排列组合中的分组分配问题
10.2排列组合中的分组分配问题
2 10
2 8
2 6
4 4
4 4
2、有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条 件，各有多少种不同的分法？ （1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本·
(1) (2) (3) 2 2 C6C4 1 2 C6C5 2 C2 3 C3 3 A3 (4) (5)
3 3 3 9 3 6
种．
3 ⑤先分3件为一堆有 C9 种方法，然后6件平均分配应有
3 2 2 2 C C C C C C C 9 6 4 2 1260 种． 种方法，故共有 3 A3 A
2 6
2 4 3 3
2 2
三：部分均分有分配对象的问题 例3 .12支笔按3：3：2：2：2再任意分给A、B、 C、D、E五个人有多少种不同的分法？
3 4 5 3 C 12 C 9 C 5 A 3 (2) C 3 C 4 C 5 9 5 12 5 5 2 (3) C 12 C 10 C 5 5 5 1 2 (4) A 3 C 12 C 10 C 5
12! 8! 4!· 8! 4!· 4!
1 3!
5775
• 练习1：把10人平均分成两组，再从每组中
选出正、副组长各一人，共有多少种选法?
解：分两步，先分组，再分别在每一组中选正、副 组长． 5 5 C10 C5 分组有 种方法， 2 A2
每组中选正、副组长都有 A 种方法． 由分步计数原理共有
5 5 C10 C5 2 2 A A 种． 5 5 50400 2 A2
2 5
二：均分有分配对象的问题
例2：6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、 丙三个人，有多少种不同的分法？
排列组合问题之分组分配问题
排列组合问题之分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法 ①分成3组，分别为1人、2人、4人；②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有17C 种，再由剩下的6人选出2人，有26C 种，最后由剩下的4人为一组，有44C 种。
由分步计数原理得分组方法共有124764105C C C =（种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有27C 种，再由剩下的5人中选出3人，有35C 种，分组方法共有2375210C C =（种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有523753210C C C =（种）。
二、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法解：可选分同步。
先选3人为一组，有37C 种；再选3人为另一组，有34C 种。
又有2组都是3人，每22A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有33742270C C A =（种）。
也可先选后分。
不同的分法共有3366372270C C C A ⋅=（种）。
㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C 、28C 、26C 、44C 种，又有3堆都是2个元素，每33A 种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有222410864333150C C C C A ⋅=（种）。
【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是均匀的，都有mm A 种顺序不同的分法只能算一种分法。
】三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法解：分组方法共有232752420C C A =（种）。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法1. 引言1.1 研究背景在现代社会中，排列组合中的分组分配问题是一个经常出现的实际问题，如资源分配、任务分配、人员安排等。
这些问题具有复杂性和多样性，需要通过合理的解决方案来进行有效的分析和处理。
在实际应用中，我们经常需要考虑如何将一组对象分成若干组，并满足一定的条件和限制。
这涉及到不同对象的组合方式和分组方式，需要通过排列组合的方法来进行求解。
研究背景中，我们可以看到排列组合中的分组分配问题具有重要的理论意义和实际应用价值。
在实际生活中，我们可能需要根据不同的需求和条件，对一组对象进行合理的分组分配，以达到最优的效果和利益。
研究如何在排列组合中找到最佳的分组分配方案是非常重要的。
通过深入研究和分析排列组合中的分组分配问题，可以为实际生活和工作中的决策提供科学依据和有效方法。
这一领域的研究具有重要的意义和价值，也为我们提供了更多挑战和机遇。
的探讨，将有助于我们更深入地了解排列组合中的分组分配问题的复杂性和研究现状，为接下来的内容提供更好的铺垫。
1.2 研究意义排列组合中的分组分配问题是组合数学中一个重要且具有实际应用意义的问题。
研究这一问题的意义主要体现在以下几个方面：分组分配问题在实际生活和工作中有着广泛的应用。
在资源分配、任务调度、排班安排等方面，都需要考虑如何将不同的元素或任务进行合理的分组分配。
通过有效解决分组分配问题，可以提高资源利用效率，降低成本，提高工作效率，实现资源的最优配置。
研究分组分配问题有助于深入理解排列组合的基本概念和性质。
分组分配问题涉及到元素的排列和组合，需要运用排列组合的知识来解决。
通过深入研究分组分配问题，可以增强对排列组合问题的理解，并为进一步研究组合数学相关问题打下基础。
研究分组分配问题还可以促进算法设计和优化的发展。
分组分配问题在计算机科学领域涉及的算法设计和优化问题，可以启发人们思考如何设计高效的算法来解决复杂的组合问题。
6、排列组合问题之分组分配问题
排列组合问题之分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法①分成3组，分别为1人、2人、4人；②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有C；种，再由剩下的6人选出2人，有C：种，最后由剩下的4人为一组，有C：种。
由分步计数原理得分组方法共有C；C：C： =105（种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有©种，再由剩下的5人中选出3人，有C；种，分组方法共有C；C：=210（种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有C；C；C；=210 （种二、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法解：可选分同步。
先选3人为一组，有E种；再选3人为另一组，有C：种。
又有2 组都是3人，每Af种分法只能算一种，所以不同的分法共有亠L = 70 （种）。
C3C3也可先选后分。
不同的分法共有C；・-4^ = 70 （种）。
A?㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有C：、C：、C；、C；种，又有3堆都C1 c2c2是2个元素,每&种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有|（）^ 6= 3150 （种）。
【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有加个组的元素是均匀的，都有A：；种顺序不同的分法只能算一种分法。
】三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法解：分组方法共有C；C；A；=420 （种）。
排列组合中分组分配问题
分组分配问题一．基本内容1.案例分析：将4个不同的元素分为2份,每份2个,请问有多少不同的分法?解析：若按照2422C C 6=的方法进行分组,不妨设4个元素分别为,,,a b c d ,则会出现以下情况：①,ab cd ;②,cd ab ;③,ac bd ;④,bd ac ;⑤,ad bc ;⑥,bc ad .显然，用组合数公式计算出来的结果重复了三次，最终的分组结果应以为：242222C C 3A =2.基本原理2.1分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：将n 个不同元素分成m 组，且每组的元素个数分别为m m m m m ,,,,321 ，记m m mm m m n mm m n mm n mn C C C C N )()(121321211-+++-+--⋅⋅⋅⋅= .（1）非均匀不编号分组：n 个不同元素分成m 组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，其分法种数为N .（2）均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号（即无序）的m 组，每组元素数目相等，其分法种数为m mA N .（3）部分均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，其中有r 组元素个数相等，其分法种数为r rA N ，如果再有k 组均匀分组，应再除以kk A .2.2分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．3.相同元素的分组问题：挡板法及其应用：对于n 个相同元素分成m 组(m n <),且每组至少一个元素的分组问题,可采用“隔板法”解决:n 个元素之间形成1n -个空格,只需放入1m -个隔板即可,故不同的分配方案有11C m n --种，其等效于不定方程的非负整数解个数：不定方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解.（1）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的正整数解为11--n r C 个.（2）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解为11--+n r n C 个.二．例题分析例1．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（）A ．48B ．54C ．60D ．72【解析】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有2215312215C C C A ∙∙=种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由2224A =种方法；按照分步乘法原理，共有41560⨯=种方法；故选：C.例2．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有,,A B C 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概率为（）A ．193243B ．100243C ．23D ．59【解析】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有53243=种情况，再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为3,1,1或2,2,1当5人被分为3,1,1时，情况数为3353C A 60⨯=;当5人被分为2,2,1时，情况数为12354322C C A 90A ⨯⨯=；所以共有6090150+=.由于所求甲不去A ，情况数较多，反向思考，求甲去A 的情况数，最后用总数减即可，当5人被分为3,1,1时，且甲去A ，甲若为1，则3242C A 8⨯=，甲若为3，则2242C A 12⨯=共计81220+=种，当5人被分为2,2,1时，且甲去A ，甲若为1，则224222C A 6A ⨯=，甲若为2，则112432C C A 24⨯⨯=，共计62430+=种，所以甲不在A 小区的概率为()1502030100243243-+=，故选：B.例3．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（）A ．15B ．310C ．325D ．625【解析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；当分为3,1,1人时，有3353C A 60=种实习方案，当分为2,2,1人时，有22353322C C A 90A ⋅=种实习方案，即共有6090150+=种实习方案，其中甲、乙到同一家企业实习的情况有13233333C A C A 36+=种，故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为36615025=，故选：D.例4．学校要安排2名班主任，3名科任老师共五人在本校以及另外两所学校去监考，要求在本校监考的老师必须是班主任，且每个学校都有人去，则有（）种不同的分配方案．A ．18B ．20C ．28D ．34【解析】根据本校监考人数分为：本校1人监考，另外4人分配给两所学校，有2，2和3，1两种分配方案，所以总数为：28)(2233142222222412=+∙A C C A A C C C ；本校2人监考，另外3人分配给两所学校，有2，1一种分配方案，所以总数为：()212223226C C C A =，根据分类计数原理，所有分配方案总数为28+6=34；故选：D.例5．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A ､B ､C ､D ､E 五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）A ．45B ．12C ．47D ．38【解析】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有15C 种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有224222C C A 种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由3211C C 种情况，综上：共有22111425322245C C C C C A ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭种情况，而五人抽五个礼物总数为55120A =种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为4531208=.故选：D 例6．为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（）A ．2640B ．1440C ．2160D ．1560【解析】将6人分组有2种情况：2211，3111，所以不同安排方案的总数为2234646422C C A 1560A C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D.例7．为促进援疆教育事业的发展，某省重点高中选派了3名男教师和2名女教师去支援边疆工作，分配到3所学校，每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为______．【解析】①若2位女老师和1名男老师分到一个学校有1333C A =18种情况；②若2位女老师分在一个学校，则3名男教师分为2组，再分到3所学校，有2333C A =18种情况，故两名女教师分到同一所学校的情况种数为181836+=种．故答案为：36．例8．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲､乙､丙､丁4名干部派遣到,,A B C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为___________.【解析】每个贫困县至少分到一人，4名干部分到三个县有211342132236C C C A A =种方案，其中甲､乙2名干部被分到同一个贫困县的方案有336A =种所以甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为3665366P -==，故答案为：56例9．为弘扬学生志愿服务精神，某学校开展了形式多样的志愿者活动．现需安排5名学生，分别到3个地点（敬老院、幼儿园和交警大队）进行服务，要求每个地点至少安排1名学生，则有_______________________种不同的安排方案（用数字作答）．【解析】先将5人分为三组，每组的人数分别为3、1、1或2、2、1，再将三组分配给三个地点，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方案数为2233535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种.故答案为：150.例10．6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有________种分配方案(用数字作答)．【解析】按题目要求可按4、1、1或3、2、1或2、2、2分配，若按4、1、1分配，丙丁必须在4人里，需要从其余剩下的4人里选2人，有24C 种，去掉选中甲乙的1种情况，有(24C －1)种选法，安排去3个学校，共有(24C －1)33A ＝30种；若按3、2、1分配有两类，丙丁为2，甲乙中选1人作1，分配到3个学校有1323C A ，丙丁在3人组中，从剩余4人中取1人，组成3人组，剩余3人取2人组成2人组，剩余1人构成1人组，去掉甲乙构成2人组的情况2种，共有12432C C -种取法，安排去3个学校有(12432C C -)33A 种，两类共有1323C A ＋(12432C C -)33A ＝72种；若按2、2、2分配有2·33A ＝12种，∴共有30＋72＋12＝114种分配方案．下面是挡板法及其应用，仅做了解即可.例11．不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为（）A ．55B ．60C ．91D ．540解析：不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，因此，不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =.故选：C.例12．方程123412x x x x +++=的正整数解共有（）组A ．165B ．120C ．38D ．35解析：如图，将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是1x 、2x 、3x 、4x ，显然满足123412x x x x +++=，故()1234,,,x x x x 是方程123412x x x x +++=的一组解，反之，方程123412x x x x +++=的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，故方程123412x x x x +++=的正整数解的数目为：31111109165321C ⨯⨯==⨯⨯，故选：A.。
排列组合中的分组分配问题完整
五非均分组分配对象确定问题
例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人 有多少种不同的分法？
C61C52C33
非均分组有分配对象要把组数当作元素个数 再作排列。
五非均分组分配对象不固定问题
例7 六本不同的书分给3人，1人1本，1人2本,1人3本 有多少种分法
C
2 10
C
2 8
C
2 6
C
4 4
A
3 3
C
2 10
C
2 8
C
2 6
C
4 4
3 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条 件，各有多少种不同的分法？
（1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本·
排列组合中的分组分配问题
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念 n 个不同元素按照某些条件分配给 k 个不同得对象，称为
分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将 n 个不同 元素按照某些条件分成 k 组，称为分组问题.分组问题有不平 均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和 分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是 不区分的；而后者即使 2 组元素个数相同，但因对象不同， 仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
C61C52C33 A33
练习1
1：12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题是一类常见的组合优化问题，其目标是将一组对象分配到不同的组中，并满足一定的条件或限制。
在实际应用中，这类问题常常涉及到资源分配、任务调度、人员安排等方面。
1. 贪心算法：贪心算法是一种简单而常用的解法，它根据问题的特点每次选择当前最优的解决方案，并逐步构建最终的解。
在分组分配问题中，贪心算法可以从初始状态开始，每次选择满足一定条件的对象，并将其分配到符合要求的组中，直到所有对象都被分配完毕或达到某种终止条件。
2. 动态规划：动态规划是一种使用备忘录或状态转移方程的方法，通过将原问题分解为若干个子问题，并记录子问题的解，最终通过子问题的解构造出原问题的解。
在分组分配问题中，可以使用动态规划求解最优解。
具体方法是定义一个状态转移方程来描述每个子问题的最优解，然后采用自底向上的方式逐步计算出最终解。
3. 回溯算法：回溯算法是一种逐步试探的算法，通过不断尝试所有可能的解，并及时剪枝来找到最优解。
在分组分配问题中，回溯算法可以通过递归的方式遍历所有可能的分组分配方案，并通过剪枝操作来减少搜索空间。
具体方法是定义一个递归函数，在每一步选择一个对象并加入到某个组中，直到所有对象被分配完成或达到某个终止条件。
4. 蚁群算法：蚁群算法是一种模拟蚂蚁觅食行为的启发式算法，通过模拟蚂蚁找到食物的行为，来寻找问题的最优解。
在分组分配问题中，蚁群算法可以通过定义蚂蚁的移动规则、信息素的更新规则等，来模拟蚂蚁在不同组中选择对象的过程，并通过信息素的增强来引导蚂蚁选择更优的解。
高中数学排列组合中的模型探究-----分组分配问题
高中数学排列组合中的模型探究-----分组分配问题分组分配问题是高中数学排列组合学习中的常见问题,是学习重点也是难点，本文就排列组合中具体的分组分配问题进行归类，浅析求解方法。
一、明确分组、分配问题的含义将n个不同元素依据条件分成m组(或是m堆)是分组问题，辨别的关键要点是任意交换一种分组的两个组员，结果是同一种情况，组和组的地位之间没有区别;分组问题有平均分组、部分平均分组和不平均分组三种情况。
将n个不同元素依据条件分给m个不同对象(或是去处)，称为分配问题，分配问题又分为定向分配和不定向分配两种问题；分组问题和分配问题是有区别的，前者在分好组后，任意交换两个组员，结果是同一种情况，后者因为去向不同，交换成员后是算不同的情况，可区分的,对于后者常常先分组后排列。
二、不同元素的分组、分配问题（一）平均分组、分配问题例1 六本不同的书，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）分为三组，每组两本.（2）分给三个人,每人两本.（3）甲两本、乙两本、丙两本.【分析】(1)分组与顺序无关，是组合问题。
分法是=15(种),为什么要除以？我们不妨把六本不同的书设为a,b,c,d,e,f六个号码，由分步乘法计数原理可以找出两种具体的分法为：(a，b) (c，d) (e，f)与(a，b) (e，f) (c，d)，实际这两种分法是同一种分法，只是后面两组出现的先后有区别，但是分好组后最终的结果是同一种结果。
究其原因实际上是在运用分步乘法计数原理的时候加入先后顺序，也就是相当于三个组员间排列了。
因此还应取消三个组员间排列的顺序，即除以三个组员的全排列数，所以最终的分组方法数为=15(种)。
（2）此组题属于分配中的不定向分配问题。
由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。
实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以，即=90(种)，（3）由于分配给三人，每人分2本是一定的,属分配问题中的定向分配问题，由分步乘法计数原理得出：有=90(种)，（二）部分的平均分组、分配问题例2 六本不同的书，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）分为三组，一组四本，另外两组各一本.（2）分给三个人,一人四本、另两人各一本.（3）甲四本、乙一本、丙一本.【分析】（1）是分组问题，分组方法是=15(种)，为什么要除以？跟例题1的一样，其中两组本数都是一本，由分步乘法计数原理的时候这两组有了一先一后挑选的顺序，也就是相当于这两本书在第二次和第三次分到组里去的过程中排列了，所以要除以这两个成员间的排列数，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复,所以最终分法是=15(种)。
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ab
cd
ef
ab
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cd
cd
ab
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cd
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ab
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cd
ef
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……
……
……
ghij ghij
ghij ghij
这A33 种只 能算一种
ghij
ghij
……
…|…
基础探究
一：均分无分配对象的问题
例1：12本不同的书 （1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？ （2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？
C61C52C33 A33
练习1
1：12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？
C132
C
3 9
C36
C
3 3
A
4 4
练习2
2：10本不同的书
（1）按2∶2∶2∶4分成
四堆有多少种不同的
分法？
(1)
（2）按2∶2∶2∶4分给
甲、乙、丙、丁四个
人有多少种不同的分 (2)
法？3人2本1人4本？
C120
(1)
C
142C
84C
4 4
A
3 3
12! 8! 1 5775
4!·8! 4!·4! 3!
(2)
C
122C
120C82
C
6 6
A
3 3
二：均分有分配对象的问题
例2：6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、 丙三个人，有多少种不同的分法？(每人2本)
方法：先分再排法。分成的组数看成元 素的个数·
（1）均分的三组看成是三个元素在三 个位置上作排列
(1)
C
2 6
C
2 4
C
2 2
(2)
C
1 6
C
2 5
C
3 3
(3)
C
1 6
C
2 5
C
3 3
A
3 3
(4)
C
4 6
C
1 2
C
1 1
(5)
A
1 3
C
4 6
C
1 2
C
1 1
练习4：12本不同的书分给甲、乙、丙三人按下列 条件，各有多少 种不同的分法？
（1）一人三本，一人四本，一人五本；
（2）甲三本，乙四本，丙五本；
排列组合中的分组分配问题
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念 n 个不同元素按照某些条件分配给 k 个不同得对象，称为
分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将 n 个不同 元素按照某些条件分成 k 组，称为分组问题.分组问题有不平 均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和 分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是 不区分的；而后者即使 2 组元素个数相同，但因对象不同， 仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
注意：非均分问题无分配对象只要按比例分完再用 乘法原理作积
五非均分组分配对象确定问题
例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人 有多少种不同的分法？
C61C52C33
非均分组有分配对象要把组数当作元素个数 再作排列。
五非均分组分配对象不固定问题
例7 六本不同的书分给3人，1人1本，1人2本,1人3本 有多少种分法
C62
C 42 C22
A
3 3
A
2 2
A
5 5
三：部分均分无分配对象的问题
例4 六本不同的书分成3组一组4本其余各1本有多少种分法 ?甲4本，乙丙各一本？1人4本，1人1本，1人1本？
C64C21C11 A22
四非均分组无分配对象问题
例5 6本不同的书按1∶2∶3分成三堆有多少种 不同的分法？
C61C52C33
(1)
C
2 6
C
2 4
C
2 2
A
3 3
A
3 3
C
2 6
C
2 4
C
2 2
三：部分均分有分配对象的问题
例3 12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、D、 E五个人有多少种不同的分法？
方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数· （2）均分的五组看成是五个元素在五个位置上作 排列
(2)
C
132C
3 9
2 有分配对象和无分配对象 二非均分组问题
1有分配对象和无分配对象
2分配对象确定和不固定
引旧育新
1 把abcd分成平均两组
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
有_____多少种分法？
C
2 4
C
2 2
A
2 2
3
这两个在分组时只能算一个
2平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种 情况，所以分组后要除以Amm，即m!，其中m表 示组数。
部分均匀分组 3. 将十个不同的零件分成四堆，每堆分别有 2个、2个、2个、4个，有多少种不同的分法？ 分析：记十个零件为a、b、c、d、e、f、g、 h、i、j写出一些组来考察
（3）甲两本，乙、丙各五本；
（4）一人两本，另两人各五本·
(1)
C
3 12
C
4 9
C
5 5
A
3 3
(2)
C
3 12
C
4 9
C
5 5
(3)
C
2 12
C
பைடு நூலகம்
5 10
C
5 5
(4)
A
1 3
C
122C
5 10
C
5 5
课堂小结
一平均分组问题
1 平均分成的组，不管它们的顺序如 何，都是一种情况，所以分组后要 除以Amm，即m!，其中m表示组数。
C
2 8
C
2 6
C
4 4
A
3 3
C120
C
2 8
C
2 6
C
4 4
3 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条 件，各有多少种不同的分法？
（1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本·