信号检测习题
信号处理与测试技术习题及答案
第一章习题：一、填空题1、电量分为和，如电流、电压、电场强度和电功率属于；而描述电路和波形的参数，如电阻、电容、电感、频率、相位则属于。
2、传感器输出的经过加工处理后，才能进—步输送到记录装置和分析仪器中。
3、现代科学认为，、、是物质世界的三大支柱。
4、与三大支柱相对应，现代科技形成了三大基本技术，即、、。
5、传感技术是人的的扩展和延伸；通信技术是人的的扩展和延伸；计算机技术是人的的延伸。
6、、、技术构成了信息技术的核心。
二、简答题1、举例说明信号测试系统的组成结构和系统框图。
2、举例说明传感技术与信息技术的关系。
3、分析计算机技术的发展对传感测控技术发展的作用。
4、分析说明信号检测与信号处理的相互关系。
三、参考答案（－）填空题1、电能量、电参量、电能量、电参量2、电信号、信号调理电路3、物质、能量、信息4、新材料技术、新能源技术和信息技术5、感官（视觉、触觉）功能、信息传输系统(神经系统)、信息处理器官(大脑)功能6、传感、通信和计算机第二章习题：一、填空题1、确定性信号可分为和两类。
2、信号的有效值又称为，它反映信号的。
3、概率密度函数是在域，相关函数是在域，功率谱密度是在域上描述随机信号。
4、周期信号在时域上可用、和参数来描述。
5、自相关函数和互相关函数图形的主要区别是。
6、因为正弦信号的自相关函数是同频率的，因此在随机噪声中含有时，则其自相关函数中也必然含有，这是利用自相关函数检测随机噪声中含有的根据。
7、周期信号的频谱具有以下三个特点：_________、________、_________。
8、描述周期信号的数学工具是__________；描述非周期信号的数学工具是________。
9、同频的正弦信号和余弦信号,其相互相关函数是的。
10、信号经典分析方法是和。
11、均值E[x(t)]表示集合平均值或数学期望，反映了信号变化的，均方值反映信号的。
12、奇函数的傅立叶级数是，偶函数的傅立叶级数是。
信号检测习题答案
1 −τ
dτ
∫ = 1
π
1
2 −1
2
t
1 dτ +τ
=
−1 π
ln
t t
− +
1
2 1
2
2.
a
(t
)
=
rect
⎛ ⎜⎝
t T
⎞ ⎟⎠
=
⎧⎪⎪1, ⎨ ⎪⎪⎩ 0,
t t
≤T 2
>T 2
A( f ) = T sin c (π fT )
当 ω0 2π
>1 T
即 ω0
>
2π T
时，解析信号和复指数形式信号近似。 ω0 越大越接近。
2⎤ ⎥⎦
=
N0 A2T
=
2 N0 Es
∫ ⎛
⎜ Es = ⎝
T 0
A2 sin2 (ω0t
+θ ) dt
=
A2 2
⎞ ⎟ ⎠
p0 ( y) =
1 2π i2N0Es
exp
⎛ ⎜
−
⎝
y2 2i2 N 0 Es
⎞ ⎟ ⎠
E1
(
y
)
=
E
⎡ ⎢⎣
T
∫0
(
A
sin
(ω0t
+
θ
)
+
n
(
t
)
)
u∗
(
t
)
dt
⎤ ⎥⎦T
tdt
=
0
2
③等效时宽
∫ ∫ δ =
2π 2E
[
∞ t2
−∞
u(t) 2 dt]1/ 2
信号检测与估计理论第一章习题讲解
1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。
解：第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1 第②问{}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问 201()()0X X xx d F x f x elsedx ≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x ke x -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问()112f xd x k ∞-∞==⎰ 第②问 {}()()()211221x x P x X xF x F xfx d x<≤=-=⎰ 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。
{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxx x x x F x f x dxe dx x ex e dx e dxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。
设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布()np!k e P X k k λλλ-=＝＝1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XY kex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？第③问 方法一：联合分布函数(,)XY F x y 性质：若任意四个实数1212,,,a a b b ，满足1212,a a b b ≤≤，则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二：利用(){(,)},XY DP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。
信号检测习题解答all
第一章习题1.1 在例1.2中，设噪声均方差电压值为2V σ=，代价为21m f c c ==。
信号存在的先验概率0.2p =。
试确定贝叶斯意义下最佳门限β。
并计算出相应的平均风险。
解：001()0.828()0.2p H cf cm p H β=⋅=⨯=，由式（1-18）有，14ln 88.822V β=+=由教材式（1-20）、（1-21）可得平均风险：22110010101088()()((()|)()|)0.210.2() 1.6()220.2m f x x H H H D H H D H r p r p r p p c p p c e dx e dxerfc ββββ--⋅⋅=+⋅=⋅+⋅⋅=⋅+⎰⎰-=⋅Φ+⋅=1.3 只用一次观测x 来对下面两个假设做选择，0H ：样本x 为零均值、方差20σ的高斯变量，1H ：样本x 为零均值、方差为21σ的高斯变量，且2210σσ>。
（1）根据观察结果x ，确定判决区域0D 和1D 。
（2）画出似然比接受机框图。
1H 为真而选择了0H 的概率如何？ 解：由于ijc ，()jH p 未知，因而选择MAP （最大后验）准则：0H：22002(|)x p x H eσ-⋅=1H：22112(|)x p x H eσ-⋅=2221011()20101(|)()(|)x p x H x ep x H σσσσ--Λ==⋅01Λ=∴当0()x Λ≥Λ，即1220112221102[()ln ]x σσσσσσ≥-时，作1D 判决；当0()x Λ<Λ时，即1220112221102[()ln ]x σσσσσσ<-时，作0D 判决。
（2）似然机接收框图如下：所以，判决1H 为真而选择了0H 的概率为：2212200011000012111(|)(|)[][]x y x xp D H p x H dx edxx x x x x e dy erfc erfc σσσ-⋅-==⎰⎰--==--⎰其中：12212022000112[()ln ]x σσσσσσ=- 1.4 设计一个似然比检验，对下面两个假设做选择。
微弱信号检测练习思考题
《微弱信号检测》练习题1、证明下列式子：（1）R xx(τ)=R xx(-τ)（2）∣ R xx(τ)∣≤R xx(0)2x(t)x(t-τ)≤x2(t)+x2(t-τ)∣ R xx(τ)∣≤R xx(0)（3）R xy(-τ)=R yx(τ)（4）| R xy(τ)|≤[R xx(0)R yy(0)]2、设x(t)是雷达的发射信号，遇目标后返回接收机的微弱信号是αx(t-τo)，其中α«1，τo是信号返回的时间。
但实际接收机接收的全信号为y(t)= αx(t-τo)+n(t)。
（1）若x(t)和y(t)是联合平稳随机过程，求R xy(τ)；（2）在（1）条件下，假设噪声分量n(t)的均值为零且与x(t)独立，求R xy(τ)。
3、已知某一放大器的噪声模型如图所示，工作频率f o=10KHz，其中E n=1μV，I n=2nA，γ=0，源通过电容C与之耦合。
请问：（1）作为低噪声放大器，对源有何要求？（2）为达到低噪声目的，C为多少？4、如图所示，其中F1=2dB，K p1=12dB，F2=6dB，K p2=10dB，且K p1、K p2与频率无关，B=3KHz，工作在To=290K，求总噪声系数和总输出噪声功率。
5、已知某一LIA的FS=10nV，满刻度指示为1V，每小时的直流输出电平漂移为5⨯10-4FS；对白噪声信号和不相干信号的过载电平分别为100FS和1000FS。
若不考虑前置BPF的作用，分别求在对上述两种信号情况下的Ds、Do和Di。
6、下图是差分放大器的噪声等效模型，试分析总的输出噪声功率。
7、下图是结型场效应管的噪声等效电路，试分析它的En-In模型。
8、R1和R2为导线电阻，R s为信号源内阻，R G为地线电阻，R i为放大器输入电阻，试分析干扰电压u G在放大器的输入端产生的噪声。
9、如图所示窄带测试系统，工作频率f o=10KHz，放大器噪声模型中的E n=μV，I n=2nA，γ=0，源阻抗中R s=50Ω，C s=5μF。
《信号检测与估计》第四章习题解答
(3sinω0T
−
2sin3ω0T
)
则判决规则变为
H1
I
> <
β
H0
两种错误判决的概率分别为
+∞
∫ P(D1 | H0 ) = β f (I | H0 )dI
《信号检测与估计》习题解答
β
∫ P(D0 | H1) = −∞ f (I | H1)dI
平均错误概率 Pe 为
∫ ∫ Pe
= P(H0 )P(D1 | H0 ) + P(H1)P(D0
T 0
[x(t
)−
B
cos(ω2t
+φ
)]2
dt
《信号检测与估计》习题解答
( ) ( ) ( ) f xH0 =
1
∫ − 1
e N0
T 0
[x
(t
)−
s
0
(t
)]2
dt
=
2π σ k
1
∫ − 1
e N0
T 0
[x
(t
)−
A
cos
ω1t
−
B
cos(ω
2
t
+φ
)]2
dt
2π σ k
根据最小差错概率准则有
0 N0
T 2 s2(τ )dτ = 2a2T
0 N0
N0
输出信号
xo (T
)
=
T
∫0
h(t )x(T
−
t )dt
=
∫Ts(T 0
− t)x(T
−
t )dt
=
T
∫0
2 N0
s(τ
)x(τ
《信号检测与估计》第二章习题解答
E[x]
=
0
，
R(t, t
+τ
)
=
R(τ
)
=
a2 2
cos ω0τ
即数学期望与时间无关，自相关函数仅与时间间隔有关，故 X (t) 为广义平稳随机过程
2.7 设有状态连续，时间离散的随机过程 X (t) = sin(2πAt)，式中， t 只能取正整数，即 t = 1,2,3,L ，
A 为在区间 (0,1) 上均匀分布的随机变量，试讨论 X (t)的平稳性。
cos
t2
+
1 9
sin
t2
cos t1
=
1 9
+
1 9
sin
t1
+
1 9
cos
t1
+
1 9
sin
t2
+
1 9
cos t2
+
1 9
cos(t1
-
t2
)+
1 9
sin(t1
+
t2
)
2.4 随机过程 X (t)为 X (t) = A cosω0t + B sin ω0t
[ ] [ ] 式中，ω0 是常数，A 和 B 是两个相互独立的高斯随机变量，而且 E[A] = E[B] = 0 ，E A2 = E B2 = σ 2 。
1 ↔ e−aτ u(τ )
jω + a
所以
RX (τ ) = ⎜⎜⎝⎛
1 e− 3
3τ −
1e 3
3τ + 1 e− 22
2τ − 1 e 22
2τ ⎟⎟⎠⎞u(τ )
平均功率
信号检测与估计课后习题
三、（15分）在二元信号的检测中，若两个假设下的观测信号分别为：0122112::H x r H x r r ==+其中，和是独立同分布的高斯随机变量，均值为零，方差为1。
若似然比检测门限为1r 2r ，求贝叶斯判决表示式。
η解 假设下，观测信号的概率密度函数为0H x 1/2201(|)exp 22x p x H π⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭假设下，，而，且相互统计独立。
大家知1H 2212x r r =+12(0,1),(0,1)r N r N ::道，若，且之间相互统计独立，则(0,1)k r N :(1,2,,)k r k N =L 21Nk k x x ==∑是具有个自由度的分布。
现在，所以假设下，观测信号的概率密度函数N 2χ2N =1H x 为22/2112/221(|)exp()2(2/2)21exp(),022x p x H x x x -=-Γ=-≥当时，。
0x <1(|)0p x H =于是，似然比函数为1/2210exp ,0(|)()222(|)0,0x x x p x H x p x H x πλ⎧⎛⎫⎛⎫-≥⎪ ⎪ ⎪==⎨⎝⎭⎝⎭⎪<⎩当似然比检测门限为时，判决表达式为η11/220exp ,0222,0H H x x x H x πη⎧⎛⎫>⎛⎫⎪-≥⎪ ⎪ ⎪<⎝⎭⎨⎝⎭⎪⎪<⎩成立对的情况，化简整理得判决表达式为0x ≥11/2222ln H H x x ηπ⎡⎤>⎛⎫-⎢⎥⎪<⎝⎭⎢⎥⎣⎦四、（15分）已知被估计参量的后验概率密度函数为θ2(|)()exp[()],0p x x x θλθλθθ=+-+≥（1）求的最小均方误差估计量 。
θ^mse θ（2）求 的最大后验估计量 。
θ^map θ 解 （1）参量的最小均方误差估计量是的条件均值，即θ^mse θθ^0220221(|)()[()]1()()2,mse p x d x exp x d x x x x θθθθλθλθθλλλλ∞∞+==+-+=++=≥-+⎰⎰^0,mse x θλ=<-（2）由最大后验方程^ln (|)|0map p x θθθθ=∂=∂得^2[ln()ln ()]1()|0mapx x x θθλθλθθλθ=∂++-+∂=-+=解得^^1,0,map map x x x θλλθλ=≥-+=<-七、（15分）若对未知参量进行了六次测量，测量方程和结果如下：θ182222202384404384n θ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设初始估计值和估计量的均方误差分别为：^2000,θε==∞试用递推估计求的线性最小二乘估计量和估计量的均方误差θ^^1def s k θθ=；并将最终结果与非递推估计的结果进行比较。
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E(l | H0 ) E[ xk sk | H0 ] E[ nk sk ] 0
k 1
k 1
N
N
N
V ar(l | H0 ) E[( (xk sk | H0 ) E(l | H0 ))2] E[( nk sk )2]
s
2
k
2 n
k 1
k 1
k 1
在假设 H1，l(x)的均值和方差为
sk
N
xk sk
k 1
判决器
H1成立 H0成立
N
因为检验统计量 l(x) xk sk 是相关运算，所 k 1
以，检测器是一种相关检测器。
信号检测与估计理论——习题讲解
（3）检测性能分析
在两个假设下，检验统计量l (x)都是高斯随机变量。
在假设 H0下，l(x) 的均值和方差分别为
N
N
1
2
2 n
exp[
x12 x22
2
2 n
]
已知两次观测 统计相互独立
信号检测与估计理论——习题讲解
和 p(x | H1) p(x1, x2 | H1) p(x1 | H1) p(x2 | H1)
1( x1
s1)2 (x2
2
2 n
s2 )2
]
于是似然比检验为
信号检测与估计理论——习题讲解
信号检测与估计理论（习题课） 指导老师：张烨
信号检测与估计理论——习题讲解
3.4 考虑二元确知信号的检测问题。若两个 假设下的观测信号分别为
H0 : xk nk , k 1, 2 H1 : x1 s1 n1
x2 s2 n2
其已测中 知 相， 观 互s测 统1和噪 计s声独2为立n确k；~知设N信似号(然0，,比且门2 )满限足，为且s1两。次0, s观2 0;
信号检测与估计理论——习题讲解
（1）贝叶斯准则判决表示式 两个假设下观测信号的概率密度函数分别为
p(x |
H0 )
(
1
2
2 n
)
N
N
2 exp[
k 1
xk2
2
2 n
]
和
p(x |
H1 )
(
1
2
2 n
)
N
2
N
exp[
k 1
(
xk sk
2
2 n
)2
]
于是，似然比检验为
H
(x)
P(x | H1) P(x | H0)
信号检测与估计理论——习题讲解
（1）求采用贝叶斯准则时的最佳判决式。
（2）求判决概率 P(H1 | H0 ) 和 P(H1 | H1) 的计算式。
解 （1）两个假设下观测信号的概率密度函 数分别为
p(x | H0 ) p(x1, x2 | H0 ) p(x1 | H0 ) p(x2 | H0 )
1
exp[
2 n
N
xk sk
k 1
1
2
2 n
N
sk2 ]
k 1
1
H
0
信号检测与估计理论——习题讲解
化简得到判决表示式
H
N
l(x) xk sk k 1
1
2 n
ln
1 2
N
sk2
k 1
def
H
0
（2）检测器的结构 根据判决表示式，检测器的结构如下图所示
信号检测与估计理论——习题讲解
xk
H
def
(x)
p(x | H1) p(x | H0)
1
exp[
2 n
2
xk sk
k 1
1
2
2 n
2
sk2 ]
k 1
1
H
0
两边取对数，移项
信号检测与估计理论——习题讲解
考虑到s1 0，s2 0 ，化简得判断表示式
H
def 2
l(x)
xk sk
k 1
1
2 n
ln
1 2
2
sk2
k 1
sk2
k 1
2 n
这样判决概率为
P(H1 | H0 ) p(l | H0 )dl Q[ln d d 2]
P(H1 | H1) p(l | H1)dl Q[ln d d 2]
Q[Q1(P(H1 | H0 )) d ]
式中Q[u0 ]
u0
1
2
1
2
exp[
u2 2
]du
信号检测与估计理论——习题讲解
k 1
k 1
2
Var(l | H0 ) E[( ( xk sk | H 0 ) E(l | H 0 ))2 ]
k 1
2
2
E[( nk sk )2 ]
sk2
2 n
k 1
k 1
在假设 H1 下，l(x) 的均值和方差分别为
2
2
2
E(l | H1) E[ ( xk sk | H1)] E[ (sk nk )sk ] sk2
现在我们把这类二元确知信号的检测 问题推广为一般情况。
设两个假设下的观测信号分别为
H0 : xk nk , k 1, 2,L , N H1 : xk sk nk , k 1, 2,L , N
其中，sk (k 1, 2,L , N) 是确知信号，但各
sk的值可以是不同的；各次观测噪声nk是均
N
N
N
E(l | H1) E[ xksk | H1] E[ (sk nk )sk ] sk2
k 1
k 1
k 1
N
N
N
V ar(l | H1) E[( (xksk | H1) E(l | H1))2] E[(
nksk )2]
s
2
k
2 n
k 1
k 1
k 1
信号检测与估计理论——习题讲解
于是，偏移系数d 2 为
N
d 2
[E(l
k 1
k 1
k 1
2
Var(l | H1) E[( ( xk sk | H1) E(l | H1))2 ] k 1
2
2
E[( nk sk )2 ]
sk2
2 n
k 1
k 1
信号检测与估计理论——习题讲解
于是，偏移系数d 2为
2
d 2
[E(l | H1) E(l | H 0 )]2 Var(l | H0 )
值为零、方差为 2 的独立同分布高斯噪声。
设似然比检测门限 已知。
信号检测与估计理论——习题讲解
（1）求采用贝叶斯准则时的最佳判决表示式， 并化简为最简形式，检验统计量记为 l(x) 。 （2）画出检测器的结构；根据检验统计量l(x) ， 说明该检测器是一种相关检测器。 （3）研究检测器的性能，求判决概率 P(H1 | H0) 和 P(H1 | H1) 的计算式。 （4）若 sk s(k 1,2,L , N) ，求判决表示式， 画出检测器的结构，研究检测器的性能。
def
H
0
（2）下面研究检测性能。
为求判决概率，先求两个假 设条件下的概率密度函数
N
因检验统计量 l(x) xk sk在两个假设下都是高
斯随机变量。
k 1
在假设
H
下，l
0
(x)
的均值和方差分别为
信号检测与估计理论——习题讲解
2
2
E(l | H0 ) E[ (xk sk | H0 )] E[ nk sk ] 0