人教版高中数学高一A版必修4 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
高中数学人教版A版必修4《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》优质PPT课件
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
人教A版高中数学 必修4 3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 教学课件
tan
45
15
tan 30 3 3
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 和与差 的正弦 、余弦 、正切 公式 教 学 课件
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 和与差 的正弦 、余弦 、正切 公式 教 学 课件
3 tan15
例3:利用和角公式计算 3
的值
3 tan15
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两角和的正切公式 Ｔ（α+ β）
tan(α β) sin(α β)
(这里有什么要求？）
cos(α β)
sin α cos β cos α sin β 提问：能否化简？
cos α cos β sin α sin β
S( ) , T() , T( ) .
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新课导入
知识与能力
能利用两角差的余弦公式推导出两 角和与差的正弦、余弦公式、正切公式。
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两角和与差的余弦函数
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 3 . 两角 和与差 的正弦 、余弦 、正切 公式 教 学 课件
两角和的正弦公式 Ｓ（α+β）
cos sin 2
sin
cos
1- sin2α =
1
-
-
5 13
高中数学3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件新人教A版必修4
.
则 tan θ= (������又称为辅助角).
������ ������
∴asin α±bcos α= ������2 + ������ 2 (sin αcos θ±cos αsin θ) =
������ 2 + ������ 2 sin(������ ± ������). 特别是当 = ± 1, ± 3, ±
π+ 12
cos
π . 12
分析:本题(1)可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公式求解,本 题 (2)可构造两角和的正弦公式求解.
题型一
题型二
题型三
题型四
解 :(1)原式 =sin(360° -13° )cos(180° -32° )+sin(90° -13° )cos(90° - 32° ) =sin 13° cos 32° +cos 13° sin 32° =sin(13° +32° )
������������������ α -������������������ β 1+������������������ α������������������ β
简记 S(α-β) C(α -β) T(α-β) S(α+ β) C(α+ β) T(α+β)
sin(α+β)=sin αcos β+ cos αsin β cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β tan(α+β) =
2
sin������ ±
������ ������2 +������2
cos������ ,
∵
������ ������2 + ������2
新人教A版必修4 3.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
π π π [自主解答] (1)原式＝sin xcos ＋cos xsin ＋2sin xcos － 3 3 3 π 2π 2π 2cos xsin － 3cos cos x－ 3sin sin x 3 3 3 1 3 3 3 ＝ sin x＋ cos x＋sin x－ 3cos x＋ cos x－ sin x 2 2 2 2
[悟一法]
1．解决此类问题的关键是熟练掌握和差公式的结构特征， 并灵活地正用、逆用、变形用． 2．对于正切公式，要熟悉以下常用的变形： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)， tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)， tan(α＋β)－tan α－tan β＝tan αtan βtan(α＋β)， tan α＋tan β 1－tan αtan β＝ ， tanα＋β tan α－tan β 1＋tan αtan β＝ . tanα－β
α，β，α－β≠
两角差 的正切
T(α－β)
tan α－tan β 1＋tan αtan β
π kπ＋ (k∈Z) 2
[小问题·大思维 ] 1．是否存在α、β使得sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立？
π 提示：存在．如 α＝0，β＝ . 2 π 2．若化简 tan( －β)，能否利用两角差的正切公式？ 2 π 提示：不能．因为 tan 不存在．可切化弦： 2
1 3 ＝2＋1－2sin x＋
3 3 － 3＋ cos x 2 2
＝0.
tan 12° ＋tan 33° (2)∵ 1－tan 12° · tan 33° ＝tan(12° ＋33° ) ＝tan 45° ＝1， ∴tan 12° ＋tan 33° ＝1－tan 12° · tan 33° . ∴tan 12° ＋tan 33° ＋tan 12° · tan 33° ＝1－tan 12° tan 33° ＋tan 12° tan 33° ＝1.
高一数学(人教A版)两角和与差的正弦、余弦和正切公式
发现上述诱导公式与差角的余弦公式间的联系.
4
5
例2.已知 sin , ( , ), cos , 是第三象限角，
5
2
13
求cos( - ).
4 2
3
4
2
解：由 sin , ( , ), 得 cos 1 sin 1 ( ) ，
cos( ) cos
cos(0 ) cos
3
cos( ) sin
2
cos( 2k ) cos
公式推导：
我们用到哪些知识探究cos(α－β)与sinα、cosα、sinβ、cosβ
间的关系？
以往经验：诱导公式（一）
sin( 2k ) sin ,
如图任意角、 ,
且（0,2）内与 终边相同的角大
于（0,2）内与终边相同的角.
扇形AOP绕着点o旋转β角，
由圆的旋转对称性得，
则点A、P分别与A1、P1重合，
则AP A1P1.
所以 AP A1P1.
任意角、，都有AP=A1 P1.
cos( ) cos cos sin sin .
2 cos( ) 2 cos cos 2 sin sin .
cos( ) cos cos sin sin .
当α= + 2π ∈ ，
左式 cos 2 k =，
右式 cos sin =1，
2
左式 =右式，
上式成立.
2
cos( ) cos cos sin sin .
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件-高一下学期数学人教A版必修4
OA ⋅ OB=|OA||OB| cos<a,b>=cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ
即：cos(α−β)=cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ
LOGO
（2）cos(α+β)= cos(α-(-β))
=cosα⋅cos(-β)+sinα⋅sin(-β)
又因为cos(-β)=cosβ，sin(-β)=-sinβ
A B
3
3
1
,则
3
1
，则tanacot
3
-
3
4
β=
3. 1
4. 5
5.A
，则tana=
C
tan( a+β )=
D
3
4
LOGO
6.已知cosa=
3
- ，且0＜a＜π，则sina=
5
1
3
7.已知tan( a+β )= ,，tan β=-2，则tana的值为（）
1
7
A
B
1
7
C 7
A
B
1
4
C
3
4
7. C
D -7
求证：tan(A+B)=
1−tanA+tanB
证明：tan(A+B)
将B换成-B会得到什么？
tan（-a）=-tana
sin A+B
=
cos A+B
sin A cos B+cos A sin B
=
cos A cos B−sin AB
分子分母分别除以cosAcosB(cosA不等于0,cosB不等于0)得：
11.在三角形ABC中，已知cosA=
高一数学人教A版必修4课件：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
第三章 三角恒等变换§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺 04明目标、知重点1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.填要点·记疑点1.两角和与差的正切公式(1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝2.两角和与差的正切公式的变形(1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝ .tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝ tan(α＋β)(1－tan αtan β)tan(α＋β)(2)T(α－β)的变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)tan(α－β)探要点·究所然情境导学某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山的山顶C处.小山的高BC 约为30米，在地平面上有一点A，测得A、C两点间距离约为67米，从点A处观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°.求这座电视发射塔的高度.解 设电视发射塔的高CD＝x，∠CAB＝α，在Rt△ABD中，探究点一 两角和与差的正切公式的推导当cos αcos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β，得根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得探究点二 两角和与差的正切公式的变形公式思考 两角和与差的正切公式变形形式较多，例如：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，这些变形公式在解决某些问题时是十分方便的.请利用两角和与差的正切公式或变形公式完成以下练习.练习：直接写出下列式子的结果：1(2)tan 75°＝；例1 求下列各式的值：(2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.反思与感悟 公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示出第三个.跟踪训练1 求下列各式的值：例2 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β的值.解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2，∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1，反思与感悟 此类题是给值求角题，解题步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围.此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解.∴△ABC为等腰钝角三角形.反思与感悟 三角形中的问题，A＋B＋C＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角.跟踪训练3 已知A、B、C为锐角三角形ABC的内角.求证：tan A ＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C.证明 ∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C.∴tan A＋tan B＝－tan C＋tan A tan B tan C.即tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C.4当堂测·查疑缺 123BB2.已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( )A.1B.2C.－2D.不确定解析 (1＋tan A)·(1＋tan B)＝1＋(tan A＋tan B)＋tan A tan B＝1＋tan(A＋B)(1－tan A tan B)＋tan A tan B＝1＋1－tan A tan B＋tan A tan B＝2.呈重点、现规律(3)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.2.公式T(α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.3.公式T(α±β)的变形应用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路.。
人教A版高中数学必修四3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)PPT
解： sin 5 ,sin 10 ,且， （0， ）
5
10
2
cos 1 sin2 2 5 ,cos 1 sin2 3 10
5
10
cos( ) cos cos sin sin
2 5 3 10 5 10 2 5 10 5 10 2
又由已知可得 (0, ),
小试牛刀
1、设
cos
3 5
，
sin
4
5 ，且 13
,
0,
2
，则cos
4
56 ___6_5______;
2、设t tan tan tan tan ,且 5 ，
4
则t ____1______;
3、若 x ，求函数 y sin x 3 cos x
2
2
的最大值和最小值.
2
,
变式 : 在ABC中, A是锐角，且 sin A 5 , 5
sin B 10 , 求角C. 10
分析:由cosC cos (A B) cos( A B)
及例2.结果可得 cos C 2 , 2
又 C (0, ), C 3
4
例7、化简：(1)
3 sin
x
1 cos x
sin( x
f ( x)的周期及最大值;
2
x
6
2
x
3
2
解 : (1) f ( x)
2 2
1 2
sin(2
x
3
)
3 2
cos(2
x
3
)
2 2
sin(2 x
3
)
cos
3
cos(2
x
3
) sin
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课后训练
1．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝( )
A ．
12 B C D ．12
-
2．已知π1sin 64
α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos αsin α的值为( ) A ．14- B ．12
C ．2
D ．－1
3．若sin α－sin β＝12-，cos α－cos β＝12
-，则cos(α－β)的值为( )
A ．12
B ．2
C ．4
D ．1 4．在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
5．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
6．化简：
2cos1050cos50︒︒︒
＝__________． 7．若α，β均为锐角，且cos α＝1，cos(α＋β)＝1114
-，则cos β＝__________．
8．在△ABC 中，若tan A ＋tan B A tan B ，则角C 等于________．
9．已知函数f (x )＝π2cos 6x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π． (1)求ω的值；
(2)设α，β∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，565π35f α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，5165π617f β⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，求cos(α＋β)的值． 10．若35sin π+413α⎛⎫=
⎪⎝⎭，π3cos 45β⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，且0＜α＜π4＜β＜3π4，求cos(α＋β)的值．
参考答案
1答案：A 解析：原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝
12
． 2答案：B 解析：cos α
α＝ππ2cos cos sin sin 33αα⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭＝π2cos 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭
＝π12sin =62α⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 3答案：B 解析：将sin α－sin β
＝1，cos α－cos β＝12
-平方后相加得2－2(sin αsin β＋cos αcos β)
＝2，2－2cos(α－β)
＝2， ∴cos(α－β)
＝2
． 4答案：A 解析：在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )， ∴2cos B sin A ＝sin[π－(A ＋B )]
＝sin(A ＋B )
＝sin A cos B ＋cos A sin B ．
∴－sin A cos B ＋cos A sin B ＝0．
即sin(B －A )＝0．又∵0＜A ＜π，0＜B ＜π，
∴A ＝B ，故选A ．
5答案：A 解析：因为tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，所以tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，
而tan(α＋β)＝tan tan 3=1tan tan 12
αβαβ+-⋅-＝－3，故选A ． 6答案：1 解析：
＝12cos5050502cos50⎛⎫︒︒︒ ⎪⎝⎭︒
＝cos50cos50︒︒ ＝1．
7答案：
12 解析：∵α为锐角，且cos α＝17
， ∴sin α
＝7． ∵α与β均为锐角，
且cos(α＋β)＝1114
-
， ∴sin(α＋β)
．
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝1111=1471472
-
⨯+． 8答案：π3 解析：由已知，得
tan A ＋tan B A tan B －1)，即
tan tan =1tan tan A B A B +-
∴tan(A ＋B )＝．
∴tan C ＝tan[π－(A ＋B )]
＝－tan(A ＋B )
∴C ＝π3
． 9答案：解：(1)由于2π=
=10πT ω，所以15
ω=． (2) 515π5π=2cos 5π3536f αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦ ＝π2cos 2α⎛⎫+ ⎪⎝
⎭＝－2sin α＝65-， 所以3sin 5
α=． 又515π5π=2cos 5π6566f ββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦ ＝2cos β＝1617
， 所以cos β＝817
． 因为α，β∈π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，，
所以cos α45，sin β1517， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝
4831513=51751785
⨯-⨯-． 10答案：解：∵π3π044
αβ<<<<， ∴3π3π+<π44α<，ππ024
β-<-<． 又已知3π5sin 413α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π3cos 45
β⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴3π12cos 413α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，π4sin 45β⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．
∴cos(α＋β)＝πsin ()2αβ⎡⎤++⎢
⎥⎣⎦
＝3ππsin 4
4αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ＝3ππ3ππsin cos cos sin 4444αβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ＝531243313513565⎛⎫⎛⎫⨯--⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．。