最新-2018年高考数学 仿真模拟卷7 精品
高三数学-2018年高考仿真试题七数学理 精品
普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷数 学 理工农医类(七)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.解析:①③④正确,②错误.答案: C2.解析:数据变化后,平均数改变而方差不变.答案: A3.解析: 异面直线无交点,逆命题真;B 、C 等价,均错.答案: D4.解析: a =sin1,b =sin(－1)<0,c =1,d =cos1.答案: A5.解析: T 3=T 2+1=26C ·(xa )4·(－2a x )2=x 15.答案: A6.解析: 原来函数的图象相当于把y =cos x 的图象按a =(3π,2)的方向平移得到的.由平移公式,于是原来函数的解析式为y =cos(x －3π)+2.答案: D7.解析: 由图可知,l 应与可行域中边界线CD 重合,此时－a =25134--,故a =32.答案: A 8.解析: ∵|PF 2|－|PF 1|=2a ,∴||||122PF PF =||)2|(|121PF a PF +=|PF 1|+||412PF a +4a ≥2||4||121PF a PF ⋅+4a =8a ,其中|PF 1|=2a 时等号成立.又设P (x ,y )(x ≤－a ),则由第二定义,得|PF 1|=(－x －c a 2)e =－ex －a ≥c －a ,即2a ≥c －a ,∴e =a c ≤3,又∵e >1,∴1<e ≤3.答案: A9.解析: ∵acb 55-=1,∴a (5)2－b 5+c =0.a 、b 、c ∈R.故b 2≥4ac .答案: B10.解析: AB =2BC ,OC =OA +AB +BC =OA +23AB =21AO +23OB ,∴c =－21a +23b .答案: A11.解析: 由题意知,△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成一个正四面体,而GH ∥DF ,IJ ∥DB ,所以GH 与IJ 所成的角为60°.答案: B12.解析: 注意观察第一个数及最后一个数的特征.答案: C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13.解析: ∞→n lim (122-n n －121sin2-⋅n n n )=1－∞→n lim (nn n 121sin-)=1－21=21.答案: 21 14.解析: S S '=221222121a a a ⨯⨯⨯=42.答案: 4215.解析: y =2m x ⊗=22)2()2(mx m x --+=mx 2,∴y 2=2mx (y ≥0).答案: y 2=2mx (y ≥0)16.解析: 烷烃的通式为22H C +n n ,设第n 个分子中C 原子个数为a n ,则a n +1=a n +2a n +2,故a n =3n －1(a 1+1)－1=2×3n －1－1.答案: 2×3n －1－1三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.解：(1)log 2t －2=3⇒t =32; 6分(2)2122log 2--t ≥0.6⇒8≤log 2t ≤12⇒28≤t ≤212,即t ∈［256,4096］.12分18.(1)证明:∵BA ·CA +AP ·CB －AP 2=(BP +PA )·(CQ +QA )+AP ·(CQ +QP +PB )－AP 2=BP ·CQ +BP ·QA +PA ·CQ +PA ·QA +AP ·CQ +AP ·QP +AP ·PB －AP 2=BP ·CQ +BP ·AP +PA ·CQ －AP 2+AP ·CQ +2AP 2+AP ·PB －AP 2=BP ·CQ ,∴BP ·CQ =BA ·CA +AP ·CB －AP 2.6分(2)解:由余弦定理得cos ∠BAC =AC BA BC AC BA ⋅-+2222=4322)23(4)32(222⨯⨯-+=385,∴BP ·CQ =BA ·CA +AP ·CB －AP 2=|BA ||CA |cos ∠BAC +|AP ||CB |cos α－|AP |2=23×4×385+2×32cos α－(2)2=3+6cos α.12分19.(1)证明:∵AP 在底面ABCD 内的射影为AC ,在正方形ABCD 中AC ⊥BD ,∴AP ⊥BD .3分(2)解:延长B 1P 与BC 的延长线交于点M ,连结AM ,过B 作BN ⊥AM 于点N ,连结B 1N ,则∠B 1NB 即为所求二面角的平面角,设AB =a ,则BM =3a ,∴BN =103a . ∴tan ∠B 1NB =aa 1032=3102.8分(3)解:设AB =a ,C 1P =x ,要使AP 在平面B 1AC 上的射影是∠B 1AC 的平分线,则∠PAB 1= ∠PAC ,∴cos ∠PAB 1=cos ∠PAC ,即222)2(2a x a a +-=22222222)2(52)(2)2(5a x a a a x a x a a +-⋅+-+-+, 解得x =2105-a , ∴P 到C 1的距离是底面边长的2105-.12分20.(1)证明:2)()(x f x f -+=2])()[()(33b x a x b ax x +-+-+++=b .∴f (x )的图象关于(0,b )成中心对称图形.4分(2)解:由f (0)=f (1),有b =a +b +1,∴a =－1.∴f (x )=x 3－x +b ,f ′(x )=3x 2－1,x ∈［－1,1］.∴f ′(x )∈［－1,2］.∴f (x )上任一点的斜率k 的取值范围是［－1,2］. 8分(3)解:∵0≤x 1<x 2≤1,|y 1－y 2|=|x 13－x 1－x 23+x 2|=|x 1－x 2|·|x 12+x 1x 2+x 22－1|,0<x 12+x 1x 2+x 22<3,即－1<x 12+x 1x 2+x 22－1<2,∴|x 12+x 1x 2+x 22－1|<2. ∴|y 1－y 2|<2|x 1－x 2|=－2(x 1－x 2). ①又|y 1－y 2|=|f (x 1)－f (x 2)|=|f (x 1)－f (0)+f (1)－f (x 2)|≤|f (x 1)－f (0)|+|f (1)－f (x 2)|≤2(x 1－0)+2(1－x 2)=2(x 1－x 2)+2, ②①+②得|y 1－y 2|<1. 12分 21①求映射f 下(1,2)的原象.②若将(x ,y )看作点的坐标,问是否存在直线l 使得直线上的任意一点在映射f 的作用下的点仍在直线上?若存在,求出直线l 的方程,否则说明理由.解:(1)设c =(m ,n ),由题意得⎪⎩⎪⎨⎧>⋅+⋅=+=+,001,2,022n m n m n m 解得⎩⎨⎧-==,1,1n m ∴c =(1,－1).5分(2)①由题意x (1,1)+y (1,－1)=(1,2),得⎩⎨⎧=-=+,2,1y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.21,23y x∴(1,2)的原象是(23,－21). ②假设存在直线l 适合题设,平行于坐标轴的直线显然不适合.设所求的直线方程为y =kx +b (k ≠0),在该直线上任作一点P (x ,y ),经过映射f 的作用得到点Q (x ′,y ′)=(x +y ,x －y )仍在该直线上,∴x －y =k (x +y )+b ,即(1+k )y =(1－k )x －b .当b ≠0时,⎩⎨⎧-=--=+,1,11k k k 无解,故这样的直线不存在.当b =0时,(1+k )∶1=(1－k )∶k ,即k 2+2k －1=0,解得k =－1±2. 故这样的直线l 存在,其方程为y =(－1+2)x 或y =(－1－2)x .12分22.(本小题满分14分)已知二次函数f (x )=ax 2+x +1(a >0)的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 1、x 2. (1)证明(1+x 1)·(1+x 2)=1; (2)证明x 1<－1,x 2<－1; (3)若x 1、x 2满足不等式|lg21x x |≤1,试求a 的取值范围.(1)证明:由题意知,x 1、x 2是关于x 的一元二次方程ax 2+x +1的两个实数根, ∴x 1+x 2=－a 1,x 1x 2=a1. ∴x 1+x 2=－x 1·x 2,∴(1+x 1)·(1+x 2)=1.①3分(2)证明:由于关于x 的一元二次方程ax 2+x +1有实数根x 1、x 2,故有⎩⎨⎧≥-=∆>.041,0a a∴0<a ≤41.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥⋅-≤-=+,41,412121a x x ax x⎩⎨⎧>=+⋅+<-≤+++,01)1()1(,02)1()1(2121x x x x ⎩⎨⎧<+<+,01,0121x x 即x 1<－1,x 2<－1得证.8分(3)解:由|lg21x x |≤1⇔－1≤lg 21x x ≤1⇔101≤21x x ≤10, 由①得x 1=211x +－1=－221x x +. ∴21x x =－211x +. ∴101≤－211x +≤10,111≤－21x ≤1110.∴a =211x x ⋅=－2221x x +=－(－21x )2+(－21x )=－［(－21x )－21］2+41, 当－21x =21时,a 取最大值为41. 当－21x =111或－21x =1110时,a 取最小值12110. 故a 的取值范围是［12110,41］. 14分。
2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 文科数学(七)学生版
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷文科数学（七）本试题卷共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2018·孝义模拟]已知全集{}1,2,3,4U =，若{}1,3A =，{}3B =，则()()UUA B 痧等于（ ） A ．{}1,2B ．{}1,4C ．{}2,3D ．{}2,42．[2018·海南二模]已知复数z 满足()34i 34i z +=-，为z 的共轭复数，）A ．1B ．2C ．3D ．43．[2018·大同一中]如果数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为方差为28，则152x +，252x +，…，52n x +的平均数和方差分别为（）28B28C2258⨯D2258⨯4．[2018·龙岩期末]《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（ ） A ．9B ．10C ．11D ．125．[2018·宁德质检]已知0.41.9a =，0.4log 1.9b =， 1.90.4c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>6．[2018·佳木斯一中]如图，已知正方形的面积为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此试验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为（ ）A ．5.3B ．4.3C ．4.7D ．5.77．[2018·深圳中学]某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）AB ．1 8．[2018·海南二模]，则关于x 的不等式()()126f x f x -+>的解集为（ ） A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()1,49．[2018·宿州一模]在如图所示的程序框图中，若输入的2s =，输出的2018s >，则判断框内可以填入的条件是（ ）班级 姓名 准考证号 考场号座位号此卷只装订不密封A ．9i >B ．10i ≤C ．10i ≥D ．11i ≥10．[2018·天门期末]函数()()sin (0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则()()()()12318f f f f ++++的值等于（）A B 2C ．22+ D ．111．[2018·孝义模拟]已知函数()ln 2x axf x x-=，若有且仅有一个整数k ，使得()1f k >，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]1,3B ．1111ln2,ln34262⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．11ln21,ln3123⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．11,e 1e ⎛⎤--⎥⎝⎦12．[2018·佳木斯一中]与抛物线2x ay =有相同的焦点F，O 为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且（ ） ABCD 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
高三数学-2018年高考数学仿真试题(七)001 精品
试卷类型：A2018年高考数学仿真试题（七）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有1.设全集U ={1，2，3，4，5，6，7}，集合A ={1，3，5，7}，集合B ={3，5}，则A.U =A ∪BB.U =（U A ）∪B C.U =A ∪（U B ） D.U =（U A ）∪（U B2.四个条件：b ＞0＞a ;0＞a ＞b ;a ＞0＞b ;a ＞b ＞0中，能使ba 11<成立的充分条件个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 3.A.211)1(x x x +='+ B.2ln 1)(log 2x x =' C.(3x )′=3x ·log 3e D.(x 2cos x )′=－2x sin x4.已知双曲线m :9x 2－16y 2=144,若椭圆n 以m 的焦点为顶点，以m 的顶点为焦点，则椭圆nA.516±=xB.316±=xC.425±=xD.325±=x5.一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：（10，20），2；（20，30），3；（30，40），40；（40，50），5；（50，60），4；（60，70），2，则样本在（－∞，50）上的频率为A.201 B.41 C. 21 D.107 6.设z ∈C ，且z +2的辐角主值为3π，z －2的辐角主值为65π，那么z 等于 A.i 2321+- B.i 2123+- C.i +-3 D.i 31+- 7.w 是实数，函数f (x )=2sin wx 在［4,3ππ-］上递增，那么A.w <0≤23B.0＜w ≤2C.0＜w ≤724D.w ≥2 8.抛物线的焦点是（2，1），准线方程是x +y +1=0A.（0，0）B.（1，0）C.（0，－1）D.（1，19.数列{a n }的前n 项和S n =5n －3n 2(n ∈N *)A.S n ＞na 1＞na nB.S n ＜na n ＜na 1C.na n ＞S n ＞na 1D.na n ＜S n ＜na 110.若2133lim 321=+++→x ax x x ,则a 等于 A.4 B.3 C.2D.111.已知下列命题,① 若直线a ∥α,直线b ⊂c ,则a ∥b ②若直线a ∥α,α⊂β,α∩β=b ,a 在α内射影为 a ′,则a ′∥b ③若直线a ⊥直线c ，直线b ⊥直线c ，则直线a ∥直线b ④α、β、γ、δ是不同的平面，且满足α∩β=a ，γ⊥α，γ⊥β，δ⊥α，δ⊥β,则γ∥δ，其中正A.①③B.②④C.②D.12.在今年公务员录用中，某市农业局准备录用文秘人员二名，农业企业管理人员和农业法宣传人员各一名，报考农业公务员的考生有10A.5180B.2520C.1260D.210第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.已知函数f (x )是奇函数，当1≤x ≤4时，f (x )=x 2－4x +5，则当－4≤x ≤－1，函数f (x )的最大值是__________.14.若（x 2+21x ）n 的展开式中，只有第四项的系数最大，那么这个展开式中的常数项是_____. 15.求使z =2x +3y 达到最大值时，式中x ,y 满足的约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤-+≤-+304008206y x y x y x 的x =_____,y =_____.16.对于任意定义在R 上的函数f (x )，若实数x 0满足f (x 0)=x 0，则称x 0是函数f (x )的一个不动点，现给一实数a （a ∈(4.5))，则函数f (x )=x 2+ax +1的不动点共有_____个.三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12分）若a ≠0,解不等式x +2＜a (x 2+1) 18.（本小题满分12分）设)2,(),,0(),0,1(),sin ,cos 1(ππβπαββαα∈∈==+=c b a ),sin ,cos -(1，a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2，且θ1－θ2=6π，求sin 4βα-的值. 19.（本小题满分12分）直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为梯形,AB ∥CD 且AB =AD =4,∠BAD =60°, CD =2,AA =3（Ⅰ）求证：平面B 1BCC 1⊥平面ABC 1D 1（Ⅱ）求二面角B 1—AD —B 的大小的正弦值.20.（本小题满分12分）市场营销人员对过去几年某产品的价格及销售数量的关系作数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x %(x ＞0)销售量就减少kx %(其中k 为正常数）.目前，该商品定价为a 元，统计其销售量为b 个.（Ⅰ）当k =21（Ⅱ）在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时，k 的取值范围.21.（本小题满分12分）A 、B 是两个定点，且|AB |=8，动点M 到A 点的距离是10，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，若以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系.（Ⅰ）试求P 点的轨迹C（Ⅱ）直线mx －y －4m =0(m ∈R )与点P 所在曲线C 交于弦EF ，当m 变化时，试求△AEF 的面积的最大值.22.（本小题满分14分）已知f (x )在（－1，1）上有定义，f (21)=－1，且满足x ,y ∈(－1,1)有f (x )+f (y )=f (xy y x ++1) （Ⅰ）证明：f (x )在（－1，1（Ⅱ）对数列x 1=21,x n +1=212nn x x +,求f (x n ); （Ⅲ）求证252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n。
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(七)答案
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(七)答案1．A 【解析】由题意得A ={x |2x −5x +4 0}={x |1≤x ≤4}，B ={x |(x −2)(x +1)>0}={x |x <−1或x >2}，则A ∪(R B ð)={x |1 x 4}∪{x |−1 x 2}={x |−1 x 4}，故选A ． 2．A 【解析】解法一 由(z +1)(2+3i)=5−2i ，得z=52i 23i -+−1=(52i)(23i)49--+−1=419i13-−1= −913−1913i ，所以复数z 的虚部为−1913． 解法二 设z =a +b i(a ，b ∈R )，则[(a +1)+b i](2+3i)=5−2i ，即2(a +1)−3b +[3(a +1)+2b ]i=5−2i ，所以2(1)353(1)22+-=⎧⎨++=-⎩a b a b ，解得a =−913，b =−1913，所以复数z 的虚部为−1913．3．A 【解析】4．B 【解析】根据题意，将三视图还原成如图所示的几何体ABCDEA 1M ，易知四边形A 1MCE 且菱形的对角线长分别为故该几何体的表面积为2×2+2×12×1×2+2×122+×2+12× 5．A 【解析】由题意可得直径为3 cm 的圆的面积为π×23()2=94π(cm 2)，而直径为1 cm 的圆孔的面积为π×21()2=4π(cm 2)，故所求概率P =14994ππ=．6．C 【解析】y =3sin(2x +3π)+12的图象向右平移6π个单位长度得到y=3sin[2(x −6π)+3π]+12=3sin 2x +12的图象，由2x =kπ，k ∈Z 得x =2k π，k ∈Z ，所以对称中心为(2k π，12)(k ∈Z)，故选C ．7．C 【解析】不等式组2310+⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥x y x y y 变形为20301-+⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥x y x y y 作出其所表示的平面区域如图中阴影部分所示．目标函数z =mx +y (m >0)的最大值为5，①当−m <−1，即m >1时，z =mx +y 在点A (2，1)处取得最大值，则2m +1=5，m =2；②当−m =−1，即m =1时，z =x +y 的最大值为3，与题意矛盾，舍去； ③当−m >−1，即0<m <1时，z =mx +y 在点B (12，52)处取得最大值，则12m +52=5，m =5，舍去．综上，m =2，故选C ．8．D 【解析】由题意得m >0=解得m =2，所以双曲线C ：22128x y -=，设00(,)M x y ，则2200128x y -=，因为120MF MF ⋅= ，所以20x +20y =10，故0y，0x，所以满足条件的点M 共有四个，构成一个矩形，，，故面积为965． 9．D 【解析】易知()g x =3x +(b −2)2x +x +a ，则()'g x =32x +2(b −2)x +1，因为()'g x =0在区间(12，1)上有解，故Δ=4(b −2)2−12 0，即bb 2同时2(b −2)=−(3x +1x)∈(−4，−，所以0<b 2b 的取值范围为(0，2．10．B 【解析】根据程序框图，第1次循环：S=1+tan 1°，i =2；第2次循环： =(1+tan 1°)(1+tan2°)，i =3；第3次循环：S =(1+tan 1° )(1+tan 2° )(1+tan 3°)，i =4；……；第45次循环： S =(1+tan 1° )(1+tan 2° )·…·(1+tan 44° )(1+tan 45°)，i =46．由于(1+tan n ° )[1+tan (45−n )°]=2(n 为小于45的正整数)，则S =(1+tan 1°)(1+tan 2°)·…·(1+tan 44°)(1+tan 45°)=232，故结合题意选B ．11．C 【解析】因为AB =AC =1，BCBAC =120°，以底面三角形ABC 作菱形ABDC ，如图所示，则OD ⊥平面ABC ，又SC ⊥AC ， SC ⊥BC ，AC ∩BC =C ，所以SC ⊥平面ABC ，则OD ∥SC ．过点O 作OE ⊥SC ，垂足为E ，设球O 的半径为r ，则在直角梯形ODCS 中，OC =OS =r ，所以EC =12， 所以r==， 所以球O 的表面积S=4π2r=4×π×2=5π，故选C ． 12．B 【解析】不等式()()0f x g x x -<⇔0()()x f x g x >⎧⎨<⎩或0()()x f x g x <⎧⎨>⎩．作出函数()f x =22|2|,0,0x x x x -+⎧⎨>⎩≤的大致图象如图所示．当k =0时，x >0，()f x <()g x 无整数解，x <0，()f x >()g x 不止一个整数解．如①或②所示，当k >0，x >0时，由图象可得()f x <()g x 无整数解或不止一个整数解，x <0时，()f x >()g x 不止一个整数解．当k <0时，若x >0，如③所示，若直线y =4()3k x -经过点C (1，1)，此时()f x <()g x 无整数解，故当k <AC k =−3时，恰有一个整数解x =1，而此时 x <0，()f x >()g x 无解．如④所示，若直线y =4()3k x -经过点E (−2，2)时，此时x >0，()f x <()g x 无整数解，x <0，()f x >()g x 无整数解．如⑤所示，若直线y=4()3k x -经过点D (−1，1)时，此时x >0，()f x <()g x 无整数解，x <0，()f x >()g x 有唯一整数解x =−2，故−35=EA k <k ≤DA k =−37． 如⑥所示，若直线y =4()3k x -经过点F (−3，1)时，此时x >0，()f x <()g x 无整数解，x <0，()f x >()g x 有两个整数解x =−2和x =−1，不符合题意． 综上，k 的取值范围为(−∞，−3)∪(−35，−37]． 13．23π【解析】根据题意，作出等腰梯形ABCD 如图所示，取BC 的中点E ，连接DE ，则=ED BA =2a +b ，= EC AD =2a ．易知=- CD ED EC =2a +b −2a =b ，△EDC 是等边三角形，则向量a ，b 的夹角为23π．14．−10【解析】由题意得(22x −x −1)4(1)-x =(2x +1)5(1)-x ，根据二项展开式的通项，得展开式中含3x 项的系数是225C (1)-+2335C (1)-=−10．15．23【解析】设海难搜救艇追上货轮所需的最短时间为t 小时． 在△ABC 中，∠BAC =45°+75°=120°，AB =10，AC =9t ，BC =21t ， 由余弦定理得，2BC =2AB +2AC −2AB ·AC ·cos ∠BAC ， 所以2(21)t =210+2(9)t −2×10×9t ×(−12)，化简得362t −9t −10=0， 解得t =23或t =−512(舍去)．所以海难搜救艇追上货轮所需的最短时间为23小时．16．易知F (4，0)，准线l ：x =−4，P (−4，0)．设A (x ，y )，则2y =16x ，由抛物线的定义可得|AF |=x −(−4)=x +4，又|AP |=，|AP |=3|AF |，所以2(4)+x +16x =1792(4)+x ，整理得2x −10x +16=0，解得x =2或x =8．而|PF |=8，当x =2时，2y =16×2=32，故|y此时△APF 的面积S =12×|PF |×|y |=12×8×当x =8时，2y =16×8=128，故|y此时△APF 的面积S =12×|PF |×|y |=12×8×所以S17．【解析】(1)由1+n S −2n S =1(n ∈N*)得n S −21-n S =1(n 2，n ∈N*)，两式相减得1+n a =2n a (n 2，n ∈N*)．（1分）又2S −21S =1，1a =1，所以1a +2a −21a =1，得2a =2，（3分） 则2a =21a ，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以n a =12-n ．（5分）(2)由(1)知n b =12-+n nn ， 所以n T =1+2+…+n +1+22+232+…+12-n n =(1)2+n n +1+22+232+…+12-n n，令n A =1+22+232+…+12-n n①，则12n A =12+222+332+…+112--n n +2n n②，①−②得12n A =1+12+212+…+112-n −2n n =2[1−1()2n ]−2n n =2−22+n n ，所以n A =4−122-+n n ．所以n T =(1)2+n n +4−122-+n n ．（12分）【备注】在历年高考中，数列解答题的考查重点是等差数列与等比数列的概念、通项公式、求和公式以及数列求和的常用方法(错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法等)．常见的命题形式有以下几种：(1)等差数列、等比数列内部的综合；(2)将数列与函数、不等式等知识综合起来；(3)给出一个递推关系式，在此基础上设计几个小问，此时第一小问求出的数列往往是特殊数列，第二问通常有一定难度，需要考生有较高的悟性．18．【解析】(1)从这60名高二学生中随机选出2名的基本事件总数为260C =1 770，且这2人在同一班级的基本事件个数为220C +215C +215C +210C =445，故所求概率P =445891770354=．（5分） (2)由题意得X 的所有可能取值为0，1，2，则P (X =0)=240260C C =2659，P (X =1)=112040260C C C =80177，P (X =2)=220260C C =91771，（10分） 所以X 的分布列为EX =0×2659+1×80177+2×177=177．（12分） 19．【解析】(1)在直三棱柱ABC −111A B C 中，1A A ∥1C C ，1A A =1C C ，由1C 为1A P 的中点，可知D 是AP 的中点，D 是棱1C C 的中点．如图，连接1B A 交1BA 于点O ，连接OD ，则OD 是△1AB P 的中位线，∴OD ∥1B P ． 又OD ⊂平面1BDA ，1PB ⊄平面1BDA ，∴1PB ∥平面1BDA ．（5分） (2)∵在直三棱柱ABC −111A B C 中，BCAB =AC =1，∴AB ⊥AC ，以1A 为坐标原点，11A B ，1A P ，1A A 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则1A (0，0，0)，1B (1，0，0)，D (0，1，12)，P (0，2，0)， 11 A B =(1，0，0)，1 A D =(0，1，12)．（7分） 设平面11A B D 的法向量为m =(x ，y ，z )，则11100⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ A B A D m m 即0102=⎧⎪⎨+=⎪⎩x y z 则x =0，取z =2，得y =−1， ∴m =(0，−1，2)是平面11A B D 的一个法向量．（9分） 同理可得平面1PB D 的一个法向量为n =(2，1，2)． 设二面角1A −1B D −P 的平面角为θ，则|cos θ|=||||||⋅m n m nsin θ=，即二面角1A −1B D −P的正弦值为5．（12分） 【备注】求解二面角时，通常是用空间向量法，即建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两个平面的法向量，由法向量的夹角求得二面角．在用这种方法求解时，有一个易错的地方是没有判断二面角是锐角还是钝角，就想当然地认为法向量的夹角就是二面角．20．【解析】(1)满足120MF MF ⋅= 的点M 在以12FF 为直径的圆222x y c +=上，又在直线0x y -=上有且只有一个点M 满足120MF MF ⋅=，所以直线0x y -=与圆222x y c +=c ==1．（3分）又椭圆C 的离心率12c e a ==， 则a =2，2b =2a −2c =3，椭圆C 的方程为22143x y +=．（5分） (2)由题意可得3(1,)2P ，假设存在满足条件的A ，B ，易知直线AB 的斜率一定存在，设为k ， 则直线AB 的方程为(1)y k x =-，直线PQ 的方程为3(1)2y k x -=-． 由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=，（7分）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1x +2x =22834k k +，1x 2x =2241234k k -+．由223(1)2143y k x x y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 消去y 整理得2222(34)(812)41230k x k x k k +--+--=（8分）由Δ>0得12k ≠-， 设Q (3x ，3y )，又3(1,)2P ，则3x +1=2281234k k k -+，3x ·1=22412334k k k--+． 若四边形P ABQ 是平行四边形，则PB 的中点与AQ 的中点重合， 所以132122x x x ++=，即1x −2x =1−3x ，（10分） 则212()x x +−41x 2x =23(1)x -，所以2228()34k k +−4×2241234k k -+=(1−22412334k k k--+)2， 化简得4222164(3)(34)9(21)k k k k --+=+，解得34k =， 所以存在A ，B ，使得四边形P AB Q 是平行四边形，弦AB 所在直线的方程为3(1)4y x =-，即3x −4y −3=0．（12分） 21．【解析】(1)依题意，()f x =()g x +()xh x =ln x x −22a x −x +a ，定义域为(0，+∞)， 则()'f x =ln -x ax ，所以方程()'f x =0在(0，+∞)上有两个不同实根，即方程ln -x ax =0在(0，+∞)上有两个不同实根．（2分）解法一 方程ln -x ax =0在 (0，+∞)上有两个不同实根转化为函数y=ln x 的图象与函数y=ax 的图象在(0，+∞)上有两个不同的交点，如图所示．令过原点且切于函数y=ln x 图象的直线斜率为k ，切点A (0x ，0ln x )， 所以k =0'=y x x =01x ．又k =00ln x x ，所以000ln 1=x x x ，解得0=x e ，于是k =1e ，所以0<a <1e．（5分） 解法二 令()F x =ln -x ax (x >0)，从而方程ln -x ax =0在(0，+∞)上有两个不同实根转化为函数()F x 在(0，+∞)上有两个不同零点， 而()'F x =1x −a =1-axx(x >0)， 若a ≤0，则()'F x >0在(0，+∞)上恒成立，所以()F x 在(0，+∞)上单调递增，此时()F x 在(0，+∞)上不可能有两个不同零点．若a >0，则当0<x <1a 时，()'F x >0，当x >1a 时，()'F x <0， 所以()F x 当(0，1a )上单调递增，在(1a ，+∞)上单调递减，从而()F x 极大值=F (1a )=ln 1a−1．又当x 趋近于0时，()F x 趋近于−∞，当x 趋近于+∞时，()F x 趋近于−∞，于是只需()F x 极大值>0，即ln1a −1>0，所以0<a <1e． 综上所述，实数a 的取值范围是(0，1e)．（5分）(2)由(1)可知1x ，2x 分别是方程ln -x ax =0的两个根， 即ln 1x =a 1x ，ln 2x =a 2x ，（6分）不妨设1x >2x ，则ln 12xx =a (1x −2x )，即a =1212ln-x x x x ．ln 1x +ln 2x >2⇔a (1x +2x )>2⇔ln12x x >12122()-+x x x x ， 令12x x =t ，则t >1，ln 12x x >12122()-+x x x x ⇔ln t >2(1)1-+t t ．（9分） 设()m t =ln t −2(1)1-+t t ，则()'m t =22(1)(1)-+t t t ≥0， 所以函数()m t 在(0，+∞)上单调递增，所以当t ∈(1，+∞)时，()m t >(1)m =0，即不等式ln t >2(1)1-+t t 成立，故12ln ln +x x >2成立．（12分）【备注】历年新课标高考试题会将函数与导数题放在解答题的最后一题，主要考查函数的零点、导数的求法以及导数在研究函数性质和证明不等式等方面的应用，考查等价转化、分类讨论、数形结合等数学思想方法以及考生综合分析问题与解决问题的能力．22．【解析】(1)由ρsin 2θ−6cos θ=0，得2ρsin 2θ−6ρcos θ=0，即2y −6x =0，故曲线C 的直角坐标方程为2y =6x ．将直线l 的参数方程消去参数t ，得x−3=0．（5分）(2)将l 的参数方程代入2y =6x ，得2t −−72=0．设1P ，2P 对应的参数分别为1t ，2t ，则1t +2t1t 2t =−72，又0P (3，0)在直线l ：x−3=0上，所以|01P P |·|02P P |=|1t 2t |=72．（10分） 23．【解析】(1)当a =4时，()f x =|12-x |+|+a x x |=32,2251,222312,22x x x x x ⎧---⎪⎪⎪-<<⎨⎪⎪+⎪⎩≤≥画出()f x 的图象如图所示．（5分）(2)当a =2时，设()h x =2()f x =|2x −1|+2|x +1|=41,113,12141,2x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪-⎨⎪⎪+>⎪⎩≤≤由2()f x <()g x 得，①1413<-⎧⎨--<+⎩x x x ，无解； ②11233x x ⎧-⎪⎨⎪<+⎩≤≤，解得0<x 12； ③12413⎧>⎪⎨⎪+<+⎩x x x ，解得12<x <23．综上所述，不等式2()f x <()g x 的解集为(0，23)．（10分）。
2018年高考数学模拟试卷(7)参考答案
2018年高考模拟试卷（7）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 【答案】0【解析】()222i 12i z a a a =+=-+是实数，则0a =．2．【解析】根据三角函数定义，sin α==．3． 【答案】(]2,3【解析】图中阴影部分所表示的集合为()U C M N ，即为(]2,3．4． 【答案】18【解析】校A 专业对视力要求不低于0.9的学生数为45()10.750.250.218⨯++⨯=． 5． 【答案】23【解析】从4只小球中任取2只小球共有6种取法，其中2只球的编号之和是奇数的有4种，则所求概率为23．6． 【答案】2【解析】根据循环，依次得到,,n M S 的值分别为2443,,log 33；225454,,log log 434+，…，22212451211,,log log log 113411+++，因为2224512log log log 223411S =+++=≥，所以最后的输出结果为2．7．【解析】由题意，235k -=，即4k =，所以双曲线为2214x y -= 8． 【答案】128π【解析】设圆锥底面半径为r ，高为h ，由题意，π1080πr ⨯=，得8r =．所以6h =，容积为2211ππ8633128πr h =⨯⨯=．9． 【答案】6-因为23AE AD =，12AF AD DF AD AB =+=+；23BE BA AE AD AB =+=-，那么AF BE ⋅=()()1223AD AB AD AB +⋅-22212323AD AB AB AD =--⋅6846=--=-． 10． 【答案】76【解析】由a 4 + 3a 11= 0，知713q =-，所以212114147116S q S q -==-．11．【解析】由2222310x y mx m +--+-=得，()()2221x m y m -+=+，则圆心()m 到直线y kx =2km -，设截得的半弦长为p ，则()221pm =+-(2221km k -=+)2222111m k k -+++（与实数m 无关），10-=，k =．12． 【答案】1【解析】由cos 2sin sin A B C =得，()cos 2sin sin B C B C -+=， 即cos cos sin sin 2sin sin B C B C B C -+=，所以tan tan 1B C =-， 所以()tan tan 2tan tan 1tan tan 111B C A B C B C +-=-+===---．13．【答案】 83或3．【分析】当a ＞2时，设椭圆的另外一个焦点为F ′，联结AF ′，BF ′． 则AF ′＋BF ′≥|AB |＝3．故AF ＋BF ＝4a －(AF ′＋BF ′)≤4 a －3．所以AF ·BF ≤(AF ·BF 2)2≤(4 a －32)2．当且仅当线段AB 过点F ′，且AF ＝BF ＝4 a －32时，上式等号成立，此时，AB ⊥x 轴，且AB 过点F ′．于是 4c 2＝|FF ′|2＝(4 a －32)2－(32)2＝4a 2－6a ，即c 2＝a 2－32a ．则a 2＝4＋(a 2－32a )，得a ＝83．类似地，当0＜a ＜2时，可得a ＝3．14． 【答案】1763⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【分析】当163k =时，()()f x g x ，的图象相切；6k =时，()()f x g x ，的图象均过点()24，， ()416，，故唯一的正整数3x =，同时174k k +≤，从而1763k ≤≤．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．(本小题满分14分)解：（1）因为3sin 5A =，()π02A ∈，，所以4cos 5A ===． ……3分 在△ABC 中，由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=得，()2226254522c c+-=⨯⨯，解得85c =，所以AB 的长为85． ……6分（2）由（1）知，3sin 35tan cos 445A A A ===， ……8分所以()()()31tan tan 1343tan tan 3191tan tan 143A AB B A A B A A B +--=--===⎡⎤⎣⎦+--⨯． ……11分 在△ABC 中，πA B C ++=，所以()313tan tan 7949tan tan tan tan 13133149A B C A B A B ++=-+===-⨯-． ……14分16．(本小题满分14分)证明：（1）因为BC //平面PDE ， BC ⊂平面ABC ，平面PDE平面ABC =DE ，所以BC ∥DE . ……3分 因为DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//DE 平面PBC ． ……6分 （2）由（1）知，BC ∥DE ．在△ABC 中，因为点E 为AC 的中点，所以D 是AB 的中点． 因为AC BC =，所以AB CD ⊥， ……9分因为平面PCD ⊥平面ABC ，平面PCD平面ABC =CD ，AB ⊂平面ABC ，则AB ⊥平面PCD ． ……12分 因为AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面PCD ． ……14分 17．(本小题满分14分 解：（1）如图1，过点B 作2l 的垂线，分别交1l ，3l ，于点D ，E ，设DBA θ∠=，则23EBC θπ∠=-．则1cos AB θ=，()22πcos 3BC θ=-．……2分 因为AB BC =，所以()12cos 2πcos 3θθ=-， 化简得5cos θθ=，所以tan θ=，则cos θ=，所以边长1cos AB θ==． ……6分（2）如图2，过点B 作2l 的垂线，分别交1l ，3l 于点D ，E ． 设DBA θ∠=，则π2EBC θ∠=-，则1cos AB θ=，2sin BC θ=． 于是184cos sin AB BC θθ+=+． ……8分记18()cos sin f θθθ=+，()π02θ∈，．BC Al 3l 2l 1 图2DE B CAl 3l 2l 1图1D E求导，得333222221sin 8cossin 8cos tan 8()cos sin sin cos sin cos f θθθθθθθθθθθθ---'=-==．……10分 令()0f θ'=，得tan 2θ=．记0tan 2θ=， 列表：当0θθ=时，()f θ取最小值，此时sin θ=，cos θ，0()f θ=……12分 答：（1）边长AB ；（2）4AB BC +长度的最小值为．……14分18．(本小题满分16分)解：（1）设点()M x y ，PQ =，得()P x ．因为P 为圆O ：222x y +=上的动点， 所以)222x +=，即2212x y +=，所以当点P 运动时，点M 始终在定椭圆2212x y +=上． ……4分 （2）①设11()A x y ，，22()B x y ，，当10y ≠时，直线AT的方程为：()1111x y y x x y -=--，即221111x x y y x y +=+， 因为22112x y +=，所以112x x y y +=， 当10y =时，直线AT 的方程为：x = 综上，直线AT 的方程为：112x x y y +=． 同理，直线BT 的方程为：222x x y y +=．又点T ()2()t t -∈R ，在直线AT ，BT 上，则1122x ty -+=，① 2222x ty -+=，② 由①②知，直线AB 的方程为：22x ty -+=．所以直线AB 过定点()10-，． ……9分 ②设33()C x y ，,44()D x y ，， 则O 到AB的距离d =AB = ……11分由222212x ty x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(8)440t y ty +--=， 于是34248t y y t +=+，34248y y t -=+，所以34CD y =-， ……13分于是AB CD ，AB CD ⇔⇔()222(8)2t t ++2≤()222(4)4t t ++ ⇔42(6)t t +≥0（显然）所以AB CD． ……16分19．(本小题满分16分)解：设等差数列{}n a 的公差为d ．因为无穷数列{}na 的各项均为互不相同的正整数，所以*1a ∈N ，*d ∈N ．（1）①由25a =，540S =得，15a d +=，1545402a d ⨯+=， ……2分解得12a =，3d =．所以21222215S ab a a =-==． ……4分 ②因为数列{}nb 为等差数列，所以2132b b b =+，即()3212132111S S Sa a a -=-+-．所以()()111122312a d a d a d a d++=+++，解得1a d =（0d =已舍）． ……6分 此时，()11112112n n n n n a S n b a na +-=-=-=． ……8分 （2）因为()111111a a a a d +=++-⎡⎤⎣⎦是数列{}n a 的第()11a +项， ()1(2)111(2)11a d a a a d d ++=+++-⎡⎤⎣⎦是{}n a 的第()1(2)1a d ++项，且()()1222111a a a d +=+，[]11(2)1111(2)a d a a a a a d d ++⋅=⋅++，所以()121a a +11(2)1a d a a ++=⋅．又1111(2)1a a a d <+<++， 所以数列{}na 中存在三项1a ，11a a +，1(2)1a d a ++按原来的顺序）成等比数列． ……16分 20．(本小题满分16分)解：（1）设直线1y kx =+与()f x 的图象的切点为00(e )x x ，． 因为()e xf x '=，所以000e e 1x x kkx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩， ……2分所以00e (1)10x x -+=．令()e (1)1x x x ϕ=-+，()e x x x ϕ'=⋅． 令()0x ϕ'=得0x =．所以min ()(0)0x ϕϕ==，所以00x =，所以1k =． ……4分（2）2()e x h x mx =- (0)x >．令()0h x =得2e x m x=． 令2e ()xt x m=- (0)x >，3e (2)()x x t x -'=．当2x =时，()t x 有最小值2e (2)4t m =-．因为()t x 在(0)+∞，上的图象是连续不断的，当2e 4m <时，()0t x >在(0)+∞，上恒成立，所以()h x 在(0)+∞，无零点；当2e 4m =时，min ()0t x = 所以()h x 在(0)+∞，有且仅有一个零点； 当2e 4m >时，此时min ()(2)0t x t =<，因为()112211e e 0m m t m m m m m ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭，所以()t x 在(02)，上有且仅有一个零点．又因为33322e 1(3)(e 9)99mm t m m m m m=-=-， 令31()e 3x u x x =-，(2,)x ∈+∞， 则2()e x u x x '=-，()e 2x u x x ''=-，所以()e 20x u x '''=->． 所以()u x ''在(2)+∞，上单调递增，所以2()(2)e 40u x u ''''>=->， 所以()u x '在(2)+∞，单调递增，所以2()(2)e 40u x u ''>=->， 所以()u x 在(2)+∞，单调递增，所以28()(2)e 03u x u >=->，所以31e 3x x >在(2)+∞，恒成立，所以33e 9m m >，即(3)0t m >，所以()t x 在(2)+∞，上有且仅有一个零点． 所以()h x 在(0)+∞，上有两个零点．综上所述，2e 4m <时，()h x 在(0)+∞，无零点；2e 4m =时，()h x 在(0)+∞，有且仅有一个零点；2e 4m >时，()h x 在(0)+∞，有两个零点． ……10分 （3）因为()e x f x =在()-∞+∞，上单调增，且21x x >， 所以21()()f x f x >，210x x ->，所以122121()()()()2f x f x f x f x x x +->-122121e e e e 2x x x x x x +-⇔>-212121e e 2e ex x x x x x --⇔>+ 2121211e 1()2e 1x x x x x x ---⇔->+212112()1()2e 1x x x x -⇔->-*+． 令2()12e 1x x x ϕ=+-+(0)x >，222(e 1)12e ()2(e 1)2(e 1)x x x x x ϕ-'=-=++． 因为0x >，所以()0x ϕ'>，所以()x ϕ在(0)+∞，上单调递增， 所以()(0)0x ϕϕ>=，所以()*式成立，所以122121()()()()2f x f x f x f x x x +->-． ……16分 数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分) 证明：因为四边形ABCD 是圆的内接四边形，所以EAD BCD ∠=∠． …… 2分 因为BC BD =，所以BCD BDC ∠=∠． …… 4分 又BAC EAF ∠=∠， …… 6分 BAC BDC ∠=∠， …… 8分所以EAD EAF ∠=∠，即AE 平分DAF ∠． …… 10分 B ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)解：设()P x y ，是l ：23x y -=上任意一点，在矩阵13a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应的变换得到点为()x y ''，， 由13a x x b y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得3x x ay y bx y '=-+⎧⎨'=+⎩，， …… 5分 代入直线l ：23x y -=，得(2)(23)3b x a y --+-=， …… 7分（第21—A 题）所以22231b a --=⎧⎨-=-⎩，，解得14a b ==-，． …… 10分C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)解：将直线l 化为普通方程，得tan ()y x m α=- …… 3分将椭圆C 化为普通方程，得221259x y +=． …… 6分因为5,3,4a b c ===，则右焦点的坐标为(4,0). …… 8分 而直线l 经过点(,0)m ，所以4m =. …… 10分D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)证明：因为123 a a a ，，均为正数，且1231111a a a ++=， 所以123a a a ++()123123111()a a a a a a =++++()()1133123123111339a a a a a a ⋅=≥，（当且仅当1233a a a ===时等号成立） …… 8分所以1239a a a ++≥. …… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．(本小题满分10分)解：（1）因为[]!(1)1!(1)!!(1)!!k k k k k k k k k ⋅=+-⋅=+⋅-=+-， 又由概率分布的性质可知51()1k P k ξ===∑，即()[]()555111!111719!(1)!!6!1!1k k k k k k k k k c c c c c ===⋅=⋅=+-=-==∑∑∑，所以c = 719． …… 3分 （2）由（1）知!()719k k P k ξ⋅==，*6k k ∈<N ，，于是22!4(2)719719P ξ⨯===，1(1)719P ξ==，33!18(3)719719P ξ⨯===，44!96(4)719719P ξ⨯===，55!600(5)719719P ξ⨯===． …… 8分高三数学参考答案 第 11 页 共 11 页所以ξ的数学期望E (ξ )14189660012345719719719719719=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯3447719=． ……10分23．(本小题满分10分)解：（1）12a =，24a =，38a =． …… 3分 （2）猜想：2n n a =． 证明：①当1n =，2，3时，由上知结论成立； …… 5分 ②假设n k =时结论成立， 则有123012323C C C C C 22222k k k k k k k k kk a ++++=+++++=． 则1n k =+时，123101112131111231C C C C C2222k+k k k+k+k+k k k+a ++++++++=+++++． 由111C C C k k k n n n +++=+得102132112233123C C C C C C C 222k k k k k k k ka ++++++++++=++++11111C C C 22k k -k+k+k k+k k+k+k k+++++0121112311231C C C C C 222222k k+k k k k k k k+k+k k+-+++++=++++++， 12110231111121C C C C 12(C )22222k k+kk k k k k+k+k k k k a -++++++-=++++++ 121102311111121C C C C C 12(C )22222k k k+kk k k k -k+k k+k k k k+-+++++++-=++++++． 又111111(21)!(22)(21)!(21)!(1)12C C !(1)!(1)!(1)!(1)!(1)!2k+k+k+k k+k k k k k k =k k k k k k k ++++++++===+++++ 12110231111111211C C C C C 12(C )222222k k k+kk k k k -k+k k+k k k k k -++++++++-+=+++++++， 于是11122k k k a a ++=+．所以112k k a ++=， 故1n k =+时结论也成立．由①②得，2n n a =*n ∈N ，． …… 10分。
2018年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷理(七)
2018年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷 理（七）本试题卷共14页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2018·孝义模拟]已知全集{}1,2,3,4U =，若{}1,3A =，{}3B =，则()()U U A B 痧等于（ ） A ．{}1,2 B ．{}1,4C ．{}2,3D ．{}2,4【答案】D【解析】根据题意得到{} 2,4U A =ð，U B ð{}1,2,4=，故得到()()U U A B 痧{}2,4=．故答案为：D ．2．[2018·海南二模]已知复数z 满足()34i 34i z +=-，z 的共轭复数，则z =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A，1z ==，故选：A ．3．[2018·大同一中]如果数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为x ，方差为28，则152x +，252x +，…，52n x +的平均数和方差分别为（ ）A ．2,8x B ．252,8x +CD【答案】C2258⨯，故选C ．4．[2018·龙岩期末]《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】B【解析】设第一天织布1a 尺，从第二天起每天比第一天多织d 尺，由已知得：1111721284715a d a d a d a d +=⎧⎨+++++=⎩，解得11a =，1d =，∴第十日所织尺数为101910a a d =+=，故选B ．5．[2018·宁德质检]已知0.41.9a =，0.4log 1.9b =， 1.90.4c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>【答案】C 【解析】0.401.9 1.91a =>=，0.40.4log 1.91log 0b =<=， 1.9000.40.41c <=<=，a cb ∴>>，故选C ．6．[2018·江西联考]如图，在圆心角为直角的扇形OAB 区域中，M ，N 分别为OA ，OB 的中点，在M ，N 两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA ，OB 为直径的圆，在扇形OAB 内随机取一点，则能够同时收到两个基站信号的概率是（ ）A B C D 【答案】B【解析】设C 为两端弧的交点，由OA 的中点为M ，则90CMO ∠=︒，半径为OA r =，所以扇形OAB2221112168OMC OC S S r r =-=π-△，两个圆的弧OC 围成的阴B ．7．[2018·深圳中学]某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．83【答案】C【解析】该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积114222323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭． 故选C ．8．[2018·海南二模]已知函数()20172017log xf x =+)20173x x -+-+，则关于x的不等式()()126f x f x -+>的解集为（ ） A ．(),1-∞ B ．()1,+∞ C ．()1,2 D ．()1,4【答案】A【解析】由题意易知：()201720172017log xxg x -=-+)x 为奇函数且在()-∞+∞，上单调递增，∴()()12336g x g x -+++>，即()() 21g x g x >-，∴21x x >-，∴1x <，∴不等式()()126f x f x -+>的解集为(),1-∞，故选：A ．9．[2018·宿州一模]在如图所示的程序框图中，若输入的2s =，输出的2018s >，则判断框内可以填入的条件是（ ）开始输入x结束是否输出s 2s s =1i =1i i =+A ．9i >B ．10i ≤C ．10i ≥D ．11i ≥【答案】D【解析】输入2S =，1i =，242S ==；2i =，382S ==；当10i =，1122048S ==； 当10111i =+=，当11i ≥时，满足条件，退出循环，2048S =，故选D ．10．[2018·华师附中]已知关于x 在区间[)0,2π上有两个根12,x x m 的取值范围是（ ）A ．()B ．(⎤⎦C ．⎡⎣D ．[)0,1【答案】Dsin cos x x m +=[)0,2x ∈π的图像，由图可知，要使得方程在区间[)0,2π上有两个根1,x ，2x ，即01m <≤．故选D ．11．[2018·阳春一中]已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()e 23x f x x f x '=++（e 是自然对数的底数），()01f =，若不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】C23G x x x c =++（），()()001G f ==，1c ∴=．()()231e x f x x x ∴=++，()()()()254e 14e x x f x x x x x ∴'=++=++．可得：4x =-时，函数()f x 取得极大值，1x =-时，函数()f x 取得极小值．()110e f -=-<，()01f =x →-∞时，()0f x →()0f x k -＜的解集中恰有两个整数1-，2-．故k C ． 12．[2018·佳木斯一中]已知椭圆2215y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点F ，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 4AF =，PA PO +的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】椭圆2215y x +=，2514c ∴=-=，即2c =，则椭圆的焦点为()0,2±，不妨取焦点()0,2，抛物线2x ay =44a y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴抛物线的焦点坐标为0,4a ⎛⎫⎪⎝⎭，椭圆2215y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点F ，24a∴=，即8a =，则抛物线方程为28x y =，准线方程为2y =-，4AF =，由抛物线的定义得：A ∴到准线的距离为4，24y +=，即A 点的纵坐标2y =，又点A 在抛物线上，4x ∴=±，不妨取点A 坐标()4,2A ，A 关于准线的对称点的坐标为()4,6B -PA PO PB PO OB +=+≥，即O ，P ，B 三点共线时，有最小值，最小值为OB ====，故选A ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(七)数学(理)试题(解析版)
普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（七）理科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求得集合A，然后结合集合之间的关系得到关于a的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.【详解】函数有意义，则，据此可得：，，则集合B是集合A的子集，据此有：，求解不等式组可得：实数的取值范围为.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查并集的定义及其应用，集合的包含关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，.考点：复数的概念．视频3. 为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：，，，，.根据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则的值为（）A. 75B. 155.4C. 375D. 466.2【答案】C【解析】【分析】首先求得的值，然后利用线性回归方程过样本中心点的性质求解的值即可.【详解】由题意可得：，线性回归方程过样本中心点，则：，据此可知：.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆的焦点和顶点，则该双曲线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先确定椭圆的焦点和顶点，然后求解双曲线的方程即可.【详解】椭圆的焦点位于轴，且，，，据此可知，椭圆的焦点坐标为，轴上的顶点坐标为，结合题意可知，双曲线的焦点位于轴，且，，，则该双曲线方程为.本题选择A选项.【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.5. 已知函数是一个求余函数，其格式为，其结果为除以的余数，例如，如图所示是一个算法的程序框图，若输出的结果为4，则输入的值为（）A. 10B. 12C. 14D. 16【答案】D【解析】【分析】由题意结合新定义的运算和流程图的功能结合选项即可确定输入值.【详解】由题意结合新定义的运算法则和流程图的功能，由于输出值为，故输入的值是一个除以3余数不为零，除以4余数为0的数，结合选项中的数可知只有16符合题意.本题选择D选项.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．6. 如图是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点，，，，在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合几何关系首先确定球心的位置，求得球的半径，然后结合球的表面积公式计算表面积即可.【详解】如图所示，连结，交点为，连结，易知球心在直线上，设球的半径，在中，由勾股定理有：，即：，解得：，则该球的表面积.本题选择D选项.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.7. 在数列中，若，且对任意正整数、，总有，则的前项和为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意结合递推关系首先确定该数列为等差数列，然后结合等差数列前n项和公式整理计算即可求得最终结果. 【详解】递推关系中，令可得：，即恒成立，据此可知，该数列是一个首项，公差的等差数列，其前n项和为：.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查数列的递推关系，等差数列前n项和公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. 某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生和都不是第一个出场，不是最后一个出场”的前提下，学生第一个出场的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的出场顺序为：分为两类．第一类：A最后一个出场，从除了B之外的3人选1人安排第一个，其它的任意排，故有种，第二类：A不是最后一个出场，从除了A，B之外的3人选2人安排在，第一个或最后一个，其余3人任意排，故有种，故学生A和B 都不是第一个出场，B不是最后一个出场的种数种，“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的”的出场顺序为：分为两类，第一类：学生C第一个出场，A最后一个出场，故有种，第二类：学生C第一个出场，A不是最后一个出场，从除了A，B之外的2人选1人安排在最后一个，其余3人任意排，故有种，故在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的种数种，故学生C第一个出场的概率为，，故选：A．考点：古典概型及其概率计算公式．【一题多解】方法二：先排B，有（非第一与最后），再排A有（非第一）种方法，其余三个自由排，共有这是总结果；学生C第一个出场，先排B，有（非第一与最后），再排A有，C第一个出场，剩余2人自由排，故有种，故学生C第一个出场的概率为.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先确定几何体的空间结构，然后结合几何体的特征计算其表面积即可.【详解】由三视图可知，该几何体是一个棱长为的正方体切割而成的三棱锥，其空间结构为如图所示的三棱锥，则其表面积为：.本题选择B选项.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，若，则点的横坐标为（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】【分析】由题意结合抛物线的性质首先求得直线AB的方程，然后利用直线方程求解点D的横坐标即可.【详解】设AB的中点为H，抛物线y2=4x的焦点为F(1,0），准线为，设A、B、H在准线上的射影分别为A'，B'，H'，则，由抛物线的定义可得：,，即，则，即点H的横坐标为2，设直线AB：y=kx+3，代入抛物线方程整理得k2x2+（6k-4）x+9=0.由可得：且.又，解得：或（舍去）.则直线，AB的中点为，AB的中垂线方程为，令y=0，解得x=4.即点的横坐标为4.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11. 对于函数，部分与的对应关系如下表：数列满足：，且对于任意，点都在函数的图象上，则（）A. 7554 B. 7549 C. 7546 D. 7539【答案】A【解析】【分析】由题意结合递推关系确定数列的周期性，然后结合周期性求和即可.【详解】由题意可知：，，，，，点都在函数的图象上，则：，，，，，则数列是周期为的周期数列，由于，且，故.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查数列求和的方法，周期数列的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12. 已知函数，，存在实数，使的图象与的图象无公共点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：的图象与的图象无公共点, 则等价为或恒成立, 即或恒成立, 即或恒成立, 设,则函数的定义域为函数的导数,当时,, 故时,,时,, 即当时, 函数取得极小值同时也是最小值, 设,则在上为减函数,最大的值为,故的最小值,则若，则,若恒成立, 则不成立, 综上，故选B．考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题．【方法点晴】本题主要考查利用导数函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合；③讨论最值或恒成立；④讨论参数．本题是利用方法①求得的取值范围的．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13. 已知向量，的夹角为，，，.若，则__________．【答案】【解析】【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件和向量数量积的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】向量，则，即：，整理可得：，其中，，，据此有：，解得：.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14. 已知实数，满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其取值范围即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中表示可行域内的点与点之间距离的平方，且点在可行域内，据此可知的最小值为，的最小值为；由几何意义可知目标函数在点处取得最大值，联立直线方程：可得：，此时目标函数的最大值为：，综上可得，的取值范围是.【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．15. 的三个内角为，，，若，则__________．【答案】1【解析】【分析】首先求得的值，然后利用同角三角函数基本关系整理计算即可求得最终结果.【详解】由两角和差正切公式有：.由同角三角函数基本关系可得：，结合题意可得：，解得：.故答案为：1．【点睛】(1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，利用(sinα±cos α)2＝1±2sinαcosα可以知一求二．(2)关于sinα，cosα的齐次式，往往化为关于tanα的式子．16. 已知数列满足：，记为的前项和，则__________．【答案】440【解析】【分析】由题意结合递推关系首先确定数列的特征，然后求解即可.【详解】由可得：当时，有，①当时，有，②当时，有，③①+②有：，③-①有：，则：故答案为：．【点睛】本题主要考查数列的递推关系，数列的求和方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 在中，角，，的对边分别为，，，，.（1）若，求的面积；（2）若的面积为，求，.【答案】(1)；(2)，.【解析】【分析】（1）由题意结合余弦定理角化边可得.结合勾股定理可得，.则.（2）由题意结合三角形面积公式可得.结合三角函数的平方关系得到关于a的方程，解方程可得，从而.【详解】（1）∵，∴.又∵，∴.∴，∴，.∴.（2）∵，则.∵，，∴，化简得，∴，从而.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的应用，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18. 如图，在直四棱柱中，，，.（1）求证：平面平面；（2）当时，直线与平面所成的角能否为？并说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.【解析】【分析】（1）由题意结合几何关系可证得，，又，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）设，以为原点，建立空间直角坐标系，不妨设，，据此可得平面的法向量为，若满足题意，则，据此可得，矛盾，故直线与平面所成的角不可能为.【详解】（1）证明：因为，，所以为正三角形，所以，又，为公共边，所以，所以，所以.又四棱柱为直棱柱，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）直线与平面所成的角不可能为.设，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设，，则，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，解得.令，得，若直线与平面所成的角为，则，整理得，矛盾，故直线与平面所成的角不可能为.【点睛】本题主要考查面面垂直的判断定理，空间向量的应用，探索性问题的处理策略等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19. 射击测试有两种方案，方案1：先在甲靶射击一次，以后都在乙靶射击；方案2：始终在乙靶射击.某射手命中甲靶的概率为，命中一次得3分；命中乙靶的概率为，命中一次得2分，若没有命中则得0分，用随机变量表示该射手一次测试累计得分，如果的值不低于3分就认为通过测试，立即停止射击；否则继续射击，但一次测试最多打靶3次，每次射击的结果相互独立.（1）如果该射手选择方案1，求其测试结果后所得分数的分布列和数学期望；（2）该射手选择哪种方案通过测试的可能性大？请说明理由.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）列出随机变量的所有可能取值，利用相互独立事件同时发生的概率公式求出每个变量的概率，列表得起分布列，再求其数学期望；（2）利用互斥事件有一个发生的概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式进行求解．试题解析：在甲靶射击命中记作,不中记作；在乙靶射击命中记作,不中记作，其中⑴的所有可能取值为，则，，，．的分布列为：，⑵射手选择方案1通过测试的概率为，选择方案2通过测试的概率为,；,因为，所以应选择方案2通过测试的概率更大考点：1.随机变量的分布列和期望；2.相互独立事件同时发生的概率公式．20. 在平面直角坐标系中，点在椭圆：上.若点，，且.（1）求椭圆的离心率；（2）设椭圆的焦距为4，，是椭圆上不同的两点，线段的垂直平分线为直线，且直线不与轴重合.①若点，直线过点，求直线的方程；② 若直线过点，且与轴的交点为，求点横坐标的取值范围.【答案】(1)；(2)①.或.②..【解析】【分析】（1）由题意结合向量的坐标运算法则可得.则椭圆的离心率.（2）①由题意可得椭圆的方程为，设，计算可得中点为，因为直线过点，据此有.联立方程可得斜率为1或，直线的方程为或.②设：，则直线的方程为：，所以.联立直线方程与椭圆方程可得.结合直线过点和得到关于m的不等式，求解不等式可得点横坐标的取值范围为.【详解】（1）设，则，.因为，所以，得，代入椭圆方程得.因为，所以.（2）①因为，所以，，所以椭圆的方程为，设，则.因为点，所以中点为，因为直线过点，直线不与轴重合，所以，所以，化简得.将代入化简得，解得（舍去），或.将代入得，所以为，所以斜率为1或，直线的斜率为-1或，所以直线的方程为或.②设：，则直线的方程为：，所以.将直线的方程代入椭圆的方程，消去得.设，，中点为，，代入直线的方程得，代入直线的方程得.又因为，化得.将代入上式得，解得，所以，且，所以.综上所述，点横坐标的取值范围为.【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21. 已知函数，，，令.（1）当时，求函数的单调区间及极值；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.【答案】(1)答案见解析；(2)2.【解析】【分析】（1）由题意可得.利用导函数研究函数的性质可得的单调递增区间为，单调递减区间为.，无极小值.（2）法一：令，则.由导函数研究函数的最值可得的最大值为.据此计算可得整数的最小值为2.法二：原问题等价于恒成立，令，则，由导函数研究函数的性质可得整数的最小值为2.【详解】（1），所以.令得；由得，所以的单调递增区间为.由得，所以的单调递减区间为.所以函数，无极小值.（2）法一：令.所以.当时，因为，所以所以在上是递增函数，又因为.所以关于的不等式不能恒成立.当时，.令得，所以当时，；当时，，因此函数在是增函数，在是减函数.故函数的最大值为.令，因为，，又因为在上是减函数，所以当时，.所以整数的最小值为2.法二：由恒成立知恒成立，令，则，令，因为，，则为增函数.故存在，使，即，当时，，为增函数，当时，，为减函数.所以，而，所以，所以整数的最小值为2.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号. 22. 在极坐标系中，已知曲线：和曲线：，以极点为坐标原点，极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系.（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；（2）若点是曲线上一动点，过点作线段的垂线交曲线于点，求线段长度的最小值.【答案】(1)的直角坐标方程为，的直角坐标方程为.(2).【解析】【分析】（1）极坐标方程化为直角坐标方程可得的直角坐标方程为，的直角坐标方程为.（2）由几何关系可得直线的参数方程为（为参数），据此可得，，结合均值不等式的结论可得当且仅当时，线段长度取得最小值为.【详解】（1）的极坐标方程即，则其直角坐标方程为，整理可得直角坐标方程为，的极坐标方程化为直角坐标方程可得其直角坐标方程为.（2）设曲线与轴异于原点的交点为，∵，∴过点，设直线的参数方程为（为参数），代入可得，解得或，可知，代入可得，解得，可知，所以，当且仅当时取等号，所以线段长度的最小值为.【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.23. 已知函数.（1）若恒成立，求实数的最大值；（2）在（1）成立的条件下，正实数，满足，证明：.【答案】(1)2；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得，则原问题等价于，据此可得实数的最大值.（2）证明：法一：由题意结合(1)的结论可知，结合均值不等式的结论有，据此由综合法即可证得.法二：利用分析法，原问题等价于，进一步，只需证明，分解因式后只需证，据此即可证得题中的结论.【详解】（1）由已知可得，所以，所以只需，解得，∴，所以实数的最大值.（2）证明：法一：综合法∵，∴，∴，当且仅当时取等号，①又∵，∴，∴，当且仅当时取等号，②由①②得，∴，所以.法二：分析法因为，，所以要证，只需证，即证，∵，所以只要证，即证，即证，因为，所以只需证，因为，所以成立，所以.【点睛】本题主要考查绝对值函数最值的求解，不等式的证明方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。
2018年 黑龙江省普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟理科数学试卷(七)答案
即１( ＝７ ５, y ＋y y y y ２＋ ３＋ ４＋ ５) ５ １ ʑy ７ ５ˑ５＝３ ７ ５． y y y y １＋ ２＋ ３＋ ４＋ ５＝ ２ ２ x y ( , 由题 ４． A㊀ 设双曲线方程为 ２ － ２ ＝１ a＞０, b＞０) a b 意知 a＝１, c＝ ２, ２ ２ ２ ２ ２ ʑ b ＝ c － a ＝１, ʑ 双曲线的方程为 x －y ＝１． ５． D㊀ ȵ 输出的结果为 ４, ʑ n 能被 ４ 整除且不能 被 ３ 整除 , ʑ 选 D． 按 ６． D㊀ 如 图 所 示 作 辅 助 线 , O 为球 心 , 设O 则O G B １ ＝x, １ 同时由正方体 ＝S O＝２－x, ２, 的性 质 知 B 则在 G １ １＝ ２ ２ ２ R t әO B G O B B １ １ 中, １ ＝G １ １ ２, ２ ２ ＋O G ２－x) ＝x ＋ １ 即(
１ １ ３ １ １ ３ C A C C A Ω( MN) C ８ １ １ １ ３＋ １ ２ ３ １ 则 P( N | M) ＝ ( )＝ １ １ ３ ＝ ． ２ ３ ＝ ΩM ５ ４ ３ C C A ＋ A A １ ３ ３ ３ ３
æ ö２ ç ２÷ , 解 得 x＝ ７ , 所以球 ８ è２ ø
令 y＝０, 解得 x＝４． 满足 x 且 对 任 意 nɪN∗ , 点 １ １． A㊀ ȵ 数列 { x １, n} １＝ ( , ) ( ) , 都在函数 的图象上 x y＝f x n x n＋１ , ʑx x f( n＋１ ＝ n) ʑ 由图表可得 x x ＝３, x x ＝５, x f( f( ２＝ １) ３＝ ２) ４ ) , ( ) , ������ , { } 数 列 是 周 ＝f( x ＝ ６ x ＝ x ＝ １ ʑ x f ３ ５ ４ n 期 为 ４ 的 周 期 数 列, ʑx １ ＋x ２ ＋ ������ ＋x ２０ １ ５＝ ( ) ５ ０ ３x x x ０ ３ˑ１ ５ １＋ ２＋ ３ ＋x ４ ＋x １ ＋x ２ ＋x ３ ＝５ 故选 A． ＋９＝７５ ５ ４． 的图 象 与 y＝g( 的图象无公共 １ ２． B㊀ 若 y＝f( x) x) 点, 则等价为 f( x) －g( x) ＞０ 或 f( x) －g( x) ＜０ 恒成立 , ２ ２ 即x －a x－b－a l n( x－１) ＞０ 或 x －a x－b－ ( ) , a l n x－１ ＜０ 恒成立 ２ 即x － a x－a l n( x－１) ＞b 或 x２ －a x－a l n( x－ ) １ ＜ b 恒成立 ． ２ ( ) , 设 h( x) ＝x － a x－ a l n x－１ ) ( , , 则函数 h( 的定义域为 x １ ＋ɕ )
普通高等学校高三招生全国统一考试仿真卷(七)数学(文)含答案【精品】
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷文科数学（七）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集{}1,2,3,4U =，若{}1,3A =，{}3B =，则()()U UA B I 痧等于（ ）A ．{}1,2B ．{}1,4C ．{}2,3D ．{}2,42．已知复数z 满足()34i 34i z +=-，z 为z 的共轭复数，则z =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．如果数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为x ，方差为28，则152x +，252x +，…，52n x +的平均数和方差分别为（ ） ．x ，28B ．52x +，28C ．52x +，2258⨯D ．x ，2258⨯4．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（ ） A ．9B ．10C ．11D ．12姓名 准考证号 考场号 座位号卷只装订不密封5．已知0.41.9a =，0.4log 1.9b =， 1.90.4c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>6．如图，已知正方形的面积为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此试验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为（ ）A ．5.3B ．4.3C ．4.7D ．5.77．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．838．已知函数()20172017log x f x =+)2120173x x x -++-+，则关于x 的不等式()()126f x f x -+>的解集为（ ）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()1,49．在如图所示的程序框图中，若输入的2s =，输出的2018s >，则判断框内可以填入的条件是（ ）开始输入x结束是否输出s 2s s =1i =1i i =+A ．9i >B ．10i ≤C ．10i ≥D ．11i ≥10．函数()()sin (0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则()()()()12318f f f f ++++L 的值等于（ ）A ．22B 2C 22D ．111．已知函数()ln 2x axf x x-=，若有且仅有一个整数k ，使得()1f k >，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]1,3B ．1111ln2,ln34262⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．11ln21,ln3123⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．11,e 1e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦12．已知椭圆2215y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点F ，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且4AF =，则PA PO +的最小值为（ ） A ．213B ．2C ．313D ．46第Ⅱ卷卷包括必考题和选考题两部分。
黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(七) 数学(文科)试卷(解析版)
普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（七）文科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.1.已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求得集合A，然后结合集合之间的关系得到关于a的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.【详解】函数有意义，则，据此可得：，，则集合B是集合A的子集，据此有：，求解不等式组可得：实数的取值范围为.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查并集的定义及其应用，集合的包含关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.2.已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，.考点：复数的概念．视频3.3.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：，，，，.根据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则的值为（）A. 75B. 155.4C. 375D. 466.2【答案】C【解析】【分析】首先求得的值，然后利用线性回归方程过样本中心点的性质求解的值即可.【详解】由题意可得：，线性回归方程过样本中心点，则：，据此可知：.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.4.若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆的焦点和顶点，则该双曲线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先确定椭圆的焦点和顶点，然后求解双曲线的方程即可.【详解】椭圆的焦点位于轴，且，，，据此可知，椭圆的焦点坐标为，轴上的顶点坐标为，结合题意可知，双曲线的焦点位于轴，且，，，则该双曲线方程为.本题选择A选项.【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.5.5.已知函数是一个求余函数，其格式为，其结果为除以的余数，例如，如图所示是一个算法的程序框图，若输出的结果为4，则输入的值为（）A. 10B. 12C. 14D. 16【答案】D【解析】【分析】由题意结合新定义的运算和流程图的功能结合选项即可确定输入值.【详解】由题意结合新定义的运算法则和流程图的功能，由于输出值为，故输入的值是一个除以3余数不为零，除以4余数为0的数，结合选项中的数可知只有16符合题意.本题选择D选项.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．6.6.如图是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点，，，，在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】由题意结合几何关系首先确定球心的位置，求得球的半径，然后结合球的表面积公式计算表面积即可.【详解】如图所示，连结，交点为，连结，易知球心在直线上，设球的半径，在中，由勾股定理有：，即：，解得：，则该球的表面积.本题选择D选项.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.7.7.在数列中，若，且对任意正整数、，总有，则的前项和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意结合递推关系首先确定该数列为等差数列，然后结合等差数列前n项和公式整理计算即可求得最终结果. 【详解】递推关系中，令可得：，即恒成立，据此可知，该数列是一个首项，公差的等差数列，其前n项和为：.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查数列的递推关系，等差数列前n项和公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.8.函数的最大值是（）A. 1B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合两角和差正余弦公式化简三角函数式，然后求解函数的最值即可.【详解】由题意可知：，则：，据此可知，当时，函数取得最大值1.本题选择A选项.【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，则最小正周期为，最大值为，最小值为；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asinωx或y＝Acos ωx＋b的形式．9.9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先确定几何体的空间结构，然后结合几何体的特征计算其表面积即可.【详解】由三视图可知，该几何体是一个棱长为的正方体切割而成的三棱锥，其空间结构为如图所示的三棱锥，则其表面积为：.本题选择B选项.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．10.10.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，若，则点的横坐标为（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】【分析】由题意结合抛物线的性质首先求得直线AB的方程，然后利用直线方程求解点D的横坐标即可.【详解】设AB的中点为H，抛物线y2=4x的焦点为F(1,0），准线为，设A、B、H在准线上的射影分别为A'，B'，H'，则，由抛物线的定义可得：,，即，则，即点H的横坐标为2，设直线AB：y=kx+3，代入抛物线方程整理得k2x2+（6k-4）x+9=0.由可得：且.又，解得：或（舍去）.则直线，AB的中点为，AB的中垂线方程为，令y=0，解得x=4.即点的横坐标为4.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.11.对于函数，部分与的对应关系如下表：数列满足：，且对于任意，点都在函数的图象上，则（）A. 7554 B. 7549 C. 7546 D. 7539【答案】A【解析】【分析】由题意结合递推关系确定数列的周期性，然后结合周期性求和即可.【详解】由题意可知：，，，，，点都在函数的图象上，则：，，，，，则数列是周期为的周期数列，由于，且，故.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查数列求和的方法，周期数列的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.12.已知函数，，实数，满足.若，，使得成立，则的最大值为（）A. 3B. 4C. 5D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式首先确定函数的最值，然后求解的最大值即可.【详解】由可知函数在区间上单调递增，函数的最大值，函数的最小值为，，结合函数平移的结论和对勾函数的性质绘制函数图象如图所示，当时，函数有极小值，当时，函数有极大值，令可得：或，据此可知，的最大值为.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查函数的单调性，对勾函数的性质，双量词问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13.13.已知向量，的夹角为，，，.若，则__________．【答案】【解析】【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件和向量数量积的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】向量，则，即：，整理可得：，其中，，，据此有：，解得：.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.14.已知实数，满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其取值范围即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中表示可行域内的点与点之间距离的平方，且点在可行域内，据此可知的最小值为，的最小值为；由几何意义可知目标函数在点处取得最大值，联立直线方程：可得：，此时目标函数的最大值为：，综上可得，的取值范围是.【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．15.15.的三个内角为，，，若，则__________．【答案】1【解析】【分析】首先求得的值，然后利用同角三角函数基本关系整理计算即可求得最终结果.【详解】由两角和差正切公式有：.由同角三角函数基本关系可得：，结合题意可得：，解得：.故答案为：1．【点睛】(1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，利用(sinα±cos α)2＝1±2sinαcosα可以知一求二．(2)关于sinα，cosα的齐次式，往往化为关于tanα的式子．16.16.已知数列满足：，记为的前项和，则__________．【答案】440【解析】【分析】由题意结合递推关系首先确定数列的特征，然后求解即可.【详解】由可得：当时，有，①当时，有，②当时，有，③①+②有：，③-①有：，则：故答案为：．【点睛】本题主要考查数列的递推关系，数列的求和方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.17.在中，角，，的对边分别为，，，，.（1）若，求的面积；（2）若的面积为，求，.【答案】(1)；(2)，.【解析】【分析】（1）由题意结合余弦定理角化边可得.结合勾股定理可得，.则.（2）由题意结合三角形面积公式可得.结合三角函数的平方关系得到关于a的方程，解方程可得，从而.【详解】（1）∵，∴.又∵，∴.∴，∴，.∴.（2）∵，则.∵，，∴，化简得，∴，从而.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的应用，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.18.如图，在直四棱柱中，，，.（1）求证：平面平面；（2）当时，直线与平面所成的角能否为？并说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.【解析】【分析】（1）由题意结合几何关系可证得，，又，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）设，以为原点，建立空间直角坐标系，不妨设，，据此可得平面的法向量为，若满足题意，则，据此可得，矛盾，故直线与平面所成的角不可能为.【详解】（1）证明：因为，，所以为正三角形，所以，又，为公共边，所以，所以，所以.又四棱柱为直棱柱，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）直线与平面所成的角不可能为.设，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设，，则，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，解得.令，得，若直线与平面所成的角为，则，整理得，矛盾，故直线与平面所成的角不可能为.【点睛】本题主要考查面面垂直的判断定理，空间向量的应用，探索性问题的处理策略等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.19.某人经营一个抽奖游戏，顾客花费3元钱可购买一次游戏机会，每次游戏中，顾客从标有黑1、黑2、黑3、黑4、红1、红3的6张卡片中随机抽取2张，并根据摸出的卡片的情况进行兑奖，经营者将顾客抽到的卡片情况分成以下类别：：同花顺，即卡片颜色相同且号码相邻；：同花，即卡片颜色相同，但号码不相邻；：顺子，即卡片号码相邻，但颜色不同；：对子，即两张卡片号码相同；：其它，即，，，以外的所有可能情况，若经营者打算将以上五种类别中最不容易发生的一种类别对应顾客中一等奖，最容易发生的一种类别对应顾客中二等奖，其他类别对应顾客中三等奖.（1）一、二等奖分别对应哪一种类别？（写出字母即可）（2）若经营者规定：中一、二、三等奖，分别可获得价值9元、3元、1元的奖品，假设某天参与游戏的顾客为300人次，试估计经营者这一天的盈利.【答案】(1)，.(2)120元.【解析】试题分析：（1）由古典概型分别求出，由概率大小可得到一至四等奖分别对应的类别；(2)由（1）顾客获一、二、三等奖的概率分别为可估计300名顾客中获一、二、三等奖的人数分别为40，80，180，则估计经营者这一天的盈利试题解析：分别用A1, A2, A3, A4, B1, B3表示标有黑1，黑2，黑3，黑4，红1，红3的卡片，从6张卡片中任取2张，共有15种情况.其中，A类别包括A1 A2, A2 A3, A3 A4,则B类别包括A1 A3, A1 A4, A2 A4, B1 B3, 则C类别包括A2 B1, A2 B3, A4 B3, 则D类别包括A1 B1, A3 B3, 则∴(1)一、二等奖分别对应类别D,B.(2)∵顾客获一、二、三等奖的概率分别为∴可估计300名顾客中获一、二、三等奖的人数分别为40，80，180.则可估计经营者这一天的盈利为300×3-40×9-80×3-180×1=120元.考点：古典概型20.20.在平面直角坐标系中，点在椭圆：上.若点，，且.（1）求椭圆的离心率；（2）设椭圆的焦距为4，，是椭圆上不同的两点，线段的垂直平分线为直线，且直线不与轴重合.①若点，直线过点，求直线的方程；② 若直线过点，且与轴的交点为，求点横坐标的取值范围.【答案】(1)；(2)①.或.②..【解析】【分析】（1）由题意结合向量的坐标运算法则可得.则椭圆的离心率.（2）①由题意可得椭圆的方程为，设，计算可得中点为，因为直线过点，据此有.联立方程可得斜率为1或，直线的方程为或.②设：，则直线的方程为：，所以.联立直线方程与椭圆方程可得.结合直线过点和得到关于m的不等式，求解不等式可得点横坐标的取值范围为.【详解】（1）设，则，.因为，所以，得，代入椭圆方程得.因为，所以.（2）①因为，所以，，所以椭圆的方程为，设，则.因为点，所以中点为，因为直线过点，直线不与轴重合，所以，所以，化简得.将代入化简得，解得（舍去），或.将代入得，所以为，所以斜率为1或，直线的斜率为-1或，所以直线的方程为或.②设：，则直线的方程为：，所以.将直线的方程代入椭圆的方程，消去得. 设，，中点为，，代入直线的方程得，代入直线的方程得.又因为，化得.将代入上式得，解得，所以，且，所以.综上所述，点横坐标的取值范围为.【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21.21.已知函数，，，令.（1）当时，求函数的单调区间及极值；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.【答案】(1)答案见解析；(2)2.【解析】【分析】（1）由题意可得.利用导函数研究函数的性质可得的单调递增区间为，单调递减区间为.，无极小值.（2）法一：令，则.由导函数研究函数的最值可得的最大值为.据此计算可得整数的最小值为2.法二：原问题等价于恒成立，令，则，由导函数研究函数的性质可得整数的最小值为2.【详解】（1），所以.令得；由得，所以的单调递增区间为.由得，所以的单调递减区间为.所以函数，无极小值.（2）法一：令.所以.当时，因为，所以所以在上是递增函数，又因为.所以关于的不等式不能恒成立.当时，.令得，所以当时，；当时，，因此函数在是增函数，在是减函数.故函数的最大值为.令，因为，，又因为在上是减函数，所以当时，.所以整数的最小值为2.法二：由恒成立知恒成立，令，则，令，因为，，则为增函数.故存在，使，即，当时，，为增函数，当时，，为减函数.所以，而，所以，所以整数的最小值为2.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号. 22.22.在极坐标系中，已知曲线：和曲线：，以极点为坐标原点，极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系.（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；（2）若点是曲线上一动点，过点作线段的垂线交曲线于点，求线段长度的最小值.【答案】(1)的直角坐标方程为，的直角坐标方程为.(2).【解析】【分析】（1）极坐标方程化为直角坐标方程可得的直角坐标方程为，的直角坐标方程为.（2）由几何关系可得直线的参数方程为（为参数），据此可得，，结合均值不等式的结论可得当且仅当时，线段长度取得最小值为.【详解】（1）的极坐标方程即，则其直角坐标方程为，整理可得直角坐标方程为，的极坐标方程化为直角坐标方程可得其直角坐标方程为.（2）设曲线与轴异于原点的交点为，∵，∴过点，设直线的参数方程为（为参数），代入可得，解得或，可知，代入可得，解得，可知，所以，当且仅当时取等号，所以线段长度的最小值为.【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.23.23.已知函数.（1）若恒成立，求实数的最大值；（2）在（1）成立的条件下，正实数，满足，证明：.【答案】(1)2；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得，则原问题等价于，据此可得实数的最大值.（2）证明：法一：由题意结合(1)的结论可知，结合均值不等式的结论有，据此由综合法即可证得.法二：利用分析法，原问题等价于，进一步，只需证明，分解因式后只需证，据此即可证得题中的结论.【详解】（1）由已知可得，所以，所以只需，解得，∴，所以实数的最大值.（2）证明：法一：综合法∵，∴，∴，当且仅当时取等号，①又∵，∴，∴，当且仅当时取等号，②由①②得，∴，所以.法二：分析法因为，，所以要证，只需证，即证，∵，所以只要证，即证，即证，因为，所以只需证，因为，所以成立，所以.【点睛】本题主要考查绝对值函数最值的求解，不等式的证明方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。
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2018届高考数学仿真模拟卷——新课标版（文22）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数21iz i+=-,则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D 第四象限 2. 设集合101x A xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}1B x x a =-<，则“1a =”是“A B φ⋂≠”的（ ）A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3.下列函数中，在区间(1,)+∞上为增函数的是 （ ） A ．21x y =-+B ．1xy x =- C ．2(1)y x =-- D ．12log (1)y x =-4. 已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形，俯视图是直径为2的圆，则此几何体的外接球的表面积为（ ） A ．163π B ．43π C ． 169π D ． 49π 5. 等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则2a =（ ） A ．6- B.8- C.8 D. 66. 已知圆()22:300,0C x y bx ay a b +++-=>>上任意一点关于直线:20l x y ++=的对称点都在圆C 上，则14a b+的最小值为（ ） A ．94B ． 9C ． 1D ． 2 7. βα,是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面βα,平行的是 ( ) A .n m ,是平面α内两条直线，且ββ//,//n m B .α内不共线的三点到β的距离相等 C .βα,都垂直于平面γD .n m ,是两条异面直线，βα⊂⊂n m ,，且αβ//,//n m8. 若函数()231,0,0ax x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩，则不等式()()1f a f a >-的解集为（ ）A ．112,,222⎡⎫⎛⎤--⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ B ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．[)(]1,00,1-⋃D ．()(),00,-∞⋃+∞9.等差数列{}n a 中，100a <，110a >，且1011||||a a <，n S 为其前n 项之和，则（ ） A ．1210,,,S S S 都小于零，1112,,S S 都大于零 B ．125,,,S S S 都小于零，67,,S S 都大于零 C ．1219,,,S S S 都小于零，2021,,S S 都大于零 D ．1220,,,S S S 都小于零，2122,,S S 都大于零10. 右图是函数()2f x x ax b =++的部分图象，则函数()ln ()g x x f x '=+的零点所在的区间是（ ）A ．11(,)42 B ．(1,2) C ．1(,1)2D ．(2,3)11.已知点P 为双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的右支上一点,1F 、2F 为双曲线的左、右焦点，使()220OP OF F P +⋅=(O 为坐标原点),且213PF PF =,则双曲线离心率为（ ）A.216+ B.16+ C. 213+ D. 13+ 12.已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x ,记目标函数y x z +=2的最大值为7，最小值为1，则=++acb a ( ) A ． 2 B ．1 C ． －1 D ． －2第Ⅱ卷二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 要得到函数2sin(2)3y x π=+的图象，只需 把函数sin 2y x =的图象上所有的点向左平移 个单位长度.14. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的=s ．15. 在边长为2的正三角形ABC 中，以A分别交AB ，AC 于D ，E ．若在△ABC 这一平面区域内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE 内的概率是________．16. 已知F 1、F 2是椭圆2222)10(a y a x -+=1(5＜a ＜10)的两个焦点，B 是短轴的一个端点，设△F 1BF 2的面积为()S a ，则()S a 的最大值是三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分） 已知向量()3sin 22,cos m x x =+，()1,2cos n x =，设函数()f x m n =⋅.（1）求)(x f 的最小正周期与单调递增区间。
（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若ABC b A f ∆==,1,4)(的面积为23，求a 的值。
18. （本小题满分12分）某大学高等数学老师这学期分别用,A B 两种不同的教学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为60人，入学数学平均分数和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）。
现随机抽取甲、乙两班各20名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图：（Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？（Ⅱ）现从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率；（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，请填写下面的22⨯列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过2 6 63 2 1 8 3 2 2 1 9 8 7 7 69 9 8 89 8 7 6 50 1 5 6 8 0 1 2 5 6 6 8 9 3 6 8 5 7 9 9甲 乙ABCDA 1B 1C 1D 1F M（参考公式：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++）19. （本小题满分12分）如图，已知棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，且⊥1AA 面ABCD ，60=∠DAB ，11AD AA ==，F 为棱1AA 的中点，M 为线段1BD 的中点，（Ⅰ）求证： //MF 面ABCD ；（Ⅱ）判断直线MF 与平面11B BDD 的位置关系，并证明你的结论；（Ⅲ）求三棱锥BDF D -1的体积.20. （本小题满分12分）如图，线段AB 过y 轴上一点()0,N m ，AB 所在直线的斜率为()0k k ≠，两端点A 、B 到y 轴的距离之差为4k .(Ⅰ)求出以y 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点的抛物线方程；(Ⅱ)过抛物线的焦点F 作动弦CD ，过C 、D 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ，求点M 的轨迹方程，并求出2FC FD FM⋅的值.21. （本小题满分12分） 已知函数xax x f ln )(-=，其中a 为实数． (1)当2=a 时，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程； (2)是否存在实数a ，使得对任意),1()1,0(+∞∈ x ，x xf >)(恒成立?若不存在，请说明理由，若存在，求出a 的值并加以证明．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22.（本小题满分10分） 选修4-1：几何证明选讲：如图，在Rt△ABC 中，C 90∠=, BE 平分∠ABC 交AC 于点E ， 点D 在AB 上，DE EB ⊥．(Ⅰ)求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线； (Ⅱ)若6AD AE ==，求EC 的长．23.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程： 已知椭圆C 的极坐标方程为θθρ222sin 4cos 312+=，点12,F F 为其左，右焦点，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22222(t为参数，t R ∈)．（Ⅰ）求直线l 和曲线C 的普通方程； （Ⅱ）求点12,F F 到直线l 的距离之和.24. （本小题满分10分） 选修4-5：不等式选讲：若关于x 的方程2430x x a -+-=有实根 (Ⅰ)求实数a 的取值集合A(Ⅱ)若对于a A ∀∈，不等式22120t at -+<恒成立，求t 的取值范围参考答案一、选择题：1-5 AABCA 6-10 CBBCD 11-12 DB 二、填空题13. 3π16.93100 三、解答题17.解：（Ⅰ）)cos 2,1(),cos ,22sin 3(x x x =+= ，n m x f ∙=∴)(x x 2cos 222sin 3++=32cos 2sin 3++=x x3)62sin(2++=πx ----------------------------3分ππ==∴22T …………………………4分 令222262k x k πππππ-≤+≤+故()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈)(x f ∴的单调区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ ----------------------6分（Ⅱ）由4)(=A f 得 43)62sin(2)(=++=πA A f21)62sin(=+∴πA 又A 为ABC ∆的内角 613626πππ<+<∴A 6562ππ=+∴A 3π=∴A --------------------------9分1,23==∆b S ABC 23s i n 21=∴A bc 2=∴c 32112214cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=∴A bc c b a 3=∴a -------12分18解：（Ⅰ）甲班高等数学成绩集中于60-90分之间，而乙班数学成绩集中于80-100分之间，所以乙班的平均分高----------------------------------------3分（Ⅱ）记成绩为86分的同学为,A B ，其他不低于80分的同学为,,,C D E F“从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有：()()()()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,A B A C A D A E A F B C B D B E B F C D C E C F D E D F E F 一共15个，“抽到至少有一个86分的同学”所组成的基本事件有：()()()()()()()()(),,,,,,,,,A B A C A D A E A F B C B D B E B F 共9个，---------------5分故93155P ==------------------------------------------------------------------------7分 （Ⅲ）--------------------------9分()22403101017 5.584 5.024********K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关。