3.2.1倍角公式(导学案)
学案5：3.2.1 倍角公式
3.2.1倍角公式学习目标1.了解二倍角公式的推导过程．2.理解两角和的正弦、余弦、正切公式与二倍角的正弦、余弦、正切公式的关系．3．掌握公式的正用、逆用与变形的应用．新知提炼二倍角公式自我尝试1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)6α是3α的倍角，3α是3α2的倍角．( )(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．() (3)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( )(4)对于任意角α，总有tan 2α＝2tan α1－tan 2α.( )2．已知sin α＝35，cos α＝45，则sin 2α等于( )A ．75B ．125C ．1225D ．24253．计算sin 2 π8－cos 2 π8的值是( )A ．12B ．－12C ．22 D ．－224．已知tan α＝43，则tan 2α＝________．题型探究题型一 给角求值[学生用书P67]例1 求下列各式的值；(1)sinπ12cos π12；(2)1－2sin 2750°；(3)2tan 150°1－tan 2150°.求解策略应用二倍角公式求值的策略(1)求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．(2)公式逆用：主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2 α＝tan 2α. 跟踪训练 求下列各式的值．(1)cos π5cos 2π5；(2)1sin 10°－3cos 10°.题型二 给值(式)求值[学生用书P67]例2 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0＜x ＜π4，求cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值．方法归纳三角函数求值问题的一般思路(1)一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)注意几种公式的灵活应用，如：①sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ；②cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x . 跟踪训练 1.已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( ) A ．724 B ．－724C ．247D ．－2472．已知cos α＝－34，sin β＝23，α是第三象限角，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π. (1)求sin 2α的值；(2)求cos(2α＋β)的值．题型三 倍角公式与三角函数性质的综合应用[学生用书P68]例3 已知函数f (x )＝(1＋cot x )sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．方法归纳有关三角函数性质的探索是高考的热点，一般的思想方法是借助和差角公式、倍角公式等将其化成以正弦型或余弦型函数为主体，在本题中要注意角范围的约束对值域的影响．跟踪训练 已知函数f (x )＝1－2sin 2(x ＋π8)＋2sin(x ＋π8)cos(x ＋π8)． 求：(1)函数f (x )的最小正周期；(2)函数f (x )的单调区间．素养提升1．公式正用从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感知、加工、转换，运用已知条件和推算手段逐步达到目的.2．公式逆用意向转换，逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现，应用时要求对公式特点有一个整体感知．主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. 3．公式的变形应用公式之间有着密切的联系，这要求我们思考时因势利导，融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. 失误防范公式的逆用、变形应用十分重要，特别是1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，形式相似，容易出错，应用时要加强“目标意识”．当堂检测1．函数y ＝sin 2x cos 2x 的最小正周期是( )A ．2πB ．4πC ．π4D ．π22．cos 4π8－sin 4π8等于( ) A ．0 B ．22 C ．1 D ．－223．若tan α＝12，则tan 2α＝________． 4．若α为锐角，且sin 2α＝65sin α，则cos 2α＝________， tan α＝________．【参考答案】自我尝试1．(1)√ (2)× (3)√ (4)×2．D3．D4．－247题型探究例1 解 (1)原式＝2sin π12cos π122＝sin π62＝14. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.跟踪训练 解 (1)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝12sin 4π52sin π5＝14. (2)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4. 例2 解 因为x ∈(0，π4)，所以π4－x ∈(0，π4)， 又因为sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1213， 又cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2×513×1213＝120169. cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，所以原式＝120169513＝2413. 跟踪训练 1. D【解析】由cos x ＝45，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，得sin x ＝－35，所以tan x ＝－34， 所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－247，故选D.2．解 (1)因为α是第三象限角，cos α＝－34， 所以sin α＝－1－cos 2α＝－74， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－74×⎝⎛⎭⎫－34＝378. (2)因为β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin β＝23， 所以cos β＝－1－sin 2β＝－53， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×916－1＝18， 所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝18×⎝⎛⎭⎫－53－378×23＝－5＋6724. 例3 解 (1)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. 所以f (α)＝12×⎝⎛⎭⎫45－35＋12＝35. (2)由(1)，得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤5π12，5π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 从而f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22. 即f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22. 跟踪训练 解 (1)因为f (x )＝cos(2x ＋π4)＋sin(2x ＋π4) ＝2sin(2x ＋π4＋π4)＝2sin(2x ＋π2)＝2cos 2x ，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)得，当2k π－π≤2x ≤2k π(k ∈Z )，即k π－π2≤x ≤k π(k ∈Z )时， 函数f (x )＝2cos 2x 是增函数．所以f (x )的单调递增区间是[k π－π2，k π](k ∈Z )． 当2k π≤2x ≤2k π＋π(k ∈Z )，即k π≤x ≤k π＋π2(k ∈Z )时， 函数f (x )＝2cos 2x 是减函数．所以f (x )的单调递减区间是[k π，k π＋π2](k ∈Z )． 当堂检测1．D【解析】 y ＝sin 2x cos 2x ＝12sin 4x ， 所以T ＝2π4＝π2. 2．B【解析】 cos 4π4－sin 4π8＝⎝⎛⎭⎫cos 2π8＋sin 2π8⎝⎛⎭⎫cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22. 3．43【解析】tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43. 4．－725 43【解析】由sin 2α＝65sin α可得，2sin αcos α＝65sin α， 又因为α为锐角，所以cos α＝35，sin α＝45，则cos 2α＝2cos 2α－1＝－725，tan α＝sin αcos α＝43.。
学案2：3.2.1 倍角公式
3.2.1 倍角公式倍角公式名师点拨 (1)T 2α只有当α≠k π＋π2(k ∈Z )及α≠k π2＋π4(k ∈Z )时才成立．(2)对于二倍角公式的“倍”有广义的含义，2α是α的二倍角，同样地，4α是2α的二倍角，α是12α的二倍角，3α是32α的倍角．一般地，(2n m )α是(2n －1m )α的二倍角(n ∈Z )，于是二倍角公式可对应变形为：sin(2n mα)＝2sin(2n －1mα)cos(2n －1mα)； cos(2n mα)＝cos 2(2n －1mα)－sin 2(2n －1mα)； tan(2nmα)＝2tan(2n －1mα)1－tan 2(2n －1mα). 自主测试1 已知tan α＝2，则tan 2α等于( ) A ．4 B ．45 C ．－43 D ．43自主测试2 函数f (x )＝sin x cos x 是( ) A ．周期为2π的偶函数 B ．周期为2π的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为π的奇函数自主测试3 已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( )A ．－53 B ．－19 C ．19 D ．53课堂互动关于升降幂公式的解读 剖析：口诀如下： (1)1加余弦想余弦； (2)1减余弦想正弦； (3)幂升一次角减半； (4)幂降一次角翻番． 图表如下：归纳总结 (1)对于公式sin 2α＝2sin αcos α，有①cos α＝sin 2α2sin α，②sin α＝sin 2α2cos α；(2)对于(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α，有(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α，同理有(sin α－cos α)2＝1－sin 2α；(3)对于公式tan 2α＝2tan α1－tan 2α，有1tan α－tan α＝1－tan 2αtan α＝2tan 2α；(4)对于等腰三角形，已知底角的三角函数值求顶角的三角函数值正用倍角公式，已知顶角的三角函数值求底角的三角函数值逆用倍角公式． 典型考题题型一 化简、求值问题例题1 求值：sin 50°(1＋3tan 10°)．反思 问题中含有正弦、正切，采用“切化弦”，变为仅含有正弦、余弦的三角函数式，然后利用两角和公式、倍角公式等变形，将问题化简到底． 题型二 给值求值问题例题2 若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于( ) A ．－79 B ．－13 C ．13 D ．79反思 通过角的形式的变化，生成所求的角或再变形即得所求角，是三角变换的重要方式．求解时应当对所给角有敏锐的感觉，这种感觉的养成要靠平时经验的积累． 题型三 给值求角问题例题3 已知tan α＝13，tan β＝－17且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．反思 在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角，确定角的范围是关键的一步． 题型四 恒等式的证明 例题4 已知tan(α＋β)＝3tan α. 求证：2sin 2β－sin 2α＝sin(2α＋2β)．反思 证明三角恒等式常用的方法是：观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，决定从该等式的哪边证明(也可两边同时化简)，当差异不易消除时，可采用转换命题法或分析法等方法作进一步的化简．题型五 三角函数的综合问题例题5 已知函数f (x )＝(1＋cot x )sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围． 随堂练习1．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( ) A ．724 B ．－724 C ．247 D ．－2472．函数y ＝cos 2x cos π5－2sin x ·cos x sin 6π5的递增区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫k π＋π10，k π＋3π5(k ∈Z ) B ．⎝⎛⎭⎫k π－3π20，k π＋7π20(k ∈Z ) C ．⎝⎛⎭⎫2k π＋π10，2k π＋3π5(k ∈Z ) D ．⎝⎛⎭⎫k π－2π5，k π＋π10(k ∈Z ) 3．已知一个等腰三角形的一个底角的正弦值为23，那么这个等腰三角形顶角的正弦值为( )A ．259B ．－259C ．459D ．－4594．cos π12sin π12＝________，cos 2π12－sin 2π12＝________，tan 15°1－tan 215°＝________.5．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝513，则cos 2α的值为__________． 6．已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．参考答案自主测试1 【答案】C 自主测试2 【答案】D 自主测试3 【答案】B【解析】cos(π－2α)＝－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫232－1＝－19.例题1 解：原式＝sin 50°⎝⎛⎭⎫1＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝⎛⎭⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝sin 50°×2sin30°＋10°cos 10°＝2sin 40°sin 50°cos 10°＝2sin 40°cos 40°cos 10°＝sin 80°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1. 例题2 【答案】A【解析】观察发现2π3＋2α＝2⎝⎛⎭⎫π3＋α，而⎝⎛⎭⎫π3＋α＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝π2，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－α， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α－1 ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α－1＝－79. 例题3 解：∵tan α＝13＞0，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2α∈(0，π)， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34＞0，∴2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2.又∵tan β＝－17＜0，β∈(0，π)， ∴β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34－⎝⎛⎭⎫－171＋34×⎝⎛⎭⎫－17＝1.又∵2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－3π4.例题4 证明：tan(α＋β)＝3tan α， 可变为sin(α＋β)cos α＝3sin αcos(α＋β)⇒sin(α＋β)cos α－sin αcos(α＋β)＝2sin αcos(α＋β) ⇒sin[(α＋β)－α]＝2sin α(cos αcos β－sin αsin β) ⇒sin β＝2sin αcos αcos β－2sin 2αsin β ⇒(1＋2sin 2α)sin β＝sin 2αcos β.当cos β＝0时，上式中因为1＋2sin 2α≠0，所以sin β＝0，矛盾．所以cos β≠0，上式两边同乘以2cos β，得(1＋2sin 2α)sin 2β＝sin 2α2cos 2β⇒sin 2β＋(1－cos 2α)sin 2β＝sin 2α(1＋cos 2β)⇒2sin 2β－sin 2α＝sin 2αcos 2β＋cos 2αsin 2β＝sin(2α＋2β)， 所以等式成立，即得证．例题5 解：(1)f (x )＝(1＋cot x )sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋cos 2x＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45，cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.所以f (α)＝12⎝⎛⎭⎫45－35＋12＝35. (2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤5π12，5π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 从而f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22. 即f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.随堂练习 1．【答案】D【解析】∵x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45， ∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－247.2．【答案】D 3．【答案】C4．【答案】14 32 36【解析】cos π12sin π12＝12·2sin π12cos π12＝12sin π6＝14；cos 2π12－sin 2π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π12＝cos π6＝32； tan 15°1－tan 215°＝12·2tan 15°1－tan 215°＝12tan(2×15°)＝12tan 30°＝36. 5．【答案】120169【解析】∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴0＜π4－α＜π4，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝1213，∴cos 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝2×513×1213＝120169. 6．解：(1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.。
3.2.1倍角公式 学案(师) Word 文档
3.2.1倍角公式一、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并推导出二倍角公式的：),(,sin cos cos sin )sin(R R ∈∈+=+βαβαβαβα )(βα+S =+)sin(αα),(,sin sin cos cos )cos(R R ∈∈-=+βαβαβαβα )(βα+CCos(=+)αα),2,,(,tan tan 1tan tan )tan(Z k k ∈+≠+-+=+ππβαβαβαβαβα)(βα+T=+)tan(αα说明：（1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数 （2） “倍角”的意义是相对的（3）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出（4） 成立的条件是Z k k k R ∈+≠+≠∈,4,2,ππαππαα．其他R ∈α（5） “倍角”与“二次”的关系：升角——降次，降角——升次 （6）变形： 22cos 1sin,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式今后常用二、例1已知),2(,135sin ππ∈α=α，求sin2α，cos2α，tan2α的值。
解：∵),2(,135sin ππ∈α=α∴1312sin 1cos 2-=α--=α∴sin2α = 2sin αcos α = 169120- cos2α = 169119sin 212=α-tan2α = 119120-三、练习：不查表．求下列各式的值1．sin22︒30’cos22︒30’=4245sin 21=2．=-π18cos 22224cos=π3．=π-π8cos8sin22224cos-=π-4．=ππππ12cos 24cos 48cos48sin 8216sin12cos12sin212cos24cos 24sin 4=π=ππ=πππ5．=π-ππ+π)125cos125)(sin125cos125(sin2365cos125cos125sin22=π-=π-π6．=α-α2sin2cos 44α=α-αα+αcos )2sin2)(cos2sin2(cos22227．=α+-α-tan 11tan 11α=α-α2tan tan 1tan 228．=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+9、6sin 1+=; 10、4cos 22-=.四、已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由,42ππα<<得22παπ<<．又因为5sin 2,13α=12cos 213α===-． 于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-．五、已知1tan 2,3α=求tan α的值．解：22tan 1tan 21tan 3ααα==-，由此得2tan 6tan 10αα+-=解得tan 2α=-+tan 2α=--六、若tan θ = 3，求sin2θ - cos2θ 的值。
高中数学_3.2.1倍角公式教学设计学情分析教材分析课后反思
《3.2.1倍角公式》教学设计22.5= 22.53.2.1倍角公式学情分析：学生在前面第一章已经学习过同角三角函数关系式、诱导公式、三角函数等相关内容，已经掌握了一些公式并能对公式进行简单的应用.虽然学生的观察具有一定的目的性，系统性，但是全面性欠精确，逻辑思维能力尚属经验型，在学习过程中存在着一定的随意性和盲目性，于是我通过导学案上的层层设问，引导学生用正确的方式发现问题解决问题，培养逻辑推理能力和独立思考的能力.结合教材的内容和学生的年龄特点及认识水平，在本堂课的教学中，我指导学生采取多质疑、自主学习、合作探究的方法进行学习.充分尊重学生自主选择学习内容、学习伙伴、学习方式的权利；充分发挥学生的积极性和主动性，让学生通过自主学习，理解倍角公式，并在自学实践中逐步提高解决问题的能力.3.2.1倍角公式效果分析：新课程提倡自主、合作、探究的学习方式,课堂教学是学生学习科学文化知识的主阵地,也是对学生进行思想品德教育的主渠道. 教师应着力构建自主的课堂，让学生在生动、活泼的状态中高效率地学习.我觉得这节课还是非常成功的，通过小组合作探究，使学生清晰的认识到倍角公式的发生、发展的过程.在问题的探究过程中，让学生进一步加深了对倍角公式的认识，并强化了学生分析问题的能力，同时也加强了学生合作交流的意识.总的来说，本节课达到了预期的目标.1、课前预习效果学生通过对导学案的充分学习，让学生能够在自己的认知基础上，通过对基础的把握，和自身思维的发挥，让学生发现问题，推广结论，让学生成为课堂学习的主题，老师只是作为引入的桥梁.2、课堂学习效果检测大部分学生掌握的不错，有个别同学计算能力差，做题速度要慢些，需要课下再加强练习.学生对学习始终表现出浓厚的兴趣，极大的热情，这正是新课标提倡的建立“自主、合作、探究的学习方式”的前提.在课堂教学中，我始终引导学生去感受，去发现.然后根据相关知识对学案中的练习题进行求解.总之，课堂教学是教师与学生的双边活动. 要提高中学数学课堂教学质量，必须以学生为本，凭借数学思维性强、 灵活性强、 运用性强的特点，精心设计，给学生一些机会，让他自己去体会; 给学生一点困难,让他自己去解决;给学生一个问题,让他自己找答案;给学生一种条件,让他 自己去锻炼; 给学生一片空间，让他自己去开拓. 注重学生优秀思维品质的培养，变被动为主动，变学会为会学,这样就一定能达到传授知识,培养能力的目的,收到事半功倍的效果.3.2.1倍角公式教材分析：教材的地位和作用：二倍角的正弦、余弦、正切是学生在已经学习了两角和、差的正、余弦和正切的公式的基础上的进一步延伸，推导出倍角公式，是三角函数的重要公式 ，应用这组公式也是本章的重点内容。
教学设计1：3.2.1 倍角公式
3.2.1 倍角公式整体设计教学分析倍角公式是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律，通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想．因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α＝β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想．这一切教师要引导学生自己去做，因为，《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验．”在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，否则就违背了新课标在这一节的编写意图和新课改精神．三维目标1．通过让学生探索、发现并推导二倍角公式，了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力．2．通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明．体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用．3．通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神．重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用．教学难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式．教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？今天，我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课．思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sin α＝35，α∈(π2，π)，求sin2α，cos2α的值．学生会很容易看出：sin2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式．推进新课新知探究 提出问题1.还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写2.你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α＝β吗？此时公式变成什么形式？3.在得到的C 2α公式中，还有其他表示形式吗？4.细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？5.能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？6.让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin____＝2sin____cos____，cos____＝cos 2____－sin 2____.7.思考过公式的逆用吗？想一想C 2α还有哪些变形？8.请思考以下问题：sin2α＝2sin α吗？cos2α＝2cos α吗？tan2α＝2tan α吗活动：本节总的指导思想是教师引导学生自己推导倍角公式．学生默写完问题(1)后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α，β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试．如果学生想到α，β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题(2)，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化，教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释．这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义．同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉．sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β⇒sin2α＝2sin αcos α(S 2α)；cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β⇒cos2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α)；tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β ⇒tan2α＝2tan α1－tan 2α(T 2α)． 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”．教师适时提出问题(3)，点拨学生结合sin 2α＋cos 2α＝1思考，因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式．sin2α＝2sin αcos α(S 2α)cos2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α)tan2α＝2tan α1－tan 2α(T 2α) cos2α＝2cos 2α－1cos2α＝1－2sin 2α 这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式(用多媒体演示)．倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系．问题(4)，教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式．问题(5)，因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式，可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α)，(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R ，但公式(T 2α)需在α≠12k π＋π4和α≠k π＋π2(k ∈Z )时才成立，这一条件限制要引起学生的注意．但是当α＝k π＋π2，k ∈Z 时，虽然tan α不存在，此时不能用此公式，但tan2α是存在的，故可改用诱导公式．问题(6)，填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，α2是α4的二倍，3α是3α2的二倍，α3是α6的二倍，π2－α是π4－α2的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式． 例如：sin α2＝2sin α4cos α4，cos α3＝cos 2α6－sin 2α6等等． 问题(7)，本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意．如：sin3αcos3α＝12sin6α，4sin α4cos α4＝2(2sin α4cos α4)＝2sin α2， 2tan40°1－tan 240°＝tan80°，cos 22α－sin 22α＝cos4α，tan2α＝2tan α(1－tan 2α)等等． 问题(8)，一般情况下：sin2α≠2sin α，cos2α≠2cos α，tan2α≠2tan α.若sin2α＝2sin α，则2sin αcos α＝2sin α，即sin α＝0或cosα＝1，此时α＝k π(k ∈Z )． 若cos2α＝2cos α，则2cos 2α－2cos α－1＝0，即cos α＝1－32(cos α＝1＋32舍去)． 若tan2α＝2tan α，则2tan α1－tan 2α＝2tan α，∴tan α＝0，即α＝k π(k ∈Z )． 讨论结果：(1)～(8)略．应用示例思路1例 1 已知sinα＝513，α∈(π2，π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值． 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想．让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的．本题中的已知条件给出了α的正弦值．由于2α是α的二倍角，因此可以考虑用倍角公式．本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成． 解：因为sin α＝513，α∈(π2，π)，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－(513)2＝－1213， sin2α＝2sin αcos α＝2×513×(－1213)＝－120169， cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(－1213)2－(513)2＝119169， tan2α＝sin2αcos2α＝－120169÷119169＝－120119. 点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意，在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度．本节公式的基本应用是高考的热点.变式训练1．y ＝(sin x －cos x )2－1是( )A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数【答案】D2．若cos2αsin(α－π4)＝－22，则cos α＋sin α的值为( ) A ．－72 B ．－12 C.12 D.72【答案】C3．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin15°－cos15° B ．cos 215°－sin 215°C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215°【答案】B例 2 证明1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ＝tan θ. 活动：教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等．对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发．点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励．强调“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它．证明：方法一：左＝sin2θ＋(1－cos2θ)sin2θ＋(1＋cos2θ)＝2sin θcos θ＋(1＋1－2cos 2θ)2sin θcos θ＋(1＋2cos 2θ－1)＝sin θcos θ＋1－cos 2θsin θcos θ＋cos 2θ＝sin θcos θ＋sin 2θsin θcos θ＋cos 2θ＝sin θ(cos θ＋sin θ)cos θ(sin θ＋cos θ)＝tan θ＝右， 所以，原式成立．方法二：左＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin2θ＋sin 2θ－cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＋sin2θ＋cos 2θ－sin 2θ＝sin2θ＋2sin 2θsin2θ＋2cos 2θ＝2sin θ(sin θ＋cos θ)2cos θ(sin θ＋cos θ)＝tan θ＝右． 方法三：左＝(1＋sin2θ)－cos2θ(1＋sin2θ)＋cos2θ＝(sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ)－(cos 2θ－sin 2θ)(sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ)＋(cos 2θ－sin 2θ)＝(sin θ＋cos θ)2－(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)(sin θ＋cos θ)2＋(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝(sin θ＋cos θ)(sin θ＋cos θ＋sin θ－cos θ)(sin θ＋cos θ)(sin θ＋cos θ＋cos θ－sin θ)＝(sin θ＋cos θ)·2sin θ(sin θ＋cos θ)·2cos θ＝tan θ＝右． 点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点．在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是.变式训练1．若角α的终边经过点P (1，－2)，则tan2α的值为__________．【答案】432．证明恒等式：sin2θ＋sin θ2cos2θ＋2sin 2θ＋cos θ＝tan θ. 证明：左边＝2sin θcos θ＋sin θ2(cos 2θ－sin 2θ)＋2sin 2θ＋cos θ＝sin θ(2cos θ＋1)cos θ(2cos θ＋1)＝tan θ＝右边. 思路2例 1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题．本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式．教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式．并点拨学生结合诱导公式思考．学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°，40°，60°，80°余弦的积，其中60°是特殊角，很容易发现40°是20°的2倍，80°是40°的2倍，故可考虑逆用二倍角公式．解：原式＝cos80°cos60°cos40°cos20°＝23·sin20°cos20°cos40°cos80°23·2sin20°＝sin160°16sin20°＝sin20°16sin20°＝116. 变式训练1．函数f (x )＝sin x sin x ＋2sin x 2是( ) A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数【答案】A2．函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋1的最小正周期是( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 【答案】B例 2 在△ABC 中，cos A ＝45，tan B ＝2，求tan(2A ＋2B )的值． 活动：这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性，同时也是和与差公式的应用问题．教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含的条件，如A ＋B ＋C ＝π，0<A <π，0<B <π，0<C<π，就是其中的一个隐含条件．可先让学生讨论探究，教师适时点拨．学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系．由于对2A ＋2B 与A ，B 之间关系的看法不同会产生不同的解题思路，所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别．不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预．在学生自己尝试解决问题后，教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总结．基础较好的班级还可以把求tan(2A ＋2B )的值改为求tan2C 的值．解法一：在△ABC 中，由cos A ＝45，0<A <π，得 sin A ＝1－cos 2A ＝1－(45)2＝35. 所以tan A ＝sin A cos A ＝35×54＝34， tan2A ＝2tan A 1－tan 2A ＝2×341－(34)2＝247.又tan B ＝2，所以tan2B ＝2tan B 1－tan 2B ＝2×21－22＝－43. 于是tan(2A ＋2B )＝tan2A ＋tan2B 1－tan2A tan2B ＝247－431－247×(－43)＝44117. 解法二：在△ABC 中，由cos A ＝45，0<A <π，得 sin A ＝1－cos 2A ＝1－(45)2＝35. 所以tan A ＝sin A cos A ＝35×54＝34. 又tan B ＝2，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝34＋21－34×2＝－112. 于是tan(2A ＋2B )＝tan[2(A ＋B )]＝2tan(A ＋B )1－tan 2(A ＋B )＝2×(－112)1－(－112)2＝44117. 变式训练化简：1＋cos4α＋sin4α1－cos4α＋sin4α. 解：原式＝2cos 22α＋2sin2αcos2α2sin 22α＋2sin2αcos2α＝2cos2α(cos2α＋sin2α)2sin2α(sin2α＋cos2α)＝1tan2α. 课堂小结1．先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明．2．教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题．在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．作业课本本节练习B 组1～4.设计感想1．新课改的核心理念是：以学生发展为本．本节课的设计流程从回顾→探索→应用，充分体现了“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式．本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在这个活动过程中，由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深的留在了学生记忆中．本节课的教学设计流程还是比较流畅的．2．纵观本教案的设计，学生发现二倍角后就是应用，至于如何训练二倍角公式正用，逆用，变形用倒成了次要的了．而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的．3．教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法．这样做增加了学生温故知新的空间，增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律、探索推导、获取新知的途径，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体．。
新人教B版高中数学(必修4)3.2.1《倍角公式》word教案
§3.2.1倍角公式
(一)教学目标：
1.知识目标：
(1)掌握2,2,2S C T ααα公式的推导，明确α的取值范围；
(2) 能正确运用二倍角公式求值、化简、证明。
2.能力目标：
(1)通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理内容能力； (2)通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。
3.情感目标：
引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质.
(二)教学重点、难点
重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用。
难点：理解二倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数，倍角公式与以前
学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用。
(三)教学方法
本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法，进行教学活动。
通过设置问题让学生理解二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的。
对于二倍角公式的灵活运用，采用讲、练结合的方式进行处理，让学生从实例中去理解,从而能灵活地运用二倍角公式解题。
(四)教学过程
169
tan2α = 119120-。
BCA教学案--3.2.1 倍角公式
12．化简：(1)cos
π 2π 3π 4π 5π cos cos cos cos ； 11 11 11 11 11
x x x x (2)cos cos cos …cos n. 2 4 8 2
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反思提升
自我回顾总 结: 课后利用今 天的自主时 间对课堂内 容进行回顾 和反思. 要求:力求 全面掌握知 识内容,明 确 知 识 体 系,并标注 和记录疑难 问题.独立 完成作业
π 1 2π 3． 若 sin( －α)＝ ，则 cos( ＋2α)的值为 6 3 3 1 A．－ 3 B．－ 7 9 1 C. 3 7 D. 9
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青州二中高一数学 BCA 课堂教学设计
π 1＋ 2cos2α－ 4 3 9．已知角 α 在第一象限且 cos α＝ ，求 的值． 5 π sinα＋ 2
π 10．已知 sin22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0， )，求 α. 2
sin 50° 1＋ 3tan 10° －cos 20° 11．求值：(1)sin 6° sin 42° sin 66° sin 78° ； (2) . cos 80° 1－cos 20°
1 C. 2
D.
3 2
.
A案
层次一课本 P144 练习 A 层次二 π 1． 函数 y＝2cos2(x－ )－1 是 4 A．最小正周期为 π 的奇函数 C．最小正周期为 π 的偶函数 2． 3－sin 70° 的值是 2－cos210° 1 A. 2 B. 2 2 C．2 D. 3 2 π B．最小正周期为 的奇函数 2 π D．最小正周期为 的偶函数 2
反思提升
；
；
；
C案
合作探究一：给角求值:
学案4：3.2.1 倍角公式
3.2.1倍角公式基础知识二倍角公式S 2α：sin 2α＝C 2α：cos 2α＝ ＝ ＝T 2α：tan 2α＝ .思考：你是怎样理解倍角公式中的“倍角”二字的？基础自测 1．sin 15°sin 75°的值为( ) A.12B.14C.32D.34 2．计算1－2sin 222.5°的结果为( )A.12B.22C.33D.323．已知cos α＝13，则cos 2α等于________． 题型探究题型一 利用二倍角公式化简求值【例1】 化简求值．(1)cos 4 α2－sin 4 α2； (2)sin π24·cos π24·cos π12； (3)1－2sin 2 750°；(4)tan 150°＋1－3tan 2 150°2tan 150°. [思路探究] 灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得．规律方法二倍角公式的灵活运用：(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有：2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α， cos α＝sin 2α2sin α，cos 2 α－sin 2 α＝cos 2α，2tan α1－tan 2 α＝tan 2α. (2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：1±sin 2α＝sin 2 α＋cos 2 α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos 2 α，cos 2 α＝1＋cos 2α2， sin 2 α＝1－cos 2α2. 跟踪训练1．求下列各式的值：(1)sin π8cos π8； (2)2sin 2π12＋1； (3)cos 20°cos 40°cos 80°.题型二 利用二倍角公式解决条件求值问题【例2】 (1)已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( )A ．2B ．－2C ．34D ．－34(2)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α的值等于( ) A ．79 B ．13C ．－79D ．－13(3)已知cos α＝－34，sin β＝23，α是第三象限角，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π. ①求sin 2α的值；②求cos(2α＋β)的值．[思路探究] (1)可先求tan α，再求tan 2α；(2)可利用23π－2α＝2⎝⎛⎭⎫π3－α求值； (3)可先求sin 2α，cos 2α，cos β，再利用两角和的余弦公式求cos(2α＋β)．规律方法直接应用二倍角公式求值的三种类型：(1)sin α(或cos α)――――――――――→同角三角函数的关系cos α(或sin α)――――――→二倍角公式sin 2α(或cos 2α)．(2)sin α(或cos α)――――――→二倍角公式cos 2α＝1－2sin 2 α(或2cos 2 α－1)．(3)sin α(或cos α) ――――――――――→同角三角函数的关系⎩⎪⎨⎪⎧cos α(或sin α)，tan α――――――→二倍角公式tan 2α.跟踪训练2．(1)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 则sin 2α＝______，cos 2α＝________，tan 2α＝________.(2)已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求tan 4α的值．题型三 利用二倍角公式证明【例3】 求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α. [思路探究] 可先化简左边，切化弦，再利用二倍角公式化简出右边．规律方法证明问题的原则及一般步骤：(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．跟踪训练3．求证：cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B ；题型四 倍角公式的灵活运用[探究问题]1．在化简1＋sin α－cos α1＋sin α＋cos α＋1＋cos α＋sin α1－cos α＋sin α时，如何灵活使用倍角公式？2．如何求函数f (x )＝2cos 2x －1－23sin x cos x (x ∈R )的最小正周期？【例4】 求函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，7π24的最小值，并求其单调减区间．[思路探究] 化简f (x )的解析式→ f (x )＝A sin (ωx ＋φ)＋B →ωx ＋φ的范围→求最小值，单调减区间跟踪训练4．求函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4 x 的最小正周期和最小值，并写出该函数在[0，π]上的单调递减区间．课堂小结1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；4α是2α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2α2n ＋1(n ∈N *)． 2．二倍角的余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式：① 1＋cos 2α＝2cos 2 α；②cos 2 α＝1＋cos 2α2；③1－cos 2α＝2sin 2 α；④sin 2α＝1－cos 2α2. 当堂检测1．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A.15 B.55 C.33 D.2552.⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π12的值为( ) A ．－32 B ．－12C ．12D ．323．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________. 4．求下列各式的值：(1)cos π5cos 2π5； (2)12－cos 2π8.【参考答案】基础知识2sin_αcos_α .cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α .2tan α1－tan 2α. 思考： [提示] 倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如2α是α的二倍角，8α是4α的二倍角，α2是α4的二倍角等等． 基础自测1．B 【解析】原式＝sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14. 2．B 【解析】1－2sin 222.5°＝cos 45°＝22. 3．－79 【解析】由cos α＝13，得cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79. 题型探究【例1】解 (1)cos 4 α2－sin 4 α2＝⎝⎛⎭⎫cos 2 α2－sin 2 α2⎝⎛⎭⎫cos 2 α2＋sin 2 α2＝cos α. (2)原式＝12⎝⎛⎭⎫2sin π24cos π24cos π12＝12sin π12cos π12＝14⎝⎛⎭⎫2sin π12cos π12＝14sin π6＝18， ∴原式＝18. (3)原式＝cos(2×750°)＝cos 1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12， ∴原式＝12. (4)原式＝2tan 2150°＋1－3tan 2 150°2tan 150°＝1－tan 2 150°2tan 150°＝1tan (2×150°)＝1tan 300°＝1tan (360°－60°)＝－1tan 60°＝－33， ∴原式＝－33. 跟踪训练1．解 (1)原式＝2sin π8cos π82＝sin π42＝24. (2)原式＝－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2π12＋2＝2－cos π6＝4－32.(3)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18. 【例2】 (1)D (2)C【解析】(1)因为sin α＝3cos α，所以tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×31－32＝－34. (2)因为cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝13， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3－α－1＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79.] (3)解：①因为α是第三象限角，cos α＝－34， 所以sin α＝－1－cos 2 α＝－74， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－74×⎝⎛⎭⎫－34＝378. ②因为β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin β＝23， 所以cos β＝－1－sin 2 β＝－53， cos 2α＝2cos 2 α－1＝2×916－1＝18， 所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝18×⎝⎛⎭⎫－53－378×23＝－5＋6724. 跟踪训练2．(1)－45 35 －43 【解析】因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－255，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45，cos 2α＝1－2sin 2 α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35，tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－43. (2)解：因为sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α， 则已知条件可化为sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝16，即12sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝16，所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝13， 所以cos 2α＝13.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以2α∈(π，2π)， 从而sin 2α＝－1－cos 22α＝－223， 所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－22， 故tan 4α＝2tan 2α1－tan 22α＝－421－(－22)2＝427. 【例3】 证明：法一：左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin 2α2＝cos 2αsin α2cos α2cos α ＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边． ∴原式成立． 法二：左边＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tan α21－tan 2α2＝ 12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin 2α＝右边． 跟踪训练3．解 左边＝1＋cos (2A ＋2B )2－1－cos (2A －2B )2＝cos (2A ＋2B )＋cos (2A －2B )2＝12(cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A cos 2B ＋sin 2A sin 2B )＝cos 2A cos 2B ＝右边，∴等式成立.[探究问题]1． [提示] 在化简时，如果只是从α的关系去整理，化简可能感觉无从下手，但如果将α看成α2的倍角，可能会有另一种思路，原式＝2sin α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α22cos α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2＋2cos α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α22sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α2＝sin α2cos α2＋cos α2sin α2＝1sin α2cos α2＝2sin α. 2． [提示] 求函数f (x )的最小正周期，可由f (x )＝(2cos 2x －1)－3(2sin x cos x )＝cos 2x －3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ，知其最小正周期为π.【例4】解 f (x )＝53·1＋cos 2x 2＋31－cos 2x 2－2sin 2x ＝33＋23cos 2x －2sin 2x＝33＋4⎝⎛⎭⎫32cos 2x －12sin 2x ＝33＋4⎝⎛⎭⎫sin π3cos 2x －cos π3sin 2x ＝33＋4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝33－4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∵π4≤x ≤7π24，∴π6≤2x －π3≤π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，22， 所以当2x －π3＝π4，即x ＝7π24时， f (x )取最小值为33－2 2.因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在⎣⎡⎦⎤π4，7π24上单调递增， 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，7π24上单调递减．跟踪训练4．解 y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＋23sin x cos x＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎫32sin 2x －12cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 所以T ＝2π2＝π，y min ＝－2. 由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，又x ∈[0，π]，所以令k ＝0，得函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π3，5π6.当堂检测1．B 【解析】由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin α·cos α＝2cos 2α.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2sin α＝cos α.又∵sin 2 α＋cos 2 α＝1， ∴sin 2 α＝15.又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin α＝55. 故选B.2. D 【解析】原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32. 3．－56 [sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56. 4．解 (1)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sin π54sin π5＝14. (2)原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24.。
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（二）公式的变形应用
1 sin 2 _______________ (_________) . sin __________ .
2
1 cos 2 _______;1 cos 2 _______ . sin _ _ _ _ _ _ _ . co s _ _ _ _ _ _ _ .
2 2
-2-
例2 （1）化简: cos 20 cos 40 cos 80
0 0 0
（2）化简： sin 10 sin 50 sin 70
0
0
0
-1-
（3）若 180 270
0
0试化简1 21 21 2
1 2
co s 2
例3 已知 sin (
4 x) 5 13 ,0 x
4
，求
cos 2 x cos(
4
的值.
x)
三、证明
例4 求证：
1 sin 2 co s 2 1 sin 2 co s 2 tan .
变式： 求证：
sin 2 sin
2
2 co s 2 2 sin co s
tan
（理） 答题过程写在背面
3.2.1 倍角公式
自主预习
（一）倍角公式
sin 2 ________________ 简记为_____________.
________________ . cos 2 ________________ 简记为_____________又可写成 ________________ .
2 2
*（三）相对 2 倍角
sin _________ . （利用
2
表示）. co s 3 _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （利用
3 2
表示）.
例题讲解
一、求值问题
例1 已知 sin
3 5
，求 sin 2 (
4
) 及 tan 2 的值.
二、利用公式化简求值
co s 2 x co s x sin x 6 5
（一） 已知 f ( x )
, f ( )
，求 f ( ) 的值.
2
（二） （第 24 届数学家会标） 它是由四个相同的直角三角形拼成大正方形和小正方形，大正方形面积=1，小正方形面积 =
1 25
，每三角形中较小的角为 ，求 sin cos .（利用倍角公式）