【校本教案】校本课程 趣味数学教案

校本选修课程

课程名称：趣味数学

《趣味数学》校本课程纲要

一、课程开发原则与开发背景

1、开发原则：《趣味数学》课程就是要把“数学有趣，数学有用，数学不难”的理念放在第一位，故名“趣味数学”。本课程让学生在趣味化、生活化的数学教学活动中，自主地建构数学知识，创设轻松、活泼的教学氛围，使教学活动源于学生生活，源于学生好奇之事，引导学生积极运用自己有的生活经验去探索、去发现、去体验，让他们亲身感悟数学知识。根据自己对中学数学节本的了解，设计出有趣的数学课程，对学生进行无痕的引导，降低学生接受的难度。通过学生的探究和发现感受到有趣有用的数学。同时体会我们中国古代光辉的数学成就，有信心学好数学。游戏是学生很好的学习方式和途径，而数学语言却以简练和逻辑为特点。为了把抽象的数学符号变为生动活泼的形象符号，让学生更乐于接受，更容易掌握，《趣味数学》将寓教于乐的传统教学理念移植到单调枯燥的数学教学中，让学生在潜移默化地掌握操作学习法、阅读学习法、迁移类推学习法、发现学习法、尝试学习法等众多学习方法，让学生通过饶有兴趣的认知方式轻松掌握所学的知识。

2、开发背景：“数学是思维的体操”。作为一门研究数量关系与空间形式的科学，数学不仅具有高度的抽象性、严密的逻辑性，而且具有广泛的应用性。数学以高度智力训练价值以及学科本身所具有的特点，为培养发展学生的创造性思维品质提供了极大的空间。数学是学习现代科学技术必不可少的基础和工具，是基础教育的重要组成部分，通过数学思维训练，不仅使学生能够掌握渊博的数学知识，也使那些数学尖子有发挥自己特长的用武之地，更重要的是可以训练他们的思维，增强分析问题和解决问题的能力，促使学生发展，形式健全人格，具有终身持续发展能力的力量源泉。开展教学思维训练活动，对于扩大学生的视野，拓宽知识，培养兴趣爱好，发展教学才能，提供了最佳的舞台，未来的数学家、科学家、诺贝尔奖金的获得者就在他们当中诞生。

二、课程目标

1、数学思维训练能使学生接触各种类型的数学题，使学到的知识融会贯通，灵活运用。

2、学生通过解答比平时学习难得多的数学题，培养学生克服困难，解决困难的精神和能力。体会攻克难题后的喜悦和成就感，从而培养学生学习数学的兴趣和爱好。

3、通过数学思维训练，发挥学生的特长，培养具有一技之长的学生。

4、培养学生分析问题，解决问题的能力，更要培养学生创造性思维方法和创造性思维品质。

三、课程实施过程

本课程通过教师讲授和学生自学想结合来实施教学活动。考虑学生对趣味数学的话题比较感兴趣，比较有热情，建议每一节由老师简单引导，结合数学在发展过程中一些实际背景，与学生一起探讨。采用集体辅导、独自练习、分组活动、合作学习、实际操作、生活实践、调查研究等方法，对数学中进一步深入了解和认识，感受数学的魅力。

四、学生收获

通过活动，让学生将所学数学知识应用于日常生活中，实现数学知识生活化、情景化，使学生感到生活中处处有数学，并将数学思维和数学知识渗透到每一节节程之中，让学生在解决实际问题过程中认知数学符号，掌握数学概念，形成数学

思维，明白数理意义，亲近数学学科。并且通过这些问题和活动为学生提供探索数学奥秘的机会，学生在参与这些数学游戏和解决数学问题的过程中，体会数学价值，锻炼数学智慧，运用所学的知识与技能，学习解决问题的方法。通过这些问题的训练，可以培养学生的计算能力、洞察力、分析能力、想像力、思维能力等。让学生在解决问题的过程中，获得思维的训练。

五、学习评价

对于高中学生来说，已经积累了一定的数学知识和学习经验，不能单纯地以知识点的掌握来评价一个学生。要让学生终身受益，就要使他们获得思想方法的指导和思维品质的提升，养成一种科学精神及态度。评价学生的“情感与态度”是首要的。当然，操作能力、实践活动、思维能力、分析问题及解决问题等方面的能力的评价也十分必要的，总之是不能单纯以一张试题来评价学生。评价的方法很多，内容也很广。也可以由学生自我评价，觉得自己对这种学习是否有兴趣，有没有一种成就感；可以学生互评，特别是实践操作方面，学生互评，其实也就是一个学生合作学习的过程；还可以由家长来评价，评价自己的子女、评价训练的方式，方法和取得的成绩；当然辅导教师对学生的评价是至关重要的，辅导教师可以通过考勤、考核、课内外的表现，学习的兴趣，多层次多方位地给予评价。

《趣味数学》目录

第1课时集合中的趣题—“集合”与“模糊数学…

第2课时函数中的趣题—一份购房合同…

第3课时函数中的趣题—孙悟空大战牛魔王

第4课时三角函数的趣题—直角三角形…

第5课时三角函数的趣题—月平均气温问题……

第6课时数列中的趣题—柯克曼女生问题……

第7课时数列中的趣题—数列的应用……

第8课时不等式性质应用趣题―两边夹不等式的推广及趣例…

第9课时不等式性质应用趣题―均值不等式的应用……

第10课时立体几何趣题—正多面体拼接构成新多面体面数问题…

第11课时立体几何趣题—球在平面上的投影……

12课时解析几何中的趣题―神奇的莫比乌斯圈……

13课时解析几何中的趣题―最短途问题……

14课时排列组合中的趣题―抽屉原理……

15课时排列组合中的趣题―摸球游戏…………

第16课时概率中的趣题………

第17课时简易逻辑中的趣题………………………

第18课时解数学题的策略………

“集合”与“模糊数学”

教学要求：启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和

创造地解决问题；

教学过程：

一、 情境引入

1965年，美国数学家扎德发表论文《模糊集合》，开辟了一门新的数学分支——模糊数学。

二、 实例尝试，探求新知

模糊数学是经典集合概念的推广。在经典集合论当中，每一个集合都必须由确定的元素构成，元素对于集合的隶属关系是明确的，这一性质可以用特征函数：(){)

(,1)(,0A x A x A x ∈?=χ来描述。扎德将特征函数)(x A χ改成所谓的“隶属函数”

,1)(0:)(≤≤x x A A μμ，这里A 称为“模糊函数”，()x A μ称为x 对A 的“隶属度”。

经典集合论要求隶属度只能取0，1二值，模糊集合论则突破了这一限制，()x A μ=1时表示百分之百隶属于A ；()x A μ=0时表示不属于A 还可以有百分之二十隶属于A ，百分之八十不隶属于A ……等等，这些模糊集合为对由于外延模糊而导致的事物是非判断上的上的不确性提供了数学描述。由于集合论是现代数学的重基石,因此,模糊数学的概念对数学产生了广泛的影晌，人们将模糊集合引进数学的各个分支，从而出现了模糊拓扑、模糊群论、模糊测度与积分、模糊图论等等，它们一起形成通常所称的模糊数学， 模糊数学是20世纪数学发展中的新新事物，它在理论上还不够成熟，方法上也未臻统一，它将随着计算机科学的发展而进一步发展。

例1、学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参加，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参加，那么这两次运动会这个班共有多少名同学参赛？

⑴如果有5名同学两次运动会都参加了，问这两次运动会这个班共有多少名同学参赛？

⑵如果每一位同学都只参加一次运动会, 问这两次运动会这个班共有多少名同学参赛？

解析：可能有的同学两次运动会都参加了，因此，不能简单地用加法解决这个问题。

（1） 因为这5名同学在统计人数时，计算了两次，所以要减

去．8 + 12 – 5 = 15．

（2） 8 + 12 = 20.这两次运动会这个班共有20名同学参赛.

三、 本课小结

通过“模糊数学”了解到数学的发展是靠坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神而进步的。

四、 作业

下列各组对象能否形成集合？（1）高一年级全体男生；（2）高一年级全体高个子男生；（3）所有数学难题；（4）不等式02>+x 的解；

一份购房合同

教学要求：能利用一次函数及其图象解决简单的实际问题，发展学生数学应用能力.

教学过程：

一、情境引入

最早把"函数"（function）这个词用作数学术语的数学家是莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716，德国数学家），但其含义和现在不同，他把函数看成是"像曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线长度等所有与曲线上的点有关的量". 1718年，瑞士数学家约翰。贝努利（John Bernoulli，1667-1748，欧拉的数学老师）将函数概念公式化，给出了函数的一个定义，同时第一次使用了"变量"这个词。他写到："变量的函数就是变量和变量以任何方式组成的量。"他的学生，瑞士数学家欧拉（Leonard Euler，1707-1783，被称为历史上最"多产"的数学家）将约翰。贝努利的思想进一步解析化，他在《无限小分析引论》中将函数定义为："变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式"，欧拉的函数定义在18世纪后期占据了统治地位。二、实例尝试，探求新知

例1、陈老师急匆匆的找我看一份合同，是一份下午要签字的购房合同。内容是陈老师购买安居工程集资房72m2,单价为每平方米1000元，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担。房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为一年，等额付款，分付10次，10年后付清，年利率为7.5%, 房地产开发公司要求陈老师每年付款4200元，但陈老师不知这个数是怎样的到的。同学们你们能帮陈老师算一算么？

解析：陈老师说自己到银行咨询，对方说算法是假设每一年付款为a元,那么10年后第一年付款的本利和为1.0759a元，同样的方法算得第二年付款的本利和为1.0758a元、第三年为1.0757a元，…，第十年为a元，然后把这10个本利和加起来等于余额部分按年利率为7.5%计算10年的本利，即1.0759a+1.0758a+1.0757a+…+a =(72×1000-28800-14400)×1.07510,解得的a的值即为每年应付的款额。他不能理解的是自己若按时付款，为何每期的付款还要计算利息？我说银行的算法是正确的。但不妨用这种方法来解释：假设你没有履行合同，即没有按年付每期的款额，且10年中一次都不付款，那么第一年应付的款额a元到第10年付款时，你不仅要付本金a元，还要付a元所产生的利息，共为1.0759a元，同样，第二年应付的款额a元到第10年付款时应付金额为1.0758a元，第三年为1.0757a元，…，第十年为a元，而这十年中你一次都没付款，与你应付余款72×1000-28800-14400在10年后一次付清时的本息是相等的。仍得到 1.0759a+1.0758a+1.0757a+…+a =(72×1000-28800-14400)×1.07510．用这种方法计算的a值即为你每年应付的款额。

例2、经调查得知，若我们把每日租金定价为160元，则可客满；而租金每涨20元，就会失去3位客人。每间住了人的客房每日所需服务、维修等项支出共计40元。我们该如何定价才能赚最多的钱？

解析：日租金360元。虽然比客满价高出200元，因此失去30位客人，但余下的50位客人还是能给我们带来360*50=18000元的收入；扣除50间房的支出40*50=2000元，每日净赚16000元。而客满时净利润只有160*80-40*80=9600

元

三、 本课小结

通过本课学习我们认识到，生活是多面的，我们在研究一个问题时，可以多角度、多层次的思考，如若正面不行，亦可利用反面思考

四、 作业

家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量Q 呈指数函数型变化，满足关系式t e Q Q 0025.00-=，其中0Q 是臭氧的初始量，t 是所经过的时间．

1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？

2）多少年后将会有一半的臭氧消失？

第3课时函数中的趣题——

孙悟空大战牛魔王

教学要求：体会数学在实际问题中的应用价值．

教学过程：

一、故事引入

孙悟空大战牛魔王。牛魔王不是孙悟空的对手，力倦神疲，败阵而逃。可是，牛魔王不简单，他会变。他见悟空紧紧追赶，便随身变成一只白鹤，腾空飞去。悟空一见，立刻变成一只丹凤，紧追上去。牛魔王一想：凤是百鸟之王，我这只白鹤那里斗得过这个丹凤？！他无可奈何，只好飞下山崖，变作一只香獐，装着悠闲的样子，在崖前吃草。悟空心里想：好牛精，你休想混过我老孙的火眼金睛！他马上变作一只饿虎，猛扑过去。牛魔王心慌，赶快变了个狮子，来擒拿饿虎。悟空看得分明，就地一滚，变成一只巨象，撒开长鼻，去卷那头狮子。牛魔王拿出绝招，现出原形，原来是一头大白牛。这白牛两角坚似铁塔，身高八千余丈，力大无穷。他对悟空说：“你还能把我怎样？”只见悟空弯腰躬身，大喝一声“长”！立即身高万丈，手持大铁棒朝牛魔王打去。牛魔王见势不妙，只好复了本象相，急忙逃去。孙悟空与牛魔王杀得惊天动地，惊动了天上的众神，前来帮助围困牛魔王。牛魔王困兽犹斗，又变成一头大白牛，用铁角猛顶托塔天王，被哪吒用火轮烧得大声吼叫，最后被天王用照妖镜照定，动弹不得，只得连声求饶，献出芭蕉扇，扇灭火焰山烈火，唐僧四人翻越山岭，继续往西天取经

二、实例尝试，探求新知

这段故事很吸引人，而且它和初中代数中所学的函数概念有关。

首先，就从这个“变”字谈起。孙悟空和牛魔王都神通广大，都能变。他们能变飞禽、走兽；大喝一声，身躯能“顶天立地”，也可变成一个小虫儿。当然，这些都是神话，不是真情实事。不过，世界上一切事物的确无有不在变化着的。既然物质在变化，表示它们量的大小的数，自然也要随着而变化了。这就告诉我们，要从变化的观点来研究数和量以及它们之间的关系。

其次，我们再来看一看，是不是所有的量在任何情况下，都始终变化着的呢？不是的。研究问题的某个特定过程中，在一定的范围内，有的数量是保持不变的。或者，虽然它也在变，但变化微小，我们把它看成是不变的。还是用唐僧师徒来做例子。孙悟空的本事最大，能七十二变；唐僧最没用，一点也不会变，所以妖怪一看就认得他。都想吃他的肉。在代数中，把研究某一问题过程中不断变化着的量叫做变量，孙悟空就好象是一个“变量”；把一定范围内保持不变的量叫做常量，唐僧就好象是一个“常量”。

例1、1202年，意大利比萨的数学家斐波那契(约1170年～约1250年)在他所著的《算盘书》里提出了这样一个有趣的问题：假定1对一雌一雄的大兔，每月能生一雌一雄的1对小兔，每对小兔过两个月就能长成大兔。那么，若年初时有1对小兔，按上面的规律繁殖，并且不发生死亡等意外情况，1年后将有多少对兔子？

解析：第一个月时，有小兔1对；第二个月时，小兔还没有长大，因此兔子数仍是1对；第三个月时，小兔已长成大兔，并且生下1对小兔，这时兔子数是2对；第四个月时，原来的兔子又生了1对小兔，但上个月刚生的小兔尚未成熟，这时兔子数是3对；第五个月时，原来的兔子又生了1对小兔，第三个月出生的小兔这时也已长大并且也生了1对小兔，因此共有兔子5对；一直这样推算

下去，可以得到下面的表：如果仔细观察，就不难发现其中的规律：从第三个月份起，每个月的兔子对数都是前两个月的兔子对数之

和。表中兔子对数构成的一列数1，1，2，3，5，8…就称为斐波那契数列。斐波那契数列有很有趣的性质和重要的应用。

例2、某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.

解析：假设果园增种x棵橙子树,果园橙子的总产量为y(个)，依题意，果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子.

y=(100+x)(600-5x) =-5x2+100x+60000. =-5(x-10)^2+60500

即种：100+10=110棵时，产量最高是：60500

三、本课小结

通过本课学习我们知道了，不仅《西游记》和我们的数学还很有关系其实，只要我们留意，到处都充满着数学的原理。

四、作业

某市20名下岗职工在近郊承包50亩土地办农场这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表：

作物品种每亩地所需职工数每亩地预计产值

蔬菜 1/2 1100元

烟叶 1/3 750元

小麦 1/4 600元

请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20名职工都有工作，且使农作物预计总产值最多。（设工人数）

第4课时 三角函数的趣题—

直角三角形

教学要求：探索直角三角形在生活中应用，进一步体会三角函数在解决问题过程

中的应用。

教学过程：

一、 情境引入

直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.

二、 例题分析

例1、海中有一个小岛A ，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A 岛南偏西55°的B 处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C 处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?

解析：过A 作BC 的垂线，交BC 于点D.得到Rt △ABD 和Rt △ACD ，从而BD=AD tan55°，CD ＝ADtan25°，由BD-CD ＝BC ，又BC ＝20海里.得

ADtan55°-ADtan25°＝20.

AD(tan55°-tan25°)＝20， AD=?

-?25tan 55tan 20≈20.79(海里). 这样AD ≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险

例2、如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.

(1)问：B 处是否会受到台风的影响?请说明理由.

(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?

解析：(1)过点B 作BD ⊥AC.垂足为D.

依题意，得∠BAC ＝30°，在Rt △ABD 中，BD= 21AB=21×20×16=160＜200， ∴B 处会受到台风影响.

(2)以点B 为圆心，200海里为半径画圆交AC 于E 、F ，由勾股定理可求得DE=120. AD=1603. AE=AD-DE=1603 -120，

∴40

1203160 =3.8(小时). 因此，陔船应在3.8小时内卸完货物. 练习：一个人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300 m ，再爬30°的山坡100 m ，求山高.(结果精确到0.01 m)

三、 本课小结

本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和

解决实际问题的能力.

四、 作业

如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)

第5课时三角函数的趣题—

月平均气温问题

教学要求：选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望.

教学过程：

一、谈话导入

数学的应用，随着人类的进步和科技的发展，已经渗透到社会的各个方面，“数学已无处不在”。下面我们看看三角函数在生活中有哪些应用。

二、典例分析

例1、受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞，卸货后落潮时返回海洋，某港口水的深度y（米）

是时间t（，单位：时）的函数，记作y=f(t)，下面是该港口在某季节

t（时）0 3 6 12 15 18 21 24

y（米）10.0 13.0 9.9 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0

根据数据求出y=f(t)的拟合函数，，一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时，认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多少时间？（忽略进出港所需时间）

解析：依题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5米，3，

，2，得12，在同一天内，取k=0或1，或，所以该船最早能在凌晨1时进港，下午17时

退出，在港口内最多停留16小时。

例2、某工厂因生产需要，要生产1200个如图形状的三角形铁片，已知在△Ａ

ＢＣ中，，问要生产这些三角形铁片共需要铁片的面积（精确到1cm2）.

解析：∵ sinＡ+cosＡ=，①∴（sinＡ+cosＡ）２＝.

∴２sinＡcosＡ＝－. ∵ 0°＜Ａ＜１８０°，∴ sinＡ＞０，cosＡ＜0. ∵（sinＡ-cosＡ）２=1-２sinＡcosＡ=，

∴ sinＡ-cosＡ＝. ②

①+②，得sinＡ=，

∴要生产这些三角形铁片共需要铁片的面积为：

答：所以要生产这些三角形铁片共需要铁片的面积约3477cm2.

三、本课小结

三角函数不但应用于数学的各个分支,也广泛应用于其他的学科及社会生产实践中, .在实际生活中,也会经常碰到一些需要运用三角函数来解决的问题,特别是一些线段的度量和角的计算等问题我们要灵活运用

四、作业

把一段半径为R的圆木，锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法，才能使横截面积最大？

第6课时 数列中的趣题—

柯克曼女生问题

教学要求: 通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性． 教学过程：

一、问题引入：

有一个学校有15个女生，她们每天要做三人行的散步，要使每个女生在一周内的每天做三人行散步时，与其她同学在组成三人小组同行时，彼此只有一次相遇在同一小组，应怎样安排？

二、 典例分析

例1、大楼共n 层，现每层指定一人，共n 人集中到设在第k 层的临时会议室开会，问k 如何确定能使n 位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）

分析：设相邻两层楼梯长为a ，则

)1](2)1([))]

(21(0)121[(22n k n n k n k a k n k a S ≤≤+++-=-+++++-+++=

分n 为奇数和n 为偶数两类讨论.

例2、某地区荒山2200亩，从1995年开始每年春季在荒山植树造林，第一年植

树100亩，以后每一年比上一年多植树50亩.

（1）若所植树全部都成活，则到哪一年可将荒山全部绿化?

（2）若每亩所植树苗、木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率为

20%，那么全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为S ，求S 的表达式.

（3）若1.28≈4.3，计算S （精确到1立方米）. 分析：由题意可知，各年植树亩数为：100，150，200，……成等差数列 ? 三、本课小洁：下面回到课前问题，设１５位女生用下面１５个符号表示：

x , a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 , d1 , d2 , e1 , e2 , f1 , f2 , g1 ,g2 ;将它们排成七行，每天五个三人行小组（共十五人），使ｘ处于七行中的最前一位置上：(x,a1,a2); (x,b1,b2); (x,c1,c2); (x,d1,d2); (x,e1,e2); (x,f1,f2);(x,g1,g2).

于是只须分配１４个元素，再每一行中，后继三人行小组，即对有下标的七个元素ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇ进行三元素组合，填入每行，但每个字母只许出项两次。即

Sunday: (x,a,a), (b,d,f), (b,e,g), (c,d,g),(c,e,f);

Monday: (x,b,b), (a,b,e), (a,f,g), (c,d,g),(c,e,f);

Tuesday: (x,c,c), (a,d,e), (a,f,g),(b,d,f),(b,e,g);

Wednsday:(x,d,d), (a,b,c), (a,f,g),(b,e,g),(c,e,f);

Thursday: (x,e,e), (a,b,c), (a,f,g),(b,d,f), (c,d,g)

Friday: (x,f,f), (a,b,c), (a,d,e), (b,e,g),(c,d,g);

Saturday:(x,g,g), (a,b,c), (a,d,e),(b,d,f), (c,e,f)

现在来填下标，如果在同一行中，可以有两个相同字母，例如在第三行中bdf,beg中，b出现两次，可标上不同的脚标b1,b2;若每一个“三人行”，有两个脚标已定，则在同一行，别的三人行组不能再用；若不是由两种原则定出脚标，就定为１。得到解：

Sunday: (x,a1,a2), (b1,d1,f1), (b2,e1,g1),(c1,d2,g2), (c2,e2,f2); Monday: (x,b1,b2), (a1,b2,e2), (a2,f2,g2),(c1,d1,g1), (c2,e1,f1); Tuesday: (x,c1,c2), (a1,d1,e1), (a2,f1,g1),(b1,d2,f2),(b2,e2,g2); Wednsday:(x,d1,d2), (a1,b2,c2), (a2,f2,g1),(b2,e1,g2),(c1,e2,f1); Thursday: (x,e1,e2), (a1,b1,c1),(a2,f1,g2), (b2,d1,f2), (c2,d2,g1) Friday: (x,f1,f2), (a1,b2,c1), (a2,d2,e1),(b1,e2,g1), (c2,d1,g2); Saturday:(x,g1,g2), (a1,b1,c2), (a2,d1,e2),(b2,d2,f1), (c1,e1,f2) 三、作业

某林场有荒山3250亩，从96年开始，每年春季在荒山上植树造林，第一年植100亩，计划以后每年比上一年多植树50亩(假定全部成活)．

(1)需几年可将此荒山全部绿化.

(2)已知新植树苗每亩木材量为2ｍ3，树木每年的自然增长率为10%，设荒山全部绿化后的年底木材总量为S，求S的最简表达式

第7课时 数列中的趣题—

数列的应用

教学要求：培养学生的创新精神和创造能力。它要求教师给学生提供研究的问题

及背景，让学生自主探究知识的发生发展过程

教学过程：

一、诗词引入

先由杜甫的诗《绝句》引出课题，每一句都与数有关系。再由一些生活中的例子进一步探索数列的定义及其蕴含的数量关系

二、典例分析

例1、、有一序列图形P 1,P 2,P 3…….已知P 1是边长为1的等边三角形，将P 1的每

条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得P 2，…..，将P k-1的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向

外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得P n 试分别求P n 的周长C n 和面积S n .

解析：这序列图形的边数构成的数列为：;,43,,43,43,312 -???n 它们的边长构成的数列为： ,3

1,,31,31,112-n . .3434331

111---??? ???=??=∴n n n n C

S 2比S 1多3个面积为9

1S 的正三角形.即 ,129

,39

2123112?=-?=

-S S S S S S 同理，

.9438203,43.9419539494943,439

1111210112111??????????? ??-==???

???????? ??-??=??????????? ??++??? ??+??? ??=-??=

-------n n n n n n n n n S S S S S S S S S 所以又累加得： 例2．在［1000，2000］内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？

解析：不妨设),(14,3*N n m m b n a m n ∈+==，

则{c p }为{ a n }与{ b n }的公共项构成的等差数列 (1000≤c p ≤2000)

∵a n = b m ,即：3n =4m +1 令n =3 , 则m =2 ∴c 1=9且有上式可知：

d =12

∴c p =9+12(p -1) ( p ∈N *)

由1000≤c n ≤2000解得：12

1116612783≤≤p ∴p 取84、85、……、166共83项。

三、本课小结

根据数列的定义和前面所学的函数关系，由学生自己通过联想、类比、对比、归纳的方法迁移到新情境中，将新的知识内化到学生原有的认知结构中去。

四、作业

1.一梯形两底边长分别为12cm22cm ，将梯形一腰10等分，经过每分点作平行于底边的直线，求这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度和.

2.某化工厂生产一种溶液，按市场的要求杂质含量不能超过0.1%.若初时含杂质

0.2%，每过滤一次可使杂质减少3

1，问至少过滤多少次才能使产品达到市场的要求

第8课时 不等式性质应用趣题―

“两边夹不等式”的推广及趣例

教学要求：理解“两边夹不等式”的推广及应用

教学过程：

一、情境引入 大家都熟知等比定理：若d c b a =，则d c d b c a b a =++=。若将条件中的等式改为不等式，如d

c b a <，那么结论如何呢?课本上有这样一道练习：已知

d c b a ,,,都是正数，且ad bc >，则d

c d b c a b a <++<(高中数学第二册(上)(人教版))，在平时的教学过程中，稍不注意，其丰富的内涵和研究价值便被忽略了。下面为了说明

问题的方便，称不等式d

c d b c a b a <++<为两边夹不等式。 当然这个不等式的证明是简单的，而探讨这个不等式却别有一番风味．对该不等式的探讨是从它的一个简单应用开始的．

二、“两边夹不等式”理解推广

1、两边夹不等式的两种理解

解：（1）实际意义的理解：有同种溶液(如糖水)A 、B ，已知溶液A 的浓度为b

a ，溶液B 的浓度d

c ，现将两种溶液混合成溶液C ，此时溶液浓度为

d b c a ++，由日常生活经验知道有d c d b c a b a <++<。 （2）几何意义的理解：由分式联想到直 线的斜率，设),(a b A O = ，

),(c d B O = 则直线OA 、OB 斜率分别是b a ，d c (如图1)，则),(c a d b B O A O ++=+ ，它表示图中的C O ,显然直线OC 的斜率介于OA 、OB 的斜率之间，即d

c d b c a b a <++<。 进一步探讨我们还可以得到更多的结论，如

)2,2(2c a d b B O A O D O ++=+= 得到不等式

d

c d b c a b a <++<22，仿此还可到几个不等式链： （1）d c nd

b n

c a

d b c a d b c a d b c a b a

c d

nb c na d b c a d b c a d b c a b a

c n

d mb nc ma b a

b a ,,都是正数，且b a <，求证：

m

b m a b a ++<。 分析： b a <，∴m m b a =<1，由两边夹不等式立即得m

b m a b a ++<． 3．两个有意义的推广 推论1(等比定理的推广)：已知),3,2,1(,n i R b a i i ， =∈+，若

n n b a b a b <<< 2211a ，则n

n n i i n i i b a b

a b <<∑∑==1111a 。 利用两边夹不等式可以容易得到证明，这里从略。

由于分数的分子分母同乘以一个非零实数，分数的值不变，那么将

b a 与d

c 的分子分母各乘以非零实数1λ，2λ又有什么结论呢?

推论2(一般性推广)：若正数d c b a ,,,及非零实数1λ，2λ满足

d

c b a <，则

d c d b c a b a <++<2121λλλλ 证明：,11b a b a λλ= d c d c 22λλ=，d

c b a < ∴由两边夹不等式立即得

d c d b c a b a <++<2121λλλλ 练习2、无限夹数游戏

(1)给你任意两个正分数，你能写出大小介于它们之间的一些数吗? 如31与21，31与52，52与2

1等。 依据两边夹不等式可以得到

5

2介于31与21之间， 8

3介于31与52之间， 73介于52与2

1之间。 三、本节小结：本节主要讲了两边夹不等式几何意义理解及两种推广 。

四、作业：探求“黄金分割数”

在0、l 之间用两边夹不等式可以依次写出一些数，写这些数时按以下的规律进行：第一个数为211=a ，此时得到两个区间A1=（0，21），B1=(1,2

1)在区间B1内利用两边夹不等式得到第二个数a2=3

2；此时a2又将区间B1分成两个区间A2=(3221，),B2=(1,3

2)在区间A2中利用两边夹不等式得到第三个数a=5

3，依此类推，可以得到数列{n a }，数列{n a }的极限称为黄金分割数，求此极限。(2

15lim -=+∞→n n a )

第9课时不等式性质应用趣题―

均值不等式的应用

教学要求：了解均值不等式在日常生活中的应用

教学过程：

一、情境引入；

日常生活中常用的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式和平均值不等式。前两类不等式的应用与其对应函数及方程的应用如出一辙，而平均值不等式在生产生活中起到了不容忽视的作用。下面，我主要谈一下均值不等式和均值定理的应用。

在生产和建设中，许多与最优化设计相关的实际问题通常可应用平均值不等式来解决。平均值不等式知识在日常生活中的应用，笔者虽未亲身经历，但从电视、报纸等新闻媒体及我们所做的应用题中不难发现，均值不等式和极值定理通常可有如下几方面的极其重要的应用：（表后重点分析“包装罐设计”问题）实践活动已知条件最优方案解决办法

设计花坛绿地周长或斜边面积最大极值定理一

经营成本各项费用单价及销售量成本最低函数、极值定理二

车船票价设计航行里程、限载人数、票价最低用极值定理二求出

速度、各项费用及相应最低成本，再由此

比例关系计算出最低票价

（票价=最低票价+ +平均利润）

例1、包装罐设计问题

1、“白猫”洗衣粉桶

“白猫”洗衣粉桶的形状是等边圆柱（如右图所示），

若容积一定且底面与侧面厚度一样，问高与底面半径是

什么关系时用料最省（即表面积最小）？

分析：容积一定=>лr h=V（定值）

=>S=2лr +2лrh=2л(r +rh)= 2л(r +rh/2+rh/2)

≥2л3 (r h) /4 =3 2лV (当且仅当r =rh/2=>h=2r时取等号),

∴应设计为h=d的等边圆柱体.

例2、“易拉罐”问题

圆柱体上下第半径为R,高为h，若体积为定值V,且上下底

厚度为侧面厚度的二倍，问高与底面半径是什么关系时用料最

省（即表面积最小）？

分析：应用均值定理，同理可得h=2d（计算过程请读者自己