导数在研究函数中的应用(基础篇)解读
导数在研究函数中的
求函数的极值
总结词
导数可以用于求函数的极值，通过求 导并令导数等于0，可以找到函数的极 值点。
详细描述
导数等于0的点可能是函数的极值点 ，但需要进一步判断该点两侧的导数 符号来确定是极大值还是极小值。
示例
对于函数$f(x) = x^3 - x$，其导数 $f'(x) = 3x^2 - 1$，令$f'(x) = 0$得 $x = pmfrac{sqrt{3}}{3}$，进一步分 析导数符号可知，当$x < frac{sqrt{3}}{3}$或$x > frac{sqrt{3}}{3}$时，$f'(x) > 0$；当 $- frac{sqrt{3}}{3} < x < frac{sqrt{3}}{3}$时，$f'(x) < 0$。因 此，$x = -frac{sqrt{3}}{3}$为极大值 点，$x = frac{sqrt{3}}{3}$为极小值点。
求函数的拐点
总结词
导数可以用于求函数的拐点，即函数图像的凹凸性改变的 点。
详细描述
通过求二阶导数并分析其正负，可以找到函数的拐点。二 阶导数等于0的点可能是拐点的位置。
示例
对于函数$f(x) = x^4$，其二阶导数$f''(x) = 12x^2$，令$f''(x) = 0$得 $x = 0$。进一步分析二阶导数的符号可知，当$x < 0$时，$f''(x) < 0$；
边际需求与边际供给
导数还可以用于分析市场的供需关系，通过求导数得到边际需求或边际供给的变化情况，帮助我们理 解市场价格的变动趋势。
04
导数在高等数学中的进一步 应用
导数在研究函数中的应用PPT课件
是减函数，求a的取值范围.
例4（09年宁夏/海南卷）已知函数 3 2 x f ( x) ( x 3x ax b)e . （1）若a＝b＝－3，求f(x)的单调区间 （2）若f(x)在(－∞，α )，(2，β )内 单调递增，在(α ，2)，(β ，＋∞)单调 递减，证明：β －α ＞6. 【解题要点】 求导后要指出定义域→由导数大于0得递 增开区间，定义域内其余区间为递减区 间→单调递增条件转化为导数非负.
考点2 导数在函数极值问题中的应用 3 x 2 例5 求函数 f ( x) 的极值 . 2 ( x 1) 例6 已知函数 f ( x) ( x ax a)e 有极小值0，求实数a的值.
2 x
例7（09年湖南卷文）已知函数 3 2 f ( x) x bx cx 的导函数的图象关于 直线x＝2对称，且函数f(x)在x＝t处取 得极小值g(t)，求函数g(t)的定义域和 值域.
10.2
导数在研究函数中的应用
知识梳理
1 5730 p 2
t
1.导数与函数的单调性： f ′(x)≥0 Ûf(x)单调递增； f ′(x)≤0 Û f(x)单调递减， 其中f ′(x)不恒等于0.
2.函数极值的概念： 函数f(x)在点x0附近有定义，且对x0附近 的所有的点，都有 （1）f(x)＞f(x0)，则f(x0)为函数f(x)的 极小值； （2）f(x)＜f(x0)，则f(x0)为函数f(x)的 极大值.
例8（09年全国卷）已知函数 2 x 1和x 2， f x x aIn 1 有两个极值点 x 且x 1＜x 2. （1）求实数a的取值范围；
1 2 In2 （2）证明 f x2 . 4
【解题要点】 由导函数的变号零点确定极值点→结合 图象确定极值类型.
导数在研究函数性质中的应用
导数在研究函数性质中的应用大峪中学韩玮2012年《北京卷考试说明》（理科）要求：导数在研究函数中的应用主要有：利用导数研究函数的单调性；函数的极值、最值；利用导数解决某些实际问题，（其中涉及到的多项式函数不超过三次）。
下面举例说明导数在研究以上三方面函数性质中的具体应用。
1、利用导数研究函数的单调性：（1）函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：设函数在区间内可导，①如果恒有，那么函数在区间内单调递增；②如果恒有，那么函数在区间内单调递减.值得注意的是，若函数在区间内有（或），但其中只有有限个点使得，则函数在区间内仍是增函数（或减函数）.（2）一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值越大，说明这个函数在这个范围内变化得快.这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就比较“平缓”.例1、讨论函数的单调性.解：的定义域为，求导数得.令，得.①当，即时，的变化情况如下表：所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.②当，即时，的变化情况如下表：所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.③当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减.通过本例，明确讨论函数的单调性的一般步骤：①确定的定义域（这一步必不可少，单调区间是定义域的子集）；②计算导数；③求出方程的根；④列表考察的符号，进而确定的性（单调区间）（必要时要进行分类讨论）.2、利用导数研究函数的极值：（1）设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，是极大值点；如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极小值，是极小值点.（2）需要注意，可导函数的极值点必是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点.如在处的导数值为零，但不是函数的极值点.也就是说可导函数在处的导数是该函数在处取得极值的必要但不充分条件.（3）函数在区间上的最值：在区间上的最大值（或最小值）是在区间内的极大值（或极小值）及中的最大者（或最小者）.（4）应注意，极值只是相对一点附近的局部性质，而最值是相对整个定义域内的整体性质.例2、求函数的极值.解：，令，解得.列表分析如下：极大值所以当时，有极大值；当时，有极小值.通过本例，明确求函数的极值的一般步骤：①计算导数；②求出方程的根；③列表考察的根左右值的符号：如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值.例3、已知函数．若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值．解：．易研究函数的单调性：递减区间为，；递增区间为（-1，3）．因为，，所以．因为原函数在上，所以在上单调递增，又由于在上单调递减，因此和分别是在区间上的最大值和最小值．于是有，解得．故，因此，即函数在区间上的最小值为．通过本例，明确求函数在指定闭区间上最值的基本方法：①计算导数；②求出方程的根；③比较函数值及的大小，其中的最大（小）者就是在闭区间上最大（小）值．3、利用导数解决某些实际问题，例4、用总长的钢条制作一个长方体容器的框架，如果容器底面的长比宽多，那么长和宽分别为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．解决策略：解决实际优化问题的关键在于建立数学模型（目标函数），通过把题目中的主要关系（等量和不等量关系）形式化，把实际问题抽象成数学问题，再选择适当的方法求解．简解：设容器底面长方形宽为，则长为，依题意，容器的高为．显然，即的取值范围是．记容器的容积为，则．对此函数求导得：．令，解得；令，解得．所以，当时，取得最大值 1.8，这时容器的长为．答：容器底面的长为m、宽为m时，容器的容积最大，最大容积为．以上结合自己的教学实践从研究函数的单调性；函数的极值、最值；解决某些实际问题，三个方面浅谈了导数在研究函数性质中的具体应用。
导数在研究函数中的应用PPT课件
新疆 源头学子小屋
/wxc/ 特级教师
王新敞 wxckt@ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@
B.(log2x)′=
1 x ln 2
C.(3x)′=3xlog3e
D.(x2cosx)′=－2xsinx
2.函数y=ln(3－2x－x2)的导数为
c
\.
A.
2
x3
B.
3. f (x) 2x2- x3
1
新疆 源头学子小屋
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特级教师 王新敞 wxckt@
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在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一 条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.
f(x1)
f(x3)
y
a
x2
x1
0
x3
f(a)
f(x2)
f(b)
x4 bx
由图可见，最大值点与最小值点 出现在区间端点或者极值点处。
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例1、求函数f ( x) 1 x3 4x 4 在[0，3]上的最大值与最小
图象见右图。
o1
x
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(3) f(x)=sinx-x ; x∈(0,p)
解： f (x)=cosx-1<0
y
从而函数f(x)=sinx-x
o
x
在x∈(0,p)单调递减， 见右图。
f (x) sin x x
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(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ;
解： f (x)=6x2+6x-24=6(x2+x-4)>0
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数作为微积分的重要概念，在研究函数中应用广泛。
导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨独立提出，它描述了函数变化的速率。
导数的定义是函数在其中一点的变化率，表示函数在这一点附近的斜率。
在函数研究中，导数的应用主要体现在以下几个方面：1.切线和法线：导数可以用来求解函数曲线上其中一点的切线和法线。
切线是函数曲线在其中一点上切过该点的直线，而法线是与切线相垂直的直线。
利用导数的定义，我们可以确定函数曲线上其中一点的斜率，进而得到其切线和法线的方程。
2.极值与拐点：导数可以帮助我们找到函数的极值点和拐点。
在函数的极值点上，导数等于零。
根据这个性质，我们可以利用导数来确定函数的极大值和极小值点。
此外，导数还可以帮助我们确定函数上的拐点，即函数曲线由凸向上转为凹向上或由凹向上转为凸向上的点。
3.函数的单调性：导数还可以帮助我们研究函数的单调性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。
通过分析函数的导数，我们可以确定函数在一些区间上是递增还是递减。
4.函数的凹凸性：导数还可以用来确定函数的凹凸性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是凸的；如果函数在一些区间上的导数恒小于零，那么函数在该区间上是凹的。
通过分析函数的导数的变化情况，我们可以确定函数的凹凸区间。
5.近似计算：导数还可以用于近似计算。
在很多实际问题中，函数的导数可以用来近似表示函数在其中一点的变化率。
通过导数近似表示函数的变化率，我们可以很方便地进行问题求解和计算。
总之，导数在研究函数中的应用非常广泛，涵盖了函数的局部性质、全局性质以及近似计算等方面。
通过对导数的研究，我们可以全面了解函数的变化规律和特性，为解决实际问题提供了有力的工具。
导数在函数中的应用知识点讲解+例题讲解(含解析)
导数在函数中的应用一、知识梳理1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数形如山峰形如山谷3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.( )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性.( ) (3)函数的极大值一定大于其极小值.( )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 解析 (1)f (x )在(a ，b )内单调递增，则有f ′(x )≥0. (3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x 0为f (x )的极值点的充要条件是f ′(x 0)＝0，且x 0两侧导函数异号. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正. 答案 A3.函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( ) A.1eB.2eC.eD.e 2解析 因为f ′(x )＝2－(ln x ＋1)＝1－ln x ，令f ′(x )＝0，所以x ＝e ，当f ′(x )>0时，解得0<x <e ；当f ′(x )<0时，解得x >e ，所以x ＝e 时，f (x )取到极大值，f (x )极大值＝f (e)＝e. 答案 C4.(2019·青岛月考)函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增D.单调递减解析易知f′(x)＝－sin x－1，x∈(0，π)，则f′(x)<0，所以f(x)＝cos x－x在(0，π)上递减.答案D5.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图象易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<0<x2<x3)，所以函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合.答案D6.(2019·豫南九校考评)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为()A.4B.2或6C.2D.6解析函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，而当e＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.答案C考点一 求函数的单调区间【例1】 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值. (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，即x (x ＋1)(x ＋4)<0， 解得－1<x <0或x <－4，所以g (x )的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4). 规律方法 1.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间. 2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.【训练1】 (1)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增 D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减 (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________.解析 (1)因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )>0时，解得x >1e ，即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e ，即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .(2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2考点二 讨论函数的单调性【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增. ②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增.(2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2， 故当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2≥0， 即0>a ≥－2e 34时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是[－2e 34，0].【训练2】 已知f (x )＝x 22－a ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间.解 因为f (x )＝x 22－a ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax .(1)当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数. (2)当a >0时，f ′(x )＝（x ＋a ）（x －a ）x，则有①当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递减区间为(0，a ). ②当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞). 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当a >0时，函数f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞).考点三 函数单调性的简单应用 角度1 比较大小或解不等式【例3－1】 (1)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( ) A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6(2)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e ，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）e x ，则不等式F (x )<1e 2的解集为( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(1，e)D.(e ，＋∞)解析 (1)令g (x )＝f （x ）cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )(－sin x )cos 2x ＝1＋ln x cos 2x .由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )>0，解得1e <x <π2；由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )<0，解得0<x <1e .所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，π2上单调递增，又π3>π4，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4， 即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.(2)F ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，又f (x )－f ′(x )>0，知F ′(x )<0， ∴F (x )在R 上单调递减.由F (x )<1e 2＝F (1)，得x >1， 所以不等式F (x )<1e 2的解集为(1，＋∞).答案 (1)B (2)B角度2 根据函数单调性求参数【例3－2】 (2019·日照质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x . (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围. 解 h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x >0.∴h ′(x )＝1x －ax －2.(1)若函数h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间， 则当x >0时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解. 设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞). (2)由h (x )在[1，4]上单调递减，∴当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立， 则a ≥1x 2－2x 恒成立，设G (x )＝1x 2－2x ， 所以a ≥G (x )max . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，x ∈[1，4]，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.又当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝（7x －4）（x －4）16x，∵x ∈[1，4]，∴h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x ≤0，当且仅当x ＝4时等号成立. ∴h (x )在[1，4]上为减函数. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.规律方法 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集.(2)f (x )是单调递增的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.【训练3】 (1)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( ) A.4f (1)<f (2) B.4f (1)>f (2) C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)(2)(2019·淄博模拟)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.[2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12解析 (1)设函数g (x )＝f (x )x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′(x )－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)内为减函数，所以g (1)>g (2)，即f (1)12>f (2)22，所以4f (1)>f (2).(2)由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，等价于f ′(x )＝k －1x ≥0在(2，＋∞)上恒成立，由于k ≥1x ，而0<1x <12，所以k ≥12.即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 (1)B (2)B三、课后练习1.(2017·山东卷)若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是( ) A.f (x )＝2－x B.f (x )＝x 2 C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x解析 设函数g (x )＝e x ·f (x )，对于A ，g (x )＝e x ·2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x，在定义域R 上为增函数，A 正确.对于B ，g (x )＝e x ·x 2，则g ′(x )＝x (x ＋2)e x ，由g ′(x )>0得x <－2或x >0，∴g (x )在定义域R 上不是增函数，B 不正确.对于C ，g (x )＝e x ·3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在定义域R 上是减函数，C 不正确.对于D ，g (x )＝e x ·cos x ，则g ′(x )＝2e x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g ′(x )>0在定义域R 上不恒成立，D 不正确. 答案 A2.(2019·上海静安区调研)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)的解集为( ) A.(e ，＋∞)B.(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(1，e) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 解析 f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝f (ln x ).则原不等式可变形为f (ln x )<f (1)⇔f (|ln x |)<f (1). 又f ′(x )＝x cos x ＋2x ＝x (2＋cos x )， 由2＋cos x >0，得x >0时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. ∴|ln x |<1⇔－1<ln x <1⇔1e <x <e. 答案 D3.若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2 x ＋a cos x ＋53，f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立.令cos x ＝t ，t ∈[－1，1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在[－1，1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立. 令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎨⎧g (1)＝4－3a －5≤0，g (－1)＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，134.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝a （1－x ）x， 当a >0时，f (x )的递增区间为(0，1)， 递减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )为常函数.(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a 2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数， 即g ′(x )在区间(t ，3)上有变号零点.由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎨⎧g ′(t )<0，g ′(3)>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9；由g ′(3)>0，即m >－373. ∴－373<m <－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。
导数在函数中的作用
导数在函数中的作用导数是微积分中的重要概念，广泛应用于函数、曲线和图形的研究中。
它是描述函数在其中一点上的变化率的工具，具有很多实际应用。
在本文中，我将详细介绍导数在函数中的作用及其应用。
首先，导数可以用于研究函数的单调性。
函数的导数可以告诉我们函数在其中一点上是增加还是减少。
如果导数大于零，那么函数在该点上是递增的；如果导数小于零，那么函数在该点上是递减的。
当导数等于零时，表示函数在该点上取得极值，对于凸函数来说，如果导数从正数递减到0，然后再从0递增到正数，那么该点就是极小值点；如果导数从负数递增到0，然后再从0递减到负数，那么该点就是极大值点。
通过导数，我们可以更好地理解函数的增减趋势，并画出函数的增减图，这对于很多实际问题的研究和解决都非常有帮助。
其次，导数可以用于研究函数的凸性和拐点。
函数的导数在其中一点上的变化可以告诉我们函数曲线的凸凹性。
如果导数在其中一点的左侧小于右侧，则说明函数曲线在该点上凹下去；如果导数在其中一点的左侧大于右侧，则说明函数曲线在该点上凸出来。
当导数发生变化的点称为函数的拐点，拐点是函数曲线转折的地方。
通过研究函数的凸性和拐点，我们可以更好地理解函数的形状和性质，从而解决实际问题。
第三，导数可以用于研究函数的极限。
在微积分中，极限是一个非常重要的概念，它描述了函数在其中一点附近的行为。
通过导数，我们可以计算函数在其中一点的导数值，并通过计算导数的极限得到函数在该点的极限值。
这对于研究函数的连续性和光滑性非常重要，也是微积分中一些重要定理（如极值定理和洛必达法则）的基础。
第四，导数可以用于求解函数的最值问题。
最值问题是求函数取值的极大值或极小值的问题。
通过计算函数的导数，我们可以找到函数在其中一区间的最值点。
当导数从正数递减到零再递增到负数时，函数在此处取得极大值；当导数从负数递增到零再递减到正数时，函数在此处取得极小值。
利用导数求解最值问题，我们可以优化一些实际问题，如最大利润、最短路径等。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数是微积分中的重要概念，它在研究函数中有着广泛的应用。
导数可以描述函数在某一点上的变化率，帮助我们理解函数的性质以及解决实际问题。
本文将从几个方面介绍导数在函数研究中的应用。
一、函数的极值问题导数在研究函数的极值问题中起着重要的作用。
通过求函数的导数，我们可以得到函数的驻点和拐点，从而确定函数的极值。
具体来说，当函数的导数为零或不存在时，该点可能是函数的极值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后用二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个过程在求解最优化问题、优化生产过程中都有着广泛的应用。
二、函数的图像与性质导数可以帮助我们研究函数的图像和性质。
通过求导数，我们可以得到函数的增减性和凹凸性。
具体来说，当导数大于零时，函数是增函数；当导数小于零时，函数是减函数。
而二阶导数的正负可以判断函数的凹凸性，当二阶导数大于零时，函数是凹函数；当二阶导数小于零时，函数是凸函数。
通过分析导数和二阶导数的变化，我们可以画出函数的图像，并对函数的性质进行准确的描述。
三、函数的近似计算导数在函数的近似计算中有着重要的应用。
当函数的表达式很复杂或很难求解时，我们可以通过导数来近似计算函数的值。
具体来说，我们可以利用导数的定义公式f'(x) = lim(h->0) (f(x+h)-f(x))/h 来计算函数在某一点的导数，然后通过导数的值和函数在该点的值来估计函数在附近点的值。
这种方法在数值计算、机器学习等领域中被广泛应用。
四、函数的最优化问题导数在函数的最优化问题中也有着重要的应用。
通过求函数的导数，我们可以找到函数的驻点，从而求解函数的最值。
具体来说，当函数在某一点的导数为零或不存在时，该点可能是函数的最值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后通过二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个方法在经济学、工程学等领域中常常用来解决最优化问题。
导数在函数的研究中有着广泛的应用。
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导数在研究函数中的应用（基础篇）
知识点：1.函数的单调性与导数 2.函数的极值与导数 3.函数的最值与导数 课前练习：
1.设y=8x 2-lnx ，则此函数在区间(0,1/4)和(1/2,1)内分别为（ ）
A ．单调递增，单调递减
B 、单调递增，单调递增
C 、单调递减，单调递增
D 、单调递减，单调递减
2.函数y =x ln x 在区间(0，1)上是（ ）
A.单调增函数
B.在(0，
e 1)上是减函数，在(e
1,1)上是增函数 C.单调减函数 D.在(0，e 1)上是增函数，在(e 1,1)上是减函数 3.函数
224y x x =-+的递增区间是 ;递减区间是 . 4.函数42()25f x x x =-+在区间[2,2]-上的最大值是 ;最小值是
5.a ax x y ++=3为R 上为增函数,则a 的取值范围为_________
6.函数
)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 是单调增函数，则下列式中成立的是（ ）
（A ） 03,02≥+>ac b a （B ） 03,02≤->ac b a
（C ） 03,02≥+<ac b a （D ） 03,02≤-<ac b a
7.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ． 4个
例题选讲 例1.已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0,2）,且在点M ))1(,1(--f 处的
切线方程为076=+-y x .
（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间.
例2.（2006年江西卷）已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－3
2与x ＝1时都取得极值 1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间
2）若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ）<c 2恒成立，求c 的取值范围。
例3.（2006年北京卷）已知函数32
()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数
'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：
（Ⅰ）0x 的值； （Ⅱ）,,a b c 的值.
例4.(05重庆文)设函数∈+++-=a ax x a x x f 其中,86)1(32)(23R. （1）若3)(=x x f 在处取得极值，求常数a 的值；
（2）若)0,()(-∞在x f 上为增函数，求a 的取值范围.
例 5.函数c bx ax x x f +++=23)(，过曲线)(x f y =上的点))1(,1(f P 的切线方程为
13+=x y
（1）若)(x f y =在2-=x 时有极值，求f (x )的表达式；
（2）在（1）的条件下，求)(x f y =在]1,3[-上最大值；
（3）若函数)(x f y =在区间]1,2[-上单调递增，求b 的取值范围
1.设M 和m 分别是函数f (x )在［a ,b ］上的最大值和最小值，若m =M ，则f ′(x )
A.等于0
B.小于0
C.等于1
D.不确定
2.设f (x )=ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0),则f (x )为增函数的充要条件是
A.b 2－4ac ＞0
B.b ＞0,c ＞0
C.b =0,c ＞0
D.b 2－3ac ＜0
3. 函数y =1＋3x －x 3有
A.极小值－1，极大值1
B.极小值－2，极大值3
C.极小值－2，极大值2
D.极小值－1，极大值3
4、已知f(x)=2x 3-6x 2+m （ m 为常数），在[ -2，2]上有最大值3，那么函数在[ -2，2]上的最小值为（ ）A ．-37 B ．-29 C ．-5 D ．-11
5、下列函数存在极值的是（ ） A ．y=
x
1 B ．y= x
2 C ．y=x
3 D ．y=2 6、若f(x)=mx 3+12mx 2+36mx-13(m<0)有极大值33m ，则极小值为（ ）
A ．0
B ．33
C ．-13
D -26 7. 函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a =
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8．已知二次函数y =ax 2+(a 2+1)x 在x =1处的导数值为1，则该函数的最大值是 （ ） A ． B ． C ． D ． 9．设函数f (x)在定义域内可导，y = f (x)
y =f ′(x)的图象可能是
3 A ．增函数； B 、减函数 C ．常数； D 、不是单调函数，也不是常数
11．函数y =x 3－3x 2－8x +5在区间[－4, 4]上的最大值是（ ）
（A ）－22 （B ）－71 （C ）－15 （D ）10
12．函数f (x )=x 2+x 在闭区间[－1, 0]上的最小值为（ ）
（A ）0 （B ）－41 （C ）2
1 （D ）－
2 13．给出下面四个命题：① 函数y =x 2－5x +4(－1≤x ≤1)的最大值为10，最小值为－
49；② 函数y =2x 2－4x +1 (2<x <4)的最大值为17，最小值为1；③ 函数y =x 3－12x (－3<x <2)
的最大值为16，最小值为－16；④ 函数y =x 3－12x (－2<x <2)无最大值，也无最小值，
其中正确的命题有（ ）
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
14.设函数f (x )在区间［a ,b ］上满 足f ′(x )＜0,则f (x )在［a ,b ］上的最小值为______, 最大值为__________
15．如果函数f (x) = x 3-32
x 2 +a 在[ -1，1]上的最大值是2，那么f (x)在[ -1，1] 上的最小值是 。
16．函数f (x )=4x 3－3x +3，则f (x )的单调减区间是 。
16258252525
17. 已知函数f (x )=x 3－3ax 2＋2bx 在点x =1处有极小值－1，试确定a ,b 的值，并求出f (x )
的单调区间.
18. 已知函数f (x )的导数为f ′(x )=4x 3－4x ，且图象过定点(0，－5)，求函数f (x )的单调区间和极值.
19．已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－1））
处的切线方程为076=+-y x . （Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间.
20.设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直
线670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。
1)求a ，b ，c 的值；
2)求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。