第7章第2节等差数列及其前n项和-新高考数学自主复习课件
2.等差数列的通项公式
通项公式：____a_n＝__a_1_＋__(_n_－__1_)d__(n_∈__N__*)_____.
(1)在通项公式中包含四个量，a1(首项)、d(公差)、n(序号)、an(第n项)，知三求一；
(2)由通项公式可推出an＝am＋(n－m)d；
第7章第2节等差数列及其前n项和-202 1年新 高考数 学自主 复习课 件(共29 张PPT)
A．2 017
B．2 018
C．2 019
D．2 020
【答案】C
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真题自测 考向速览
考点1 等差数列的基本运算
1．[课标全国Ⅰ2019·9]记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则( )
【答案】A
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第2节
等差数列及其前n项和
2．[课标全国Ⅰ2018·4]记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( )
第7章 数列
第1节 数列的概念与简单表示法
目 第2节 等差数列及其前n项和
录 目 第3节 等比数列及其前n项和 录
第4节 数列的综合应用
专题3 求数列通项公式的方法及数列 求和的方法
第2节 等差数列及其前n项和
真题自测 考向速览 必备知识 整合提升 考点精析 考法突破
第2节 等差数列及其前n项和
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第2节
等差数列及其前n项和
(3)用函数观点理解通项公式：an是定义在N*或其有限子集{1，2，3，…，n}上的一次函 数(d≠0)或常数函数(d＝0)．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)， 如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，(n，an)在一次函 数y＝px＋q的图像上，即公差不为零的等差数列的图像是直线y＝px＋q上的离散的点．
对于等差数列3，－1，－5，由a1＋a3＜0，但a1＋a2＝2＞0，所以排除选项B；
对于选项C，由0＜a1＜a2，得d＞0，又2a2＝a1＋a3＞2
(0 ＜a1＜a2＜a3，“＝”
取不到)，得a2＞
，选项C正确；
对于选项D，a2－a1＝d，a2－a3＝－d，所以(a2－a1)(a2－a3)＝－d2≤0，所以排除选项D.
[安徽合肥2019第三次教学质量检测]已知Sn 是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a2＋a3＝ 4，S6＝10，则a3＝( )
【答案】A
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第2节
等差数列及其前n项和
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(3)对于任意非零实数b，若数列{ban}是等差数列，则数列{an}也是等差数列．
(4)若数列{an}，{bn}都是等差数列且项数相同，则{kbn}，{an＋bn}，{an－bn}，{pan＋qbn} 都是等差数列． (5)在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍然是等 差数列．
【答案】C
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第2节
等差数列及其前n项和
考点4 等差数列前n项和及其最值
7．[北京2019·10]设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________， Sn的最小值为________.
当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列，此时数列的图像是平行于x轴的直线(或x轴)上的 离散的点．
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第2节
等差数列及其前n项和
第2节
等差数列及其前n项和
考点3 等差数列的性质及其应用
6．[北京2015·6]设{an}是等差数列，下列结论中正确的是( )
A．若a1＋a2>0，则a2＋a3>0
B．若a1＋a3<0，则a1＋a2<0
C．若0<a1<a2，则a2>
D．若a1<0，则(a2－a1)(a2－a3)>0
【解析】设{an}的公差为d，对于等差数列3，1，－1，由a1＋a2＞0，但a2＋a3＝0，所 以排除选项A；
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第2节
等差数列及其前n项和
4．[江苏2019·8]已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27， 则S8的值是________．
【解析】方法一：设等差数列{an}的公差为d，则a2a5＋a8＝(a1＋d)(a1＋4d)＋为d.由已知得S3＋S3－S2＝S4－S3，即S3＋a3＝a4， ∴S3＝a4－a3＝d，∴3a1＋3d＝d. ∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝－10.故选B.
【答案】B
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第2节
等差数列及其前n项和
6. 关于等差数列{an}性质的常用结论
((12))对对于 于任 任意 意正 正整 整数 数nm，，都n，有pa，n＋q1，－若an＝m＋a2n－＝ap1.＋q，则am＋an＝__a_p＋__a_q__.特别地，对于任意 正整数p，q，r，若p＋r＝2q，则有ap＋ar＝____2_a_q __.
S9＝9a1＋36d＝27. 化简
解得
则S8＝8a1＋28d＝－40＋56＝16. 方法二：设等差数列{an}的公差为d，则S9＝
＝9a5＝27，则a5＝3.
又a2a5＋a8＝0，则3a2＋a8＝0，即3(3－3d)＋(3＋3d)＝0，解得d＝2，
则a4＝a5－d＝1，S8＝ 【答案】16
＝4(a4＋a5)＝4×(3＋1)＝16.
∴S10＝
＝100a1，S5＝
＝25a1，∴ ＝4.
【快解】∵{an}为等差数列，且a2＝3a1，∴公差d＝a2－a1＝2a1， 设a1＝1，则d＝2，∴an＝2n－1.
∴S10＝
＝100，S5＝
＝25，∴ ＝4.
【答案】4
＝______.
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(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm，S2m，S3m，S4m，…分别为数列{an}的前m项，前 2m项，前3m项，前4m项，…的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列.
(7)若数列{an}为等差数列，且Sn＝Sm(m≠n)，则Sm＋n＝0.
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第2节
等差数列及其前n项和
考点2 等差数列的判定与证明
5．[天津2016·18]已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d.对任意的n∈N*，bn是
第2节
等差数列及其前n项和
1．[辽宁沈阳东北育才学校2019五模]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S8＝8a5－4， 则该数列的公差是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】设该数列的公差为d，因为S8＝8a5－4，所以8a1＋28d＝8(a1＋4d)－4，解得d＝1.
【答案】A
2．[山东郓城一中等学校2019三模]已知等差数列{an}的前5项和为15，a6＝6，则a2 019＝( )
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第2节
等差数列及其前n项和
3．[课标全国Ⅲ2019·14]记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则
【解析】∵{an}为等差数列且a2＝3a1，∴公差d＝a2－a1＝2a1， ∴a10＝a1＋9d＝19a1，a5＝a1＋4d＝9a1.
A．－12
B．－10
C．10 D．12
【解析】设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)d. ∴S3＝3a1＋3d＝6＋3d，S2＝2a1＋d＝4＋d，S4＝4a1＋6d＝8＋6d. 由题知3S3＝S2＋S4，∴3(6＋3d)＝4＋d＋8＋6d.解得d＝－3， ∴a5＝a1＋4d＝2－12＝－10.故选B.
3. 等差中项
如果a，b，c成等差数列，那么b为a，c的等差中项，其中
第7章第2节等差数列及其前n项和-新高考数学自主复习课件
等差数列及其前n项和
考点2 等差数列的判定与证明
5．[天津2016·18]已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d.对任意的n∈N*，bn是
an和an＋1的等比中项． (1)设cn＝bn＋12－bn2，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；
(2)设a1＝d，Tn＝
，n∈N*，求证：
【证明】(1)由题意得bn2＝anan＋1，有cn＝bn＋12－bn2＝an＋1 an ＋2－anan＋1＝2dan＋1，
等差数列及其前n项和
2．[课标全国Ⅰ20Байду номын сангаас8·4]记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( )
A．－12
B．－10
C．10 D．12
【解析】设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)d. ∴S3＝3a1＋3d＝6＋3d，S2＝2a1＋d＝4＋d，S4＝4a1＋6d＝8＋6d. 由题知3S3＝S2＋S4，∴3(6＋3d)＝4＋d＋8＋6d.解得d＝－3， ∴a5＝a1＋4d＝2－12＝－10.故选B.
B．若a1＋a3<0，则a1＋a2<0
C．若0<a1<a2，则a2>
D．若a1<0，则(a2－a1)(a2－a3)>0
【解析】设{an}的公差为d，对于等差数列3，1，－1，由a1＋a2＞0，但a2＋a3＝0，所 以排除选项A；
对于等差数列3，－1，－5，由a1＋a3＜0，但a1＋a2＝2＞0，所以排除选项B；
∴S10＝
＝100a1，S5＝
＝25a1，∴ ＝4.
【快解】∵{an}为等差数列，且a2＝3a1，∴公差d＝a2－a1＝2a1， 设a1＝1，则d＝2，∴an＝2n－1.
第七章第二节等差数列及其前n项和课件
2．(2020·全国卷Ⅱ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a1＝－2，a2＋ a6＝2，则 S10＝________．
解析： 通解：设等差数列{an}的公差为 d，则由 a2＋a6＝2，得 a1＋d ＋a1＋5d＝2，即－4＋6d＝2，解得 d＝1，所以 S10＝10×(－2)＋10× 2 9 ×1 ＝25.
an＋2.( ) (4)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的．( ) (5)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数．( ) 答案： (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)×
2．(必修 5P44 例 2 改编)已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，a2＝2，S4
(2)关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质
①若项数为 2n，则 S 偶－S 奇＝nd，SS奇 偶
＝ an an＋1
.
②若项数为 2n－1，则 S 偶＝(n－1)an，S 奇＝nan，S 奇－S 偶＝an，SS奇 偶 ＝n－n 1 .
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这 个数列是等差数列．( ) (2)已知数列{an}的通项公式是 an＝pn＋q(其中 p，q 为常数)，则数列 {an}一定是等差数列．( ) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*，都有 2an＋1＝an＋
3．能在具体的问题情境中，发现数 三种题型都有可能出现．
列的等差关系，并解决相应的问题． 学科素养： 数学运算、逻辑推理．
4．体会等差数列与一次函数的关系．知识·分落实⊲学生用书 P104
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从__第__2_项_起，每一项与它的前一项的差__都等于同
第7章第2节等差数列及其前n项和2021年新高考数学自主复习
第1节 数列的概念与简单表示法
目 第2节 等差数列及其前n项和
录 目 第3节 比数列及其前n项和 录
第4节 数列的综合应用
专题3 求数列通项公式的方法及数列 求和的方法
第2节 等差数列及其前n项和
真题自测 考向速览 必备知识 整合提升 考点精析 考法突破
第2节 等差数列及其前n项和
∴S10＝
＝100，S5＝
＝25，∴ ＝4.
【答案】4
＝______.
第2节 等差数列及其前n项和
4．[江苏2019·8]已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27， 则S8的值是________．
【解析】方法一：设等差数列{an}的公差为d，则a2a5＋a8＝(a1＋d)(a1＋4d)＋a1＋7d＝0，
(3)用函数观点理解通项公式：an是定义在N*或其有限子集{1，2，3，…，n}上的一次函 数(d≠0)或常数函数(d＝0)．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)， 如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，(n，an)在一次函 数y＝px＋q的图像上，即公差不为零的等差数列的图像是直线y＝px＋q上的离散的点． 当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列，此时数列的图像是平行于x轴的直线(或x轴)上的 离散的点．
【答案】0 －10
第2节 等差数列及其前n项和
必备知识 整合提升
1. 等差数列的定义
一般地，如果一个数列_从__第__2_项__起__，__每__一__项__与__它__的__前__一__项__的__差__都__等__于__同__一__个__常__数___________， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的__公__差__，通常用字母__d___表示．
高考数学专题复习 第7单元 数列课件 新人教A版
第七单元 │ 使用建议
(2)突出数学思想方法在解题中的指导作用．数列问题 中蕴含着极为丰富的数学思想方法，如由前 n 项和求数列 通项、等比数列求和的分类整合思想，数列问题可以通过 函数方法求解的函数思想，等差数列和等比数列问题中求 解基本量的方程思想，把一般的数列转化为等差数列或者 等比数列的等价转化思想等，要引导学生通过具体题目的 解答体会数列问题中的数学思想方法，并逐步会用数学思 想指导解题．
第31讲 │ 要点探究
[点评] 在数列中根据数列前 n 项和的定义得到的关系式 an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2 占有重要位置，很多数列试题就是以此为 出发点设计的．在使用这个关系式时，一定要注意分 n＝1，n≥2 两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起．在 根据数列的通项 an 与前 n 项和的关系求解数列的通项公式时， 要考虑两个方面，一个是根据 Sn＋1－Sn＝an＋1 把数列中的和转 化为数列的通项之间的关系；一个是根据 an＋1＝Sn＋1－Sn 把数 列中的通项转化为和的关系，先求 Sn 再求 an.如下面的变式．
第七单元 │ 使用建议
(3)强化数列求和：数列求和在高考的数列的解答题中占 有突出位置，除了等差数列、等比数列的求和外，还会涉及 裂项求和、错位相减求和等求和方法，在本单元的编写中专 门设置一讲强化数列求和．
(4)适度考虑数列和函数、不等式等知识的综合和数列的 实际应用：考虑到高考对数列的考查具有交汇性的特点，编 写中适度加入了数列和函数、数列和不等式的交汇等题目； 等差数列和等比数列的实际应用是考试大纲明确要求的，在 第 35 讲设置了探究点数列的实际应用．
第七单元 │ 命题趋势
第三个方向是以简单的数列递推式给出数列，通过转化把 数列转化为等差数列或者等比数列，求出这个数列的通项，然 后再涉及数列求和、不等式等综合问题；第四个方向是数列以 实际应用题的方式进行呈现，通过对实际问题的分析列出数列 模型，得出实际问题的答案．从考试大纲要求和近几年课标区 高考的实际情况看，数列解答题以前两个方向为主．
人教版高中数学选择性必修2《等差数列的前n项和公式》PPT课件
思考：你能用高斯的方法求1 + 2 + ⋯ + 100 + 101吗？
1 + 2 + ⋯ + 100 + 101
= 1 + 101 + 2 + 100 + 3 + 99 + ⋯ + 50 + 52 + 51
= 102 × 50 + 51
= 5151.
将上述方法推广到一般，可以得到：
当是偶数时，有
等差数列.特别地{ ± }仍为等差数列.
∗
（5）在等差数列 中，若，，， ∈ ，且 + ＝ + ,则
+ ＝ + .
新知探究
据说，二百多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
1 + 2 + 3 + ⋯ + 100＝？
高斯的算法：
（1 + 100） + （2 + 99） + ⋯ + （50 + 51）＝101 × 50＝5 050.
对于数列①，设＝，那么高斯的计算方法可以表示为
（1 + 100） + （2 + 99） + ⋯ + （50 + 51）＝101 × 50＝5 050.
可以发现，高斯在计算中利用了
这一特殊关系.
1 + 100＝2 + 99＝ … ＝50 + 51
∗
性质：在等差数列 中，若，，， ∈ ，且 + ＝ + ,则 + ＝ + .
当为奇数时，有
1 + ＝2 + −1 ＝ … ＝ a n a n ，
《等差数列的前n项和》高中数学课件
解析:因为 a13-a8=5d=10,所以 d=2,a1=a8-7d=-11,
1 所以 S24=24×(-11)+ ×24×23×2=288. 2
答案:288
数学
课堂探究
题型一 等差数列前n项和的基本运算
【例 1】 (1)设 Sn 是等差数列{an}(n∈N*)的前 n 项和,且 a1=1,a4=7,则 S5= . (2)已知{an}是等差数列,Sn 为其前 n 项和,n∈N*.若 a3=16,S20=20,则 S10 的值 为 .
(A)10
(B)20
(C)30
(D)40
解析:S5=5×2+
5 5 1 2
×2=30.
数学 2.(与等差数列性质结合的前n项和的求法)记在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列的前11项和S11等于( (A)58 (B)88 (C)143 (D)176 B )
11 a1 a11 11 a4 a8 11 16 解析:S11= = = =88.故选 B. 2 2 2
×(-2)=110,
即 n2-21n+110=0, 所以 n=10 或 n=11.
答案:10或11
数学
题型二
等差数列前n项和的最值问题
【教师备用】 1.等差数列{an}的前n项和公式一定是关于n的二次函数吗?
提示:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,则 Sn= =
n a1 an 2 n n 1 2
解析:(1)设{an}的公差为 d,依题意有 a1+3d=7, 而 a1=1,所以 d=2. 于是 S5=5a1+
5 4 5 4 d=5×1+ ×2=25. 2 2
(新课标)高考数学总复习-第二节 等差数列及其前n项和课件 理 新人教A版
4．数列{an}为等差数列，公差 d＝－2，Sn 为其前 n 项和， 若 S10＝S11，则 a1＝________.
解析：由题意知 10a1＋10×2 9d＝11a1＋11×2 10d， 又∵d＝－2，∴10a1－90＝11a1－110，∴a1＝20.
答案：20
[典题 1] (1)在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7，则 a5
2．已知公差大于零的等差数列an的前 n 项和为 Sn，且满 足 a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列bn满足 bn＝nS＋n c，是否存在非零实数 c 使得{bn} 为等差数列？若存在，求出 c 的值；若不存在，请说明理由．
(5)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m ∈N*)是公差为 md 的等差数列．
(6)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (7)S2n－1＝(2n－1)an. (8)若 n 为偶数，则 S 偶－S 奇＝n2d； 若 n 为奇数，则 S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．
的差等于 同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数
叫做等差数列的公差，通常用字母 d
表示，定义表达式为
an－an－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2) 或 an＋1－an＝d(常数)(n∈N*) ．
(2)等差中项
若三个数 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的等差中项，
a＋b
且有 A＝ 2 .
(8)等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，取出数列中的所有奇 数项，组成一个新的数列，一定还是等差数列．( )
答 案 ： (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)× (7)√ (8)√
4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用课件ppt
(3)去掉数列{|an|}中各项的绝对值,转化为{an}的前n项和求解,转化过程中
有时需添加一部分项,以直接利用数列{an}的前n项和公式;
(4)将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式.
延伸探究 3在本例中,若将条件改为“等差数列{an}的通项公式为an=3n-23”,
求数列{|an|}的前n项和.
11
2 111
∴Sn=- n + n.∴S110=- ×110 + ×110=-110.
100
10
100
10
(方法
11 + 100
2)S100-S10=a11+a12+…+a100=90× 2 =-90,
11 + 100
110×( 11 + 100 )
∴
=-1,∴S110=
=-110.
- 2 + 2 , ≤ 34,
3 2 205
+ 3 502, ≥
2
2
+
35.
205
2
3 2 205
=2n - 2 n+3
502.
方法技巧已知等差数列{an},求{|an|}的前n项和的步骤
(1)确定通项公式an;
(2)根据通项公式确定数列{an}中项的符号,即判断数列{an}是先负后正,还
前n项和Sn有最大值,可由an≥0且an+1≤0,求得n的值;当a1<0,d>0时,前n项
和Sn有最小值,可由an≤0且an+1≥0,求得n的值.
变式训练 1在数列{an}中,an=3n-12,求数列{an}的前n项和的最小值,并指出
2023年新高考数学一轮复习7-2 等差数列及其前n项和(知识点讲解)解析版
专题7.2 等差数列及其前n 项和（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.与归纳推理相结合，考查数列的概念与通项，凸显逻辑推理的核心素养．2．与函数、不等式相结合，考查数列的概念及其性质，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 3．与递推公式相结合，考查对求通项公式的方法的掌握，凸显数学运算、数学建模的核心素养．【知识点展示】（一）等差数列1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.2.等差数列的通项公式：；说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . 2d 1(2)n n a a d n --=≥1(1)n n a a d n +-=≥1(1)n a a n d =+-A P d 0>0d =0d <a A b A a b 2a bA +=，，成等差数列. 4.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 5.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． （二）等差数列的前和的求和公式：. （三）等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系(1)当d ≠0时，等差数列{a n }的通项公式a n ＝dn ＋(a 1－d )是关于d 的一次函数． (2)当d ≠0时，等差数列{a n }的前n 项和S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数． （四）等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． （五）等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差数列中，对任意，，，；（4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.（6）两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． （7）若数列{}n a 是等差数列,则{}n ka 仍为等差数列．（8）设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①-S S nd =奇偶； ②；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①S S -偶奇(中间项)；②. （9）等差数列中，(),p q a q a p p q ==≠,则0p q a +=,m n m n S S S mnd +=++.a Ab ⇔2a bA +=n 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+{}n a {}n a 1a 3a 5a 7a 3a 8a 13a 18a {}n a m n N +∈()n m a a n m d =+-n ma a d n m-=-()m n ≠{}n a m n p q N +∈m n p q +=+m n p q a a a a +=+{}n a d 2n 1n n S a S a +=奇偶21n -n a a ==中1S nS n =-奇偶（10）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．（11）若与{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n S 与'n S ，则2121'm m m m a Sb S --=. （12）等差数列的增减性：0d >时为递增数列，且当10a <时前n 项和n S 有最小值．0d <时为递减数列，且当10a >时前n 项和n S 有最大值．【常考题型剖析】题型一：等差数列基本量的运算例1.（2019·全国·高考真题（理））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则（ ） A ．25n a n =- B ．310n a n =- C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A 【解析】 【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ． 【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．例2．（2022·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______． 【答案】2 【解析】【分析】转化条件为()112+226a d a d =++，即可得解. 【详解】由32236S S =+可得()()123122+36a a a a a +=++，化简得31226a a a =++， 即()112+226a d a d =++，解得2d =. 故答案为：2.{}n a【总结提升】1.解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a 1和公差d ，通常利用已知条件及通项公式或前n 项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a 1，d ，n ，a n ，S n 五个量，可“知三求二”．(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a 1，d 表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程． 2.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题.3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为,,a d a a d -+；四个数成等差数列，一般设为3,,,3a d a d a d a d --++.这对已知和,求数列各项,运算很方便.题型二：等差数列的判定与证明例3. （2020·山东·高考真题）某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里.若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里.这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决. 【答案】140里. 【解析】 【分析】由条件确定，该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列，根据等差数列的通项公式，和前n 项和公式，列式求解.【详解】解：因为从第2天起，每天比前一天多走的路程相同， 所以该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列， 设该数列为{}n a ，第1天走的路程数为首项1a ，公差为d ， 则91260S =，147390a a a ++=. 因为1(1)2n n n S na d -=+，1(1)n a a n d =+-， 1(1)n a a n d =+-11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+所以11119(91)91260236390a d a a d a d ⨯-⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩，解得110010a d =⎧⎨=⎩，则514100410140a a d =+=+⨯=， 所以该男子第5天走140里.例4.（2021·全国·高考真题（文））记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知210,3n a a a >=，且数列是等差数列，证明：{}n a 是等差数列. 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】的公差d，进一步写出的通项，从而求出{}n a 的通项公式，最终得证. 【详解】∵数列是等差数列，设公差为d(n -()n *∈N∴12n S a n =，()n *∈N∴当2n ≥时，()221111112n n n a S S a n a n a n a -=-=--=- 当1n =时，11121=a a a ⨯-，满足112n a a n a =-， ∴{}n a 的通项公式为112n a a n a =-，()n *∈N ∴()()111111221=2n n a a a n a a n a a --=----⎡⎤⎣⎦∴{}n a 是等差数列.例5．（2021·全国·高考真题（理））已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①①①中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{}n a是等差数列：②数列是等差数列；③213a a =． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】证明过程见解析 【解析】 【分析】选①②作条件证明③时，结合,n n a S 的关系求出n a ，利用{}n a 是等差数列可证213a a =；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.选②③作条件证明①时，an b =+，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a 是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论. 【详解】选①②作条件证明③：[方法一]：待定系数法+n a 与n S 关系式(0)an b a +>，则()2n S an b =+， 当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n a a n =-，21a a =，故22133a a a ==.[方法二] ：待定系数法设等差数列{}n a 的公差为d，等差数列的公差为1d ，1(1)n d -，将1(1)2n n n S na d -=+1(1)n d -，化简得())2222211111222d d n a n d n d n d ⎛⎫+-=+-+⎪⎝⎭对于n +∀∈N恒成立．则有21211112,240,d d a d d d ⎧=⎪⎪-=-⎨=，解得112d d a =．所以213a a =． 选①③作条件证明②：因为213a a =，{}n a 是等差数列， 所以公差2112d a a a =-=， 所以()21112n n n S na d n a -=+=，)1n =+=所以是等差数列. 选②③作条件证明①： [方法一]：定义法(0)an b a +>，则()2n S an b =+， 当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43a b =-； 当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a 为等差数列；当43a b =-4=3an b an a +-03a=-<不合题意，舍去. 综上可知{}n a 为等差数列. [方法二]【最优解】：求解通项公式因为213a a =，因为也为等差数列，所以公差1d()11n d =-=故21n S n a =，当2n ≥时，()()221111121n n n a S S n a n a n a -=-=--=-，当1n =时，满足上式，故{}n a 的通项公式为()121n a n a =-，所以()1123n a n a -=-，112n n a a a --=，符合题意. 【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n(0)an b a =+>，平方后得到n S 的关系式，利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到{}n a 的通项公式，进而得到213a a =，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出{}n a 与{}n S的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系1d =12d a =，进而得到213a a =；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出n S进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，(0)an b a =+>，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a两项的差1d11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出{}n a 的通项公式，进而证明出结论. 【总结提升】等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1()n N ∈*(常数)，则数列{}n a 是等差数列； (2) 等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ()n N ∈*，则数列{}n a 是等差数列; (3)通项公式：n a pn q =+(,p q 为常数,n N ∈*)⇔是等差数列;(4)前n 项和公式：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)⇔是等差数列;(5)是等差数列⇔n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. 提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件.题型三：等差数列的前n 项和例6．【多选题】（2022·湖南永州·三模）已知等差数列{}n a 是递减数列，n S 为其前n 项和，且78S S =，则（ ）A ．0d ＞B ．80a =C ．150S >D ．7S 、8S 均为n S 的最大值【答案】BD 【解析】【分析】根据等差数列的性质以及其前n 项和的性质，逐个选项进行判断即可求解 【详解】因为等差数列{}n a 是递减数列，所以，10n n a a +-<，所以，0d <，故A 错误； 因为78S S =，所以8870a S S =-=，故B 正确； 因为()115158151502a a S a +===，故C 错误； 因为由题意得，789000a a a >⎛ = <⎝，所以，*78()n S S S n N =≥∈，故D 正确；故选：BD例7.（2020·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S =__________． 【答案】25 【解析】 【分析】因为{}n a 是等差数列，根据已知条件262a a +=，求出公差，根据等差数列前n 项和，即可求得答案. 【详解】{}n a 是等差数列，且12a =-，262a a +=设{}n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式：()11n a a n d +-= 可得1152a d a d +++= 即：()2252d d -++-+= 整理可得：66d = 解得：1d =根据等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N -=+∈ 可得：()1010(101)1022045252S ⨯-=-+=-+=∴1025S =. 故答案为：25.例8.（2018·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．【答案】（1）n a =2n –9，（2）Sn =n 2–8n ，最小值为–16． 【解析】 【详解】分析：（1）根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n 项和公式得nS 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15．由a 1=–7得d =2．所以{n a }的通项公式为n a =2n –9． （2）由（1）得Sn =n 2–8n =（n –4）2–16． 所以当n =4时，Sn 取得最小值，最小值为–16．例9.（2021·全国·高考真题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求使n n S a >成立的n 的最小值． 【答案】(1)26n a n =-；(2)7. 【解析】 【分析】(1)由题意首先求得3a 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式； (2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值. 【详解】(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则：3335,0a a a =∴=，设等差数列的公差为d ，从而有：()()22433a a a d a d d =-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-++-=-， 从而：22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =， 数列的通项公式为：()3326n a a n d n =+-=-.(2)由数列的通项公式可得：1264a =-=-，则：()()214252n n n S n n n -=⨯-+⨯=-，则不等式n n S a >即：2526n n n ->-，整理可得：()()160n n -->， 解得：1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7.例10．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，11a =，0n a >，141n n n a a S +=-． (1)计算2a 的值，求{}n a 的通项公式；(2)设1(1)nn n n b a a +=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．【答案】(1)23a =，21n a n =- (2)24(21)n T n n =+ 【解析】 【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差得到24n n a a +-=，再根据等差数列通项公式计算可得；（2）由（1）可得(1)(21)(21)n n b n n =--+，利用并项求和法计算可得； (1)解：当1n =时，12141a a a =-，解得23a =， 由题知141n n n a a S +=-①，12141n n n a a S +++=-②，由②-①得121()4n n n n a a a a +++-=，因为0n a >，所以24n n a a +-=， 于是：数列{}n a 的奇数项是以11a =为首项，以4为公差的等差数列， 即()2114(1)432211n a n n n -=+-=-=--，偶数项是以23a =为首项，以4为公差的等差数列，即234(1)41n a n n =+-=- 所以{}n a 的通项公式21n a n =-； (2)解：由（1）可得(1)(21)(21)n n b n n =--+，212(43)(41)(41)(41)4(41)n n b b n n n n n -=---+-+=-+21234212(341)()()()4[37(41)]44(21)2n n n n n T b b b b b b n n n -+-=++++++=+++-=⨯=+. 【总结提升】1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足10n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值.2.利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >,递增；0d <，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设为最小项，则有11n n n n a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用. 题型四：等差数列性质及应用例11.（2020·浙江·高考真题）已知等差数列{an }的前n 项和Sn ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，bn+1=S2n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能．．．成立的是（ ） A ．2a 4=a 2+a 6 B ．2b 4=b 2+b 6 C ．2428a a a = D ．2428b b b =【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，而1212b S a a ==+，即可表示出题中2468,,,b b b b ，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立． 【详解】对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，4262a a a =+，A 正确；对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+， ∴234b a a =+，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+． ∴()47822b a a =+，26341112b b a a a a +=+++．根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；对于C ，()()()()2224281111137222a a a a d a d a d d a d d d a -=+-++=-=-， 当1a d =时，2428a a a =，C 正确； 对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，n a n a()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++，()22428112416832b b b d a d d d a -=-=-．当0d >时，1a d ≤，∴()113220d a d d a -=+->即24280b b b ->；当0d <时，1a d ≥，∴()113220d a d d a -=+-<即24280b b b ->，所以24280b b b ->，D 不正确．故选：D.例12．（2014·北京高考真题（理））若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =__________时，{}n a 的前n 项和最大． 【答案】8 【解析】由等差数列的性质，，，又因为，所以所以，所以，，故数列的前8项最大.例13．（2016·北京·高考真题（理））已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______. 【答案】6 【解析】 【详解】试题分析：因为{}n a 是等差数列，所以35420a a a +==，即40a =，又4136a a d -==-，所以2d =-， 所以616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=．故答案为6．例14.（2021·江西新余四中高二月考（理））等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则2517208101214a a a ab b b b +++=+++________．【答案】4365【分析】 证明得出2121n n n n a S b T --=，结合等差中项的基本性质可求得结果. 【详解】因为等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，则()()()()()()12121121212121221212n n n n n n n nn a a n a S a n b b T n b b -----+-===-+-，所以，25172011218101214112142211434321265a a a a a Sb b b b b T +++⨯+====+++⨯+.故答案为：4365. 【温馨提醒】等差数列的性质主要涉及“项的性质”和“和的性质”，因此，要注意结合等差数列的通项公式、前n 项和公式求解．。
高中数学一轮专题复习：等差数列及其前n项和课件
∵a7＋a10=a8＋a9<0 ∴a9<0
∴等差数列{an}的前8项都为正，第9项开始为负
∴当n=8时，{an}的前n项和最大
题型四、等差数列的判定与证明
例6：若数列{an}前n项和为Sn，且an+2SnSn-1＝0(n≥2)，
a1
=
1 2
.（ 1）求证：数列
1 Sn
是等差数列；(2)求数列an
an = a1 + (n－1)d
an = am + (n－m)d
一、基础知识梳理 3.等差数列的前n项和公式
①Sn
n(a1 2
an )
(Sn，a1，n，an知三求一)
代入an a1 n 1d
②Sn
na1
n(n 1) 2
d
(Sn，a1, n, d知三求一)
一、基础知识梳理
4.等差数列的性质
角度二：求前n项和 变式2：在等差数列{an}中：a3+a7-a10=-1，a11-a4=21，
则数列{an}的前8项和S8=( D )
A.50 B.70 C.120 D.100
解析：设数列{an}的公差为d，则 a11-a4= 7d=21，∴d=3
∵a3+a7-a10=（a1+2d）+（a1+6d）-（a1+9d）=a1-d =a1-3=-1
解析：由{an}是等差数列，得 S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，
即 2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， 即S9－S6＝2S6－3S3 ＝2×36－3×9＝45 即 S9－S6＝a7＋a8＋a9 ＝45
题型三、等差数列前n项和的最值问题
例5：（1）在等差数列{an}中，a1＝20，前n项和为Sn，且 S10＝S15，则Sn取最大值时，n的值为( )