4李氏稳定性12
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现代控制理论-4-控制系统的稳定性分析
2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化 所定义的内部稳定性。状态稳定。
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
稳定性定义与稳定性条件(四讲new)
0 e 0
0
e
0
2.渐近稳定 定义：若平衡状态 x e 是李雅普诺夫意义下稳定 x 的，并且当 t 时，(t ) x ,即 lim x (t ) x 0 ， 则称平衡状态是渐近稳定的。
e
t e
3. 大范围（渐近）稳定 定义：如果对任意大的 ，系统总是稳定的， 则称系统是大范围（渐近）稳定的。如果系统 总是渐近稳定的，则称系统是大范围渐近稳定 的。
定理2 若1) V ( x, t ) 0 2)V ( x, t ) 0 3) V [ x (t ; x0 , t ), t ]在非零状 态不恒为0，则原点是渐近稳定的。 说明：不存在 t0 0, x0 0,V ( x, t ) 0 ,经历能量等于恒定 ，但不维持该状态。 定理3 若1) V ( x, t ) 0 2)V (x ,t ) 03）[ x (t ; x0 , t ), t ] 在非零 V 状态存在恒为零，则原点是李雅普诺夫意义下稳定。 说明：x 0,V ( x, t ) 0 系统维持等能量水平运动，使 x (t ; x0 , t )维持在非零状态而不运行至原点。 能量函数随时 定理4 若1) V ( x, t ) 0 2) V ( x, t ) 0 则原点是不稳定的。
图（a）、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、 渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。
5 二次型标量函数： 1） 存在 2）
在经典控制理论中，只有渐近稳定是稳 定系统，只在Lia稳定不是渐近稳定是 临界稳定，在工程上属于不稳定系统。
3）当
时， 则称 是正定的（正半定的）。
如果条件3）中不等式的符号反向，则称
如果存在一个具有连续偏导数的标量函数 V ( x , t ) 并且满足条件： 1）V ( x , t ) 是正定的； 2）V ( x , t ) 是负定的。
0
e
0
2.渐近稳定 定义：若平衡状态 x e 是李雅普诺夫意义下稳定 x 的，并且当 t 时，(t ) x ,即 lim x (t ) x 0 ， 则称平衡状态是渐近稳定的。
e
t e
3. 大范围（渐近）稳定 定义：如果对任意大的 ，系统总是稳定的， 则称系统是大范围（渐近）稳定的。如果系统 总是渐近稳定的，则称系统是大范围渐近稳定 的。
定理2 若1) V ( x, t ) 0 2)V ( x, t ) 0 3) V [ x (t ; x0 , t ), t ]在非零状 态不恒为0，则原点是渐近稳定的。 说明：不存在 t0 0, x0 0,V ( x, t ) 0 ,经历能量等于恒定 ，但不维持该状态。 定理3 若1) V ( x, t ) 0 2)V (x ,t ) 03）[ x (t ; x0 , t ), t ] 在非零 V 状态存在恒为零，则原点是李雅普诺夫意义下稳定。 说明：x 0,V ( x, t ) 0 系统维持等能量水平运动，使 x (t ; x0 , t )维持在非零状态而不运行至原点。 能量函数随时 定理4 若1) V ( x, t ) 0 2) V ( x, t ) 0 则原点是不稳定的。
图（a）、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、 渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。
5 二次型标量函数： 1） 存在 2）
在经典控制理论中，只有渐近稳定是稳 定系统，只在Lia稳定不是渐近稳定是 临界稳定，在工程上属于不稳定系统。
3）当
时， 则称 是正定的（正半定的）。
如果条件3）中不等式的符号反向，则称
如果存在一个具有连续偏导数的标量函数 V ( x , t ) 并且满足条件： 1）V ( x , t ) 是正定的； 2）V ( x , t ) 是负定的。
现代控制第四章
试确定系统平衡状态，以及在平衡状态附近的稳定性。
x1 x2 0 x1 0 解： 1)找xe点 2 x2 a(1 x1 )x2 x1 0 x2 0 则xe 0 0
T
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
x1 x2 2) 线性化 x2 x1 ax2 0 1 则 A 1 a
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
4. 不稳定
如果对于某个实数ε 0和任一实数δ 0, 不管δ这个实数多么小，由S(δ)内出发的状态 轨线，至少有一个轨线超过S(ε)，则称这种平 衡状态xe不稳定． 几何意义：（P160,fig.4 3)
练习：
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
图（a）、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、 渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
2. 渐近稳定
如果平衡状态xe 是稳定的，而且当t无限增长时， 轨迹不仅不超出S(ε)，而且最终收敛于xe，则称这 种平衡状态xe渐近稳定． 几何意义：（P160,fig.4 2)
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
3. 大范围渐近稳定
如果平衡状态xe 是稳定的，而且从状态空间中 所有初始状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则称 这种平衡状态xe大范围渐近稳定．
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
第四章
稳定性与李氏方法
§4-1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
一. 平衡状态(xe )
设所研究系统的齐次状态方程为 X(t) f(x, t) 若对所有t,状态x满足X(t) 0，则称该状态x 为平衡状态，记为xe．故有下式成立： f(xe , 0 t)
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
长寿命、高安全性的Li4Ti5O12／LiMn2O4锂离子电池
之 一 【— 】 １３ 。
相 比于传统的碳负极材料 ， ｉ ｉ ２ Ｌ４ ５ 负极材料 的结构与尖晶石Ｌ ２ ４ Ｔ ０１ ｉ ０ 相似 ， Ｍｎ 具有充放电过程 中骨架结构几乎不发生变化 的 “ 零应变”特性 ，嵌锂电位高（． ． 儿 ｉ 而不易引起金属锂析 １ ５ Ｖ Ｌ ＋） ５Ｖ Ｓ 出，同时不与电解液反应 ， 具有非常优越 的循环性能和安全性能。同时Ｌ４ ｉ ２ ｉ ５ 价廉易得 ， Ｔ ０１ 是很有
图 ２ ｉｉ ２ ｉ ２４ Ｌ４ ５ ／ ＭｎＯ 电池 常温循环性能 Ｔ ＯｌＬ
Ｆ ｇ ２ Ｃｙ ｌ ｅ ｏ ｍａ ｃ ｆ ｈ ｅｌ ａ ｏ ｍ ｍｐ ｒ ｔｒ ｉ． ｃｅｐ ｒ ｒ ｎ ｅ ｏ ｅｃ ｌ ｔ ｏ ｔ ｆ ｔ ｒ ｅ ｅａ ｕ ｅ
通 讯 联 系 人 ，Ｅ ｉ ｑｌ＠ｐｕｅｕｃ ； ｅ ０ ０６ ７ １０ ｍａ ： ｉ ｌ ｕ ｋ ． ． Ｔ ｌ １ ２ ５ ０ ０ ｄ ｎ ：
（ 中信 国安盟固利新能源科技有限公司，北京，１２ ０ ； １ ０ ２０ ２北京大学化学与分子工程学院新能源材料与技术实验 室，北京，１ ０７ ） ０ ８１ 自Ｓ ｎ公司推出锂离子二次电池以来 ，以ＣＬＣ Ｏ 体系为主的商品锂离子电池 由于具有高容 ｏｙ ／ｉ ｏ ２ 量 、高电压、环境友好等优势 ，已在便携式 电子设备领域得到了广泛应用。但由于ｃ／ ｉｏ ２ ＬＣ Ｏ 体系的
对能量要求不高但要求长寿命的领域。
￡
《
Ｅ
＞
、 、
： ＝
ｏ 门
△
门
。
Ｃａ ａｃｔ ｐ ｌ ｙ／ｍａｌ ｌ
图 １ ｉ ｉ ２ ｉ ２４ Ｌ４ ５ ／ Ｍｎ０ 电池 １ 充放电曲线 Ｔ ０ｌ Ｌ Ｃ
相 比于传统的碳负极材料 ， ｉ ｉ ２ Ｌ４ ５ 负极材料 的结构与尖晶石Ｌ ２ ４ Ｔ ０１ ｉ ０ 相似 ， Ｍｎ 具有充放电过程 中骨架结构几乎不发生变化 的 “ 零应变”特性 ，嵌锂电位高（． ． 儿 ｉ 而不易引起金属锂析 １ ５ Ｖ Ｌ ＋） ５Ｖ Ｓ 出，同时不与电解液反应 ， 具有非常优越 的循环性能和安全性能。同时Ｌ４ ｉ ２ ｉ ５ 价廉易得 ， Ｔ ０１ 是很有
图 ２ ｉｉ ２ ｉ ２４ Ｌ４ ５ ／ ＭｎＯ 电池 常温循环性能 Ｔ ＯｌＬ
Ｆ ｇ ２ Ｃｙ ｌ ｅ ｏ ｍａ ｃ ｆ ｈ ｅｌ ａ ｏ ｍ ｍｐ ｒ ｔｒ ｉ． ｃｅｐ ｒ ｒ ｎ ｅ ｏ ｅｃ ｌ ｔ ｏ ｔ ｆ ｔ ｒ ｅ ｅａ ｕ ｅ
通 讯 联 系 人 ，Ｅ ｉ ｑｌ＠ｐｕｅｕｃ ； ｅ ０ ０６ ７ １０ ｍａ ： ｉ ｌ ｕ ｋ ． ． Ｔ ｌ １ ２ ５ ０ ０ ｄ ｎ ：
（ 中信 国安盟固利新能源科技有限公司，北京，１２ ０ ； １ ０ ２０ ２北京大学化学与分子工程学院新能源材料与技术实验 室，北京，１ ０７ ） ０ ８１ 自Ｓ ｎ公司推出锂离子二次电池以来 ，以ＣＬＣ Ｏ 体系为主的商品锂离子电池 由于具有高容 ｏｙ ／ｉ ｏ ２ 量 、高电压、环境友好等优势 ，已在便携式 电子设备领域得到了广泛应用。但由于ｃ／ ｉｏ ２ ＬＣ Ｏ 体系的
对能量要求不高但要求长寿命的领域。
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图 １ ｉ ｉ ２ ｉ ２４ Ｌ４ ５ ／ Ｍｎ０ 电池 １ 充放电曲线 Ｔ ０ｌ Ｌ Ｃ
李雅普诺夫意义下的稳定
则称平衡状态为一致渐近稳定。
(5)时不变系统的渐近稳定属性
对于时不变系统，不管线性系统还是非线性 系统，连续系统还是离散系统，平衡状态xe 的渐近稳定和一致渐近稳定为等价。
3 大范围渐近稳定
当系统满足渐近稳定,而且从状态空间中所有初始 状态出发的轨线都具有渐近稳定性,则这种平衡状 态是大范围渐近稳定. 必要条件是在整个状态空间只有一个平衡状态.对于 线性系统,不管是时不变系统还是时变系统，连续系 统还是离散系统，如果平衡状态xe=0是渐近稳定的, 则必然也是大范围渐近稳定.
经典控制中的稳定性即判据
适用于线性时不变系统
李亚普诺夫意义下的稳定性，内部稳定，还可用系 统综合
1892年 Lyapunov
适用于各类系统: 线性,非线性 第一法（间接法）
李亚普诺夫稳定性理论基本内容
第二法（直接法）
4
控制系统的稳定性
第一方法(间接法)： 对线性系统求解特征方程 对非线性系统，首先线性化，在求解特征方程
平衡状态
齐次状态方程
x f (t; x0 , t0 )
xe
平衡状态
一个或多个平衡状态
线性系统
Ax x
Axe 0
A 0，唯一解, xe [0] A 0，多个解, 多个平衡状态
4
控制系统的稳定性
1 x1 x
3 x2 x1 x2 x2
例如：求下列系统的平衡状态
（4）一致渐近稳定 若对取自时间定义区间的任意初始时刻t0，由任给实数ε>0 都存在与初始时刻t0无关的实数δ(ε)>0 ，由实数δ(ε)和任给 实数 都存在与初始时刻t0无关的实数 ,使得相 (t , x0 , t0 ) 应受扰运动 相对于平衡状态为有界且满足 (t; x0 , t0 ) xe , t t0 T (, )
li4ti5o12基有机无机复合固态电解质
li4ti5o12基有机无机复合固态电解质下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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现代控制理论4 稳定性
4 稳定性分析4．1李氏稳定性分析 （1） 平衡状态设系统 [],xf x t = x —n 维状态向量。
f —n 维函数向量。
若存在状态向量ex ，对所有的t ，使得 []0ef x t ≡成立，则称ex 为系统的平衡状态。
例如 系统1132122x x xx x x =-⎧⎨=+-⎩解：有3个平衡点100e x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，201e x⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，301e x⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2） 稳定性分析1） 李亚普诺夫意义下的稳定 对于任选0ε>，都对应存在0(,)0t δε>的实数，当00(,)e x x t δε-≤时其解满足 00(,,)x t t εΦ≤ 0t t ≤<∞则称平衡状态ex 为李亚普诺夫意义下的稳定，如果δ与t 无关，则称ex 是一致稳定2） 渐近稳定由非0初始状态引起的自由运动是衰减的，当t →∞时， 0(,,)0et x t x Φ-=则ex 平衡点是渐近稳定的。
3） 大范围稳定如果ex 稳定，而且对于所有的0x ，00(,,)0et x t x Φ-→，则称平衡状态是大范围渐近稳定的。
4） 不稳定由初始状态引起的运动无论0ex x δ-≤，δ多么小，至少有一个状态超出任意指定的空间范围，则称平衡点ex 是不稳定的。
4．2李氏第一方法（1） 线性定常系统的稳定判据：xAx Bu =+ y Cx =系统稳定的充要条件是0SI A -=的特征根全位于S 左半面，输出稳定的充要条件是B A SIC S W 1)()(--=的极点全位于S 左半面，当存在零、极点对消情况时两者是不一致的。
1001-=A ，11B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，[]10C =)1()1(=+∙-=-S S A SI 11S =-，21S =状态不全稳定，属于状态不稳系统， 而输出为[]1)1)(1(111100101)()(1+=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-=-S S S S S S B A SI C S W 是输出稳定系统。
稳定性与李雅普诺夫
1）V(x) ＞ 0，则称V(x)为正定。例如V(x)=x12 +x22； 2）V(x) ≥ 0，则称V(x)为半正定（或非负定）。例如
V(x)=(x1 +x2)2； 3）V(x) ＜ 0，则称V(x)为负定。例如V(x)=－(x12 +2x22)； 4）V(x) ≤ 0，则称V(x)为半负定（或非正定）。例如
p
Δ1
p11 ， Δ2
11
p
21
p
12
p
，…
， Δn P
22
矩阵 P（或 V(x)）定号性的充要条件是：
1）若 Δi 0, i (1,2,, n) ，则 P（或 V(x)）为正定；
2）若
Δi
0, 0,
i为偶数 i为奇数
，则
P（或
V(x)）为负定；
3）若
Δi
0, 0,
i i
(1,2,, n
需要根据舍弃旳髙 阶项再分析 采用李雅普诺夫第 二法
举例：用李雅普诺夫第一法判断下列系统旳稳定性
x1 x1 x1x2
x2
x2
x1x2
第一步：令 x1 0, x2 0
求得系统旳平衡状态 x1e (0,0)T , x1e (1,1)T
第二步：将系统在平衡状态x1e附近线性化
f1 f1
（1）V(x)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且 对于 x 应具有连续的一阶偏导数； （2）对于一个给定系统，如果 V(x)可以找到，那么通常是非 唯一的，这并不影响结论的一致性。 （3）V(x)的最简单形式是二次型函数 V(x) = xTP x，其中 P 为 实对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。但 V(x)并不一 定都是简单的二次型。 （4）如果 V(x)为二次型，且可表示为：
V(x)=(x1 +x2)2； 3）V(x) ＜ 0，则称V(x)为负定。例如V(x)=－(x12 +2x22)； 4）V(x) ≤ 0，则称V(x)为半负定（或非正定）。例如
p
Δ1
p11 ， Δ2
11
p
21
p
12
p
，…
， Δn P
22
矩阵 P（或 V(x)）定号性的充要条件是：
1）若 Δi 0, i (1,2,, n) ，则 P（或 V(x)）为正定；
2）若
Δi
0, 0,
i为偶数 i为奇数
，则
P（或
V(x)）为负定；
3）若
Δi
0, 0,
i i
(1,2,, n
需要根据舍弃旳髙 阶项再分析 采用李雅普诺夫第 二法
举例：用李雅普诺夫第一法判断下列系统旳稳定性
x1 x1 x1x2
x2
x2
x1x2
第一步：令 x1 0, x2 0
求得系统旳平衡状态 x1e (0,0)T , x1e (1,1)T
第二步：将系统在平衡状态x1e附近线性化
f1 f1
（1）V(x)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且 对于 x 应具有连续的一阶偏导数； （2）对于一个给定系统，如果 V(x)可以找到，那么通常是非 唯一的，这并不影响结论的一致性。 （3）V(x)的最简单形式是二次型函数 V(x) = xTP x，其中 P 为 实对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。但 V(x)并不一 定都是简单的二次型。 （4）如果 V(x)为二次型，且可表示为：
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t
C(s) b 0 s m b1s m 1 ... b m 1s b m B(s) R (s) D(s) a 0 s n a 1s n 1 ... a n 1s a n B(s) a 0 (s p i ) [s ( j j j )][s ( j j j )]
i 1 j1 K k
扰动：
理想脉冲函数作用下 R(s)=1 R( ) 1
k r js j c B(s) R (s) i D(s) s p i 1 j1 [s ( j j j )][s ( j j j )] i
该系统就是稳定的。 古典控制理论 判别系统稳定的充要条件
例: 一个弹簧－质量－阻尼 器系统，如图示。系统的运 动由如下微分方程描述。
kx 0 m x f x
设 m 1
kx 0 x f x
选取位移和速 度为状态变量 则系统的状态方程为
j
P3
P1 P2
S平面
O
P5
P4
Pn
2
系统稳定的必要条件
线性定常系统稳定的充分必要条件： 闭环系统特征方程的所有根都具有负实部 或者说: 闭环传递函数的所有极点均位于为S平面的左半 部分（不包括虚轴）
D(s) a 0 s n a 1s n 1 ... a n 1s a n 0
劳斯判据 奈魁斯特判据 对数判据（波德图判别） 根轨迹判据 相平面法(适用于一，二阶非线性系统)
第二节 李雅普诺夫稳定性定理
稳定性的判别拓广到多 输入多输出系统、非线 性系统等
主要内容： • 李氏第一法（间接法）：求解特征方程的特征值 • 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构造 李氏函数，进而判别系统的稳定性
二、李雅普诺夫意义下的稳定 1.李氏意义下的稳定
如果对每个实数 0 ，都对应存在 另一个实数 ( , t0 ) 0 ，满足
x0 xe ( , t0 )
的任意初始态 x0 出发的运动轨迹
x(t ; x0 , t0 ) ，在t 都满足：
x(t; x0 , t0 ) xe , t t0
1）是李氏意义下的稳定 2）lim x(t ; x0 , t0 ) xe 0 渐进稳定
与t0无关 一致渐进稳定 致渐进稳定
3.大范围内渐进稳定性 对任意 x0 s ( ) 都有 lim x(t ; x0 , t0 ) xe 0
t
t
初始条件扩展到整个空间，且是渐进稳定。
0 1 t n 0
Ax x
Re(i ) 0
x(0) x0
t0
李氏稳定的充要条件：
i 1,2, n
控制理 论的稳 定性判 别思路 是一致 是 致 的
x(t ) e At x(0) e
e 1t 0 x(0) x(0) n t 0 e
稳定与不稳定系统的直观示例
d
f
A
c
f
A
A'
A
f
不稳定系统
小范围稳定系统
摆运动示意图
图a为稳定的系统。 图b为不稳定系统。 图c中， 中，A A点小球若超出 点小球若超出C C、D范围就不再能稳定回复，故 可以认为该系统在局部领域范围内是稳定的。
工程中控制系统不稳定时 的现象特征 第一节
系统不受控，输入指令不起作用 严重振荡，机械振荡时易导致毁损设备 机电工程中满足稳定比性能优化要相对容易
t
如果特征根中有一个或一个以上具有正实部，则该根 C (t ) ，系统是 对应的瞬态分量是发散的，此时有 lim t 不稳定的。 如果特征根中具有一个或一个以上的零实部根，而其 余的特征根均有负实部，则 余的特征根均有负实部 则 C（ t）趋于常数或作等幅振荡， 趋 常数或作等幅振荡 这时系统处于稳定和不稳定的临界状态，常称之为临界稳 定状态。对于大多数实际系统，当它处于临界状态时，也 是不能正常工作的。临界稳定的系统在古典控制理论上属 于不稳定系统。 所讨论系统一般为单输入单输出系统
线性系统稳定性概念与Lyapunov意义下的稳定性概念 不稳定 (Re(s)>0) 不稳定 临界情况 (Re(s)=0) 稳定 稳定 (Re(s)<0) 渐近稳定
经典控制理论( 线性系统) Lyapunov意义 下
大范围渐进稳定？
5
三、李雅普诺夫第一法（间接法）
利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 与古典 线性定常系统稳定性的特征值判据： 时域解析解的稳定性理解：
4
2.渐近稳定
则称 xe是李雅普诺夫意义下稳定的。 时变系统： 与 t0 有关 定常系统： 与t0无关，xe 是一致稳定的。 注意： ——向量范数(表示n维空间距离)
x xe [( x1 x1e ) ( x2 x2e ) ( xn xne ) ]
2 2 2 1/ 2
系统特征方程各项系数具有相同的符号，且无零系数
例：判别系统的稳定性
稳定性仿真分析实例：某伺服系统模型
K 2 h
s(
T1 H0
_ _
s2
h 2
h
s 1)
考虑： 哪些参数会影 响稳定性？
Kp
km s (Tm s 1)
K1
T2
K0 s
H
D ( s ) s 2 ( Tm s 1) K p K m K 1 K 0 0
3
4.线性系统
一、现代控制理论中的相关基本概念 1.自由系统：输入为0的系统 x =Ax+Bu(u=0)
Ax x
A非奇异：
x Rn
=f(x,t)的解为 x(t; x0 , t0 ) 2.初态 x
Axe 0 xe 0
A奇异：
x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
3.平衡状态：
Axe 0 有无穷多个 xe
e f ( xe , t ) 0 x
xe 系统的平衡状态
线性系统和非线性系统最明显 的区别法： 线性系统遵从叠加原理，而非 线性系统不然。 叠加原理的例子： f(x)=2x，f(y)=2y， f(x+y)=2(x+y)=2x+2y=f(x)+f(y) 反例 反例： f(x)=2x2，f(y)=2y2 f(x)+f(y)=2(x2+y2)； 但：f(x+y)=2(x+y)2 ≠f(x)+f(y) 换句话说：线性系统的表达式 中只有状态变量的一次项，无 高次项、三角函数项等. 只要有任意一个非线性环节就 是非线性系统。
c
f
d
1 x1 x 2 x1 x2 x x
3 2
A 小范围稳定系统
令
1 0 x
xe1
2 0 x
0 xe2 1
0 xe3 1
0 0
平衡状态的进一步认识
对于线性定常系统 x’=Ax 平衡状态xe是满足下述方程的解。 Axe=0 当矩阵A为非奇异时,线性系统只有一个平衡状态 xe=0; 当A为奇异时,则存在无限多个平衡状态 对于非线性系统,通常可有一个或几个平衡状态,它们分别为 对应于式f(x,t)0的常值解。
设系统特征根为p1、p2、…、pn-1、pn
n a1 ( 1)1 p i a0 i 1 n a2 ( 1) 2 p i p j a0 i2
各根之和 取两根乘积之和 全部根具有负实部
n a3 ( 1) 3 p i p j p k 取三根乘积之和 a0 i 3 n an (1) n p i 各根之积 a0 i 1
系统特征方程 D(s) a 0 (s p i ) [s ( j j j )][s ( j j j )] 0
i 1 j1 K k
上面分析表明： 当系统特征方程的根都具有负实部时，则各瞬态分量 都是衰减的，且有 lim C (t ) 0 ，此时系统是稳定的。
5.非线性系统
f ( xe , t ) 0 可能有多个 xe x
例：
李雅普诺夫稳定性理论讨 论的是动态系统各平衡状态 附近的局部稳定性问题。 若平衡态附近某充分小邻 域内所有状态的运动最后都 趋于该平衡态,则称该平衡 态是渐近稳定的;若发散则 为不稳定 由于非线性系统的李雅普诺 夫稳定性具有局部性特点,因此 在讨论稳定性时,通常还应指明 是针对哪个平衡状态的。
机电控制与物流装备研究所 王旭永 xywang@ 34206053 机械楼807
第四章 李雅普诺夫稳定性分析
关于稳定性问题
稳定是自动控制系统正常工作的首要基 础 机电领域中，什么样的系统具有稳定性 问题？ 稳定的评价指标（稳定或不稳定；稳定 裕量；时域响应的波动程度，等等）
系统的传递函数：
根据上述稳定性的定义，可以用 (t ) 函数作 为扰动来讨论系统的稳定性。 设线性定常系统在初始条件为零时，输入一 个理想单位脉冲 (t ) ，即:系统在零平衡状态下， 受到一个扰动信号的作用，如果当t趋于无穷时， 系统的输出响应C(t)收敛到原来的零平衡状态， 即 lim C (t ) 0
当h p K m K 1 K 0 0
3 2
无论怎样调整系统的参数，（如K、Tm）都不能使系统稳定
结构不稳定系统
s 3 2 0 .3 2 s sK 0 40 2 40
0 K 2 0.3 40
古典控制理论中的相关稳定性判据：
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部。 系统矩阵A的特征值是怎么求解得到的？ 同为古典传递函数中特征 方程的根，为什么？ |sI－A|＝0
C(s) b 0 s m b1s m 1 ... b m 1s b m B(s) R (s) D(s) a 0 s n a 1s n 1 ... a n 1s a n B(s) a 0 (s p i ) [s ( j j j )][s ( j j j )]
i 1 j1 K k
扰动：
理想脉冲函数作用下 R(s)=1 R( ) 1
k r js j c B(s) R (s) i D(s) s p i 1 j1 [s ( j j j )][s ( j j j )] i
该系统就是稳定的。 古典控制理论 判别系统稳定的充要条件
例: 一个弹簧－质量－阻尼 器系统，如图示。系统的运 动由如下微分方程描述。
kx 0 m x f x
设 m 1
kx 0 x f x
选取位移和速 度为状态变量 则系统的状态方程为
j
P3
P1 P2
S平面
O
P5
P4
Pn
2
系统稳定的必要条件
线性定常系统稳定的充分必要条件： 闭环系统特征方程的所有根都具有负实部 或者说: 闭环传递函数的所有极点均位于为S平面的左半 部分（不包括虚轴）
D(s) a 0 s n a 1s n 1 ... a n 1s a n 0
劳斯判据 奈魁斯特判据 对数判据（波德图判别） 根轨迹判据 相平面法(适用于一，二阶非线性系统)
第二节 李雅普诺夫稳定性定理
稳定性的判别拓广到多 输入多输出系统、非线 性系统等
主要内容： • 李氏第一法（间接法）：求解特征方程的特征值 • 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构造 李氏函数，进而判别系统的稳定性
二、李雅普诺夫意义下的稳定 1.李氏意义下的稳定
如果对每个实数 0 ，都对应存在 另一个实数 ( , t0 ) 0 ，满足
x0 xe ( , t0 )
的任意初始态 x0 出发的运动轨迹
x(t ; x0 , t0 ) ，在t 都满足：
x(t; x0 , t0 ) xe , t t0
1）是李氏意义下的稳定 2）lim x(t ; x0 , t0 ) xe 0 渐进稳定
与t0无关 一致渐进稳定 致渐进稳定
3.大范围内渐进稳定性 对任意 x0 s ( ) 都有 lim x(t ; x0 , t0 ) xe 0
t
t
初始条件扩展到整个空间，且是渐进稳定。
0 1 t n 0
Ax x
Re(i ) 0
x(0) x0
t0
李氏稳定的充要条件：
i 1,2, n
控制理 论的稳 定性判 别思路 是一致 是 致 的
x(t ) e At x(0) e
e 1t 0 x(0) x(0) n t 0 e
稳定与不稳定系统的直观示例
d
f
A
c
f
A
A'
A
f
不稳定系统
小范围稳定系统
摆运动示意图
图a为稳定的系统。 图b为不稳定系统。 图c中， 中，A A点小球若超出 点小球若超出C C、D范围就不再能稳定回复，故 可以认为该系统在局部领域范围内是稳定的。
工程中控制系统不稳定时 的现象特征 第一节
系统不受控，输入指令不起作用 严重振荡，机械振荡时易导致毁损设备 机电工程中满足稳定比性能优化要相对容易
t
如果特征根中有一个或一个以上具有正实部，则该根 C (t ) ，系统是 对应的瞬态分量是发散的，此时有 lim t 不稳定的。 如果特征根中具有一个或一个以上的零实部根，而其 余的特征根均有负实部，则 余的特征根均有负实部 则 C（ t）趋于常数或作等幅振荡， 趋 常数或作等幅振荡 这时系统处于稳定和不稳定的临界状态，常称之为临界稳 定状态。对于大多数实际系统，当它处于临界状态时，也 是不能正常工作的。临界稳定的系统在古典控制理论上属 于不稳定系统。 所讨论系统一般为单输入单输出系统
线性系统稳定性概念与Lyapunov意义下的稳定性概念 不稳定 (Re(s)>0) 不稳定 临界情况 (Re(s)=0) 稳定 稳定 (Re(s)<0) 渐近稳定
经典控制理论( 线性系统) Lyapunov意义 下
大范围渐进稳定？
5
三、李雅普诺夫第一法（间接法）
利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 与古典 线性定常系统稳定性的特征值判据： 时域解析解的稳定性理解：
4
2.渐近稳定
则称 xe是李雅普诺夫意义下稳定的。 时变系统： 与 t0 有关 定常系统： 与t0无关，xe 是一致稳定的。 注意： ——向量范数(表示n维空间距离)
x xe [( x1 x1e ) ( x2 x2e ) ( xn xne ) ]
2 2 2 1/ 2
系统特征方程各项系数具有相同的符号，且无零系数
例：判别系统的稳定性
稳定性仿真分析实例：某伺服系统模型
K 2 h
s(
T1 H0
_ _
s2
h 2
h
s 1)
考虑： 哪些参数会影 响稳定性？
Kp
km s (Tm s 1)
K1
T2
K0 s
H
D ( s ) s 2 ( Tm s 1) K p K m K 1 K 0 0
3
4.线性系统
一、现代控制理论中的相关基本概念 1.自由系统：输入为0的系统 x =Ax+Bu(u=0)
Ax x
A非奇异：
x Rn
=f(x,t)的解为 x(t; x0 , t0 ) 2.初态 x
Axe 0 xe 0
A奇异：
x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
3.平衡状态：
Axe 0 有无穷多个 xe
e f ( xe , t ) 0 x
xe 系统的平衡状态
线性系统和非线性系统最明显 的区别法： 线性系统遵从叠加原理，而非 线性系统不然。 叠加原理的例子： f(x)=2x，f(y)=2y， f(x+y)=2(x+y)=2x+2y=f(x)+f(y) 反例 反例： f(x)=2x2，f(y)=2y2 f(x)+f(y)=2(x2+y2)； 但：f(x+y)=2(x+y)2 ≠f(x)+f(y) 换句话说：线性系统的表达式 中只有状态变量的一次项，无 高次项、三角函数项等. 只要有任意一个非线性环节就 是非线性系统。
c
f
d
1 x1 x 2 x1 x2 x x
3 2
A 小范围稳定系统
令
1 0 x
xe1
2 0 x
0 xe2 1
0 xe3 1
0 0
平衡状态的进一步认识
对于线性定常系统 x’=Ax 平衡状态xe是满足下述方程的解。 Axe=0 当矩阵A为非奇异时,线性系统只有一个平衡状态 xe=0; 当A为奇异时,则存在无限多个平衡状态 对于非线性系统,通常可有一个或几个平衡状态,它们分别为 对应于式f(x,t)0的常值解。
设系统特征根为p1、p2、…、pn-1、pn
n a1 ( 1)1 p i a0 i 1 n a2 ( 1) 2 p i p j a0 i2
各根之和 取两根乘积之和 全部根具有负实部
n a3 ( 1) 3 p i p j p k 取三根乘积之和 a0 i 3 n an (1) n p i 各根之积 a0 i 1
系统特征方程 D(s) a 0 (s p i ) [s ( j j j )][s ( j j j )] 0
i 1 j1 K k
上面分析表明： 当系统特征方程的根都具有负实部时，则各瞬态分量 都是衰减的，且有 lim C (t ) 0 ，此时系统是稳定的。
5.非线性系统
f ( xe , t ) 0 可能有多个 xe x
例：
李雅普诺夫稳定性理论讨 论的是动态系统各平衡状态 附近的局部稳定性问题。 若平衡态附近某充分小邻 域内所有状态的运动最后都 趋于该平衡态,则称该平衡 态是渐近稳定的;若发散则 为不稳定 由于非线性系统的李雅普诺 夫稳定性具有局部性特点,因此 在讨论稳定性时,通常还应指明 是针对哪个平衡状态的。
机电控制与物流装备研究所 王旭永 xywang@ 34206053 机械楼807
第四章 李雅普诺夫稳定性分析
关于稳定性问题
稳定是自动控制系统正常工作的首要基 础 机电领域中，什么样的系统具有稳定性 问题？ 稳定的评价指标（稳定或不稳定；稳定 裕量；时域响应的波动程度，等等）
系统的传递函数：
根据上述稳定性的定义，可以用 (t ) 函数作 为扰动来讨论系统的稳定性。 设线性定常系统在初始条件为零时，输入一 个理想单位脉冲 (t ) ，即:系统在零平衡状态下， 受到一个扰动信号的作用，如果当t趋于无穷时， 系统的输出响应C(t)收敛到原来的零平衡状态， 即 lim C (t ) 0
当h p K m K 1 K 0 0
3 2
无论怎样调整系统的参数，（如K、Tm）都不能使系统稳定
结构不稳定系统
s 3 2 0 .3 2 s sK 0 40 2 40
0 K 2 0.3 40
古典控制理论中的相关稳定性判据：
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部。 系统矩阵A的特征值是怎么求解得到的？ 同为古典传递函数中特征 方程的根，为什么？ |sI－A|＝0