高中数学-平面向量复习课教学设计-棠外陈亮
高考数学知识点《平面向量》复习教案
高考数学知识点《平面向量》复习教案【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了2021届高考数学知识点«平面向量»温习教案，希望能给大家带来协助!平面向量的坐标运算一.温习目的：1.了解平面向量基本定理，了解平面向量的坐标概念，会用坐标方式停止向量的加法、减法、数乘的运算，掌握向量坐标方式的平行的条件;2.学会运用分类讨论、函数与方程思想处置有关效果。
二.主要知识：1.平面向量坐标的概念;2.用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算战争行等等;3.会应用向量坐标的定义求向量的坐标或点的坐标及动点的轨迹效果.三.课前预习：1.假定向量 ,那么 ( )2.设四点坐标依次是，那么四边形为 ( )正方形矩形菱形平行四边形3.以下各组向量，共线的是 ( )4.点 ,且有 ,那么。
5.点和向量 = ,假定 =3 ,那么点B的坐标为。
6.设 ,且有 ,那么锐角。
四.例题剖析：例1.向量，，且，务实数的值。
小结：例2. ，(1)求 ;(2)当为何实数时，与平行，平行时它们是同向还是反向?小结：例3.点 ,试用向量方法求直线和 ( 为坐标原点)交点的坐标。
小结：例4.点及 ,试问：(1)当为何值时, 在轴上? 在轴上? 在第三象限?(2)四边形能否能成为平行四边形?假定能,那么求出的值.假定不能,说明理由。
小结：五.课后作业：班级学号姓名1. 且，那么锐角为 ( )2.平面上直线的方向向量，点和在上的射影区分是和，那么，其中 ( )2 -23.向量且，那么 = ( )(A) (B) (C) (D)4.在三角形中，，点在中线上，且，那么点的坐标是 ( )5.平面内有三点，且∥ ，那么的值是 ( )1 56.三点共线的充要条件是 ( )7.假设 , 是平面内一切向量的一组基底，那么以下命题中正确的选项是 ( )假定实数使，那么空间任一向量可以表示为，这里是实数对实数，向量不一定在平面内对平面内任一向量，使的实数有有数对8.向量，与方向相反，且，那么向量的坐标是_ ____.9. ，那么与平行的单位向量的坐标为。
(2021年整理)高中数学必修4第二章平面向量教案完整版
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第1课时§2.1 平面向量的实际背景及基本概念1、数量与向量的区别:数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向，大小，双重性,不能比较大小. 2.向量的表示方法:①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ；④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作｜AB |.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度。
向量与有向线段的区别:(1）向量只有大小和方向两个要素,与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同,尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段。
《平面向量复习课》教学案例
《平面向量复习课》教学案例【设计说明】1.这是一节高三数学复习课，形成完善的知识体系，掌握平面向量问题一般的规律与思想方法，明确高考的命题趋势，提升学生的应试能力是设计本节课的基本出发点。
2.平面向量是高中数学新课程的重要基础知识，更是一种重要的工具，在高中数学中有着重要的地位和作用。
平面向量的概念与运算是应用基础和依据。
在实际的教学中应把平面向量的概念及运算性质作为基础，向量的应用作为主线，逐步熟悉以向量为工具，把几何问题转化为简单的向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算。
因此，本节课定位为梳理向量知识，准确把握向量的运算与概念，明确向量的工具性，提高学生综合解题能力。
3.学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引领者与合作者。
激发学生的学习主动性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索与合作交流的过程中，真正理解和把握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
因而，本节课的教法设计以学生为主体，问题探索为主线，体现新课改的理念，主要在转变学生学习方式、培养探究能力方面作有意的尝试。
【复习内容】必修4第二章.【教学目标】知识与技能：掌握平面向量的有关概念及运算法则.过程能力与方法：以向量沟通代数与几何之间的桥梁，培养学生综合分析及转化的能力。
态度情感与价值观：在向量综合应用的教学过程中，渗透数形结合思想及等价转化思想，培养学生思维的广阔性和严谨性。
【教学重点】 向量的工具性【教学难点】用向量知识，实现几何与代数之间的等价转化。
【教学模式】探究讨论式【探究过程】一、知识梳理，预备铺垫提出以下三个问题：问题一：平面向量的表示方法有几种？平面向量有三种形式：数量式、几何法与坐标法。
平面向量的数量式体现了向量的数量特征，几何法是用向量长度和方向来表示平面向量，坐标法是用有序实数对来表示平面向量。
平面向量的多种形式是向量工具性的理论依据。
问题二：平面向量的运算有几种？运算法则有那些？问题三：平面向量部分重要的定理有哪些？它们有哪些作用？（学生先先独立思考，可翻阅材料，再小组交流。
高中数学平面向量教案
高中数学平面向量教案教案标题：高中数学平面向量教学案教学目标：1. 理解平面向量的概念；2. 掌握平面向量的表示方法：坐标表示法、分量表示法；3. 掌握平面向量的加法、减法和数量积的计算方法；4. 运用平面向量解决实际问题。
教学重点：1. 平面向量的概念和表示方法；2. 平面向量的运算方法。
教学难点：1. 平面向量的加法和减法；2. 平面向量的数量积。
教学准备：教材、黑板、彩色笔、平面向量的相关习题。
教学过程：Step 1：引入平面向量概念（5分钟）教师用平面上两点的例子引入平面向量的概念，并引导学生思考平面向量的特点和表示方法。
Step 2：平面向量的表示方法（10分钟）教师讲解平面向量的坐标表示法和分量表示法，并用具体的例子巩固学生对这两种表示方法的理解。
Step 3：平面向量的加法和减法（15分钟）教师通过几个简单的例子讲解平面向量的加法和减法的概念和计算方法，并让学生通过练习题巩固。
Step 4：平面向量的数量积（15分钟）教师引入平面向量的数量积的概念，并讲解数量积的计算方法和性质。
然后让学生通过练习题巩固。
Step 5：实际问题的应用（10分钟）教师给出一些与平面向量相关的实际问题，要求学生运用所学知识解决问题，并引导学生分析思路和解决方法。
Step 6：总结和拓展（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，并拓展一些平面向量的相关知识，如平面向量的夹角、平面向量的垂直和平行关系等。
Step 7：作业布置（5分钟）教师布置相关的课后练习题，巩固所学知识，并留出一些思考题，引导学生进一步思考和探索。
教学反思：本节课通过引入、讲解、练习和应用的方式，全面而系统地介绍了高中数学平面向量的相关知识。
通过举例和练习，让学生理解了平面向量的概念、表示方法、运算方法和实际应用，培养了学生的数学思维能力和解决问题的能力。
同时，做到了知识和能力的有机结合，提高了学生的学习兴趣和学习效果。
陈亮--平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角陈亮教学目的：（1）掌握两个向量数量积的坐标表示方法;（2）掌握两个向量垂直的坐标条件；（3）会运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.教学重点：平面向量数量积的坐标表示.教学难点：向量数量积的坐标表示的应用.授课类型：高三第一轮复习（文）教学过程一、复习引入：.0)2(cos;.)1(=⋅⇔⊥==⋅==⋅θθ我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算,那么怎样用与来表示⋅呢？在直角坐标系中，已知两个非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），如何用a与b的坐标表示a b⋅YA（x1,y1）aB(x2，y2)bO ij∵a = x1i + y1j ，b = x2i + y2jX①_____②______③______ ④_____=⋅i i=⋅jj=⋅ji=⋅i j单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求11()()j yixjyi xba2211+⋅+=⋅2211221221jyyji yxjiyxixx+⋅+⋅+=2121yyxx+=二、新课回顾两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的1212a b x x y y ⋅=+在坐标平面xoy 内，已知＝(x 1，y )，＝(x ，y )a b ·＝(1,√3 )，＝(–2,2√3 )a b b a 解：·＝1×(–2)＋√3×2√a b 、平面向量数量积的坐标表示),2,1(==b a用于计算向量的模()22,,a x y a x y ==+设则)().221221y y x -+-即平面内两点间的距离公式．| |,| |已知＝(1,√3 )，＝(–2,2√3 )a b a b＝√12＋( 3 )2＝2,a ＝√(–2)2＋b (3,3)a b -=-||a b -2||3(a b ∴-=+向量夹角公式的坐标式：21x+＝(x ，y )，＝(x ，y )a b(0//)a b a b b λ≠=⇔0a b a b =⇔⊥⋅12210x y x y ⇔-=12120x x y y ⇔+=例3:已知,当k 取何值时,1). 与垂直?2). 与平行? 平行时它们是同向还是反向?()()2,3,2,1-==b a b a k +b a 3-b a k +b a 3-5、两向量垂直、平行的坐标表示＝(x 1，y 1)，＝(x 2，y 2)，则a b.的值3434或=-=-b b(1)(,)(,)或--2,22)(2,22)（1）掌握平面向量数量积的坐标表示，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和；（2）要学会运用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度及垂直问题.小结：＝(x 1，y 1)，＝(x 2，y 2)a b =a b 1. //x y ⇔-a λ⇔=b 2.a b ⊥3.a b ⋅||||cos a b θ=⋅0a b ⇔⋅=12x x ⇔+|||a b a b θ⋅⋅224.(1)||a a =2||a a ⇒=2x =+122x x x =(,)a x y =其中。
平面向量复习课公开课教学设计
2.4.3 平面向量复习课公开课教学设计教材说明人教B版必修4第二章第四节课型复习课课时1 课时学情分析学情分析是教学设计中重要因素之一 . 认真研究学生的实际需要、能力水平和认知倾向，可以优化教学过程，更有效地达成教学目标，提高教学效率. 我在教学中把了解学生的兴趣、动机作为分析学情切入点 .一、了解学生的兴趣、动机动机是激励人去行动，以达到一定目的的内在因素；而动机又产生于人的兴趣和需要 .课堂教学的对象是活生生的学生，学生是学习的主人，教会学生学习，是教学活动的核心，教学要获得成功，就要认真分析，了解学生的心理需求，想方设法启动学生的内驱力，并采取各种有力措施，把学生的兴趣和需求纳入合理的轨道，以调动学生的学习积极性，将外在的教学目标系统转换为学生的心理需要，成为学生的学习目标，使学生由“要我学”转变为“我要学”，只有当学生对所学的内容产生了兴趣，形成了内在的需要和动机，他才能具有达成目标的主动性，教学目标的实现才有保证 . 如对概念的复习有多种方法，让学生复述定义是常见的形式，不过这样做会使学生失去兴趣，把定义复述变为填空题，可以提高学生学习兴趣 .二、分析学生的知识能力水平本课是平面向量的复习课，学生应该掌握平面向量概念，三角形重要性质（重心，外心，内心，垂心性质）. 能够根据平面向量运算规律 .向量共线与分解知识 . 在教学中发现，学生对向量的基本概念掌握比较好，也能够正确应用公式进行运算，不过对向量共线以及向量分解把握不准 .三、认知倾向或认知风格分析高二 5 班大多数学生认知风格表现为场独立型；高二 6 班学生大多数认知风格属于场依存型，教学活动中，结合考虑两班学生不同的认知倾向，根据学生的认知差异改进教学法方法和教学策略，调整教学内容和教学目标，努力做到因材施教. 如对六班学生，注意培养其独立思考的能力；对五班学生，注意培养其有条理地、细心地分析问题、解决问题的能力等 . 在问题深化环节组织研究学习小组时，我根据学生情况，将具有不同认知倾向的学生组合在一起，让他们在小组学习中，依据各自不同的特点去研究分析问题，相互取长补短 . 以便于他们更深入、全面地分析问题、解决问题 . 同时，这样做，不同认知倾向的学生相互影响，也有助于对学生认知倾向的培养调整 .教学内容分析一、教学主要内容向量是代数研究对象，也是几何研究对象，因此它是沟通代数、几何、三角函数的一种工具 . 向量是既有大小又有方向，与数量不同的量，因而在解决有关向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等各种变换，正确进行向量各种运算；二是向量坐标运算体现了数与形互相转化的思想 . 本课主要内容为：三角形的“四心”与向量例1，例 2，例 3，例 4；向量与解析几何：例 5，例 6；利用向量的坐标运算，解决两直线夹角，判断两直线平行，垂直问题：例 7 ，例 8；利用向量的坐标运算解决有关线段的长度问题：例 9；利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量：例 10，例 11；利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离 . 例 12；向量与轨迹方程的综合例13；向量与数列的综合例 14二、教材编写特点教材的编写体现了知识形成的过程，目的是让学生经历将实际问题抽象成数学模型并予以解决和应用的过程，为学生能在探索、发现的活动中建构数学知识创造条件，所以教学中要充分发挥学生的主观能动性．三、教材内容的数学核心思想数形结合思想，化归转化思想教学目标知识与技能：向量概念与运算法则，向量的分解过程与方法：通过实例引导学生把向量作为沟通代数与几何的桥梁，培养学生分析问题，解决问题的能力 .情感态度与价值观：在向量综合运用的过程中，渗透数形结合与等价转化思想，培养学生思维的深刻性与广阔性 .教学的重点和难点重点：向量的综合应用难点：用向量知识进行代数几何转化教学策略选择与设计一、在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系，注意用向量的语言和方法来表述和解决物理问题 .二、二、向量是数形结合的载体，在本课中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题. 同时向量的坐标表示为用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了研究问题的范围和手段 .三、以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质，这类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题 .四、以解答题出现的题目，一般结合其它数学知识，综合性较强，难度大，以解决几何问题为主 . 在学习本章时应立足于课本，掌握双基，精读课本是关键 . 教学资源资源：三角板，圆规，粉笔，教材手段：多媒体辅助教学，形象直观教学过程设计例集锦1.关于重心G,有重心公式：彳OG = —（OA +0B +0C）3X A +X B +x c yA + y B +y c、G（ c ， c ），3 3并有性质GA + GB + GC = 0 ;2.关于垂心H,有性质HA HB = HB HC = HC HA ;3.关于外心0,有性质|OA|^OB|=|OC| ；结论：O H G三点共线且OH =30G ;此线称为欧拉（Euler ）线.（如何证明？）4.关于内心1，经常涉及内角平分线的研究，如—「AB 丄AC、Al _ 人（一+ —.）.|AB| |AC|例1：已知O, N, P在AABC所在平面内，且OA =|OB = OC , NA + NB +NC =0 ,且PA・PB=PB・PC = PC・PA , 则点O, N,P依次是MBC的（A）重心外心垂心（B）重心夕卜心内心（C）外心重心垂心教师提出问题，学生回答，复习公式教师完善教师给出例题，学生回答，教师指导学生说出“四心”及相应特点，分析例题，小组间可以简单讨论通过复习公式，加深对公式的记忆，为下列例题做铺垫通过例题，让学生更好地理解三角形的“四心”与向量知识的综合应用，进步加深对相关公式的理解，灵活运用公式uL o 「；；a;，则P 的轨迹一定通过ABC 的（）A 、外心B 、内心C 、重心D 、垂心二、向量与解析几何例5:在解析几何中，熟练掌 握下列结论，有助于更好地运用向 量：（1） A 、B C 三点共线等价于存在 实数〉1 ,使得OCOA 「OB （：• ： =1）；（2） 厶ABC 的重心G 的坐标公式为1 JOG =—】OA OB OC •3（3） 直线的方向向量是什么？ 给AB =DC = (1, 1),1 —_■ 1 3 —_■ ■■■BA + “BC = ■兰〜BD ,则四边形ABCD 勺面积是例3:设斜△ ABC 的外接圆 圆心为O 两条边上的高的交点 为 H ，0H 二 m(OA OB OC)， 则实数m= _______________例4： 0是平面上一定点，A 、 B 、C 是平面上不共线的三个点， 动点P 满足复习向量在解析几何中常用的结论教师可以引导补充学生回顾，回答引入向量的坐标表示可以使向量完全代数 化,将数与形紧 密结合起来，这 就可以使很多几 何问题的解答转 化为学生熟知的 数量运算.而平面向量的坐标运 OP = 0A定两点：R (Xi, % ), P2 My )，那么RP2 = (x2 -凶，y2 - ％)，这也就是方向向量，横坐标单位化，得：(1,tana )，也就是说：直线Ax +By +C =0的方向向量是(B,-A )，直线的法向量是(A,B).例:6 :已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为(-1,0)和(1,0), 点A、P、Q运动时，满足T T T TAE =2EF , AQ =QF ,PQ ”AF =0, AP// E P(1)求动点P的轨迹C的方程.(2)设M、N是轨迹C上的两点，若OM +2ON =3OE，求直线MN的方程三、禾U用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题例7：已知向量OP1,O R2,OR3满口一，「T T T T足条件OP1+OP2+OP^0，T T TOR = OP2 = OP3=1，求证：也PBB是正三角形教师给出例题，学生分析解答学生讨论、动手操作、思考问题并回答算是常考的知识点,运用向量方法解决解析几何的有关知识，有时候显的非常方便.通过平面向量的坐标运算，我们可以培养学生的归纳、猜想、演绎能力，通过代数方法解决几何问题,提高学生用数形结合思想解决问题的能力.x轴、y轴建立直角坐标系，设A2a,0,B 0,2a，则 D a,0,C0,a , 从而可求：AC = -2a,a ,BD = a,-2a ,co^ -2a，a久一羽=P5a 忑a—4a2 _ 45a2 5( 4)e = arccos - —.I 5丿四、利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题例9：已知ABC，AD为中线，求证AD2=’(AB2+AC2)—f2 \2)证明：以B为坐标原点，以BC所在的直线为x轴建立如图2直角坐标系培养学生的大胆猜想能力，逐步形成“观察——类比——猜想一一质疑一一验证一一应用”获取知识的手段和方法，体会数形结合和分类讨论的思想，提高学生分析问题、解决问题的能力.观察图象写出点坐标并回忆相关公式设A(a，b)C(c，0), D〔2,0)则「C (2)=_ —a i +(0—b) J '2 2-ac a b2=a 2 +b 2-ac +乞4从而I AD |2二五、利用向量的坐标运算，用 已知向量表示未知向量例10:已知点O 是 ABC 内的一点， AOB =150°，BOC =90°，*■ T ■ T T — 设OA =a,OB=b,OC =c,且 a = 2,耳=1, c = 3,试用—f —*Ta,禾口 b 表示c解：以O 为原点，OC OB 所在的直 线为x 轴和y 轴建立如图所示的坐 标系.AD 2c斗2+b2+(c_a)"c 2l学生自习分析并 画出图形充分体现教 师主导作用和学 生主体作用相统 一，体现教学的 直观性和启发 性.l f I A B|2 +| AC I 2 J-I AC |21 2|AB I 2由 0A=2 Z AOx =120°，所以A2cos120°,2sin1200，即A -1, ,3 ,易求 B0,-1 , C3,0，设OA = • QB ，2 OC，即-1, 3 = \ 0,-1 '2 3,0：-1 =3妬<3 =-九<i13…3-A例11:如图，OATOB =1，:OA, OB 120，用 OA,OB 表示OC.解：以O为坐标原点，以OA所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则 A1,0，由COA =30引导学生思考后回答配合教师板演训练学生对图形的运用，渗透转化思想，培养学生严谨的思维品质，有利于学生对向量的理解.结合向量来解决课后教学反思一、优势在教学中，高二五、六这两个班学生，通过前面学习，大部分学生的知识基础和接受的能力还是可以的.20%的学生是很聪明的,通过自己看书,能够基本掌握本节内容，30%的学生在课堂上能够跟上我的思路，通过讲解,也能很快掌握，30% 的学生勉强能跟上我的思路，但需要时间消化，剩下20%勺学生,如果不预习课本基本上上课很难听懂，即使提前预习了，也不一定能跟的上.二、不足1.教学教法方面一方面学生在接受上有一定的困难，另一方面在细节问题上就很难把握的好一节课45分钟,在这么短的时间内让学生掌握住如此多的知识，难度很大，同时, 一味地赶进度，带来的直接后果就是学生学而不精，对深层的问题，没有实质性的认识,只会死记公式，做原题,对于变形题目，学生仍然无从下手•2.对学生能力估计不足在课堂教学之前，做为教师,我应该对学生有个充分的估量，在这些容易错的地方,学生会出现那些错误，学生会用什么方法解决此题，我应该事先有个充分的估量,不至于课堂教学中，出现我没预料到的情况，造成教学的被动•3.应鼓励学生自主探索、自主学习在问题深化过程，本意很想让学生自主探索，自主学习，但在实际操作过程中，由于师生配合不是特别的默契，没有完全把学生的意图彻底弄透，甚至最后时间都有紧张•虽然如此，但我想，教师是学生学习的引导者、组织者，教师在教学中的作用必须以确定学生主体地位为前提，在今后的教学过程中要继续发扬民主，要鼓励学生质疑，提倡独立思考、动手实践、自主探索、阅读自学等学习方式.对于教学中问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等，要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的方案，并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略，使学生切实体会到自主探索数学的规律和问题解决是学好数学的有效途径.4.课堂语言还需要进一步提炼在教学中，提出的问题，分析引导的话应具体，明确，不能让学生不知道如何回答，当然有些问题我也考虑过该如何问，只是没有找到更合适的提问方法，这方面的能力有待加强 .5.教师如何把握“收” 与“放”的问题何时放手让学生思考，何时教师引导学生，何时教师讲授，这是个值得思考的问题 .总之，在本节课的教学反思中 , 我学到了很多东西 . 作为教师 , 我们只是组织者,推进者和指导者 , 我们应该把更多的主动权交给学生 ,让学生充分发挥自己的主观能动性 , 去创造奇迹 , 让他们的思维更灵活 ,情感升华更彻底 , 知识的获得将更完善.教研组点评一、教学目标切合实际，张弛有度教学目标是教学的立足点、出发点和归宿点 . 在本堂课中教师基本上做到了围绕拟定的教学目标组织教学 .在知识点梳理教学环节中师生共同回忆概念，梳理知识，其中的亮点是用题带知识点，把干巴巴的叙述概念变成填空题，从教学效果看反响很好 . 典例集锦教学环节中的例题的设计，虽受课时限制，不能面面俱到，但以点带面，重点突出，以向量应用为纲，纲举目张 .问题深化环节设计学生多层次、多角度分析向量性质与平面几何性质、实数性质的区别，优秀的学生条理清楚、思维敏杰，一般的学生也有自己的发现 . 在教师理性梳理学生的成果之后，引导同学自主探索向量在平面几何及解析几何中的应用. 综合应用题选择恰当，充分体现了向量作为代数与几何之间的桥梁作用，很好地渗透了数形结合思想，培养了学生思维的广阔性和深刻性，成功地完成了教学任务，实现了情感目标 .综上所述，本课教学目标贯彻到位，把握恰到好处 . ( 二、教学模式恰当，引人入胜“探究讨论式”是一种常用的教学方法 . 然而，本课探索“向量的应用”却颇有难度，尤其是几何与代数之间的问题转化 . 为了突破这一难点，首先复习旧知识，准备铺垫，接着设计简单的几何图形中的代数求值问题 . 教师在思想方法上的点拔，思维层次上的递进，让学生分享自己成果的乐趣，体现了“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引领者与合作者 . ”的教学理念 . 整个教学设计，思路清晰，层次转换自然，点拨及时，自然流畅，引人入胜 .三、体现先进理念，合作探索建构主义认为：学生的学习不是被动的接受，而是一种主动的学习，一种知识的重组或重新建构的过程 . 因此，学习方式的转变，对学生的学习至关重要，也是教学成败的关键 . 本课注重学生学习方式的转变，教者适时点拨，发现问题，培养探索精神 . 从容易混淆的性质入手，让学生发现问题，出现疑惑，接着，对向量平行充要条件的研究，培养了学生思维的深刻性，通过概念的辨析，使学生对向量有了更深的理解，此时推出综合应用题，过渡自然，符合认知规律 . 同学探究，思维得到进一步的升华，攻克难点，培养了合作精神 . 通过展示研究成果，让学生感到兴趣盎然而充满探索求知的愿望，学生的主体地位得到了淋漓尽致的发挥. 体验成功的喜悦，分享快乐，提高了学习的积极性 . 熟知，课堂教学“以教师为主导，以学生为主体”这句话好说难做 . 如何落在实处，本课做了有益的尝试 . 案例的设计，具有时代气息，以问题为先导，直接引导学生进入思考的境界 . 教案的设计说明，体现了教者“以学生发展为本的教学理念”. 该教案有些地方还需改进，但仍有很多可圈可点之处，不失为一份体现新的教学理念的教学案例 .。
2019-2020年高中数学平面向量复习课教案
2019-2020年高中数学平面向量复习课教案【教学内容及解析】本课时是人教社普通高中课程标准实验教科书A版必修（4）第二章《平面向量》的复习课。
它是对本章内容的总结与升华；这节课既要展示平面向量的形的特性，又要具备数的特性，因此向量的代数形式的运算与其几何意义是紧密联系在一起的。
向量是沟通代数，几何，三角函数的工具，向量的解题方法有向量法和坐标法.而要熟练应用这些方法，学生应该对相应的基本概念比较清楚，因此在复习时应该在引导学生得到结果基础之上，让同学理解相关的意义和了解其实际背景•应该把几何的直观性和向量的运算有机的结合在一起。
【教学目标】1. 复习向量的有关概念；2. 会向量的线性运算，会向量数乘的运算，并体会其几何意义•3. 学会平面向量的正交分解及其坐标表示以及相关应用4. 会求平面向量的数量积，并会应用其判断两个平面向量的垂直关系。
5. 能够用向量解决一些具体问题，如平面几何中的一些问题和物理中的一些问题.领会向量作为工具性的魅力。
【教学重难点】1. 重点是让学生学会向量的相关概念和向量的运算2. 难点是如何用向量的方法解决一些问题【教辅工具】教材、教参、多媒体或实物投影仪、尺规【教学反思】本节复习课在设计中主要体现对本章知识的回顾和梳理，在教学过程中，力求做到以下几点：(1) 关注解题方法产生的思维过程 引导学生探究如何将把问题转化为向量问题，揭示解题方法产生的的思维过程，让学生体会解题思路的形成过程和数学思想方法的运用，从而提高学生综合运用知识分析和解决问题的能力(2) 强化学生的应用意识一是培养学生利用所学数学知识、用数学的思维与观点去观察和分析现实生活现象的习惯和意识， 强化学生的应用意识；二是为学生提供充足的动手操作的机会，一旦形成解决问题的思路，后续的解题过程则放手让学生独立完成，让学生体验问题的解决过程，并在此过程中锻炼与提高数学能力•(3) 引导学生探究解题规律指导学生做好解题后的反思，总结解题规律，从而培养学生理性的、条理的思维习惯，形成对通性 通法的归纳意识•教学目的：⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式 ⑶能用所学知识解决有关综合问题 • 教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1.两个非零向量夹角的概念已知非零向量 a 与b ,作=a ,=b ，则Z AOB =0 (0< 0 < n )叫玄与b 的夹角•(0W 0Wn) •并规定0与任何向量的数量积为0.2 .平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a 与b 的数量积，记作a b ，即有a b = |a||b|cos ,a 与b ,它们的夹角是0，则数量| a|| b|cos 叫3 .向量的数量积的几何意义： 数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影| b|cos 的乘积.又，，，所以这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即2.平面内两点间的距离公式一、设，则或.两点间的距离公式)1、向量垂直的判定设，,则1、两向量夹角的余弦()四、讲解范例: 五、设a = (5, -7), b = (-6, -4),求a b 及a 、b 间的夹角0 (精确到1O )例2已知A(1, 2), B(2,3), q-2,5)，试判断厶ABC 的形状，并给出证明例3已知a = (3,-1), b = (1, 2),求满足x a = 9与x b = -4的向量x.4 .两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向e 是与b 同向的单位向量.; 2 a b a b = 0 a b = | a|| b| ;当a 与b 反向时, a b = 特别的 a a = |a|2 或4 cos = ;5 | a b| < | a|| b|5 •平面向量数量积的运算律交换律：a b = b a数乘结合律：(a) b =(a b) = a (b) 分配律：(a + b) c = a c + bc 二、讲解新课：1.平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量，，试用和的坐标表示. 设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么,所以 a b = (x 1 % j)(x 2i y 2j) .2=X !X 2i-X i y 2i j X 2y i i j.2y 』2j(2)如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、,那么 |a(X i - X 2)2 (y i - y 2)2 (平面内X 1 x 2 y 』2解：设x = (t, s),由 ••• x = (2, -3) 例4已知a =(l,), b =(+1,-1)，则a 与b 的夹角是多少？分析：为求a 与b 夹角，需先求a • b 及丨a ]•] b |,再结合夹角0的范围确定其值 解：由 a =(1, ), b =(+1,-1) 有 a • b =+1+(—1)=4,| a |=2,| b |=2.记a 与b 的夹角为0 ,则cos 0 = 又0 < n ,• 0 =评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定例5如图，以原点和 A(5, 2)为顶点作等腰直角△ OAB ，使.B = 90，求点B 和向量的坐标 解：设 B 点坐标(x ,y),则=(x , y), = (x-5, y-2)••• _• x(x-5) + y(y-2) = 0 即：x 2 + y 2 _5x - 2y = 0=(x^5)2 + (y-2)2 即：10x + 4y = 29• 2X (-1) +3 X (k-3) = 0 • k =当 C = 90 时，=0,「. -1 + k(k<) = 0 • k =六、 课堂练习：21•若 a=(-4, 3), b=(5 , 6),贝 U 3|a| —4 a • b =( )A.23B.57C.63D.832•已知 A(1 , 2), B(2, 3) , C(-2 , 5)，则△ ABC 为( ) A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形3. 已知a=(4 , 3),向量b 是垂直a 的单位向量，贝U b 等于( )A.或B.或C.或D.或4. a=(2 , 3) , b=(-2 , 4),则(a+b) • (a-b)= ________5. ________________________________________________________________ 已知A(3 , 2) ,B(-1, -1),若点P(x ,-)在线段AB 的中垂线上，贝U x= __________________________ 6. 已知 A(1, 0) , B(3 , 1) , C(2 , 0),且 a= , b=,则 a 与 b 的夹角为 _______________七、 小结(略)2 2x y _5x _2y 10x 4y =29 X 1y i 7-2 3=——2X 2_ 3 -2 7 -2• B 点坐标或；=或 例6在厶ABC 中, =(2, 3), =(1,©，且厶ABC 的一个内角为直角,解：当A = 90时, =0,当B = 90时,=0, =_= (1_2 , k —3) = (―1, kJ)又II = II八、课后作业（略）九、板书设计（略）课后记：。
2013届高三数学复习教案第五章《平面向量》(新人教版必修4)05
第五教时教材：实数与向量的积目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。
过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。
二、1．引入新课：已知非零向量a 作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a)OC =BC AB OA ++=a +a +a =3aPN =MN QM PQ ++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a讨论：1︒3a 与a 方向相同且|3a |=3|a|2︒-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a| 2．从而提出课题：实数与向量的积实数λ与向量a 的积，记作：λa定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa1︒|λa |=|λ||a|2︒λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=03．运算定律：结合律：λ(μa )=(λμ)a①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa②第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③ 结合律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则①式成立如果λ≠0，μ≠0，a ≠0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a||(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a|∴|λ(μa )|=|(λμ)a|如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a反向。
从而λ(μa )=(λμ)a第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则②式显然成立a a a a O A B C a-a- a- a- NMQP如果λ≠0，μ≠0，a≠0当λ、μ同号时，则λa 和μa同向，∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a| |λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a |∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a同向即：|(λ+μ)a |=|λa +μa|当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa同向当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa同向还可证：|(λ+μ)a |=|λa +μa| ∴②式成立第二分配律证明：如果a=0，b =0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立当a≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时1︒当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，作=OA a =AB b =1OA λa=11B A λb则=OB a +b =1OB λa+λb由作法知：AB ∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 |AB |=λ|11B A | ==||||111AB OA λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1=||1OB λ ∠AOB=∠ A 1OB 1因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λOB | 1OB 与λOB 方向也相同λ(a +b )=λa+λb当λ<0时 可类似证明：λ(a +b )=λa+λb ∴ ③式成立4．例一 （见P104）略三、向量共线的充要条件（向量共线定理）OAB B 1A 1A1．若有向量a (a ≠0)、b ，实数λ，使b =λa则由实数与向量积的定义知：a 与b为共线向量若a 与b 共线(a ≠0)且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa当a 与b 反向时b =-μa从而得：向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使b =λa2．例二（P104-105 略） 三、小结：四、作业： 课本 P105 练习 P107-108 习题5.3 1、2。
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《平面向量》复习课教学设计
成都棠湖外国语学校陈亮
【教学内容及解析】
本课时是人教社普通高中课程标准实验教科书A版必修（4）第二章《平面向量》的复习课。
它是对本章内容的总结与升华；这节课既要展示平面向量的形的特性，又要具备数的特性，因此向量的代数形式的运算与其几何意义是紧密联系在一起的。
向量是沟通代数,几何,三角函数的工具,向量的解题方法有向量法和坐标法.而要熟练应用这些方法,学生应该对相应的基本概念比较清楚,因此在复习时,应该在引导学生得到结果基础之上,让同学理解相关的意义和了解其实际背景.应该把几何的直观性和向量的运算有机的结合在一起。
【教学目标】
1.复习向量的有关概念;
2.会向量的线性运算,会向量数乘的运算，并体会其几何意义.
3.学会平面向量的正交分解及其坐标表示以及相关应用.
4.会求平面向量的数量积,并会应用其判断两个平面向量的垂直关系。
5.能够用向量解决一些具体问题,如平面几何中的一些问题和物理中的一些问题.领会向量作为工
具性的魅力。
【教学重难点】
1.重点是让学生学会向量的相关概念和向量的运算
2.难点是如何用向量的方法解决一些问题.
【教辅工具】
教材、教参、多媒体或实物投影仪、尺规
（三）教学过程
【教学反思】
本节复习课在设计中主要体现对本章知识的回顾和梳理，在教学过程中，力求做到以下几点：（1）关注解题方法产生的思维过程
引导学生探究如何将把问题转化为向量问题，揭示解题方法产生的的思维过程，让学生体会解题思路的形成过程和数学思想方法的运用，从而提高学生综合运用知识分析和解决问题的能力.
（2）强化学生的应用意识
一是培养学生利用所学数学知识、用数学的思维与观点去观察和分析现实生活现象的习惯和意识，强化学生的应用意识；二是为学生提供充足的动手操作的机会，一旦形成解决问题的思路，后续的解题过程则放手让学生独立完成，让学生体验问题的解决过程，并在此过程中锻炼与提高数学能力.
（3）引导学生探究解题规律
指导学生做好解题后的反思，总结解题规律，从而培养学生理性的、条理的思维习惯，形成对通性通法的归纳意识.。