广东省2019年广州市普通高中毕业班综合测试(二)文科数学试题(解析版)

合集下载

2019年广州二模文科数学试题及答案WORD

高考数学精品复习资料2019.5试卷类型：A20xx 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）20xx ．4 本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 等于A ．2-iB ．2iC ．2-D ．2 2．已知集合{}}{20,1,2,3,0A B x x x ==-=，则集合AB 的子集个数为A ．2B ．4C ．6D ．8 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是图1俯视图侧视图正视图 A．y =B ．21y x =-+C ．cos y x =D ．1y x =+5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．12πB ．6πC ．4πD ．2π7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠，若113132,24k S a a =+=，则正整数k 的值为 A ．9 B ．10 C ．11 D ．128．在△ABC 中，60ABC ︒∠=，1AB =，3BC =，则sin BAC ∠的值为A．14 B．14 C．14 D．149．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为ABC ．13D ． 1610．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若 2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253 表1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．不等式()()120x x +-<的解集为 .12. 已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为 .13．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 . （二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且 12A E EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则 △AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R .(1) 求函数()f x 的最小正周期和值域；（2）若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()12fθ=，求sin 2θ的值.17．（本小题满分12分）某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取n 名学生的数学成绩, 制成表2所示的频率分布表. (1) 求a ，b ，n 的值;(2) 若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2 名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率.H FE DC BA表2 18．（本小题满分14分）如图2，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ，1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =H 是BC 的中点.（1）求证：FH ∥平面BDE ；（2）求证：AB ⊥平面BCF ；（3）求五面体ABCDEF 的体积.图2 19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 2(,n pn q p q =++∈R )，且235,,a a a 成等比数列. （1）求,p q 的值；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x x ax =++，a ∈R .（1）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围；（2）当1a =时，函数()()1f xg x x x =-+在区间[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，求t 的最大值.( 参考数值: 自然对数的底数e ≈2.71828) 21．（本小题满分14分）已知点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上，直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与抛物线E相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线2:1l y =-于点,S T . （1）求a 的值；（2）若ST =1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.20xx 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．()1,2- 12．9 13．4 141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：∵()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. ……………2分 ∵x ∈R ，[]cos 1,14x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ……………3分4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭. ……………4分∴ 函数()f x 的值域为⎡⎣. ……………5分（2）解法1：∵()12fθ=，142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分∴cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………7分 ∴ sin 2cos 22πθθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭……………9分 212cos 4πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭……………11分2124⎛=-⨯ ⎝⎭34=. ……………12分解法2：∵()12f θ=，∴142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分1cos cossin sin442ππθθ⎫-=⎪⎭. ……………7分 ∴1cos sin 2θθ-=. ……………8分两边平方得221cos 2cos sin sin 4θθθθ-+=. ……………10分∴ 3sin 24θ=. ……………12分17．（本小题满分12分）(1) 解：依题意，得5200.05,0.35,a b n n n===，解得，100n =，35a =，0.2b =. ……………3分(2) 解：因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，M O H F E D C B A则第三、四、五组分别抽取306360⨯=名，206260⨯=名，106160⨯=名.…………6分第三组的3名学生记为123,,a a a ，第四组的2名学生记为12,b b ，第五组的1名学生记为1c ，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………8分其中第三组的3名学生123,,a a a 没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………10分故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为310.815-=. ……………12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，连接,OH EO ， ∵H 是BC 的中点，∴OH ∥AB ，112OH AB ==. ……………1分 ∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB . ……………2分 ∵1EF =，∴OH ∥EF ，OH EF =.∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，EO =FH . ……………3分 ∵EO ⊂平面BDE ，FH ⊄平面BDE ，∴FH ∥平面BDE . ……………4分（2）证法1：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，由（1）知，EF ∥MB ，且EF =MB ， ∴四边形EMBF 是平行四边形.∴EM ∥FB ，EM FB =. ……………5分在Rt △BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………6分在△AME中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==.∴AM EM ⊥. ……………7分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥.OH FEDCBA∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………9分证法2：在Rt △BFC 中，H 为BC 的中点，∴112FH BC ==. 在△AEO中，112AE AO AC EO FH =====, ∴222AO EO AE +=.∴AO EO ⊥. ……………5分 ∵FH ∥EO ,∴AO FH ⊥. ……………6分∵,FH BC BC ⊥⊂平面ABCD , AO ⊂平面ABCD , AO BC C =, ∴FH ⊥平面ABCD . ∵AB ⊂平面ABCD ,∴FH ⊥AB . ……………7分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分∵BC ⊂平面BCF , FH ⊂平面BCF , BCFH H =,∴AB ⊥平面BCF . ……………9分（3）解：连接EC ，在Rt △BFC 中，112FH BC ==， ∴1EO FH ==.由（2）知AB ⊥平面BCF ，且EF ∥AB ，∴EF ⊥平面BCF . ……………10分 ∵FH ⊥平面ABCD , EO ∥FH ，∴EO ⊥平面ABCD . ……………11分 ∴四棱锥E ABCD -的体积为113ABCD V EO S =⋅⋅正方形2141233=⨯⨯=. ………12分 ∴三棱锥E BCF -的体积为213BCF V EF S =⋅⋅∆21111323=⨯⨯⨯=. ………13分∴五面体ABCDEF 的体积为1253V V V =+=. ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当1n =时，111a S p q ==++， ……………1分当2n ≥时，1n n n a S S -=- ……………2分 ()()221121n pn q n p n q n p ⎡⎤=++--+-+=-+⎣⎦. ………3分∵{}n a 是等差数列，∴1211p q p ++=⨯-+，得0q =. ……………4分又2353,5,9a p a p a p =+=+=+， ……………5分 ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =，即()()()2539p p p +=++， ……………6分解得1p =-. ……………7分解法2：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. ……………1分 ∵2n S n pn q =++，∴12d =，12da p -=，0q =. ……………4分 ∴2d =，11p a =-，0q =. ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =， ……………5分即()()()2111428a a a +=++.解得10a =. ……………6分 ∴1p =-. ……………7分（2）解法1：由（1）得22n a n =-. ……………8分 ∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①……………10分()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分解法2：由（1）得22n a n =-. ……………8分∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.……………10分由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-，……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-. …………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()12f x x a x'=++. ……………2分 ∵ 函数()f x 在()0,+∞上单调递增， ∴ ()0f x '≥, 即120x a x++≥对()0,x ∈+∞都成立. ……………3分 ∴ 12a x x-≤+对()0,x ∈+∞都成立. ……………4分当0x >时,12xx +≥=当且仅当12x x=, 即2x=时,取等号. ……………5分∴a -≤即a ≥-.∴a 的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分解法2：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()21212x ax f x x a x x++'=++=.……………2分方程2210x ax ++=的判别式28a ∆=-. ……………3分① 当0∆≤,即a -≤≤, 2210x ax ++≥,此时, ()0f x '≥对()0,x ∈+∞都成立,故函数()f x 在定义域()0,+∞上是增函数. ……………4分 ② 当0∆>,即a <-或a >时, 要使函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数, 只需2210x ax ++≥对()0,x ∈+∞都成立.设()221h x x ax =++, 则()010,0,4h a ⎧=>⎪⎨-<⎪⎩得0a >.故a > ……………5分综合①②得a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分（2）解：当1a =时, ()()2ln ln 111f x x x x xg x x x x x x ++=-=-=+++. ()()211l n 1x x g x x +-'=+. ……………7分 ∵ 函数()g x 在[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，∴ 方程()0g x '=在[),t +∞(t ∈N *)上有解,即方程11ln 0x x +-=在[),t +∞(t ∈N *)上有解. ……………8分令()11ln x x x ϕ=+-()0x >, 由于0x >, 则()2110x x xϕ'=--<,∴函数()x ϕ在()0,+∞上单调递减. ……………9分∵()413ln 3ln33ϕ=-=4e 2741 2.5ln 0327>>, ……………10分()514ln 4ln44ϕ=-=5e 256513ln 04256<<, ……………11分 ∴函数()x ϕ的零点()03,4x ∈. ……………12分∵方程()0x ϕ=在[),t +∞(t ∈ N *)上有解, t ∈N *∴3t ≤. ……………13分 ∵t ∈N *，∴t 的最大值为3. ……………14分21．（本小题满分14分）（1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……………1分第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--，故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………6分∵ST =，∴12x x -=. 由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =, 或2k =-, …………… 7分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分（3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=-⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………10分而2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==， ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………12分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………2分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………3分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………5分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………6分 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………7分∵ST =∴()12122k k k k -=∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+，得()225124k k k +=+，解得2k =±. ……………8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. …………… 9分（3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………10分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………11分整理得，()224410x x y k+-++=. ……………12分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分。

广东省广州市2019届高三第二次模拟考试数学(文)试题Word版含答案

2019年5月2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学2019.4本试卷共6页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={x∈N|0<x<6} , B={2, 4, 6, 8} ,则 A∩B=A.{0,1,3,5}B.{0,2,4,6}C. {1,3,5}D.{2,4,6}2．已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是A． B. C． D.3．某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n=A. 96B. 72C. 48D. 364．执行如图所示的程序框图，则输出z的值是A. 21B. 22C. 23D. 245．从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，则所选3人中至少有1名女生的概率为A. B. C. D.6．函数y=的部分图像如图所示，则函数的解+析式为A． B.C. D．7．设等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列等式中一定成立的是A. S n+S2n=S3nB. S22n=S n S3nC. S22n=S n+S2n- S3nD. S2n + S22n=S n (S2n+S3n) 8．已知双曲线拘渐近线方程为5x±3y=0，则此双曲线的离心率为A. B. C. D.9．一个圆锥的体积为，当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为A． B． C． D．10.设a≥b≥c，且1是一元二次方程ax2+ bx+c=0的一个实根，则的取值范围为A．[-2，0] B．C．D．11．在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=I，BC=，则该三棱锥的外接球的表面积为A． B． C． D．12.己知函数与的图像上存在关于x轴对称的点，则实数a 的取值范围为A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，向量，则=14. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为．15.若函数f(x)=x 2 -x+l+ alnx在(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是．16.己知点P在直线x+2y-l=0上，点Q在直线x+2y+3=O E，PQ的中点为M(x0，y0)，且-1≤y0 -x0≤7，则的取值范围是____．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17. （本小题满分12分）△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知。

2019年广州市普通高中毕业班综合测试(二)文科数学

2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1.已知集合A={x∈N|0<x<6} , B={2, 4, 6, 8} ,则A∩B=A.{0,1,3,5}B.{0,2,4,6}C. {1,3,5}D.{2,4,6}2．已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是A ．B. C ．D.3．某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n=A. 96B. 72C. 48D. 364．执行如图所示的程序框图，则输出z的值是A. 21B. 22C. 23D. 245．从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，则所选3人中至少有1名女生的概率为A.B.C.D.6．函数y=的部分图像如图所示，则函数的解析式为A.12sin()66y xπ=+ B12sin()36y xπ=- C12cos()33y xπ=+ D12cos()63y xπ=-7．设等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列等式中一定成立的是A. S n+S2n=S3nB. S22n=S n S3nC. S22n=S n+S2n- S3nD. S2n + S22n=S n (S2n+S3n) 8．已知双曲线拘渐近线方程为5x±3y=0，则此双曲线的离心率为A.B.C.D.9．一个圆锥的体积为，当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为A ．B ．C ．D ．10.设a≥b≥c，且1是一元二次方程ax2+ bx+c=0的一个实根，则的取值范围为A．[-2，0] B ．C ．D ．11．在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=I，BC=，则该三棱锥的外接球的表面积为A ．B ．C ．D ．12.己知函数与的图像上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，向量，则=14. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为．15.若函数f(x)=x2 -x+l+ alnx在(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是．16.己知点P在直线x+2y-l=0上，点Q在直线x+2y+3=O E，PQ的中点为M(x0，y0)，且-1≤y0 -x0≤7，则的取值范围是____．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17. （本小题满分12分）△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c ，已知(1)求的值；(2)若c=2，求△ABC的面积．18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∠APD=90°，且PA=PD，AD=PB．(1)求证：AD⊥PB；(2)求点A到平面PBC的距离．19. （本小题满分12分）科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：根据上表的数据得到如下的散点图．(1)根据上表中的样本数据及其散点图：(i)求;(ii)计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度．(2)若y关于x的线性回归方程为，求的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量．附：参考数据：参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为20. （本小题满分12分）从抛物线y2=36x上任意一点P向x轴作垂线段，垂足为Q，点M 是线段PQ 上的一点，且满足(1)求点M的轨迹C的方程；(2)设直线x=my+1(m∈R)与轨迹c交于A，B两点，T为C上异于A，B的任意一点，直线AT，BT分别与直线x=-1交于D，E两点，以DE为直径的圆是否过x轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由．21. （本小题满分12分）已知函数f(x)=(x+2)lnx+ax2 - 4x+ 7a．(1)若a=，求函数f(x)的所有零点；(2)若a ≥，证明函数f(x)不存在极值．22．[选修4 -4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin3,cos2tytx（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2= 2p cosθ+8．(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B 两点，且求直线l的倾斜角．23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）己知函数f(x) =|2x-l|-a．(1)当a=l时，解不等式f(x)>x+1；(2)若存在实数x，使得f(x)< f(x+1)成立，求实数a的取值范围.2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学试题答案及评分参考一、选择题二、填空题13 14．53 15．1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭16．2,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 三、解答题17．解：（1）因为tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A +=+，所以sin sin sin sinB 2cos cos cos cos cos cos A B A A B A B A B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．………………………1分化简得()2sin cos cos sin sin sin A B A B A B +=+．…………………2分即()2sin sin sin A B A B +=+．……………………………………3分因在ABC ∆中，A B C ++=π，则()()sin sin sin A BC C π+=-=．……………4分从而sin sin 2sin A B C +=．……………………………5分由正弦定理，得2a b c +=．所以=2a bc+．……………………………6分（2）由（1）知2a bc +=，且2c =，所以4a b +=．……………7分因为=3C π，所以()222222cos 22a b ab ca b c C ab ab +--+-==．……………9分即122cos 32ab abπ-=．所以4ab =．……………………………………………10分所以11sin 4sin 223ABC S ab C ∆π==⨯⨯=．所以△ABC 12分18．（1）证明：取AD 的中点O ，连结OP ，OB ，BD ，因为底面ABCD为菱形，60BAD ∠=，所以AD AB BD ==．…………………………………1分因为O 为AD 的中点，所以BO AD ⊥． ……………2分在△PAD 中，PA PD =，O 为AD 的中点，所以PO AD ⊥． ………………………………………3分因为BO PO O =，所以AD ⊥平面POB ．………4分因为PB ⊂平面P O ，所以A D⊥．………………………………………5分（2）解法1：在Rt △ PAD 中，2AD =，所以1PO =．因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，所以BO =．………6分在△PBO 中，1PO =，BO =，2PB BC ==，因为222PO BO PB +=，所以PO BO ⊥．…………………………7分【6-7分段另证：在△APD 中，90APD ∠=，O 为AD 的中点，所以12PO AD AO ==．在△BOP 和△ BOA 中，因为PO AO =，PB AD AB ==，BO BO =，所以△ BOP ≅△ BOA ．所以90BOP BOA ∠=∠=．所以OP OB ⊥．】由（1）有PO AD ⊥，且AD BO O =，AD ⊂平面ABCD ，BO⊂平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ．………………………………………………………8分在△PBC 中，由（1）证得AD PB ⊥，且//BC AD ，所以BC PB⊥．因为2PB BC ==，所以2PBC S ∆=．……………………………………9分在△ABC 中，2AB BC ==，120ABC ∠=，所以1sin 2ABC S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=10分设点A 到平面PBC 的距离为h ，因为A PBC P ABC V V --=，即1133PBC ABC S h S PO ∆=．……………………11分所以122ABC PBC S PO h S ∆===．所以点A 到平面PBC 的距离为2．……………………………12分解法2：因为//AD BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．所以点A 到平面PBC 的距离等于点O 到平面PBC 的距离．……………6分过点O 作OH PB ⊥于点H ．…………………………7分由（1）证得AD ⊥平面POB ，且//AD BC ，所以BC ⊥平面POB ．因为OH ⊂平面POB ，所以BC ⊥OH ．因为PB BC B =，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以OH ⊥平面PBC ．……………………8分在Rt △ PAD 中，2AD =，所以1PO =．因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，所以BO =．…………9分在△PBO 中，1PO =，BO =，2PB BC ==，因为222PO BO PB +=，所以PO BO ⊥．…………………………10分【9-10分段另证：在△APD 中，90APD ∠=，O 为AD 的中点，所以12PO AD AO ==． D CBAPO H O P A B CD在△ BOP 和△ BOA 中，因为PO AO =，PB AD AB ==，BO BO =，所以△ BOP ≅△ BOA ．所以90BOP BOA ∠=∠=．所以OP OB ⊥．】在△PBO 中，根据等面积关系得PB OH PO OB ⨯=⨯．………………11分所以122PO OB OH PB ⨯===．所以点A 到平面PBC的距离为2．…………………………12分19．解：（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（ⅰ）262739414953565860614710x +++++++++==．……………2分（ⅱ）rni ix y nx y-=∑=…3分==…………………………………4分=． (5)分6.56≈，54.18≈，所以0.98r ≈．……………………………………………6分由样本相关系数0.98r ≈，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．………7分（2）因为回归方程为ˆˆ 1.56y bx =+，即ˆ 1.56a =．所以ˆ27 1.56ˆ0.5447y a bx--==≈．【或利用()()()121ˆn iii nii x x y y bx x ==--=-∑∑()1221ni ii nii x y nx yxn x==-=-∑∑837.80.541548=≈】……………10分所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.54 1.56yx =+．将50x =代入线性回归方程得ˆ0.5450 1.5628.56y=⨯+=．…………11分所以根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量为28.56%．…………12分【结论没写28.56%扣1分】20．解：（1）设(),M x y ，()00,P x y ，则点Q 的坐标为()0,0x ．因为2PM MQ =，所以()()000,2,x x y y x x y --=--，…………………………………………1分即00,3.x x y y =⎧⎨=⎩ …………………………………………2分因为点P 在抛物线236y x =上，所以20036y x =，即()2336y x =．…………………………………3分所以点M 的轨迹C 的方程为24y x =．…………………4分（2）解法1：设直线1x my =+与曲线C 的交点坐标为A 211,4y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，由21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩得2440y my --=．由韦达定理得+1y 2y =4m ，1y 2y =4-．……………5分设点200,4y T y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则10220101444AT y y k y y y y -==+-．………………………6分所以直线AT 的方程为2000144y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭．令1x =-，得点D 的坐标为010141,y y y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭．…………………7分同理可得点E 的坐标为020241,y y y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭．…………………………8分如果以DE 为直径的圆过x 轴某一定点(),0N n ，则满足0ND NE ∙=．…………9分因为0101441,1,y y y y ND NE n n y y y y ⎛⎫⎛⎫--∙=--∙-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()2212041y n y -=+．所以()2200200416161++044y my n y my --+=+-．……………………………10分即()2140n +-=，解得1n =或3n =-．………………………11分故以DE 为直径的圆过x 轴上的定点()1,0和()3,0-．………………………12分解法2：直线1x =与曲线C 的交点坐标为()1,2A '，()1,2B '-，若取()0,0T '，则A T ''，B T ''与直线1x =-的交点坐标为()1,2D '--，()1,2E '-，所以以D E ''为直径的圆的方程为()2214x y ++=．该圆与x 轴的交点坐标为()1,0和()3,0-．所以符合题意的定点只能是()11,0N 或()23,0N -．…………………6分设直线1x my =+与曲线C 的交点坐标为A 211,4y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，由21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩得2440y my --=．由韦达定理得+1y 2y =4m ，1y 2y =4-．………………………7分设点200,4y T y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则10220101444AT y y k y y y y -==+-．…………………8分所以直线AT 的方程为2000144y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭．令1x =-，得点D 的坐标为010141,y y y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭．………………9分同理可得点E 的坐标为020241,y y y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭．……………………………10分若点()11,0N 满足要求，则满足110N D N E ∙=．因为0102110102442,2,y y y y N D N E y y y y ⎛⎫⎛⎫--∙=-∙- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()212001220012124164+y y y y y y y y y y y y -++=+++20020041616=4+044y my y my --+=+-…11分所以点()11,0N 满足题意．同理可证点()23,0N -也满足题意．故以DE 为直径的圆过x 轴上的定点()1,0和()3,0-．……………………12分 21．（1）解：当21=a 时，217()(2)ln 422f x x x x x =++-+，函数)(x f 的定义域为),0(+∞，…………………………1分且()2ln 3f x x x x '=++-．…………………………………2分设()2ln 3g x x x x =++-，则()()222221122()1x x x x g x x x x x+-+-'=-+==()0x >．当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，……………3分所以当0x >时，()()10g x g ≥=（当且仅当1=x 时取等号）．……………4分即当0x >时，()0f x '≥（当且仅当1=x 时取等号）．所以函数()f x 在),0(+∞单调递增，至多有一个零点. …………………5分因为(1)0f =，1=x 是函数)(x f 唯一的零点.所以若21=a ，则函数()f x 的所有零点只有1=x ．…………………6分（2）证法1：因为2()(2)ln 47f x x x ax x a =++-+，函数)(x f 的定义域为),0(+∞，且2()ln 24x f x x ax x+'=++-．……………7分当12a ≥时，()2ln 3f x x x x'≥++-，………………………………9分由（1）知032ln ≥-++x xx ．……………………………………10分即当0x >时()0f x '≥，所以()f x 在()0,+∞上单调递增．……………………………11分所以)(x f 不存在极值．……………………………………12分证法2：因为2()(2)ln 47f x x x ax x a =++-+，函数)(x f 的定义域为),0(+∞，且2()ln 24x f x x ax x+'=++-．……………7分设2()ln 24x m x x ax x +=++-，则2221222()2ax x m x a x x x +-'=-+=()0x >．设)0( 22)(2>-+=x x ax x h ，则()m x '与)(x h 同号．当21≥a 时，由2()220h x ax x =+-=，解得10x =<，20x =>．………………8分可知当20x x <<时，()0h x <，即()0m x '<，当2 x x >时，()0h x >，即()0m x '>，所以()f x '在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增．……………9分由（1）知032ln ≥-++x x x ．………………………………………10分则2222222()ln 3(21)(21)0f x x x a x a x x '=++-+-≥-≥．所以2()()0f x f x ''≥≥，即()f x 在定义域上单调递增．………………11分所以)(x f 不存在极值．…………………………………12分22．（1）解法1：因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 3,cos 2t y t x （t 为参数），当=2απ时，直线l 的直角坐标方程为2x =．…………………………1分当2απ≠时，直线l的直角坐标方程为()tan 2y x α=-．……………3分因为222,cos x y x ρρθ=+=，……………………………………………4分因为8cos 22+=θρρ，所以2228x y x +=+．所以C 的直角坐标方程为08222=--+x y x ．…………………………5分解法2：因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 3,cos 2t y t x （t 为参数），则有sin 2sin sin cos ,cos sin cos ,x t y t αααααααα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩ ……………………………2分所以直线l的直角坐标方程为()sin cos 2sin 0x y αααα--= ．…………3分因为222,cos x y x ρρθ=+=，…………………………………………………4分因为8cos 22+=θρρ，所以2228x y x +=+．所以C 的直角坐标方程为08222=--+x y x ．……………………………5分（2）解法1：曲线C 的直角坐标方程为08222=--+x y x ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程整理，得05)c o s 2s i n 32(2=-++t t αα．……………6分因为020)cos 2sin 32(2>++=∆αα，可设该方程的两个根为1t ，2t ，则()122cos t t αα+=-+ ，125t t =-．……………7分所以12AB t t =-===8分整理得)2cos 3αα+=，故2sin 6απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭9分因为0α≤<π，所以63αππ+=或263αππ+=，解得6απ=或2απ=综上所述，直线l 的倾斜角为6π或2π．…………………10分解法2：直线l 与圆C 交于A ，B两点，且AB =故圆心)0,1(C 到直线l 的距离1)22(92=-=d ．……………………………6分 ①当2απ=时，直线l 的直角坐标方程为2=x ，符合题意．…………………7分 ②当0,,22αππ⎡⎫⎛⎫∈π⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭时，直线l 的方程为0tan 23tan =-+-ααy x ．所以1tan 1|tan 230tan |2=+-+-=αααd ，……………………………8分tan α=解得6απ=．………………………………………………9分综上所述，直线l 的倾斜角为6π或2π．…………………………10分23．（1）解：当1a =时，由()f x x >，得2111x x -->+．……………………1分当12x ≥时，2111x x -->+，解得3x >．当12x <时，1211x x -->+，解得13x <-．………………4分综上可知，不等式()1f x x >+的解集为 133x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或．……………………5分（2）解法1：由1()(1)2f x f x <+，得1212122ax a x --<+-．则22121a x x >--+．………………………………………………6分令()22121g x x x =--+，则问题等价于min (())a g x >因为123,,211()61,,22123,,2x x g x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩………………………………9分min 1()22g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．所以实数a 的取值范围为(2,)-+∞．……………………………10分解法2：因为2121(21)(21)x x x x --+≤--+，……………………6分即221212x x -≤--+≤，则21212x x --+≥-．…………………7分所以()2121212212g x x x x x =--++-≥-+-≥-，…………………8分当且仅当12x =时等号成立．…………………………9分所以min ()2g x =-．所以实数a 的取值范围为(2,)-+∞．…………………………10分。

2019年广东省广州市高考数学二模(文科)试题及参考答案

图1俯视图侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2018．4本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 等于A ．2-iB ．2iC ．2-D ．2 2．已知集合{}}{20,1,2,3,0A B x x x ==-=，则集合AB 的子集个数为A ．2B ．4C ．6D ．8 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是 A．y =．21y x =-+ C ．cos y x = D ．1y x =+5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．12πB ．6πC ．4πD ．2π7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠，若113132,24k S a a =+=，则正整数k 的值为 A ．9 B ．10 C ．11 D ．128．在△ABC 中，60ABC ︒∠=，1AB =，3BC =，则sin BAC ∠的值为A．14B．14 C．14 D．149．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为A．3 B．6 C ．13 D ． 1610．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．不等式()()120x x +-<的解集为 .12. 已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为 .13．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R .(1) 求函数()f x 的最小正周期和值域；（2）若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()12f θ=，求sin 2θ的值. 17．（本小题满分12分）某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取n 名学生的数学成绩, 制成表2所示的频率分布表. (1) 求a ，b ，n 的值;(2) 若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2 名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率.H FED C BA表2 18．（本小题满分14分）如图2，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =H 是BC 的中点. （1）求证：FH ∥平面BDE ；（2）求证：AB ⊥平面BCF ；（3）求五面体ABCDEF 的体积.图2 19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 2(,n pn q p q =++∈R )，且235,,a a a 成等比数列. （1）求,p q 的值；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x x ax =++，a ∈R .（1）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围；（2）当1a =时，函数()()1f xg x x x =-+在区间[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，求t 的最大值.( 参考数值: 自然对数的底数e ≈2.71828) 21．（本小题满分14分）已知点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上，直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与抛物线E相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线2:1l y =-于点,S T . （1）求a 的值；（2）若ST =1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．()1,2- 12．9 13．4 141+ 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：∵()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. ……………2分∵x ∈R ，[]cos 1,14x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ……………3分4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭. ……………4分∴ 函数()f x 的值域为⎡⎣. ……………5分（2）解法1：∵()12f θ=，142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分∴cos 44πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………7分 ∴ sin 2cos 22πθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭……………9分212cos 4πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ……………11分2124⎛=-⨯ ⎝⎭34=. ……………12分解法2：∵()12f θ=，142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分1cos cos sin sin 442ππθθ⎫-=⎪⎭. ……………7分∴1cos sin 2θθ-=. ……………8分两边平方得221cos 2cos sin sin 4θθθθ-+=. ……………10分∴ 3sin 24θ=. ……………12分17．（本小题满分12分）M OH F E D CB A (1) 解：依题意，得5200.05,0.35,a b n n n===，解得，100n =，35a =，0.2b =. ……………3分(2) 解：因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，则第三、四、五组分别抽取306360⨯=名，206260⨯=名，106160⨯=名. …………6分第三组的3名学生记为123,,a a a ，第四组的2名学生记为12,b b ，第五组的1名学生记为1c ，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………8分其中第三组的3名学生123,,a a a 没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………10分故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为310.815-=. ……………12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，连接,OH EO ， ∵H 是BC 的中点，∴OH ∥AB ，112OH AB ==. ……………1分 ∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB . ……………2分 ∵1EF =，∴OH ∥EF ，OH EF =.∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，EO =FH . ……………3分∵EO ⊂平面BDE ，FH ⊄平面BDE ， ∴FH ∥平面BDE . ……………4分（2）证法1：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，由（1）知，EF ∥MB ，且EF =MB ， ∴四边形EMBF 是平行四边形.∴EM ∥FB ，EM FB =. ……………5分在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………6分在△AME中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==.∴AM EM ⊥. ……………7分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………9分证法2：在Rt △BFC 中，H 为BC 的中点，∴112FH BC ==.在△AEO中，112AE AO AC EO FH =====,∴222AO EO AE +=.∴AO EO ⊥. ……………5分 ∵FH ∥EO ,∴AO FH ⊥. ……………6分OHFE D C B A ∵,FH BC BC ⊥⊂平面ABCD , AO ⊂平面ABCD , AO BC C =,∴FH ⊥平面ABCD .∵AB ⊂平面ABCD ,∴FH ⊥AB . ……………7分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分∵BC ⊂平面BCF , FH ⊂平面BCF , BC FH H =,∴AB ⊥平面BCF . ……………9分（3）解：连接EC ，在Rt△BFC 中，112FH BC ==， ∴1EO FH ==.由（2）知AB ⊥平面BCF ，且EF ∥AB ，∴EF ⊥平面BCF . ……………10分 ∵FH ⊥平面ABCD , EO ∥FH，∴EO ⊥平面ABCD . ……………11分 ∴四棱锥E ABCD -的体积为113ABCD V EO S =⋅⋅正方形2141233=⨯⨯=. ………12分 ∴三棱锥E BCF -的体积为213BCF V EF S =⋅⋅∆21111323=⨯⨯⨯=. ………13分∴五面体ABCDEF 的体积为1253V V V =+=. ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当1n =时，111a S p q ==++， ……………1分当2n ≥时，1n n n a S S -=- ……………2分 ()()221121n pn q n p n q n p ⎡⎤=++--+-+=-+⎣⎦. ………3分∵{}n a 是等差数列，∴1211p q p ++=⨯-+，得0q =. ……………4分又2353,5,9a p a p a p =+=+=+， ……………5分 ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =，即()()()2539p p p +=++， ……………6分解得1p =-. ……………7分解法2：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. ……………1分 ∵2n S n pn q =++，∴12d =，12da p -=，0q =. ……………4分∴2d =，11p a =-，0q =. ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =， ……………5分即()()()2111428a a a +=++.解得10a =. ……………6分 ∴1p =-. ……………7分（2）解法1：由（1）得22n a n =-. ……………8分 ∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①……………10分()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分解法2：由（1）得22n a n =-. ……………8分∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.……………10分由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. …………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()12f x x a x'=++. ……………2分 ∵ 函数()f x 在()0,+∞上单调递增， ∴ ()0f x '≥, 即120x a x++≥对()0,x ∈+∞都成立. ……………3分 ∴ 12a x x -≤+对()0,x ∈+∞都成立. ……………4分当0x >时, 12xx +≥=当且仅当12x x=,即2x =时,取等号.……………5分∴a -≤即a ≥-.∴a 的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分解法2：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()21212x ax f x x a x x++'=++=.……………2分方程2210x ax ++=的判别式28a ∆=-.……………3分① 当0∆≤, 即a -≤≤, 2210x ax ++≥,此时, ()0f x '≥对(0,x ∈+∞都成立,故函数()f x 在定义域()0,+∞上是增函数. ……………4分 ②当0∆>, 即a <-或a >时, 要使函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数, 只需2210x ax ++≥对()0,x ∈+∞都成立.设()221h x x ax =++, 则()010,0,4h a ⎧=>⎪⎨-<⎪⎩得0a >.故a >. ……………5分综合①②得a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分（2）解：当1a =时, ()()2ln ln 111f x x x x xg x x x x x x ++=-=-=+++. ()()211ln 1x x g x x +-'=+. ……………7分 ∵ 函数()g x 在[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，∴ 方程()0g x '=在[),t +∞(t ∈N *)上有解,即方程11ln 0x x +-=在[),t +∞(t ∈N *)上有解. ……………8分令()11ln x x x ϕ=+-()0x >, 由于0x >, 则()2110x x xϕ'=--<,∴函数()x ϕ在()0,+∞上单调递减. ……………9分∵()413ln 3ln33ϕ=-=4e 2741 2.5ln 0327>>, ……………10分 ()514ln 4ln44ϕ=-=5e 256513ln 04256<<, ……………11分 ∴函数()x ϕ的零点()03,4x ∈. ……………12分∵方程()0x ϕ=在[),t +∞(t ∈ N *)上有解, t ∈N *∴3t ≤. ……………13分∵t ∈N *，∴t 的最大值为3. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……………1分第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,2422k x k ±==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--，故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………6分∵ST =，∴12x x -=.由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =, 或2k =-, …………… 7分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分（3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………10分而2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x kkk+-+-==， ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………12分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………2分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-.∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………3分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………5分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………6分 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………7分∵ST = ∴()12122k k k k -=.∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+，得()225124k k k +=+，解得2k =±. ……………8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. …………… 9分（3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………10分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………11分整理得，()224410x x y k+-++=. ……………12分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分。

2019届广州市普通高中毕业班综合测试(二)(文数)及答案

2019届广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）本试卷共5贞，23小题，满分150分*考试用时120分钟。

注意事项：】•答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答趣卡上・用2B 钳笔锂答题卡的相应位管填涂考生号，井将试卷类型（B ）填涂在答題卡的相应位置上口2. 作答选择题时，逸出毎小题答案呱用2B 钳筆在答题比上对应题忖选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后.再选涂其他答案"禅案不能各在试卷上亠3+非选打題必须用至色字迹的钢笔或签丫笔作答，答案必须写任答题卡各题口指定区域内的和应位置上：如需改动*先划掉惊来的答案*然於再写上新答案：不准使用钳笔和涂改液。

不按以上翌求作答无效。

4.暂宅宓须煤证答迦卡的整洁°考试结束后’将试卷和答题左井交回。

一、选择题，本題共12小BL 每小题5分.共60分.衽毎小胚给出的四牛选项中，只有一项是符合題目要求的.L.已知集合J = {XG N|0C X C6}T E = {2.4, 6，純’则A （}B =A. {0-13-5}B. {0^2-4.6}C. {1-3.5}D. {2.46}2.己知复数z-加（3 + i ）-（2*i ）在SI 平面内对应的点衽第三彖限，则实数朋的取值范碉是3. 菜公司生产彳，B. （?三种不同型号的轿车.产量之比依次为2:3:4,为松验该公间的产品质量T 用分层抽样的方法抽取-个容気为斤的样本*若样本中/种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，则"=A+ 96B. 72C. 48D. 36A, (f 】)(2)(2 \C.—J1 3丿U 丿IAR.4. 执行如图所示的程序框图，则输出『的値是*5. 从荣班5苦常生（其中男左3人”女生2人）中任选3人參加学校组织的社会实跋活动，则斫选3人申至少科1名女生的槪率为^y = 2sin （^ + ^）（w>0.1^1 < n ）的部分图像如图所示*则函数曲解析氏为设等比数列也」的前刃项和为则下列等式中一迄成立的是S^=S n S.p已知双曲线亠一—>0上>0）的渐近线方程为5A ±3J -0,则此般曲线的离心率为a' b~6. A. y = 2sin -,t + -166 JU 6丿B. y 二 2sin y = 2 cos D. y - 2 cos 7- G S 2K = S ff + S 2n6吧+鑒=乞（鼻+几）G 23 222 21I). 24\ it —X + —33>fl 7U—X -------冷39.--个圆锥的体积为2*当这个圆锥的侧面积最小时，其母践与底面所成角的止切值为610,R 1 M 一元二次方程ax 2+bx^c^Q 的一令实根*则£的取值范国为a的外接球的农丽玖为12*已知函数/(巧= e r - er + tJ ^g(x) = liix 十丄的图像上存在关于x 轴对称的点t 则实数口的取值范围为A.卜味+«)B. [-1.+OD )u (-00,-1] D ・(-OC,-c)二填空题：本題共4小題.每小85^ 共甜分.13.已如向垦4二(1,一1). "(2,1),向量"2卄旅则忖匸 ___________________14. &莱茵徳纸草书帛是世界上最古老的数学著作乙一、书中有亠道这样的题把100个面包分给5亍人，使每人所得份星成等差数列、J1较大的工份之和的丄是较小的两份之和.7则嚴小一份的量为 ______ ・15.若函数/(x) = ^-x + l + alnx 在(0,*8)上单调递增，则实数。

广东省广州市2019届高三普通高中毕业班综合测试(二)数学试题(文)(解析版)

广东省广州市2019届高三普通高中毕业班综合测试（二）数学试题（文）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合,则=（）A. {0,1,3,5}B. {0,2,4,6}C. {1,3,5}D. {2,4}『答案』D『解析』因为,所以,故选D.2.已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.『答案』B『解析』，若复数在复平面内对应的点在第三象限，则，解得，所以的取值范围是，故选B.3.某公司生产，，三种不同型号的轿车，产量之比依次为，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆，则（）A. 96B. 72C. 48D. 36『答案』B『解析』由题意得选B.4.执行如图所示的程序框图，则输出的值是（）A. 21B. 22C. 23D. 24『答案』B『解析』运行第一次，，，；运行第二次，，，；运行第三次，，；运行第四次，，不满足，停止运行，所以输出的的值是，故选B．5.从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，则所选3人中至少有1名女生的概率为（）A. B. C. D.『答案』A『解析』采用间接法，至少有1名女生的对立事件是没有女生，所以，故选A.6.函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为（）A. B.C. D.『答案』B『解析』由图可知：，所以，，所以，，由图可知，图象过点，所以，所以，所以，因为，令，可得，所以函数解析式为：，故选B.7.设等比数列的前n项和为，则下列等式中一定成立的是（）A. B.C. D.『答案』D『解析』对于选项A，当时，不成立；对于选项B，当时，不成立；对于选项C，当时，不成立；对于选项D，当公比时，成立；当公比时，，，..，所以，故选D.8.已知双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.『答案』B『解析』双曲线的渐近线方程为：，由其渐近线方程为，可得，即，所以，可得，故选B.9.一个圆锥的体积为，当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为（）A. B. C. D.『答案』D『解析』设圆锥的底面半径为，高为，所以圆锥的母线长为，所以圆锥的体积为，所以，因为圆锥的侧面积，设，所以，所以当时，，，此时单调递增，当时，，，此时单调递减，所以当，取得最小值，即圆锥的侧面积取得最小值，所以，所以圆锥的母线与底面所成角的正切值为，故选D.10.设，且1是一元二次方程的一个实根，则的取值范围为（）A. B. C. D.『答案』C『解析』又因为1是一元二次方程的一个实根，所以有，且，所以，所以，所以排除A、B两项，当时，，所以，此时，当时，，此时，当时，，所以，此时，所以，故选C.11.在三棱锥中..，，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.『答案』B『解析』因为，由余弦定理可求得，再由正弦定理可求得的外接圆的半径，因为，所以P在底面上的射影为的外心D，且，设其外接球的半径为，则有，解得，所以其表面积为，故选B.12.已知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.『答案』C『解析』若函数与的图象上存在关于轴对称的点，则方程在上有解，即在上有解，令，则，所以当时，，当时，，所以函数上单调递增，在上单调递减，所以在处取得最大值，所以的值域为，所以的取值范围是，故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，向量，则=__________『答案』.『解析』因为，所以，所以.故填.14.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为___.『答案』『解析』设此等差数列{a n}，公差为d，则（a3+a4+a5）×=a1+a2，即，解得a1=，d=．最小一份为a1，故答案为：．15.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____.『答案』『解析』，由题意得，在上恒成立，即在上恒成立，因为的最大值为，所以的取值范围是，故答案是：.16.己知点P在直线上，点Q在直线，的中点为，且，则的取值范围是____．『答案』.『解析』设，则，两式相加可得,由于的中点为,所以.设，则代入上式可得.因为，所以，解之得.故填.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17.中角，，的对边分别为，，，己如.（1）求的值：（2）若，，求的面积.解：（1）因为，所以．化简得．即．因在中，，则．从而．由正弦定理，得．所以．（2）由（1）知，且，所以．因为，所以．即．所以．所以．所以△的面积为．18.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，且，.（1）求证：：（2）求点到平面的距离.（1）证明：取的中点，连结，，，因为底面为菱形，，所以．因为为的中点，所以．在△中，，为的中点，所以．因为，所以平面．因为平面，所以．（2）解：解法1：在△中，，所以．因为底面是边长为2的菱形，，所以．在△中，，，，因为，所以．『6-7分段另证：在△中，，为的中点，所以．在△和△中，因为，，，所以△△．所以．所以．』由（1）有，且，平面，平面，所以平面．在△中，由（1）证得，且，所以．因为，所以．在△中，，，所以．设点到平面的距离为，因为，即．所以．所以点到平面的距离为．解法2：因为，平面，平面，所以平面．所以点到平面的距离等于点到平面的距离．过点作于点．由（1）证得平面，且，所以平面．因为平面，所以．因为，平面，平面，所以平面．在△中，，所以．因为底面是边长为2的菱形，，所以．在△中，，，，因为，所以．『9-10分段另证：在△中，，为的中点，所以．在△和△中，因为，，，所以△△．所以．所以．』在△中，根据等面积关系得．所以．所以点到平面的距离为．19.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：根据上表的数据得到如下的散点图．(1)根据上表中的样本数据及其散点图： (i )求;(ii )计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度． (2)若y 关于x 的线性回归方程为，求的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量。

广东省2019届天河区普通高中毕业班综合测试(二)文科数学试题(解析版)

广东省2019届天河区普通高中毕业班综合测试（二）文科数学（解析版）一、选择题。

1.若复数是纯虚数，其中m是实数，则（）A. iB.C. 2iD.【答案】A【解析】因为复数是纯虚数，所以，则m=0，所以，则.2.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】通过韦恩图，可知所求集合为，求解出集合，利用集合运算知识求解即可。

【详解】由，即图中阴影部分表示的集合为：又本题正确选项：【点睛】本题关键在于通过韦恩图确定所求集合，属于基础题。

3.设等差数列的前n项和为，若，，则( )A. 63B. 45C. 39D. 27【答案】C【解析】【分析】设等差数列的首项为，公差为d，由题意列方程组求出、d，再计算的值．【详解】设等差数列的首项为，公差为d，由，，得，解得，；．故选：C．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式应用问题，是基础题．4.为保证树苗的质量，林业管理部门在每年3月12日植树节前都对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度单位长度：，其茎叶图如图所示，则下列描述正确的是（）A. 甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐B. 甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐C. 乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐D. 乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识点是茎叶图，由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙两种树苗抽取的样本高度，进而求出两组数据的平均数及方差，然后根据平均数的大小判断哪种树苗的平均高度高，根据方差判断哪种树苗长的整齐．【详解】由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为：甲：19，20，21，23，25，29，31，32，33，37乙：10，10，14，26，27，30，44，46，46，47由已知易得：故：乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐．故选：D．【点睛】茎叶图是新课标下的新增知识，且难度不大，常作为文科考查内容，数据的离散程度与茎叶图形状的关系具体如下：茎叶图中各组数据的越往中间集中，表示数据离散度越小，其标准差越小；茎叶图中各组数据的越往两边离散，表示数据离散度越大，其标准差越大．5.已知抛物线C：的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，M是抛物线C上的点，且轴，若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，则( )A. 2B.C. 4D.【答案】B【解析】【分析】求出直线AM的方程，根据垂径定理列方程得出p的值．【详解】把代入可得，不妨设M在第一象限，则，又，直线AM的方程为，即，原点O到直线AP的距离，以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，，解得．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。

2019广州二模文科数学试题及答案WORD

图1俯视图侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2018．4本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 等于A ．2-iB ．2iC ．2-D ．2 2．已知集合{}}{20,1,2,3,0A B x x x ==-=，则集合AB 的子集个数为A ．2B ．4C ．6D ．8 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤ 4. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是A．y =B ．21y x =-+C ．cos y x =D ．1y x =+5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．12πB ．6πC ．4πD ．2π7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠，若113132,24k S a a =+=，则正整数k 的值为 A ．9 B ．10 C ．11 D ．128．在△ABC 中，60ABC ︒∠=，1AB =，3BC =，则sin BAC ∠的值为A．14B．14 C．14 D．149．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为 AC ．13D ． 1610．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．不等式()()120x x +-<的解集为 .12. 已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为 .13．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R .(1) 求函数()f x 的最小正周期和值域；（2）若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()12f θ=，求sin 2θ的值. 17．（本小题满分12分）某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取n 名学生的数学成绩, 制成表2所示的频率分布表. (1) 求a ，b ，n 的值;(2) 若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2 名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率.H FED C BA表2 18．（本小题满分14分）如图2，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =H 是BC 的中点. （1）求证：FH ∥平面BDE ；（2）求证：AB ⊥平面BCF ；（3）求五面体ABCDEF 的体积.图2 19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 2(,n pn q p q =++∈R )，且235,,a a a 成等比数列.（1）求,p q 的值；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x x ax =++，a ∈R .（1）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围；（2）当1a =时，函数()()1f xg x x x =-+在区间[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，求t 的最大值.( 参考数值: 自然对数的底数e ≈2.71828) 21．（本小题满分14分）已知点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上，直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与抛物线E相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线2:1l y =-于点,S T . （1）求a 的值；（2）若ST =，求直线1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．()1,2- 12．9 13．4 141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：∵()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. ……………2分∵x ∈R ，[]cos 1,14x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ……………3分4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭. ……………4分∴ 函数()f x 的值域为⎡⎣. ……………5分（2）解法1：∵()12f θ=，142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分∴cos 44πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………7分 ∴ sin 2cos 22πθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭……………9分212cos 4πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ……………11分2124⎛=-⨯ ⎝⎭34=. ……………12分解法2：∵()12f θ=，142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分1cos cos sin sin 442ππθθ⎫-=⎪⎭. ……………7分∴1cos sin 2θθ-=. ……………8分两边平方得221cos 2cos sin sin 4θθθθ-+=. ……………10分∴ 3sin 24θ=. ……………12分17．（本小题满分12分）M OH FE D CB (1) 解：依题意，得5200.05,0.35,a b n n n===，解得，100n =，35a =，0.2b =. ……………3分(2) 解：因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，则第三、四、五组分别抽取306360⨯=名，206260⨯=名，106160⨯=名. …………6分第三组的3名学生记为123,,a a a ，第四组的2名学生记为12,b b ，第五组的1名学生记为1c ，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………8分其中第三组的3名学生123,,a a a 没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………10分故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为310.815-=. ……………12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，连接,OH EO ， ∵H 是BC 的中点，∴OH ∥AB ，112OH AB ==. ……………1分 ∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB . ……………2分 ∵1EF =，∴OH ∥EF ，OH EF =.∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，EO =FH . ……………3分∵EO ⊂平面BDE ，FH ⊄平面BDE ， ∴FH ∥平面BDE . ……………4分（2）证法1：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，由（1）知，EF ∥MB ，且EF =MB ， ∴四边形EMBF 是平行四边形.∴EM ∥FB ，EM FB =. ……………5分在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………6分在△AME中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==.∴AM EM ⊥. ……………7分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………9分证法2：在Rt △BFC 中，H 为BC 的中点，∴112FH BC ==.在△AEO中，112AE AO AC EO FH =====,∴222AO EO AE +=.∴AO EO ⊥. ……………5分 ∵FH ∥EO ,∴AO FH ⊥. ……………6分OHFE D C B A ∵,FH BC BC ⊥⊂平面ABCD , AO ⊂平面ABCD , AO BC C =,∴FH ⊥平面ABCD .∵AB ⊂平面ABCD ,∴FH ⊥AB . ……………7分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分∵BC ⊂平面BCF , FH ⊂平面BCF , BC FH H =,∴AB ⊥平面BCF . ……………9分（3）解：连接EC ，在Rt△BFC 中，112FH BC ==， ∴1EO FH ==.由（2）知AB ⊥平面BCF ，且EF ∥AB ，∴EF ⊥平面BCF . ……………10分 ∵FH ⊥平面ABCD , EO ∥FH，∴EO ⊥平面ABCD . ……………11分 ∴四棱锥E ABCD -的体积为113ABCD V EO S =⋅⋅正方形2141233=⨯⨯=. ………12分 ∴三棱锥E BCF -的体积为213BCF V EF S =⋅⋅∆21111323=⨯⨯⨯=. ………13分∴五面体ABCDEF 的体积为1253V V V =+=. ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当1n =时，111a S p q ==++， ……………1分当2n ≥时，1n n n a S S -=- ……………2分 ()()221121n pn q n p n q n p ⎡⎤=++--+-+=-+⎣⎦. ………3分∵{}n a 是等差数列，∴1211p q p ++=⨯-+，得0q =. ……………4分又2353,5,9a p a p a p =+=+=+， ……………5分 ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =，即()()()2539p p p +=++， ……………6分解得1p =-. ……………7分解法2：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. ……………1分 ∵2n S n pn q =++，∴12d =，12da p -=，0q =. ……………4分∴2d =，11p a =-，0q =.∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =， ……………5分即()()()2111428a a a +=++.解得10a =. ……………6分 ∴1p =-. ……………7分（2）解法1：由（1）得22n a n =-. ……………8分 ∵22log log n n a n b +=， ∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①……………10分()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414nn n -=-⋅-()13413n n -⋅-=. ……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分解法2：由（1）得22n a n =-. ……………8分∵22log log n n a n b +=，∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.……………10分由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. …………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()12f x x a x'=++. ……………2分 ∵ 函数()f x 在()0,+∞上单调递增， ∴ ()0f x '≥, 即120x a x++≥对()0,x ∈+∞都成立. ……………3分 ∴ 12a x x-≤+对()0,x∈+∞都成立. ……………4分当0x >时, 12xx +≥=当且仅当12x x =,即x =时,取等号. ……………5分∴a -≤即a ≥-.∴a 的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分解法2：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()21212x ax f x x a x x++'=++=.……………2分方程2210x ax ++=的判别式28a ∆=-.……………3分① 当0∆≤, 即a -≤时, 2210x ax ++≥,此时, ()0f x '≥对(0,x ∈+∞都成立,故函数()f x 在定义域()0,+∞上是增函数. ……………4分②当0∆>, 即a <-或a >时, 要使函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数, 只需2210x ax ++≥对()0,x ∈+∞都成立.设()221h x x ax =++, 则()010,0,4h a ⎧=>⎪⎨-<⎪⎩得0a >.故a >……………5分综合①②得a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分（2）解：当1a =时, ()()2ln ln 111f x x x x xg x x x x x x ++=-=-=+++. ()()211ln 1x x g x x +-'=+. ……………7分 ∵ 函数()g x 在[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，∴ 方程()0g x '=在[),t +∞(t ∈N *)上有解,即方程11ln 0x x +-=在[),t +∞(t ∈N *)上有解. ……………8分令()11ln x x x ϕ=+-()0x >, 由于0x >, 则()2110x x xϕ'=--<,∴函数()x ϕ在()0,+∞上单调递减. ……………9分∵()413ln 3ln33ϕ=-=4e 2741 2.5ln 0327>>, ……………10分 ()514ln 4ln 44ϕ=-=5e 256513ln 04256<<, ……………11分∴函数()x ϕ的零点()03,4x ∈. ……………12分∵方程()0x ϕ=在[),t +∞(t ∈ N *)上有解, t ∈N *∴3t ≤. ……………13分∵t ∈N *，∴t 的最大值为3. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……………1分第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±.∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--，故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………6分∵ST =，∴12x x -=. 由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =, 或2k =-, …………… 7分∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分（3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………10分而2ST =()()()2221212122221614k x x x x x x kkk+-+-==， ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………12分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………2分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-.∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+.∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………3分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………5分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………6分 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………7分∵ST =， ∴()12122k k k k -=.∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+，得()225124k k k +=+，解得2k =±. ……………8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. …………… 9分（3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………10分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………11分整理得，()224410x x y k+-++=. ……………12分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

广东省2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|0＜x＜6}，B={2，4，6，8}，则A∩B=（）A. {0,1，3，5}B. {0,2，4，6}C. {1,3，5}D. {2,4}2.已知复数z=m（3+i）-（2+i）在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是（）A. (−∞,1)B. (−∞,23)C. (23,1) D. (−∞,23)∪(1,+∞)3.某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n=（）A. 96B. 72C. 48D. 364.执行如图所示的程序框图，则输出z的值是（）A. 21B. 22C. 23D. 245.从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，则所选3人中至少有1名女生的概率为（）A. 910B. 710C. 310D. 1106.函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）A. y=2sin(16x+π6) B. y=2sin(13x−π6)C. y=2cos(13x+π3) D. y=2cos(16x−π3)7.设等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列等式中一定成立的是（）A. S n+S2n=S3nB. S2n2=S n S3nC. S2n2=S n+S2n−S3nD. S n2+S2n2=S n(S2n+S3n)8.已知双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为5x±3y=0，则此双曲线的离心率为（）A. 2√63B. √343C. √345D. 439.一个圆锥的体积为π6，当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为（）A. √33B. √22C. √63D. √210.设a≥b≥c，且1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个实根，则ca的取值范围为（）A. [−2,0]B. [−12,0] C. [−2,−12] D. [−1,−12]11.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=1，BC=√3，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A. 8πB. 163π C. 43π D. 32√327π12.己知函数f（x）=e x-ex+a与g（x）=ln x+1x的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（）A. [−e,+∞)B. [−1,+∞)C. (−∞,−1]D. (−∞,−e]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=（1，-1），b=（2，1），向量c⃗=2a⃗+b⃗ ，则|c⃗|=______14.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小一份的量为______．15.若函数f（x）=x2-x+l+a ln x在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是______．16.己知点P在直线x+2y-l=0上，点Q在直线x+2y+3=0，PQ的中点为M（x0，y0），且-1≤y0-x0≤7，则y0x0的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tan A+tan B）=tanAcosB +tanBcosA．（1）求a+bc的值；（2）若c=2，C=π3，求△ABC的面积．18. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =60°，∠APD =90°，且PA =PD ，AD =PB ．（1）求证：AD ⊥PB ；（2）求点A 到平面PBC 的距离．19. 科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如表：x （年龄/岁） 26 27 39 41 49 53 56 58 60 61 y （脂肪含量/%）14.517.821.225.926.329.631.433.535.234.6根据上表的数据得到如下的散点图．（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（i ）求x −；（ii ）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度．（2）若y 关于x 的线性回归方程为，求的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量．附：参考数据：y −=27，∑x i 10i=1y i =13527.8，∑x i 210i=1=23638，∑y i 210i=1=7759.6，√43≈6.56，√2935≈54.18参考公式：相关系数r =∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)√∑(ni=1x i −x −)2√∑(n i=1y i −y −)2=∑x i n i=1y i −nx −y−√∑x i 2n i=1−n(x −)2√∑y i2n i=1−n(y −)2回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2，20. 从抛物线y 2=36x 上任意一点P 向x 轴作垂线段，垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足PM −=2MQ −．（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）设直线x =my +1（m ∈R ）与轨迹c 交于A ，B 两点，T 为C 上异于A ，B 的任意一点，直线AT ，BT 分别与直线x =-1交于D ，E 两点，以DE 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由．21. 已知函数f （x ）=（x +2）ln x +ax 2-4x +7a ．（1）若a =12，求函数f （x ）的所有零点；（2）若a ≥12，证明函数f （x ）不存在极值．22. 在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =2+tcosα，y =√3+tsinα（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2=2p cosθ+8．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|AB |=4√2，求直线l 的倾斜角．23.己知函数f（x）=|2x-l|-a．（1）当a=l时，解不等式f（x）＞x+1；f（x+1）成立，求实数a的取值范围．（2）若存在实数x，使得f（x）＜12答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A={x∈N|0＜x＜6}={1，2，3，4，5}，∴A∩B={2，4}，故选：D．求出集合A，结合集合交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，结合集合交集的定义是解决本题的关键，比较基础．2.【答案】B【解析】解：z=m（3+i）-（2+i）=（3m-2）+（m-1）i，复数对应点的坐标为（3m-2，m-1），若对应点的坐标在第三象限，则得得m＜，即实数m的取值范围是（-∞，），故选：B．根据复数的运算法则先进行化简，结合复数的几何意义求出点的坐标，根据点的象限建立不等式组关系进行求解即可．本题主要考查复数的几何意义的应用，结合复数的运算求出复数以及对应点的坐标，结合点在坐标系中的位置建立不等式关系是解决本题的关键．3.【答案】B【解析】解：设样本中A型号车为x辆，则B型号为（x+8）辆，则=，解得x=16，即A型号车16辆，则=，解得n=72．故选：B．根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，是基础题．4.【答案】A【解析】解：x=1，y=2，则z=x+y=1+2=3，z＜20是，x=2，y=3，z=x+y=2+3=5，z＜20是，x=3，y=5，z=x+y=3+5=8，z＜20是，x=5，y=8，z=x+y=5+8=13，z＜20是，x=8，y=13，z=x+y=8+13=21，z＜20否，输出z=21，故选：A．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．5.【答案】A【解析】解：从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，基本事件总数n==10，所选3人中至少有1名女生包含的基本事件个数m==9，∴所选3人中至少有1名女生的概率为p=．故选：A．基本事件总数n==10，所选3人中至少有1名女生包含的基本事件个数m= =9，由此能求出所选3人中至少有1名女生的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】B【解析】解：由图象可知，得函数的周期T=4×（3.5π-2π）=6π，∴T=6π．则ω===．∴函数解析式为f（x）=2sin（x+φ）．由f（2π）=2，得2sin（φ+）=2，∴可得：φ+=2kπ+，k∈Z，可得：φ=2kπ-，k∈Z，又|φ|＜π，∴当k=0时，φ=-．则f（x）的解析式是：f（x）=2sin（x-）．故选：B．由图象得到函数的周期T，然后求出ω，再由f（2π）=2求φ的值，则解析式可求．本题考查了由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，正弦函数的图象和性质，解决此类问题的方法是先由图象看出振幅和周期，由周期求出ω，然后利用五点作图的某一点求φ，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：等比数列{a n}的前n项和为S n，在A中，等比数列{2n}中，S n==2n+1-2，S2n==22n-2，=23n-2，S n+S2n≠S3n，故A错误；在B中，等比数列{2n}中，S n==2n+1-2，S2n==22n-2，=23n-2，S22n=S n S3n，故B错误；在C中，等比数列{2n}中，S n==2n+1-2，S2n==22n-2，=23n-2，S22n=S n+S2n-S3n，故C错误．在D中，∵S2n+S22n=+=（2+2q n+q2n），S n（S2n+S3n）=[+]=（2+2q n+q2n），∴S2n+S22n=S n（S2n+S3n）．故选：D．举出反例能说明A，B，C都错误，利用等比数列前n项和公式直接证明D正确．本题考查命题真假的判断，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】B【解析】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为5x±3y=0，可得，可得：，即，∵e=，所以e=．故选：B．利用双曲线的渐近线方程，得到ab的关系式，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．9.【答案】D【解析】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，则母线长为l=，则V==，∴r2h=，即h=，∴S侧=πrl=πr=π，∵r4+=r4++≥3=，当且仅当r4=即r2=时取等号，此时，h==1．∴母线与底面所成角的真切值为==．故选：D．根据体积得出底面半径r和高h的关系，根据基本不等式得出侧面积最小的条件，计算半径和高即可得出答案．本题考查了圆锥的结构特征，侧面积与体积计算，考查基本不等式的应用，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：∵1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个实根，∴a+b+c=0，得b=-a-c，∴a≥b≥c，即a≥-a-c≥c，即得，若a＞0，则不等式等价为，即得-2≤≤-，若a＜0，则不等式等价为，即，此时不等式无解，综上的取值范围为-2≤≤-，故选：C．利用1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个实根，得到a+b+c=0，得b=-a-c，利用条件不等式进行求解即可．本题主要考查不等式的应用，结合根与方程的关系得到b=-a-c，然后代入不等式进行求解是解决本题的关键．11.【答案】B【解析】解：如图，由PA=PB=PC=2，过P作PG⊥平面ABC，垂足为G，则G为三角形ABC的外心，在△ABC中，由AB=AC=1，BC=，可得∠BAC=120°，则由正弦定理可得：=2AG，即AG=1．∴PG==．取PA中点H，作HO⊥PA交PG于O，则O为该三棱锥外接球的球心．由△PHO∽△PGA，可得，则PO==．即该棱锥外接球半径为．∴该三棱锥外接球的表面积为，故选：B．由题意画出图形，结合已知求出底面三角形外接圆的圆心，进一步找出三棱锥外接球的球心，由三角形相似求得外接球的半径，则答案可求．本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查多面体外接球体积的求法，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】C【解析】解：g（x）=lnx+的定义域为（0，+∞），则g（x）关于x对称的曲线为-y=lnx+，即y=-lnx-，则条件等价为f（x）=e x-ex+a=-lnx-，在（0，+∞）上有解，得a=-lnx--e x+ex，设h（x）=-lnx--e x+ex，则函数的导数h′（x）=-+-e x+e=-（e x-e），当x=1时，h′（x）=0，当x＞1时，h′（x）=-（e x-e）＜0，此时函数为增函数，当0＜x＜1时，h′（x）=-（e x-e）＞0，此时函数f（x）为减函数，即当x=1时，函数h（x）=-lnx--e x+ex取得极大值同时也是最大值，最大值为h（1）=-ln1-1-e+e=-1，作出h（x）=-lnx--e x+ex的图象如图：即要使a=h（x）在（0，+∞）上有解，则a≤-1，即实数a的取值范围是（-∞，-1]，故选：C．先求出g（x）关于x轴对称的函数图象，则条件等价为f（x）=e x-ex+a=-lnx-，在（0，+∞）上有解，利用参数分离法进行转化，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，根据对称性求出关于x对称的函数，利用函数与方程之间的关系转化为图象交点问题，利用参数分离法利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．13.【答案】√17【解析】解：；∴．故答案为：．可求出向量的坐标，从而得出的值．考查向量坐标的加法和数乘运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法．14.【答案】53【解析】解：设等差数列{a n}的公差是d＞0，首项是a1，由题意得，，则，解得，所以a1=，所以最小的一份为，故答案为：．由题意设等差数列{a n}的公差是d＞0，首项是a1，根据等差数列的前n项和公式、通项公式列出方程组，求出公差d和首项a1，即可得到答案．本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，以及方程思想，是数列在实际生活中的应用，属于基础题．15.【答案】[1，+∞）8【解析】解：∵函数f（x）=x2-x+l+alnx在（0，+∞）上单调递增∴f′（x）=2x-1+≥0在（0，+∞）上恒成立，∴a≥x-2x2在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=x-2x2，x＞0根据二次函数的性质可知，当x=时，g（x）取得最大值∴故答案为：[）由函数f（x）=x2-x+l+alnx在（0，+∞）上单调递增可知f′（x）=2x-1+≥0在（0，+∞）上恒成立，结合恒成立与最值的相互转化可求本题考查了导数与函数单调性的关系，函数恒成立问题，属于中档题．16.【答案】（-∞，-2]∪[-2，0]∪（0，+∞）5【解析】解：∵直线x+2y-1=0与x+2y+3=0平行，∴点M的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线，其方程为x+2y+1=0，即点M（x0，y0）满足x0+2y0+1=0，而满足不等式-1≤y0-x0≤7，如图，联立，解得A（，），联立，解得B（-5，2），的几何意义为线段AB上的点与原点连线的斜率，∵k AO=-2，，∴的取值范围是（-∞，-2]∪[-]∪（0，+∞）．故答案为：（-∞，-2]∪[-]∪（0，+∞）．根据直线平行的性质求出M的轨迹方程，结合直线斜率的几何意义进行求解即可．本题考查轨迹方程的求法，考查简单线性规划知识的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（1）因为2（tan A+tan B）=tanAcosB +tanBcosA，所以2（sinAcosA +sinBcosB）=sinAcosAcosB+sinBcosAcosB．………………………………………………（1分）化简得：2（sin A cos B+cos A sin B）=sin A+sin B．………………………………………………（2分）即2sin（A+B）=sin A+sin B．………………………………………………………………………（3分）因在△ABC中，A+B+C=π，则sin（A+B）=sin（π-C）=sin C．……………………………（4分）从而sin A+sin B=2sin C．……………………………………………………………………………（5分）由正弦定理，得a+b=2c．所以a+b c=2．……………………………………………………………………………………………（6分）（2）由（1）知c =a+b 2，且c =2，所以a +b =4．……………………………………………………（7分）因为C =π3，所以cos C =a 2+b 2−c 22ab=(a+b)2−2ab−c 22ab．……………………………………（9分）即cos π3=12−2ab2ab．所以ab =4．……………………………………………………………………………………………（10分）所以S △ABC =12ab sin C =12×4×sin π3=√3．所以△ABC 的面积为√3．……………………………………………………………………………（12分）【解析】（1）由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得2sin （A+B ）=sinA+sinB ，又结合三角形内角和定理，正弦定理得2c=a+b 即可得解；（2）由（1）知可求a+b=4．由余弦定理可得ab=4，利用三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】（1）证明：取AD 的中点O ，连结OP ，OB ，BD ，因为底面ABCD 为菱形，∠BAD =60°，所以AD =AB =BD ．因为O 为AD 的中点，所以BO ⊥AD ．在△PAD 中，PA =PD ，O 为AD 的中点，所以PO ⊥AD ．因为BO ∩OP =O ，所以AD ⊥平面POB ．因为PB ⊂平面POB ，所以AD ⊥PB ．（2）在Rt △PAD 中，AD =2，所以PO =1．因为底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =60°，所以OB =√3．在△PBO 中，PO =1，OB =√3，PB =BC =2，因为PO 2+OB 2=PB 2，所以PO ⊥OB ．由（1）有PO ⊥AD ，且AD ∩OB =O ，AD ⊂平面ABCD ，OB ⊂平面ABCD ，所以OP ⊥平面ABCD ．在△PBC 中，由（1）证得AD ⊥PB ，且BC ∥AD ，所以BC ⊥PB ．因为PB =BC =2，所以S △PBC =2．在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°，所以S △ABC =12×AB ×BC ×sin∠ABC =√3．设点A 到平面PBC 的距离为h ，因为V A -PBC =V P -ABC ，即13S △PBC •h =13S △ABC •PO ．所以h =S △ABC ⋅PO S △PBC =√32．所以点A 到平面PBC 的距离为√32．【解析】（1）取AD 的中点O ，连结OP ，OB ，BD ，证明AD ⊥平面POB 得出AD ⊥PB ；（2）根据V A-PBC =V P-ABC 计算点A 到平面PBC 的距离．本题考查了线面垂直的判定与性质，考查空间距离的计算，属于中档题． 19.【答案】解：（1）根据上表中的样本数据及其散点图知，（ⅰ）x −=26+27+39+41+49+53+56+58+60+6110=47；………………………………（2分）（ⅱ）回归系数r =∑x i n i=1y i −nx −y−√∑x i 2ni=1−n(x −)2√∑y i2n i=1−n(y −)2=13527.8−10×47×27√23638−10×472√7759.6−10×272…………（3分）=13527.8−12690√23638−22090√7759.6−7290=837.8√1548×√469.6………………………………（4分）=83786√43×4√2935；……………………………（5分）因为√43≈6.56，√2935≈54.18，所以r ≈0.98；…………………………………（6分）由样本相关系数r ≈0.98，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强；……………………（7分）（2）因为回归方程为，即，所以；【或利用=∑x i n i=1y i −nx −y −∑x i 2n i=1−n(x −)2=837.81548≈0.54】……………………………（10分）所以y 关于x 的线性回归方程为，将x =50代入线性回归方程得；………………………………（11分）所以根据回归方程预测年龄为50岁时人的脂肪含量为28.56%．…………………………………（12分）【解析】（1）根据上表中的样本数据计算（ⅰ）平均数，求出（ⅱ）相关系数r ，由此得出结论；（2）利用回归方程求出回归系数，写出线性回归方程，计算x=50时y 的值即可．本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是中档题．20.【答案】解：（1）设M （x ，y ），P （x 0，y 0），则点Q 的坐标为（x 0，0）．因为足PM −=2MQ −．所以（x -x 0，y -y 0）=2（x 0-x ，-y ）．即{y 0=3y x 0=x．因为点P 在抛物线y 2=36x 上．所以y 02=36x 0，即（3y ）2=36x ．所以点M 的轨迹C 的方程为y 2=4x ．（2）设直线x =my +1与曲线C 的交点坐标为A （y 124，y 1），B （y224，y 2），由{y 2=4x x=my+1得y 2-4my -4=0．由韦达定理得y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4．设点T （y 024，y 0），则k AT =y 1−y 0y 124−y 024=4y0+y 1．所以直线AT 的方程为y -y 0=4y0+y 1（x -y 024）．令x =-1，得点D 的坐标为（-1，y 0y 1−4y 0+y 1）．同理可得点E 的坐标为（-1，y 0y 2−4y0+y 2）．如果以DE 为直径的圆过x 轴某一定点N （n ，0），则满足ND⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0．因为ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1-n ，y 0y 1−4y 0+y 1）•（-1-n ，y 0y 2−4y 0+y 2）=（1+n ）2+y 1y 2y 02−4y 0(y 1+y 2)+16y 02+y 0(y 1+y 2)+y 1y 2．所以（1+n ）2+−4y 02−16my 0+16y 02+4my 0−4=0．即（1+n ）2-4=0，解得n =1或n =-3．故以DE 为直径的圆过x 轴上的定点（1，0）和（-3，0）．【解析】（1）利用已知条件转化为抛物线的定义，即可求点M 的轨迹C 的方程．（2）设直线x=my+1与曲线C 的交点坐标为A （，y 1），B （，y 2），T （，y 0），由韦达定理和直线的斜率，可得直线AT 的方程，即可求出点D ，E 的坐标，根据向量的数量积即可求出．本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21.【答案】（1）解：当a =12时，f （x ）=（x +2）ln x +12x 2-4x +72，函数f （x ）的定义域为（0，+∞），…………………………………………………………………………（1分）且f ′（x ）=ln x +2x +x -3．……………………………………………………………………………（2分）设g （x ）=ln x +2x +x -3，则g ′（x ）=1x -2x 2+1=x 2+x−2x 2=(x+2)(x−1)x 2，（x ＞0）．当0＜x ＜1时，g ′（x ）＜0；当x ＞1时，g ′（x ）＞0，即函数g （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，…………………………………………（3分）所以当x ＞0时，g （x ）≥g （1）=0（当且仅当x =1时取等号）．…………………………………（4分）即当x ＞0时，f ′（x ）≥0（当且仅当x =1时取等号）．所以函数f （x ）在（0，+∞）单调递增，至多有一个零点．………………………………………………（5分）因为f （1）=0，x =1是函数f （x ）唯一的零点．所以若a =12，则函数f （x ）的所有零点只有x =1．…………………………………………………（6分）（2）证法1：因为f （x ）=（x +2）ln x +ax 2-4x +7a ，函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且f ′（x ）=ln x +x+2x+2ax -4．…………………………………（7分）当a ≥12时，f ′（x ）≥ln x +2x +x -3，………………………………………………………………（9分）由（1）知ln x +2x +x -3≥0．………………………………………………………………………（10分）即当x ＞0时，f ′（x ）≥0，所以f （x ）在（0，+∞）上单调递增．……………………………………………………………………（11分）所以f （x ）不存在极值．…………………………………………………………………………………（12分）证法2：因为f （x ）=（x +2）ln x +ax 2-4x +7a ，函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且f ′（x ）=ln x +x+2x+2ax -4…………………………………（7分）设m （x ）=ln x +x+2x+2ax -4，则m ′（x ）=1x -2x 2+2a =2ax 2+x−2x 2，（x ＞0）．设h （x ）=2ax 2+x -2，（x ＞0），则m ′（x ）与h （x ）同号．当a ≥12时，由h （x ）=2ax 2+x -2=0，解得x 1=−1−√1+16a4a＜0，x 2=−1+√1+16a 4a＞0．……………………………………………（8分）可知当0＜x ＜x 2时，h （x ）＜0，即m ′（x ）＜0，当x ＞x 2时，h （x ）＞0，即m ′（x ）＞0，所以f ′（x ）在（0，x 2）上单调递减，在（x 2，+∞）上单调递增．…………………………………………（9分）由（1）知ln x +2x +x -3≥0．………………………………………………………………………（10分）则f ′（x 2）=ln x 2+2x 2+x 2-3+（2a -1）x 2≥（2a -1）x 2≥0．所以f ′（x ）≥f ′（x 2）≥0，即f （x ）在定义域上单调递增．…………………………………………（11分）所以f （x ）不存在极值．…………………………………………………………………………………（12分）【解析】（1）若a=，求出f （x ）的解析式，求出的导数，结合函数零点进行求解即可．（2）求函数的导数，结合函数极值和导数的关系进行证明即可．本题主要考查导数的综合应用，结合函数零点，函数极值与导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度． 22.【答案】解：（1）因为直线l 的参数方程为{x =2+tcosαy =√3+tsinα（t 为参数），当α=π2时，直线l 的直角坐标方程为x =2．…………………………………………………………（1分）当α≠π2时，直线l 的直角坐标方程为y -√3=tanα（x -2）．……………………………………（3分）因为ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，…………………………………………………………………………（4分）因为ρ2=2ρcosθ+8，所以x 2+y 2=2x +8．所以C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x -8=0．………………………………………………………（5分）（2）曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x -8=0，将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程整理，得t 2+（2√3sinα+2cosα）t -5=0．……………（6分）因为△=（2√3sinα+2cosα）2+20＞0，可设该方程的两个根为t 1，t 2，则，t 1+t 2=-（2√3sinα+2cosα），t 1t 2=-5．……………………………………………………（7分）所以|AB |=|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√[−(2√3sinα+2cosα)]2+20=4√2．…………………………………………………………（8分）整理得（√3sinα+cosα）2=3，故2sin （α+π6）=±√3．…………………………………………………………………………………（9分）因为0＜α＜π，所以α+π6=π3或，α+π6=2π3 解得或α=π6或π=π2综上所述，直线l 的倾斜角为π6或π2．…………………………………………………………………（10分）【解析】（1）因为直线l 的参数方程为（t 为参数），当α=时，直线l 的直角坐标方程为x=2，当时，直线l 的直角坐标方程为y-=tanα（x-2，因为ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，因为ρ2=2ρcosθ+8，所以x 2+y 2=2x+8．所以C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x-8=0，（2）利用直线参数方程中参数的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题． 23.【答案】解（1）当a =1时，由f （x ）＞x ，得|2x -1|-1＞x +1．…………………………………………（1分）当x ≥12时，2x -1-1＞x +1，解得x ＞3．当x ＜12时，1-2x -1＞x +1，解得x ＜-13．…………………………………………………………（4分）}．……………………………………综上可知，不等式f（x）＞x+1的解集为 {x|x＞3或x＜-13（5分）（2）因为||2x-1|-|2x+1||≤|（2x-1）-（2x+1）|，………………………………………………（6分）即-2≤|2x-1|-|2x+1|≤2，则|2x-1|-|2x+1|≥-2．……………………………………………（7分）所以g（x）=|2x-1|-|2x+1|+|2x-1|≥-2+|2x-1|≥-2，…………………………………………（8分）时等号成当且仅当x=12立．……………………………………………………………………………（9分）所以g（x）min=-2．所以实数a的取值范围为（-2，+∞）．…………………………………………………………………（10分）【解析】（1）根据绝对值的定义，分2种情况去绝对值解不等式可得；（2）根据绝对值不等式的性质求出最值，再将不等式转化为最值可解得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．第21页，共21页。