人教A版数学必修一高中数学必修一模块综合测试卷(一)
高中数学必修一模块综合测试卷(一)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共60分)
1.已知A ={x |y =x ,x ∈R },B ={y |y =x 2,x ∈R },则A ∩B 等于
A.{x |x ∈R }
B.{y |y ≥0}
C.{(0,0),(1,1)}
D.∅
2.方程x 2-px +6=0的解集为M ,方程x 2+6x -q =0的解集为N ,且M ∩N ={2},那么p +q 等于
A.21
B.8
C.6
D.7
3. 下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是
A.f (x )=3-x
B.f (x )=x 2-3x
C.f (x )=-11+x
D.f (x )=-|x |
4.函数f (x )=x 2+2(a －1)x +2在区间(-∞,4］上递减,则a 的取值范围是
A.［-3,+∞］
B.(-∞,-3)
C.(-∞,5］
D.［3,+∞)
5. 下列四个函数中,与y =x 表示同一函数的是
A.y =(x )2
B.y =33x
C.y =2x
D.y =x
x 2
6. 函数y =1-x +1(x ≥1)的反函数是
A.y =x 2-2x +2(x ＜1)
B.y =x 2-2x +2(x ≥1)
C.y =x 2-2x (x ＜1)
D.y =x 2-2x (x ≥1)
7. 已知函数f (x )=12++mx mx 的定义域是一切实数,则m 的取值范围是
A.0<m ≤4
B.0≤m ≤1
C.m ≥4
D.0≤m ≤4
8.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
(1)如果不超过200元，则不给予优惠；
(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折 优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款是
A.413.7元
B.513.7元
C.546.6元
D.548.7元
9、已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数
()x g x a b =+的图象是
A ．
B ．
C ．
D ． f (x )。
高中数学人教A版必修第一册全册测试卷(含答案)
……○…………学校:_________装…………○…………订绝密★启用前2021-2022学年度XXX 学校测试卷高中数学试卷考试范围：必修第一册；考试时间：120分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，则UA =（ ）A ．∅B ．{}1,3C ．{}2,4,5D ．{}1,2,3,4,52．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则函数()3y f x x =-的零点个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则（ ） A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <bD ．c <b <a4．设全集U =R ，{}220A x x x =-<，{}10B x x =->，则如图阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}1x x ≥B ．{}1x x ≤C ．{}01x x <≤D ．{}12x x ≤<5．直线y a =与函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象的相邻两个交点的距离为2π，若()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，则m 的取值范围是（ ） A ．(0,]4πB ．(0,]2πC ．3(0,]4π D ．3(0,]2π6．设全集U =R ，(2){|ln(2)},{|21}x x A x N y x B x -=∈=-=≤，A B =（ ） A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{}1D ．{}0,17．已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ）A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞8．定义区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -，已知函数||2x y =的定义域为[,]a b ，值域为[1,2]，则区间[,]a b 的长度的最大值与最小值的差为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．12二、多选题9．已知0<a <b <1<c ，则下列不等式不成立的是（ ） A ．ac <bc B ．cb <ca C ．log log a b c c >D ．sin a >sin b10．已知0a >，0b >，且222a b +=，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．1≥ab B ．2a b +≤ C ．lg lg 0a b +≤D ．112a b+≤11．已知(0,)θπ∈，1sin cos 5θθ+=，则下列结论正确的是（ ） A ．,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．3cos 5θ=-C ．3tan 4θ=-D ．7sin cos 5θθ-=12．将函数3tan 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，下列结论正确的是（ ）A ．函数()y g x =的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．函数()y g x =的图象最小正周期为πC ．函数()y g x =的图象在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增…………外……………内…………○…………装D ．函数()y g x =的图象关于直线512x π=对称 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 三、填空题13．22(lg 2)(lg5)lg 4lg5++⋅=________.14．已知命题0:p x ∃∈R ，2000x ax a ++<是假命题，则实数a 的取值范围是________.(用区间表示)15．关于函数()12log 1f x x =-，有以下四个命题：①函数()f x 在区间(),1-∞上是单调增函数；①函数()f x 的图象关于直线1x =对称；①函数()f x 的定义域为()1,+∞；①函数()f x 的值域为R .其中所有正确命题的序号是________.16．设区间[]()1221,x x x x >的长度为21x x -，当函数2x y =的定义域为[,]a b 时，值域为[1,2]，则区间[,]a b 的长度的最大值与最小值的和为____________．四、解答题17．（1）计算：2310227-⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋23log 2－34log 9－525log 9； （2）已知角α的终边经过点M (1，－2)，求()5sin()cos()22cos ππααπα+-+的值． 18．已知函数2()2sin cos (0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值． 19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边与单位圆交于点P .（1）若点P 的横坐标为35，求cos2sin cos θθθ-⋅的值.（2）若将OP 绕点O 逆时针旋转4π，得到角α(即4παθ=+)，若1tan 2α=，求tan θ的值.20．（1）求关于x 的一元二次不等式260x x --<的解集；（2）若一元二次不等式20x bx c ++≥的解集为{}21x x x ≥≤-或，求不等式210cx bx ++≥的解集．21．设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=.（①）求ω；（①）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.22．已知函数()1ln 1kx f x x -=+为奇函数． （1）求实数k 的值；（2）判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若存在(),1,αβ∈+∞，使得函数()f x 在区间[],αβ上的值域为ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，求实数m 的取值范围．参考答案：1．C 【解析】 【分析】根据补集的定义可得结果. 【详解】因为全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，所以根据补集的定义得{}2,4,5UA =，故选C.【点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解． 2．B 【解析】 【分析】根据题意把函数()3y f x x =-的零点问题即()30y f x x =-=的解，转化为函数()y f x =和3y x =的图像交点问题，由题可得()f x 关于1x =对称，由()()[]2()(2)(2)f x f x f x f x f x +=-=-=---=-，可得()f x 的周期为4，根据函数图像，即可得解. 【详解】由()()2f x f x +=-可得()f x 关于1x =对称， 由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()[]2()(2)(2)f x f x f x f x f x +=-=-=---=-， 所以()f x 的周期为4，把函数()3y f x x =-的零点问题即()30y f x x =-=的解，即函数()y f x =和3y x =的图像交点问题，根据()f x 的性质可得如图所得图形，结合3y x =的图像，○…………线…………○…___○…………内…………○…………装…………○由图像可得共有3个交点，故共有3个零点， 故选：B. 3．C 【解析】 【分析】根据函数是偶函数求得参数m ，再结合对数运算求得,,a b c ，即可比较大小. 【详解】①函数f (x )为偶函数，则()()2121x mx mf x f x ---=-=-=-，故m ＝0，①f (x )＝2|x |－1.①a ＝f (log 0.53)＝f (－log 23)＝2log 32－1＝2， b ＝f (log 25)＝2log 52－1＝4， c ＝f (0)＝20－1＝0. ①c <a <b . 故选：C ． 【点睛】本题考查利用函数奇偶性求参数值，涉及对数运算，属基础题. 4．D 【解析】解出集合A 、B ，然后利用图中阴影部分所表示的集合的含义得出结果. 【详解】{}{}22002A x x x x x =-<=<<，{}{}101B x x x x =->=<.图中阴影部分所表示的集合为{x x A ∈且}{}12x B x x ∉=≤<. 故选：D. 【点睛】本题考查韦恩图表示的集合的求解，同时也考查了一元二次不等式的解法，解题的关键就是弄清楚阴影部分所表示的集合的含义，考查运算求解能力，属于基础题. 5．B 【解析】先由已知求得函数的周期，得到ω，再整体代入正切函数的单调区间，求得函数()f x 的单调区间，可得选项. 【详解】因为直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，所以12Tπω==，()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由12242k x k πππππ-<+<+，得322()22k x k k ππππ-<<+∈Z ，所以()f x 在3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，由3(,),22m m ππ⎛⎫-⊆-⎪⎝⎭，得02m π<≤. 故选：B. 【点睛】本题考查正切函数的周期性，单调性，属于基础题. 6．D 【解析】 【分析】由题分别算出集合,A B 包含的范围,再取交集即可. 【详解】由{|ln(2)}A x N y x =∈=-得20,2x x -><,又x ∈N 所以0,1x =. 又(2){|21}x x B x -=≤,其中(2)0212(2)0x x x x -≤=⇒-≤ 所以02x ≤≤,故{}{0,1},|02A B x x ==≤≤ ,所以{}0,1A B =. 故选D. 【点睛】本题主要考查集合的基本运算,注意看清集合是自变量还是因变量的范围. 7．D 【解析】 【分析】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案. 【详解】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可， 令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有1个不同交点，不满足题意； 当0k <时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k > 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞. 故选：D.…装…………○…………订…………○…………线…………○…___姓名：___________班级：___________考号：___________订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题. 8．A 【解析】根据函数||2x y =的图像，可知,a b 的长度最小时，此时函数单调，区间长度是1，区间长度最大时，1,1a b =-=，区间长度是2,从而得出答案. 【详解】若函数2xy =单调，则,a b 的长度最小，若函数单调递增，0,1a b ==，此时区间长度是1，若函数单调递减，……○…………线…_________……○…………内…………○…则1,0a b =-=，此时区间长度是1，所以区间,a b 的长度的最小值是1， 若函数在区间,a b 不单调，值域又是[]1,2，则区间的最大值1,1a b =-=， 此时区间长度是()112--=，则区间,a b 的长度的最大值和最小值的差是211-=.故选：A. 【点睛】本题考查的知识点是区间的概念，函数的定义域和值域，对数函数的单调性，属于基础题型. 9．BD 【解析】 【分析】利用函数的单调性判断即可. 【详解】 对于A ，c y x =在0,1上是增函数，01a b <<<，cc a b ，故不等式成立，故A 不符合题意； 对于B ，1c >，x y c 在0,1上是增函数，01a b <<<，a b c c ，故不等式不成立，故B 符合题意；对于C ，01a b <<<，根据对数函数的性质在同一坐标系下画出log a y x =和log b y x =的图象，可以根据图象判断，当1c >时，log log a b c c >，故不等式成立，故C 不符合题意；………○…………线…………○…：___________…………○…………内…………○…………装…………○对于D ，sin y x =在0,1上是增函数，∴当01a b <<<时，sin sin a b <，故不等式不成立，故D 符合题意. 故选：BD. 【点睛】本题考查指数式、对数式、正弦值的大小判断，利用函数的单调性判断是解决问题的关键，属于基础题. 10．BC 【解析】 【分析】对于AD ，举例判断，对于BC ，利用基本不等式判断 【详解】解：对于A ，令2a b ==222a b +=，则12ab ==<，所以A 错误，对于B ，因为22222()22224a b a b ab ab a b +=++=+≤++=，所以2a b +≤，当且仅当1a b ==时取等号，所以B 正确，对于C ，因为22lg lg lg lg lg102a b a b ab ++=≤==，当且仅当1a b ==时取等号，所以C 正确，对于D ，令a b ==222a b +=，则11 1.4140.81652a b +=≈+>，所以D 错误， 故选：BC 11．ABD 【解析】 【分析】 对1sin cos 5θθ+=两边平方，利用同角关系化简可得2sin cos θθ，在根据θ范围，确定sin 0θ>，cos 0θ<；根据()2sin cos 12sin cos θθθθ-=-，求出sin cos θθ-的值，将其与1sin cos 5θθ+=联立，求出sin ,cos θθ，再根据三角函数同角的基本关系，结合各选项，即可得到结果． 【详解】1sin cos 5θθ+=①，()221sin cos 5θθ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，即221sin 2sin cos cos 25θθθθ++=，242sin cos 25θθ∴=-， (0,)θπ∈，sin 0θ∴>，cos 0θ<，,2πθπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，故A 正确；()249sin cos 12sin cos 25θθθθ∴-=-=， 7sin cos 5θθ∴-=①，故D 正确；①加①得4sin 5θ=，①减①得3cos 5θ=-，故B 正确；4sin 45tan 3cos 35θθθ∴===--，故C 错误.故选：ABD ． 【点睛】关键点睛：本题主要考查了三角函数同角的基本关系的应用，解题的关键是正确利用平方关系进行化简． 12．AC先根据函数图像的变换求得()g x 的解析式，再求其函数性质即可. 【详解】由题可知，()3tan 23tan 2333g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为06g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 正确；因为()g x 的周期为2T π=，故B 错误；因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故可得2,,33622x πππππ⎡⎤⎛⎫-∈-⊆- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，故C 正确；因为正切函数不是轴对称函数，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查函数图像的变换以及正切型函数的性质，属综合基础题. 13．1； 【解析】根据对数的运算法则计算可得. 【详解】解：22(lg 2)(lg5)lg 4lg5++⋅ 222(lg 2)(lg 5)lg 2lg 5=++⋅ 22(lg 2)(lg 5)2lg 2lg 5=++⋅()2lg 2lg5=+ ()2lg 25=⨯⎡⎤⎣⎦21=1=故答案为：1 【点睛】本题考查对数的运算，属于基础题. 14．[0,4]先得到命题x ∀∈R ，20x ax a ++≥是真命题，根据一元二次不等式恒成立，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】因为命题0:p x ∃∈R ，2000x ax a ++<是假命题， 所以命题x ∀∈R ，20x ax a ++≥是真命题， 即不等式20x ax a ++≥对任意x ∈R 恒成立， 所以只需240a a ∆=-≤，解得04a ≤≤， 即实数a 的取值范围是[0,4]. 故答案为：[0,4]. 15．①①① 【解析】 【分析】利用函数的单调性判断①的正误；利用函数的对称性判断①的正误；求出函数的定义域判断①的正误；由函数的值域判断①的正误. 【详解】函数()12log 1f x x =-在区间(1,)+∞上单调递减，在区间(,1)-∞上单调递增，所以①正确；函数()12log 1f x x =-，函数的图象关于直线1x =对称，所以①正确；函数()12log 1f x x =-的定义域是{}|1x x ≠，所以①不正确；函数()12log 1f x x =-，函数的值域是实数集，所以①正确.故答案为：①①①. 【点睛】本题考查对数型函数的定义域、值域与最值和单调区间，考查对基础知识、基本技能的理解和掌握，属于常考题. 16．2 【解析】 【分析】根据函数2x y =的单调性，可求出其值域，再结合其值域为[1,2]，可确定,a b ，从而可求出区间[,]a b 的长度的最大值与最小值. 【详解】因为函数2x y =的定义域为[,]a b ，而函数2x y =在[,]a b 上是单调增函数； 所以函数2x y =的值域为[2,2]a b ，由已知函数2x y =的值域为[1,2]，所以2122a b ⎧=⎨=⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩，所以函数()f x 的定义域为[0,1]，所以区间[0,1]的长度的最大值和最小值均为1， 所以区间[0,1]的长度的最大值与最小值的和为2. 故答案为：2 【点睛】方法点睛：破解新型定义题的方法是：紧扣新定义的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利解决. 17．（1）－716；（2．【解析】 【分析】（1）直接利用分数指数幂的运算和对数的运算求解即可；（2）由三角函数的定义可求得sin α，再对()5sin()cos()22cos ππααπα+-+利用诱导公式化简可得结果 【详解】（1）原式＝6427⎛⎫ ⎪⎝⎭－23＋2log 32－2log 323－55log 3＝34⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋2－3＝－716．（2）①角α的终边经过点M (1，－2)， ①sin α，①()5sin()cos()22cos ππααπα+-+ ＝cos sin cos ααα-＝－sin α【点睛】此题考查对数的运算，考查了三角函数的定义，考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题18．（1）5,,Z 1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）5912π. 【解析】 【分析】（1）先利用三角函数恒等变换公式将函数化简得()2sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由最小正周期为π，可求得1ω=，从而可得函数的解析式，然后由222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈可求出函数的增区间；（2）由三角函数图像变换求出()y g x =的解析式，令()0g x =，求出其零点712x k ππ=+或11(Z)12x k k ππ=+∈，再由()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，可求出b 的最小值【详解】解：（1）)2()2sin cos 2sin 1f x x x x ωωω=-sin 222sin 23x x x πωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭.由最小正周期为π，得1ω=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，整理得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间是5,,Z 1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，可得到2sin 21y x =+的图像，所以()2sin 21g x x =+．令()0g x =，得712x k ππ=+或11(Z)12x k k ππ=+∈， 所以在[0,]π上恰好有两个零点，若()y g x =在[]0,b 上至少有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可， 所以b 的最小值为115941212πππ+=. 19．（1）15（2）13-【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义知，3cos 5θ=-，4sin 5θ=，又2cos22cos 1θθ=-，代入即可得到答案；（2）利用公式()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+⋅计算即可.【详解】（1）P 在单位圆上，且点P 的横坐标为35，则3cos 5θ=-，4sin 5θ=，2cos 2sin cos 2cos 1sin cos θθθθθθ∴-⋅=--⋅93412125555⎛⎫=⨯---⨯= ⎪⎝⎭.（2）由题知4παθ=+，则4πθα=-则1tan tan1142tan tan 1431tan tan 142παπθαπα--⎛⎫=-===- ⎪⎝⎭+⋅+. 【点睛】本题考查二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，涉及到三角函数的定义，是一道容易题.20．（1）{}23x x -<<；（2）112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.【解析】 【分析】（1）直接解不含参数的一元二次不等式即可；（2）由题意可知2和1-是方程20x bx c ++=的两个实数根，结合韦达定理求出,b c 的值，进而解不含参数的一元二次不等式即可. 【详解】解：（1）因为260x x --<，则(3)(2)0x x -+<，即23x -<<， 故260x x --<的解集为{}23x x -<<；（2）不等式的解集为20x bx c ++≥的解集{}21x x x ≥≤-或,∴2和1-是方程20x bx c ++=的两个实数根,即1212bc -+=-⎧⎨-⨯=⎩，解得，1b =-，2c =-,则不等式210cx bx ++≥等价于2210x x --+≥， 即2210x x +-≤，因此()()2110x x -+≤，解得112x ≤≤-, 故所求不等式的解集为112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．21．(①) 2ω=. (①) 32-.【解析】 【详解】试题分析：（①）利用两角和与差的三角函数化简得到()y f x =)3x πω=-由题设知(06f π=及03ω<<可得.（①）由（①）得())3f x x π-从而()))4312g x x x πππ=+-=-. 根据3[,44x ππ∈-得到2[,]1233x πππ-∈-，进一步求最小值.试题解析：（①）因为()sin()sin(62f x x x ππωω=-+-，所以1()cos cos 2f x x x x ωωω=-- 3cos 2x x ωω- 1sin )2x x ωω)3x πω-由题设知(06f π=，所以63k ωπππ-=，k Z ∈.故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<， 所以2ω=.（①）由（①）得())3f x x π-所以()))4312g x x x πππ=+-=-.因为3[,44x ππ∈-， 所以2[,]1233x πππ-∈-，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-. 【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.22．（1）1；（2）增函数，证明见解析；（3）209m << 【解析】（1）根据函数奇函数的定义和条件()()0f x f x +-=，求出k 的值之后再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可；（2）根据函数的单调性和对数函数的单调性即可证明；（3）假设存在,αβ，使得函数()f x 在区间[],αβ上的值域为,22m m ln m ln m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()f x 在()1,+∞上递增，程211022m m mx x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭在()1,+∞上有两个不等实根，可得m的不等式组，解不等式即可得到实数m 的取值范围，即可得到判断存在性. 【详解】（1）因为函数()1ln1kx f x x -=+为奇函数，所以()()0f x f x +-=， 即()()()()22211111ln ln ln ln 011111kx kx kx kx k x x x x x x -------+===+-++-+-对定义域内任意x 恒成立，所以21k =，即1k =±，显然1k ≠-，又当1k =时，1()ln 1x f x x -=+的定义域关于原点对称． 所以1k =为满足题意的值．（2）结论：()f x 在(),1-∞，()1,+∞上均为增函数． 证明：由（1）知()1ln1x f x x -=+，其定义域为()(),11,-∞-+∞，任取12,(1,)x x ∈+∞，不妨设12x x <，则 ()()()()()()11212222111111ln 111ln 1lnx x x x f x f x x x x x --+=+--=++--， 因为()()()()()121212111120x x x x x x -+-+-=-<，又()()12110x x +->， 所以()()()()1212110111x x x x -+<<+-，所以()()()()()()12121211ln 011x x f x f x x x -+-=<+-， 即()()12f x f x <，所以()f x 在()1,+∞上为增函数． 同理，()f x 在(),1-∞上为增函数． （3）由（2）知()f x 在()1,+∞上为增函数，又因为函数()f x 在[],αβ上的值域为11ln ,ln 22m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以0m >，且1ln ln ,121ln ln 12m m m m αααβββ⎧-⎛⎫=- ⎪⎪+⎝⎭⎪⎨-⎛⎫⎪=- ⎪⎪+⎝⎭⎩，所以1,12112m m m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩，即,αβ是方程112x mmx x -=-+的两实根， 问题等价于方程211022m m mx x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭在()1,+∞上有两个不等实根，令()21122m m h x mx x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，对称轴1124x m =- 则()201112414102210m m m m m h m >⎧⎪⎪->⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪∆=---> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪=>⎩， 即0205229m m m m >⎧⎪⎪<<⎨⎪⎪><⎩或，解得209m <<． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用以及函数和方程的转化以及一元二次方程在给定答案第17页，共17页 区间上解的问题，根据函数奇偶性和单调性的定义函数性质是解决本题的关键，考查学生分析问题与解决问题的能力，是难题.。
高中数学 模块1 高考真题(含解析)新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题
模块1高考真题对应学生用书P81剖析解读高考全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷都是由教育部按照普通高考考试大纲统一命题，适用于不同省份的考生．但在难度上会有一些差异，但在试卷结构、命题方向上基本上都是相同的．“稳定”是高考的主旋律．在今年的高考试卷中，试题分布和考核内容没有太大的变动，三角、数列、立体几何、圆锥曲线、函数与导数等都是历年考查的重点．每套试卷都注重了对数学通性通法的考查，淡化特殊技巧，都是运用基本概念分析问题，基本公式运算求解、基本定理推理论证、基本数学思想方法分析和解决问题，这有利于引导中学数学教学回归基础．试卷难度结构合理，由易到难，循序渐进，具有一定的梯度．今年数学试题与去年相比整体难度有所降低．“创新”是高考的生命线．与历年试卷对比，Ⅰ、Ⅱ卷解答题顺序有变，这也体现了对于套路性解题的变革，单纯地通过模仿老师的解题步骤而不用心去理解归纳，是难以拿到高分的．在数据处理能力以及应用意识和创新意识上的考查有所提升，也符合当前社会的大数据处理热潮和青少年创新性的趋势．全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷对必修1集合与函数知识的考查，相对来说比较常规，难度不大，变化小，综合性低，属于基础类必得分试题，主要考查集合的概念及运算，函数的图象及定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期、最值等基本性质．做题时若能熟练应用概念及性质，掌握转化的技巧和方法，基本不会丢分。
若综合其他省市自主命题卷研究，必修1的知识又能与命题、不等式、导数、分段函数等知识综合，强化了数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归的数学思想的运用，提高了试题的难度，所以作为高一学生来说，从必修1就应该打好牢固的基础，培养最基本的能力．下面列出了2018年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及其他自主命题省市试卷必修1所考查的全部试题，请同学们根据所学必修1的知识，测试自己的能力，寻找自己的差距，把握高考的方向，认清命题的趋势！(说明：有些试题带有综合性，是与以后要学习内容的小综合试题，同学们可根据目前所学内容，有选择性地试做！)穿越自测一、选择题1．(2018·全国卷Ⅰ，文1)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}答案A解析根据集合交集中元素的特征，可以求得A∩B＝{0,2}，故选A.2．(2018·全国卷Ⅱ，文2)已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝( ) A．{3} B．{5}C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}答案C解析∵A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，∴A∩B＝{3,5}，故选C.3．(2018·某某卷，1)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁U A＝( )A．∅B．{1,3}C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}答案C解析因为全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，所以根据补集的定义得，∁U A＝{2,4,5}，故选C.4．(2018·全国卷Ⅲ，文1)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{1} C．{1,2} D．{0,1,2}答案C解析由集合A＝{x∈R|x≥1}，所以A∩B＝{1,2}，故选C.5．(2018·某某卷，文1)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1，0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝( )A．{－1,1} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}答案 C解析由并集的定义可得，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}，结合交集的定义可知，(A∪B)∩C ＝{－1,0,1}．故选C.6．(2018·某某卷，理1)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝( )A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}答案 B解析由题意可得，∁R B＝{x|x<1}，结合交集的定义可得，A∩(∁R B)＝{x|0<x<1}．故选B.7．(2018·卷，文1)已知集合A ＝{x ||x |<2}，B ＝{－2,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{－2,0,1,2} D ．{－1,0,1,2} 答案 A解析 A ＝{x ||x |<2}＝{x |－2<x <2}，B ＝{－2,0,1,2}，∴A ∩B ＝{0,1}．故选A. 8．(2018·全国卷Ⅰ，理2)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2} 答案 B解析 解不等式x 2－x －2>0，得x <－1或x >2，所以A ＝{x |x <－1或x >2}，于是∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.9．(2018·全国卷Ⅲ，文7)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln (1－x )B ．y ＝ln (2－x )C ．y ＝ln (1＋x )D ．y ＝ln (2＋x ) 答案 B解析 函数y ＝ln x 过定点(1,0)，(1,0)关于x ＝1对称的点还是(1,0)，只有y ＝ln (2－x )过此点．故B 正确．10．(2018·某某卷，理5)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b 答案 D解析 由题意结合对数函数的性质可知，a ＝log 2e>1，b ＝ln 2＝1log 2e ∈(0,1)，c ＝log1213＝log 23>log 2e ，据此可得，c >a >b .故选D.11．(2018·全国卷Ⅱ，文3)函数f (x )＝e x －e－xx2的图象大致为( )答案 B解析 ∵x ≠0，f (－x )＝e －x－e xx2＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，排除A ，∵f (1)＝e －e －1>0，∴排除D ；∵f (2)＝e 2－e －24＝4e 2－4e 216；f (4)＝e 4－e－416＝e 2·e 2－1e 416，∴f (2)<f (4)，排除C.因此选B.12．(2018·全国卷Ⅰ，理9)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值X 围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 答案 C解析 画出函数f (x )的图象，再画出直线y ＝－x ，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程f (x )＝－x －a 有两个解，也就是函数g (x )有两个零点，此时满足－a ≤1，即a ≥－1，故选C.13．(2018·全国卷Ⅰ，文12)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值X 围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0) 答案 D解析 将函数f (x )的图象画出来，观察图象可知⎩⎪⎨⎪⎧2x <0，2x <x ＋1，解得x <0，所以满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值X 围是(－∞，0)，故选D.14．(2018·全国卷Ⅲ，理12)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b 答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，∴1a ＝log 0.30.2，1b ＝log 0.32，∴1a ＋1b＝log 0.30.4，∴0<1a ＋1b <1，即0<a ＋b ab<1.又∵a >0，b <0，∴ab <0，即ab <a ＋b <0，故选B.二、填空题15．(2018·某某卷，1)已知集合A ＝{0,1,2,8}，B ＝{－1，1,6,8}，那么A ∩B ＝________. 答案 {1,8}解析 由题设和交集的定义可知，A ∩B ＝{1,8}．16．(2018·某某卷，5)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________． 答案 [2，＋∞)解析 要使函数f (x )有意义，则log 2x －1≥0，解得x ≥2，即函数f (x )的定义域为[2，＋∞)．17．(2018·全国卷Ⅰ，文13)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )，若f (3)＝1，则a ＝________. 答案 －7解析 根据题意有f (3)＝log 2(9＋a )＝1，可得9＋a ＝2，所以a ＝－7.18．(2018·全国卷Ⅲ，文16)已知函数f (x )＝ln (1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.答案 －2解析 f (x )＋f (－x )＝ln (1＋x 2－x )＋1＋ln (1＋x 2＋x )＋1＝ln (1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴f (a )＋f (－a )＝2，则f (－a )＝－2.19．(2018·卷，理13)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．答案 y ＝sin x (答案不唯一)解析 令f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，4－x ，x ∈0，2]，则f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不是增函数．又如，令f (x )＝sin x ，则f (0)＝0，f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不是增函数．20．(2018·某某卷，9)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________．答案22解析 由f (x ＋4)＝f (x )得函数f (x )的周期为4，所以f (15)＝f (16－1)＝f (－1)＝－1＋12＝12，因此f [f (15)]＝f 12＝cos π4＝22. 21．(2018·某某卷，15)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ，当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值X 围是________．答案 (1,4) (1,3]∪(4，＋∞)解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －4<0或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x 2－4x ＋3<0，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4)，当λ>4时，f (x )＝x －4>0，此时f (x )＝x 2－4x ＋3＝0，x ＝1,3，即在(－∞，λ)上有两个零点；当λ≤4时，f (x )＝x －4＝0，x ＝4，由f (x )＝x 2－4x ＋3在(－∞，λ)上只能有一个零点，得1<λ≤3.综上，λ的取值X 围为(1,3]∪(4，＋∞)．22．(2018·某某卷，理14)已知a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0.若关于x的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值X 围是________．答案 (4,8)解析 当x ≤0时，方程f (x )＝ax ，即x 2＋2ax ＋a ＝ax ，整理可得，x 2＝－a (x ＋1)，很明显x ＝－1不是方程的实数解，则a ＝－x 2x ＋1，当x >0时，方程f (x )＝ax ，即－x 2＋2ax －2a ＝ax ，整理可得，x 2＝a (x －2)，很明显x ＝2不是方程的实数解，则a ＝x 2x －2，令g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2x ＋1，x ≤0，x 2x －2，x >0，其中－x 2x ＋1＝－x ＋1＋1x ＋1－2，x 2x －2＝x －2＋4x －2＋4，原问题等价于函数g (x )与函数y ＝a 有两个不同的交点，求a 的取值X 围．结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数g (x )的图象，同时绘制函数y ＝a 的图象如图所示，考查临界条件，结合a >0观察可得，实数a 的取值X 围是(4,8)．。
高中数学模块综合检测新人教A版选择性必修第一册
模块综合检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1,1)，b ＝(1，y,1)，c ＝(2，－4，2)，a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A ．2 2B ．10C ．3D ．4【答案】C【解析】∵b ∥c ，∴y ＝－2．∴b ＝(1，－2,1)．∵a ⊥c ，∴a ·c ＝2x ＋1·()－4＋2＝0，∴x ＝1．∴a ＝(1,1,1)．∴a ＋b ＝(2，－1，2)．∴|a ＋b |＝22＋－12＋22＝3．2．如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD →＋12(BC →－BD →)等于( )A ．AD →B ．FA →C ．AF →D ．EF →【答案】C【解析】∵BC →－BD →＝DC →，12(BC →－BD →)＝12DC →＝DF →，∴AD →＋12(BC →－BD →)＝AD →＋DF →＝AF →．3．若直线l 1：mx ＋2y ＋1＝0与直线l 2：x ＋y －2＝0互相垂直，则实数m 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．12 D ．－12【答案】B【解析】直线l 1：y ＝－m 2x －12，直线l 2：y ＝－x ＋2，又∵直线l 1与直线l 2互相垂直，∴－m2×(－1)＝－1，即m ＝－2．4．已知直线l ：x －2y ＋a －1＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝9相交所得弦长为4，则a ＝( )A ．－9B ．1C ．1或－2D ．1或－9【答案】D【解析】由条件得圆的半径为3，圆心坐标为(1，－2)，因为直线l ：x －2y ＋a －1＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝9相交所得弦长为4，所以9－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|1＋4＋a －1|52，所以a 2＋8a －9＝0，解得a ＝1或a ＝－9．5．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1上的一点，半焦距为c ，若|MO |≤c (其中O 为坐标原点)，则y 20的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b 4c 2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 4c 2C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫b 4c 2，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2c 2，＋∞ 【答案】A【解析】因为|MO |≤c ，所以|MO |≤a 2＋b 2，所以x 20＋y 20≤a 2＋b 2，又因为x 20a 2－y 20b2＝1，消去x 2得0≤y 20≤b 4a 2＋b 2，所以0≤y 20≤b 4c2．6．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，直线l ：y ＝24x 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝2c ，则椭圆C 的离心率为( )A ．32B ．34C ．12D ．14【答案】A【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为A (x ，y )，则y ＝24x ，由|AB |＝2c ，可知|OA |＝x 2＋y 2＝c ，即x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫24x 2＝c ，解得x ＝223c ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫223c ，13c ．把点A 代入椭圆方程得到⎝ ⎛⎭⎪⎫223c 2a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13c 2b2＝1，整理得8e 4－18e 2＋9＝0，即(4e 2－3)(2e 2－3)＝0，因为0＜e ＜1，所以可得e ＝32． 7．在空间直角坐标系Oxyz 中，O (0,0,0)，E (22，0,0)，F (0,22，0)，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足|CO →|＝|CB →|＝3，若cos 〈EF →，BC →〉＝16，则OC →·OF →＝( )A ．9B ．7C ．5D ．3【答案】D【解析】设C (x ，y ，z )，B (2，2，0)，OC →＝(x ，y ，z )，BC →＝(x －2，y －2，z )，EF →＝(－22，22，0)，由cos 〈EF →，BC →〉＝EF →·BC→|EF →||BC →|＝－22，22，0·x －2，y －2，z 4×3＝16，整理可得x －y ＝－22，由|CO →|＝|CB →|＝3，得x 2＋y 2＝x －22＋y －22，化简得x ＋y ＝2，以上方程组联立得x ＝24，y ＝324，则OC →·OF →＝(x ，y ，z )·(0,22，0)＝22y ＝3． 8．已知点M ，N 是抛物线y ＝4x 2上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN ＝135°，弦MN 的中点P 到直线l ：y ＝－116的距离为d ，若|MN |2＝λ·d 2，则λ的最小值为( )A ．22B ．1－22C ．1＋22D ．2＋ 2【答案】D【解析】抛物线y ＝4x 2的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，准线为y ＝－116．设|MF |＝a ，|NF |＝b ，由∠MFN ＝135°，得|MN |2＝|MF |2＋|NF |2－2|MF |·|NF |·cos ∠MFN ＝a 2＋b 2＋2ab ．由抛物线的定义，得点M 到准线的距离为|MF |，点N 到准线的距离为|NF |．由梯形的中位线定理，得d ＝12(|MF |＋|NF |)＝12(a ＋b )．由|MN |2＝λ·d 2，得14λ＝a 2＋b 2＋2ab a ＋b 2＝1－2－2aba ＋b 2≥1－2－2ab 2ab2＝1－2－24＝2＋24，得λ≥2＋2，当且仅当a ＝b 时取得最小值2＋2．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线l ：(a 2＋a ＋1)x －y ＋1＝0，其中a ∈R ，下列说法正确的是( ) A ．当a ＝－1时，直线l 与直线x ＋y ＝0垂直 B ．若直线l 与直线x －y ＝0平行，则a ＝0C ．直线l 过定点(0,1)D ．当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC【解析】对于A 项，当a ＝－1时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，显然与x ＋y ＝0垂直，所以正确；对于B 项，若直线l 与直线x －y ＝0平行，可知(a 2＋a ＋1)·(－1)＝1·(－1)，解得a ＝0或a ＝－1，所以不正确；对于C 项，当x ＝0时，有y ＝1，所以直线过定点(0,1)，所以正确；对于D 项，当a ＝0时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，在x 轴、y 轴上的截距分别是－1,1，所以不正确．故选AC ．10．已知F 1，F 2是双曲线C ：y 24－x 22＝1的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F 1F 2为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的是( )A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2xB ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2 C ．点M 的横坐标为± 2 D ．△MF 1F 2的面积为2 3 【答案】ACD【解析】由双曲线方程y 24－x 22＝1知a ＝2，b ＝2，焦点在y 轴，渐近线方程为y ＝±abx ＝±2x ，A 正确；c ＝a 2＋b 2＝6，以F 1F 2为直径的圆的方程是x 2＋y 2＝6，B 错误；由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝6，y ＝2x ，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－2，由对称性知点M 横坐标是±2，C 正确；S △MF 1F 2＝12|F 1F 2||x M |＝12×26×2＝23，D 正确．故选ACD ．11．已知点A 是直线l ：x ＋y －2＝0上一定点，点P ，Q 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，若∠PAQ 的最大值为90°，则点A 的坐标可以是( )A ．(0，2)B ．(1，2－1)C ．(2，0)D ．(2－1,1)【答案】AC【解析】如图所示，原点到直线l 的距离为d ＝212＋12＝1，则直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切．由图可知，当AP ，AQ 均为圆x 2＋y 2＝1的切线时，∠PAQ 取得最大值．连接OP ，OQ ，由于∠PAQ 的最大值为90°，且∠APO ＝∠AQO ＝90°，|OP |＝|OQ |＝1，则四边形APOQ 为正方形，所以|OA |＝2|OP |＝2．设A (t ，2－t )，由两点间的距离公式，得|OA |＝t 2＋2－t2＝2，整理得2t 2－22t ＝0，解得t ＝0或t ＝2，因此，点A 的坐标为(0，2)或(2，0)．故选AC ．12．关于空间向量，以下说法正确的是( )A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋512OB →＋512OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．设{}a ，b ，c 是空间中的一组基底，则{2a ，－b ，c }也是空间的一组基底D ．若a ·b ＜0，则〈a ，b 〉是钝角 【答案】ABC【解析】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B 中，若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC →，因为16＋512＋512＝1，所以P ，A ，B ，C 四点一定共面，所以是正确的；对于C 中，由{}a ，b ，c 是空间中的一组基底，则向量a ，b ，c 不共面，可得向量2a ，－b ，c 也不共面，所以{2a ，－b ，c }也是空间的一组基底，所以是正确的；对于D 中，若a ·b ＜0，又由〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，所以不正确． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在空间直角坐标系Oxyz 中，点M (1，－1,1)关于x 轴的对称点坐标是__________；|OM |＝________．【答案】(1,1，－1)3【解析】在空间直角坐标系Oxyz 中，点M (1，－1,1)关于x 轴的对称点坐标是M ′(1,1，－1)，|OM |＝12＋－12＋12＝3．14．(2021年惠州期末)圆C ：(x －1)2＋y 2＝1关于直线l ：x －y ＋1＝0对称的圆的方程为______________．【答案】(x ＋1)2＋(y －2)2＝1【解析】圆C ：(x －1)2＋y 2＝1圆心C (1,0)，半径r ＝1，设圆C 关于直线l ：x －y ＋1＝0的对称点C ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12－b2＋1＝0，ba －1＝－1，解得a ＝－1，b ＝2，即圆C 的圆心关于直线l 的对称圆心为C ′(－1,2)，而圆关于直线对称得到的圆的半径不变，所以所求的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1．15．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是线段BB 1，B 1C 1的中点，则直线MN 到平面ACD 1的距离为________．【答案】32【解析】如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，A (1,0,0)．∴AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，AC→＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)．设平面ACD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝z ＝1，∴n ＝(1,1,1)．∴点M 到平面ACD 1的距离d ＝|AM →·n ||n |＝32．又∵MN →綉12AD 1→，∴MN ∥平面ACD 1．∴直线MN 到平面ACD 1的距离为32．16．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为该双曲线上一点且2|PF 1|＝3|PF 2|，若∠F 1PF 2＝60°，则该双曲线的离心率为________．【答案】7【解析】2|PF 1|＝3|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故|PF 1|＝6a ，|PF 2|＝4a ．在△PF 1F 2中，利用余弦定理得4c 2＝36a 2＋16a 2－2·6a ·4a cos60°，化简整理得到c ＝7a ，故e ＝7．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在△ABC 中，A (2，－5,3)，AB →＝(4,1,2)，BC →＝(3，－2,5)． (1)求顶点B ，C 的坐标； (2)求CA →·BC →．解：(1)设点O 为坐标原点，OB →＝OA →＋AB →＝(2，－5,3)＋(4,1,2)＝(6，－4,5)， 则B (6，－4,5)．OC →＝OB →＋BC →＝(6，－4,5)＋(3，－2,5)＝(9，－6,10)，则C (9，－6,10)．(2)AC →＝AB →＋BC →＝(7，－1,7)，则CA →＝(－7,1，－7)，又因为BC →＝(3，－2,5)，所以CA →·BC →＝－7×3＋1×(－2)＋(－7)×5＝－58． 18．(12分)菱形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1)．求：(1)AD 边所在直线的方程； (2)对角线BD 所在直线的方程．解：(1)k BC ＝－5－－16－8＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2．∴AD 边所在直线的方程为y －7＝2(x ＋4)，即2x －y ＋15＝0． (2)k AC ＝－5－76－－4＝－65．∵菱形的对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56．∵AC 的中点(1,1)，也是BD 的中点，∴对角线BD 所在直线的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0．19．(12分)已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0． (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． (1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11． 圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4．两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4，|r 1－r 2|＝4－11， ∴|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2． ∴圆C 1和圆C 2相交．(2)解：圆C 1和圆C 2的方程相减， 得4x ＋3y －23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0．圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27．20．(12分)如图，过抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 的直线交C 于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，且x 1x 2＝－4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)R ，Q 是C 上的两动点，R ，Q 的纵坐标之和为1，R ，Q 的垂直平分线交y 轴于点T ，求△MNT 的面积的最小值．解：(1)由题意，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pkx －p 2＝0，由题意知x 1，x 2是方程两根，所以x 1x 2＝－p 2＝－4， 所以p ＝2，抛物线的标准方程为x 2＝4y ．(2)设R (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，T (0，t )，因为点T 在RQ 的垂直平分线上，所以|TR |＝|TQ |， 得x 23＋(y 3－t )2＝x 24＋(y 4－t )2．因为x 23＝4y 3，x 24＝4y 4，所以4y 3＋(y 3－t )2＝4y 4＋(y 4－t )2， 即4(y 3－y 4)＝(y 3＋y 4－2t )(y 4－y 3)， 所以－4＝y 3＋y 4－2t ．又因为y 3＋y 4＝1，所以t ＝52，故T ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52．于是S △MNT ＝12|FT ||x 1－x 2|＝34|x 1－x 2|．由(1)得x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， 所以S △MNT ＝34|x 1－x 2|＝34x 1＋x 22－4x 1x 2＝3416k 2－4×－4＝3k 2＋1≥3． 所以当k ＝0时，S △MNT 有最小值3．21．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 上的点．(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ； (2)二面角P －AC －E 的余弦值为63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．(1)证明：∵PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ， ∴PC ⊥AC ．∵AB ＝2，AD ＝CD ＝1，∴AC ＝BC ＝2． ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ． 又∵BC ∩PC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC ． ∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ．(2)解：如图，以C 为原点，取AB 中点F ，CF →，CD →，CP →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,1,0)，B (1，－1,0)． 设P (0,0，a )(a ＞0)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2，CA →＝(1,1,0)，CP →＝(0,0，a )，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2，设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面PAC 的法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·CA →＝x 1＋y 1＝0，m ·CP →＝az 1＝0，所以可取x 1＝1，y 1＝－1，z 1＝0，即m ＝(1，－1,0)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面EAC 的法向量， 则n ·CA →＝n ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，x 2－y 2＋az 2＝0，取x 2＝a ，y 2＝－a ，z 2＝－2，则n ＝(a ，－a ，－2)，依题意，|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝a a 2＋2＝63，则a ＝2．于是n ＝(2，－2，－2)，PA →＝(1,1，－2)． 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈PA →，n 〉|＝|PA →·n ||PA →||n |＝23，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23． 22．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且经过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，32．(1)求椭圆C 的方程．(2)过点(3，0)作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在定点Q 使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意可得32＝c a ，1a 2＋34b2＝1， 又因为a 2－b 2＝c 2， 解得a 2＝4，b 2＝1．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)存在定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫433，0，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，理由如下： 设直线l 的方程为x ＋my －3＝0，与椭圆C 联立，整理得(4＋m 2)y 2－23my －1＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，定点Q (t,0)(依题意t ≠x 1，t ≠x 2)，则由韦达定理可得，y 1＋y 2＝23m 4＋m 2，y 1y 2＝－14＋m2． 直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于AQ ，BQ 的斜率互为相反数． 所以y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，即y 1(x 2－t )＋y 2(x 1－t )＝0．又因为x 1＋my 1－3＝0，x 2＋my 2－3＝0， 所以y 1(3－my 2－t )＋y 2(3－my 1－t )＝0， 整理得(3－t )(y 1＋y 2)－2my 1y 2＝0． 从而可得(3－t )·23m 4＋m 2－2m ·－14＋m2＝0，11 即2m (4－3t )＝0，所以当t ＝433，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0时，直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立．特别地，当直线l 为x 轴时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0也符合题意． 综上所述，存在x 轴上的定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫433，0，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称．。
综合试卷一-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册
综合试卷一一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|2x﹣y＝0}，B＝{（x，y）|3x+y＝0}，则集合A∩B的子集个数为（）A．0B．1C．2D．42．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则下列结论正确的是（）A．y＝f（x）的定义域为[0，+∞）B．y＝f（x）在其定义域上为减函数C．y＝f（x）是偶函数D．y＝f（x）是奇函数3．（5分）命题p：三角形是等边三角形；命题q：三角形是等腰三角形．则p是q（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）下列结论正确的是（）A．若a＞b＞c＞0，则B．若a＞b＞0，则b2＜ab＜a2C．若a＞b＞0，则ac2＞bc2D．若a＜b＜0，则5．（5分）已知，则（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b6．（5分）设命题p：所有的矩形都是平行四边形，则￢p为（）A．所有的矩形都不是平行四边形B．存在一个平行四边形不是矩形C．存在一个矩形不是平行四边形D．不是矩形的四边形不是平行四边形7．（5分）已知函数，若函数y＝f（x）﹣k有三个零点，则实数k的取值范围为（）A．（﹣2，﹣1]B．[﹣2，﹣1]C．[1，2]D．[1，2）8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，图象恒过（1，1）点，对任意x1＜x2，都有则不等式的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，log23）C．（﹣∞，0）∪（0，log23）D．（0，log23）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）下列结论正确的是（）A．是第三象限角高一年级数学学科假期作业使用日期：寒假编辑：校对：审核：B ．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为C．若角α的终边过点P（﹣3，4），则D．若角α为锐角，则角2α为钝角10．（5分）已知函数其中a＞0且a≠1，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）是奇函数B．函数f（x）在其定义域上有零点C．函数f（x）的图象过定点（0，1）D．当a＞1时，函数f（x）在其定义域上为单调递增函数11．（5分）已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）在[0，π]上有三个零点C ．当时，函数f（x）取得最大值D．为了得到函数f（x ）的图象，只要把函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）12．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣3，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的最小值为﹣4B．函数f（x）在（0，+∞）上单调递增C．函数f（|x|）为偶函数D．若方程f（|x﹣1|）＝a在R上有4个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）＝．14．（5分）已知tan（α﹣）＝2，则tanα＝．15．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x（x﹣1），则当x ＞0时，f（x）＝．16．（5分）已知[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1，[3]＝3．若f（x）＝2x，g（x）＝f（x﹣[x]），则＝，函数g（x）的值域为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①tanα＝4，②7sin2α＝2sinα，③cos这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题．已知，，cos（α+β）＝﹣，，求cosβ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）已知函数f（x）＝x2+2（k﹣1）x+4．（1）若函数f（x）在区间[2，4]上具有单调性，求实数k的取值范围；（2）若f（x）＞0对一切实数x都成立，求实数k的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝log a（3﹣x）+log a（x+3）（a＞0，且a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）当a＝3时，求函数f（x）的最大值．20．（12分）物联网（InternetofThings，缩写：IOT）是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境（家庭、办公、工厂）等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费y1（单位：万元），仓库到车站的距离x（单位：千米，x＞0），其中y1与x+1成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与x成正比；若在距离车站9千米处建仓库，则y1和y2分别为2万元和7.2万元．这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？21．（12分）已知函数f（x）＝a﹣（a∈R）．（1）当a＝时，求函数g（x）＝的定义域；（2）判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．22．（12分）已知函数f（x）＝sin（x﹣）+cos（﹣x）+cos x+a的最大值为1．（1）求常数a的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）求使f（x）＜0成立的实数x的取值集合．期末综合一答案1．解：∵集合A＝{（x，y）|2x﹣y＝0}，B＝{（x，y）|3x+y＝0}，∴集合A∩B＝{（x，y）|}＝{（0，0）}．∴集合A∩B的子集个数为2．故选：C．2．解：设幂函数f（x）＝xα，∵幂函数y＝f（x ）的图象过点，∴，∴，∴y＝f（x）的定义域为（0，+∞），且在其定义域上是减函数，故选项A错误，选项B 正确，∵函数定义域为（0，+∞），不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故选项C，D错误，故选：B．3．解：∵等边三角形一定是等腰三角形，反之不成立，∴p是q的充分不必要条件．故选：A．4．解：A．∵a＞b＞c＞0，∴ab＞0，∴，∴，∴，故A不正确；B．∵a＞b＞0，∴a（a﹣b）＞0，b（a﹣b）＞0，∴a2＞ab＞b2，故B正确；C．由a＞b＞0，取c＝0，则ac2＞bc2，故C错误；D．∵a＜b＜0，∴，故D错误．故选：B．5．解：∵a＝tan＝tan （+）＝＝2+＞2，b＝cos＝cos （+）＝﹣sin＜0，c＝cos （﹣）＝cos ＝＜1，∴a＞c＞b．故选：D．6．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题p：所有的矩形都是平行四边形，则￢p为：存在一个矩形不是平行四边形．故选：C．7．选：A．8．解：由题意可得f（1）＝1，对任意x1＜x2，都有，则f（x1）﹣f（x2）＜x2﹣x1即f（x1）+x1＜f（x2）+x2，令g（x）＝f（x）+x，则可得g（x）在R单调递增，且g（1）＝2，由可得，g[log2（2x﹣1）]＜g（1），故，解可得，0＜x＜log23．故选：D．9．解：对于A ：是第而二象限角，所以A不正确；对于B ：若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为：＝．所以B正确；对于C：若角α的终边过点P（﹣3，4），则，所以C正确；对于D：若角α为锐角，则角2α为钝角，反例α＝1°，则2α＝2°是锐角，所以D不正确；故选：BC．10．解：函数其中a＞0且a≠1，由于f（﹣x）＝﹣f（x），且x∈R，所以函数为奇函数．当x ＝0时，f（0）＝0，所以函数在其定义域上有零点，当当a＞1时，函数中都为整函数，故在其定义域上为单调递增函数．故选：ABD．11．解：T ＝＝＝π，故A正确；令f（x）＝0，2x +＝kπ，当x∈[0，π]时，x ＝，，故B不正确；当x ＝时，f（x ）＝取得最大值，故C正确；为了得到函数f（x ）的图象，只要把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），故D错误；故选：AC．12．解：二次函数f（x）在对称轴x＝1处取得最小值，且最小值f（1）＝﹣4，故选项A正确；二次函数f（x）的对称轴为x＝1，其在（0，+∞）上有增有减，故选项B错误；由f（x）得，f（|x|）＝|x|2﹣2|x|﹣3，显然f（|x|）为偶函数，故选项C正确；令h（x）＝f（|x﹣1|）＝|x﹣1|2﹣2|x﹣1|﹣3，方程f（|x﹣1|）＝a 的零点转化为y＝h（x）与y＝a的交点，作出h（x）图象如右图所示：图象关于x＝1 对称，当y＝h（x）与y＝a有四个交点时，两两分别关于x＝1对称，所以x1+x2+x3+x4＝4，故选项D正确．故选：ACD．13．解：原式＝．故答案为：．14．解：∵tan（α﹣）＝tan（α﹣）＝＝2，则tanα＝﹣3，故答案为：﹣3．15．解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f（x）＝x（x﹣1），设x＞0，﹣x＜0，则：f（﹣x）＝﹣x（﹣x﹣1）＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣x（x+1）．故答案为：﹣x（x+1）．16 .f（x）＝2x，g（x）＝f（x﹣[x]），g （）＝f （﹣[]）＝f （）＝f （）＝2，由g（x）＝2x﹣[x]，[x]∈（x﹣1，x]，x﹣[x]∈[0，1），所以g（x）∈[1，2），故答案为：；[1，2）．四、解答题17．解：方案一：选条件①解法一：因为，所以．由平方关系sin2α+cos2α＝1，解得或因为，所以．因为，由平方关系sin2（α+β）+cos2（α+β）＝1，解得．因为，所以0＜α+β＜π，所以，所以cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝＝．解法二：因为，所以点在角α的终边上，所以，．以下同解法一．方案二：选条件②因为7sin2α＝2sinα，所以14sinαcosα＝2sinα，因为，所以sinα≠0，所以．由平方关系sin2α+cos2α＝1，解得．因为，所以．以下同方案一的解法一．方案三：选条件③因为，所以由平方关系sin2α+cos2α＝1，得．因为，所以．以下同方案一的解法一．①18．解：（1）由函数f（x）＝x2+2（k﹣1）x+4知，函数f（x）图象的对称轴为x＝1﹣k．因为函数f（x）在区间[2，4]上具有单调性，所以1﹣k≤2或1﹣k≥4，解得k≤﹣3或k≥﹣1，所以实数k的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞）．（2）解法一：若f（x）＞0对一切实数x都成立，则△＜0，所以4（k﹣1）2﹣16＜0，化简得k2﹣2k﹣3＜0，解得﹣1＜k＜3，所以实数k的取值范围为（﹣1，3）．解法二：若f（x）＞0对一切实数x都成立，则f（x）min ＞0，所以，化简得k2﹣2k﹣3＜0，解得﹣1＜k＜3，所以实数k的为（﹣1，3）．19．解：（1）要使函数有意义，则有，解得﹣3＜x＜3．所以函数f（x）的定义域为（﹣3，3）．（2）函数f（x）为偶函数．理由如下：因为∀x∈（﹣3，3），都有﹣x∈（﹣3，3），且f（﹣x）＝log a（3+x）+log a（﹣x+3）＝log a（3﹣x）+log a（x+3）＝f（x），所以f（x）为偶函数．（3）当a＝3时，f（x）＝log3（3﹣x）+log3（x+3）＝log3[（3﹣x）（x+3）]＝．令t＝9﹣x2，且x∈（﹣3，3），易知，当x＝0时t＝9﹣x2取得最大值9，此时取得最大值log39＝2，所以函数f（x）的最大值为2．20．解：设，其中x＞0，当x＝9时，，解得k＝20，m＝0.8，所以，y2＝0.8x，设两项费用之和为z（单位：万元）则＝＝7.2当且仅当，即x＝4时，“＝”成立，所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是7.2万元．21．解：（1）当时，函数，要使根式有意义，只需，所以，化简得3x≥3＝31，解得x≥1，所以函数g（x）的定义域为[1，+∞）；（2）函数f（x）在定义域R上为增函数．证明：在R上任取x1，x2，且x1＜x2，则＝，由x1＜x2，可知，则，又因为，，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f （x1）＜f（x2）．所以f（x）在定义域R上为增函数．22．解：（1）∵＝＝＝＝．（1）函数f（x）的最大值为2+a＝1，所以a＝﹣1．（2）对于函数f（x），由，解得，所以f（x）的单调递增区间为．（3）由（1）知．因为f（x）＜0，即．∴，∴．所以，所以使f（x）＜0成立的x的取值集合为．。
人教版A版高中数学必修第一册 第一章综合测试01试题试卷含答案 答案在前
第一章综合测试答案解析一、 1.【答案】A【解析】A 显然正确；0不是集合，不能用符号“⊆”，B 错误；∅不是M 中的元素，C 错误；M 为无限集，D 错误. 2.【答案】D【解析】{}=0469B ，，，，B ∴的子集的个数为42=16. 3.【答案】D【解析】对于①，当=4a 为正整数；对于②，当=1x 时，为正整数；对于③，当=1y 时，为正整数，故选D .4.【答案】A【解析】由1231x --＜＜，得12x ＜＜，即{}|12x x x ∈＜＜，由30x x -（）＜，得03x ＜＜，即{}|03x x x ∈＜＜，{}|12x x ＜＜是{}|03x x ＜＜的真子集，{}|03x x ＜＜不是{}|12x x ＜＜的子集，故选A .5.【答案】D【解析】两个集合的交集其实就是曲线和直线的交点，注意结果是两对有序实数对. 6.【答案】B【解析】{=|=0A B x x 或}1x ≥，A 错误；{}=12A B ，，B 正确；{}{}R =|1=0A B x x B （）＜ ，C 错误；{}R =|0A B x x （）≠ ，D 错误.7.【答案】B【解析】方法一：11a a ⇒⇒＞，1011a a ⇒-⇒）＞＞，∴甲是乙的充要条件，故选B .方法二：20a a a a ⎧⇔⎨⎩＞，＞，，1a ∴＞，故选B .8.【答案】C【解析】由题意得N M ⊆，由Venn 图（图略）可知选C . 9.【答案】C【解析】由题意知，0=2bx a-为函数2=y ax bx c ++图象的对称轴方程，所以0y 为函数y 的最小值，即对所有的实数x ，都有0y y ≥，因此对任意x ∈R ，0y y ≤是错误的，故选C .10.【答案】D【解析】{}=|1U B x x - ＞ ，{}=|0U A B x x ∴ ＞ .{}=|0U A x x ≤ ，{}=|1U B A x x ∴- ≤ .{=|0U U A B B A x x ∴ （）（）＞ 或}1x -≤.11.【答案】A【解析】一元二次方程2=0x x m ++有实数解1=1404m m ⇔∆-⇔≥≤.当14m ＜时，14m ≤成立，但14m ≤时，14m ＜不一定成立.故“14m ＜”是“一元二次方程2=0x x m ++有实数解”的充分不必要条件.12.【答案】C【解析】A C A B ⊇ （）（），U U A C A B∴⊆ （）（） ，∴①为真命题.A C A B ⊆ （）（），U U A C A B∴⊇ （）（） ，即U U U U A C A B ⊇ （）（） ，∴②为真命题.由Venn 图（图略）可知，③为假命题.故选C . 二、13.【答案】x ∀∈R ，210x +≥【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题. 14.【答案】0【解析】依题意得，23=3m m ，所以=0m 或=1m .当=1m 时，违反集合中元素的互异性（舍去）. 15.【答案】充分不必要【解析】由=2a 能得到1)(2)0(=a a --，但由1)(2)0(=a a --得到=1a 或=2a ，而不是=2a ，所以=2a 是1)(2)0(=a a --的充分不必要条件. 16.【答案】12【解析】设全集U 为某班30人，集合A 为喜爱篮球运动的15人，集合B 为喜爱乒乓球运动的10人，如图.设所求人数为x ，则108=30x ++，解得=12x . 三、17.【答案】（1）命题的否定：有的正方形不是矩形，假命题（2.5分） （2）命题的否定：不存在实数x ，使31=0x +，假命题.（5分） （3）命题的否定：x ∀∈R ，2220x x ++＞，真命题.（7.5分）（4）命题的否定：存在0x ，0y ∈R ，00110x y ++-＜，假命题.（10分）18.【答案】（1）{=|1U A x x - ＜ 或1x ≥，{=|12U A B x x ∴（）≤≤ .（6分） （2）{}=|01A B x x ＜＜，{=|0U A Bx x ∴ （）≤ 或}1x ≥.（12分） 19.【答案】①若=A ∅，则2=240p ∆+-（）＜，解得40p -＜＜.（4分）②若方程的两个根均为非正实数，则12120=200.10.=x x p p x x ∆⎧⎪+-+⎨⎪⎩≥，（）≤，解得≥＞（10分） 综上所述，p 的取值范围是{}|4p p -＞.（12分） 20.【答案】证明：①充分性：若存在0x ∈R ，使00ay ＜，则2220004=4b ab b a y ax bx ----（） 222000=444b abx a x ay ++-200=240b ax ay +-（）＞，∴方程=0y 有两个不等实数根.（6分）②必要性：若方程=0y 有两个不等实数根. 则240b ab -＞，设0=2bx a-， 则20=22b b ay a a b c a a ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦（）（） 2224==0424b b ac b ac --+＜（10分） 由①②知，“方程=0y 有两个不等实根”的充要条件是“存在0x ∈R ，使00ay ＜”.（12分） 21.【答案】（1）当=2a 时，{}=|17A x x ≤≤，{}=|27AUB x x -≤≤，（3分）{R =|1A x x ＜ 或}7x ＞，{}R =|21A B x x - （）≤＜ .（6分）（2）=A B A ，A B ∴⊆.①若=A ∅，则123a a -+＞，解得4a -＜；（8分）②若A ∅≠，则12311212234.a a a a a -+⎧⎪⎪---⎨⎪+⎪⎩≤，≥，解得≤≤≤，（10分）综上可知，a 的取值范围是1|412a a a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭＜或≤≤.（12分）22.【答案】设选修甲、乙、丙三门课的同学分别组成集合A ，B ，C ，全班同学组成的集合为U ，则由已知可画出Venn 图如图所示.（2分）选甲、乙而不选丙的有2924=5-（人）， 选甲、丙而不选乙的有2824=4-（人）， 选乙、丙而不选甲的有2624=2-（人），（6分） 仅选甲的有382454=5---（人）， 仅选乙的有352452=4---（人）， 仅选丙的有312442=1---（人），（8分）所以至少选一门的人数为24542541=45++++++，（10分） 所以三门均未选的人数为5045=5-.（12分）第一章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}=|23M x x -＜＜，则下列结论正确的是（ ） A .2.5M ∈ B .0M ⊆C .M ∅∈D .集合M 是有限集2.已知集合{}=023A ，，，{}=|=B x x ab a b A ∈，，，则集合B 的子集的个数是（ ） A .4B .8C .15D .163.下列存在量词命题中，真命题的个数是（ ）①存在一个实数a 为正整数；②存在一个实数x ，使为正整数；③存在一个实数y 为正整数. A .0B .1C .2D .34.已知1231p x --:＜＜，30q x x -:（）＜，则p 是q 的（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.设集合{}2=|=+M x y y x x （，），{}N=|=+16x y y x （，），则M N 等于（ ） A .416（，）或412-（，）B .{420，，}412-， C .{412（，），}420-（，）D .{420（，），}412-（，）6.若集合{}=|1A x x ≥，{}=012B ，，，则下列结论正确的是（ ） A .{}=|0A B x x ≥B .{}=12A B ，C .{}R =01A B （），D .{}R =|1A B x x（）≥7.甲：“1a ＞”是乙：“a ”的（ ） A .既不充分也不必要条件 B .充要条件 C .充分不必要条件D .必要不充分条件8.已知全集*=U N ，集合{}*=|=2M x x n n ∈N ，，{}*=|=4N x x n n ∈N ，，则（ ）A .=U M NB .=U U M N （）C .=U U M N （）D .=U U M N （）9.已知0a ＞，函数2=++y ax bx c .若0x 满足关于x 的方程2+b=0ax ，则下列选项中的命题为假命题的是（ ）A .存在x ∈R ，y y 0≤B .存在x ∈R ，0y y ≥C .对任意x ∈R ，y y 0≤D .对任意x ∈R ，0y y ≥10.已知=U R ，{}=|0A x x ＞，{}=|1B x x -≤，则U U A B B A （）（） 等于（ ）A .∅B .{}|0x x ≤C .{}|1x x -＞D .{|0x x ＞或}1x -≤11.“14m ＜”是“一元二次方程2++=0x x m 有实数解”的（ ）A .充分不必要条件B .充要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件12.已知U 为全集，A ，B ，C 是U 的子集，A C A B ⊆ （）（），A C A B ⊇ （）（），则下列命题中，正确的个数是（ ）①U U A C A B ⊆ （）（） ； ②U U U U A C A B ⊇ （）（） ；③C B ⊆. A .0B .1C .2D .3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13.命题：“0x ∃∈R ，2+10x ＜”的否定是________.14.设集合{}2=33A m ，，{}=33B m ，，且=A B ，则实数m 的值是________. 15.若a ∈R ，则“=2a ”是“(1)(2)=0a a --”的________条件.16.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）写出下列命题的否定并判断其真假. （1）所有正方形都是矩形；（2）至少有一个实数0x 使3+1=0x ；（3）0x ∃∈R ，2+2+20x x ≤；（4）任意x ，y ∈R ，+1+10x y -≥.18.（本小题满分12分）设全集=U R ，集合{}=|11A x x -≤＜，{}=|02B x x ＜≤.（1）求U A B （） ；（2）求U A B（） .19.（本小题满分12分）已知{}2=|+2++1=0A x x p x x ∈Z （），，若{}|0=A x x ∅ ＞，求p 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知2=0y ax bx c a b c a ++∈R （，，，且≠）.证明：“方程=0y 有两个不相等的实数根”的充要条件是“存在0x ∈R ，使00ay ＜”.21.（本小题满分12分）已知集合{}=|12+3A x a x a -≤≤，{}=|24B x x -≤≤，全集=.U R（1）当=2a 时，求A B 和R A B （） ；（2）若=A B A ，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分12分）某班有学生50人，学校开设了甲、乙、丙三门选修课，选修甲的有38人，选修乙的有35人，选修丙的有31人，兼选甲、乙两门的有29人，兼选甲、丙两门的有28人，兼选乙、丙两门的有26人，甲、乙、丙三门均选的有24人，那么这三门均未选的有多少人？。
人教版A版高中数学必修第一册 第三章综合测试01试题试卷含答案 答案在前
第三章综合测试答案解析一、 1.【答案】D【解析】当y 取一个正值时，有两个x 与它对应，故D 错. 2.【答案】A【解析】21=2f x x - ），21=222f ⨯∴+-），即3=0f （）. 3.【答案】D【解析】f x （）在122⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上为减函数，min111==2=11222f x f ∴---⨯--（（）（））. 4.【答案】B【解析】所以当3=2a -最大值为92.故选B .5.【答案】D【解析】=1y x +是非奇非偶函数，3=y x -是奇函数和减函数，1=y x在整个定义域上不是增函数，故选D .6.【答案】C【解析】33===f x a x b x ax bx f x --+--+- （）（）（）（）（），x ∈R ，f x ∴（）为奇函数，3=3=3f f ∴---（）（）.7.【答案】C【解析】0=10=1f -（），((0))=(1)=11=2f f f +. 8.【答案】B【解析】f x （）为偶函数，=0m ∴，2=3f x x ∴-+（），其图象开口向下，对称轴为y 轴，f x ∴（）在25（，）上是减函数. 9.【答案】D【解析】设0x ∈-∞（，），则0x -∈+∞（，），=28F x f x g x ∴--+-+（）（）（）≤且存在00x ∈+∞（，）使0=8F x （）.又f x （），g x （）都是奇函数，[]=6f x g x f x g x ∴-+--+（）（）（）（）≤，即6f x g x +-（）（）≥， =24F x f x g x ∴++-（）（）（）≥，且存在00x ∈-∞，（），使0=4F x -（）.F x ∴（）在0-∞（，）上有最小值4-. 10.【答案】B【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以22=0a a -+-，解得=2a .又偶函数不含奇次项，所以2=0a b -，即=1b ，所以2=21f x x +（）.于是22=1=35a b f f +（）（）.11.【答案】C【解析】当=0c 时，=f x x x bx +（），此时=f x f x --（）（），故f x （）为奇函数，故①正确.当=0b ，0c ＞时，=f x x x c +（），若0x ≥，则2=f x x c +（），此时=0f x （）无解，若0x ＜，则2=f x x c -+（），此时=0f x （）有一解=x ，故②正确.作出=y f x （）的图象，如图.结合图象知③正确，④不正确.12.【答案】A【解析】当x 为整数时，=1f x （），当12x ∈（，）时，112f x ∈（）（，）；当23x ∈（，）时，213f x ∈（）（，），…， 当1x k k ∈+（，）时，11k f x k ∈+（）（，），且112k k +≥，所以函数[]=1x f x x x （）（≥）的值域为112⎤⎥⎦（.故选A . 二、13.【答案】1|3x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭＞【解析】设=a f x x （），则==2af ，=3a ∴.3=f x x ∴（），在R 上为增函数.3210321321f x f x f x -+⇔--⇔--（）＞（）＞（）＞，解得13x ＞，∴原不等式的解集为1|3x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭＞.14.【答案】2a ≤【解析】若2a ∈-∞（，），则2=2f （），不合题意，[]2a ∴∈+∞，，2a ∴≤. 15.【答案】95162⎡-⎢⎣，）【解析】方程23=2x x k -可以看作是k 关于x 的二次函数23=2k x x -，配方得239=416k x --（），其图象的对称轴方程为3=4x ，则函数k 在区间314⎤-⎥⎦（，上是单调递减的，在区间314⎡-⎢⎣，）上是单调递增的（如图）.由函数的单调性得函数k 在区间11-（，）上的值域为314f f ⎡-⎢⎣（），（））. 233339==442416f -⨯- （）（），2351=11=22f ---⨯-（）（）（），∴实数k 在的取值范围是95162⎡-⎢⎣，）. 16.【答案】1a -≤【解析】因为=y f x （）是定义在R 上的奇函数， 所以当=0x 时，=0f x （）.当0x ＞时，0x -＜，所以2=97a f x x x---+（）.因为=y f x （）是定义在R 上的奇函数， 所以当0x ＞时，2=97a f x x x+-（）.因为1f x a +（）≥对一切0x ≥成立， 所以当=0x 时，01a +≥成立， 所以1a -≤.当0x ＞时，2971a x a x +-+≥成立，只需要297a x x+-的最小值大于或等于1a +，因为2977=67a x a x +--≥，所以671a a -+≥，解得85a ≥或87a -≤.综上，1a -≤. 三、17.【答案】证明：设12a x x b ＜＜＜. g x （）在a b （，）上是增函数， 12g x g x ∴（）＜（），且12a g x g x b ＜（）＜（）＜，（5分） 又f x （）在a b （，）上是增函数， 12(())(())f g x f g x ∴＜，(())f g x ∴在a b （，）上也是增函数.（10分） 18.【答案】（1）当10x -≤≤时，设解析式为=0y kx b k +（≠），代入10-（，），01（，）的坐标， 得=0=1k b b -+⎧⎨⎩，，解得=1=.1k b ⎧⎨⎩，=1y x ∴+.（2分）当0x ＞时，设解析式为2=21y a x --（），图象过点40（，），20=421a ∴--（），解得1=4a . 21=214f x x ∴--（）（）.（4分）2110=12104.x x f x x x +-⎧⎪∴⎨--⎪⎩，≤≤，（）（），＞（6分） （2）当10x -≤≤时，[]01y ∈，. 当0x ＞时，[1y ∈-+∞，）. f x ∴（）的值域为[][[011=1-+∞-+∞ ，，），）.（12分） 19.【答案】（1） 函数21=x f x ax b++（）是奇函数，且1=2f （）， 22211==111==2x x f x ax b ax b f a b ⎧++--⎪⎪-+-∴⎨+⎪⎪+⎩（）（），（2分）解得=1=0a b ⎧⎨⎩，，21=x f x x+∴（）.（5分） （2）=0xF x x f x （）（＞）（）， 222==11x x F x x x x∴++（），0x ＞，2222222111===111111x x x F x F x x x x x ∴+++++++（）（），11114035=122018=2017=2320181112S F F F F F F ∴++++++++⨯+（）（）（）……（）（）（）.（12分） 20.【答案】因为f x （）满足4=f x f x --（）（）， 所以8=4=f x f x f x ---（）（）（）， 则25=1f f --（）（），80=0f f （）（），11=3f f （）（）.（3分） 因为f x （）在R 上是奇函数，所以0=0f （），25=1=1f f f ---（）（）（）， 则80=0=0f f （）（），由4=f x f x --（）（），得11=3=3=14=1f f f f f ----（）（）（）（）（），又因为f x （）在区间[]02，上是增函数， 所以10=0f f （）＞（），所以10f -（）＜， 所以258011f f f -（）＜（）＜（）.（12分） 21.【答案】（1）设投资x 万元，A 产品的利润为f x （）万元，B 产品的利润为g x （）万元，依题意可设1=f x k x （），=g x k （）由题图①得1=0.2f （），即11=0.2=5k .（3分）由题图②得4=1.6g （），即2.6k ，解得24=5k .故1=05f x x x （）（≥），0g x x （）≥）.（6分） （2）设B 产品投入x 万元，则A 产品投入10x -（）万元，设企业利润为y 万元.由（1）得1=10=20105y f x g x x x -+-+（）（）（≤≤）.（8分）21114=2=2555y x -+--+ （），0，∴，即=4x 时，max 14==2.85y .因此当A 产品投入6万元，B 产品投入4万元时，该公司获得最大利润，为2.8万元.（12分）22.【答案】（1）241234===2822x x y f x x x x --++-++（）111.设=2u x +1，[]0,1x ∈，13u ≤≤， 则4=8y u u+-，[]1,3u ∈.（3分） 由已知性质得，当12u ≤≤，即102x ≤≤时，f x （）单调递减，所以f x （）的单调递减区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 当23u ≤≤，即112x ≤≤时，f x （）单调递增，所以f x （）的单调递增区间为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 由0=3f -（），1=42f -（），111=3f -（），得f x （）的值域为[]4,3--.（7分） （2）=2g x x a --（）为减函数，故当[]0,1x ∈时，[]12,2g x a a ∈---（）.（9分） 由题意得f x （）的值域是g x （）的值域的子集， 所以124,23,a a ---⎧⎨--⎩≤≥解得3=2a .（12分）第三章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知变量x ，y 满足=y x ，则下列说法错误的是（ ） A .x ，y 之间有依赖关系 B .x ，y 之间有函数关系 C .y 是x 的函数D .x 是y 的函数2.若函数21=2f x x +-）则3f （）等于（ ） A .0B .1C .2D .33.函数1=2f x x x -（）在区间122⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上的最小值为（ ） A .1B .72C .72-D .1-4.函数63y a -≤≤）的最大值为（ ）A .9B .92C .3 D5.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A .=1y x +B .3=y x -C .1=y xD .=y x x6.已知函数3=0f x ax bx a +（）（≠）满足3=3f -（），则3f （）等于（ ）A .2B .2-C .3-D .37.设10=1=010x x f x x x x +⎧⎪-⎨⎪-⎩，＞，（），，，＜，则0f f （（））等于（ ）A .1B .0C .2D .1-8.已知函数2=123f x m x mx -++（）（）为偶函数，则f x （）在区间25（，）上是（ ） A .增函数B .减函数C .有增有减D .增减性不确定9.若f x （）和g x （）都是奇函数，且=2F x f x g x ++（）（）（）在0+∞（，）上有最大值8，则F x （）在0-∞（，）上有（ ） A .最小值8- B .最小值2- C .最小值6-D .最小值4-10.若函数2=21f x ax a b x a +-+-（）（）是定义在0022a a --（，）（，） 上的偶函数，则225a b f +（）等于（ ） A .1B .3C .52D .7211.设函数=f x x x bx c ++（），给出下列四个命题： ①当=0c 时，=y f x （）是奇函数；②当=0b ，0c ＞时，方程=0f x （）只有一个实根； ③=y f x （）的图象关于点0c （，）对称； ④方程=0f x （）至多有两个实根. 其中正确的命题是（ ） A .①④B .①③C .①②③D .①②④12.定义：[]x 表示不超过x 的最大整数.如：[]1.3=2--.则函数[]=1x f x x x（）（≥）的值域为（ ）A .1,12⎤⎥⎦（B .2,13⎤⎥⎦（C .3,14⎤⎥⎦（D .4,15⎤⎥⎦（ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13.已知幂函数f x （）的图象过点），则不等式3210f x -+（）＞的解集是________. 14.设2=.x x a f x x x a ∈-∞⎧⎨∈+∞⎩，（，），（），（，）若2=4f （），则实数a 的取值范围为________. 15.若方程23=2x x k -在11-（，）上有实根，则实数k 的取值范围为________. 16.设a 为实常数，=()y f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ＜时，2()=97af x x x++.若()1f x a +≥对一切0x ≥成立，则实数a 的取值范围为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知f x （），g x （）在a b （，）上是增函数，且a g x b ＜（）＜，求证：(())f g x 在a b （，）上也是增函数.18.（本小题满分12分）如图，定义在[1-+∞，）上的函数f x （）的图象由一条线段及抛物线的一部分组成.（1）求f x （）的解析式；（2）写出f x （）的值域.19.（本小题满分12分）已知函数21=x f x ax b++（）是奇函数，且1=2f （）. （1）求f x （）的表达式；（2）设=0x Fx x f x （）（＞）（），记111=122018232018S F F F F F F +++++++（）（）（）（（）（……），求S 的值.20.（本小题满分12分）已知定义在R 上的奇函数f x （）满足4=f x f x --（）（），且在区间[]02，上是增函数，试比较80f （），11f （），25f -（）的大小.21.（本小题满分12分）某公司计划投资A 、B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资量成正比例，其关系如图①，B 产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图②（利润与投资量的单位：万元）.① ②（1）分别将A 、B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式.（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？22.（本小题满分12分）已知函数=ty x x+有如下性质：如果常数0t ＞，那么该函数在（上是减函数，在+∞）上是增函数. （1）已知24123=2x x f x x --+（）1，[]01x ∈，，利用上述性质，求函数f x （）的单调区间和值域；（2）对于（1）中的函数f x （）和函数=2g x x a --（），若对任意[]101x ∈，，总存在[]201x ∈，，使得21=gx f x （）（）成立，求实数a 的值.。
2021新教材人教版高中数学A版必修第一册模块练习题--1.4~1.5综合拔高练
1.4~1.5综合拔高练三年模拟练应用实践1.(2020吉林延边长白山第一高级中学高二上期中,)“x=y”是“|x|=|y|”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.(2020海南海口第四中学高一上月考,)数“x+y”为无理数的一个充分不必要条件是()A.x-y为无理数B.x为无理数,y为有理数C.x为无理数,y为无理数D.-x-y为无理数3.(2020四川宜宾高二期中,)“a+b∈Z”是“关于x的方程x2+ax+b=0有且仅有整数解”的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.(2020湖南雅礼中学高一10月月考,)设命题p:∀x∈R,x2-4x+2m≥0(其中m为常数),则“m≥1”是“命题p为真命题”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件5.(2020辽宁省实验中学高一上期中,)已知M={x|a≤x≤a+1},则下列可作为“∀x∈M,x+1>0”是真命题的一个充分不必要条件的是()A.a>-1B.a>0C.a≥-1D.a≤06.(2020河南洛阳第一高级中学高二月考,)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.(多选)(2020山东省实验中学高二上期中,)下列叙述中不正确的是()A.若a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充要条件是“b2-4ac≤0”B.若a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”C.“a<1”是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件<1”的充分不必要条件D.“a>1”是“1a8.(2020天津耀华中学高一上期中,)已知p:x>1或x<-3,q:x>a(a为实数).若¬q的一个充分不必要条件是¬p,则实数a的取值范围是.9.(2020山东济宁高一10月月考,)已知p:∃x∈R,使mx2-4x+2=0为假命题.(1)求实数m的取值集合B;(2)设A={x|3a<x<a+2}为非空集合,若x∈A是x∈B的充分不必要条件,求实数a的取值范围.10.(2020山东师范大学附属中学高一上期中,)已知命题p:∀x∈{x|0≤x≤4},0≤x<2a,命题q:∃x∈R,x2-2x+a<0.(1)若命题¬p和命题q有且只有一个为真命题,求实数a的取值范围;(2)若命题p和命题q至少有一个为真命题,求实数a的取值范围.深度解析答案全解全析三年模拟练应用实践1.B当x=y时,|x|=|y|,所以充分性成立;当x=1,y=-1时,|x|=|y|,但是x≠y,所以必要性不成立,故选B.2.B对于A选项,当x=3+√5,y=3-√5时,x-y=2√5为无理数,但x+y=6为有理数,充分性不成立,不符合题意.对于B选项,x为无理数,y为有理数,所以x+y为无理数,充分性成立;令x=1,y=√2,则x+y=1+√2为无理数,但不满足x为无理数,y为有理数,所以x为无理数,y为有理数是x+y 为无理数的充分不必要条件,符合题意.对于C选项,当x=1+√2,y=1-√2时,x+y=2为有理数,不满足充分性,不符合题意.对于D选项,-x-y为无理数⇔x+y为无理数,互为充要条件,不符合题意.故选B.3.C当a=1,b=2时,a+b=3∈Z,但Δ=a2-4b=12-4×2=-7<0,方程无解,充分性不成立;若方程x2+ax+b=0有且仅有整数解,设整数解分别为x1,x2,且x1,x2∈Z,则x1+x2=-a∈Z,x1x2=b∈Z,所以a∈Z,b∈Z,所以a+b∈Z,所以“a+b∈Z”是“关于x的方程x2+ax+b=0有且仅有整数解”的必要不充分条件.4.B若p:∀x∈R,x2-4x+2m≥0(其中m为常数)为真命题,则Δ=16-8m≤0,解得m≥2,则“m≥1”是“命题p为真命题”的必要不充分条件,故选B.5.B因为“∀x∈M,x+1>0”是真命题,所以x+1的最小值大于零,即当x=a时,x+1=a+1>0,解得a>-1,因此“∀x∈M,x+1>0”是真命题的充要条件是a>-1.要求“∀x∈M,x+1>0”是真命题的充分不必要条件,只需a的取值对应的集合为{a|a>-1}的真子集即可,故选B.6.C当a>b时,①若a>b>0,则|a|>|b|,得出a|a|>b|b|;②若a>0>b,则a|a|>0,b|b|<0,a|a|>b|b|;③若0>a>b,则a2<b2,于是-a2>-b2,因为a|a|=-a2,b|b|=-b2,所以a|a|>b|b|仍然成立.于是,若a>b,则a|a|>b|b|成立,即充分性成立.当a|a|>b|b|时,①若a>0,b>0,则由a|a|>b|b|得a 2>b 2,于是a>b;②若a>0,b<0,则a|a|>0,b|b|<0,可知a|a|>b|b|显然成立,此时有a>0>b;③若a<0,b>0,则a|a|<0,b|b|>0,所以a|a|>b|b|不可能成立;④若a<0,b<0,由a|a|>b|b|可得-a 2>-b 2,即a 2<b 2,所以0>a>b.因此,当a|a|>b|b|时,必有a>b,即必要性成立. 综上所述,“a>b ”是“a|a|>b|b|”的充要条件.故选C.7.AB 对于A 选项,当a=-1,b=1,c=-1时,b 2-4ac=-3≤0,但ax 2+bx+c=-x 2+x-1=-(x -12)2-34≤-34,不满足ax 2+bx+c ≥0,所以“ax 2+bx+c ≥0”的充要条件不是“b 2-4ac ≤0”,A 中说法不正确;对于B 选项,当a=2,c=1,b=0时,满足a>c,但ab 2=cb 2,不满足ab 2>cb 2,所以“ab 2>cb 2”的充要条件不是“a>c ”,B 中说法不正确;对于C 选项,方程x 2+x+a=0有一个正根和一个负根等价于{Δ=1-4a >0,a <0,即a<0,所以“a<1”是“方程x 2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件,C 中说法正确;对于D 选项,当a>1时,1a <1,充分性成立,反之,当a=-2时,满足1a <1,但不满足a>1,必要性不成立,所以D 中说法正确.故选AB. 8.答案 {a|a ≥1}解析 由题意得,¬p:-3≤x ≤1,¬q:x ≤a.因为¬q 的一个充分不必要条件是¬p,所以{x|-3≤x ≤1}⫋{x|x ≤a},所以a ≥1.故答案为{a|a ≥1}.9.解析 (1)p 为假命题等价于关于x 的方程mx 2-4x+2=0无实数根. 当m=0时,mx 2-4x+2=-4x+2=0,解得x=12,有实数根,不符合题意; 当m ≠0时,由题意得Δ=(-4)2-4×m×2<0,得m>2,∴B={m|m>2}.(2)∵A={x|3a<x<a+2}为非空集合,∴a+2>3a,解得a<1.若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件,则A ⫋B,∴3a ≥2,即a ≥23,∴23≤a<1. 故a 的取值范围为{a|23≤a <1}.10.解析 若命题p:∀x ∈{x|0≤x ≤4},0≤x<2a 为真命题,则2a>4,即a>2.所以若¬p 为真命题,则a ≤2.若命题q:∃x ∈R,x 2-2x+a<0为真命题,则Δ=(-2)2-4×1×a>0,即a<1. 若¬q 为真命题,则a ≥1.(1)①当¬p 为真,q 为假时,¬q 为真,即{a ≤2,a ≥1,所以1≤a ≤2; ②当¬p 为假,q 为真时,p 为真,即{a >2,a <1,无解,舍去. 综上所述,当命题¬p 和命题q 有且只有一个为真命题时,a 的取值范围为{a|1≤a ≤2}.(2)解法一:①当p 真q 假时,¬q 为真,即{a >2,a ≥1,所以a>2; ②当p 假q 真时,¬p 为真,即{a ≤2,a <1,所以a<1;③当p 真q 真时,{a >2,a <1,无解,舍去. 综上所述,a 的取值范围为{a|a<1或a>2}.解法二:考虑p,q 至少有一个为真命题的反面,即p,q 均为假命题, 即¬p 为真,且¬q 为真,则{a ≤2,a ≥1,解得1≤a ≤2,即{a|1≤a ≤2},则p,q 至少有一个为真命题时,a 的取值范围为{a|1≤a ≤2}的补集, 故a 的取值范围为{a|a<1或a>2}.思维拓展 当正面情况较多或较复杂时,从结论的反面入手是简化问题的一种常用手段,也就是正难则反.。
2021新教材人教版高中数学A版必修第一册模块练习题--3.1~3.2综合拔高练
3.1~3.2综合拔高练五年高考练考点1 函数的概念与表示 1.(2019江苏,4,5分,)函数y=√7+6x -x 2的定义域是 . 2.(2016浙江,12,6分,)设函数f(x)=x 3+3x 2+1.已知a ≠0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,x ∈R,则实数a= ,b= . 考点2 分段函数的应用 3.(2019课标全国Ⅱ,12,5分,)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x ∈(0,1]时, f(x)=x(x-1).若对任意x ∈(-∞,m],都有f(x)≥-89,则m 的取值范围是( )A.(-∞,94]B.(-∞,73]C.(-∞,52] D.(-∞,83] 4.(2018天津,14,5分,)已知a ∈R,函数f(x)={x 2+2x +a -2,x ≤0,-x 2+2x -2a,x >0.若对任意x ∈[-3,+∞), f(x)≤|x|恒成立,则a 的取值范围是 .考点3 函数基本性质的综合运用 5.(2018课标全国Ⅱ,11,5分,)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ) A.-50 B.0 C .2 D .50 6.(2019浙江,16,5分,)已知a ∈R,函数f(x)=ax 3-x.若存在t ∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤23,则实数a 的最大值是 .强基计划7.(2018中国科技大学自主招生试题,6改编,)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)是单射(即如果x,y ∈(0,+∞),且x ≠y,都有f(x)≠f(y)),对任意的x>0,有xf(x)>1, f(xf(x)-1)=2,则f(2)= .三年模拟练应用实践1.(2020黑龙江大庆实验中学高一上月考,)设f(x)={√x,0<x <1,2(x -1),x ≥1,若f(a)=f(a+1),则f (1a-1)=( ) A.8 B .6 C.4 D .22.(2020山东德州高一上期中,)已知函数f(x)是定义在R 上的单调函数,A(0,1),B(2,-1)是其图象上的两点,则不等式|f(x-1)|>1的解集为( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(1,3)D.(-∞,1)∪(3,+∞)3.(2020黑龙江哈三中高一上第一次阶段性验收,)已知函数f(x)={(x +1)2,x ≤-1,2x +2,-1<x <1,1x,x ≥1,若f(a)>1,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-2)∪(-12,+∞)B.(-12,12)C.(-∞,-2)∪(-12,1) D.(-2,12)∪(1,+∞)4.(多选)(2020山东菏泽高一上期末联考,)下列关于函数f(x)=√x 2-x 4|x -1|-1的性质描述正确的是( 易错 ) A. f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1] B. f(x)的值域为(-1,1) C. f(x)在定义域上是增函数 D. f(x)的图象关于原点对称 5.(多选)(2020山东日照高一上期中,)下列结论正确的有( )A.函数f(x)=(x-1)0+√x +1的定义域为(-1,1)∪(1,+∞)B.函数y=f(x)(x ∈[-1,1])的图象与y 轴有且只有一个交点C.“k>1”是“函数f(x)=(k-1)x+k(k ∈R)为增函数”的充要条件D.若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0 6.(多选)(2020山东淄博高一上期中,)我们把定义域为[0,+∞)且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为“Ω函数”: (1)对任意的x ∈[0,+∞),总有f(x)≥0;(2)若x ≥0,y ≥0,则有f(x+y)≥f(x)+f(y)成立,下列判断正确的是( ) A.若f(x)为“Ω函数”,则f(0)=0B.若f(x)为“Ω函数”,则f(x)在[0,+∞)上为增函数C.函数g(x)={0,x ∈Q,1,x ∉Q 在[0,+∞)上是“Ω函数”D.函数g(x)=x 2+x 在[0,+∞)上是“Ω函数”7.(2020河北石家庄二中高一上月考,)已知函数f(x)={-x 24,0<x ≤4,4-2x,x >4,函数h(x)(x ≠0)为偶函数,且当x>0时,h(x)=f(x).若h(t)>h(2),则实数t 的取值范围为 . 8.(2020天津六校高一上期中联考,)已知函数f(x)=x 2-4x+10(x ∈[m,n])的值域为[3m,3n],则2m+n= . 9.(2020黑龙江哈师大附中高一上期中,)下列说法正确的是 .(填序号)(1)函数f(x)=-2x在(0,+∞)上单调递减; (2)函数y=2x(x ∈N)的图象是一条直线;(3)已知函数f(x)={x 2+1(x ≤0),-2x(x >0),若f(x)=10,则x 的值为-3或-5;(4)若函数y=x 2+(2a-1)x+1的减区间是(-∞,2],则a=-32;(5)若函数f(x)满足R 上的任意实数x 1,x 2(x 1≠x 2),(x 1-x 2)[f(x 1)-f(x 2)]<0恒成立,则f(x)在R 上单调递减. 10.(2020河北承德一中高一上月考,)已知函数f(√x +2)=3x+1x+2,函数g(x)=1-2x+√x +2.(1)求函数f(x)的解析式,并写出其定义域; (2)求函数g(x)的值域.11.(2020湖南衡阳一中高一上期中,)已知函数f(x)对任意的实数a,b 都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,有f(x)>0.(1)求证:f(x)在R上为增函数;(2)求证:f(x)是R上的奇函数;(3)若f(1)=1,解不等式f(x2)-f(x+2)>4.迁移创新12.(2020山东烟台高一上期中,)经过函数性质的学习,我们知道“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形”的充要条件是“y=f(x)为偶函数”.(1)若f(x)为偶函数,且当x≤0时,f(x)=2x-1,求f(x)的解析式,并求不等式f(x)>f(2x-1)的解集;(2)某数学学习小组针对上述结论进行探究,得到一个真命题:“函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形”的充要条件是“y=f(x+a)为偶函数”.若函数g(x)的图象关于直线x=1对称,且当x≥1时,g(x)=x2-1.x①求g(x)的解析式;②求不等式g(x)>g(3x-1)的解集.答案全解全析 五年高考练1.答案 [-1,7]解析 由题意可得7+6x-x 2≥0,即x 2-6x-7≤0,解得-1≤x ≤7,故该函数的定义域是[-1,7]. 2.答案 -2;1 解析f(x)-f(a)=x 3-a 3+3(x 2-a 2)=(x-a)[x 2+ax+a 2+3(x+a)]=(x-a)[x 2+(a+3)·x+a 2+3a]=(x-a)(x-a)(x-b),则x 2+(a+3)x+a 2+3a=x 2-(a+b)x+ab,即{a +3=-(a +b),a 2+3a =ab,解得{a =-2,b =1. 3.B 由题可知,当x ∈(0,1]时, f(x)=x(x-1)=x 2-x,则当x=12时, f(x)min =-14,且当x=13时, f(x)=-29.当x ∈(1,2]时,x-1∈(0,1],则f(x)=2f(x-1).当x ∈(-1,0]时,x+1∈(0,1],则 f(x)=12f(x+1).∴若x ∈(1,2],则当x=32时, f(x)min =-12,且x=43时, f(x)=-49.同理,若x ∈(2,3],则当x=52时, f(x)min =-1,且x=73时, f(x)=-89.∴函数f(x)的大致图象如图所示.∵f(x)≥-89对任意x ∈(-∞,m]恒成立,∴当x ∈(-∞,m]时, f(x)min ≥-89,由图可知m ≤73.故选B.4.答案 [18,2]解析 当x>0时, f(x)=-x 2+2x-2a,此时只需-x 2+2x-2a ≤x 恒成立, 即2a ≥-x 2+x 恒成立,因为x>0时,y=-x 2+x 的最大值为14,所以a ≥18;当-3≤x ≤0时, f(x)=x 2+2x+a-2, 此时只需x 2+2x+a-2≤-x 恒成立, 即a ≤-x 2-3x+2恒成立,因为-3≤x ≤0时,y=-x 2-3x+2的最小值为2, 所以a ≤2.故a 的取值范围为[18,2].5.C 因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数, 所以f(-x)=-f(x)①,且f(0)=0. 又因为f(1-x)=f(1+x), 所以f(-x)=f(2+x)②. 由①②可得f(x+2)=-f(x), 则有f(x+4)=f(x). 由f(1)=2,得f(-1)=-2,于是有f(2)=f(0)=0, f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0, f(5)=f(1)=2, f(6)=f(2)=0,……,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2+0=2. 6.答案 43解析 |f(t+2)-f(t)|=|a(t+2)3-(t+2)-(at 3-t)|=|a(6t 2+12t+8)-2|.令m=6t 2+12t+8=6(t+1)2+2,则m ∈[2,+∞),设g(m)=f(t+2)-f(t)=am-2, |am-2|≤23,当a=0时,g(m)=-2,不符合题意;当a>0时,g(m)∈[2a-2,+∞),∵|g(m)|≤23有解,∴2a-2≤23,得0<a ≤43;当a<0时,g(m)∈(-∞,2a -2],∵|g(m)|≤23有解,∴2a-2≥-23,得a ≥23,与a<0矛盾.综上可知,0<a ≤43,即a 的最大值为43.7.答案 1解析 由函数f(x)是单射,且f(xf(x)-1)=2,得xf(x)-1是常数,令xf(x)-1=t(x>0),则f(x)=t+1x ,且f(t)=2①,因此tf(t)-1=t,所以f(tf(t)-1)=2,由f(t)=2,得f(2t-1)=2②,由①②及函数f(x)是单射得t=2t-1,解得t=1,所以f(x)=2x (x>0),所以f(2)=1.三年模拟练应用实践1.C 由题意知,当a ∈(0,1)时,若f(a)=f(a+1),则√a =2a,解得a=14,则f (1a-1)=f(3)=2×(3-1)=4;当a ∈[1,+∞)时,若f(a)=f(a+1),则2(a-1)=2a,显然无解. 综上可得f (1a -1)=4,故选C.2.D 由题意可知f(0)=1,f(2)=-1, 又知f(x)是定义在R 上的单调函数, 所以f(x)在R 上单调递减.由|f(x-1)|>1得f(x-1)>1或f(x-1)<-1, 即f(x-1)>f(0)或f(x-1)<f(2), 所以x-1<0或x-1>2, 解得x<1或x>3,故选D.3.C 当a ≤-1时,由f(a)=(a+1)2>1,解得a>0或a<-2,故a<-2; 当-1<a<1时,由f(a)=2a+2>1,解得a>-12,故-12<a<1;当a ≥1时,由f(a)=1a>1,解得0<a<1,故无解.综上所述,a 的取值范围是(-∞,-2)∪(-12,1),故选C.4.ABD 由{x 2-x 4≥0,|x -1|-1≠0,得-1≤x ≤1且x ≠0,此时f(x)=√x 2-x 4-(x -1)-1=√x 2-x 4-x=|x|√1-x 2-x,因此A 正确;当0<x ≤1时, f(x)=-√1-x 2∈(-1,0],当-1≤x<0时, f(x)=√1-x 2∈[0,1),故f(x)的值域为(-1,1),B 正确;易知f(x)在定义域上不是增函数,选项C 错误;又f(-x)=|-x|√1-(-x)2-(-x)=|x|√1-x 2x=-f(x),则f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,D 正确.故选ABD.易错警示 研究函数的性质时,应先求定义域,再化简解析式.不求定义域就化简解析式可能会导致定义域发生变化,从而导致解题错误;化简解析式有一定的必要性,若不化简解析式,可能会反映不出函数的本质,从而导致问题不能解决.5.BCD 选项A 中,由{x -1≠0,x +1≥0,得x ≥-1且x ≠1,A 错误;选项B 中,由y=f(x)在x=0处有意义,因此f(x)的图象与y 轴有且只有一个公共点,B 正确;选项C 中,若k>1,则k-1>0,f(x)=(k-1)x+k 是增函数,反过来也成立,C 正确;选项D 中,由f(x)是奇函数知f(-x)=-f(x),又x=0处有定义,因此f(-0)=-f(0),即2f(0)=0,f(0)=0,D 正确,故选BCD.6.AD 对于选项A,由条件(1)知,f(x)≥0,则f(0)≥0,由条件(2)知, f(0+0)≥f(0)+f(0),即f(0)≤0,所以f(0)=0,A 正确; 对于选项B,当f(x)=0(x ∈[0,+∞))时,符合条件(1),(2), f(x)是“Ω函数”,但f(x)在[0,+∞)上不是增函数,B 错误; 对于选项C,取x=2-√2,y=2+√2,则g(2-√2)=1,g(2+√2)=1,g((2-√2)+(2+√2))=g(4)=0,不满足g(x+y)≥g(x)+g(y),所以g(x)不是“Ω函数”,C 错误;对于选项D,g(x)=x 2+x 在[0,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(0)=0,满足条件(1),又g(x+y)-g(x)-g(y)=[(x+y)2+(x+y)]-(x 2+x)-(y 2+y)=2xy,当x ≥0,y ≥0时,2xy ≥0,此时g(x+y)≥g(x)+g(y),满足条件(2),D 正确.故选AD.7.答案 (-2,0)∪(0,2)解析 因为当x>0时,h(x)=f(x),所以当x>0时,h(x)={-x 24,0<x ≤4,4-2x,x >4,易知函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,又函数h(x)(x ≠0)为偶函数,且h(t)>h(2),所以h(|t|)>h(2),所以0<|t|<2,所以{t ≠0,|t|<2,即{t ≠0,-2<t <2,解得-2<t<0或0<t<2.8.答案 9解析 ∵f(x)=x 2-4x+10=(x-2)2+6≥6,∴3m ≥6,∴m ≥2,又函数f(x)图象的对称轴为x=2,∴函数f(x)在[m,n]上单调递增. ∴f(m)=3m,f(n)=3n,即m 2-4m+10=3m,n 2-4n+10=3n,解得m=2或m=5,n=2或n=5,又m<n,∴m=2,n=5,∴2m+n=4+5=9,故答案为9.9.答案 (4)(5)解析 函数f(x)=-2x 在(0,+∞)上单调递增,故(1)错误;函数y=2x(x ∈N)的图象是间断的点,故(2)错误;函数f(x)={x 2+1(x ≤0),-2x(x >0),若f(x)=10,则x 的值为-3,故(3)错误;若函数y=x 2+(2a-1)x+1的减区间是(-∞,2],则-2a -12=2,即a=-32,故(4)正确;若函数f(x)满足R 上的任意实数x 1,x 2(x 1≠x 2),(x 1-x 2)[f(x 1)-f(x 2)]<0恒成立,则当x 1>x 2时, f(x 1)<f(x 2),当x 1<x 2时,f(x 1)>f(x 2),所以f(x)在R 上单调递减,故(5)正确.故答案为(4)(5).10.解析 (1)令t=√x +2,t>2,则x=(t-2)2,∴f(t)=3(t-2)2+1(t -2)2+2, ∴f(x)=3(x-2)2+1(x -2)2+2,其定义域为(2,+∞). (2)令t=√x +2,t ≥0,则x=t 2-2,∴y=1-2(t 2-2)+t=-2t 2+t+5,t ≥0,当t=14时,y 取得最大值,最大值为418,所以原函数的值域为(-∞,418]. 11.解析 (1)证明:任取x 1,x 2∈R,且x 1<x 2,则f(x 2)-f(x 1)=f(x 2-x 1+x 1)-f(x 1), ∵对任意的实数a,b 都有f(a+b)=f(a)+f(b),∴f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1),∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1),∵当x>0时,f(x)>0,且x2-x1>0,∴f(x2-x1)>0,∴f(x2)>f(x1),即y=f(x)在R上为增函数.(2)证明:∵对任意的实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),∴令a=b=0,则f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),∴f(0)=0,令a=x,b=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,∴f(-x)=-f(x),即函数y=f(x)为R上的奇函数.(3)若f(1)=1,则f(2)=2f(1)=2,f(4)=2f(2)=4,∴不等式f(x2)-f(x+2)>4等价于f(x2)-f(x+2)>f(4),由(2)知f(x)为奇函数,∴-f(x+2)=f(-x-2),∴f(x2)-f(x+2)=f(x2)+f(-x-2),∴f(x2-x-2)>f(4),又由(1)知,f(x)在R上为增函数,∴x2-x-2>4,即x2-x-6>0,∴x>3或x<-2.∴原不等式的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞).迁移创新12.解析(1)设x>0,则-x<0,则f(-x)=2·(-x)-1=-2x-1,又f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=-2x-1.所以f(x)={2x-1,x≤0, -2x-1,x>0.因为f(x)为偶函数,且f(x)在[0,+∞)上是减函数,所以f(x)>f(2x-1)等价于|x|<|2x-1|,即x2<(2x-1)2,解得x<13或x>1.所以不等式的解集是{x|x<13或x>1}.(2)①因为g(x)的图象关于直线x=1对称,所以y=g(x+1)为偶函数,所以g(1+x)=g(1-x),即g(x)=g(2-x)对任意x∈R恒成立.又当x<1时,2-x>1,所以g(x)=(2-x)2-12-x =x 2-4x+4+1x -2. 所以g(x)={x 2-1x,x ≥1,x 2-4x +4+1x -2,x <1.②任取x 1,x 2∈[1,+∞),且x 1<x 2,则g(x 1)-g(x 2)=x 12-1x 1-(x 22-1x 2)=(x 1-x 2)(x 1+x 2+1x 1x 2), 因为x 1<x 2,所以x 1-x 2<0,又x 1+x 2>0,1x 1x 2>0,所以(x 1-x 2)(x 1+x 2+1x 1x 2)<0,即g(x 1)<g(x 2).所以函数y=g(x)在[1,+∞)上是增函数,又因为函数g(x)的图象关于直线x=1对称, 所以g(x)>g(3x-1)等价于|x-1|>|3x-2|, 即(x-1)2>(3x-2)2,解得12<x<34. 所以不等式的解集为{x |12<x <34}.。
(人教A版)高中数学必修一(全套)课时练习+单元测试卷全集
（人教A版）高中数学必修一（全册）课时练习+单元测试卷汇总第1课时集合的含义第2课时集合的表示(2)当M中只含两个元素时, 其元素只能是x和8－x,所以元素个数为2的所有的集合M为{0,8}, {1,7}, {2,6}, {3,5}．(3)满足条件的集合M是由集合{4}, {0,8}, {1,7}, {2,6}, {3,5}中的元素组成, 它包括以下情况：①{4}, {0,8}, {1,7}, {2,6}, {3,5}, 共5个；②{4,0,8}, {4,1,7}, {4,2,6}, {4,3,5}, {0,8,1,7}, {0,8,2,6}, {0,8,3,5}, {1,7,2,6}, {1,7,3,5}, {2,6,3,5}, 共10个；③{4,0,8,1,7}, {4,0,8,2,6}, {4,0,8,3,5}, {4,1,7,2,6}, {4,1,7,3,5}, {4,2,6,3,5}, {0,8,1,7,2,6}, {0,8,1,7,3,5}, {1,7,2,6,3,5}, {0,8,2,6,3,5}, 共10个；④{4,0,8,1,7,2,6}, {4,0,8,1,7,3,5}, {4,0,8,2,6,3,5}, {4,1,7,2,6,3,5}, {0,8,1,7,2,6,3,5}, 共5个；⑤{4,0,8,1,7,2,6,3,5}, 共1个．于是满足题设条件的集合M共有5＋10＋10＋5＋1＝31(个)．A BB A且空集的子集只有一个A{3,4,9},A⊆B A＝BA B A BZ), 当A B答案：D解析：因为N ＝{x |x ≤k }, 又M ＝{x |－1≤x <2}, 所以当M ⊆N 时, k ≥2.6．已知集合P ＝{x |x 2＝1}, 集合Q ＝{x |ax ＝1}, 若Q ⊆P , 则a 的值为( ) A ．1 B ．－1C ．1或－1D ．0,1或－1 答案：D解析：P ＝{－1,1}, 当a ＝0时, Q ＝∅, 当a ≠0时, Q ＝{x |x ＝1a }, ∵Q ⊆P , ∴a ＝0或a ＝±1.二、填空题(本大题共3个小题, 每小题5分, 共15分)7．用适当的符号填空． (1)0________{x |x 2＝0}；(2)∅________{x ∈R |x 2＋1＝0}； (3){0,1}________N ；(4){0}________{x |x 2＝x }；(5){2,1}________{x |x 2－3x ＋2＝0}． 答案：(1)∈ (2)＝ (3) (4) (5)＝8．已知集合P ＝{x |0<x －a ≤2}, Q ＝{x |－3<x ≤4}, 若P ⊆Q , 则a 的取值范围是________．答案：{a |－3≤a ≤2}解析：依题意, 知P ＝{x |a <x ≤a ＋2}, 又Q ＝{x |－3<x ≤4}, 若P ⊆Q , 则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－3a ＋2≤4, 解得－3≤a ≤2.9．已知集合M ＝{－1,3,2m －1}, 集合N ＝{3, m 2}, 若N ⊆M , 则实数m ＝________. 答案：1解析：依题意, 知当N ⊆M 时, 只能有m 2＝2m －1, 解得m ＝1, 经检验知满足题意． 三、解答题(本大题共6小题, 共45分)10．(5分)以下各组中两个对象是什么关系, 用适当的符号表示出来： (1)0与{0}； (2)0与∅； (3)∅与{0}；(4){0,1}与{(0,1)}； (5){(a , b )}与{(b , a )}． 解：(1)0∈{0}； (2)0∉∅(3)∅与{0}都是集合, 两者的关系是“包含与不包含”的关系, 所以∅{0}； (4){0,1}是含两个无素0,1的集合；而{(0,1)}是以有序数对为元素的集合, 它只含一个元素．所以{0,1}⊆{(0,1)}；且{0,1}⊉{(0,1)}；(5)当a ＝b 时, {(a , b )}＝{(b , a )}；当a ≠b 时, {(a , b )} ⊆{(b , a )}, 且{(a , b )}⊉{(b , a )}． 11．(13分)设集合A ＝{x , x 2, xy }, 集合B ＝{1, x , y }, 且集合A 与集合B 相等, 求实数x 、y 的值．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝1，xy ＝y ，①或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y ，xy ＝1.②解①, 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ∈R ，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝0.经检验⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ∈R ，不合题意, 舍去, 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.解②, 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.经检验⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，不合题意, 舍去．∅∅12．(9分)已知M ＝{(x , y )|y ＝x 2＋2x ＋5}, N ＝{(x , y )|y ＝ax ＋1}． (1)若M ∩N 有两个元素, 求实数a 的取值范围；(2)若M ∩N 至多有一个元素, 求实数a 的取值范围．解：(1)因为M ∩N 有两个元素, 所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋2x ＋5y ＝ax ＋1有两组解,即一元二次方程x 2＋(2－a )x ＋4＝0有两个不等的实数根, 所以Δ＝(2－a )2－16＝a 2－4a －12>0,结合二次函数y ＝a 2－4a －12的图象, 可得a >6或a <－2. 所以实数a 的取值范围为{a |a >6或a <－2}．(2)因为M ∩N 至多有一个元素, 所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋2x ＋5y ＝ax ＋1无解或只有一组解,即一元二次方程x 2＋(2－a )x ＋4＝0无实数根或有两个相等的实数根, 所以Δ＝(2－a )2－16＝a 2－4a －12≤0,结合二次函数y ＝a 2－4a －12的图象, 可得－2≤a ≤6. 所以实数a 的取值范围为{a |－2≤a ≤6}．能力提升13．(5分)对于集合A , B , 我们把集合{x |x ∈A , 且x ∉B }叫做集合A 与B 的差集, 记作A －B .若A ＝{1,2,3,4}, B ＝{3,4,5,6}, 则A －B ＝________.答案：{1,2}解：A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B } ＝{1,2,3,4}－{3,4,5,6} ＝ {1,2 }．14．(13分)已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}, 集合B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}, 是否存在实数a , 使得集合A , B 同时满足下列三个条件？①A ≠B ；②A ∪B ＝B ；③∅ (A ∩B )．若存在, 求出这样的实数a 的值；若不存在, 说明理由．解：由已知条件可得B ＝{2,3}, 因为A ∪B ＝B , 且A ≠B , 所以A ⊆B , 又A ≠∅, 所以A ＝{2}或A ＝{3}．当A ＝{2}时, 将2代入A 中方程, 得a 2－2a －15＝0, 所以a ＝－3或a ＝5, 但此时集合A 分别为{2, －5}和{2,3}, 与A ＝{2}矛盾．所以a ≠－3, 且a ≠5.当A ＝{3}时, 同上也能导出矛盾．综上所述, 满足题设要求的实数a 不存在．第5课时 补集1．已知全集U＝{0,1,3,5,6,8}, 集合A＝{1,5,8}, B＝{2}, 则集合(∁U A)∪B＝()A．{0,2,3,6} B．{0,3,6}C．{1,2,5,8} D．∅答案：A解析：依题意, 知∁U A＝{0,3,6}, 又B＝{2}, 所以(∁U A)∪B＝{0,2,3,6}．故选A.2．设集合U＝{1,2,3,4,5}, A＝{1,3,5}, B＝{2,3,5}, 则∁U(A∩B)等于()A．{1,2,4} B．{4}C．{3,5} D．{∅}答案：A解析：易知：A∩B＝{3,5}, 则∁U(A∩B)＝{1,2,4}, 故选A.3．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}, 集合A＝{1,3,5,7}, B＝{3,5}, 则下列各式正确的是() A．U＝A∪B B．U＝(∁U A)∪BC．U＝A∪(∁U B) D．U＝(∁U A)∪(∁U B)答案：C解析：∵∁U B＝{1,2,4,6,7},∴A∪(∁U B)＝{1,2,3,4,5,6,7}＝U.故选C.4．已知M, N为集合I的非空真子集, 且M, N不相等, 若N∩(∁I M)＝∅, 则M∪N＝() A．M B．NC．I D．∅答案：A解析：由N∩(∁I M)＝∅, 可知N与∁I M没有公共元素, 则N⊆M, 又M≠N, 所以N M, 所以M∪N＝M.故选A.5．已知集合A＝{x|x<a}, B＝{x|1<x<2}, 且A∪(∁R B)＝R, 则实数a的取值范围是() A．{a|a≤1} B．{a|a<1}C．{a|a≥2} D．{a|a>2}答案：C解析：由于A∪(∁R B)＝R, 则B⊆A, 可知a≥2.故选C.6．如图所示, I是全集, M, P, S是I的3个子集, 则阴影部分所表示的集合是()A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩∁I S D．(M∩P)∪∁I S答案：C解析：阴影部分是M与P的公共部分, 且在S的外部, 故选C.7．设集合M ＝{3,4,7,9}, N ＝{4,5,7,8,9}, 全集U ＝M ∪N , 则集合∁U (M ∩N )中的元素共有________个．答案：3解析：因为U ＝M ∪N ＝{3,4,5,7,8,9}, M ∩N ＝{4,7,9}, 则∁U (M ∩N )＝{3,5,8}, 可知其中的元素有3个．8．已知集合A ＝{x |－2≤x <3}, B ＝{x |x <－1}, 则A ∩(∁R B )＝________. 答案：{x |－1≤x <3} 解析：因为B ＝{x |x <－1}, 则∁R B ＝{x |x ≥－1}, 所以A ∩(∁R B )＝{x |－2≤x <3}∩{x |x ≥－1}＝{x |－1≤x <3}．9．高一(1)班共有学生50人, 其中参加诗歌鉴赏兴趣小组的有30人, 参加书法练习兴趣小组的有26人, 同时参加两个兴趣小组的有15人, 则两个兴趣小组都没有参加的学生有________人．答案：9解析：设参加诗歌鉴赏兴趣小组的学生组成集合A , 参加书法练习兴趣小组的学生组成集合B , 如图所示, 依题意card(A )＝30, card(B )＝26, card(A ∩B )＝15, 则card(A ∪B )＝30＋26－15＝41.所以两个兴趣小组都没有参加的学生有50－41＝9(人)．三、解答题(本大题共4小题, 共45分)10．(12分)已知全集U ＝{3, a 2－3a －2,2}, A ＝{3, |a －1|}, ∁U A ＝{－2}, 求实数a 的值． 解：因为A ∪(∁U A )＝U ,所以{3, －2, |a －1|}＝{3, a 2－3a －2,2},从而⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －2＝－2|a －1|＝2, 解得a ＝3.11．(13分)已知全集U ＝{x |x ≤4}, 集合A ＝{x |－2<x <3}, B ＝{x |－3≤x ≤2}． (1)求(∁U A )∪B ； (2)求A ∩(∁U B )．解：易知∁U A ＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}, ∁U B ＝{x |x <－3或2<x ≤4}． 则(1)(∁U A )∪B ＝{x |x ≤2或3≤x ≤4}． (2)A ∩(∁U B )＝{x |2<x <3}．能力提升12．(5分)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}, A ＝{1,5}, B ∁U A , 则集合B 的个数是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8B∁A．M＝N B．M⊆NC．M⊇N D．M, N无公共元素答案：D解析：因为M＝{(x, y)|(x＋3)2＋(y－1)2＝0}＝{(－3,1)}是点集, 而N＝{－3,1}是数集, 所以两个集合没有公共元素, 故选D.6．已知全集U＝R, 集合A＝{x|1<x≤3}, B＝{x|x>2}, 则A∩(∁U B)等于()A．{x|1<x≤2} B．{x|1≤x<2}C．{x|1≤x≤2} D．{x|1≤x≤3}答案：A解析：U＝R, ∴∁U B＝{x|x≤2}, A∩∁U B＝{x|1<x≤3}∩{x|x≤2}＝{x|1<x≤2}．选A.二、填空题(本大题共3个小题, 每小题5分, 共15分)7．已知集合U＝R, A＝{x|－2<x≤5}, B＝{x|4≤x<6}, 则∁U(A∪B)＝________.答案：{x|x≤－2或x≥6}解析：(A∪B)＝{x|－2<x<6}又U＝R, 所以可得∁U(A∪B)＝{x|x≤－2或x≥6}．8．如图所示, 阴影部分表示的集合为________．答案：∁U(A∪B)∪(A∩B)解析：阴影部分有两类：(1)∁U(A∪B)；(2)A∩B.9．设集合M＝{x|x>1, x∈R}, N＝{y|y＝2x2, x∈R}, P＝{(x, y)|y＝x－1, x∈R, y∈R}, 则(∁R M)∩N＝________, M∩P＝________.答案：{x|0≤x≤1}∅解析：因为M＝{x|x>1, x∈R}, 所以∁R M＝{x|x≤1, x∈R}, 又N＝{y|y＝2x2, x∈R}＝{y|y≥0}, 所以(∁R M)∩N＝{x|0≤x≤1}．因为M＝{x|x>1, x∈R}表达数集, 而P＝{(x, y)|y＝x －1, x∈R, y∈R}表示点集, 所以M∩P＝∅.三、解答题(本大题共4小题, 共45分)10．(12分)某班有50名学生, 有36名同学参加学校组织的数学竞赛, 有23名同学参加物理竞赛, 有3名学生两科竞赛均未参加, 问该班有多少同学同时参加了数学、物理两科竞赛？解：全集为U, 其中含有50名学生, 设集合A表示参加数学竞赛的学生, B表示参加物理竞赛的学生, 则U中元素个数为50, A中元素个数为36, B中元素个数为23, 全集中A、B 之外的学生有3名, 设数学、物理均参加的学生为x名, 则有(36－x)＋(23－x)＋x＋3＝50, 解得x＝12.所以, 本班有12名学生同时参加了数学、物理两科竞赛．11．(13分)已知集合A＝{x|2<x<7}, B＝{x|2<x<10}, C＝{x|5－a<x<a}．(1)求A∪B, (∁R A)∩B；(2)若C⊆B, 求实数a的取值范围．＝{x|∅满足题设条件, 易知A BA B∅第7课时函数的有关概念第9课时映射与分段函数答案：B解析：因为|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x (x ≤0或x ≥2)，－x 2＋2x (0<x <2)，所以所求的图象为B 选项．5．设集合A ＝{a , b }, B ＝{0,1}, 从A 到B 的映射共有______个( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：如图：(2)y ＝x 2－2|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥0)，x 2＋2x －1 (x <0).图象如图所示．11．(13分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x <1x 2－2x ，x ≥1.(1)试比较f (f (－3))与f (f (3))的大小；(2)画出函数f (x )的图象； (3)若f (x )＝1, 求x 的值．解：(1)因为－3<1, 所以f (－3)＝－2×(－3)＋1＝7, 又因为7>1, 所以f (f (－3))＝f (7)＝72－2×7＝35. 因为3>1, 所以f (3)＝32－2×3＝3, 所以f (f (3))＝3. 所以f (f (－3))>f (f (3))．(2)函数图象如图实线部分所示．而f(x1)<0, f(x2)<0, ∴f(x1)f(x2)>0. ∴F(x2)－F(x1)<0, 即F(x2)<F(x1)．∴F(x)在(0, ＋∞)上为减函数．。
2021新教材人教版高中数学A版必修第一册模块练习题--4.1~4.4综合拔高练
4.1~4.4综合拔高练五年高考练考点1 指数式与对数式的恒等变形 1.(2019北京,6,5分,)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2-m 1=52lg E 1E 2,其中星等为m k 的星的亮度为E k (k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳的亮度与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10-10.1 2.(2017北京,8,5分,)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是(参考数据:lg 3≈0.48)( ) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093 3.(2018课标全国Ⅲ,12,5分,)设a=log 0.20.3,b=log 20.3,则( )A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<0<abD.ab<0<a+b 4.(2016浙江,12,6分,)已知a>b>1.若log a b+log b a=52,a b =b a ,则a= ,b= .考点2 指数函数、对数函数和幂函数的综合运用 5.(2019课标全国Ⅰ,3,5分,)已知a=log 20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a 6.(2019天津,6,5分,)已知a=log 52,b=log 0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c 的大小关系为( )A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b7.(2019浙江,6,5分,)在同一直角坐标系中,函数y=1a x,y=log a(x+ 12)(a>0,且a≠1)的图象可能是()ABCD8.(2019课标全国Ⅲ,7,5分,)函数y=2x 32x+2-x在[-6,6]上的图象大致为()ABCD9.(2018课标全国Ⅲ文,7,5分,)下列函数中,其图象与函数y=ln x 的图象关于直线x=1对称的是( ) A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x) C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x) 10.(2018课标全国Ⅰ文,12,5分,)设函数f(x)={2-x ,x ≤0,1,x >0,则满足f(x+1)<f(2x)的x 的取值范围是( ) A.(-∞,-1] B.(0,+∞) C.(-1,0) D.(-∞,0) 11.(2018江苏,5,5分,)函数f(x)=√log 2x -1的定义域为 .考点3含参数的指数函数、对数函数问题的解法12.(2019课标全国Ⅱ,14,5分,)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-e ax.若f(ln2)=8,则a=.13.(2018课标全国Ⅰ文,13,5分,)已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a=.14.(2016天津,13,5分,)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-√2),则a的取值范围是.强基计划的两15.(2018年复旦大学自主招生试题,)设方程log3x3+log273x=-43个根为a和b,则a+b的值为.三年模拟练应用实践1.(2020北京丰台高一上期中,)函数f(x)=√2x-1的定义域为()A.(-∞,0)B.(-∞,0]C.(0,+∞)D.[0,+∞)2.(2020福建莆田一中高一上期末,)已知a=0.5-1.5,b=log615,c=log516,则()A.b<c<aB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b3.(2020山东师大附中高一上第一次学分认定考试,)设0<a<1,函数f(x)=log a (a 2x -2a x -2),使f(x)<0的x 的取值范围是( ) A.(-∞,0) B.(log a 3,+∞) C.(-∞,log a 3) D.(0,+∞)4.(2019四川成都外国语学校高一上期中,)若直角坐标平面内的两点P,Q 满足条件:①P,Q 都在函数y=f(x)的图象上;②P,Q 关于原点对称,则对称点[P,Q]是函数y=f(x)的一对“好友点对”(注:点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“好友点对”).已知函数f(x)={log 2x(x >0),-x 2-4x(x ≤0),则此函数的“好友点对”有( )A.0对B.1对C.2对D.3对5.(多选)(2020山东枣庄高一上期末,) 具有性质f (1x)=-f(x)的函数,我们称之为满足“倒负”变换的T 函数.下列函数中是T 函数的有(深度解析)A.f(x)=x-1xB.f(x)=x+1xC.f(x)={x,0<x <10,x =1-1x,x >1D.f(x)=ln 1-x1+x (x ≠0)6.(多选)(2020山东菏泽高一上期末,)对数函数y=log a x(a>0且a ≠1)与二次函数y=(a-1)x 2-x 在同一坐标系内的图象不可能是(深度解析)7.(2020河北唐山一中高一上期中,)已知定义域为R的函数f(x)=-2x+b2x+1+2是奇函数.(1)求b的值;(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明;(3)当x∈[12,3]时,f(kx2)+f(2x-1)>0恒成立,求实数k的取值范围.迁移创新8.(2020河南省实验中学高一上期中,)已知函数f(x)=log a(a x+t)(a>0,且a≠1).(1)若函数f(x)的定义域为R,求实数t的取值范围;(2)若函数f(x)的定义域为D,且满足如下两个条件:①f(x)在D内是单调递增函数;②存在[m2,n2]⊆D,使得f(x)在[m2,n2]上的值域为[m,n],那么就称函数f(x)为“希望函数”,若函数f(x)=log a(a x+t)(a>0,且a≠1)是“希望函数”,求实数t的取值范围.答案全解全析 五年高考练1.A 依题意,m 1=-26.7,m 2=-1.45,所以52lg E1E 2=-1.45-(-26.7)=25.25,所以lg E 1E 2=25.25×25=10.1,所以E1E 2=1010.1.故选A.2.D 设MN=33611080=t(t>0),∴3361=t ·1080,∴361lg 3=lg t+80, ∴361×0.48≈lg t+80,∴lg t ≈173.28-80=93.28,∴t ≈1093.28. 故选D.3.B ∵a=log 0.20.3,b=log 20.3,∴1a=log 0.30.2,1b=log 0.32,∴1a +1b=log 0.30.4,∴0<1a +1b<1,即0<a+b ab<1.又∵a>0,b<0,∴ab<0,∴ab<a+b<0. 故选B. 4.答案 4;2解析 令log a b=t,∵a>b>1,∴0<t<1,由log a b+log b a=52得,t+1t =52,解得t=12或t=2(舍去),即log a b=12,∴b=√a ,又a b =ba,∴a √a =(√a )a,即a √a =a a2,∴√a =a2,解得a=4,∴b=2.5.B ∵a=log 20.2<log 21=0,b=20.2>20=1,c=0.20.3∈(0,0.20),即c ∈(0,1),∴a<c<b,故选B.6.A 因为a=log 52<log 5√5=12,b=log 0.50.2>log 0.50.5=1,c=0.50.2=(12)15>12,0.50.2<1,所以a<c<b,故选A.7.D 对于函数y=log a (x +12),当y=0时,有x+12=1,得x=12,即y=log a (x +12)的图象恒过定点(12,0),排除选项A 、C;函数y=1a x 与y=log a (x +12)在各自定义域上单调性相反,排除选项B,故选D.8.B 设f(x)=2x 32x +2-x(x ∈[-6,6]),则f(-x)=2(-x)32-x +2x=-f(x),∴f(x)为奇函数,排除选项C;当x=-1时, f(-1)=-45<0,排除选项D;当x=4时, f(4)=12816+116≈7.97,排除选项A.故选B.9.B 解法一:y=ln x 图象上的点P(1,0)关于直线x=1的对称点是它本身,则点P 在y=ln x 图象关于直线x=1对称的图象上,结合选项可知,B 正确.故选B.解法二:设Q(x,y)是所求函数图象上任一点,则其关于直线x=1的对称点P(2-x,y)在函数y=ln x 图象上, ∴y=ln(2-x).故选B.10.D 函数f(x)={2-x ,x ≤0,1,x >0的图象如图所示:由f(x+1)<f(2x)得{2x <0,2x <x +1,得{x <0,x <1.∴x<0,故选D. 11.答案 [2,+∞)解析 由题意可得log 2x-1≥0,即log 2x ≥1,∴x ≥2. ∴函数的定义域为[2,+∞). 12.答案 -3解析 由x>0可得-x<0,由f(x)是奇函数可知f(-x)=-f(x), ∴x>0时, f(x)=-f(-x)=-[-e a(-x)]=e -ax ,则f(ln 2)=e -aln 2=8, ∴-aln 2=ln 8=3ln 2, ∴a=-3. 13.答案 -7解析 ∵f(x)=log 2(x 2+a)且f(3)=1, ∴f(3)=log 2(9+a)=1, ∴a+9=2,∴a=-7. 14.答案 (12,32)解析 由题意知函数f(x)在(0,+∞)上单调递减. 因为f(2|a-1|)>f(-√2),f(-√2)=f(√2),所以f(2|a-1|)>f(√2),所以2|a-1|<212,解之得12<a<32.15.答案1081解析 利用对数的换底公式把方程log 3x 3+log 273x=-43化为11+log 3x+1+log 3x3=-43.化简得(1+log 3x)2+4(1+log 3x)+3=0, 解得1+log 3x=-1或1+log 3x=-3, ∴log 3x=-2或log 3x=-4,因此x=19或x=181,从而a+b=19+181=1081,故答案为1081.三年模拟练应用实践1.D 依题意得2x -1≥0,即2x ≥1=20,因此x ≥0,从而函数f(x)的定义域为[0,+∞),故选D.2.A a=0.5-1.5=21.5=2√2>2,b=log 615<log 636=2,c=log 516<log 525=2,因此a>b,a>c.又lg 16>lg 15>0,lg 6>lg 5>0,∴lg15lg6<lg16lg5,即log 615<log 516,从而b<c<a,故选A.3.C f(x)<0⇔log a (a 2x -2a x -2)<log a 1.∵0<a<1,∴a 2x -2a x -2>1,即(a x )2-2a x -3>0⇔(a x -3)(a x +1)>0. 又a x +1>0,∴a x -3>0, 因此a x >3=a log a 3,由0<a<1得x<log a 3.故选C.4.C 根据题意得,当x ≥0时,-x ≤0, 则f(-x)=-(-x)2-4(-x)=-x 2+4x,可知,若函数为奇函数,可有f(x)=x 2-4x,则函数y=-x 2-4x(x ≤0)的图象关于原点对称的图象对应的函数是y=x 2-4x(x ≥0),作出函数y=x 2-4x(x ≥0)的图象,看它与函数f(x)=log 2x(x>0)的交点个数即可得到“好友点对”的个数. 如图所示,观察图象可得它们的交点个数是2, 即f(x)的“好友点对”有2对,故选C.5.AC 选项A 中, f (1x )=1x -11x =1x -x=-f(x),A 项符合T 函数的定义; 选项B 中,f (1x )=1x +11x =1x +x=f(x),B 项不符合T 函数的定义; 选项C 中,当0<x<1时,1x >1, f(x)=x, f (1x )=-11x =-x=-f(x), 当x>1时,0<1x <1, f(x)=-1x , f (1x )=1x=-f(x), 又f(1)=-f(1)=0,故C 项符合T 函数的定义;选项D 中,函数的定义域为(-1,0)∪(0,1),此时,1x 不在函数的定义域内,D 项不符合T 函数的定义.故选AC.解题模板 解决新定义问题时,利用新定义逐一验证是解题的常见手段,分段函数中每一段不同函数都要单独进行验证.6.BCD 选项A,B 中,由对数函数图象得a>1,则二次函数中二次项系数a-1>0,其对应方程的两个根为0,1a -1,选项A 中,由图象得1a -1>1,从而1<a<2,选项A 可能;选项B 中,由图象得1a -1<0,与a>1相矛盾,选项B 不可能;选项C,D 中,由对数函数的图象得0<a<1,则a-1<0,二次函数图象开口向下,D 不可能;选项C 中,由图象与x 轴的交点的位置得1a -1>1,与0<a<1相矛盾,选项C 不可能.故选BCD.解题模板 确定含参数的函数的图象,要分析函数中参数的几何意义.特别是二次函数中,要从图象的开口方向、对称轴、与x 轴的交点位置等方面进行分析,对各个选项逐一进行判断.7.解析 (1)因为f(x)是定义在R 上的奇函数,所以f(0)=0,即-1+b 2+2=0,则b=1,经检验,当b=1时, f(x)=-2x +12x+1+2是奇函数,所以b=1. (2)f(x)=1-2x2x+1+2=-12+12x +1,f(x)在R 上是减函数. 证明如下:在R 上任取x 1,x 2,且x 1<x 2, 则f(x 2)-f(x 1)=12x 2+1-12x 1+1=2x 1-2x 2(2x 1+1)(2x 2+1),因为y=2x 在R 上单调递增,且x 1<x 2,则2x 1-2x 2<0.又因为(2x 1+1)(2x 2+1)>0,所以f(x 2)-f(x 1)<0, 即f(x 2)<f(x 1),所以f(x)在R 上是减函数.(3)因为f(kx 2)+f(2x-1)>0,所以f(kx 2)>-f(2x-1), 而f(x)是奇函数,则f(kx 2)>f(1-2x),又f(x)在R 上是减函数,所以kx 2<1-2x,即k<1-2x x 2=(1x )2-2x 在[12,3]上恒成立, 令t=1x ,则t ∈[13,2],g(t)=t 2-2t,t ∈[13,2]. 因为g(t)min =g(1)=-1,则k<-1. 所以k 的取值范围为(-∞,-1).迁移创新 8.解析 (1)因为f(x)的定义域为R,所以a x +t>0恒成立,所以t>-a x 恒成立.因为-a x <0,所以t ≥0,所以t 的取值范围是[0,+∞).(2)因为函数f(x)=log a (a x +t)(a>0,且a ≠1)是“希望函数”, 所以f(x)在[m 2,n 2]上的值域为[m,n],且函数是单调递增的. 所以{log a (a m 2+t)=m,log a (a n 2+t)=n,即{a m 2+t =a m ,a n 2+t =a n ,所以m,n 是关于x 的方程a x -a x 2-t=0的两个根,设u=a x 2(u>0), 因为m<n,所以u 2-u-t=0有2个不相等的正实数根,所以Δ=1+4t>0且两根之积等于-t>0,解得-14<t<0, 所以实数t 的取值范围是(-14,0).。