(通用版)高考数学大二轮复习能力升级练(十四)函数及其应用理

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高考数学二轮复习数学导数及其应用多选题试题含答案

高考数学二轮复习数学导数及其应用多选题试题含答案一、导数及其应用多选题1．已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是奇函数B ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点C ．若()f x 为增函数，则1a ≤D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点【答案】ACD 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；利用导数分析函数()f x 的单调性，可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，函数()3sin f x x x ax =+-的定义域为R ，()()()()33sin sin f x x x ax x x ax f x -=-+-+=--+=-，函数()f x 为奇函数，A 选项正确；对于B 选项，当3a =-时，()3sin 3f x x x x =++，则()2cos 330f x x x '=++>，所以，函数()f x 在R 上为增函数，又()00f =，所以，函数()f x 有且只有一个零点，B 选项错误；对于C 选项，()2cos 3f x x x a '=+-，由于函数()f x 为增函数，则()0f x '≥对任意的x ∈R 恒成立，即23cos a x x ≤+. 令()23cos g x x x =+，则()6sin g x x x '=-，则()6cos 0g x x ''=->，所以，函数()g x '在R 上为增函数，当0x <时，()()00g x g ''<=，此时，函数()g x 为减函数；当0x >时，()()00g x g ''>=，此时，函数()g x 为增函数. 所以，()()min 01g x g ==，1a ∴≤，C 选项正确；对于D 选项，当3a =时，()3sin 3f x x x x =+-，则()2cos 33f x x x '=+-.由B 选项可知，函数()f x '在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()()11cos10f f ''-==>，()020f '=-<，由零点存在定理可知，函数()f x '在()1,0-和()0,1上都存在一个零点，因此，当3a =时，函数()f x 有两个极值点，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立；（2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立；（3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在极值点；（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立；（5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.2．下列说法正确的是（） A ．函数()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是1 B ．函数()cos sin tan 0,tan 2x f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域为(C ．函数()1sin 2cos 2f x x a x =+⋅在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是(],1-∞- D ．函数()222sin 42cos tx x xf x x xπ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=+的最大值为a ，最小值为b ，若2a b +=，则1t = 【答案】ACD 【分析】化简函数解析式为()2cos 1f x x ⎛=--+ ⎝⎭，利用二次函数的基本性质可判断A 选项的正误；令sin cos t x x =+，可得()()3231t t f x g t t -==-，利用导数法可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；计算出()()2f x f x t +-=，利用函数的对称性可判断D 选项的正误. 【详解】 A 选项，()222311cos cos cos 1442f x x x x x x ⎛=--=-+=--+ ⎝⎭，又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，则当cos x =时函数()f x 取得最大值1，A 对； B 选项，()2233sin cos sin cos cos sin sin cos x x x xf x x x x x+∴=+=⋅()()22sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x++-⋅=⋅()()2sin cos sin cos 3sin cos sin cos x x x x x x x x⎡⎤++-⋅⎣⎦=⋅，设sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则()22sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，则21sin cos 2t x x -⋅=， 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,444x πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 42x π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥⎪ ⎝⎭⎝⎦，(t ∴∈，令()223221323112t t t t t g t t t ⎛⎫--⨯ ⎪-⎝⎭==--，(t ∈，()()422301t g t t --'=<-， ()g t ∴在区间(上单调递减，()()32min 1g t g===-所以，函数()f x 的值域为)+∞，B 错； C 选项，()1sin 2cos 2f x x a x =+⋅在区间()0,π上是增函数，()cos2sin 0f x x a x ∴=-⋅≥'，即212sin sin 0x a x --⋅≥，令sin t x =，(]0,1t ∈，即2210t at --+≥，12a t t ∴≤-+，令()12g t t t =-+，则()2120g t t'=--<，()g t ∴在(]0,1t ∈递减，()11a g ∴≤=-，C 对；D 选项，()222cos 222cos tx x x xf x x x⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=+ ()()2222cos sin sin 2cos 2cos t x x t x x t x x t x xx x++⋅+⋅+==+++，所以，()()()()22sin sin 2cos 2cos t x x t x xf x t t x xx x --+-=+=-+⋅-+-，()()2f x f x t ∴+-=，所以，函数()f x 的图象关于点()0,t 对称，所以，22a b t +==，可得1t =，D 对. 故选：ACD.【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立；（2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立；（3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在异号零点；（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立；（5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.3．已知2()ln f x x x =，2()()f x g x x'=，()'f x 是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（）A ．()f x 在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．B ．()g x 在(0,)+∞上两个零点C ．当120x x e <<< 时，221212()()()m x x f x f x -<-恒成立，则32m ≥D ．若函数()()h x f x ax =-只有一个极值点，则实数0a ≥ 【答案】ACD 【分析】求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，判断A ，然后可得()g x ，再利用导数确定()g x 的单调性与极值，结合零点存在定理得零点个数，判断B ，构造函数2()()x f x mx ϕ=-，由()ϕx 在(0,)e 上递减，求得m 范围，判断C ，利用导数研究()h x 的单调性与极值点，得a 的范围，判断D ．【详解】()(2ln 1)(0)f x x x x '=+>，令()0f x '>，得1212ln 10ln 2x x x e -+>⇒>-⇒>，故A 正确2ln 1()x g x x+=， 212ln ()x g x x -'=，令()0g x '>得121ln 2x x e <⇒<，()0g x '<得120x e <<，故()g x 在120,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在12e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数．当x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →且g()0x >()g x ∴的大致图象为()g x ∴只有一个零点，故B 错．记2()()x f x mx ϕ=-，则()ϕx 在(0,)e 上为减函数，()(2ln 1)20x x x mx ϕ'∴=+-≤对(0,)x e ∈恒成立22ln 1m x ∴≥+对(0,)x e ∈恒成立 23m ∴≥32m ∴≥．故C 正确．2()()ln h x f x ax x x ax =-=-，()(2ln 1)h x x x a =+'-，设()(2ln 1)H x x x =+，()h x 只有一个极值点， ()h x '0=只有一个解，即直线y a =与()y H x =的图象只有一个交点．()2(ln 1)12ln 3H x x x '=++=+，()H x '在(0,)+∞上为增函数，令()0H x '=，得320x e -=，当0(0,)x x ∈时，()0H x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0H x '>．()H x ∴在0(0,)x 上为减函数，在0(,)x +∞上为增函数，332203()21202H x e e --⎡⎤⎛⎫=⨯-+=-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，0(0,)x x ∈时，322ln 12ln 120x e -+<+=-<，即()0H x <，且0x →时，()0H x →，又x →+∞时，()H x →+∞，因此()H x 的大致图象如下（不含原点）：直线y a =与它只有一个交点，则0a ≥．故D 正确．故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的性质，解题关键是由导数确定函数的单调性，得出函数的极值，对于零点问题，需要结合零点存在定理才能确定零点个数．注意数形结合思想的应用．4．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（） A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数D ．若函数()x f x e x a =+-[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数）【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥，因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =，所以()g x 在R 有且仅有一个零点，即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数，因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.5．若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数()22x f x =（x ∈R ），()12g x x =（0x <），()ln h x e x =，（e 为自然对数的底数），则（）A ．()()()m x f x g x =-在0x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递减 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为2- C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]2,1-D ．()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”，方程为2ey =-【答案】BD 【分析】对于A ：令()()()m x f x g x =-，利用导数可确定()m x 单调性，进而作出判断；对于B 和C ：利用二次函数的性质以及不等式恒成立的知识求出b 、k 的范围，进而作出判断；对于选项D ：根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点，可假设隔离直线为2e y kx =-；可得到222x ekx ≥-，再利用恒成立得出k 的值，最后尝试利用导数证明()2eh x ≤-，进而作出判断. 【详解】对于A ，()()()2122x m x f x g x x =-=-， ()322121022x m x x x x+'∴=+=>，当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，()m x ∴单调递增，故A 错误；对于B ，C ，设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，22x kx b ≥+对任意x ∈R 恒成立，即2220x kx b --≥对任意x ∈R 恒成立，所以21480k b ∆=+≤，所以0b ≤，又12kx b x ≤+对任意(),0x ∈-∞恒成立，即22210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立，因为0b ≤，所以0k ≤且21480b k ∆=+≤，所以22k b ≤-且22b k ≤-，4248k b b ≤≤-，解得20k -≤≤，同理20b -≤≤，所以b 的最小值为2-，k 的取值范围是[]2,0-，故B 正确，C 错误；对于D ，函数()f x 和()h x 的图象在x =∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线方程为(2ey k x -=，即2e y kx =-，则222x ekx ≥-（x ∈R ），得2220x kx e -+≥对x ∈R 恒成立，则()24420k e ∆=-≤，解得k =，此时隔离直线方程为：2e y =-，下面证明()2e h x ≤-，令()()ln 22e e G x h x e x =--=--（0x >），则()x G x x'=，当x =()0G x '=；当0x <<()0G x '<；当x >()0G x '>；∴当x =()G x 取到极小值，也是最小值，即()0min G x G==，()()02e G x h x ∴=--≥在()0,∞+上恒成立，即()2eh x ≤-，∴函数()f x 和()h x存在唯一的隔离直线2ey =-，D 正确. 故选：BD . 【点睛】关键点睛：本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解“隔离直线”的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题，属于难题.6．对于定义域为R 的函数()f x ，()'f x 为()f x 的导函数，若同时满足：①()00f =；②当x ∈R 且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（）A ．21()xx f x ee x =--B ．2()1xf x e x =+-C ．31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩D ．42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩【答案】ACD 【分析】结合“偏对称函数”的性质，利用导数的方法，分别讨论四个函数是否满足三个条件，即可得到所求结论．【详解】条件①()00f =；由选项可得：001(0)00f e e =--=，02(0)010f e =+-=，03(0)10f e =-=，4()ln(10)0f x =-=，即ABCD 都符合；条件②0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增；对于21()xx f x ee x =--，则()()21()11212x x x xf x e e e e =-+-=-'，由0x >可得，()()120(1)1x xf x e e '-=+>，即函数1()f x 单调递增；由0x <可得，()()120(1)1xxf x ee '-=+<，即函数1()f x 单调递减；满足条件②；对于2()1xf x e x =+-，则2()10x f x e =+>'显然恒成立，所以2()1xf x e x =+-在定义域上单调递增，不满足条件②；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，当0x <时，3()f x x =-显然单调递减；当0x ≥时，3()1x f x e =-显然单调递增；满足条件②；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，当0x ≤时，4()ln(1)f x x =-显然单调递减；当0x >时，4()2f x x =显然单调递增，满足条件②；因此ACD 满足条件②；条件③当120x x <<且12x x =时，12x x -=，都有()()12f x f x <，即()()()()21220f x f x f x f x -=-->，对于21()xx f x ee x =--，()()212122211211x x x x f x f x e e e e x x -=-+--+()()()()22222222222222x x x x x x x x x e e e e e e e x e ----=----=-+-，因为222x x e e -+≥=，当且仅当22x x e e -=，即20x =时，等号成立，又20x >，所以222x x e e -+>，则()()()()2222122211222xx x x f x f x e ee e xx ----=--->令()xxg x e ex -=--，0x >，所以()1110x x e e g x -'=+->=>在0x >上显然恒成立，因此()xxg x e ex -=--在0x >上单调递增，所以()()00g x g >=，即()()()222121120xx f x f x e ex -->-->，所以()()1211f x f x >满足条件③；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，()()2232311211x xf x f x e x x e -=--=-+，令()1xh x e x =--，0x >，则()10xh x e '=->在0x >上显然恒成立，所以()()00h x h >=，则()()23231210xf x f x e x --=>-，即()()3231f x f x >满足条件③；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，()()()()212122442ln 12ln 1f x f x x x x x -=--=-+，令()()2ln 1u x x x =-+，0x >，则()1221101u x x'=->-=>+在0x >上显然恒成立，所以()()00u x u >=，则()()()1422422ln 10f x f x x x -=-+>，即()()1442f x f x >满足条件③；综上，ACD 选项是“偏对称函数”，故选：ACD. 【点睛】思路点睛：求解此类函数新定义问题时，需要结合函数新定义的概念及性质，结合函数基本性质，利用导数的方法，通过研究函数单调性，值域等，逐项判断，即可求解.（有时也需要构造新的函数，进行求解.）7．已知函数()21ln 2f x ax ax x =-+的图象在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，则（）A ．()f x 在1,上单调递增B ．122x x +=C ．()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭D ．若163a =，则()f x 只有一个零点【答案】ACD 【分析】求导，根据题意进行等价转化，得到a 的取值范围；对于A ，利用导数即可得到()f x 在()1,+∞上的单调性；对于B ，利用根与系数的关系可得121x x =+；对于C ，化简()()121212x x x x f x f x ++++，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D ，将163a =代入()f x '，令()0f x '=，可得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解. 【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()211ax ax ax a x x xf -+=-+='，则1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，则2124010a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，解得4a >，当()1,x ∈+∞时，函数210y ax ax =-+>，此时()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故A 正确；因为1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，所以121x x =+，故B 错误；因为()()221212121112221111ln ln 22x x x x f x f x x ax ax x ax ax a ++++=+++-++- 1112111ln 1ln 22a a a a a a a a⎛⎫=+++--=--+ ⎪⎝⎭，易知函数()11ln 2h a a a a=--+在()4,+∞上是减函数，则当4a >时，()()742ln 24h a h <=--，所以()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞--⎪⎝⎭，故C 正确；当163a =时，()1616133f x x x '=-+，令()0f x '=，得14x =或34，则()f x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在13,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在14x =取得极大值，且104f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()2ln 20f =>，所以()f x 只有一个零点，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点： ①切点坐标满足原曲线方程； ②切点坐标满足切线方程；③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.8．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（） A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=只有一个正根．设ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，又(1)()0p p e ==，所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确．故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0xe f x e ex-'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．9．已知函数()()2214sin 2xxex f x e -=+，则下列说法正确的是（） A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调 B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增 C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．对任意m ∈R ，都有()()f m f m =，且()0f m ≥【答案】AD 【分析】由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D. 【详解】解：对A ，()()222114sin =2cos 2x x xx e x e f x x e e-+=+-，定义域为R ，关于原点对称，()2211=2cos()2cos()()x x x xe ef x x x f x e e --++---=-=，()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称，()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确；对B ，1()2sin xxf x e x e '=-+， 11()2sin()=(2sin )()x xx xf x e x e x f x e e --''-=-+---+=-， ()f x '∴是奇函数，令1()2sin xx g x e x e=-+，则1()+2cos 2+2cos 0x x g x e x x e'=+≥≥， ()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误；对C ，1()2sin x x f x e x e'=-+，且()'f x 在(),-∞+∞上单调递增，又(0)0f '=，π,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()y f x ∴=在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错误；对D ，()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，()()f m f m ∴=，且()(0)0f m f ≥=，故D 正确.故选：AD. 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.10．已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（）A ．当1a =-时，()f x 在0,单调递增B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点【答案】AC 【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】对于A ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，因为()0,x ∈+∞时，e 1,cos 1xx >≤，即0fx，所以()f x 在0,上单调递增，故A 正确；对于B ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，则()00e sin01f =-=，()00e cos00f '=-=，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线方程为1y =，故B 错误；对于C ，当1a =时，()e sin xf x x =+，()e cos xf x x '+=，()e sin xf x x '=-'，当()π,0x ∈-时，sin 0x <，e 0x >，则()e sin 0xx f x -'=>'恒成立，即()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增，又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+>，3π3π443π3πe cos e442f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+，因为123π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭< ⎝，所以3π43πe 024f -⎛⎫'-= ⎪-⎭<⎝，所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立，所以()f x 在()0π,x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，由()000e cos 0xf x x +'==，可得()000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛⎫=+=-+=- ⎪⎝⎭，因为03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则()00π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0∈-，故C 正确；对于选项D ，()e sin xf x a x =+，()π,x ∈-+∞，令()e sin 0xf x a x =+=，得1sin ex xa -=， ()sin ex xg x =，()π,x ∈-+∞，则()πcos sin 4e e x xx x x g x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==，令0g x ，得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递减，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递增，所以5π2π4x k =+()1,k k ≥-∈Z 时，()g x 取得极小值，极小值为5π5π2π2π445π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z ，在()g x 的极小值中，3π4sin 3π45π5π42π4eg g -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-最小，当3ππ,4x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，所以函数()g x 的最小值为3π3π445πsin 3π144eg --⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，当3π411a--<-时，即3π40a -<<时，函数()g x 与1=-y a无交点，即()f x 在()π,-+∞不存在零点，故D 错误.故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.。

通用版高考数学大二轮复习能力升级练十三函数及其应用文

能力升级练(十三)函数及其应用、选择题1. 函数y= —的定义域为()C.(1,+ g)2. 设函数f (x) =x(e X+a e-X)( x€ R)是偶函数,则实数a的值为()解析设g(x)=x,h(x)=e X+a e-X,因为函数g(x) =x是奇函数，则由题意知，函数h(x)=e X+a e-X为奇函数，又函数f (x)的定义域为R,所以h(0) =0,解得a=-1.故选A.答案A3. 如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是()解析要使函数有意义需满足解得-VXV1.故选A.A.-1B.-2C.-3D.-4u (1, +g)解析由三视图可知此几何体为一底朝上的圆锥，向容器中匀速注水，说明单位时间内注入水的体积相等，因圆锥下面窄上面宽，所以下面的高度增加得快，上面的高度增加得慢，即图象应越来越平缓故选B.答案B4. （2019贵州贵阳模拟）20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特（C.F.Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M其计算公式为M=g A-lg A其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅.已知5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的（）A.10 倍B.20 倍C.50 倍D.100 倍解析根据题意有lg A=g A+lg10 M=lg( A)• 10$ .所以A=A • 10：则---- =100.故选D答案D5. 设x, y,z 为正数，且2x=3y=5z,则（）A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z解析设2x=3y=5z=k(k>1),贝U x=log 2k, y=log 3 k, z=log 5k,所以2x<5z.②由①②，得3y<2x<5z.故选D答案D6.函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意两个正数 x i , X 2( X i <X 2),都有X 2f (X i )>X i f (X 2),记c=--f (-3),则a , b , c 之间的大小关系为C.c>b>aD.a>c>b解析因为对任意两个正数X 1, X 2(X 1<X 2),都有X 2f ( X 1) >X 1f ( X 2),所以一一,得函数g ( x )—在(0,+8 )上是减函数,又 c=--f (-3)=-f (3),所以 g (1) >g (2) >g (3),即 b>a>c 故选 B.答案B7. (2018全国m ,文9)函数y=-x 4+x 2+2的图象大致为所以-—>1,即 2x>3y.①<1,a=f (2), b=f (i), A.a>b>cB. b>a>c所以x 2=-,即x=± 一时，函数y=-x 4+x 2+2有最大值，所以排除选项 C.方法二：当x=0时,y=2>0,所以可以排除选项 A 和B,当x=-时，y —>2,所以排除选项 C&已知函数f (x) --------------- 的最大值为 M 最小值为m 则M+n 等于( )设 g (x ) =因为g ( -x ) =-g (x ),所以g ( x )为奇函数, 所以 g ( x ) max +g ( x ) min =0.因为 M=* x ) ma>=2+g (x ) max , m=1( X ) min =2+g (x ) min , 所以 M + m=+g ( x ) max +2+g ( x ) min =4.答案C9.已知函数f (x )=与g (x )=x 3+t ,若f (x )与g ( x )的交点在直线y=x 的两侧，则实数t 的取值范围是( )解析当x=0时，y=2>0,排除A,B;当x=-时，y=--+2>2.排除C.故选D.答案D光速解题排除法：方法:当x T +R 时，厂-^,所以可以排除选项 A.0 B.2 C.4 D.8解析f (x ) ==2+——A 和 B,y=-x 4+x 2+2=-A.( -6,0]C.(4, +s ) 解析根据题意可以得函数图象.g (x )在x=2处的取值大于2,在点x=-2处的取值小于-2,可得33g (2) =2 +t=8+t>2, g (-2) =(-2) +t=- 8+t<- 2,解得 t € (-6,6).答案B_ . . _ x10. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且x>0时,f (x ) =ln x-x+1,则函数g (x )=f (x ) -e (e 为自然对数的底数)的零点个数是()解析当 x>0 时,f (x )=ln x-x+1,f (x )二-仁一,所以 x € (0,1)时 f' (x )>0,此时f (x )单调递增;x € (1,+s )时,f' (x ) <0，此时f (x )单调递减.因此,当x>0时，f (x )max =f (1)=ln1 -1+1=0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数 y=f (x )与y=e x 的大致图象如图所示，观察到函数y=f (x )与y=e x 的图象有两个交点，所以函数g (x ) =f (x ) -e x (e 为自然对数的底数)有2个零点.答案CD.(-4,4)A.0B.1C.2D.311. (2019广东惠州第一次调研)已知函数y=f (x )的定义域为R,且满足下列三个条件①对任意的x i , X 2 € ［4,8］,当X i <X 2时，都有 —>0恒成立；② f (x+4) =-f (x );③ y=f (x+4)是偶函数.若a=f (6), b=f (11), c=f (2 017),则a ,b ,c 的大小关系正确的是( )解析由①知函数f (x )在区间［4,8］上为单调递增函数；由②知f (x+8) =-f (x+4) =f (x ),即函数f (x )的周期为8,所以c=f (2017) =f (252 X 8+1)=f (1), b=f (11) =f (3);由③可知函数f (x )的图象关于直线 x=4对称，所以b=f (3)=f (5), c=f (1)=和7).因为函数f (x )在区间［4,8］上为单调递增函数，所以 f (5) <f (6) <f (7),即 b<a<c.故选 B .12. (2019辽宁沈阳教学质量监测)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x+2) =f (2 -x ),当x € ［- 2,0］时,f (x )」一)x -1,若关于x 的方程f (x )-log a (x+2)=0(a>0且1)在区间(-2,6)内有且只有4 个不同的实根，则实数a 的取值范围是()C.(1,8)D.(8, +R )解析因为 f (x )为偶函数，且 f (2+x ) =f (2-x ),所以 f (4+x )=f (-x )=f (x ),所以f (x )的周期为4,A.avbvcB. b<a<cC.avcvbD.c<b<a又当-<X W 时，f (x )」二)x -1.画出f (x )在(-2,6)上的大致图象,如图所示.若f (x )-log a (x+2)=0( a>0且a z 1)在(-2,6)内有4个不同的实根,则y=f (x )的图象与y=log a (x+2)的图象在(-2,6)内有4个不同的交点.所以答案D、填空题13. _______________________________________ 计算:2log 410--Iog 225+ _-( n -3) 0=_ 0 3 — 22log 410--log 225+ "- ( n -3) =2 X -log 210-log 25+(2 -1 =log 2—+2 -1=1 +4-1=4.答案414.已知函数 f (x )=ln( -x ) +1, f (a ) =4,则 f (-a ) =解析令 g (x )= ln( -x ), g (-x )=ln(+x ),22••• g (x )+g (-x )=|n(1 +x -x ) =0, A g ( x )为奇函数••• f (x )=g ( x ) +1.• f (a )+f (-a ) =g ( a )+1+g (-a ) +1= 2 .•- f (-a ) =- 2.答案-2所以a>8,故选D.解析则OL\J ?…-y -2 -io X15.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件该产品需另投入的成本为Qx)(单位:万元),当年产量不足80千件时，Q X)=X2+10X;当年产量不小于80千件时，Qx)=51x+——1 450 .已知每件产品的售价为0. 05万元.通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是____________ 万元•解析因为每件产品的售价为0. 05万元,所以x千件产品的销售额为0. 05 X 1000x=50x万元.①当0<x<80时,年利润L(x) =50x--x2-10x-2 2250=--x+40x-250=--(x-60) +950,所以当x=60时,L( x)取得最大值,且最大值为L(60) =950万元;②当x> 时,L(x) =50x-51x --------- +1450-250=1200-' x+——/< -2 • ——=1200-200=1000,当且仅当x=——,即x=100时丄(X)取得最大值1000万元.由于950<1000,所以当产量为100千件时，该工厂在这一产品的生产中所获年利润最大，最大年利润为1000万元.答案1 000 16.已知定义在R上的函数f (x)满足：①函数f (x)的图象的对称中心为(1,0),且对称轴为x=-1;②当x€ [ -1,1]时,f (x)= 则f\-，= ________ .-€ -解析由题意作出f(x)的部分图象如图所示答案--17.给定区间D对于函数f(x), g(x)及任意的X I,X2€ D(其中x i>%),若不等式f (xj-f (%)>g(x i)- g(X2)恒成立，则称函数f (x)相对于函数g(x)在区间D上是"渐先函数”.已知函数f(x)=ax2+ax相对于函数g(x) =2x- 3在区间［a, a+2］上是渐先函数，则实数a的取值范围是________________________________________ .解析设a w X2VX1W a+2,由题意知f (x i)-f (X2)>g(x"-g(X2)恒成立,即a +ax i- (a +ax2) >2x i-3- (2 X2- 3) 恒成立,即a( x i-x 2)( X I+X2+I) >2(x i-x 2).因为x i>x2,故不等式转化为a(x i+X2+I) >2恒成立.因为a w X2<x i W a+2,所以2a+I<x i+X2+I<2a+5,故当a>0 时，不等式恒成立转化为a(2 a+ > 即2a2+a-> ------------- ;当a<0时，不等式恒成立转化为a(2 a+ > 即2a2+5a- > 解得a w二一.所以a的取值范围是(-g, ------------ U ----- 一,+g).答案\-g,1—- U18.已知定义在R上的函数y=f(x)满足以下三个条件：①对于任意的x€ R都有f(x+1)d；②函数y=f (x+1)的图象关于y轴对称;③对于任意的x i,X2€ ［0,1］,且x i<X2,都有f(x i)>f(X2),则f - ,f(2), f(3)从小到大的关系是________________ 解析由①得f (X+2) =f(x+1+1)=——=f (x),所以函数f (x)的周期为2.因为函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称，将函数y=f(x+1)的图象向右平移一个单位即得y=f(x)的图象，所以函数y=f(x)的图象关于x=1对称；根据③可知函数f(x)在［0,1］上为减函数，又结合②知,函数f (x)在［1,2］上为增函数.因为f(3) =f (2+1) =f(1),在区间[1,2] 上,1 <<2,所以f(1) <f - <f(2),即f ⑶ <f - <f (2).答案f(3) vf - vf(2)。

2023高考数学二轮复习专项训练《一次函数与二次函数》(含解析)

2023高考数学二轮复习专项训练《一次函数与二次函数》一、单选题（本大题共12小题，共60分） 1.（5分）关于x 的不等式1x +4x a⩾4在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. (0,43] B. (1,43] C. [1,43] D. [167,43] 2.（5分）若函数f(x)=x 2+2x +m ，x ∈R 的最小值为0，则实数m 的值是()A. 9B. 5C. 3D. 13.（5分）函数y=x2-2x ，x ∈[0，3]的值域为（）A. [0，3]B. [1，3]C. [-1，0]D. [-1，3]4.（5分）函数y =x 2−8x +2的增区间是()A. (−∞,−4]B. [−4,+∞)C. (−∞,4]D. [4,+∞)5.（5分）二次函数y =x 2−2x −3在x ∈[−1,2]上的最小值为( )A. 0B. −3C. −4D. −56.（5分）某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对A 种产品征收销售额的x%的管理费(即销售100元要征收x 元)，于是该产品定价每件比第一年增加了70.x%1−x%元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于万元，则x 的最大值是( )A. 2B. 6.5C. 8.8D. 107.（5分）函数y =−x 2+2x −3在闭区间[0,3]上的最大值、最小值分别为()A. 0，−2B. −2，−6C. −2，−3D. −3，−68.（5分）函数f(x)=|x 2−3x +2|的单调递增区间是( )A. [1,32]和[2,+∞)B. [32,+∞)C. (−∞,1]和[32,2]D. (−∞,32]和[2,+∞)9.（5分）下列命题正确的是( )A. 命题“∃x ∈R ，使得2x <x 2”的否定是“∃x ∈R ，使得2x ⩾x 2”B. 若a >b ，c <0，则ca >cbC. 若函数f(x)=x 2−kx −8(k ∈R)在[1,4]上具有单调性，则k ⩽2D. “x >3”是“x 2−5x +6>0”的充分不必要条件10.（5分）已知函数y=b+a x2+2x(a,b是常数，且0<a<1)在区间[−32,0]上有最大值3，最小值52，则ab的值是()A. 1B. 2C. 3D. 411.（5分）已知f(x)=x2+2(a−2)x+5在区间[4,+∞)上是增函数，则实数a的范围是()A. (−∞,−2]B. [−2,+∞)C. [−6,+∞)D. (−∞,−6]12.（5分）函数f(x)=ln x+12x2−ax(x>0)在区间[12,3]上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是()A. (52,3] B. [52,103)C. (52,103] D. [2,103]二、填空题（本大题共6小题，共30分）13.（5分）设b>0，二次函数y=ax2+bx+a2−1的图象为下列图象之一：则a的值为______．14.（5分）已知f(x)=m(x−2m)(x+m+3)，g(x)=2x−2，若对任意x∈R有f(x)<0或g(x)<0，则m的取值范围是____.15.（5分）函数y=x2+2ax+1在区间[2,+∞)上是增函数，那么实数a的取值范围是______ ．16.（5分）函数f(x)=log2(4−x2)的值域为__________________.17.（5分）若不等式−1<ax2+bx+c<1的解集为(−1,3)，则实数a的取值范围为_______.18.（5分）f(x)=x2−ax+3a−1在(3,+∞)上是增函数，实数a的范围是 ______ .三、解答题（本大题共6小题，共72分）19.（12分）求函数f（x）=x2+2ax+3在[-5，5]上的最大值和最小值．20.（12分）已知关于x的一元二次方程(m2−1)x2+(2m−1)x+1=0(m∈R)的两个实根是x1、x2.(1)求1x1+1x2的取值范围；(2)是否存在m，使得|x1−x2|=11−m2若存在，求m的值；若不存在，说明理由．21.（12分）已知函数f(x)=x2+bx+c，且f(1)=0．(1)若函数f(x)是偶函数，求f(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，求函数f(x)在区间[t,t+1]上的最小值．22.（12分）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[-5，5]．（1）当a=-1时，求函数f（x）的最大值和最小值．（2）当a∈R时，求函数f（x）在区间[-5，5]上的最值．23.（12分）某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)={400x−12x2,0⩽x⩽400 80000,x>400，其中x是仪器的月产量．(总收益=总成本+利润．)(1)将利润表示为月产量的函数；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？24.（12分）平阳木偶戏又称傀偏戏、木头戏，是浙江省温州市的传统民间艺术之一.平阳木偶戏是以提线木偶为主，活跃于集镇乡村、广场庙会，演绎着古今生活百态.其表演形式独特，活泼多样，具有浓厚的地方色彩和很高的观赏性与研究价值.现有一位木偶制作传人想要把一块长为4dm(dm是分米符号)，宽为3dm的矩形木料沿一条直线MN切割成两部分来制作不同的木偶部位.若割痕MN(线段)将木料分为面积比为1:λ的两部分(含点A的部分面积不大于含点C的部分面积，M，N可以和矩形顶点重合)，有如下三种切割方式如图：①M点在线段AB上，N点在线段AD上;②M点在线段AB上，N点在线段DC上;③M点在线段AD上;N点在线段BC上.设AM=xdm，割痕MN(线段)的长度为ydm，(1)当λ=1时，请从以上三种方式中任意选择一种，写出割痕MN的取值范围(无需求解过程，若写出多种以第一个答案为准);(2)当λ=2时，判断以上三种方式中哪一种割痕MN的最大值较小，并说明理由.四、多选题（本大题共6小题，共30分）25.（5分）已知函数f(x)=&#x007Bln(x+1),x⩾0x2−2ax+1,x<0，其中实数a∈R，则下列关于x的方程f2(x)−(1+a)⋅f(x)+a=0的实数根的情况，说法正确的有()A. a取任意实数时，方程最多有5个根B. 当−1−√52<a<1+√52时，方程有2个根C. 当a=−1−√52时，方程有3个根D. 当a⩽−4时，方程有4个根26.（5分）若二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(2+x)=f(2-x)，则下列结论错误的是()A. b=cB. 2a+b=0C. 4a=-bD. a+b=027.（5分）已知函数f(x)=e2x-2e x-3，则()A. f(ln3)=0B. 函数f(x)的图象与x轴有两个交点C. 函数f(x)的最小值为-4D. 函数f(x)的单调增区间是[0,+∞)28.（5分）设a，b均为正数，且2a+b=1，则下列结论正确的是()A. ab有最大值18B. √2a+√b有最小值√2C. a2+b2有最小值15D. a−12a−1−4bb有最大值1229.（5分）已知函数f(x)=x，g(x)=√x，则下列说法正确的是()A. 函数y=1f(x)+g(x)在(0,+∞)上单调递增B. 函数y=1f(x)−g(x)在(0,+∞)上单调递减C. 函数y=f(x)+g(x)的最小值为0D. 函数y=f(x)−g(x)的最小值为−1430.（5分）已知f(x)是定义域为R的奇函数，x>0时，f(x)=x(1−x)，若关于x的方程f[f(x)]=a有5个不相等的实数根，则实数a的可能取值是()A. 132B. 116C. 18D. 14答案和解析1.【答案】A;【解析】由1x +4xa⩾4，分离变量a得1a⩾−14(1x−2)2+1，由x∈[1,2]求得1x∈[12,1]，则−14(1x−2)2+1∈[716,3 4 ].∴1a ⩾34，由此求得实数a的取值范围．该题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，属于中档题．解：由1x +4xa⩾4，得4xa⩾4−1x=4x−1x，即1a⩾4x−14x2=−14(1x)2+1x=−14(1x−2)2+1，∵x∈[1,2]，∴1x ∈[12,1]，则−14(1x−2)2+1∈[716,34].∴1a ⩾34，则0<a⩽43．∴实数a的取值范围为(0,43].故选：A．2.【答案】D;【解析】解：由题知y=(x+1)2+m−1，易知当x=−1时，f(x)min=m−1=0，故m=1即为所求．故选：D.将二次函数配方，易求得最小值，据此求解．此题主要考查利用配方法求二次函数的最值．3.【答案】D;【解析】解：∵函数y=x2-2x=（x-1）2-1，x∈[0，3]，∴当x=1时，函数y取得最小值为-1，当x=3时，函数取得最大值为 3，故函数的值域为[-1，3]，故选D．4.【答案】D;【解析】解：函数y=x2−8x+2=(x−4)2−14，对称轴为x=4，则函数的增区间为[4,+∞).故选：D.求出二次函数的对称轴，结合二次函数的图象和性质，即可得到所求增区间．此题主要考查二次函数的单调区间的求法，注意结合二次函数的对称轴，属于基础题．5.【答案】C;【解析】此题主要考查了二次函数在闭区间上的最值，属于基础题.解：∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，x∈[−1,2]，∴x=1时，函数取得最小值为−4.故选C.6.【答案】D;【解析】由已知有，第二年的年销售收入为(％2070％20+％2070x%％20％20)(11.8％20−％20x)万元，商场对该商品征收1％20−％20x%％20的管理费记为y，y％20=％20(％2070％20+％2070x%％20％20)(11.8％20−％20x)x%％20(x％20％3E％200)1％20−％20x%％20，则y⩾14，所以(％2070％20+％2070x%％20％20)(11.8％20−％20x)x%％20％20⩾％2014，1％20−％20x%％20化简得x2−12x+20⩽0，所以2⩽x⩽10，故x得最大值为10，选D.7.【答案】B;【解析】此题主要考查二次函数的最值的求法，属于简单题.解：函数y=−x2+2x−3的开口向下，对称轴为x=1，结合图象可得当x=3是y有最小值−6，当x=1时，y有最大值−2，所以本题选B.8.【答案】A; 【解析】此题主要考查函数的单调性和函数的单调区间，考查函数图象的应用，考查数形结合思想，属于基础题.由题函数f(x)=|x 2−3x +2|={x 2−3x +2,x ⩽1或x ⩾2−(x 2−3x +2),1<x <2，利用数形结合即可得到答案.解：由题可知函数f(x)=|x 2−3x +2|，等价于f(x)={x 2−3x +2,x ⩽1或x ⩾2−(x 2−3x +2),1<x <2，画图可得如下图所示：∴函数的单调递增区间是[1,32]和[2,+∞) ，故选A.9.【答案】D;【解析】解：对于A ，命题“∃x ∈R ，使得2x <x 2”的否定是“∀x ∈R ，使得2x ⩾x 2”，故A 错误；对于B ，由条件知，比如a =2，b =−3，c =−1，则ca=−12<cb=13，故B 错误；对于C ，若函数f(x)=x 2−kx −8(k ∈R)在[1,4]上具有单调性，则k 2⩽1或k2⩾4，故k ⩽2或k ⩾8，故C 错误；对于D ，x 2−5x +6>0的解集为{ x |x <2或x >3}，故“x >3”是“x 2−5x +6>0”的充分不必要条件，正确．故选：D.A 由命题的否命题，既要对条件否定，也要对结论否定，注意否定形式，可判断；B 由条件，注意举反例，即可判断；C 由二次函数的图象，即可判断；D 先求出不等式x 2−5x +6>0的解集，再由充分必要条件的定义，即可判断．此题主要考查函数的单调性，充分必要条件的判断、命题的否定、不等式的性质，属于基础题．10.【答案】A;【解析】复合指数函数，当0<a<1时，整体指数为减函数，指数部分为二次函数，根据复合函数同增异减原则，对该区间内进行分块讨论，从而得到最值点−1，0本题着重考察求复合函数最值问题，通常利用图象法法讨论函数单调性的最值问题．解：A.令u=x2+2x=(x+1)2−1，当0<a<1时，整体指数为减函数，则借助二次函数图象，再由复合函数同增异减原则，在已知区间内，x=0取得最大值，x=−1取得最小值时．即{b+a−1=3b+a0=52，解得{a=23b=32，有ab=1．故选：A．11.【答案】B;【解析】解：∵函数f(x)=x2+2(a−2)x+5的图象是开口方向朝上，以x=2−a为对称轴的抛物线若函数f(x)=x2+2(a−2)x+5在区间[4,+∞)上是增函数，则2−a⩽4，解得a⩾−2．故答案为：B．由函数f(x)=x2+2(a−2)x+5的解析式，根据二次函数的性质，判断出其图象是开口方向朝上，以x=2−a为对称轴的抛物线，此时在对称轴右侧的区间为函数的递增区间，由此可构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．该题考查的知识点是函数单调性的性质，及二次函数的性质，其中根据已知中函数的解析式，分析出函数的图象形状，进而分析函数的性质，是解答此类问题最常用的办法．12.【答案】C;【解析】此题主要考查导数与二次方程根的分布，考查学生分析能力及运算能力，属于中档题. 对f(x)求导，问题转化为f′(x)=0在区间[12,3]上有且只有一解，根据二次方程根的分布建立不等式即解.解：f ′(x )=1x +x −a =x 2−ax +1x，x >0，令g(x)=x 2−ax +1，函数f (x )=ln x +12x 2−ax (x >0)在区间[12,3]上有且仅有一个极值点，所以g (12).g (3)⩽0，即(14−12a +1)(9−3a +1)⩽0，且Δ≠0；解得52⩽a ⩽103.当a =52时，令g(x)=x 2−52x +1=0，解得x 1=12，x 2=2，此时f (x )在(0,12]上单调递增，在[12,2]上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，故f (x )在x =2处取得极小值，在x =12处取得极大值.不符合题意；当a =103时，令g(x)=x 2−103x +1=0，解得x 1=13，x 2=3，此时f (x )在(0,13]上单调递增，在[13,3]上单调递减，在(3,+∞)上单调递增，故f (x )在x =3处取得极小值，在x =13处取得极大值. 此时f (x )在区间[12,3]上有且仅有一个极值点，符合题意；故选C.13.【答案】-1;【解析】解：若a >0，即图象开口向上，∵b >0，∴对称轴x =−b 2a<0，故排除第2和4两图，若a <0，即图象开口向下，∵b >0∴对称轴x =−b2a >0，故函数图象为第3个图，由图知函数过点(0,0)，∴a 2−1=0， ∴a =−1 故答案为−1先根据二次函数的开口方向和对称轴的位置，选择函数的正确图象，再根据图象性质计算a 值即可该题考查了二次函数的图象和性质，排除法解图象选择题14.【答案】(−4,0); 【解析】此题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键．解：∵g(x)=2x −2，当x ⩾1时，g(x)⩾0，又∵∀x ∈R ，f(x)<0或g(x)<0，∴此时f(x)=m(x −2m )(x +m +3)<0在x ⩾1时恒成立，则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在(1,0)的左面，则{m<0−m−3<12m<1，∴−4<m<0故答案为(−4,0).15.【答案】[-2，+∞）;【解析】解：函数y=x2+2ax+1的对称轴为：x=−a，函数y=x2+2ax+1在区间[2,+∞)上是增函数，可得−a⩽2，解得a⩾−2，即a∈[−2,+∞)．故答案为：[−2,+∞)．求出二次函数的对称轴，结合函数的单调性，写出不等式求解即可．该题考查二次函数的简单性质的应用，是基础题．16.【答案】(−∞,2];【解析】此题主要考查了复合函数，先求出定义域，再根据复合函数的值域，属基础题. 解：由4−x2>0，得−2<x<2，即函数f(x)的定义域为(−2,2)，且0<4−x2⩽4，所以，f(x)⩽log24=2，即函数f(x)的值域为(−∞,2].故答案为(−∞,2].17.【答案】(−12,12);【解析】此题主要考查一元二次不等式得解法，考查二次函数的性质，是中档题. 分a=0，a>0和a<0三类讨论，结合二次函数的性质求解即可.解：当a=0时，b≠0，不等式的解集(−1,3)，适当选取b，c可以满足题意.当a>0时，不等式−1<ax2+bx+c<1对应的二次函数的对称轴为x=1，开口向上，所以x=−1时，a−b+c=1，x=3时，9a+3b+c=1，最小值为x=1时，a+b+c>−1，联立解这个不等式组得：a<12，所以0<a<12;当a<0时，不等式−1<ax2+bx+c<1对应的二次函数的对称轴为x=1，开口向下，所以x=−1时，a−b+c=−1，x=3时，9a+3b+c=−1，最大值为x=1时，a+b+c<1，联立解这个不等式组得：a>−12，所以−12<a<0;综上所述得−12<a<12.所以实数a的取值范围为(−12,12).故答案为(−12,12).18.【答案】（-∞，6]; 【解析】解：由题意得：对称轴x=−−a2=a2，∴a2⩽3，∴a⩽6；故答案为：(−∞,6].由已知得，函数图象开口向上，由题意读出对称轴x=a2⩽3，解出即可．本题考察了二次函数的对称轴，单调性，是一道基础题．19.【答案】解：∵函数f（x）=x2+2ax+3=（x+a）2+3-a2的对称轴为x=-a，①当-a＜-5，即a＞5时，函数y在[-5，5]上是增函数，故当x=-5时，函数y取得最小值为28-10a；当x=5时，函数y取得最大值为28+10a．②当-5≤-a＜0，即0＜a≤5时，x=-a时，函数y取得最小值为3-a2；当x=5时，函数y取得最大值为28+10a．③当0≤-a≤5，即-5≤a≤0时，x=-a时，函数y取得最小值为3-a2；当x=-5时，函数y取得最大值为28-10a．④当-a＞5，即a＜-5时，函数y在[-5，5]上是减函数，故当x=-5时，函数y 取得最大值为28-10a ；当x=5时，函数y 取得最小值为28+10a ．;【解析】由于二次函数的对称轴为x=-a ，分①当-a ＜-5、②当-5≤-a ＜0、③当0≤-a≤5、④当-a ＞5四种情况，分别利用二次函数的性质求得函数的最值．20.【答案】解：（1）由题意知，Δ=（2m−1）2−4（m 2−1） =4m 2−4m+1−4m 2+4 =5−4m ⩾0， ∴m ⩽54， ∵m 2−1≠0， ∴m≠±1，∴m 的取值范围是(−∞，−1)∪(−1，1)∪(1，54]，由题意x 1+x 2=1−2m m 2−1，x 1x 2=1m 2−1 ∴1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=1−2m ，又m ∈(−∞，−1)∪(−1，1)∪(1，54]， ∴2m ∈(−∞，−2)∪(−2，2)∪(2，52]，∴1−2m ∈[−32，−1)∪(−1，3)∪(3，+∞)，所以1x 1+1x 2的取值范围是[-32，−1）∪（-1，3）∪（3，+∞）．（2）(x 1−x 2)2=(x 2+x 2)2−4x 1x 2 =(1−2m )2(m 2−1)2−4m 2−1=5−4m (m 2−1)2，∴|x 1−x 2|=√5−4m |m 2−1|，若|x 1−x 2|=−1m 2−1，则m 2−1＜0，即m ∈（−1，1）， ∴5−4m=1，即m=1∉（−1，1），故不存在．; 【解析】(1)由一元二次方程有两个根，则Δ>0，求出m 的范围，再利用韦达定理求解即可， (2)由(1)中结论，对所求式子进行变形，再求解．此题主要考查一元二次方程及韦达定理求参数的范围，属于中档题．21.【答案】解：（1）由f （1）=0，得：1+b+c=0，由f （x ）是偶函数，得：b=0 ∴c=-1，因此f （x ）=x 2-1，（2）当t+1＜0，即t ＜-1时，函数f （x ）在区间[t ，t+1]上为减函数，当x=t+1时，取最小值t 2+2t ，当t≤0≤t+1，即-1≤t≤0时，函数f （x ）在区间[t ，0]上为减函数，在[0，t+1]上是增函数当x=0时，取最小值-1，当t ＞0时，函数f （x ）在区间[t ，t+1]上为增函数，当x=t 时，取最小值t 2-1; 【解析】(1)利用函数的奇偶性，求出b ，利用f(1)=0求出c ， (2)分类讨论区间[t,t +1]与对称轴的关系，可得答案．该题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．22.【答案】解：（1）当a=-1时，f （x ）=x 2-2x+2=（x-1）2+1，对称轴x=1，在[-5，5]上，最大值为f （-5）=37，最小值为f （1）=1；（2）函数f （x ）的对称轴是：x=-a ， ①当-a≤-5，即a≥5时，f （x ）在[-5，5]递增，f （x ）最小值=f （-5）=-10a+27，f （x ）最大值=f （5）=10a+27； ②当-5＜-a≤0，即0≤a ＜5时，f （x ）在[-5，-a ）递减，在（-a ，5]递增，f （x ）最小值=f （-a ）=-a 2+2，f （x ）最大值=f （5）=10a+27； ③当0＜-a≤5，即-5≤a ＜0时，f （x ）在[-5，-a ）递减，在（-a ，5]递增，f （x ）最小值=f （-a ）=-a 2+2，f （x ）最大值=f （-5）=-10a+27； ④-a≥5，即a≤-5时，f （x ）在[-5，5]递减，f （x ）最小值=f （5）=10a+27，f （x ）最大值=f （-5）=-10a+27．;【解析】（1）直接将a=-1代入函数解析式，求出最大最小值，（2）先求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的位置，得到函数的单调性，从而求出函数的最值．23.【答案】解：(1)设月产量为x 台，则总成本为20000+100x ，从而利润f(x)={−12x 2+300x −20000,0⩽x ⩽40060000−100x ,x >400.(2)当0⩽x ⩽400时，f(x)=−12(x −300)2+25000，所以当x =300时，有最大值25000；当x >400时，f(x)=60000−100x 是减函数，所以f(x)<60000−100×400<25000．所以当x =300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．;【解析】该题考查了一次函数与二次函数的单调性、函数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)设月产量为x 台，则总成本为20000+100x ，即可得出利润f(x)．(2)当0⩽x ⩽400时，f(x)=−12(x −300)2+25000，利用二次函数的单调性即可最大值．当x >400时，f(x)=60000−100x 是减函数，利用一次函数的单调性即可得出最大值．24.【答案】解：(1)选①y =5，选②y ∈[3,5]，选③y ∈[4,5]， (2)选①令AN =z ，则S =12xz =4，z =8x，y =√x 2+z 2=√x 2+64x 2，∵{0<x ⩽40<z ⩽3z =8x∴83⩽x ⩽4，∴x ∈[83,2√2]时，y =f(x)为减函数，∴x ∈[2√2,4]时，y =f(x)为增函数，当x =83时，y =√1453，当x =4时，y =2√5，∴y max =2√5;选②令DN =z ，则S =12(x +z)×3=4，z =83−x ，y =√(x −z)2+9=√(2x −83)2+9，∵{0<x ⩽40⩽z ⩽4,∴0⩽x ⩽83,z =83−x∴x ∈[0,43]时，y =f(x)为减函数，∴x ∈[43,83]时，y =f(x)为增函数，当∴x =0或x =83时，y max =√1453; 选③令BN =z ，则S =12(x +z)×4=4，z =2−x ，y =√(x −z)2+16=2√(x −1)2+4，∵{0⩽x⩽30⩽z⩽3,∴0⩽x⩽2z=2−x∴x∈[0,1]时，y=f(x)为减函数，∴x∈[1,2]时，y=f(x)为增函数，当∴x=0或x=2时，y max=2√5，综上所述，方式②割痕MN的最大值较小，值为√1453.;【解析】此题主要考查了函数最值的综合应用，属于中档题.25.【答案】CD;【解析】此题主要考查分段函数，二次函数及对数函数的性质，函数图象的应用，函数与方程的综合应用，属难题.求解方程f2(x)−(1+a)⋅f(x)+a=0，可得f(x)=1或f(x)=a，即可得原方程的实数根的个数，即为f(x)=1和f(x)=a的根的个数之和.分别对0⩽a⩽1，a>1，−1−√52<a<0，a=−1−√52和a<−1−√52时讨论画图即可判定.解：对于方程f2(x)−(1+a)⋅f(x)+a=0，解得f(x)=1或f(x)=a.所以原方程的实数根的个数，即为f(x)=1和f(x)=a的根的个数之和.对于函数f(x)=&#x007Bln(x+1),x⩾0x2−2ax+1,x<0，若a⩾0，当x∈[0,+∞)时，f(x)单调递增，且f(x)⩾0，当x∈(−∞,0)时，f(x)单调递减，且f(x)>1.如图：，由f(x)=1可得x=e−1，方程有1个根；又由f(x)=a可得，当0⩽a⩽1时，方程有1个根；当a>1时，方程有2个根.所以当0⩽a⩽1时，原方程共有2个根；当a>1时，原方程共有3个根.若a<0，当x∈[0,+∞)时，f(x)单调递增，且f(x)⩾0，当x∈(−∞,0)时，f(x)在(−∞,a)单调递减，在(a,0)单调递增，且f(x)⩾1−a2.又由{1−a2=aa<0，可得a=−1−√52.所以当−1−√52<a<0时，1−a2>a，如图：，由f (x)=1可得，方程有2个根；又由f(x)=a可得，方程无解.所以此时原方程有2个根；当a=−1−√52时，1−a2=a，如图：，由f(x)=1可得，方程有2个根；又由f(x)=a可得，方程有1个根.所以此时原方程有3个根；当a<−1−√52时，1−a2<a，如图：，由f(x)=1可得，方程有2个根；又由f(x)=a可得，方程有2个根.所以此时原方程有4个根；综上所述，当0⩽a⩽1或−1−√52<a<0时，原方程有2个根；当a>1或a=−1−√52时，原方程有3个根；当a<−1−√52时，原方程有4个根.对于A，对于a∈R，方程最多有4个根，故A错误；对于B，当1<a<1+√52时，方程有3个根，故B错误；对于C，当a=−1−√52时，方程有3个根，故C正确；对于D，当a<−1−√52时，方程有4个根，所以a⩽−4时，方程有4个根成立，故D正确. 故选：CD.26.【答案】ABD;【解析】【解析】此题主要考查二次函数性质，属于基础题.由f(2+x)=f(2−x)可知对称轴x=2，即−b2a=2，即可得到答案.解：由f(2+x)=f(2−x)可知对称轴x =2，即−b 2a=2，得4a =−b ，只有C 正确.故选A 、B 、D.27.【答案】ACD; 【解析】此题主要考查了函数定义域与值域，二次函数的最值，复合函数的单调性以及函数零点与方程根的关系，属于基础题．A 选项，将x =ln 3代入f(x)求解即可；B 选项，令f(x)=0，根据方程根的个数判断f(x)的图象与x 轴有几个交点；C 选项，求二次函数f(x)=(e x -1)2-4的最值即可；D 选项，利用复合函数的单调性判断即可．解：A 选项，f(ln 3)=e 2ln 3-2e ln 3-3=9-6-3=0，正确；B 选项，令f(x)=0，得(e x -3)(e x +1)=0，得e x =3或e x =-1(舍)，所以x =ln 3，即函数f(x)的图象与x 轴只有1个交点，错误；C 选项，f(x)=(e x -1)2-4，当e x =1，即x =0时，f(x)min =-4，正确；D 选项，因为函数y =e x 在[0,+∞)上单调递增且值域为[1,+∞),函数y =x 2-2x -3在[1,+∞)上单调递增，所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，正确．故选ACD .28.【答案】ACD; 【解析】此题主要考查基本不等式的应用和函数的最值，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解答该题的关键，属于中档题.利用基本不等式分别判断选项A ，B ，D 的对错，对于C ，由b =1−2a ，且0<a <12，转化为关于a 的二次函数，由函数的性质可得最值，可判断对错.解：∵正实数a ，b 满足2a +b =1，由基本不等式可得2a +b =1⩾2√2ab ， ∴ab ⩽18，当2a =b =12时等号成立，故ab 有最大值18，故A 正确；由于(√2a +√b)2=2a +b +2√2ab =1+2√2ab ⩽2 ， ∴√2a +√b ⩽√2，当且仅当2a =b =12时等号成立，故√2a +√b 有最大值为√2，故B 错误；由a ，b 均为正数，且2a +b =1，则b =1−2a ，且0<a <12，则a 2+b 2=a 2+(1−2a )2=5a 2−4a +1，当a =25∈(0,12)时，a 2+b 2有最小值15，故C 正确； b2a+2a b⩾2√b 2a =2,当且仅当2a =b =12时等号成立，a−12a −1−4b b=−a−b 2a −2a −3b b=52−b 2a−2a b⩽52−2=12,当且仅当b2a =2ab 时等号成立，所以a−12a−1−4b b有最大值12，故D 正确，故选ACD .29.【答案】BCD; 【解析】此题主要考查函数的单调性、最值，属中档题.对于A ，求x =12和x =1时的函数值，即可判断不为单调递增，对于BC ，根据常见函数的单调性即可判断组合函数单调性、最值，对于D ，利用配方法求最值即可得解. 解：对于A:函数y =1f(x)+g(x)=1x+√x ，当x =12时，y =2+√22，当x =1时， y =2，所以函数y =1f(x)+g(x)在(0,+∞)上不单调递增，A 错误. 对于B:函数y =1f(x)−g(x)=1x −√x ，因为函数y =1x 和函数y =−√x 在(0,+∞)上单调递减，所以y =1f(x)−g(x)在(0,+∞)上单调递减，B 正确.对于C:因为函数y =f(x)+g(x)=x +√x 在[0,+∞)上单调递增，且当x =0时，y =0，所以y =f(x)+g(x)的最小值为0，C 正确. 对于D:函数y =f(x)−g(x)=x −√x =(√x −12)2−14，当√x =12时，函数y =f(x)−g(x)取得最小值，且最小值为−14，D 正确. 故选BCD.30.【答案】ABC; 【解析】根据函数的奇偶性，由已知区间的解析式，画出函数图象，令f(x)=t ，分别讨论a >14，a =14，316⩽a <14，0⩽a <316，四种情况，得出0⩽a <316满足题意，再根据对称性，得a <0时，−316<a <0满足题意，最后结合选项，即可得出结果．此题主要考查数形结合解决函数的零点个数，考查转化思想以及计算能力，是中档题．解：因为f(x)是定义域为R 的奇函数，x >0时，f(x)=x(1−x)=−(x −12)2+14⩽14，且f(12)=14，画出函数f(x)的图象如下：令f(x)=t ，f(14)=316，当a >14时，由图象可得y =a 与y =f(t)有一个交点，且t <−1，由图象可得f(x)=t 只有一个根，不满足题意，当a =14时，由图象可得y =a 与y =f(t)有两个不同交点，交点的横坐标分别记作t 1，t 2，则t 1<−1，t 2=12，则f(x)=t 1与f(x)=t 2共有两个根，不满足题意，当316⩽a <14时，由图象可得y =a 与y =f(t)有三个不同的交点，记作t 1，t 2，t 3，不妨令t 1<t 2<t 3，由图象可得，t 1<−1<14⩽t 2<12<t 3<1，则f(x)=t 1与f(x)=t 3各有一个根，而f(x)=t 2有一个或两个根，共三个或四个根，不满足题意，当0⩽a <316时，由图象可得y =a 与y =f(t)有三个不同的交点，记作t 1，t 2，t 3，不妨令t 1<t 2<t 3，由图象可得，t 1⩽−1<0⩽t 2<14<12<t 3⩽1，则f(x)=t 1与f(x)=t 3以及f(x)=t 2共有5个根，满足题意，根据函数图象的对称性，当a <0时，为使关于x 的方程f[f(x)]=a 有5个不相等的实数根，只需要−316<a <0，综上，满足条件的a 的取值范围是(−316,316). 故选：ABC .。

高三数学二轮复习专题能力提升训练2 函数与方程及函数的实际应用理.pdf

训练2　函数与方程及函数的实际应用 (时间：45分钟　满分：75分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2012·山东实验中学一诊)函数f(x)＝－＋log2x的一个零点落在下列哪个区间( )． A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 2．(2012·湖南浏阳)在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为( )． A．(1.4,2) B．(1.1,4) C. D. 3．(2012·临沂一模)设函数f(x)＝x－ln x，则函数f(x)( )． A．在区间，(1，e)内均有零点 B．在区间，(1，e)内均无零点 C．在区间内有零点，在(1，e)内无零点 D．在区间内无零点，在(1，e)内有零点 4．(2012·厦门质检)已知f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为( )． A．1 B．2 C．3 D．4 5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )． A．60件 B．80件 C．100件 D．120件二、填空题(每小题5分，共15分) 6．(2012·宝鸡二模)已知0＜a＜1，函数f(x)＝ax－|logax|的零点个数为________．7．(2012·郑州二模)已知函数f(x)＝x－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0＜x1＜x0，则f(x1)________0(填“＞”、“＜”、“≥”、“≤”)． 8．设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0所在的区间是(n，n＋1)(nZ)，则n＝________. 三、解答题(本题共3小题，共35分) 9．(11分)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足f(t)＝20－|t－10|(元)． (1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值． 10．(12分)(2012·广州模拟)已知二次函数f(x)＝x2－16x＋q＋3. (1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q的取值范围； (2)问是否存在常数t(t≥0)，当x[t,10]时，f(x)的值域为区间D，且区间D的长度为12－t. 11．(12分)设函数f(x)＝x3－x2＋6x－a. (1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值； (2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．训练2　函数与方程及函数的实际应用 1．B　[根据函数的零点存在定理，要验证函数的零点的位置，只要求出函数在区间的两个端点上的函数值，得到结果，根据函数的零点存在定理得到f(1)·f(2)＜0.故选B.] 2．D　[令f(x)＝x3－2x－1，则f(1)＝－20，f＝－<0. 故下一步可断定该根所在区间为.] 3．D　[f′(x)＝－＝，当x时，f′(x)＜0， f(x)在上单调． f＝－ln＝1＋＞0，f(1)＝－ln 1＝＞0， f(e)＝－ln e＜0，所以f(x)在(1，e)内有零点．] 4．B　[在同一平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)与y＝ex的图象，结合图形可知，它们有两个公共点，因此函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数是2，选B.] 5．B　[若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是，存储费用是，总的费用是＋≥2＝20，当且仅当＝时取等号，即x＝80.] 6．解析　分别画出函数y＝ax(0＜a＜1)与y＝|logax|(0＜a＜1)的图象，如图所示．答案　2 7．解析　当x＝x0时， f(x0)＝x0－log3x0＝0，当0＜x1＜x0时， f(x1)＝x1－log3x1＞0，如图所示．答案　＞ 8．解析　由函数图象知，1＜x0＜2. 答案　1 9．解　(1)y＝g(t)·f(t)＝(80－2t)· ＝(40－t)(40－|t－10|) ＝ (2)当0≤t＜10时，y的取值范围是[1 200,1 225]，在t＝5时，y取得最大值为1 225；当10≤t≤20时，y的取值范围是[600,1 200]，在t＝20时，y取得最小值为600. 总之，第5天日销售额y取得最大值为1 225元；第20天日销售额y取得最小值为600元． 10．解　(1)函数f(x)＝x2－16x＋q＋3的对称轴是x＝8， f(x)在区间[－1,1]上是减函数．函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有即－20≤q≤12. (2)0≤t＜10，f(x)在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x＝8. 当0≤t≤6时，在区间[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小， f(t)－f(8)＝12－t，即t2－15t＋52＝0，解得t＝，t＝；当6＜t≤8时，在区间[t,10]上f(10)最大，f(8)最小， f(10)－f(8)＝12－t，解得t＝8；当8＜t＜10时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小， f(10)－f(t)＝12－t，即t2－17t＋72＝0，解得t＝8或t＝9，t＝9. 综上可知，存在常数t＝，8,9满足条件． 11．解　(1)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)，因为x(－∞，＋∞)，f′(x)≥m，即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m)≤0，得m≤－，即m的最大值为－. (2)因为当x＜1时，f′(x)＞0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0；所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝－a；当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a；故当f(2)＞0或f(1)＜0时，方程f(x)＝0仅有一个实根．解得a＜2或a＞.。

(通用版)2016年高考数学二轮复习专题十四九章算术与高考数学课件理

π DC (2)若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为，求的值． 3 BC 此题背景源于《九章算术》卷第五《商功》之[一五 ]．今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何；之 [一六 ]今有鳖臑，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广，高七尺．问积几何．考题将“阳马”， “鳖臑”相结合，以《选修 2－ 1》P109 例 4 为源进行有机整合．巧妙嫁接，精典设问，和谐优美的考题呼之即出．让数学教育者与高考学子为之赞叹！
1 1
1 1 2 即 · 2× 6· d＝， 3 2 3 4 2 ∴ d＝＝ 3. 2× 6 3 ③法一：设 C 在平面 A1BC1 上的射影为 D(事实上 D∈ BC1)．在 A1B 上的射影为 E. 连接 DE，易知 A1B⊥ ED. ∴∠ CED 即为二面角 CA1B C1 的平面角． 2 由②知 CD＝ d＝ 3. 3
(2)∵ A1A＝ AB＝ 2. 由 (1)知阳马 BA1ACC1 的体积 1 V＝ S 矩形 A ACC · BC 3
1 1
1 ＝ × A1A× AC× BC 3 2 1 ＝ AC× BC≤ (AC2＋ BC2) 3 3 1 4 2 ＝ × AB ＝ . 3 3 当且仅当 AC＝ BC＝ 2时， 4 Vmax＝，此时 3
[解析 ] 设从最下节往上的容量构成等差数列{an}，公差为 d.
a1＋a2＋ a3＝4 3a1＋ 3d＝4 则，即， a9＋a8＋ a7＋a6＝ 3 4a1＋ 26d＝ 3
95 7 解得 a1＝， d＝－ . 66 66 95 7 67 中间为第五节，即 a5＝ a1＋4d＝＋ 4× (－ )＝ .故选 C. 66 66 66
专题十四《九章算术》与高考数学

高考数学二轮复习专题突破—基本初等函数、函数的应用(含解析)

高考数学二轮复习专题突破—基本初等函数、函数的应用一、单项选择题1.(2021·陕西西安月考)函数f (x )=xx 2-1−12的零点个数是( ) A.1 B.2C.3D.42.(2021·福建泉州一模)已知a=32,b=√3√2,c=ln3ln2,则( ) A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>bD.a>c>b3.(2021·浙江绍兴二模)函数f (x )=log a x+ax (a>1)的图象大致是( )4.(2021·湖北十堰期中)已知关于x 的方程9x -2a ·3x +4=0有一个大于2log 32的实数根,则实数a 的取值范围为( ) A.(0,52)B.(52,4)C.(52,+∞)D.(4,+∞)5.(2021·山东潍坊二模)关于函数f (x )={2x -a,0≤x <2,b-x,x ≥2,其中a ,b ∈R ,给出下列四个结论:甲:6是该函数的零点;乙:4是该函数的零点;丙:该函数的零点之积为0;丁:方程f (x )=52有两个根.若上述四个结论中有且只有一个结论错误,则该错误结论是( ) A.甲B.乙C.丙D.丁6.(2021·湖南师大附中期末)已知函数f(x)={lnx,x≥1,-ln(2-x),x<1,则方程(x-1)f(x)=1的所有实根之和为()A.2B.3C.4D.17.(2021·福建厦门期末)已知函数f(x)={|log3x|,0<x≤√3,1−log3x,x>√3,若关于x的方程f2(x)+mf(x)+112=0有6个解,则实数m的取值范围为()A.(-1,0)B.-1,-√33C.-1,-23D.-23,-√33二、多项选择题8.(2021·江苏扬州期末)17世纪初,约翰·纳皮尔为了简化计算发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件,恩格斯曾经把笛卡儿的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明.我们知道,任何一个正实数N可以表示成N=a×10n(1≤a<10,n∈Z)的形式,两边取常用对数,则有lg N=n+lg a,现给出部分常用对数值(如下表),则下列说法正确的有()A.310在区间(104,105)内B.250是15位数C.若2-50=a×10m(1≤a<10,m∈Z),则m=-16D.若m32(m∈N*)是一个35位正整数,则m=129.(2021·北京延庆模拟)同学们,你们是否注意到?自然下垂的铁链;空旷的田野上,两根电线杆之间的电线;峡谷的上空,横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上,这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中,这类函数的表达式可以为f(x)=a e x+b e-x(其中a,b是非零常数,无理数e=2.718 28…),对于函数f(x),下列说法正确的是()A.如果a=b,那么函数f(x)为奇函数B.如果ab<0,那么f(x)为单调函数C.如果ab>0,那么函数f(x)没有零点D.如果ab=1,那么函数f(x)的最小值为210.(2021·海南第四次模拟)已知k>0,函数f(x)={-ln(k-x),x<0,ln(k+x),x>0,则()A.f(x)是奇函数B.f(x)的值域为RC.存在k,使得f(x)在定义域上单调递增D.当k=12时,方程f(x)=1有两个实数根三、填空题11.(2021·北京通州区一模)已知函数f(x)={x2+2x,x≤t,lnx,x>t(t>0)有两个零点,且其图象过点(e,1),则常数t的一个取值为.12.(2021·山东济宁期末)已知函数f(x)=e x+x2+ln(x+a)与函数g(x)=e x+e-x+x2(x<0)的图象上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围为.答案及解析1.B 解析令f (x )=xx 2-1−12=0,即x 2-2x-1=0,解得x=1±√2,经检验x=1±√2是方程f (x )=0的解,故f (x )有两个零点.故选B . 2.C 解析 a=32,b=√3√2=√62,则a>b ,因为a-c=32−ln3ln2=3ln2−2ln32ln2=ln8−ln92ln2<0,所以a<c ,所以b<a<c.故选C .3.A 解析令g (x )=x+ax ,由于a>1,所以g (x )在区间(0,√a )上单调递减,在区间(√a ,+∞)上单调递增,故f (x )在区间(0,√a )上单调递减,在区间(√a ,+∞)上单调递增,对照题中选项中的图象,知A 选项正确.4.C 解析令t=3x ,因为方程9x -2a·3x +4=0有一个大于2log 32的实数根,即x>2log 32,则t>32log 32=4,所以函数f (t )=t 2-2at+4有一个大于4的零点,所以f (4)=42-8a+4<0,解得a>52,即实数a 的取值范围是(52,+∞).故选C .5.B 解析若甲是错误的结论,则由乙正确可得b=4,由丙正确得a=1,此时丁不正确,不符合题意;若乙是错误的结论,则由甲正确可得b=6,由丙正确得a=1,此时丁也正确,符合题意;若丙或丁是错误的结论,则甲和乙不可能同时正确,不符合题意,故选B .6.A 解析当x>1时,2-x<1,所以f (2-x )=-ln[2-(2-x )]=-ln x=-f (x ),当x<1时,2-x>1,所以f (2-x )=ln(2-x )=-f (x ),当x=1时,f (1)=0,所以函数f (x )的图象关于点(1,0)对称.显然x=1不是方程的根,当x ≠1时,原方程可变为f (x )=1x-1,画出函数y=f (x )和y=1x-1的图象(如图所示).由图知,二者仅有两个公共点,设为点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),因为函数y=f (x )和y=1x-1的图象都关于点(1,0)对称,所以点A ,B 关于点(1,0)对称,所以x 1+x 22=1,即x 1+x 2=2.故选A .7.D 解析令f (x )=t ,则原方程可化为t 2+mt+112=0,画出函数f (x )的图象(如图).由图象可知,若关于x 的方程f 2(x )+mf (x )+112=0有6个解,则关于t 的方程t 2+mt+112=0必须在区间0,12上有两个不相等的实根,由二次方程根的分布得{ 112>0,Δ=m 2-13>0,14+12m +112>0,-m 2∈(0,12),解得m ∈-23,-√33.故选D . 8.ACD 解析对A,令x=310,则lg x=lg 310=10lg 3=4.77,所以x=104.77∈(104,105),A 正确;对B,令y=250,则lg y=lg 250=50lg 2=15.05,所以y=1015.05∈(1015,1016),则250是16位数,B 错误;对C,令z=2-50,则lg z=lg 2-50=-50lg 2=-15.05,又因为2-50=a×10m (1≤a<10,m ∈Z ),所以10-15.05=a×10m ,则10-15.05-m =a ∈[100,101),所以m=-16,C 正确;对D,令k=m 32,则lg k=lg m 32=32lg m ,因为m 32(m ∈N *)是一个35位正整数,所以34<32lg m<35,则3432<lg m<3532,即1.063<lg m<1.094,所以m=12,D 正确.故选ACD .9.BC解析对A,当a=b时,f(x)=a e-x+a e x,此时f(-x)=a e x+a e-x=f(x),故f(x)为偶函数.故A 错误.对B,当ab<0时,若a>0,b<0,则函数y=a e x在其定义域上单调递增,函数y=be x在其定义域上也单调递增,故函数f(x)=a e x+be x在其定义域上单调递增;若a<0,b>0,则函数y=a e x在其定义域上单调递减,函数y=be x 在其定义域上也单调递减,故函数f(x)=a e x+be x在其定义域上单调递减.综上,如果ab<0,那么f(x)为单调函数.故B正确.对C,当a>0,b>0时,函数f(x)=a e x+b e-x≥2√ae x·be-x=2√ab>0,当a<0,b<0时,函数f(x)=-(-a e x-b e-x)≤-2√(-ae x)·(-be-x)=-2√ab<0.综上,如果ab>0,那么函数f(x)没有零点.故C正确.对D,由ab=1,得b=1a.当a<0,b<0时,函数f(x)=--a e x-1ae-x≤-2√(-ae x)·(-1ae-x)=-2;当a>0,b>0时,函数f(x)=a e x+1a e-x≥2√ae x·1ae-x=2.故ab=1时,函数f(x)没有最小值.故D错误.10.AC解析当x>0时,f(-x)=-ln(k+x)=-f(x),当x<0时,f(-x)=ln(k-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,故选项A正确;当x>0时,f(x)=ln(k+x)单调递增,且f(x)>ln k,当x<0时,f(x)=-ln(k-x)单调递增,且f(x)<-ln k,f(x)的值域为(-∞,-ln k)∪(ln k,+∞),若k≥1,ln k≥0,此时f(x)的值域不包含0,且f(x)在定义域上单调递增,故选项B错误,选项C正确;对于选项D,若k=12,ln k=-ln 2,而ln 2<1,由前面的分析可知,方程f(x)=1在区间(-∞,0)上没有实数根,在区间(0,+∞)上有一个实数根,故选项D错误.11.2(答案不唯一)解析由x2+2x=0可得x=0或x=-2,由ln x=0可得x=1,因为函数f(x)={x2+2x,x≤t,lnx,x>t(t>0)有两个零点,且其图象过点(e,1),所以e>t≥1.所以t可取2.12.(-∞,e)解析由题意得,g(-x)=f(x)在区间(0,+∞)上有解,即e-x=ln(x+a)在区间(0,+∞)上有解,所以函数y=e-x与函数y=ln(x+a)的图象在区间(0,+∞)上有交点.如图,函数y=ln(x+a)的图象是由函数y=ln x的图象左右平移得到的,当y=ln x的图象向左平移至使y=ln(x+a)的图象经过点(0,1)时,函数y=e-x与函数y=ln(x+a)的图象交于点(0,1),将点(0,1)的坐标代入e-x=ln(x+a),有1=ln(0+a),得a=e,所以,若函数y=ln x的图象往左平移a个单位长度,且a≥e时,则函数y=e-x与函数y=ln(x+a)的图象在区间(0,+∞)上无交点.将函数y=ln x的图象向右平移时,函数y=e-x与y=ln(x+a)的图象在区间(0,+∞)上恒有交点.所以a<e,即a∈(-∞,e).。

2023高考数学二轮复习专项训练《导数在解决实际问题中的应用》(含答案)

2023高考数学二轮复习专项训练《导数在解决实际问题中的应用》一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）若z=−1+√3i，则zzz−−1=()A. −1+√3iB. −1−√3iC. −13+√33i D. −13−√33i2.（5分）命题“∀x∈R，∃x∈N，使得n⩾x2+1”的否定形式是()A. ∀x∈R，∃x∈N，使得n<x2+1B. ∀x∈R，∀x∈N，使得n<x2+1C. ∃x∈R，∃x∈N，使得n<x2+1D. ∃x∈R，∀x∈N，使得n<x2+13.（5分）已知函数y=f(x)的周期为2，当x∈[0,2]时，f(x)=(x−1)2，如果g(x)= f(x)−log5|x−1|，则函数的所有零点之和为()A. 8B. 6C. 4D. 104.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x为整数，且运行四次后退出循环，则输入的x的值可以是()A. 1B. 2C. 3D. 45.（5分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，DF⊥AB于点F，且AE=8，AB=10．在上述条件下，给出下列四个结论：①DE=BD；②ΔBDF≌ΔCDE；③CE=2；④DE2=AF⋅BF，则所有正确结论的序号是()A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④6.（5分）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，则()A. 函数f(x)的最小正周期是2πB. 函数f(x)在区间(π2,π)上单调递减C. 函数f(x)的图象与y轴的交点为(0,−12)D. 点(7π6,0)为函数f(x)图象的一个对称中心7.（5分）213，log26，3log32的大小关系是A. 213<log26<3log32 B. 213<3log32<log26C. 3log32<213<log26 D. 3log32<log26<2138.（5分）设函数y=ax2与函数y=|ln x+1ax|的图象恰有3个不同的交点，则实数a的取值范围为()A. (√33e,√e) B. (−√33e,0)∪(0,√33e)C. (0,√33e) D. (√e1)∪{√33e}二、填空题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）设A，B是非空集合，定义：A⊗B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}.已知集合A={x|0<x<2}，B={x|x⩾0}，则A⊗B=__________.10.（5分）某中学组织了“党史知识竞赛”活动，已知该校共有高中学生2000人，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为50的样本参加活动，其中高一年级抽取了6人，则该校高一年级学生人数为 ______.11.（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是______．12.（5分）记S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=12，a42=a6，则S4=______．13.（5分）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，过F的一条倾斜角为30°的直线与C在第一象限交于点A，且|OF|=|OA|，O为坐标原点，则该双曲线的离心率为______．三、解答题（本大题共6小题，共72分）14.（12分）某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？15.（12分）在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2a，3csinB=4asinC．(Ⅰ)求cosB的值；(Ⅱ)求sin(2B+π6)的值．16.（12分）如图，ΔABC中，AC=2，BC=4，∠ACB=90°，D、E分别是AC、AB的中点，将ΔADE沿DE折起成ΔPDE，使面PDE⊥面BCDE，H、F分别是边PD和BE的中点，平面BCH与PE、PF分别交于点I、G．(Ⅰ)求证：IH//BC；(Ⅱ)求二面角P−GI−C的余弦值．17.（12分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，a2=18，且S1+116，S2，S3成等差数列，数列{b n}满足b n=2n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设c n=a n⋅b n，若对任意n∈N∗，不等式c1+c2+⋯+c n⩾12λ+2S n−1恒成立，求λ的取值范围．18.（12分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√32，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4，设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，点A的坐标为(−a,0).(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅰ)若|AB|=4√2，求直线l的倾斜角．519.（12分）已知a为实数，函数f(x)=a ln x+x2−4x．(1)是否存在实数a，使得f(x)在x=1处取得极值？证明你的结论；,e]，使得f(x0)⩽g(x0)成立，求实数a的取值范围．(2)设g(x)=(a−2)x，若∃x0∈[1e答案和解析1.【答案】C;【解析】解：∵z =−1+√3i ，∴z ·z −=|z|2=(√(−1)2+(√3)2)2=4，则zzz −−1=−1+√3i 4−1=−13+√33i. 故选：C.由已知求得z ·z −，代入zzz −−1，则答案可求．此题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2.【答案】D;【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以“∀x ∈R ，∃x ∈N ，使得n ⩾x 2+1”的否定形式为∃x ∈R ，∀x ∈N ，使得n <x 2+1”．故选：D.直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．此题主要考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3.【答案】A; 【解析】该题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，正确作出函数的图象是关键．分别作出函数y =f(x)、y =log 5|x −1|的图象，结合函数的对称性，即可求得结论．解：当x ∈[0,2]时，f(x)=(x −1)2，函数y =f(x)的周期为2，图象关于y 轴对称的偶函数y =log 5|x|向右平移一个单位得到函数y =log 5|x −1|，则y =log 5|x −1|关于x =1对称，可作出函数的图象：函数y =g(x)的零点，即为函数图象交点横坐标，当x >6时，y =log 5|x −1|>1，此时函数图象无交点，又两函数在(1,6]上有4个交点，由对称性知它们在[−4,1)上也有4个交点，且它们关于直线x=1对称，所以函数y=g(x)的所有零点之和为：4×2=8，故选：A．4.【答案】A;【解析】解：依题意，S随着x的增大而增大，当x⩾2时，第一次循环时S⩾4，第二次循环时S⩾4+42=20，第三次循环时S⩾20+82=84⩾64，脱离循环，故x<2，故选：A．根据S和x的关系，S随着x的增大而增大，验证当x⩾2时的情况，即可得到结果．此题主要考查了程序框图，考查了循环结构．属于基础题．本题的难点在于逆推x的值，需要借助不等式来完成．5.【答案】B;【解析】解：∵∠BAC的平分线为AD，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE=DF，DC=DB，∴ΔBDF≌ΔCDE，所以①不正确，②正确；∵∠BAC的平分线为AD，DE⊥AC，DF⊥AB，∴AE=AF=8．又∵ΔBDF≌ΔCDE，∴CE=BF=AB−AF=10−8=2，故③正确；∵AB是直径，∴∠ADB=90°．又∵DF⊥AB，∴ΔDBF∽ΔADF，∴DFAF =BFDF，即DF2=AF⋅BF，∴DE2=AF⋅BF，故④正确；故选：B．利用角平分线的性质和全等三角形的判定可以判断①②的正误；利用排除法可以判断③④的正误．此题主要考查了相似三角形的判定与性质．解题时，利用了角平分线的性质和圆周角定理，难度不大．6.【答案】D;【解析】解：由函数图可象知T4=5π12−π6=π4，所以T=π，因为T=2πω，∴ω=2，所以最小正周期为π，故A错误；又函数过点(5π12,1)，所以f(5π12)=sin(2×5π12+φ)=1，所以5π6+φ=π2+2kπ，(k∈Z)，解得φ=−π3+2kπ，(k∈Z)，∵|φ|<π2，所以φ=−π3，所以f(x)=sin(2x−π3)，当x∈(π2,π)，所以2x−π3∈(2π3,5π3)，因为y=sinx在x∈(2π3,5π3)上不单调，故B错误；令x=1，则f(0)=sin(−π3)=−√32，所以与y轴交点为(0,−√32)，故C错误；若点(7π6,0)为函数f(x)图象的一个对称中心，则f(7π6)=0，当x=7π6时，f(7π6)=sin(2×7π6−π3)=sin2π=0，所以点(7π6,0)为函数f(x)图象的一个对称中心，故D正确，故选：D.根据函数图像求出函数解析式，再结合选项一一判断即可．此题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合与函数思想，属于中档题．7.【答案】B;【解析】此题主要考查了指数函数与对数函数的大小比较问题，属于基础题.首先根据单调性，将指数值与32比较，其次根据对数函数的递增性质得到两个对数值与2、32大小关系，答案易得.解：213<212<32，3log32=32log34>32,3log32=log38<log39=2，log26>log24=2，所以213<3log32<log26.故选B.8.【答案】C;【解析】解：令ax2=|ln x+1ax|得a2x3=|ln x+1|，显然a>0，x>0．作出y=a2x3和y=|ln x+1|的函数图象，如图所示：设a=a0时，y=a2x3和y=|ln x+1|的函数图象相切，切点为(x0,y0)，则{3a02x02=1x0a02x03=ln x0+1，解得x0=e−23，y0=13，a0=√3e3．∴当0<a<√3e3时，y=a2x3和y=|ln x+1|的函数图象有三个交点．故选：C．令ax2=|ln x+1ax|得a2x3=|ln x+1|，作出y=a2x3和y=|ln x+1|的函数图象，利用导数知识求出两函数图象相切时对应的a0，则0<a<a0．此题主要考查了函数图象的交点个数判断，借助函数图象求出临界值是关键．9.【答案】{x|x=0或x⩾2};【解析】此题主要考查集合的新定义，是基础题由集合A={x|0<x<2}，B={x|x⩾0}，可得A∪B={x|x⩾0}，A∩B={x|0<x<2}，则A⊗B={x|x=0或x⩾2}.10.【答案】240;【解析】解：设该校高一年级学生人数为n，则6n =502000，即n=240，故答案为：240.由分层抽样方法，按比例抽样即可．此题主要考查了分层抽样方法，重点考查了阅读能力，属基础题．11.【答案】16+8√2;【解析】解：由三视图知：几何体为直三棱柱削去一个三棱锥，如图：其中直棱柱的侧棱长为8，底面为直角三角形，且AB=BC=2，SA=2，SB=2√2，AC=2√2，∴几何体的表面积S=12×2×2+12×2×2√2+4+22×2√2+4+22×2+4×2=16+8√2．故答案为：16+8√2．几何体为直三棱柱削去一个三棱锥，结合直观图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算．此题主要考查了由三视图求几何体的表面积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．12.【答案】152;【解析】解：∵a1=12，a42=a6，∴(12q3)2=12q5，解可得，q=2，则S4=12(1−24)1−2=152．故答案为：152．由已知结合等比数列的通项公式可求公比，然后结合等比数列的求和公式即可求解．这道题主要考查了等比数列的公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．13.【答案】√3+1;【解析】解：过F的一条倾斜角为30°的直线与C在第一象限交于点A，且|OF|=|OA|=c，∠AOx=60°，则A(c2,√3c 2)所以c 24a2−3c24b2=1，c2 4a2−3c24(c2−a2)=1，可得e 24−3e24e2−4=1，可得e4−8e2+4=0．解得e=1+√3．故答案为：√3+1．利用已知条件求出A的坐标，代入双曲线方程，结合离心率公式，求解即可．此题主要考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，注意运用三角形的中位线定理和勾股定理，考查运算能力，属于中档题．14.【答案】解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P，则P=6x+8y，由题意有30x+20y⩽300，5x+10y⩽110，x⩾0，y⩾0，x、y均为整数由图知直线y=−34x+18P过M(4,9)时，纵截距最大，这时P也取最大值P max=6×4+8×9=96(百元).故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元．;【解析】此题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．15.【答案】解：(Ⅰ)在三角形ABC中，由正弦定理得bsinB =csinC，所以bsinC=csinB，又由3csinB=4asinC，得3bsinC=4asinC，即3b=4a，又因为b +c =2a ，得b =4a 3，c =2a3，由余弦定理可得cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+49a 2−169a 22⋅a⋅23a=−14；(Ⅱ)由(Ⅰ)得sinB =√1−co s 2B =√154，从而sin2B =2sinBcosB =−√158， cos2B =cos 2B −sin 2B =−78，故sin (2B +π6)=sin2Bcos π6+cos2Bsin π6=−√158×√32−78×12=−3√5+716．; 【解析】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． (Ⅰ)根据正余弦定理可得；(Ⅱ)根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得．16.【答案】证明：（Ⅰ）∵D ，E 分别是边AC 和AB 的中点，∴DE ∥BC ， ∵BC ⊄平面PED ，ED ⊂平面PED ， ∴BC ⊂平面BCH ， ∴IH ∥BC ．解：（Ⅱ）如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得：D （0，0，0），E （2，0，0），P （0，0，1），F （3，12，0），C （0，1，0），H （0，0，12），∴EP →=（-2，0，1），EF →=（1，12，0），CH →=（0，-1，12），HI →=12DE →=（1，0，0），设平面PGI 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{EP →.n →=−2x +z =0EF →.n →=x +12y =0，令x=1，解得y=-2，z=2，∴n →=（1，-2，2），设平面CHI 的一个法向量为m →=（a ，b ，c ），则{CH →.m →=−b +12c =0HI →.m →=a =0，取b=1，得m →=（0，1，2），设二面角P-GI-C 的平面角为θ，则cosθ=|m →.n →||m →|.|n →|=3×√5=2√1515．∴二面角P-GI-C的余弦值为2√1515．;【解析】(Ⅰ)推导出DE//BC，从而BC⊂平面BCH，由此能证明IH//BC．(Ⅱ)以D为原点，DE，DC，DP为x，y，z轴，建立空间右手直角坐标系，利用向量法能求出二面角P−GI−C的余弦值．该题考查线线平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17.【答案】解：(1)设公比为q的等比数列{ an}的前n项和为S n，a2=18，且S1+116，S2，S3成等差数列，所以：{a1q=182S2=S1+116+S3，解得：a1=14，q=12，所以S n=14(1−12n)1−12=12(1−12n)，故a n=14.(12)n−1=(12)n+1，(2)由于：a n=(12)n+1，数列{b n}满足b n=2n.则：C n=a n b n=n2n，则：T n=12+222+323+⋯+n2n①，1 2T n=122+223+324+⋯+n2n+1②，①−②得：12T n=(121+122+⋯+12n)−n2n+1，解得：T n=2−2+n2n，由于S n=14(1−12n)1−12=12(1−12n)，所以不等式c1+c2+⋯+c n⩾12λ+2S n−1恒成立，即2−2+n2n ⩾1−12n+12λ−1，则2−n+12n⩾12λ恒成立，令f(n)=n+12n，则f(n +1)−f(n)=n+22n+1−n+12n=−n2n+1<0，所以f(n)关于n 单调递减，所以(2−n+12n )min=2−1+12，则2−22⩾12λ 解得：λ⩽2.故：λ的取值范围为(−∞,2].;【解析】此题主要考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，错位相减法在数列求和中的应用，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于较难题．(1)直接利用递推关系式和建立的方程组进一步求出数列的通项公式;(2)利用(1)的结论，进一步利用错位相减法求出数列的和，最后利用恒成立问题求出参数的取值范围．18.【答案】解：（1）∵椭圆x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率e=√32，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4， ∴a=2，c=√3，b=1， ∴椭圆的标准方程：x 24+y 21=1，（2）∵设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，点A 的坐标为（-a ，0）． ∴点A 的坐标为（-2，0）， ∴直线l 的方程为：y=k （x+2），（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）可知点A 的坐标是（-2，0）．设点B 的坐标为（x 1，y 1），直线l 的斜率为k ．则直线l 的方程为y=k （x+2）．于是A 、B 两点的坐标满足方程组{y =k(x +2)x 24+y 21=1消去y 并整理，得（1+4k 2）x 2+16k 2x+（16k 2-4）=0．由-2x 1=16k 2−41+4k 2，得x 1=2−8k 21+4k 2．从而y 1=4k1+4k 2．所以|AB|=4√1+k 21+4k 2 由|AB|=4√25，得4√1+k 21+4k 2=4√25整理得32k 4-9k 2-23=0，即（k 2-1）（32k 2+23）=0，解得k=±1．所以直线l 的倾斜角为π4或3π4．;【解析】(1)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)根据a 2=b 2+c 2，ca =√32，2a =4，求解．(2)联立方程组{y =k(x +2)x 24+y 21=1消去y 并整理，得(1+4k 2)x 2+16k 2x +(16k 2−4)=0，运用韦达定理，弦长公式求解．此题主要考查了椭圆和直线的位置关系，联立方程组结合弦长公式求解．19.【答案】解：（1）函数f （x ）定义域为（0，+∞），f′（x ）=ax +2x-4=2x 2−4x +ax假设存在实数a ，使f （x ）在x=1处取极值，则f′（1）=0，∴a=2，…（2分）此时，f′（x ）=2(x−1)2x，当x ＞0时，f′（x ）≥0恒成立，∴f （x ）在（0，+∞）递增．…（4分） ∴x=1不是f （x ）的极值点．故不存在实数a ，使得f （x ）在x=1处取极值．…（5分）（2）由f （x 0）≤g （x 0）得：（x 0-ln x 0）a≥x 02-2x 0 …（6分）记F （x ）=x-lnx （x ＞0），∴F′（x ）=x−1x（x ＞0），．…（7分）∴当0＜x ＜1时，F′（x ）＜0，F （x ）递减；当x ＞1时，F′（x ）＞0，F （x ）递增． ∴F （x ）≥F （1）=1＞0．…（8分） ∴a≥x 02−2x 0x0−ln x 0，记G （x ）=x 2−2xx−lnx ，x ∈[1e ，e]∴G′（x ）=(2x −2)(x−lnx )−(x−2)(x−1)(x−lnx )2=(x−1)(x−2lnx +2)(x−lnx )2…（9分）∵x ∈[1e，e]，∴2-2lnx=2（1-lnx ）≥0，∴x-2lnx+2＞0∴x ∈（1e ，1）时，G′（x ）＜0，G （x ）递减；x ∈（1，e ）时，G′（x ）＞0，G （x ）递增…（10分）∴G （x ）min =G （1）=-1∴a≥G （x ）min =-1．…（11分）故实数a 的取值范围为[-1，+∞）． …（12分）; 【解析】(1)求出函数f(x)定义域，函数的导函数f′(x)，假设存在实数a ，使f(x)在x =1处取极值，则f′(1)=0，求出a ，验证推出结果．(2)由f (x 0)⩽g(x 0) 得：(x 0−ln x 0)a ⩾x 02−2x 0，记F(x)=x −ln x(x >0)，求出F′(x)，推出F(x)⩾F(1)=1>0，转化a ⩾x 02−2x 0x 0−ln x 0，记G(x)=x 2−2x x−ln x，x ∈[1e,e]求出导函数，求出最大值，列出不等式求解即可．该题考查函数的动手的综合应用，函数的最值的求法，极值的求法，考查转化思想以及计算能力．。

2024届高考二轮复习文科数学课件：基本初等函数、函数的应用

3.(2023 陕西西安一模)设 a>b>0,a+b=1 且
1 b
x=-() ,y=log 1 a,z=log (1+1) ab,则

x,y,z 的大小关系是( A )
A.x<z<y
B.z<y<x
C.y<z<x
D.x<y<z
解析由 a>b>0,a+b=1,可得
1
0<b<2<a<1,
则 z=log (1+1) ab=log + ab=log 1 ab=-1,∵0<b<1,
则a
1 3
象有 6 个交点.故选 B.
14.(2023陕西汉中二模)设x1,x2分别是函数f(x)=x-a-x和g(x)=xlogax-1的零点
(其中a>1),则x1+4x2的取值范围为( C )
A.(4,+∞)
B.[4,+∞)
C.(5,+∞)
D.[5,+∞)
解析令 f(x)=0,得 x1=
- 1
1
C.
2.(2023山东济南一模)自然数22 023的位数为( C )(参考数据:lg 2≈0.301 0)
A.607
B.608
C.609
D.610
解析因为lg 22 023=2 023lg 2≈2 023×0.301 0=608.923,所以22 023≈10608.923,
即22 023的位数为608+1=609.故选C.
即 f(x)在(0,+∞)上单调递增.
∵x·
2
x

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（通用版）高考数学大二轮复习能力升级练（十四）函数及其应用理
能力升级练(十四) 函数及其应用
一、选择题
1.函数y=的定义域为()
A.,1
B.,+∞
C.(1,+∞)
D.,1∪(1,+∞)
解析要使函数有意义需满足解得<x<1.故选A.
答案A
2.设函数f(x)=x(e x+a e-x)(x∈R)是偶函数,则实数a的值为()
A.-1
B.-2
C.-3
D.-4
解析设g(x)=x,h(x)=e x+a e-x,因为函数g(x)=x是奇函数,则由题意知,函数h(x)=e x+a e-x为奇函数,又函数f(x)的定义域为R,所以h(0)=0,解得a=-1.故选A.
答案A
3.如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是()
解析由三视图可知此几何体为一底朝上的圆锥,向容器中匀速注水,说明单位时间内注入水的体积相等,因圆锥下面窄上面宽,所以下面的高度增加得快,上面的高度增加得慢,即图象应越来越平缓.故选B.
答案B
4.(2019贵州贵阳模拟)20世纪30年代,为了防范地震带来的灾害,里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大,这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lg A-lg A0,其中A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅.已知5级地震给人的震感已经比较明显,则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的()
A.10倍
B.20倍
C.50倍
D.100倍
解析根据题意有lg A=lg A0+lg10M=lg(A0·10M).所以A=A0·10M,则=100.故选D.
答案D
5.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()
A.2x<3y<5z
B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x
D.3y<2x<5z
解析设2x=3y=5z=k(k>1),
则x=log2k,y=log3k,z=log5k,
所以>1,即2x>3y.①
<1,
所以2x<5z.②
由①②,得3y<2x<5z.故选D.
答案D
6.函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意两个正数x1,x2(x1<x2),都有x2f(x1)>x1f(x2),记
a=f(2),b=f(1),c=-f(-3),则a,b,c之间的大小关系为()
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>b>a
D.a>c>b
解析因为对任意两个正数x1,x2(x1<x2),都有x2f(x1)>x1f(x2),所以,得函数g(x)=在(0,+∞)上是减函数,又c=-f(-3)=f(3),所以g(1)>g(2)>g(3),即b>a>c,故选B.
答案B
7.(2018全国Ⅲ,理7)函数y=-x4+x2+2的图象大致为()
解析当x=0时,y=2>0,排除A,B;当x=时,y=-+2>2.排除C.故选D.
答案D
光速解题排除法:方法一:当x→+∞时,y→-∞,所以可以排除选项A和B,y=-x4+x2+2=-x2-2+, 所以x2=,即x=±时,函数y=-x4+x2+2有最大值,所以排除选项C.
方法二:当x=0时,y=2>0,所以可以排除选项A和B,当x=时,y=>2,所以排除选项C.
8.已知函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m等于()
A.0
B.2
C.4
D.8
解析f(x)==2+,
设g(x)=,
因为g(-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数,
所以g(x)max+g(x)min=0.
因为M=f(x)max=2+g(x)max,m=f(x)min=2+g(x)min,
所以M+m=2+g(x)max+2+g(x)min=4.
答案C
9.设定义在R上的奇函数y=f(x),满足对任意t∈R,都有f(t)=f(1-t),且x∈时,f(x)=-x2,则f(3)+f的值等于()
A.-
B.-
C.-
D.-
解析由f(t)=f(1-t),得f(1+t)=f(-t)=-f(t),
所以f(2+t)=-f(1+t)=f(t),
所以f(x)的周期为2.
又f(1)=f(1-1)=f(0)=0,
所以f(3)+f=f(1)+f
=0-=-.故选C.
答案C
10.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且x>0时,f(x)=ln x-x+1,则函数g(x)=f(x)-e x(e为自然对数的底数)的零点个数是()
A.0
B.1
C.2
D.3
解析当x>0时,f(x)=ln x-x+1,f'(x)=-1=,所以x∈(0,1)时f'(x)>0,
此时f(x)单调递增;x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减.因此,当x>0时,f(x)max=f(1)=ln1-1+1=0.根据函数f(x)是定义在R上的奇函数作出函数y=f(x)与y=e x的大致图象如图所示,观察到函数y=f(x)与y=e x的图象有两个交点,所以函数g(x)=f(x)-e x(e为自然对数的底数)有2个零点.答案C
11.(2019广东惠州第一次调研)已知函数y=f(x)的定义域为R,且满足下列三个条件:
①对任意的x1,x2∈[4,8],当x1<x2时,都有>0恒成立;
②f(x+4)=-f(x);
③y=f(x+4)是偶函数.
若a=f(6),b=f(11),c=f(2 017),则a,b,c的大小关系正确的是()
A.a<b<c
B.b<a<c
C.a<c<b
D.c<b<a
解析由①知函数f(x)在区间[4,8]上为单调递增函数;由②知f(x+8)=-f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为8,所以c=f(2017)=f(252×8+1)=f(1),b=f(11)=f(3);由③可知函数f(x)的图象关于直线
x=4对称,所以b=f(3)=f(5),c=f(1)=f(7).因为函数f(x)在区间[4,8]上为单调递增函数,所以
f(5)<f(6)<f(7),即b<a<c.故选B.
答案B
12.(2019辽宁沈阳教学质量监测)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(2-x),当x∈[-2,0]时,f(x)=x-1,若关于x的方程f(x)-log a(x+2)=0(a>0且a≠1)在区间(-2,6)内有且只有4个不同的实根,则实数a的取值范围是()
A.,1
B.(1,4)
C.(1,8)
D.(8,+∞)
解析因为f(x)为偶函数,且f(2+x)=f(2-x),所以f(4+x)=f(-x)=f(x),
所以f(x)的周期为4,
又当-2≤x≤0时,f(x)=x-1,
画出f(x)在(-2,6)上的大致图象,如图所示.
若f(x)-log a(x+2)=0(a>0且a≠1)在(-2,6)内有4个不同的实根,则y=f(x)的图象与y=log a(x+2)的图象在(-2,6)内有4个不同的交点.所以所以a>8,故选D.答案D
二、填空题
13.计算:2log410-log225+-(π-3)0=.
解析2log410-log225+-(π-3)0=2×log210-log25+(23-1=log2+22-1=1+4-1=4.
答案4
14.已知函数f(x)=ln(-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=.
解析令g(x)=ln(-x),g(-x)=ln(+x),
∴g(x)+g(-x)=ln(1+x2-x2)=0,∴g(x)为奇函数.
∴f(x)=g(x)+1.
∴f(a)+f(-a)=g(a)+1+g(-a)+1=2.
∴f(-a)=-2.
答案-2。