特殊点的坐标代入，排除掉C ，D ；再由1()12f -<判断A 选项正确. 【详解】 1.11.1ln |1.1|( 1.1)0f e --=<，排除掉C ，D ； 1211ln 122()22f e e ---==122e <=Q 2e ， 1()212f e ∴-=<. 故选：A ．【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题.11．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若1F 、M 是线段AB 的三等分点，则椭圆的离心率为( )A ．12B ．CD 【答案】D【解析】【分析】根据题意，求得,,A M B 的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.【详解】由已知可知，M 点为1AF 中点，1F 为BM 中点，故可得120F A M x x x +==，故可得A x c =； 代入椭圆方程可得22221c y a b +=，解得2b y a =±，不妨取2A b y a=， 故可得A 点的坐标为2,b c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则202b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，易知B 点坐标22,2b c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，将B 点坐标代入椭圆方程得225a c = 故选：D.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得,,A B M 点的坐标，属中档题.12．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（ ） A ．2B ．0C ．1-D ．1【答案】D【解析】【分析】 推导出函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由此可得出()()20200f f =，代值计算即可.【详解】由于偶函数()y f x =的图象关于点()1,0对称，则()()f x f x -=，()()20f x f x ++-=， ()()()2f x f x f x ∴+=--=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由于当10x -≤≤时，()21f x x =-+，则()()()2020450501f f f =⨯==. 故选：D.【点睛】本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年四川省宜宾市高考数学一诊试卷(理科)试题及答案(解析版)
∴ 时，g（x）取得最小值 ，
解 得，a≥4，显然a＜4和a＞4时，都不满足f（x）在（0，2）上是减函数，只有a＝4时满足f（x）在（0，2）上是减函数，
∴满足条件的a的集合是{4}．
故答案为：{4}．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.
2020年四川省宜宾市高考数学一诊试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，4}，则∁UA＝（ ）
A．{5，6}B．{1，2，3，4}C．{2，5，6}D．{2，3，4，5，6}
（1）讨论f（x）在其定义域内的单调性；
（2）若a＝1，且f（x1）＝f（x2），其中0＜x1＜x2，求证：x1+x2+x1x2＞3．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．如图所示，“8”是在极坐标系Ox中分别以 和 为圆心，外切于点O的两个圆．过O作两条夹角为 的射线分别交⊙C1于O、A两点，交⊙C2于O、B两点．
∴cos∠AOB＝ ，即∠AOB＝60°．
（1）若λ＞0，μ＞0，
设 ＝2 ， ＝2 ，则 ＝ + ，
∵|λ|+|μ|＝λ+μ≤2，故当λ+μ＝2时，E，F，P三点共线，
故点P表示的区域为△OEF，
四川省宜宾市2020届高三上学期一诊考试数学(理)试卷 Word版含答案
理科数学注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,4}A =，则U A =ðA ．{5,6}B ．{1,2,3,4}C ．{2,5,6}D ．{2,3,4,5,6}2．若复数1(2)i m m ++-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是A ．()1,-∞-B ．()2,1-C ．()+∞,2D ．()(),12,-∞+∞U 3．已知向量()()2,4,,2-==b a m ，且()()b a b a -⊥+，则实数=mA ．4-B ．4C ．2±D ．4±4．733x x ⎛+ ⎝展开式中的常数项是A ．189B ．63C ．42D ．215．已知323ln 31343,e ,2===cba ，则A ． a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<6．函数1ln )(+=x xx f 的图象大致是A B C D7．设曲线1cos ()sin x f x x +=在3π=x 处的切线与直线1y ax =+平行，则实数a 等于A ．1-B ．23C ．2-D ．28．“关注夕阳，爱老敬老”，某企业从2012年开始每年向敬老院捐赠物资和现金，下表记录了该企业第x 年（2012年是第一年）捐赠的现金数y （万元）：x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5若由表中数据得到y 关于x 的线性回归方程是35.0ˆ+=mx y，则可预测2019年捐赠的现金大约是A ．5.95万元B ．5.25万元C ．5.2万元D ．5万元9．执行如图所示的程序框图，如果输入2019=n ，则输出的=SA ．40394038B ． 40392019C ．40372018D ．4037403610．若9人已按照一定顺序排成三行三列的方阵，从中任选3人，则至少有两人位于同行或同列的概率是 A ．1314 B ．47C ．37D ．11411．已知112ω>，函数)4π+ω2sin(=)(x x f 在区间π3π(,)22内没有最值，则ω的取值范围A ．11[,]62B ．511,1224⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．15,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,112⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，若两定点,A B 满足2OA OB u u u r u u u r==，1OA OB u u u r u u u r ⋅=，第9题图则点集{}|,2,,R P OP OA OB u u u r u u u r u u u rλμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是.A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
四川省宜宾市高中2020届高三数学第一次诊断测试试题文(含解析)
四川省宜宾市高中2020届高三数学第一次诊断测试试题文（含解析）1.已知集合U＝{1，3，4，5，7，9}，A＝{1，4，5}，则∁U A＝（）A. {3，9}B. {7，9}C. {5，7，9}D. {3，7，9} 【答案】D【解析】【分析】利用补集的运算,直接求出A在U中的补集即可.【详解】解:因为集合U＝{1,3,4,5,7,9},A＝{1,4,5},A =.所以{3,7,9}U故选:D.【点睛】本题考查了补集的运算,属基础题.2.已知i是虚数单位，复数m+1+（2﹣m）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A. （﹣∞，﹣1）B. （﹣1，2）C.（2，+∞）D. （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【答案】A 【解析】【分析】根据复数对应的点在第二象限,可得1020m m+⎧⎨-⎩＜＞,然后解不等式组得到m的取值范围. 【详解】解:因为复数m+1+(2﹣m)i在复平面内对应的点在第二象限, 所以1020m m+⎧⎨-⎩＜＞,解得m＜﹣1. 所以实数m的取值范围为(﹣∞,﹣1). 故选:A. 【点睛】本题考查了复数的几何意义和一元一次不等式组的解法,属基础题. 3.已知向量a=()1m，，()2,1b=-且()a b b-⊥，则实数m＝（）A. 3B.12C. 12-D. ﹣3【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算和数量积运算法则,列出关于m 的方程,然后解方程求出m 的值. 【详解】解:由(1,),(2,1)a m b ==-,得(1,1)a b m -=-+, 因为()a b b -⊥,所以()0a b b -=, 所以121(1)0m -⨯-⨯+=,所以3m =-. 故选:D .【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算和数量积,属基础题.4.某车间生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产量之比分别为5：k ：3，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本进行检验，已知B 种型号的产品共抽取了24件，则C 种型号的产品抽取的件数为（ ） A. 12 B. 24C. 36D. 60【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意可得2412053kk =++,解方程求出k 的值,再根据C 种型号的产品所占的比例,求出C 种型号的产品应抽取的数量.【详解】解:由题意,得2412053kk =++,所以k ＝2, 所以C 种型号的产品抽取的件数为1203523⨯=++36. 故选:C .【点睛】本题考查了分层抽样的定义和特点,属基础题. 5.要得到函数24y cos x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数y ＝cos x 的图象（ ） A. 向左平行移动8π个单位长度，横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变．B. 向左平行移动4π个单位长度，横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变． C. 向右平行移动8π个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变．D. 向右平行移动4π个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变．【答案】B 【解析】 【分析】直接利用三角函数图象的平移和伸缩变换,得到由y ＝cosx 变换为24y cos x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的方式. 【详解】解:要得到函数24y cos x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,只需要将函数y ＝cosx 的图象向左平移4π个单位, 得到y ＝cos (x 4π+),再把横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变即可. 故选:B .【点睛】本题考查了三角函数图象的平移和伸缩变换,属基础题.6.设直线m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α B. m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β⇒α⊥β C. m ∥α，m ∥β⇒α∥β D. α⊥β，m ∥α⇒m ⊥β【答案】B 【解析】 【分析】在A 中,n 与α平行或n ⊂α;在B 中,由线面垂直的性质定理得αβ⊥;在C 中,α与β相交或平行;在D 中,//m α,m αβ⊥⇒与β相交、平行或m β⊂. 【详解】解:因为m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面, 所以在A 中,m ∥n ,m ∥α⇒n ⊂α或n ∥α,故A 错误;在B 中,m ⊥n ,m ⊥α,n ⊥β,由线面垂直的性质定理得α⊥β,故B 正确; 在C 中,m ∥α,m ∥β⇒α与β相交或平行,故C 错误; 在D 中,m ∥α,α⊥β⇒m 与β相交、平行或m ⊂β,故D 错误. 故选:B .【点睛】本题考查了命题真假的判断和空间中线线、线面、面面间的位置关系,属基础题. 7.已知412ln33332e 3a b c ===，，，则（ ）A. b <c <aB. c <b <aC. c <a <bD. b <a <c【答案】A 【解析】 【分析】将,,a b c 都化为13x 的形式，根据幂函数的单调性判断出三者的大小关系. 【详解】依题意13111ln333316,3,9a b e c ====，而13y x =为R 上的增函数，故b c a <<.故选：A.【点睛】本小题主要考查指数运算，考查幂函数的单调性，考查指数幂比较大小，属于基础题.8.执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B 【解析】执行程序框图，可知：第一次循环：2,2a k ==；第二次循环：4,3a k ==； 第三次循环：8,4a k ==；第四次循环：16,5a k ==， 此时满足判断条件，终止循环，输出5k =，故选B.9.函数f （x ）1lnxx =+的图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】求出f (x )的导函数,利用导数研究函数的单调性,然后结合图象得到答案.【详解】解:由f (x )1lnxx =+,得f ′(x )211(0)(1)lnx x x x +-=>+, 令g (x )＝11lnx x +-,则g ′(x )22111xx x x+=--=-＜0, 所以g (x )在(0,+∞)上单调递减,又g (e )1e=＞0,g (e 2)2221111lne e e =+-=-＜0, 所以存在x 0∈(e ,e 2),使得g (x 0)＝0, 所以当x ∈(0,x 0)时,g (x )＞0,f ′(x )＞0; 当x ∈(x 0,+∞)时,g (x )＜0,f ′(x )＜0,所以f (x )在(0,x 0)上单调递增,在(x 0,+∞)上单调递减. 故选:C .【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和零点存在定理,属中档题.10.已知02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且3sin 2α﹣5cos 2α+sin2α＝0，则sin2α+cos2α＝（ ）A. 1B. 2317-C. 2317-或1 D. ﹣1【答案】A 【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式化弦为切,求出tan α,再求出α的值,进一步求出sin 2α+cos 2α.【详解】解:由3sin 2α﹣5cos 2α+sin 2α＝0,得22223520sin cos sin cos sin cos αααααα-+=+, 所以2232501tan tan tan ααα+-=+,即3tan 2α+2tanα﹣5＝0,解得tanα＝1或tan 53α=-. 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以tanα＝1,所以4πα=,所以sin 2α+cos 2α＝sin 2π+cos 12π=. 故选:A .【点睛】本题考查了三角函数的化简求值和同角三角函数基本关系式,考查了转化思想和计算能力,属基础题.11.如图，在Rt △ABC 中，2C π∠=，6B π∠=，AC ＝4，D 在AC 上且AD ：DC ＝3：1，当∠AED最大时，△AED 的面积为（ ）A.32B. 2C. 3D. 33【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得到AED AEC DEC ∠=∠-∠,然后设∠AED ＝θ,∠AEC ＝α,∠DEC ＝β,用两角差的正切公式求出tanθ,再用基本不等式求出tanθ最大值,从而得到当∠AED 最大时,△AED 的面积.【详解】解:因为AD :DC ＝3:1,所以DC 14=AC ＝1, 所以S △AED ＝S △ACE ﹣S △DEC 12=AC •CE 12-DC •EC12=AC •CE 12-•14AC •CE ＝AC •CE (113)288-=AC •EC . 因为AC ＝4,CE ≤CB ,而在Rt △ABC 中,,26C B ππ∠=∠=,AC ＝4,所以CB ＝AED ＝∠AEC ﹣∠DEC . 设∠AED ＝θ,∠AEC ＝α,∠DEC ＝β,则tanθ＝tan (α﹣β)()211AC DCAC DC EC tan tan EC EC AC DC tan tan EC AC DCEC ECαβαβ--⋅-===-⋅+⋅+⋅2333444EC EC EC EC ==≤=++,当且仅当EC 4EC=,即EC ＝2时,取等号, 所以tanθ的最大值为34,此时∠AED 最大, 所以当∠AED 最大时,△AED 的面积AEDS =38•4•2＝3. 故选:C .【点睛】本题考查了三角形的面积公式和利用基本不等式求最值,考查了转化思想和计算能力,属中档题.12.已知函数f （x ）＝4alnx ﹣3x ，且不等式f （x +1）≥4ax ﹣3e x ，在（0，+∞）上恒成立，则实数a 的取值范围（ ） A. 34⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， B. 34⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C. （﹣∞，0）D. （﹣∞，0] 【答案】B 【解析】 【分析】不等式f (x +1)≥4ax ﹣3e x ,在(0,+∞)上恒成立等价于(1)()x f x f e +>在(0,)+∞上恒成立,然后利用函数f (x )单调性进一步求出a 的范围.【详解】解:f (e x )＝4ax ﹣3e x ,所以f (x +1)≥4ax ﹣3e x 在(0,+∞)上恒成立,等价于f (x +1)≥f (e x)在(0,+∞)上恒成立,因为x ∈(0,+∞)时,1＜x +1＜e x,所以f (x )在(1,+∞)上递减, 所以当x ＞1时,f ′(x )≤0恒成立,即x ＞1时,430ax-≤恒成立, 所以a 34≤x ,所以a 34≤, 所以a 的取值范围为3,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦. 故选:B .【点睛】本题考查了函数恒成立问题和利用函数的单调性求参数范围,考查了转化思想和计算能力,属中档题.13.书架上有6本不同的数学书，4本不同的英语书，从中任意取出1本，取出的书恰好是数学书的概率是_____． 【答案】35【解析】 【分析】先算出“任意取出1本书”的基本事件总数,再算出事件“取出的书恰好是数学书”包含的基本事件个数,然后利用概率公式求出概率.【详解】解:从6本不同的数学书,4本不同的英语书中任意取出1本的基本事件总数为10, 取出的书恰好是数学书包含的基本事件个数为6, 则取出的书恰好是数学书的概率P =63105=, 故答案为:35. 【点睛】本题考查了古典概型的概率计算,关键属熟悉古典概型的概率计算步骤,属基础题. 14.已知函数f （x ）＝2x 3﹣ax 2+2在x ＝2处取得极值，则实数a ＝_____． 【答案】6 【解析】 【分析】先求出()f x ',再根据2x =是()f x 的一个极值点,得到f '(2)0=,然后求出a 的值.【详解】解:由f (x )＝2x 3﹣ax 2+2,得f '(x )＝6x 2﹣2ax . 因为在x ＝2处取得极值,所以f '(2)＝24﹣4a ＝0,所以a ＝6.经检验a =6时x =2是f (x )的一个极值点,所以a =6. 故答案为:6.【点睛】本题考查了函数极值点的定义,考查了方程思想,属基础题.15.若△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积为S ，484b BA AC S =⋅==，，，则a ＝_____．【答案】【解析】 【分析】根据8BA AC =,b =4得到cos 2c A =-①,再根据4S =得到sin 2c A =②,联立①②解出A 和c ,然后在△ABC 中利用余弦定理求出a .【详解】解:因为8BA AC ⋅=,4b =,所以48AB AC bccosA ccosA ⋅===-,所以ccosA ＝﹣2①. 因为1442S csinA ==,所以csinA ＝2②.联立①②,得tanA ＝﹣1,所以34A π=,所以cosA =,所以2c cosA =-=,在△ABC 中,由余弦定理,得2222168402a b c bccosA ⎛⎫=+-=+--= ⎪ ⎪⎝⎭,所以a =故答案:【点睛】本题考查了平面向量的数量积、三角形的面积公式和余弦定理,考查了方程思想和计算能力,属基础题.16.同学们有如下解题经验：在某些数列求和中，可把其中一项分裂为两项之差，使某些项可以抵消，从而实现化简求和．如：已知数列{a n }的通项()11n a n n =+，则将其通项化为111n a n n =-+，故数列{a n }的前n 项的和11111111223111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．斐波那契数列是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝1，()*21n n n a a a n N ++=+∈，若a2021＝a ，那么S 2019＝_____． 【答案】a ﹣1 【解析】 【分析】根据题意可得21n n n a a a ++=-,然后类比数列的裂项相消法求出S 2019. 【详解】解:由题意,得a n ＝a n +2﹣a n +1,则S 2019＝a 1+a 2+a 3+…+a 2019＝a 3﹣a 2+a 4﹣a 3+a 5﹣a 4+…+a 2021﹣a 2010 ＝a 2021﹣a 2＝a ﹣1. 故答案为:a ﹣1.【点睛】本题考查了数列的裂项相消法求和,考查了类比推理能力,属基础题. （一）必考题：共60分.17.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足122n n S +=-．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝（2n ﹣1）a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【答案】（1）2nn a =；（2）()12326n n T n +=-+【解析】 【分析】(1)根据数列的递推式可知,当1n =时,11S a =,当2n 时,1n n n a S S -=-,进一步求出通项公式;(2)先求出{}n b 的通项公式,再利用错位相减法求出{b n }的前n 项和T n .【详解】解:(1)因为122n n S +=-,所以当1n =时,112S a ==,当2n 时,1122222n n n n n n a S S +-=-=--+=,上式对1n =也成立,所以2nn a =.(2)由(1)知(21)(21)2n n n b n a n =-=-, 所以23123252(21)2n n T n =+++⋯+-,23412123252(21)2n n T n +=+++⋯+-,两式相减,得23122(222)(21)2n n n T n +-=+++⋯+--114(12)22(21)212n n n -+-=+---,所以16(23)2n n T n +=+-.【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式和错位相减法求数列的前n 项和,考查了分类讨论思想和计算能力,属中档题.数列前n 项和的求法有公式法、倒序相加法、裂项相消法、错位相减法、并项求和法和分组求和法.18.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足53acosC b c cosA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）若15sinC =，a +c ＝10，求c ；（2）若a ＝4，c =ABC 的面积S ．【答案】（1）2c =；（2）225【解析】 【分析】(1)利用正弦定理,将边化为角,然后求出sin A ,进一步求出c ;(2)利用余弦定理,得到关于b 的一元二次方程,并求出b ,然后代入面积公式中求出S .【详解】解:(1)因为5cos ()cos 3a C b c A =-,所以5sin cos (sin sin )cos 3A CBC A =-,所以5sin cos sin cos cos sin sin()sin 3B A A C A C A C B =++=+=,因为sin 0B ≠,所以3cos 5A =,4sin 5A =,由正弦定理,知sin :sin 4:1:A C a c ==,所以4a c =, 又10a c +=,所以2c =. (2)由(1)知3cos 5A =,4sin 5A =,所以由余弦定理,得222cos2b c a A bc+-=,所以235=,即25550b --=,所以b ,所以△ABC 的面积122sin 25S bc A ==.【点睛】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用和三角形的面积公式,考查了转化思想和方程思想,属中档题.19.手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（1）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数； （2）若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数；（3）在（2）的条件下，该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间（150，170]的概率．【答案】（1）125；（2）112；（3）25【解析】 【分析】(1)由频率和为1,列出关于a 的方程,然后求出a 的值,再利用中位数两边频率相等,求出中位数的值;(2)根据一天行走步数不大于13000频率⨯样本容量,求出频数;(3)根据分层抽样原理抽取6人,利用列举法求出基本事件数,计算所求的概率值.【详解】解:(1)由题意,得(0.0020.0060.0080.0100.0080.0020.002)201a +++++++⨯=, 所以0.012a =.设中位数为110x +,则0.002200.006200.008200.0120.5x ⨯+⨯+⨯+=, 所以15x =,所以中位数为125.(2)由200(0.002200.006200.008200.01220)112⨯⨯+⨯+⨯+⨯=, 所以估计职工一天步行数不大于13000步的人数为112人.(3)在区间(150,170]中有2000.0082032⨯⨯=人, 在区间(170,190]中有2000.002208⨯⨯=人, 在区间(190,210]中有2000.002208⨯⨯=人,按分层抽样抽取6人,则从(150,170]中抽取4人,(170,190]中抽取1人,(190,210]中抽取1人;设从(150,170]中抽取职工为a 、b 、c 、d ,从(170,190]中抽取职工为E ,从(190,210]中抽取职工为F ,则从6人中抽取2人的情况有ab 、ac 、ad 、aE 、aF 、bc 、bd 、bE 、bF 、cd 、cE 、cF 、dE 、dF 、EF 共15种情况,它们是等可能的,其中满足两人均来自区间(150,170]的有ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、cd 共有6种情况, 所以两人均来自区间(150,170]的概率62155P ==; 【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求中位数和古典概型的概率计算问题,属基础题. 20.如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 翻折得到△ASE ，且平面ASE ⊥平面ABCE ．（1）求三棱锥B ﹣CES 的体积； （2）设线段SC 上一点G 满足2SGGC=，在BE 上是否存在点H 使GH ∥平面SAE ？若存在，求出EH 的长度；若不存在，说明理由． 【答案】（125；（25【解析】 【分析】(1)过S 作SO AE ⊥于O ,从而得到SO ⊥平面ABCE ,进一步得到B CES S BCE V V --=,由此求出三棱锥B CES -的体积.(2)连接AC ,交BE 于H ,连接GH ,推导出//GH SA ,由此能求出结果.【详解】解:(1)过S 作SO AE ⊥于O ,因为平面ASE ⊥平面ABCE 交线为AE ,所以SO ⊥平面ABCE .在Rt ASE ∆中由1,2SE SA ==,得25SO =, 因为112122BCE S ∆=⨯⨯=,所以11225133155B CES S BCE BCE V V S SO --∆==⋅=⨯⨯=. 所以三棱锥B CES -的体积为2515.(2)连接AC ,交BE 于H ,连接GH , 因为//CE AB ,12CE AB =, 所以ABH CEH ∆∆∽,所以12CH EH CE HA HB AB ===, 又因为2SG GC =,所以12CG GS =,所以CG CHGS HA=,所以//GH SA . 又因为GH ⊂/平面SAE ,SA ⊂平面SAE ,所以//GH 平面SAE ,此时153EH BE ==.【点睛】本题考查了折叠问题、三棱锥体积的求法和线面平行的判定定理,考查了转化思想和运算求解能力,属中档题. 21.已知函数f （x ）＝lnx ()12a x x --+．（1）若a ＝4，求函数f （x ）的单调区间；（2）若函数f （x ）在区间（0，1]内单调递增，求实数a 的取值范围； （3）若x 1、x 2∈R +，且x 1≤x 2，求证：（lnx 1﹣lnx 2）（x 1+2x 2）≤3（x 1﹣x 2）． 【答案】（1）见解析；（2）3a ≤；（3）见解析【解析】 【分析】(1)将a =4代入f (x )求出f (x )的导函数,然后根据导函数的符号,得到函数的单调区间; (2)根据条件将问题转化为434ax x++在(0,1]上恒成立问题,然后根据函数的单调性求出a 的范围;(3)根据条件将问题转化为1122123()2x x x lnx x x -+成立问题,令12(0,1)x t x =∈,即3(1)02t lnt t --+成立,再利用函数的单调性证明即可.【详解】解:(1)()f x 的定义域是(0,)+∞,22213(43)4()(2)(2)a x a x f x x x x x +-+'=-=++, 所以4a =时,2284()(2)x x f x x x -+'=+,由()0f x '>,解得04x <<-4x >+由()0f x '<,解得44x -<+故()f x 在(0,4-和(4+,)+∞上单调递增,在(4-4+上单调递减. (2)由(1)得22(43)4()(2)x a x f x x x +-+'=+,若函数()f x 在区间(0,1]递增,则有2(43)40x a x +-+在(0,1]上恒成立,即434ax x ++在(0,1]上恒成立成立,所以只需min434a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭, 因为函数44y x x =++在1x =时取得最小值9,所以min 4349a x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭,所以a 的取值范围为](,3-∞. (3)当12x x =时,不等式显然成立,当12x x ≠时,因为1x ,2x R +∈,所以要原不等式成立,只需11122121223(1)3()22x x x x x lnx x x x x --=++成立即可, 令12(0,1)x t x =∈,则3(1)02t lnt t --+,由(2)可知函数()f x 在(0,1]递增,所以()(1)0f x f ≤=, 所以3(1)02t lnt t --+成立,所以(lnx 1﹣lnx 2)(x 1+2x 2)≤3(x 1﹣x 2).【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题和不等式的证明,考查了转化思想和分类讨论思想,属难题. （二）选考题：共10分．22.如图所示，“8”是在极坐标系Ox 中分别以112C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，和2322C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，为圆心，外切于点O 的两个圆．过O 作两条夹角为3π的射线分别交⊙C 1于O 、A 两点，交⊙C 2于O 、B 两点．（1）写出⊙C 1与⊙C 2的极坐标方程； （2）求△OAB 面积最大值． 【答案】（1）1:2sin C ρθ=；2:4sin C ρθ=-；（23【解析】 【分析】 (1)直接由条件求出1C 与2C 的极坐标方程即可;(2)由(1)得(2sin ,)A θθ,(4sin()3B πθ--,)3πθ-,代入三角形面积公式,再利用三角函数求出△OAB 面积的最大值.【详解】解:(1)因为在极坐标系中圆1C 和圆2C 的圆心分别为11,2C π⎛⎫ ⎪⎝⎭和232,2C π⎛⎫⎪⎝⎭, 所以圆1C 和圆2C 的极坐标方程分别为2sin ρθ=和4sin ρθ=-. (2)由(1)得(2sin ,)A θθ,(4sin()3B πθ--,)3πθ-,则12sin [4sin()]sin 233ABC S ππθθ∆=--(sin cos cos sin )33ππθθθ=--23sin cos θθθ=+)6πθ=+.所以当sin(2)16πθ+=时,OAB ∆【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程、三角形的面积公式和三角函数求最值,考查了转化思想和函数思想,属中档题.23.已知函数f （x ）＝|x ﹣2|﹣t ，t ∈R，g （x ）＝|x +3|． （1）x ∈R，有f （x ）≥g （x ），求实数t 的取值范围；（2）若不等式f （x ）≤0的解集为[1，3]，正数a 、b 满足ab ﹣2a ﹣b ＝2t ﹣2，求a +2b 的最小值．【答案】（1）(],5-∞-；（2）min (2)9a b += 【解析】 【分析】(1)由条件可知,当x ∈R 时,|2||3|t x x --+恒成立,因此只需()min |2||3|t x x --+,然后利用绝对值三角不等式可求出|2||3|x x --+的小值即可.(2)根据不等式f (x )≤0的解集为[1,3],求出t 的值,然后将t 代入222ab a b t --=-中,得到关于a ,b 的方程,再利用基本不等式求出2+a b 的最小值即可.【详解】解:(1)因为x ∈R ,有f (x )≥g (x ),所以|2||3|x t x --+在x ∈R 时恒成立, 即|2||3|t x x --+在x ∈R 时恒成立,所以只需()min |2||3|t x x --+因为||2||3|||23|5x x x x --+---=,所以5|2||3|5x x ---+,所以()min |2||3|5tx x --+=-,所以t 的取值范围为(,5]-∞-. (2)由|2|x t -,得22t x t -+, 因为不等式()0f x 的解集为[1,3],所以2123t t -=⎧⎨+=⎩,解得1t =.将1t =带入222ab a b t --=-中,得20ab a b --=,所以211b a+=,所以21222(2)()559a b a b a b b a b a +=++=++≥=,当且仅当3a b ==时取等号, 所以2+a b 的最小值为9.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题、不等式的解集与方程根的关系、绝对值三角不等式和利用基本不等式求最值,考查了转化思想和方程思想,属中档题.。
2020届四川省宜宾市第四中学校高三第一次高考适应性考试数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届四川省宜宾市第四中学校高三第一次高考适应性考试数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合A 为自然数集N ，集合{}23,B x x x =<∈Z ，则( ) A ．{}1A B ⋂= B ．{}0,1AB =C ．A B B ⋃=D ．A B A ⋃=答案：B解一元二次不等式化简集合B ，再利用交集定义，即可得到答案； 解：集合A 为自然数集N ，集合2{|3B x x =<，}x Z ∈，{0A ∴=，1，2，3，}⋯，{}1,0,1B =-， {0A B ∴=，1}．故选：B ． 点评：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．已知复数z 满足(34)12i z i -=-（i 是虚数单位），则其共轭复数在复平面位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：C先求出z ，再求出其共轭复数，而后根据复数的几何意义作出判断即可. 解：(34)12i z i -=-，∴12(12)(34)34682134(34)(34)91655i i i i i z i i i i --+++-====-+--+--， 其共轭复数为：2155z i =--，在复平面内对应点的坐标为21(,)55--，在第三象限. 故选：C. 点评：本题考查复数的几何意义，考查共轭复数，考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题. 3．已知平面向量()a 1,2=, ()b 2,m =-, 且a //b , 则b = ( )A B C ．D ．答案：D根据向量//a b ，列出方程求得m 的值，得到向量b 的坐标，再由模的计算公式，即可求解． 解：由题意，向量//a b ，则122m=-，解得4m =-，即(2,4)b =--，所以2(2)b =-=D ．点评：本题主要考查了平面向量的运算及向量的模的计算问题，其中熟记向量共线的条件和向量的 模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 4．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”，马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各处儿何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛一半”．若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿（ ） A ．507斗粟 B ．107斗粟 C ．207斗粟 D ．157斗粟 答案：D先确定羊、马、牛的主人应赔偿的比例，再根据比例分别计算各个主人应赔偿的斗数即可求解. 解：羊、马、牛的主任所应赔偿的比例是1:2:4，故牛主人比羊主人多赔偿了15577417⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭斗. 故选：D. 点评：本题为一道数学文化题，考查阅读理解能力，考查划归于转化思想，此类题型在近几年中经常出现..5．两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为56和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A ．12B ．13C ．512D ．16答案：B根据题意，分析可得，这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件，而两个零件是否加工为一等品相互独立，进而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案． 解：记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ， 即仅第一个实习生加工一等品为事件1A ， 仅第二个实习生加工一等品为事件2A 两种情况， 则()()()125113164643P A P A P A =+=⨯+⨯=， 故选：B ． 点评：本题考查了相互独立事件同时发生的概率与互斥事件的概率加法公式，解题前，注意区分事件之间的相互关系，属于基础题.6．已知()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，其部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A ．()13sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()153sin 26x x f π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()153sin 26x x f π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()13sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭答案：D根据图像可得函数周期，最值，则可得,A ω，再根据五点作图法求得ϕ即可. 解：由图可知24T ππω==，解得12ω=； 又因为()3max f x =，故可得3A =； 由五点作图法可知1023πϕ⨯+=，解得6πϕ=-， 故()13sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：D. 点评：本题考查由正弦型函数的图像求解函数解析式，属基础题.7．某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（ ） A ．6种 B ．12种 C ．18种 D ．24种答案：B方法数有1143C C 12=种.故选B.8．已知函数y =f （x ），若对其定义域内任意x 1和x 2均有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，则称函数()f x 为“凸函数”；若均有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，则称f （x ）函数为“凹函数”.下列函数中是“凹函数”的是( ) A ．13y x = B ．2yx C ．2log y x =D ．231x y x +=- 答案：B根据“凹函数”的定义及选项逐个进行判定，可利用特殊值简化判断过程. 解：对于A ，因为()()1311,22201012f f f +⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎭+⎝，131122⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以不符合“凹函数”的定义；对于B ，任意12,x x R ∈，()1212242x x f x x +⎛⎫= ⎪⎭+⎝，()()22121222f x f x x x ++=， 因为()()2222221212121212202444x x x x x x x x x x +-++--==>，所以1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，符合“凹函数”的定义； 对于C ，因为()()231log ,22212122f f f +⎛⎫== ⎪+⎝⎭，231log 22>，所以不符合“凹函数”的定义； 对于D ，因为()()3122403032f f f +⎛⎫=>⎪⎭+= ⎝，所以不符合“凹函数”的定义； 故选：B. 点评：本题主要考查函数性质的新定义，准确理解定义是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.9．设π()3sin 112f x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若f （x ）在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的取值范围是( ) A ．57,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．57,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．70,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦答案：D由题意利用正弦函数的单调增区间，可得[12312x πωππω-∈--，]612ωππ-，故有31226122ωπππωπππ⎧---⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，由此求得ω的取值范围． 解：设()3sin()112f x x πω=-+，在[,]36ππ-上，[12312x πωππω-∈--，]612ωππ-， 由于()f x 为增函数，∴31226122ωπππωπππ⎧---⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，即5472ωω⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 求得504ω<， 故选：D ． 点评：本题考查正弦函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．10．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．2π答案：C由题意判断几何体的形状，几何体扩展为长方体，求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积 解：几何体为三棱锥，可以将其补形为长和宽都是2，高为2的长方体 该长方体的外接球和几何体的外接球为同一个 故22222(2)(2)22R =++=，2R =所以外接球的表面积为：248R ππ=． 故选：C点评：本题考查球的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题.11．若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 （ ）A ．2 BCD答案：A由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d ==，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ．点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．12．已知函数y=f （x ）的图象与函数y=a x（a ＞0且a ≠1）的图象关于直线y=x 对称，记g （x ）=f （x ）[f （x ）+f （2）-1]．若y=g （x ）在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,∞+ B ．()()0,11,2⋃C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦答案：D先表述出函数()f x 的解析式然后代入将函数()g x 表述出来，然后对底数a 进行讨论即可得到答案． 解：已知函数()y f x =的图象与函数(0,1)xy a a a =>≠的图象关于直线y x =对称，则()log a f x x =，记()()()2[(2)1](log )(log 21)log a a a g x f x f x f x x =+-=+-．当1a >时，若()y g x =在区间1[,2]2上是增函数，log ay x =为增函数，令log a t x =，t ∈1[log ,log 2]2a a ，要求对称轴log 211log 22a a --≤，无解； 当01a <<时，若()y g x =在区间1[,2]2上是增函数，log a y x =为减函数，令log a t x =，t ∈1[log 2,log ]2a a ，要求对称轴log 211log 22a a --≥， 解得12a ≤，所以实数a 的取值范围是1(0,]2，故选D ． 点评：本题主要考查指数函数与对数函数互为反函数．这里注意指数函数和对数函数的增减性与底数的大小有关，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．二、填空题13．若x ，y 满足约束条件2020x x y x y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪-+≤⎩则2z x y =-的最大值为______．答案：3- 解：分析：画出约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．详解：由x ，y 满足约束条件2,0,20,x x y x y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪-+≤⎩作出可行域如图，化目标函数z=x ﹣2y 为y=12x ﹣2z ， 由图可知，当直线y=12x ﹣2z 过点A （﹣1，1）时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为﹣3． 故答案为﹣3点睛：本题考查简单的线性规划，意在考查学生线性规划基础知识的掌握能力和数形结合的解题思想方法.14．()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为________.（用数字填写答案）答案：40由二项式定理及分类讨论思想得：5(2)x y -的展开式的通项为515(2)()r rr r T C x y -+=-，则5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为352C -2235240C +=，得解． 解：由5(2)x y -的展开式的通项为515(2)()r rr r T C x y -+=-，0,1,,5r =,则5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为352C -2235240C +=， 故答案为：40． 点评：本题考查二项式定理的运用、求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 15．过抛物线28y x =的焦点的一条直线交抛物线与,A B 两点，正三角形ABC 的顶点C 在直线2x =-上，则ABC ∆的边长是______.答案：24由抛物线的方程与几何性质，利用ABC 是正三角形，求出直线AB 的斜率和方程，再与抛物线方程联立，求得弦长|AB |的值. 解：解：抛物线方程为28y x =，焦点为()2,0P ，准线方程为:2l x =-，如图所示，由ABC 是正三角形，设M 为AB 的中点，11,,AA l BB l MN l ⊥⊥⊥，垂足分别为11,A B 和N ， 则()11111()222MN BB A AA F BF AB =+=+=，32MC AB =， 又3cos sin sin 3CMN NMF AFx ∠==∠=∠， ∴直线AB 的斜率为2323tan 2313k AFx =∠==⎛⎫- ⎪⎝⎭，AB 直线方程为22)2y x =-； 由222)28y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得22040x x -+=， 1220x x ∴+=，12||20424AB x x p ∴=++=+=.故答案为：24. 点评：本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了弦长公式，是中档题.16．若函数2e ,?0()e 1,?0x m x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数m 的最大值是_______. 答案：2e 1+由题意题目可转化方程2e 1e x x m +=+有两个不等的正根，得2e 1e x m x =+-，令()2()e 1e 0x g x x x =+->，利用导数研究函数的单调性与最值，由此可得出答案．解：解：∵点(),x y 关于原点对称的点为(),x y --，∴题目可转化为函数()22e 1e 1y x x ⎡⎤=-⋅--=+⎣⎦与e xy m =+图像在第一象限内有两个交点，即方程2e 1e x x m +=+有两个不等的正根，得2e 1e x m x =+-， 令()2()e 1e0xg x x x =+->，则2()e e x g x '=-，由()0g x '>得02x <<，由()0g x '<得2x >，∴函数()g x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减， ∴2()(2)e 1g x g ≤=+， ∴2e 1m ≤+， 故答案为：2e 1+． 点评：本题主要考查函数与方程的应用，考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查转化与化归思想，属于中档题．三、解答题17．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设(),m b c =，()cos ,cos n C B =，且2cos m n a A ⋅=.（1）求角A 的大小；（2）若4b =，5c =，D 在BC 上，AD 是BAC ∠的角平分线，求AD .答案：（1）3π；（2）9. （1）利用平面向量数量积的坐标运算结合正弦定理边角互化思想得出cos A 的值，再由角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用余弦定理求得a 和cos C 的值，利用正弦定理可得出CD 的长，然后在ACD 中利用余弦定理可求得AD 的长. 解： （1）(),m b c =，()cos ,cos n C B =，且2cos m n a A ⋅=，则cos cos 2cos b C c B a A +=，由正弦定理可得；sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=，即()sin 2sin cos B C A A +=，则sin 2sin cos A A A =，0A π<<，sin 0A ∴>，则1cos 2A =，所以，3A π=； （2）在ABC 中，由（1）得由余弦定理可得2212cos25162452132a b b c c π=-⋅=⨯⨯++-⨯=， 22221cos 2142421a b c C ab +-===⋅⋅， ADB ADC π∠+∠=，则ADB ADC π∠=-∠，()sin sin sin ADB ADC ADC π∴∠=-∠=∠，由于AD 是BAC ∠的角平分线，在ABD △中，由正弦定理得sin sin c BDADB BAD=∠∠，① 同理可得sin sin b CDADC CAD=∠∠，②①÷②得，54BD c CD b ==，44421999CD BC a ∴===， 在ACD 中，由余弦定理可得22216214212116252cos 16248191427AD AC CD AC CD C ⨯⨯=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=， 解得203AD =.点评：本题考查利用正弦定理边角互化思想求角、三角形角平分线长的计算，考查了余弦定理以及平面向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.18．某医院体检中心为回馈大众，推出优惠活动：对首次参加体检的人员，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员的后续体检给予相应优惠，标准如下：该休检中心从所有会员中随机选取了100位对他们在本中心参加体检的次数进行统计，得到数据如表：假设该体检中心为顾客体检一次的成本费用为150元，根据所给数据，解答下列问题： （1）已知某顾客在此体检中心参加了3次体检，求这3次体检，该体检中心的平均利润；（2）该体检中心要从这100人里至少体检3次的会员中，按体检次数用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中抽取2人，每人发放现金200元.用5表示体检3次的会员所得现金和，求ξ的分布列及()E ξ.答案：（1）40元；（2）分布列见解析，240元. （1）求出三次体检医院的收入即可得到平均利润；（2）抽取的5个人中3人体检三次，1人体检四次，1人体验5次及以上，ξ可能取值为：0，200，400，分别计算概率得到分布列即可计算期望. 解：（1）医院3次体检的收入为()20010.950.9570⨯++=， 三次体验的成本为1503450,⨯= 故平均利润为()570450340-÷=元；（2）根据题意抽取的5个人中3人体检三次，1人体检四次，1人体验5次及以上，ξ可能取值为：0，200，400，2511(0)10P C ξ===，1132353(200)5C C P C ξ===，2132353(400)10C C P C ξ===， 分布列如下：02000.64000.3120120240()E ξ=+⨯+⨯=+=（元）.点评：此题考查求平均数，利用分层抽样求抽取的人数，计算概率并写出分布列，根据分布列求均值，属于中档题.19．如图，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，且2AB AE ==，将ABE ∆沿BE 折起到A BE '∆，使得AC A D ''=.（1）证明：平面A BE '⊥平面BCDE ；（2）若3ED =，求平面A BE '与平面ACD '所成的锐二面角的余弦值.答案：（1）证明见解析；（22（1）取BE ，CD 的中点M ，N ，连接A M '，A N '，MN ，则//MN BC ，由题意可知A M BE '⊥，A N CD '⊥，MN CD ⊥，从而证明CD ⊥平面A MN '，即CD A M '⊥根据线面垂直的判定定理证明A M '⊥平面BCDE ，再利用线面垂直的性质定理证明面面垂直即可.（2）以M 为原点，MF ，MN ，MA '所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.求解平面A BE '的法向量()1,1,0n =，平面'A CD 的法向量()0,1,22m =，再根据cos ,m n m n m n=，计算二面角余弦值，即可.解：（1）取BE ，CD 的中点M ，N ，连接A M '，A N '，MN ，则//MN BC2AB AE ==，AC A D ''=∴A M BE '⊥，A N CD '⊥.又在矩形ABCD 中∴MN CD ⊥又MNA N N '=，MN ⊂平面A MN '，A N '⊂平面A MN '∴CD ⊥平面A MN 'A M '⊂平面A MN '∴CD A M '⊥又BE 与CD 为梯形BCDE 的两腰，必相交，CD ⊂平面BCDE ，BE ⊂平面BCDE∴A M '⊥平面BCDE ，又A M '⊂平面A BE '∴平面A BE '⊥平面BCDE .（2）∵3ED =，2AB AE == ∴235BC AD AE ED ==+=+=.过点M 作//MF CD ，交BC 与F ，则MF MN ⊥，MA MF '⊥，MA MN '⊥ 以M 为坐标原点，MF ，MN ，MA '所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则各点坐标为(2A '，()0,4,0N ，()1,4,0C ，()1,1,0B -.设平面A BE '的法向量为()111,,n x y z =，则(2MA '=，()1,1,0MB =-111·20·0n MA z n MB x y⎧==⎪⎨=-=⎪'⎩，即10z =，11x y =，取11y =，则()1,1,0n = 设平面'A CD 的法向量为()222,,m x y z =，则()0,4,2A N '=-，()1,0,0NC =222·420·0m A N y z m NC x ⎧=-=⎪⎨=='⎪⎩，即20x =，2222z y =，取11y =，则()0,1,22m =， ∴10110222cos ,6111832m n m n m n⨯+⨯+⨯====+⨯+即平面A BE '与平面ACD '所成锐二面角的余弦值为26.点评：本题考查面面垂直的证明，以及求二面角的余弦值，属于较难的一道题.20．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,0F 为椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，过F 的直线与椭圆E 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为21,33P ⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线OM 、ON 斜率的乘积为22b a-，两直线OM ，ON 分别与椭圆E 交于C 、M 、D 、N 四点，求四边形CDMN 的面积.答案：（1）2212x y +=；（2）2（1）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用点差法求出直线AB 的斜率为：222b a-，又直线AB 的斜率为：1031213-=--，所以2221b a -=-，得到222a b =，再结合222a b c =+，1c =，即可求出a ，b ，c 的值，从而求得椭圆E 的方程；（2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由题意可知121220x x y y +=，当直线MN 的斜率不存在时，易求四边形CDMN的面积114||||S x y ==MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入121220x x y y +=得22122k m +=，再由弦长公式和点到直线距离公式求得MON S ∆=，由椭圆的对称性可知：四边形CDMN的面积为4MON S ∆=从而得到边形CDMN的面积为 解：（1）由题意可知，1c =，设()11,A x y ，()22,B x y ，∴1243x x +=，1223y y +=， 又∵点A ，B 在椭圆上，∴22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，∴2122122y y b x x a -=-，即直线AB 的斜率为：222b a-， 又∵直线AB 过右焦点()1,0F ，过点21,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线AB 的斜率为：1031213-=--，∴2221b a-=-，∴222a b =，又∵222a b c =+，1c =，∴22a =，21b =，∴椭圆E的方程为：2212x y +=；（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ， 由题意可知，121212y y x x ⋅=-，即121220x x y y +=，①当直线MN 的斜率不存在时，显然12x x =，12y y =-，∴221120x y -=，又221112x y +=，∴211x =，2112y =，∴四边形CDMN的面积114S x y ==②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，联立方程2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()222124220k x kmx m +++-=， ∴122412km x x k-+=+，21222212m x x k -=+， ∴()()()2222121212122212k m y y kx m kx m k x x km x x m k -+=++=+++=+，∵121220x x y y +=，∴22222224201212m k m k k--++=++， 整理得：22122k m +=，由弦长公式得：MN ===，原点（0，0）到直线MN 的距离d =∴1122MON S MN d =⨯⨯==△， 由椭圆的对称性可知：四边形CDMN 的面积为4MON S =△， 综上所述，四边形CDMN 的面积为点评：本题考查椭圆方程的求解、椭圆中的面积问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对直线斜率是否存在的讨论. 21．已知函数()()sin ln f x x a x b =-+，()g x 是()f x 的导函数. （1）若0a >，当1b =时，函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一的极大值，求a 的取值范围；（2）若1a =，1,2b e π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，试研究()f x 的零点个数. 答案：（1）20,12π⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()f x 有3个零点 （1）先求导得()()2sin 1ag x x x '=-++，再分212a π⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭和212a π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭两种情况讨论求得a 的取值范围；（2）分析可知，只需研究(),b π-时零点的个数情况，再分(,),(,)22x b x πππ∈-∈两种情形讨论即可.解：（1）当1b =时，()()sin ln 1f x x a x =--，()()cos 1ag x f x x x '==-+，()0a > ()()2sin 1ag x x x '=-++在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，且()00g a '=>，21212a g ππ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，①，当02g π⎛⎫'≥ ⎪⎝⎭，212a π⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭时，()0g x '≥恒成立，()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭是增函数，无极值；②，当02g π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，212a π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭时，00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，()00,x x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '<，()g x 单调递减，0x 为()g x 唯一的极大值点，所以20,12a π⎛⎫⎛⎫∈+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）1a =，()()sin ln f x x x b =-+，(),x b ∈-+∞，1,2b e π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，可知， （i ）(),x π∈+∞时，()0f x <，无零点；所以只需研究(),b π-，()1cos f x x x b'=-+， （ii ）,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()1cos 0f x x x b '=-<+，可知()f x 单调递减， 1ln 1ln 02222f b e ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+>-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()0f π<，∃唯一的,2s ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f s =；（iii ）当,2x b π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()()21sin f x x x b ''=-++是减函数，且()21000f b ''=+>，211022f b ππ⎛⎫''=-+< ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则10,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()10f x ''=，()f x '在()1,b x -是增函数，1,2x π⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，并且()lim 0x b f x +→-'<，()1010f b'=->，1022f b ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭+， 所以()2,0x b ∃∈-，()20f x '=；30,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()30f x '=，且知()f x 在()2,b x -单调递减，在()23,x x 单调递增，在3,2x π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又因为()lim 0x bf x +→->，()00ln 0f b =-<，02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以(),0m b ∃∈-，()0f m =，0,2n π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()0f n =，综上所述，由（i ）（ii ）（iii ）可知，()f x 有3个零点.点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值和零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 22．已知直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩（其中t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）若点(),P x y 在直线l 上，且23x y x y--=+，求直线l 的斜率；（2）若4πα=，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值. 答案：（1）12-（2）12+ （1）根据直线的参数方程，设出点P 的坐标，代入直线方程并化简，即可求得tan α，即为直线l 的斜率；（2）先将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l 的参数方程化为普通方程，结合圆心到直线距离公式，再加半径即为圆上的点到直线距离的最大值.解：（1）设点()1cos ,1sin P t a t a +-+， 则2cos sin sin cos 3cos sin cos sin x y t t x y t t αααααααα----===+++， 整理可得2sin cos αα=-，即1tan 2α=-， ∴直线l 的斜率为12-. （2）曲线C 的方程可化为22sin ρρθ=，化成普通方程可得222x y y +=，即()2211x y +-=，曲线C 表示圆心为()0,1C ，半径为1的圆，直线l 的参数方程化成普通方程可得20x y --=，圆心C 到直线l 的距离为2d ==，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为12+. 点评：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化，点到直线距离公式的应用，属于基础题.23．已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.答案：（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞（1）根据1a =，将原不等式化为|1||2|(1)0x x x x -+--<，分别讨论1x <，12x ≤<，2x ≥三种情况，即可求出结果；（2）分别讨论1a ≥和1a <两种情况，即可得出结果.解：（1）当1a =时，原不等式可化为|1||2|(1)0x x x x -+--<；当1x <时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(1)0x ->，显然成立， 此时解集为(,1)-∞；当12x ≤<时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集；当2x ≥时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(10)x -<，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(,1)-∞；（2）当1a ≥时，因为(,1)x ∈-∞，所以由()0f x <可得()(2)()0a x x x x a -+--<， 即()(1)0x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意； 当1a <时，2(),1()2()(1),x a a x f x x a x x a -≤<⎧=⎨--<⎩，因为1a x ≤<时， ()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；综上，a 的取值范围是[1,)+∞.点评：本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.。
四川省宜宾市2019-2020学年高考数学第一次调研试卷含解析
四川省宜宾市2019-2020学年高考数学第一次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=【答案】D 【解析】 【分析】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，由()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，可得最小正周期T π=，从而求得ω，得到函数的解析式，又因为当3x π=时，226x ππ-=，由此即可得到本题答案. 【详解】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， 因为()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π， 所以函数()y f x =的最小正周期T π=，则22Tπω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 当3x π=时，226x ππ-=， 所以3x π=是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴， 故选：D 【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0+=i j a a （*,i j ∈N ，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ） A ．{}1,2,3 B ．{}6,7,8C ．{}1,2,3,4,5D ．{}6,7,8,9,10【答案】C 【解析】【分析】首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足0+=i j a a 的i 的取值集合. 【详解】设公差为d ，由题知43a =-⇒133a d +=-，1224S =⇒1121112242a d ⨯+=， 解得19a =-，2d =，所以数列为9,7,5,3,1,1,3,5,7,9,11,-----L ， 故{}1,2,3,4,5i ∈. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题. 3．已知函数2sin ()1xf x x =+．下列命题：①函数()f x 的图象关于原点对称；②函数()f x 是周期函数；③当2x π=时，函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ） A ．①④ B ．②③C ．①③④D ．①②④【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义可判断出①正确；由周期函数特点知②错误；函数定义域为R ，最值点即为极值点，由02f π⎛⎫'≠ ⎪⎝⎭知③错误；令()()1g x f x x =-，在0x >和0x <两种情况下知()g x 均无零点，知④正确.【详解】由题意得：()f x 定义域为R ，()()()()22sin sin 11x xf x f x x x --==-=-+-+Q ，()f x ∴为奇函数，图象关于原点对称，①正确； sin y x =Q 为周期函数，21y x =+不是周期函数，()f x ∴不是周期函数，②错误；()()()2221cos 2sin 1x x x xf x x+-'=+Q ，02f π⎛⎫'∴≠⎪⎝⎭，2f π⎛⎫∴ ⎪⎝⎭不是最值，③错误； 令()()221sin 1sin 111x x x x g x f x x x xx --=-=-=++，当0x >时，sin x x <，10x>，()0g x ∴<，此时()f x 与1y x =无交点；当0x <时，sin x x >，10x<，()0g x ∴>，此时()f x 与1y x =无交点；综上所述：()f x 与1y x=无交点，④正确. 故选：A . 【点睛】本题考查函数与导数知识的综合应用，涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的求解；本题综合性较强，对于学生的分析和推理能力有较高要求. 4．函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（ ） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】 由50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算出23x π+的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数()y f x =的值域. 【详解】50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，72,336x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2123x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭， 因此，函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解，解答的关键就是求出对象角的取值范围，考查计算能力，属于基础题.5．设双曲线221x y a b+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ） A ．225514x y -= B ．225514y x -= C ．225514y x -= D ．225514x y -= 【答案】C 【解析】 【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得双曲线方程221y x b a-=-的渐近线方程为y =，由题意可得4b a =-，又21c =，即1b a -=，解得a ，b ，即可得到所求双曲线的方程. 【详解】解：抛物线24x y =的焦点为()0,1可得双曲线()2210,0x y b a a b+=><即为221y x b a-=-的渐近线方程为y =2=，即4b a =- 又21c =，即1b a -= 解得15a =-，45b =. 即双曲线的方程为225514y x -=.故选：C 【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程，属于中档题.6．射线测厚技术原理公式为0t I I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001） A ．0.110 B ．0.112C ．0.114D ．0.116【答案】C 【解析】 【分析】根据题意知,010.8,7.6,2I t I ρ===，代入公式0t I I e ρμ-=,求出μ即可. 【详解】由题意可得,010.8,7.6,2I t I ρ===因为0t I I e ρμ-=,所以7.60.812e μ-⨯⨯=,即ln 20.69310.1147.60.8 6.08μ==≈⨯. 所以这种射线的吸收系数为0.114. 故选:C 【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.7．已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论． 【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，2z x y =+等价于2y x z =-+，作直线2y x =-，向上平移，易知当直线经过点()2,0时z 最大，所以max 2204z =⨯+=，故选D ． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．8．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD ，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若AE=50cm ．EF=40cm ．FC=30cm ，∠AEF=∠CFE=60°，则该正方形的边长为（ ）A ．502cmB ．402cmC ．50cmD ．206cm【答案】D 【解析】 【分析】过点,E F 做正方形边的垂线，如图，设AEM α∠=，利用直线三角形中的边角关系，将,AB BC 用α表示出来，根据AB BC =，列方程求出α，进而可得正方形的边长. 【详解】过点,E F 做正方形边的垂线，如图，设AEM α∠=，则CFQ α∠=，60MEF QFE α∠=∠=-o，则()sin sin 60sin AB AM MN NB AE EF FC ααα=++=+-+o()3350sin 40sin 6030sin 40sin 22ααααα⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭o，()cos cos cos 60CB BP PC AE FC EF ααα=+=+--o ()3350cos 30cos 40cos 6040cos sin 22ααααα⎛⎫=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭o 因为AB CB =，则333340sin cos 40cos 2222αααα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理化简得sin 23cos αα=，又22sin cos 1αα+=， 得3sin 22α=，3cos 22α=3333133140sin cos 4020622222222AB αα⎛⎫⎛⎫-+∴=+=⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 即该正方形的边长为206cm . 故选：D. 【点睛】本题考查直角三角形中的边角关系，关键是要构造直角三角形，是中档题.9．函数()3sin 3x f x x π=+的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性，可排除D ；求得()f x '及()f x ''，由导函数符号可判断()f x 在R 上单调递增，即可排除AC 选项. 【详解】函数()3sin 3x f x x π=+易知()f x 为奇函数，故排除D. 又()2cos x f x x π'=+，易知当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '>；又当,2x π⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()2sin 1sin 0x f x x x π''=->-≥，故()f x '在,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，所以()24f x f ππ⎛⎫''>= ⎪⎝⎭， 综上，[)0,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 单调递增. 又()f x 为奇函数，所以()f x 在R 上单调递增，故排除A ，C. 故选：B 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，导函数性质与函数图象关系，属于中档题.10．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且2311,,2a a a 成等差数列，则3445a a a a ++的值为( ) ABCD【答案】C 【解析】分析：解决该题的关键是求得等比数列的公比，利用题中所给的条件，建立项之间的关系，从而得到公比q 所满足的等量关系式，解方程即可得结果.详解：根据题意有213122a a a +=⋅，即210q q --=，因为数列各项都是正数，所以12q +=，而34451a a a a q +===+，故选C.点睛：该题应用题的条件可以求得等比数列的公比q ，而待求量就是1q，代入即可得结果. 11．函数()22xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3 B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,2【答案】C 【解析】 【分析】显然函数()22xf x a x=--在区间()1,2内连续,由()f x 的一个零点在区间()1,2内,则()()120f f <,即可求解. 【详解】由题,显然函数()22xf x a x=--在区间()1,2内连续,因为()f x 的一个零点在区间()1,2内,所以()()120f f <,即()()22410a a ----<,解得0<<3a ,故选:C 【点睛】本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.12．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（ ）m ．A ．1B ．43C ．494D ．2【答案】C 【解析】 【分析】由图像用分段函数表示()v t ，该物体在1s~6s 2间的运动路程可用定积分612()d s v t t =⎰表示，计算即得解【详解】 由题中图像可得，2,01()2,1311,363t t v t t t t ⎧⎪≤<⎪=≤≤⎨⎪⎪+<≤⎩由变速直线运动的路程公式，可得61311132621()d 22d 1d 3s v t t tdt t t t ⎛⎫==+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰6132211231492(m)64tt t t ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭．所以物体在1s~6s 2间的运动路程是49m 4． 故选：C【点睛】本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届四川省宜宾市叙州区第二中学高三一诊模拟数学(理)试题(解析版)
2020届四川省宜宾市叙州区第二中学高三一诊模拟数学（理）试题一、单选题1．已知全集为R ，集合{}1,0,1,2,3A =-，201x B x x ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，则A B 元素个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】求出集合B ，利用交集的定义求出A B ，即可得到A B 元素个数【详解】 由201x B xx ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，可得：()[)B=,12,-∞-⋃+∞，所以{}=2,3A B ⋂，即A B 元素个数为2，故答案选B 【点睛】本题考查分式不等式的解法以及集合交集的定义，属于基础题。
2．设121iz i i+=--，则||z =（） A ．0 B ．1CD ．3【答案】B【解析】先将z 分母实数化，然后直接求其模。
【详解】11122=2=211121i i i iz i i i i i i i z +++=---=---+=（）（）（）（） 【点睛】本题考查复数的除法及模的运算，是一道基础题。
3．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β”是“αβ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.4．已知函数()()1,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则21log 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．516B ．54C ．52D ．5【答案】A【解析】先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值. 【详解】22221114log 0,log log 2log 5555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222244416log 0,log log 2log 5555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22216log 516log 5log 116522161615log 0,log 2255216f⎛⎫ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫>∴====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选A. 【点睛】本题考查分段函数和对数运算，属于基础题. 5．设0.30.2a =，0.3log 0.2b =，0.20.4c =，则（） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】B【解析】运用中介值“1 ”，和指数的同指或同底时的大小比较得解.0.30.3log 0.2log 0.31b =>=,0.30.20.20.20.20.41a =<<<,b c a ∴>>故选B. 【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，属于中档题. 6．下图可能是下列哪个函数的图像（）A ．()221x x y x -=- B ．()2ln 1x x y x -=-C ．2ln 1y x x =- D ．()tan ln 1y x x =⋅+【答案】C【解析】可考虑用排除法，从函数的定义域和特殊点的函数的正负着手. 【详解】由图像可知，()tan ln 1y x x =⋅+在02π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，故可排除D ；当13x =时，A 、B 选项中的0,y >C 选项中的0,y < 故选C. 【点睛】本题考查函数的定义域和特殊点的函数值辨别图像，属于基础题.7．已知曲线1:2C y x =，2:sin 2cos 2C y x x =+，则下面结论正确的是（） A ．把曲线1C 向右平移8π个长度单位得到曲线2C B ．把曲线1C 向左平移4π个长度单位得到曲线2CC ．把曲线2C 向左平移4π个长度单位得到曲线1C D ．把曲线2C 向右平移8π个长度单位得到曲线1C 【答案】D【解析】将2:sin 2cos 2C y x x =+通过合一公式化为2:)4C y x π=+向右平移8π就可以得到1C 。
2020年四川省宜宾市高考数学一模试卷(理科)
2020年四川省宜宾市高考数学一模试卷（理科）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共12小题）1.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，4}，则∁U A＝（）A．{5，6} B．{1，2，3，4} C．{2，5，6} D．{2，3，4，5，6}2.已知i是虚数单位，复数m+1+（2﹣m）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）3.已知向量，且，则实数m＝（）A．﹣4 B．4 C．±2 D．±44.展开式中的常数项是（）A．189 B．63 C．42 D．215.已知，则（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c6.函数f（x）＝的图象大致是（）A．B．C．D．7.设曲线在处的切线与直线y＝ax+1平行，则实数a等于（）A．﹣1 B．C．﹣2 D．28.“关注夕阳，爱老敬老”，某企业从2012年开始每年向敬老院捐赠物资和现金，如表记录了该企业第x年（2012年是第一年）捐赠的现金数y（万元）：x3456y 2.534 4.5若由表中数据得到y关于x的线性回归方程是，则可预测2019年捐赠的现金大约是（）A．5.95万元B．5.25万元C．5.2万元D．5万元9.执行如图所示的程序框图，如果输入n＝2019，则输出的S＝（）A．B．C．D．10.若9人已按照一定顺序排成三行三列的方阵，从中任选3人，则至少有两人位于同行或同列的概率是（）A．B．C．D．11.已知，函数f（x）＝sin（2ωx+）在区间内没有最值，则ω的取值范围（）A．B．C．D．12.在平面直角坐标系中，O是坐标原点，若两定点A，B满足，，则点集所表示的区域的面积是．（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）13.在等差数列{a n}中，若a1＝2，a2+a3＝10，则a7＝．14.若函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax在区间（0，+∞）单调递增，则a的取值范围是﹣∞﹣．15.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知△ABC的面积为4，，则a＝．16.若函数在区间（0，2）上为减函数，则满足条件的a的集合是．三、解答题（共7小题）17.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足．（1）若，a+c＝10，求c；（2）若a＝4，，求△ABC的面积S．18.已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．19.已知函数．（1）若b＝1，当x＞0时，f（x）的图象上任意一点的切线的斜率都非负，求证：a≥；（2）若f（x）在x＝﹣2时取得极值0，求a+b．20.手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计职工一天行走步数（单位：百步）得到如下频率分布直方图：由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为125（百步），其中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表．（1）试计算图中的a、b值，并以此估计该单位职工一天行走步数的平均值；（2）为鼓励职工积极参与健康步行，该单位制定甲、乙两套激励方案：记职工个人每日步行数为ω，其超过平均值的百分数，若ε∈（0，10]，职工获得一次抽奖机会；若ε∈（10，20]，职工获得二次抽奖机会；若ε∈（20，30]，职工获得三次抽奖机会；若ε∈（30，40]，职工获得四次抽奖机会；若ε超过50，职工获得五次抽奖机会．设职工获得抽奖次数为n．方案甲：从装有1个红球和2个白球的口袋中有放回的抽取n个小球，抽得红球个数及表示该职工中奖几次；方案乙：从装有6个红球和4个白球的口袋中无放回的抽取n个小球，抽得红球个数及表示该职工中奖几次；若某职工日步行数为15700步，试计算他参与甲、乙两种抽奖方案中奖次数的分布列．若是你，更喜欢哪个方案？21.已知函数f（x）＝lnx﹣ax．（1）讨论f（x）在其定义域内的单调性；（2）若a＝1，且f（x1）＝f（x2），其中0＜x1＜x2，求证：x1+x2+x1x2＞3．22.如图所示，“8”是在极坐标系Ox中分别以和为圆心，外切于点O的两个圆．过O作两条夹角为的射线分别交⊙C1于O、A两点，交⊙C2于O、B两点．（1）写出⊙C1与⊙C2的极坐标方程；（2）求△OAB面积最大值．23.已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣t，t∈R，g（x）＝|x+3|．（1）x∈R，有f（x）≥g（x），求实数t的取值范围；（2）若不等式f（x）≤0的解集为[1，3]，正数a、b满足ab﹣2a﹣b＝2t﹣2，求a+2b的最小值．2020年四川省宜宾市高考数学一模试卷（理科）参考答案一、单选题（共12小题）1.【分析】根据全集U，以及A，求出A的补集即可．【解答】解：∵集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，4}，∴∁U A＝{2，5，6}．故选：C．【知识点】补集及其运算2.【分析】由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．【解答】解：∵复数m+1+（2﹣m）i在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得m＜﹣1．∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选：A．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义3.【分析】根据即可得出，进行数量积和数量积的坐标运算即可求出m．【解答】解：∵，∴＝4+m2﹣16﹣4＝0，解得m＝±4．故选：D．【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系4.【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可求出展开式中的常数项．【解答】解：展开式的通项公式为：T r+1＝•（3x3）7﹣r•＝•37﹣r•，令21﹣＝0，解得r＝6；所以展开式中的常数项是T7＝•3＝21．故选：D．【知识点】二项式定理5.【分析】容易得出，然后根据函数在（0，+∞）上的单调性即可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：，，；∵3＜9＜16，在（0，+∞）上单调递增；∴；∴b＜c＜a．故选：A．【知识点】对数值大小的比较6.【分析】利用特殊点代入确定．【解答】解：x＝1时，f（x）＝0，又x＝时，f（x）＝，故选：A．【知识点】函数图象的作法7.【分析】利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程即得．【解答】解：∵切线与直线y＝ax+1平行，斜率为a，又y'＝＝，所以切线斜率k＝f′（）＝﹣2，所以y＝ax+1的斜率为﹣2，即a＝﹣2．故选：C．【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程8.【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入求得m，则线性回归方程可求，取x＝8求得y值即可．【解答】解：由表格中的数据求得，．∴样本点的中心的坐标为（4.5，3.5），代入，得3.5＝4.5m+0.35，解得m＝0.7．∴线性回归方程为，取x＝8，得．故选：A．【知识点】线性回归方程9.【分析】由已知中的程序语句可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝++…+的值，利用裂项法可得答案．【解答】解：模拟程序的运行可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝++…+的值，可得：S＝++…+＝×（1﹣）+×（﹣）+…+（﹣）＝×（1﹣）＝．故选：B．【知识点】程序框图10.【分析】先求“三行三列的方阵中取三个数至少有两人位于同行或同列”的对立事件“三行三列的方阵中取三个数位于不同行不同列”包含的基本事件个数和基本事件总数，即可得到所求．【解答】解：九个人排成三行三列的方阵，从中任选三人，共有取法＝84三行三列的方阵中取三个数位于不同行不同列的取法有3!＝6 种．所以，至少有两个数位于同行或同列的概率是P＝1﹣＝，故选：A．【知识点】古典概型及其概率计算公式11.【分析】f（x）取最值时2ωx+＝+kπ，求出x的值，则x∉（，），由此列出不等式组求得ω的取值范围．【解答】解：当f（x）取得最值时，2ωx+＝+kπ，解得x＝+，k∈Z；依题意得x＝+∉（，），k∈Z；令+≤，k∈Z，解得ω≥+k，k∈Z；由题意知k＝0时，ω≥；令+≥，k∈Z，解得ω≤+，k∈Z；当k＝1时，ω≤；所以ω的取值范围是[，]．故选：C．【知识点】三角函数的最值12.【分析】讨论λ，μ的符号，根据三点共线原理分别求出4种情况下，P点表示的区域面积即可得出答案．【解答】解：∵＝cos∠AOB＝1，∴cos∠AOB＝，即∠AOB＝60°．（1）若λ＞0，μ＞0，设＝2，＝2，则＝+，∵|λ|+|μ|＝λ+μ≤2，故当λ+μ＝2时，E，F，P三点共线，故点P表示的区域为△OEF，此时S△OEF＝＝2．（2）若λ＜0，μ＞0，设＝﹣2，＝2，则＝﹣+，∵|λ|+|μ|＝﹣λ+μ≤2，故当﹣λ+μ＝2时，P，E，F三点共线，故点P表示的区域为△OEF，此时S△OEF＝sin120°＝2．同理可得：当λ＞0，μ＜0时，P点表示的区域面积为2，当λ＜0，μ＜0时，P点表示的区域面积为2，综上，P点表示的区域面积为24＝8．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律二、填空题（共4小题）13.【分析】根据题意，计算出公差d，即可得到所求．【解答】解：依题意，a2+a3＝10＝2a1+3d＝2×2+3d，∴d＝2，∴a7＝a1+6d＝2+12＝14，故答案为：14．【知识点】等差数列的通项公式14.【分析】等价于f′（x）≥0在区间（0，+∞）上恒成立，分离参数a后化为求函数的最值即可，利用函数的单调性易求最值．【解答】解：函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax在区间（0，+∞）单调递增，∴f′（x）＝e x﹣2x﹣a≥0在区间（0，+∞）上恒成立，即a≤e x﹣2x在区间（0，+∞）上恒成立，令y＝e x﹣2x其在（0，+∞）上单调递增，∴y′＝e x﹣2，当y′＝0时x＝ln2，∴0＜x＜lm2时，y′＜0函数递减，x＞ln2时，y′＞0；函数递增∴y min＝e ln2﹣2ln2＝2﹣2ln2，∴a≤2﹣2ln2；故答案为：（﹣∞，2﹣2ln2]．【知识点】利用导数研究函数的单调性15.【分析】根据条件列方程组，求出c和A的值，再根据余弦定理求出a．【解答】解：由＝8可得bc•cos（π﹣A）＝8，即c•cos A＝﹣2，①又S△ABC＝＝4，即c•sin A＝2，②由①②可得tan A＝﹣1，故A＝，c＝2，∴a＝＝＝2．故答案为：2．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律16.【分析】容易判断出a＜0和a＝0时，都不满足题意，a＞0时，在（0，）上是减函数，在（，+∞）时是增函数，g（x）在（0，+∞）上的最小值为，解即可得出a≥4，从而可判断a＝4时满足题意，从而得出满足条件的a的集合．【解答】解：①a＜0时，在（0，2）上是增函数，x趋向0时，g（x）趋向﹣∞；x趋向2时，g（x）趋向，∴f（x）在（0，2）上没有单调性，不合题意；②a＝0时，f（x）＝|x|在（0，2）上为增函数，不合题意；③a＞0时，在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，∴时，g（x）取得最小值，解得，a≥4，显然a＜4和a＞4时，都不满足f（x）在（0，2）上是减函数，只有a＝4时满足f（x）在（0，2）上是减函数，∴满足条件的a的集合是{4}．故答案为：{4}．【知识点】复合函数的单调性三、解答题（共7小题）17.【分析】（1）利用正弦定理，边化角，求出sin A，再求出c；（2）利用余弦定理求得b的一元二次方程，求出b，代入面积公式即可．【解答】解：（1）∵，∴sin A cos C＝（）cos A，化简得，因为sin B≠0，所以cos A＝，sin A＝，由正弦定理sin A：sin C＝4：1＝a：c，所以a＝4c，又a+c＝10，所以c＝2；（2）由（1）知cos A＝，sin A＝，由余弦定理可得，cos A＝，，得，得b＝，则S＝．【知识点】余弦定理18.【分析】（1）S n＝2a n﹣2，当n＝1时，S1＝2a1﹣2，可得a1．当n≥2时S n＝2a n﹣2，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2，两式相减得a n＝2a n﹣2a n﹣1（n≥2），利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）知，利用错位相减法即可得出．【解答】解：（1）∵S n＝2a n﹣2，当n＝1时，S1＝2a1﹣2，∴a1＝2当n≥2时，S n＝2a n﹣2，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2两式相减得a n＝2a n﹣2a n﹣1（n≥2），a n＝2a n﹣1，n≥2．∵a1＝2≠0，∴，n≥2．∴{a n}是以首项为2，公比为2的等比数列，∴．（2）由（1）知，，两式相减得，，∴．【知识点】数列的求和、数列递推式19.【分析】（1）根据已知条件把所求问题转化为导函数f'（x）的值恒大于等于0，再分离参数结合基本不等式即可得到结论；（2）根据f'（2）＝0以及f（2）＝0即可求出a，b；注意一定要检验．【解答】解：由题可得：．（1）因为b＝1，当x＞0时，f（x）的图象上任意一点的切线的斜率都非负；所以；即转化为∵∴∴．（2）因为f（x）在x＝﹣2时取得极值0；所以：f'（﹣2）＝3﹣6a+b＝0且f（﹣2）＝﹣2+6a﹣2b+2a2＝0解得当a＝1，b＝3时，函数无极值；∴a＝2，b＝9，a+b＝11．【知识点】利用导数研究函数的极值、利用导数研究曲线上某点切线方程20.【分析】（1）利用频率分布直方图列出方程组，能求出a，b，由此能估计该单位职工一天行走步数的平均值．（2）某职工日行步数ω＝157（百步），≈25，从而职工获得三次抽奖机会，设职工中奖次数为X，在方案甲下，求出E（X）＝1，在方案乙下，Xr可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出E（X）＝1.8，因而更喜欢方案乙．【解答】解：（1）由题意得：，解得a＝0.012，b＝0.010，∴＝60×0.002×20+80×0.006×20+100×0.008×20+120×0.012×20+140×0.010×20+160×0.008×20+180×0.002×20+200×0.002×20＝125.6．（2）某职工日行步数ω＝157（百步），≈25，∴职工获得三次抽奖机会，设职工中奖次数为X，在方案甲下，X0123PE（X）＝＝1，在方案乙下X0123PE（X）＝＝1.8，∴更喜欢方案乙．【知识点】离散型随机变量的期望与方差、离散型随机变量及其分布列、频率分布直方图21.【分析】（1）先对函数求导，然后对a进行分类讨论，结合导数与函数单调性关系即可求解，（2）结合（1）所得单调性及0＜x1＜1＜x2，将要证的不等式转化为，由x2＞1，，从而结合﹣f（x）在1，+∞）时的单调性，构造函数即可证．【解答】解：（1）①当a≤0时，f'（x）＞0，则f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；②；，（2）由（1）得：当a＝1时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴0＜x1＜1＜x2，将要证的不等式转化为，考虑到此时，x2＞1，，又当x∈（1，+∞）时，﹣f（x）递增，故只需证明﹣f（x2）＞﹣f（），即证﹣，设Q（x）＝，则，＝，＝＝．当x∈（0，1）时，Q'（x）＜0，Q（x）递减．所以，当x∈（0，1）时，Q（x）＞Q（1）＝0．所以，从而命题得证．【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性22.【分析】（1）直接由图可得⊙C1与⊙C2的极坐标方程；（2）由（1）得A（2sinθ，θ），B（，），代入三角形面积公式，整理后利用三角函数求最值．【解答】解：（1）⊙C1：ρ＝2sinθ；⊙C2：ρ＝﹣4sinθ；（2）由（1）得A（2sinθ，θ），B（，），则＝＝＝．∴当sin（）＝1时，△OAB面积最大值．【知识点】简单曲线的极坐标方程23.【分析】（1）参数分离，利用绝对值不等式的性质求出即可；（2）先求出t＝1，代入ab﹣2a﹣b＝2t﹣2，得到关于a，b的方程，再用柯西不等式求出即可．【解答】解：（1）由x∈R，有f（x）≥g（x），得|x﹣2|﹣t≥|x+3|恒成立，所以t≤|x﹣2|﹣|x+3|，由||x﹣2|﹣|x+3||≤|x﹣2﹣x﹣3|＝5，所以﹣5≤|x﹣2|﹣|x+3|≤5，所以t≤﹣5；（2）由不等式f（x）≤0的解集为[1，3]，得|x﹣2|≤t，解得2﹣t≤x≤2+t，∴解得t＝1，将t＝1带入ab﹣2a﹣b＝2t﹣2，整理得ab﹣2a﹣b＝0，∴，所以a+2b＝（a+2b）（）≥（1+2）2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，故a+2b的最小值为9．【知识点】绝对值不等式的解法、基本不等式。
宜宾市2020级理科一诊数学答案
宜宾市2020级高三第一次诊断性试题（参考答案）数 学（理工类）注意：一、本解答给出了一种解法仅供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13.5； 14.30-； 15. 1925[,)1212； 16.4e三、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解：（1）供电量与需求量的比值由小到大排列，第5个数，第6个数分别为0.85,0.86 ............... 2分0.850.870.862+∴=所求中位数＝................................................................................................................. 4分 （2）2×2列联表.......................................................................................................................................................................... 6分()22207643201.818 3.841119101011K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ .................................................................................................. 10分 ∴没有95%的把握认为生产有影响与企业所在区有关. ............................................................................. 12分18. 解：（1）当1n =时，12212,1,222a a aS a ===； 当2n =时，233232,3,322a a aS a ===； ....................................................................................................... 2分 猜想n a n =. ...................................................................................................................................................... 4分 证明如下：当1n =时，11a =成立； 假设n k =时，k a k =成立；那么1n k =+时，11(1)222(12)2,12k k k k k k k ka a S k S a k a kk+++⨯+++=====+也成立. 则对任意的*n N ∈，都有n a n =成立. ........................................................................................................... 6分 （2）2n n b n =+， .......................................................................................................................................... 8分2121(1)2(12)(12)(222)2221222n nn n n n n nT n ++-=++++++=+=++-- ............................................. 12分19. 解：（1）sin sin sin sin c C b B c a A A-=-，22c b c a a a -=-，222c ac b a -=-，所以222a c b ac +-=,1cos 2B =, .................................................................................................................... 2分222244c c c -=-， ......................................................................................................................................... 4分22434,,3c c c ===2a c =，22a b c =++=++=+周长...................................................................................................... 6分 （2）2BC BA BD +=，22()4BC BA BD +=，22224BC BA BC BA BD ++⋅=，2222cos 4a c ac B BD ++⋅=，222222242a c b a c ac BD ac +-++⋅=，2222224a c b BD +-=， ............. 8分2222222,4,4c ac b a c ac a ac a c -=-∴-=-=+-，222a c ac +≤,当且仅当2a c ==时，等号成立.222242a c a c +∴+-≤ 22224,82a c a c +≤+≤，222222242222428412,3,BD a c b a c BD BD =+-=+-≤⨯-=≤≤ BD ∴的最大值为..................................................................................................................................... 12分20. （1）0,1,2X 的取值为()812121210=⨯⨯==X P ；()85212121212121211=⨯+⨯⨯+⨯==X P ；4121121)2(=⨯⨯==X P ； .......... 4分 所以X 的分布列为.......................................................................................................................................................................... 5分所以()89412851810=⨯+⨯+⨯=X E ； ........................................................................................................... 6分(2)（i ）由题意：第一次传球后，球落在乙或丙手中，则10a =，,2n n N *∈≥时，第n 次传给甲的事件是第1n -次传球后，球不在甲手上并且第n 次必传给甲的事件，于是有()1121--=n n a a ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--3121311n n a a ，数列1{}3n a -是首项为31311-=-a ，公比为21-的等比数列..................................................................... 9分 （ii ）1213131-⎪⎭⎫⎝⎛--=-n n a ，所以1213131-⎪⎭⎫⎝⎛--=n n a ， ........................................................................... 11分当+∞→n 时，31→n a ，所以当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数31. .......... 12分21. 解：（1）先证sin x x <，令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=->， 所以()g x 在(0,1)上单调递增， 所以()(0)0g x g >=，即sin 0,sin x x x x ->>. .............................................................................................................................. 2分再证1ln1x x <-， 令1()ln ln(1)1h x x x x x =-=----，111()(1)111x xh x x x x--+'=⋅-==---， 01,()0x h x '<<∴>，()h x 在(0,1)单调递增，()(0)0h x h >=，即11ln0,ln 11x x x x->>--. ........................................................................................ 4分 （2）1sin ln 1x x<-， 111111sinsin sinln ln ln1112311123n n∴+++<+++---3ln 2ln lnln 21nn n =+++=-， ................. 6分 要证111sin sin sin ()23f n n +++<，只需证ln ()n f n <，ln ,ln 0anann e n e n n <--->即证即证，11221,,ln ln 2n n an an a e e e n n e n n ≥∴≥--≥--， ................ 7分要证ln 0ane n n -->，即证1*2ln 0(,2)n en n n N n -->∈≥令12()()ln xF x e x x =--，1211()()12xF x e x'=--，()F x '在[2,)+∞上单调递增， (2)0F '<，(3)0F '>，所以()F x '在区间(2,3)上存在零点0x且()F x 在0[2,)x 上单调递减，0[,)x +∞上单调递增， ............................................................................ 10分而(2)2ln 20F e =-->，3233(3)ln 022F e =--> 所以[3,),()(3)0x F x F ∈+∞>≥ 所以，1*2ln 0(,2)n e n n n N n -->∈≥得证................................................................................................... 12分22.解：（1）由1x t y ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩得．(,x y t y ∈=代入1y t=+C的普通方程为220,(0,x y y +-=∈， ................................................. 3分 C的极坐标方程为2sin 0,0ρθρ-=≠化简得：0,0ρθρ-=≠ .................................................................................................................. 5分 （2）l的参数方程为3,12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），代入220x y +-=，得到290t -+=， .................................................................................................................................. 7分∴483612,A B t t ∆=-=+=9A B t t =，|||||||2||||A B AB PA PB t t P P AB A B ∴+=+∴=+===∴||||||PA AB PB ，，成等差数列 ................................................................................................................ 10分 23.解：（1）()211f x x x =-+++由()6f x <，得21611x x x ⎧⎨---+<<-⎩， ， 或21116x x x ⎧⎨-+-<⎩＋＋２， ， ≤≤或21126x x x ⎧⎨-+++<>⎩， ， ................................ 3分即21x -<<-或1x -２≤≤或23x <<()6f x ∴<的解集为(2,3)-，......................................................................................................................... 5分 （2）()(2)()2f x x a x b c a b c --++=++，≥当2x a =时取等号，min ()27f x a b c =++= ........................................................................................ 7分=5=2==1,3,2a b c ===时取等号．5． ..................................................................................................... 10分。