(中考)自主招生考试数学试题及答案

自主招生考试

数学试题

第Ⅰ卷（选择题，共36分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求）

1．4-的相反数是 ( )

A．

1

4

-

B．

1

4 C．4 D．4-

2．科技城2012年国民生产总值约为14000000万元，用科学记数法表示为 ( ) A．7

1410

? B．7

1.410

?C．6

1.410

? D．7

0.1410

?

3．一次数学测试后，随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下：91，78，98，85， 98．关于这组数据说法错误的是( )

A．平均数是91 B．极差是20 C．中位数是91 D．众数是98

4．在一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为（）

A．

1

2 B．

1

3 C．

1

6 D．1

5．已知x是实数，且

(2)(3)10

x x x

---=，则x2+x+1的值为（）

A．13 B． 7 C． 3 D． 13或7或3

6. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，

则sin C等于 ( )

A.

3

4 B.

4

3 C.

4

5 D.

3

5

7．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，

能够与该圆弧相切的是 ( )

A．点(0，3) B．点(2，3) C．点(6，1) D．点(5，1)

8．将抛物线2

3x

y=向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．

2

3(2)1

y x

=-+ B．2

3(2)1

y x

=+-

C．

2

3(2)1

y x

=-- D．2

3(2)1

y x

=++

9．图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2+(a-c)x＋c与一次函数

y ax c

=+的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是 ( )

10. 如图O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，O ⊙半径为23

，2AC =，则sin B 为 （ ）

A ．23

B ．32

C ．34

D ．43

11．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4．将矩形ABCD 绕点C 沿顺时针方向旋转90°后，得到矩形FGCE （点A 、B 、D 的对应点分别为点F 、G 、E ）．动点P 从点B 开始沿BC-CE 运动到点E 后停止，动点Q 从点E 开始沿EF-FG 运动到点G 后停止，这两点的运动速度均为每秒1个单位．若点P 和点Q 同时开始运动，运动时间为x （秒），?APQ 的面积为y ，则能够正确反映y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）

A B C D

12. 如图，在ABC ?中，5==AC AB ，8=CB ，分别以AB 、AC 为直径作

半圆，则图中阴影部分面积是 （ ）

A ．25244π-

B ．2524π-

C ．2512π-

D ．2512

4π

-

第Ⅱ卷（非选择题，共114分）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将答案填入答题卡相应的横线上.） 13．函数

2y x =-中，自变量x 的取值范围是 ．

14．分解因式：3

2

44a a a -+= ．

15．已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别是方程2

8150x x -+=的两根,且两圆的圆心距122

O O t =+,若这两个圆

相交,则t 的取值范围为 .

16. 在平面直角坐标系xOy 中，有一只电子青蛙在点A(1,0)处．第一次，它从点A 先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A 1；第二次，它从点A 1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A 2；第三次，它从点A 2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A 3；第四次，它从点A 3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A 4；……

依此规律进行，点7A

的坐标为 ；若点A n 的坐标为（2014，2013），则n= ．

17. 如图，PA 与⊙O 相切于点A ，PO 的延长线与⊙O 交于点C ，若⊙O 的半径为3，PA=4．弦AC 的长为 ．

18. 在直角梯形ABCD 中，

AD BC ∥，90ABC AB BC E ∠==°，，为AB 边上一第12题图

A C

B D O 第10题图 第11题图

第17题P B

O C

A

绵阳市2008-2012年农业观光园 经营年收入统计图 绵阳市2009-2012年农业观光园 经营年收入增长率统计表 点，15BCE ∠=°，且AE AD =．连接DE 交对角线AC 于H ，连接BH ．下列结论：

①ACD ACE △≌△； ②CDE △为等边三角形； ③2

EH BE =； ④EBC EHC

S AH S CH =△△．

其中结论正确的是( )

三、解答题(本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19．（本题共2个小题，每小题8分，共16分） （1）计算：0

1

12(31)2sin 603-+--?+．

（2）先化简，后计算： ，其中33a =-.

20．（本小题满分12分）近年来，绵阳郊区依托丰富的自然和人文资源，大力开发建设以农业观光园为主

体的多类型休闲旅游项目，城郊旅游业迅速崛起，农民的收入逐步提高．以下是根据绵阳市统计局2013年1月发布的“绵阳市主要经济社会发展指标”的相关数据绘制的统计图表的一部分．

请根据以上信息解答下列问题：

(1) 绵阳市2010年农业观光园经营年收入的年增长率 是 ；（结果精确到1%） (2) 请补全条形统计图并在图中标明相应数据；（结果精确到0.1）

(3) 如果从2012年以后，绵阳市农业观光园经营年收入都按30%的年增长率增长，请你估算，若经营

年收入要不低于2008年的4倍，至少要到 年（填写年份）.

21. （本小题满分12分）如图，已知等腰直角△ABC 中，∠BAC=?90，圆心O 在△ABC 内部，且⊙O 经过B 、

年份 年增长率（精确到1%）

2009年 12% 2010年 2011年 22% 2012年 24%

第18题图

C 两点，若BC=8，AO=1，求⊙O 的半径.

22．2300元，销售单价定为3000元.在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售;若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2500元. （1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2500元？

（2）设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获得的利润为y 元，求y （元）与x （件）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. 23．（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，以A C 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作FE ⊥AB

于点E ，交AC 的延长线于点F ．

(2) 若AE=6，sin∠CF D=3

5，求EB 的长．

24. （本小题满分12分）如图，AB 为⊙O 的直径，AB=4，P 为AB 上一点，过点P 作⊙O 的弦CD ，设∠BCD=m∠ACD．

C

B O A

第21题

第23题图

（1）已知221+=

m m ，求m 的值，及∠BCD、∠ACD 的度数各是多少？

（2）在（1）的条件下，且

21

=PB AP ，求弦CD 的长； （3）当

323

-2+=PB AP 时，是否存在正实数m ，使弦CD 最短？如果存在，求出m 的值，如果不存在，说明理由.

25. （本小题满分14分）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：

3

4y x m =

+与x 轴、y 轴分别交

于点A 和点B(0,32-

)，抛物线234y x bx c =++经过点B ，且与直线l 的另一个交点为C

9

(,)

4n ． (1) 求n 的值和抛物线的解析式；

(2) 点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为(0)t t n <<．DE∥y 轴交直线l 于点E ，点F 在直线l 上，且四边形DFEG 为矩形（如图2）．若矩形DFEG 的周长为p ，求p 与t 的函数关系式以及p 的最大值； (3) M 是平面内一点，将△AOB 绕点M 沿逆时针方向旋转90°后，得到△A 1O 1B 1，点A 、O 、B 的对应点分别是点A 1、O 1、B 1．若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，请求出点A 1的横坐标．

(

答案 C B A B C C D B 题号 9 10 11 12 答案

D

A

A

D

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 2x ≥ 14. 2

(2)a a - 15. 06t << 16.(5,4),4025 17.125

5 18..（1）（2）（4）

三19．（本题共2个小题，每小题8分，共16分）

（1）解：原式

314

23123233+-?

+=+. ………………………8分

（2）原式= …………………5分

当33a =-时，原式

23

3=

. …………………………………8分

20. （1）17%； ……………………………4分 （2）所补数据为21.7； ……………………6分

补全统计图如图20； …………………8分

（3）2015． …………………………12分 21. 解：联结BO 、CO ，联结AO 并延长交BC 于D …1分 ∵等腰直角三角形ABC 且∠BAC=?90 ∴ AB=AC ……2分 ∵ O 是圆心 ∴OB=OC

∴直线OA 是线段BC 的垂直平分线 …4分 ∴ AD⊥BC，且D 是BC 的中点 ……………6分

在Rt△ABC 中，AD=BD=BC

21

∵BC=8 BD=AD = 4 ……………8分 ∵AO=1 ∴OD=BD -AO=3 ……………10分

∵AD⊥BC ∴∠BDO=?90 ∴OB=

5432222=+=+BD OD ……12分

22. 解：（1）设商家一次购买该种产品x 件时，销售单价恰好为2500元，依题意得

300010(10)2500x --=，解得60x =. ………………………………3分

答：商家一次购买该种产品60件时，销售单价恰好为2500元. ………… 4分 （2）当010x ≤≤时，(30002300)700y x x =-=; ……………… 6分

当1060x <≤时，[]2300010(10)230010800y x x x x =---=-+; …… 8分

当60x >时，(25002300)200y x x =-= . ……………………10分

所以，

()()()??

?

??∈>∈≤<+-∈≤≤=Z x x x Z x x x x Z x x x y ,60,200,6010,80010,100,7002……………………1２分

23. （1）证明：连接OD . ∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC. ………1分 ∵AB=AC，∴∠ACB=∠B. ………2分

图20

C

B

O

A 第21题

∴∠ODC=∠B.∴OD∥AB. …………………………… 3分 ∴∠ODF=∠AEF. ………4分 ∵EF⊥AB， ∴∠ODF =∠AEF =90°. ………5分

∴OD⊥EF . ∵OD 为⊙O 的半径，∴EF 与⊙O 相切. ……6分 （2）解：由（1）知：OD∥AB，OD⊥EF .

在Rt △AEF 中，sin∠CFD = AE AF = 3

5，AE=6.∴AF=10. ……8分

∵OD∥AB，∴△ODF∽△AEF.∴AE OD

AF OF =. ………9分 设⊙O 的半径为r ，∴10-r 10 = r

6

.

解得r= 15

4

. …………………………10分

∴AB= AC=2r = 152 . ∴EB=AB -AE= 152 -6= 3

2

. …… ………… 12 分

24.解：（1）由221+=

m m ，得 2=m . …………………………1分

连结AD 、BD. ∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB=90°，∠ADB=90°， 又∵∠BCD=2∠ACD，∠ACB=∠BCD+∠ACD.

∴∠ACD=30°，∠BCD=60°. ……………………2分 （2）连结AD 、BD ，则∠ABD=∠ACD=30°，AB=4， ∴AD=2，32=BD . ……3分

∵21=PB AP ，∴

34=AP ，38

=

BP . …………4分 ∵∠APC=∠DPB，∠ACD=∠ABD.

∴△APC∽△DPB …………………5分

∴BP PC

DP AP DB AC =

=， ∴

3383234=?=

?=?DB AP DP AC ①，4832339PC DP AP BP ?=?=?=②

同理△CPB∽△APD ……………………6分

∴AD BC DP BP =，∴

316

238=

?=?=?AD BP DP BC ③， 由①得

DP AC 338=

，由③得16

,3BC DP

=23316338==

：：BC AC ，

在△ABC 中，AB=4，∴2

2

24)316()338=+DP DP （

，∴

372=DP .

由②

329PC DP PC ?==

，得PC =.

∴

DC CP PD =+=

+=. ……………………8分

方法二由①÷③得23

316338==

：：BC AC ，

在△ABC 中，AB=4，

721

43774=

?=AC ，7782774=?=BC . 由③

316

778=

?=?DP DP BC ，得372=DP .

由②

329PC DP PC ?==

，得PC =.

∴

2137DC CP PD =+=

+=. ……………………8分

（3）连结OD ，由

323-2+=PB AP ，AB ＝4， 则323-24+=

-AP AP ，则

AP AP ）（）（3-2)32(432--=+， 则32-=AP .32=-=AP OP . ……………………10分

要使CD 最短，则CD⊥AB 于P ，

于是

23cos ==

∠OD OP POD .?=∠30POD ，∴∠ACD=15°，∠BCD=75°，

∴m=5，故存在这样的m 值，且m=5. ……………12分

25．解：解：（1）∵直线l ：

3

4y x m

=

+经过点B （0，32-），

∴

3

2m =-

.