2018年高三一轮复习典型例题剖析：三角函数的恒等变换

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三角函数恒等变换ppt课件

(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值.
解 (1)因为 tan α＝43，tan α＝csoins αα，所以 sin α＝43cos α. 因为 sin2α＋cos2α＝1，所以 cos2α＝295，因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－275. (2)因为 α，β 为锐角，所以 α＋β∈(0，π).又因为 cos(α＋β)＝－ 55，所以 sin(α＋β)＝ 1－cos2（α＋β）＝255，因此 tan(α＋β)＝－2.
真题演练
1.对于三角函数的求值，需关注：
(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用； (3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.
感谢同学们的聆听
Thanks for Listening
(1)解析由 α，β 为锐角，则－π2<α－β<π2，由 sin(α－β)＝－ 1100，得 cos(α－β)＝31010，又 sin α＝ 55，所以 cos α＝255，所以 sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝
55×3
1010－2
因为 tan α＝43，所以 tan 2α＝1－2tatnanα2α＝－274，因此， tan(α － β) ＝ tan[2α － (α ＋ β)] ＝ 1t＋ant2anα－2αttaann（（αα＋＋ββ））＝思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系. 2.求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.求解时，尽量缩小角的取值范围，避免产生增解.

2018届高考数学(理)一轮复习高频考点大突破学案：专题21简单的三角恒等变换

0 2x
（ 2）当
6 3 时，有
3
，从而
5
0 2x
当
3
2 时,即 6
x
12 时， f (x) 单调递增，
当 2x
2
3
5
2
时 ,即
x
时， f ( x) 单调递减，
12
3
综上可知， f ( x) 在 [
5 ,
] 上单调递增；
f ( x) 在 [ 5
2 ,
] 上单调递减 .
6 12
12 3
（ 2014·全国卷）直线 l 1 和 l 2 是圆 x2＋ y2＝ 2 的两条切线．若 l1 与 l 2 的交点为 (1， 3)，则 l 1 与 l2 的夹角
的正切值等于 ________．
【答案】 4 3
【解析】如图所示，根据题意， OA⊥ PA，OA＝ 2， OP＝ 10，所以 PA＝ OP2－ OA2＝ 2
2，所以
专题 21 简单的三角恒等变换
tan∠
OPA＝
OA PA
＝ 2
2 ＝ 1，故 22
tan∠
APB
＝
2tan∠ OPA 1－ tan2∠OPA＝
例 3、已知函数
f( x)＝ sin(x＋ θ)＋ acos(x＋ 2θ)，其中
a∈ R ，θ∈
－
2π，
π 2
.
(1)当 a＝ 2，θ＝ π4时，求 f( x)在区间 [0， π上］的最大值与最小值；
(2)若
f
π 2
＝
0，
f
(
π＝）1，求
a， θ的值．
解
(1) f(x)＝ sin x＋ π4 ＋

高三一轮复习：三角函数恒等变换(二)

高三一轮复习：三角函数恒等变换(二)1、已知函数)cos(3)(ϕω+=x x f （02<<-ϕπ，0>ω）的最小正周期为π，且其图象经过点)0,125(π （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若函数)62()(π+=x f x g ，)2,0(,πβα∈，且,423)(,1)(==βαg g 求)(βα-g 的值.2、已知函数)(2cos cos sin 2)(R x x x x x f ∈+=（1）求)(x f 的最小正周期和最大值；（2）若θ为锐角，且32)8(=+πθf ，求θ2tan 的值.3、设函数()sin cos f x m x x =+()x R ∈的图象经过点,12π⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求()f x 的解析式，并求函数的最小正周期；（2）若32()45f πα+=且(0,)2πα∈，求(2)4f πα-的值.4、已知函数()2sin 22cos2,f x x x x R =+∈.（1）求38f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 的最大值和最小正周期；（3）若3282f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭，α是第二象限的角，求sin 2α.【参考答案】1、解：（1）π=T ，πωπ=∴2，2=∴ω 0)1252cos(3)125(=+⋅=ϕππf ，即0)65cos(3=+ϕπ 又 02<<-ϕπ，65653πϕππ<+<∴，265πϕπ=+∴，解得3πϕ-= )32cos(3)(π-=∴x x f （2）x x x f x g cos 3)33cos(3)62()(=-+=+=πππ 1c o s 3)(==ααg ，31cos =∴α 423c o s 3)(==ββg ，42cos =∴β 又 )2,0(,πβα∈322c o s 1s i n 2=-=∴αα，414cos 1sin 2=-=ββ )s i n s i n c o s (c o s 3)c o s(3)(βαβαβαβα+=-=-∴g 4742)4143224231(3+=⋅+⋅⋅= 2、解：（1） )4sin 2cos 4cos 2(sin 2)222cos 222(sin 22cos 2sin )(ππx x x x x x x f +=⋅+⋅=+=)42sin(2π+=x ∴最小正周期ππ==22T ，最大值为2 （2） 322cos 2)22sin(2)442sin(2)8(==+=++=+θπθππθπθf 312cos =∴θ 20πθ<< ，πθ<<∴20 ∴3222cos 12sin 2=-=θθ，222cos 2sin 2tan ==∴θθθ3、解：（1）函数()sin cos f x m x x =+()x R ∈的图象经过点π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，1 sin cos 122m ππ∴+= ，1m ∴= …………………….2分()sin cos 2sin()4f x x x x π∴=+=+ …………………….3分 ∴函数的最小正周期2T π= ……………………4分（2）32()2sin()2sin()2cos 44425f ππππαααα+=++=+==………6分 3cos 5α∴= 又因为(0,)2πα∈ 24sin 1cos 5αα∴=-=…………………………………………………………9分 242(2)2sin(2)2sin 222sin cos 44425f πππααααα∴-=-+===………12分 4、解：(1))42sin(2)2cos 4sin 2sin 4(cos 2)2cos 222sin 22(2)(πππ+=+=+=x x x x x x f 0sin 2)4832sin(2)83(==+⨯=∴ππππf ……… 3分 (2))42sin(2)2cos 4sin 2sin 4(cos 2)2cos 222sin 22(2)(πππ+=+=+=x x x x x x f )(x f ∴的最大值为2，最小正周期为ππ==22T ．……… 7分 (3) 由(2)知: )42sin(2)(π+=x x f,23sin 2)82(==-∴απαf 即,43sin =α……… 9分又因为α是第二象限的角, 413)43(1sin 1cos 22-=--=--=∴αα…11分.839)413(432cos sin 22sin -=-⨯⨯==∴ααα……… 13分。

2018版高考一轮数学文科：第20讲-简单的三角恒等变换ppt课件

RJA第20讲　PART 03简单的三角恒等变换教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题考试说明考情分析教学参考考点考查方向考例考查热度三角函数式的化简三角函数式的化简2013·新课标全国卷Ⅱ6★☆☆三角函数式的求值给值求值、给值求角、给角求值2016·全国卷Ⅲ6★☆☆真题在线真题在线真题在线真题在线真题在线知识梳理课前双基巩固对点演练课前双基巩固课前双基巩固对点演练对点演练课前双基巩固对点演练课前双基巩固◆索引：忽视角的范围出错；用错公式出错．对点演练课前双基巩固对点演练课前双基巩固对点演练课前双基巩固课堂考点探究探究点一　三角函数式的化简课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究探究点二　三角函数式的求值课堂考点探究考向1 给值求值课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究考向2 给角求值课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究考向3 给值求角课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究探究点三　三角恒等变换的综合应用课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究教师备用例题[备选理由]例1 是三角函数与基本不等式的综合问题，例2是三角函数定义与给值求角问题，例3是三角函数的综合问题．希望通过练习提高学生分析问题和解决问题的能力．教师备用例题教师备用例题教师备用例题教师备用例题。

(全国通用)2018年高考数学考点一遍过专题16 三角恒等变换(含解析)理

考点16 三角恒等变换1．和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.一、两角和与差的三角函数公式 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ （2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- （3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ- （5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z2．二倍角公式（1）2S α：sin2α=2sin cos αα（2）2C α：cos2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=-（3）2T α：tan 2α=22tan πππ(π,)1tan 224k k k αααα≠+≠+∈-Z 且3．公式的常用变形（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα= （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-（4）辅助角公式：sin cos a x b x +)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==tan baϕ=二、简单的三角恒等变换 1．半角公式（1）sin2α=（2）cos2α=（3）tan2α=sin 1cos 1cos sin αααα-==+【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：2．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式）（1）积化和差公式：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--.（2）和差化积公式：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；sin sin 2cos sin22αβαβαβ+--=； cos cos 2cos cos22αβαβαβ+-+=； cos cos 2sin sin22αβαβαβ+--=-.考向一三角函数式的化简1．化简原则（1）一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；（2）二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；（3）三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等． 2．化简要求（1）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；（2）式子中的分母尽量不含根号.3．化简方法（1）切化弦；（2）异名化同名；（3）异角化同角；（4）降幂或升幂．典例1 化简：ππsin sin33ππcos cos33αααα⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=.【答案】【方法技巧】(1)三角化简的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．学.(2)三角化简的标准：三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．(3)在化简时要注意角的取值范围.1________．考向二三角函数的求值问题1．给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解. 2．给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：（1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．（3）将已知条件代入所求式子，化简求值． 3．给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：（1）已知正切函数值，则选正切函数．（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是π(0,)2，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为ππ(,)22-，则选正弦较好. 4．常见的角的变换（1）已知角表示未知角例如：()()ααββ=+-=，()()()()2,2ααβαββαβαβ=++-=+--，(2)αβαβα+=++，(2)αβαβα-=-+，22αβαβα+-=+，22αβαββ+-=-.（2）互余与互补关系例如：π3π()()π44αα++-=，πππ()()362αα++-=. （3）非特殊角转化为特殊角例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.典例2 cos15cos30cos105sin30︒︒+︒︒的值是A B C ．12D ．1【答案】A【名师点睛】把所求式子中的角105°变为90°+15°，利用诱导公式cos （90°+α）=−sin α化简后，再利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，即可求出值．“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式.2A ．1-B ．2C ．12D ．1典例3 已知tan(α−β)=,tan β=−,且α,β∈(0,π),则2α−β=A ．π4B ．π4- C ．3π4-D ．π4或3π4- 【答案】C又α∈(0,π),所以0<α<.又<β<π,所以−π<2α−β<0,所以2α−β=−.故选C.【名师点睛】在解决给值求角问题时，不仅要注意已经明确给出的有关角的范围，还要结合有关角的三角函数值尽可能地缩小角的范围.302βαπ<<<. （1）求α2tan 的值．（2）求β的值.典例4 已知324βαπ<<<π，12cos()13αβ-=，3sin(),5αβ+=-则sin 2α=A BC D【答案】B【名师点睛】解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的象限确定符号. 这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.4．已知角α,β均为锐角，且3cos5α=,tan(α−β)=，则tanβ=A． B．C． D．3考向三三角恒等变换的综合应用1．与三角函数的图象及性质相结合的综合问题（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y=A sin(ωx＋φ)＋t或y=A cos(ωx＋φ)＋t的形式．（2）利用公式2π(0)Tωω=>求周期．（3）根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=A sin(ωx＋φ)＋t或y=A cos(ωx＋φ)＋t的单调区间．2．与向量相结合的综合问题三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2＋y1y2，a∥b⇔x1y2=x2y1，a⊥b⇔x1x2＋y1y2=0，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用.3．与解三角形相结合的综合问题（1）利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；（2）利用正、余弦定理把边的关系化成角的关系再用三角恒等变换化简求解．【注】此类题中的角是在三角形中，每个角范围限制在(0，π)内，如果是锐角三角形，则需要限制各个角均在π(0,)2内．角的范围在解题中至关重要，做题时要特别注意.典例5 设函数f(x)=sin2ωx−sin ωx cosωx(ω>0),且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.（1）求ω的值；（2）求f(x)在区间π,]上的最大值和最小值.【答案】（1）1；（2）f(x)在区间π,]上的最大值和最小值分别为,−1.【解析】（1）f (x )=sin 2ωx −sin ωx cos ωx =·sin 2ωx =cos2ωx −sin 2ωx =−sin(2ωx −).因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,且ω>0,所以=4×,因此ω=1.（2）由（1）知f (x )=−sin(2x −).当π≤x ≤时,≤2x −≤.所以−≤sin(2x −)≤1.因此−1≤f (x )≤.故f (x )在区间π,]上的最大值和最小值分别为,−1.5．已知向量a =1cos ,2x ⎛⎫-⎪⎝⎭，b x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )=a ·b . （1）求f (x )的最小正周期；（2）求f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．1．cos9π·cos 29π ·cos 23()9π-= A ．−18B ．−116 C ．116D ．182．已知1sin cos 5αα-=-，则的值为A ．1225B ．2425-C ．2425D ．1225-3．已知锐角,αβ满足，则αβ+的值为ACD 4．设，，且，则A ．B ．C ．D ．5．已知向量a =(sin(),1)6απ+，b =(4,4cos α)，若a ⊥b ，则sin 4()3απ+=A ．4-B ．14-C ．4D ．146，则sin β= A ．0C7A B CD 8．已知α为锐角，若，则sin α=ABC D 9．若()()sin 603cos 90θθ+︒=︒-，则tan θ=__________．10．在斜三角形ABC 中，tan tan tan tan 1A B A B ++=，则C ∠=_____________.11．已知函数，若为函数()f x 的一个零点，则0cos2x =__________．12（1）求sin2β的值；（213．已知函数.（1）求的最小正周期和最值；（2）设是第一象限角，且求的值.1．（2016年高考新课标Ⅱ卷）若cos(4π−α)=53，则sin 2α= A ．725B ．15C ．−15D ．−7252．（2016年高考新课标Ⅲ卷）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= A ．6425B ．4825C ．1D ．16253．（2017年高考北京卷）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 4．（2017年高考江苏卷）若π1tan(),46α-=则tan α=___________.5．（2016年高考四川卷）cos 2π8–sin 2π8= . 6．（2016年高考浙江卷）已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______，b =________．1．【答案】−2sin42．【答案】C【解析】由()sin47sin 3017sin30cos17sin17cos30︒=︒+︒=︒︒+︒︒知，原式3．【答案】（1（2【解析】（1）由1cos ,072ααπ=<<（2）由0βαπ<<<，得0.2αβπ<-<由)(βααβ--=得)](cos[cos βααβ--=.3βπ∴=4．【答案】D5．【答案】（1）π；（2）f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是1，最小值是12-.【解析】f (x )=1cos ,2x ⎛⎫-⎪⎝⎭x ，cos 2x )cos x sin x −12cos 2x=2sin 2x −12cos 2x =ππcossin 2sin cos 266x x -=πsin 26x ⎛⎫-⎪⎝⎭. （1）f (x )的最小正周期为2π2ππ2T ω===，即函数f (x )的最小正周期为π.（2）∵0≤x ≤π2，∴ππ5π2666x -≤-≤.由正弦函数的性质，当ππ262x -=，即π3x =时，f (x )取得最大值1. 当ππ266x -=-，即x =0时，f (0)=12-，当π52π66x -=，即π2x =时，π122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴f (x )的最小值为12-. 因此，f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是1，最小值是12-.1．【答案】A2．【答案】C 【解析】由题意得，两边同时平方得故选C. 3．【答案】B【解析】因为锐角,αβ，所以因为()0,παβ+∈，所以 B. 4．【答案】B【解析】根据三角函数的基本关系可得,,因为，，所以，所以（舍）或，得，故选B.5．【答案】B6．【答案】B，0⨯=，不合题意，舍去；，525=，应选B. 7．【答案】DD. 8．【答案】C【解析】∵α为锐角且则，故本题选C.9．10．【解析】在ABC△ 中，tan tan tan tan 1A B A B ++⋅=，则t a n t a n 1A B A B+=-⋅0πC <<11．【答案】3512．【答案】（1（2【解析】（1（2【名师点睛】在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法是配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和与差的公式展开求值即可.13．【答案】（1）的最小正周期是，最大值为，最小值为；（2）.【解析】（1）.的最小正周期是，最大值为，最小值为. （2），则，即，又为第一象限的角，则，.1．【答案】D【解析】2237cos22cos12144525αα⎡π⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又cos2cos2sin242ααα⎡π⎤π⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以7sin225α=-，故选D.【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．2．【答案】A【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．3．【答案】79- 【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1sin sin 3βα==，cos cos αβ=-=（或cos cos βα=-=），所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则π2π,k k αβ+=+∈Z ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2π,k k αβ+=∈Z ，若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z .4．【答案】75【解析】11tan()tan 7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---．故答案为75．【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．5．【答案】2【名师点睛】本题也可以看作来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题都是通过三角函数公式把一般的三角函数求值转化为特殊角的三角函数求值而得解．6．，1【解析】22cos sin 2)14x x x π+=++，所以 1.A b ==【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简2cos x ，再用辅助角公式化简cos2sin 21x x ++，进而对照()sin Αx b ωϕ++可得Α和b 的值．。

【课标通用】2018届高考数学(理)一轮课件：16-三角恒等变换(含答案)

考点35
考点36
试做真题
高手必备萃取高招对点精练
典例导引 1(1)(2017 广东汕头模拟)设 α,β∈
1 且 tan α-tan β= ,则( cos�� π π A.3α+β= B.2α+β= 2 2 π π C.3α-β= D.2α-β= 2 2
π 0, 2
,
)
(2)(2017 山西临汾一中等五校三联)若 tan α则 sin 2�� +
专题十六
三角恒等变换
考点35
考点36
试做真题
高手必备萃取高招对点精练
考点35三角函数式的化简与求值
1.(2016 课标Ⅱ,理 9)若 cos A.
7�� 4
3 5 1 C.5
= ,则 sin 2α=( D.2
)
3 2 7 -1=- , 5 25
7 25
【答案】 D 方法一:cos 2 且 cos 2
,所以 α-β= -α,即 2α-β= ,故选 D.
π 2
=
2 . 10
π tan(α±β)= ,α,β,α±β≠ +kπ(k∈Z); 2 1∓tan��tan�� tan��±tan��
(4)两角和与差的正切公式的逆用: tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β); tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β).
考点35
考点36
试做真题
高手必备萃取高招对点精练
2.二倍角公式 (1)二倍角的正弦公式:sin 2α=2sin αcos α; (2)二倍角的余弦公式:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; (3)二倍角的正切公式:tan 2α= (4)降幂公式:sin αcos

高考数学三角恒等变换历年真题解析2024版

高考数学三角恒等变换历年真题解析2024版2018年天津高考数学试卷（文科）解析：该题是一道典型的三角恒等变换题，考查了学生对三角函数的熟练运用能力。

具体题目如下：已知 $\cos A - 2 \sin A = \sqrt{5} \cos(\pi/4 + A)$，求 $\sin A$ 的值。

我们可以从已知条件入手，分别对$\cos A$ 和 $\sin A$ 进行化简。

首先，对 $\cos(\pi/4 + A)$ 进行展开，使用三角和差化积公式可以得到：$\cos(\pi/4 + A) = \cos(\pi/4)\cos A - \sin(\pi/4)\sin A =\frac{1}{\sqrt{2}}\cos A - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin A$将其代入已知条件中，可以得到：$\cos A - 2 \sin A = \sqrt{5} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos A -\frac{1}{\sqrt{2}}\sin A\right)$化简上式，整理得：$\left(\cos A - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\cos A\right) -\left(\frac{2}{\sqrt{2}}\sin A + \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\sin A\right) = 0$进一步整理，化简得：$\left(1 - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\right)\cos A - \left(\frac{2}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\right)\sin A = 0$我们可以发现，该式可以通过因式分解得到一个等式：$(1 - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}})\cos A - (\frac{2}{\sqrt{2}} +\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}})\sin A = 0$$(\cos A - \sin A)\left(1 - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}}- \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\right) = 0$根据零因子法则，要使得上式等于0，要么 $\cos A - \sin A = 0$，要么 $1 - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}} -\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = 0$。

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三角函数的恒等变换
一、知识导学
1.两角和、差、倍、半公式
（1）两角和与差的三角函数公式
βαβαβαc o s c o s s i n s i n )s i n (±=±
βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s ( =±
β
αβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n ( ±=± （2）二倍角公式
αααc o s s i n 22s i n
= ααααα2222s i n 211c o s 2s i n c o s 2
c o s -=-=-= α
αα2tan 1tan 22tan -= （3）半角公式
2c o s 12s i n 2αα-=
， 2c o s 12c o s 2αα+= ， α
ααc o s 1c o s 12t a n 2+-= αααααs i n c o s 1c o s 1s i n 2t a n -=+= 2.恒等变形主要是运用三角公式对式子进行等价变形，常见于化简求值和恒等式证明.恒等式证明就是利用公式消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，使左右相等，常用方法为：（1）从一边开始证得它等于另一边，一般由繁到简；（2）证明左右两边都等于同一个式子（或数值）.
二、疑难知识导析
1.两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函数的运算规律，常用于解决求值、化简和证明题.
2.倍角公式的内涵是揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律.如
αααcos sin 22sin =成立的条件是“α是任意角，αα是2的2倍角”，精髓体现在角的“倍数”关系上.
3.公式使用过程中（1）要注意观察差异，寻找联系，实现转化，要熟悉公式的正用逆用和变形使用，也要注意公式成立的条件.例
)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±、22cos 1sin 2αα-=、22cos 1cos 2αα+=等.
4. 三角公式由角的拆、凑很灵活.如)()(2βαβαα-++=、ββαα-+=)(、 22β
αβ
αβ+-+=，)2()2(2βα
β
αβ
α+--=-等，注意到倍角的相对性.
5.化为三角函数式，常见的思路为化“三同”即同名、同角、同次，切割化弦、特殊值与特殊角的三角函数互化等.
6. 三角恒等式的证明包括无条件恒等式和有条件恒等式
(1)无条件恒等式证明,要认真分析等式两边三角函数的特点,角度和函数关系,找出差异寻找突破口.
(2)有条件的等式证明,常常四寻找条件与需证式的区别与联系,对条件或须证式进行变形.采用消去法或基本量法等求证.
三、典型例题导讲
[例1] 在∆ABC 中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=3，则∠C 的大小应为( )
A.6π
B.3π
C.6π或π65
D.3π或3
2π 错解：C
错因：求角C 有两解后未代入检验.
正解：A
[例2] 已知tan α tan β是方程x 2+33x+4=0的两根，若α，β∈(-2,
2ππ)，则α+β=（） A.3π B.3π或-π32 C.-3π或π32 D.-π3
2
错解：B.
错因：未能准确限制角的范围.
正解：D.
[例3] △ABC 中，已知cosA=
13
5，sinB=53，则cosC 的值为（） A.6516 B.6556 C.6516或6556 D.6516- 错解：C
错因：是忽略对题中隐含条件的挖掘.
正解：A
[例4] 已知53sin +-=m m θ，524cos +-=m m θ（πθπ<<2
），则=θtan （） A 、324--m m B 、m m 243--± C 、12
5- D 、12543--或错解：A
错因：是忽略1cos sin 22=+θθ，而解不出m
正解：C
点评：在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法.
四、典型习题导练
1.已知集合M=}{R x x x y y ∈+=,cos sin ，N=}{R x x x y y ∈=,cos sin π则MUN 等于（）
A.M
B.N
C.ф
D.}{22≤≤-y y
2.若sinα+cosα=2,则tanα+cotα=( )
A.1
B.2
C.-1
D.-2
3.已知2л＜α＜л＜,sinα=54,则cos 2
α的值为( ) A.25或-55 B.- 55 C. 5
5 D.以上都不对 4.已知θ=5
л,则`34an 3an 334an 3t θθθθt t t an ++= . 5.计算sin 10
лsin 1013л= . 6.已知tanA·tanB=tanA+tanB+1，则cos(A+B)的值是（） A.22- B.22
C.22±
D.21± 7.已知角A 是△ABC 的一个内角，且3
2cos sin =
+A A ，则△ABC 是（） A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形
D.形状不确定
8.已知向量.552|),sin ,(cos ),sin ,(cos =
-==b ββαα （1）求)cos(βα-的值；
（2）若αββππαsin ,13
5sin ,02,20求且-=<<-<<的值.。