第十章 曲线积分与曲面积分

(二) 线面积分的计算方法 1．曲线积分的计算⑴ 基本方法：曲线积分−−−→转化定积分 第一类线积分：设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，()t αβ≤≤,（要解决1、积分限，2、被积函数，3、弧微分） 其中(),()t t ϕψ在[,]αβ上具有一阶连续导数，且'2'2()()0t t ϕψ+≠，则(,)[(),(,()Lf x y ds f t t βαϕψαβ=<⎰⎰【例1】 求yL xe ds ⎰，其中L 是由cos (0)sin x a t a y a t=⎧>⎨=⎩所表示的曲线上相应于233t ππ≤≤的一段弧. 解（法一）ds adt ==,故 原式=22sin sin 3333cos |0a ta ta t e adt aeππππ⋅⋅==⎰.（法二）容易看出积分弧段关于y 轴对称，而被积函数是关于变量x 的奇函数，故0y Lxe ds =⎰【例2】 求()Lx y ds +⎰，其中L 是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为顶点的三角形(图10.1)边界. 解()()()()LOAABBOx y ds x y ds x y ds x y ds+=+++++⎰⎰⎰⎰1101xdx ydy =++=⎰⎰⎰【例3】求⎰,式中L 为圆周22(0)x y ax a +=>解 L 的极坐标方程为cos (),22r a ds ad ππθθθθ=-≤≤==则222cos 2a ad a ππθθ-=⋅=⎰⎰【例4】求22()Lx y ds +⎰，其中L 是曲线(cos sin ),x a t t t =+(sin cos ),(02,0)y a t t t t a π=-≤≤≥解 ds atdt =，于是22222220()[(cos sin )(sin cos )]Lx y ds a t t t a t t t atdt π+=++-⎰⎰232320(1)2(12)a t t dt a πππ=+=+⎰第二类线积分：设(,),(,)P x y Q x y 在有向曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，当t 单调地αβ→时，（要解决1、积分限，2、被积函数，3、弧微分） 点(,)M x y 从L 的起点A 沿L 运动到终点B ，(),()t t ϕψ在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且'2'2()()0t t ϕψ+≠，则''(,)(,){[(),()]()[(),()]()}LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ+=+⎰⎰【例1】 求2L ydx xdy x +⎰，其中L 是曲线ln y x =上从点(1,0)到点(,1)e 的一段弧.解 由ln y x =得1,ydx dy x e x==，故原式=1121002()|y y ydy e dy y e e +=+=⎰⎰【例2】求ABC dx dy x y ++⎰，其中ABC 如图10.2所示解（法一）:,:10,,1:,:01,1x x AB x dy dx y x x x BC x dy dxy x =⎧→=-⎨=-⎩=⎧→-=⎨=+⎩原式=0110()2(1)1AB BC dx dy dx dy dx dx dx dx x y x y x x x x-+++-++=+=-+++--++⎰⎰⎰⎰ 解（法二） 因为 1x y +=,又 ()dx dy d x y +=+,故 原式=(1,0)(1,0)()2x y -+=-【例3】 求2222()()Cx y dx x y dy ++-⎰，其中C 为曲线11y x =--，(02)x ≤≤解 当01x ≤≤时，1(1)y x x =--=，则dy dx =； 当12x ≤≤时，1(1)2y x x =--=-，则dy dx =-；12222222222014()()2[(2)(2)]3Cx y dx x y dy x dx x x x x dx ++-=++--+-=⎰⎰⎰ B(0,1)B(0,1) A(1,0)C(-1,0)xy图10.2⑵ 基本技巧① 利用对称性简化计算； 【例1】 求2()Lx y ds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=.解 由对称性得0Lxyds =⎰，故22222()(2)()2LLLLx y ds x xy y ds x y ds xyds +=++=++⎰⎰⎰⎰2223022LLa ds a ds a a a ππ=+==⋅=⎰⎰【例2】求221[()(1)]22Cy I x ds =+++⎰,其中22:1C x y += 解 利用对称性2222222255[()()]()(()0)444451155515()2()284282424C C C C C y y I x x y ds x ds x y ds x y x y ds ds πππππ=++++=+++=++=++=++=+=⎰⎰⎰⎰⎰② 利用格林公式(注意：添加辅助线的技巧)；【定理10.1】 格林（Green ）公式 设函数(,)P x y 和(,)Q x y 在分段光滑的闭曲线L 所围成的闭区域D 上具有一阶连续偏导数，则有()LDQ Pdxdy Pdx Qdy x y∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰其中L 是D 的正向边界.【例1】计算22222222sin x L e x y xy y dx dy x y x y--+++⎰,其中L 是222x y a +=,顺时针方向 ● 计算对于坐标的曲线积分第二种解法: 利用格林公式求解，计算前必须使用代入技巧,消去分母,否则工作量太大.因为L 是反向的,所以使用格林公式是需要补加一个负号.解 将222x y a +=代入被积分式中，22222222sin x L e x y xy y dx dy x y x y --+++⎰=()()222221sin x L e x y dx xy y dy a -+-⎰ 2222,sin ,x P e x y Q xy y =-=- 22.Q P y x x y∂∂-=+∂∂ 根据格林公式， 原式()2222221x y a xy d a σ+≤=-+⎰⎰232001a d r dra πθ=-⎰⎰22a π=-。

【例2】计算(ln x y x dy ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦⎰,其中L 是()()22111x y -+-=的上半圆周,顺时针方向. ● 不易直接计算,应该检验0Q Px y∂∂-≠∂∂.补充:1,AB y x =由2至0, 原式=L ABAB+-⎰⎰.然后利用格林公式.解设P =(ln .Q x y x =+1Q Px y∂∂=+=∂∂1Q P x y∂∂-=∂∂. 补::1,AB y x =由2至0,AB 与L 所围成的区域记为D .原式=L ABAB+-⎰⎰(021ln 22x π⎤=--+⎥⎦(1ln 222π=-B③ 利用积分与路径无关的等价条件【定理10.3】（积分与路径无关的条件）设函数(,)P x y 和(,)Q x y 在单连通区域D 内具有一阶连续偏导数，则下列四个条件相互等价，即互为充要条件： (1)ABL Pdx Qdy +⎰在D 内与路径无关；(2)在D 内存在一个函数(,)u x y ，使 du Pdx Qdy =+,其中00(,)(,)(,)(,)(,)xy x yx y x y u x y P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy =+=+⎰⎰⎰⎰00(,)x y 为D 内任一取定的点.（3）0LPdx Qdy +=⎰，其中L 为D 内任一分段光滑的闭曲线（4）在D 内等式P Qy x∂∂=∂∂恒成立 【例1】求3222(2cos )(12sin 3)Lxyy x dx y x x y dy -+-+⎰,其中L 为22x y π=从点(0,0)O 到点(,1)2B π的一段弧解 3222(,)2cos ,(,)12sin 3P x y xy y x Q x y y x x y =-=-+262cos Q Pxy y x x y∂∂==-∂∂, 故积分与路径无关,选取折线路径 (0,0)(,0)(,1)22O C B ππ→→ 原式=2211222003[12sin 3()](12)2244y y dy y y dy ππππ-+=-+=⎰⎰【例2】适当选取,a b ,使2222222(2)(2)()y xy ax dx x xy by dyx y ++-+++是某个函数(,)u x y 的全微分,并求出(,)u x y解 因为322332232222223(21)(12)32,2()()Q x x y b xy y P x a x y xy y x x y y x y ∂++--∂+---==∂+∂+ 令Q P x y∂∂=∂∂,比较系数得 1,1a b =-=-2222(,)222(1,1)222222222211(2)(2)(,)()122(1)()x y xy y xy x dx x xy y dyu x y x y x x x x y x y dx dy C x x y x y+--+-=++-+-- =-=++++⎰⎰⎰【例3】试确定可导函数()f x ,使积分()()[()]()B x A e f x ydx f x dy +-⎰与路径无关,且求,A B为(0,0),(1,1)时的积分值.此处1(0)2f = 解 [()],(),(),()xx Q PP e f x y Q f x f x e f x x y∂∂'=+=-=-=+∂∂ 令Q P x y∂∂=∂∂,则有 ()()xf x f x e '+=-,解一阶线性非齐次微分方程得 2()()2xxe f x e C -=-+,代入 1(0)2f =得,1C =,即 1()2xx f x e e -=-. 当,A B 为(0,0),(1,1)时,积分为(1,1)11(0,0)01111()()()2222x x x x e e e ydx e e dy e e dy e ---+--=--=-⎰⎰ 【例4】 计算224L xdy ydxx y -+⎰，其中L 为任意一条不通过原点的简单光滑正向的封闭曲线. 解 设2222,,44y xP Q x y x y-==++ 则222224(4)Q y x P x x y y∂-∂==∂+∂，除去原点(0,0)O 以外一切点上式都成立. ①当曲线L 的内部不含原点时22()004L D Dxdy ydx Q Pdxdy dxdy x y x y -∂∂=-==+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰. ②当曲线L 的内部含原点时,可在L 的内部做一个充分小的椭圆:2cos ,sin c x a t y a t ==，从0t =到2t π=.利用复连通域上的格林公式，有 222221444L c cxdy ydxxdy ydx xdy ydxx y x y a --==-++⎰⎰⎰221122244Ddxdy a a a a ππ=⋅=⋅⋅⋅⋅=⎰⎰④ 利用两类曲线积分的联系公式 【定理10.2】（两类曲线积分之间的关系） (cos cos )LLPdx Qdy P Q ds αβ+=+⎰⎰其中cos ,cos dx dyds dsαβ==，α和β表示曲线的切向量的方向角.2.曲面积分的计算⑴ 基本方法：曲面积分−−−→转化二重积分 第一类面积分：当曲面∑由方程(,)z z x y =给出，(,,)[,,(,xyD f x y z dS f x y z x y ∑=⎰⎰⎰⎰，(xy D 为∑在xoy 面上的投影区域)要解决 1、曲面方程如(,)z z x y =及投影区域xy D ，2、被积函数[,,(,)]f x y z x y ，3）注：如果积分曲面∑由方程(,)x x y z =或(,)y y z x =给出，也可类似地把对面积的曲面积分化为相应的二重积分. 【例1】求∑⎰⎰，其中∑为锥面z =介于0z =及1z =之间的部分.解 曲面∑在xoy 坐标平面上的投影为22:1xy D x y +≤.x z =,y z =，故∑xyD =2222xyD dxd y dxdyππ∑===⋅=⎰⎰⎰⎰【例2】求xyz dS ∑⎰⎰，∑为曲面22z x y =+被平面1z =割下的部分解 设1∑表示∑在第一卦限内部分，则2212210,01122044(14cos sin 2420x y x y xyz dS xyzdS xy x y d r r r πθθθ∑∑+≤≥≥==+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第二类面积分：(,,)[(,),,]yzD P x y z dydz P x y z y z dydz ∑=±⎰⎰⎰⎰，(其中∑由方程(,)x x y z =给出前侧取正，后侧取负)(,,)[,(,),]yzD Q x y z dzdx Q x y x z z dzdx ∑=±⎰⎰⎰⎰,(其中∑由方程(,)y y x z =给出右侧取正，左侧取负)(,,)[,,(,)]yzD R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑=±⎰⎰⎰⎰，(其中∑由方程(,)z z x y =给出上侧取正，下侧取负) 【例1】求z ∑∑为锥面z =及平面1z =和2z =所围成的立体表面的外侧解 设 123∑=∑+∑+∑，其中 221:2,4z x y ∑=+≤，2:2,z z ∑=≤≤223:1,1z x y ∑=+≤在面上的投影分别为222222123:4,:14,:1D x y D x y D x y +≤≤+≤+≤123z z z z ∑∑∑∑=++12322222212201001()()2D D D r e d rdr d e dr e d dr e rπππθθθπ=--=+-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰【例2】设∑是椭球面2222221x y z a b c ++=的外侧(0,0,0)a b c >>>,求111I dydz dzdx dxdy x y z∑=++⎰⎰. 解 设12,∑∑是∑的上半椭球面的上侧和下半椭球面的下侧，12,∑∑在xoy 面的投影为22221x y a b +≤，则 12111dxdy dxdy dxdy z z z ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰222202224840ax y a b adx c c abc dx c c π+≤====⎰⎰⎰⎰⎰同理得221414,abc abc dydz dzdx x a y b ππ∑∑==⎰⎰⎰⎰，所以2221114()I abc a b cπ=++⑵ 基本技巧① 利用对称性及重心公式简化计算； 【例1】求222x dydz y dxdz z dxdy ∑++⎰⎰,∑为球面22()()x a y b -+-+22()z c R -=的外侧.解 记 2222:()()()x a y b z c R Ω-+-+-≤，利用Gauss 公式，有原式=2()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰，由重心坐标(,,)(,,)x y z a b c =得 原式=382()()3a b c dxdydz a b c R πΩ++=++⎰⎰⎰② 利用高斯公式(注意公式使用条件，添加辅助面的技巧)； 【定理10．5】高斯(Gauss)公式设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有(),P Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y zΩ∑∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰或()(cos cos cos ),P Q R dxdydz P Q R dS x y zαβγΩ∑∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，cos ,cos ,cos αβγ是∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦【例1】 求222()xy z dydz ∑++⎰⎰，其中∑是球面2222x y z a ++=内侧.解22222()x y z dydz a dydz a dydz ∑∑∑++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2222200x y z a Gauss a dxdydz ++≤-=⎰⎰⎰公式【例2】 求zdxdy ydzdx xdydz ∑++⎰⎰，其中∑是球面2222xy z a ++=外侧.解 由已知得 ,,P x Q y R z ===，则1P Q Rx y z∂∂∂===∂∂∂ 由Gauss 公式得 原式=22222222()3x y z a x y z a P Q Rdxdydz dxdydz x y z ++≤++≤∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰334343a a ππ=⋅=【例3】 求2232(1)(9)xz dydz y z dzdx z dxdy ∑+++-⎰⎰，其中∑是曲面 221(12)z x y z =++≤≤的下侧.解 补充 1222:1z x y =⎧∑⎨+≤⎩，取上侧 2232(1)(9)xz dydz y z dzdx z dxdy ∑+++-⎰⎰ 11223{}2(1)(9)xz dydz y z dzdx z dxdy ∑+∑∑=-+++-⎰⎰⎰⎰231(92)(1)2xyD dv dxdy z dz πππΩ=--=--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰③ 两类曲面积分的转化.【定理10．4】两类曲面积分之间的联系(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑∑++=++⎰⎰⎰⎰，其中cos ,cos ,cos αβγ是有向曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.【例1】 计算[(,,)][2(,,)][(,,)]f x y z x dydz f x y z y dzdx f x y z z dxdy∑+++++⎰⎰,其中(,,)f x y z 为连续函数，∑为平面1x y z -+=在第四卦限部分的上侧.解 化为第一类曲面积分，因为∑的正法线n 的方向余弦为cosαβγ===所以cos ,cos ,cosdydz dS dxdz dS dxdy dS αβγ====== 其中dS 为平面∑上的面积元素原式(,,)](,,)](,,)]}f x y z x f x y z y f x y z z dS ∑=++++⎰⎰ 1()2xyx y z dS dS σ∑∑=-+===⎰⎰。