导数在研究函数中的应用练习题

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2024全国高考真题数学汇编：导数在研究函数中的应用

2024全国高考真题数学汇编导数在研究函数中的应用一、单选题1．（2024上海高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合 0000,,,M x x x x f x f x R ，在使得 1,1M 的所有 f x 中，下列成立的是（）A ．存在 f x 是偶函数B ．存在 f x 在2x 处取最大值C ．存在 f x 是严格增函数D ．存在 f x 在=1x 处取到极小值二、多选题2．（2024全国高考真题）设函数2()(1)(4)f x x x ，则（）A ．3x 是()f x 的极小值点B ．当01x 时， 2()f x f xC ．当12x 时，4(21)0f xD ．当10x 时，(2)()f x f x 3．（2024全国高考真题）设函数32()231f x x ax ，则（）A ．当1a 时，()f x 有三个零点B ．当0a 时，0x 是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b 为曲线()y f x 的对称轴D ．存在a ，使得点 1,1f 为曲线()y f x 的对称中心三、填空题4．（2024全国高考真题）曲线33y x x 与 21y x a 在 0, 上有两个不同的交点，则a 的取值范围为．四、解答题5．（2024全国高考真题）已知函数3()e x f x ax a ．(1)当1a 时，求曲线()y f x 在点 1,(1)f 处的切线方程；(2)若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．6．（2024全国高考真题）已知函数 1ln 1f x ax x x ．(1)当2a 时，求 f x 的极值；(2)当0x 时， 0f x ，求a 的取值范围．7．（2024全国高考真题）已知函数 1ln 1f x a x x ．(1)求 f x 的单调区间；(2)当2a 时，证明：当1x 时， 1e x f x 恒成立．8．（2024上海高考真题）对于一个函数 f x 和一个点 ,M a b ，令 22()()s x x a f x b ，若 00,P x f x 是 s x 取到最小值的点，则称P 是M 在 f x 的“最近点”．(1)对于1()(0)f x x x，求证：对于点 0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在 f x 的“最近点”；(2)对于 e ,1,0x f x M ，请判断是否存在一个点P ，它是M 在 f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x 在点P 处的切线垂直；(3)已知()y f x 在定义域R 上存在导函数()f x ，且函数()g x 在定义域R 上恒正，设点11,M t f t g t ， 21,M t f t g t ．若对任意的t R ，存在点P 同时是12,M M 在 f x 的“最近点”，试判断 f x 的单调性．9．（2024北京高考真题）设函数 ln 10f x x k x k ，直线l 是曲线 y f x 在点 ,0t f t t 处的切线．(1)当1k 时，求 f x 的单调区间.(2)求证：l 不经过点 0,0.(3)当1k 时，设点 ,0A t f t t ， 0,C f t ， 0,0O ，B 为l 与y 轴的交点，ACO S 与ABO S 分别表示ACO △与ABO 的面积．是否存在点A 使得215ACO ABO S S △△成立？若存在，这样的点A 有几个？（参考数据：1.09ln31.10 ，1.60ln51.61 ，1.94ln71.95 ）10．（2024天津高考真题）设函数 ln f x x x ．(1)求 f x 图象上点 1,1f 处的切线方程；(2)若 f x a x 在 0,x 时恒成立，求a 的值；(3)若 12,0,1x x ，证明 121212f x f x x x ．11．（2024全国高考真题）已知函数3()ln (1)2x f x ax b x x (1)若0b ，且()0f x ，求a 的最小值；(2)证明：曲线()y f x 是中心对称图形；(3)若()2f x 当且仅当12x ，求b 的取值范围．参考答案1．B【分析】对于ACD 利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B ，构造函数2,1,111,1x f x x x x即可判断.【详解】对于A ，若存在()y f x 是偶函数,取01[1,1]x ,则对于任意(,1),()(1)x f x f ,而(1)(1)f f ,矛盾,故A 错误；对于B ，可构造函数 2,1,,11,1,1,x f x x x x满足集合 1,1M ，当1x 时，则 2f x ，当11x 时， 1,1f x ，当1x 时， 1f x ，则该函数 f x 的最大值是 2f ，则B 正确；对C ，假设存在 f x ，使得 f x 严格递增，则M R ，与已知 1,1M 矛盾，则C 错误；对D ，假设存在 f x ，使得 f x 在=1x 处取极小值，则在1 的左侧附近存在n ，使得 1f n f ，这与已知集合M 的定义矛盾，故D 错误；故选：B.2．ACD【分析】求出函数 f x 的导数，得到极值点，即可判断A ；利用函数的单调性可判断B ；根据函数 f x 在 1,3上的值域即可判断C ；直接作差可判断D.【详解】对A ，因为函数 f x 的定义域为R ，而 22141313f x x x x x x ，易知当 1,3x 时， 0f x ，当 ,1x 或 3,x 时， 0f x 函数 f x 在 ,1 上单调递增，在 1,3上单调递减，在 3, 上单调递增，故3x 是函数 f x 的极小值点，正确；对B ，当01x 时， 210x x x x ，所以210x x ，而由上可知，函数 f x 在 0,1上单调递增，所以 2f x f x ，错误；对C ，当12x 时，1213x ，而由上可知，函数 f x 在 1,3上单调递减，所以 1213f f x f ，即 4210f x ，正确；对D ，当10x 时， 222(2)()12141220f x f x x x x x x x ，所以(2)()f x f x ，正确；故选：ACD.3．AD【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为0,x x a ，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a 上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b 为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x 为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a 为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a ，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a ，由于1a ，故 ,0,x a 时()0f x ，故()f x 在 ,0,,a 上单调递增，(0,)x a 时，()0f x ，()f x 单调递减，则()f x 在0x 处取到极大值，在x a 处取到极小值，由(0)10 f ，3()10f a a ，则(0)()0f f a ，根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a ，3(2)410f a a ，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a ，则()f x 在(1,0),(,2)a a 上各有一个零点，于是1a 时，()f x 有三个零点，A 选项正确；B 选项，()6()f x x x a ，a<0时，(,0),()0x a f x ，()f x 单调递减，,()0x 时()0f x ，()f x 单调递增，此时()f x 在0x 处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b 为()f x 的对称轴，即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x ，即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x ，根据二项式定理，等式右边3(2)b x 展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x ，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的,a b ，使得x b 为()f x 的对称轴，C 选项错误；D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a ，若存在这样的a ，使得(1,33)a 为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a ，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a ，于是266(126)(1224)1812a a x a x a即126012240181266a a a a，解得2a ，即存在2a 使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax ，2()66f x x ax ，()126f x x a ，由()02a f x x ，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ，由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122a a ，即存在2a 使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x ；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d 都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x 的解，即,33b b f aa是三次函数的对称中心4． 2,1 【分析】将函数转化为方程，令 2331x x x a ，分离参数a ，构造新函数 3251,g x x x x 结合导数求得 g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令 2331x x x a ，即3251a x x x ，令 32510,g x x x x x 则 2325351g x x x x x ，令 00g x x 得1x ，当 0,1x 时， 0g x ， g x 单调递减，当 1,x 时， 0g x ， g x 单调递增， 01,12g g ，因为曲线33y x x 与 21y x a 在 0, 上有两个不同的交点，所以等价于y a 与 g x 有两个交点，所以 2,1a .故答案为：2,1 5．(1) e 110x y (2)1, 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析0a 和0a 两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得2ln 10a a ，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知()e x f x a 有零点，可得0a ，进而利用导数求 f x 的单调性和极值，分析可得2ln 10a a ，构建函数解不等式即可.【详解】（1）当1a 时，则()e 1x f x x ，()e 1x f x ，可得(1)e 2f ，(1)e 1f ，即切点坐标为 1,e 2 ，切线斜率e 1k ，所以切线方程为 e 2e 11y x ，即 e 110x y .（2）解法一：因为()f x 的定义域为R ，且()e x f x a ，若0a ，则()0f x 对任意x R 恒成立，可知()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意；若0a ，令()0f x ，解得ln x a ；令()0f x ，解得ln x a ；可知()f x 在 ,ln a 内单调递减，在 ln ,a 内单调递增，则()f x 有极小值 3ln ln f a a a a a ，无极大值，由题意可得： 3ln ln 0f a a a a a ，即2ln 10a a ，构建 2ln 1,0g a a a a ，则 120g a a a，可知 g a 在 0, 内单调递增，且 10g ，不等式2ln 10a a 等价于 1g a g ，解得1a ，所以a 的取值范围为 1, ；解法二：因为()f x 的定义域为R ，且()e x f x a ，若()f x 有极小值，则()e x f x a 有零点，令()e 0x f x a ，可得e x a ，可知e x y 与y a 有交点，则a ，若0a ，令()0f x ，解得ln x a ；令()0f x ，解得ln x a ；可知()f x 在 ,ln a 内单调递减，在 ln ,a 内单调递增，则()f x 有极小值 3ln ln f a a a a a ，无极大值，符合题意，由题意可得： 3ln ln 0f a a a a a ，即2ln 10a a ，构建 2ln 1,0g a a a a ，因为则2,ln 1y a y a 在 0, 内单调递增，可知 g a 在 0, 内单调递增，且 10g ，不等式2ln 10a a 等价于 1g a g ，解得1a ，所以a 的取值范围为 1, .6．(1)极小值为0，无极大值.(2)12a 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就12a 、102a 、0a 分类讨论后可得参数的取值范围.【详解】（1）当2a 时，()(12)ln(1)f x x x x ，故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x，因为12ln(1),11y x y x在 1, 上为增函数，故()f x 在 1, 上为增函数，而(0)0f ，故当10x 时，()0f x ，当0x 时，()0f x ，故 f x 在0x 处取极小值且极小值为 00f ，无极大值.（2） 11ln 11ln 1,011a x ax f x a x a x x x x，设 1ln 1,01a x s x a x x x，则222111211111a a x a a ax a s x x x x x ，当12a 时， 0s x ，故 s x 在 0, 上为增函数，故 00s x s ，即 0f x ，所以 f x 在 0, 上为增函数，故 00f x f .当102a 时，当0x 0s x ，故 s x 在210,a a 上为减函数，故在210,a a上 0s x s ，即在210,a a上 0f x 即 f x 为减函数，故在210,a a上 00f x f ，不合题意，舍.当0a ，此时 0s x 在 0, 上恒成立，同理可得在 0, 上 00f x f 恒成立，不合题意，舍；综上，12a .【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.7．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x 时，1e 21ln 0x x x 即可.【详解】（1）()f x 定义域为(0,) ，11()ax f x a x x当0a 时，1()0ax f x x，故()f x 在(0,) 上单调递减；当0a 时，1,x a时，()0f x ，()f x 单调递增，当10,x a时，()0f x ，()f x 单调递减.综上所述，当0a 时，()f x 的单调递减区间为(0,) ；0a 时，()f x 的单调递增区间为1,a ，单调递减区间为10,a.（2）2a ，且1x 时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ，令1()e 21ln (1)x g x x x x ，下证()0g x 即可.11()e 2x g x x ，再令()()h x g x ，则121()e x h x x，显然()h x 在(1,) 上递增，则0()(1)e 10h x h ，即()()g x h x 在(1,) 上递增，故0()(1)e 210g x g ，即()g x 在(1,) 上单调递增，故0()(1)e 21ln10g x g ，问题得证8．(1)证明见解析(2)存在，0,1P (3)严格单调递减【分析】（1）代入(0,0)M ，利用基本不等式即可；（2）由题得 22(1)e x s x x ，利用导函数得到其最小值，则得到P ，再证明直线MP 与切线垂直即可；（3）根据题意得到 10200s x s x ，对两等式化简得 01()f xg t ，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明0x t ，最后得到函数单调性.【详解】（1）当(0,0)M 时， 222211(0)02s x x x x x ，当且仅当221x x 即1x 时取等号，故对于点 0,0M ，存在点 1,1P ，使得该点是 0,0M 在 f x 的“最近点”．（2）由题设可得 2222(1)e 0(1)e x x s x x x ，则 2212e x s x x ，因为 221,2e x y x y 均为R 上单调递增函数，则 2212e xs x x 在R 上为严格增函数，而 00s ，故当0x 时， 0s x ，当0x 时， 0s x ，故 min 02s x s ，此时 0,1P ，而 e ,01x f x k f ，故 f x 在点P 处的切线方程为1y x .而01110MP k ，故1MP k k ，故直线MP 与 y f x 在点P 处的切线垂直．（3）设 221(1)()s x x t f x f t g t ，222(1)()s x x t f x f t g t ，而 12(1)2()s x x t f x f t g t f x ， 22(1)2()s x x t f x f t g t f x ，若对任意的t R ，存在点P 同时是12,M M 在 f x 的“最近点”，设 00,P x y ，则0x 既是 1s x 的最小值点，也是 2s x 的最小值点，因为两函数的定义域均为R ，则0x 也是两函数的极小值点，则存在0x ,使得 10200s x s x ，即 10000212()()0s x x t f x f x f t g t ① 20000212()()0s x x t f x f x f t g t ②由①②相等得 044()0g t f x ，即 01()0f x g t ，即 01()f x g t，又因为函数()g x 在定义域R 上恒正，则 010()f xg t 恒成立，接下来证明0x t ，因为0x 既是 1s x 的最小值点，也是 2s x 的最小值点，则 1020(),()s x s t s x s t ，即 2220011x t f x f t g t g t ，③ 2220011x t f x f t g t g t ，④③ ④得 222200222()2()22()x t f x f t g t g t 即 22000x t f x f t ，因为 2200,00x t f x f t 则 0000x t f x f t，解得0x t ，则 10()f tg t 恒成立，因为t 的任意性，则 f x 严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到 01()f x g t，再利用最值点定义得到0x t 即可.9．(1)单调递减区间为(1,0) ，单调递增区间为(0,) .(2)证明见解析(3)2【分析】（1）直接代入1k ，再利用导数研究其单调性即可；（2）写出切线方程()1()(0)1k y f t x t t t，将(0,0)代入再设新函数()ln(1)1t F t t t ，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入215ACO ABO S S 得到13ln(1)21501t t t t ，再设新函数15()13ln(1)2(0)1t h t t t t t研究其零点即可.【详解】（1）1()ln(1),()1(1)11x f x x x f x x x x，当 1,0x 时， 0f x ；当 0,x ，()0f x ¢>；()f x 在(1,0) 上单调递减，在(0,) 上单调递增.则()f x 的单调递减区间为(1,0) ，单调递增区间为(0,) .（2）()11k f x x ，切线l 的斜率为11k t，则切线方程为()1()(0)1k y f t x t t t，将(0,0)代入则()1,()111k k f t t f t t t t，即ln(1)1k t k t t tt ，则ln(1)1t t t ，ln(1)01t t t ，令()ln(1)1t F t t t，假设l 过(0,0)，则()F t 在(0,)t 存在零点.2211()01(1)(1)t t t F t t t t ，()F t 在(0,) 上单调递增，()(0)0F t F ，()F t 在(0,) 无零点，与假设矛盾，故直线l 不过(0,0).（3）1k 时，12()ln(1),()1011x f x x x f x x x.1()2ACO S tf t ，设l 与y 轴交点B 为(0,)q ，0t 时，若0q ，则此时l 与()f x 必有交点，与切线定义矛盾.由（2）知0q .所以0q ，则切线l 的方程为 111ln 1x t y t t t，令0x ，则ln(1)1t y q y t t.215ACO ABO S S ，则2()15ln(1)1t tf t t t t，13ln(1)21501t t t t ，记15()13ln(1)2(0)1th t t t t t，满足条件的A 有几个即()h t 有几个零点.2222221313221151315294(21)(4)()21(1)(1)(1)(1)t t t t t t t h t t t t t t ，当10,2t时， 0h t ，此时 h t 单调递减；当1,42t时， 0h t ，此时 h t 单调递增；当 4,t 时， 0h t ，此时 h t 单调递减；因为1(0)0,0,(4)13ln 520131.6200.802h h h，15247272(24)13ln 254826ln 548261.614820.5402555h，所以由零点存在性定理及()h t 的单调性，()h t 在1,42上必有一个零点，在(4,24)上必有一个零点，综上所述，()h t 有两个零点，即满足215ACO ABO S S 的A 有两个.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.10．(1)1y x (2)2(3)证明过程见解析【分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a ，再证明2a 时条件满足；（3）先确定 f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论.【详解】（1）由于 ln f x x x ，故 ln 1f x x .所以 10f ， 11f ，所以所求的切线经过 1,0，且斜率为1，故其方程为1y x .（2）设 1ln h t t t ，则 111t h t t t，从而当01t 时 0h t ，当1t 时 0h t .所以 h t 在 0,1上递减，在 1, 上递增，这就说明 1h t h ，即1ln t t ，且等号成立当且仅当1t .设 12ln g t a t t ，则ln 1f x a x x x a x x a x g .当 0,x0, ，所以命题等价于对任意 0,t ，都有 0g t .一方面，若对任意 0,t ，都有 0g t ，则对 0,t 有112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t，取2t ，得01a ，故10a .再取t，得2022a a a，所以2a .另一方面，若2a ，则对任意 0,t 都有 212ln 20g t t t h t ，满足条件.综合以上两个方面，知a 的值是2.（3）先证明一个结论：对0a b ，有 ln 1ln 1f b f a a b b a.证明：前面已经证明不等式1ln t t ，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a，且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a a b b a a b b b a b b a a a a a a b a b a b b，所以ln ln ln 1ln 1b b a a a b b a，即 ln 1ln 1f b f a a b b a.由 ln 1f x x ，可知当10e x 时 0f x ，当1ex 时()0f x ¢>.所以 f x 在10,e上递减，在1,e上递增.不妨设12x x ，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211ex x 时，有122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x ，结论成立；情况二：当1210e x x 时，有 12121122ln ln f x f x f x f x x x x x .对任意的10,e c，设ln ln x x x c cln 1x x 由于 x单调递增，且有1111111ln 1ln11102e2e ec c，且当2124ln 1x c c，2cx2ln 1c 可知2ln 1ln 1ln 102c x x c.所以 x 在 0,c 上存在零点0x ，再结合 x 单调递增，即知00x x 时 0x ，0x x c 时 0x .故 x 在 00,x 上递减，在 0,x c 上递增.①当0x x c 时，有 0x c ；②当00x x112221e e f f c，故我们可以取1,1q c .从而当201cx q1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q c.再根据 x 在 00,x 上递减，即知对00x x 都有 0x ；综合①②可知对任意0x c ，都有 0x ，即ln ln 0x x x c c .根据10,e c和0x c 的任意性，取2c x ，1x x，就得到1122ln ln 0x x x x .所以12121122ln ln f x f x f x f x x x x x 情况三：当12101e x x时，根据情况一和情况二的讨论，可得11e f x f21e f f x而根据 f x 的单调性，知 1211e f x f x f x f或 1221e f x f x f f x .故一定有12f x f x 成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合 f x 的单调性进行分类讨论.11．(1)2 (2)证明见解析(3)23b【分析】（1）求出 min 2f x a 后根据()0f x 可求a 的最小值；（2）设 ,P m n 为 y f x 图象上任意一点，可证 ,P m n 关于 1,a 的对称点为 2,2Q m a n 也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断 12f 即2a ，再根据()2f x 在 1,2上恒成立可求得23b .【详解】（1）0b 时， ln 2xf x ax x，其中 0,2x ，则112,0,222f x a a x x x x x，因为 22212x x x x，当且仅当1x 时等号成立，故 min 2f x a ，而 0f x 成立，故20a 即2a ，所以a 的最小值为2 .，（2） 3ln12x f x ax b x x的定义域为 0,2，设 ,P m n 为 y f x 图象上任意一点，,P m n 关于 1,a 的对称点为 2,2Q m a n ，因为 ,P m n 在 y f x 图象上，故 3ln 12m n am b m m，而 3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m，2n a ，所以 2,2Q m a n 也在 y f x 图象上，由P 的任意性可得 y f x 图象为中心对称图形，且对称中心为 1,a .（3）因为 2f x 当且仅当12x ，故1x 为 2f x 的一个解，所以 12f 即2a ，先考虑12x 时， 2f x 恒成立.此时 2f x 即为 3ln21102x x b x x在 1,2上恒成立，设 10,1t x ，则31ln201t t bt t在 0,1上恒成立，设 31ln2,0,11t g t t bt t t，则2222232322311t bt b g t bt t t，当0b ，232332320bt b b b ，故 0g t 恒成立，故 g t 在 0,1上为增函数，故 00g t g 即 2f x 在 1,2上恒成立.当203b 时，2323230bt b b ，故 0g t 恒成立，故 g t 在 0,1上为增函数，故 00g t g 即 2f x 在 1,2上恒成立.当23b ，则当01t 时， 0g t故在上 g t 为减函数，故 00g t g ，不合题意，舍；综上， 2f x 在 1,2上恒成立时23b .而当23b 时，而23b 时，由上述过程可得 g t 在 0,1递增，故 0g t 的解为 0,1，即 2f x 的解为 1,2.综上，23b .【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.。

导数在研究函数中的应用练习题(基础、经典、好用)

导数在研究函数中的应用一、选择题1．设函数f(x)＝2x＋ln x，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点2．函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝f（x）x在区间(1，＋∞)上一定()A．有最小值B．有最大值C．是减函数D．是增函数3．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是() A．(0，1) B．(－∞，1)C．(0，＋∞) D．(0，1 2)4．对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－a)f′(x)≥0，则必有() A．f(x)≥f(a) B．f(x)≤f(a)C．f(x)＞f(a) D．f(x)＜f(a)5．若函数f(x)＝xx2＋a(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a的值为()A.33 B. 3 C.3＋1 D.3－1二、填空题6．函数f(x)＝xln x的单调递减区间是________．7．已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＋n＝________．8．已知函数f(x)＝－12x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．三、解答题9．(2013·肇庆调研)已知函数f(x)＝ax2＋b ln x在x＝1处有极值1 2.(1)求a，b的值；(2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．10．设函数f(x)＝x＋ax2＋b ln x，曲线y＝f(x)过P(1，0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)令g(x)＝f(x)－2x＋2，求g(x)在定义域上的最值．11．(2013·惠州模拟)已知函数f(x)＝x2＋2a ln x.(1)若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线斜率为1，求实数a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若函数g(x)＝2x＋f(x)在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．导数在研究函数中的应用解析及答案一、选择题1．【解析】∵f(x)＝2x＋ln x(x>0)，∴f′(x)＝－2x2＋1x.由f′(x)＝0解得x＝2.当x∈(0，2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．∴x＝2为f(x)的极小值点．【答案】 D2．【解析】由函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，可得a的取值范围为a＜1，又g(x)＝f（x）x＝x＋ax－2a，则g′(x)＝1－ax2，易知在x∈(1，＋∞)上g′(x)＞0，所以g(x)为增函数．【答案】 D3．【解析】f′(x)＝3x2－6b，令f′(x)＝0得x2＝2b，由题意知0＜2b＜1，∴0＜b＜12，故选D.【答案】 D4．【解析】由(x －a )f ′(x )≥0知，当x ＞a 时，f ′(x )≥0；当x ＜a 时，f ′(x )≤0. ∴当x ＝a 时，函数f (x )取得最小值，则f (x )≥f (a )．【答案】 A5．【解析】 f ′(x )＝x 2＋a －2x 2（x 2＋a ）2＝a －x 2（x 2＋a ）2.令f ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝－a (舍)，①若a ≤1时，即0＜a ≤1时，在[1，＋∞)上f ′(x )＜0，f (x )max ＝f (1)＝11＋a＝33. 解得a ＝3－1，符合题意． ②若a ＞1，在[1，a ]上f ′(x )＞0；在[a ，＋∞)上f ′(x )＜0. ∴f (x )max ＝f (a )＝a 2a ＝33，解得a ＝34＜1，不符合题意，综上知，a ＝3－1. 【答案】 D 二、填空题6．【解析】 f ′(x )＝ln x －1ln 2x ，令f ′(x )＜0得 ln x －1＜0，且ln x ≠0. ∴0＜x ＜1或1＜x ＜e ，故函数的单调递减区间是(0，1)和(1，e)．【答案】 (0，1)，(1，e)7．【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n ，且f (x )在x ＝－1处的极值为0. ∴⎩⎨⎧f （－1）＝（－1）3＋3m （－1）2＋n （－1）＋m 2＝0，f ′（－1）＝3×（－1）2＋6m （－1）＋n ＝0， ∴⎩⎨⎧m ＝1，n ＝3或⎩⎨⎧m ＝2，n ＝9，当⎩⎨⎧m ＝1，n ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0恒成立与x ＝－1是极值点矛盾，当⎩⎨⎧m ＝2n ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)，显然x ＝－1是极值点，符合题意， ∴m ＋n ＝11. 【答案】 118．【解析】由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－（x －1）（x －3）x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t ＜1＜t ＋1或t ＜3＜t ＋1，得0＜t ＜1或2＜t ＜3. 【答案】 (0，1)∪(2，3) 三、解答题9．【解】 (1)f ′(x )＝2ax ＋b x ，又f (x )在x ＝1处有极值12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝12，f ′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，2a ＋b ＝0.解之得a ＝12且b ＝－1. (2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x ＝（x ＋1）（x －1）x .当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x (0，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) －0 ＋f (x )极小值所以函数y ＝f (x )的单调减区间是(0，1)，单调增区间是(1，＋∞)． 10．【解】 (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋bx (x ＞0)，又f (x )过点P (1，0)，且在点P 处的切线斜率为2，∴⎩⎨⎧f （1）＝0，f ′（1）＝2，即⎩⎨⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2. 解之得a ＝－1，b ＝3.(2)由(1)知，f (x )＝x －x 2＋3ln x ，定义域为(0，＋∞)， ∴g (x )＝2－x －x 2＋3ln x ，x ＞0，则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－（x －1）（2x ＋3）x .当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当x ＞1时，g ′(x )＜0.所以g (x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减． ∴g (x )的最大值为g (1)＝0，g (x )没有最小值． 11．【解】 (1)f ′(x )＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax ，由已知f ′(2)＝1，解得a ＝－3.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．①当a ≥0时，f ′(x )＞0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a ＜0时，f ′(x )＝2（x ＋－a ）（x －－a ）x .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：x (0，－a )－a (－a ，＋∞)f ′(x ) －0 ＋f (x )极小值由上表可知，函数f (x )的单调递减区间是(0，－a )；单调递增区间是(－a ，＋∞)．(3)由g (x )＝2x ＋x 2＋2a ln x 得g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2ax ，由已知函数g (x )为[1，2]上的单调减函数，则－2x 2＋2x ＋2ax ≤0在[1，2]上恒成立．即a≤1x－x2在[1，2]上恒成立．令h(x)＝1x－x2，h′(x)＝－1x2－2x＝－(1x2＋2x)＜0，所以h(x)在[1，2]上为减函数，h(x)min＝h(2)＝－7 2，所以a≤－7 2.。

考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1. （2013·辽宁高考理科·Ｔ12）设函数()f x 满足22()2(),(2).8x e e x f x xf x f x '+==则x>0时,f(x)（）.A 有极大值，无极小值.B 有极小值，无极大值 .C 既有极大值又有极小值.D 既无极大值也无极小值【解题指南】结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极值问题。

【解析】选D.由题意知2332()2()()x x e f x e x f x f x x x x -¢=-=，x 2x 22g(x)e 2x f (x),g '(x)e 2x f '(x)4xf (x 2(()2())22(1).)x x xx e x f x xf x e e e x x则令¢==--+=-=-=--由()0g x ¢=得2x =,当2x =时,222min ()2208e g x e =-创= 即()0g x ³,则当0x >时,3()()0g x f x x ¢= , 故()f x 在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值.2. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ12）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ11）相同已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=0),1ln(0,2)(2x x x x x x f ，若ax x f ≥|)(|，则a 的取值范围是（）A.]0,(-∞B. ]1,(-∞C. ]1,2[-D. ]0,2[- 【解题指南】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象，利用|)(|x f 在)0,0(处的切线为制定参数的标准.【解析】选D.画出函数y=|f(x)|的图象如图所示,当0≤x 时，x x x f x g 2|)(|)(2-==，22)(-='x x g ，2)0(-='g ，故2-≥a .当0>x 时，)1ln(|)(|)(+==x x f x g ，11)(+='x x g 由于)(x g 上任意点的切线斜率都要大于a ，所以0≤a ，综上02≤≤-a .3. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ11）与(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T10)相同设已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（） A.0x R ∃∈，0()0f x =B.函数()y f x =的图象是中心对称图形C.若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D.若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=【解析】选C.结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.A 项,因为函数f(x)的值域为R,所以一定存在x 0∈R,使f(x 0)=0,A 正确.B 项,假设函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为(m,n),按向量(,)a m n =--将函数的图象平移,则所得函数y=f(x+m)-n 是奇函数,所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,化简得(3m+a)x 2+m 3+am 2+bm+c-n=0.上式对x ∈R 恒成立,故3m+a=0,得m=-3a ,n=m 3+am 2+bm+c=f 3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为,33a a f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故y=f(x)的图象是中心对称图形,B 正确.C 项,由于()f x '=3x 2+2ax+b 是二次函数,f(x)有极小值点x 0,必定有一个极大值点x 1,若x 1<x 0,则f(x)在区间(-∞,x 0)上不单调递减,C 错误.D 项,若x 0是极值点,则一定有0()0f x '=.故选C. 4.（2013·安徽高考文科·Ｔ10）已知函数32()=+a +bx+f x x x c 有两个极值点1x ，2x ，若112()=f x x x <，则关于x 的方程23(())+2a ()+=0f x f x b 的不同实根个数是 ( ) A.3 B.4 C. 5 D.6【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x 1或f(x)=x 2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.【解析】选A 。

导数在研究函数的综合应用(三)：高考数学一轮复习基础必刷题

导数在研究函数的综合应用（三）------高考数学一轮复习基础必刷题姓名：___________��班级：___________��学号：___________一、单选题1．已知函数()f x 的导函数()f x '的图像如图所示，则()y f x =的图像可能为（）A ．B ．C ．D ．2．已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =在区间(),a b 内的极小值点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．函数()ln 1f x x x =-+单调递增区间是（）A ．（0,+∞）B ．（-∞,0）C ．（0,1）D ．（1,+∞）4．已知函数()286ln 1f x x x x =-++，则()f x 的极大值为（）A ．10B ．6-C ．7-D ．05．函数2()2ln f x x x m x =-+在定义域上是增函数，则实数m 的取值范围为（）A ．12m ≥B ．12m >C ．12m ≤D ．12m <6．若定义在R 上的函数()y f x =的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，则不等式()()20x f x '+>的解集为（）．A ．()()(),32,11,-∞-⋃--⋃+∞B ．()()3,11,--⋃+∞C ．()()3,10,1-- D ．()()3,21,1--⋃-7．如果直线l 与两条曲线都相切，则称l 为这两条曲线的公切线，如果曲线1:ln C y x =和曲线()2:0x aC y x x-=>有且仅有两条公切线，那么常数a 的取值范围是（）A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()1,e D ．(),e +∞8．函数||()sin =-x f x e x 的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．函数()43ln f x x x x=++的单调递减区间是______．10．若函数()32f x x bx cx d =+++的单调递减区间为()1,3-，则b c +=_________．11．若过定点(1,e)P 恰好可作曲线e (0)x y a a =>的两条切线，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题12．已知函数f （x ）＝ax 2ex ﹣1（a ≠0）.（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）已知a ＞0且x ∈[1，+∞），若函数f （x ）没有零点，求a 的取值范围.13．确定下列函数的单调区间：(1)2y x x =-；(2)3y x x =-．14．已知1x =-，2x =是函数32()13x f x ax bx =-+++的两个极值点.（1）求()f x 的解析式；（2）记()()g x f x m =-，[24]x ∈-，，若函数()g x 有三个零点，求m 的取值范围.15．已知函数2()(1)x f x ax bx e -=++，其中e 为自然对数的底数.（1）若a =0，求函数()f x 的单调区间；（2）若1,3a b ==，证明x ＞0时，()f x ＜52ln x x x-+参考答案：1．D 【解析】【分析】根据导数图象，可知函数的单调性，并且结合()00f '=，即可排除选项.【详解】由导数图象可知，()0f x '≥，所以函数单调递增，故排除C ；并且()00f '=，故排除AB ；满足条件的只有D.故选：D 2．A 【解析】【分析】结合导函数图象确定正确选项.【详解】函数的极小值点0x 需满足左减右增，即()'00f x =且左侧()'0f x <，右侧()'0f x >，由图可知，一共有1个点符合.故选：A 3．C 【解析】【分析】求导，令导数大于0，解不等式可得.【详解】()ln 1f x x x =-+的定义域为(0,)+∞令11()10x f x x x-'=-=>，解得01x <<，所以()f x 的单调递增区间为(0,1).故选：C 4．B 【解析】【分析】利用导数可判断函数的单调性，进而可得函数的极大值.【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()213628x x f x x x x--'=-+=,令()0f x '=，解得1x =或3x =，故x ()0,11()1,33()3,+∞()f x '0>0=0<0=0>()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以()f x 的极大值为()16f =-，故选：B.5．A 【解析】【分析】根据导数与单调性的关系即可求出．【详解】依题可知，()220mf x x x'=-+≥在()0,∞+上恒成立，即221122222m x x x ⎛⎫≥-=--+ ⎪⎝⎭在()0,∞+上恒成立，所以12m ≥．故选：A ．6．A 【解析】利用()y f x =的图象如图判断()f x 单调性，进而判断()f x '在对应区间的正负，解不等式即可【详解】由图像可知：()f x '在（-3，-1），（1，+∞）为正，在（-∞，-3），（-1,1）为负.()()20x f x '+>可化为:20()0x f x +>>'⎧⎨⎩或20()0x f x +<<'⎧⎨⎩解得:-2<x <-1或x >1或x <-3故不等式的解集为：()()(),32,11,-∞-⋃--⋃+∞.故选：A 【点睛】导函数()f x '与原函数()f x 的单调性的关系：（1）()0f x '>⇒原函数在对应区间单增；()0f x '<⇒原函数在对应区间单减；（2）原函数在对应区间单增⇒()0f x '≥；原函数在对应区间单减⇒()0f x '≤.7．B 【解析】【分析】把曲线1C 和曲线2C)1ln 2x -=-有且仅有两解.记())()ln 2,0f x x x =->，利用导数研究单调性和极值，建立不等式20-<-<，即可解得.【详解】曲线1:ln C y x =上一点()11,ln A x x ，11y x '=，切线方程为：1111ln y x x x =-+.曲线()2:0x a C y x x -=>上一点22,1a B x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，22a y x '=，切线方程为：22221a a y x x x =+-.若直线l 与两条曲线都相切，则有2121212ln 11a x x a x x ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去2x)1ln 2x -=-因为曲线1:ln C y x =和曲线()2:0x aC y x x-=>有且仅有两条公切线，)1ln 2x -=-有且仅有两解.记())()ln 2,0f x x x =->，则())1ln 2f x x x '=-+=令()0f x '>，得1x >，所以()f x 在()1,+∞上单增；()0f x '<，得01x <<，所以()f x 在()0,1上单增.所以()()min 12f x f ==-.又有()0f x =，解得：0x =（舍）或2x e =.当0x +→，则()0f x →；当x →∞，则()f x →+∞；而0-≤)1ln 2x -=-有且仅有两解，只需20-<-<，解得：01a <<.故选：B 【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围.8．B 【解析】【分析】由导数判断函数的单调性及指数的增长趋势即可判断.【详解】当0x >时，()e cos 1cos 0=->-≥'x f x x x ，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0x <时，()cos 1cos 0-=--<--≤'x f x e x x ，∴()f x 在(,0)-∞上单调递减，排除A 、D ；又由指数函数增长趋势，排除C.故选：B ．9．()0,1【解析】求出导函数()'f x ，在(0,)+∞上解不等式()0f x '<可得()f x 的单调减区间．【详解】()()()'2+41431x x f x x x x-=-+=，其中0x >，令()'0f x <，则(0,1)x ∈，故函数()43ln f x x x x =++的单调减区间为(0,1)，故答案为：(0,1)．【点睛】一般地，若()f x 在区间(,)a b 上可导，我们用'()0f x <求，则()f x 在(,)a b 上的减区间，反之，若()f x 在区间(,)a b 上可导且为减函数，则()0f x '≤，注意求单调区间前先确定函数的定义域．10．12-【解析】求出()'f x ，由1-和3是()0f x '=的根可得．【详解】由题意2()32f x x bx c '=++，所以2320x bx c ++=的两根为1-和3，所以2133133bc ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，所以3,9b c =-=-，12b c +=-．故答案为：12-．11．(1,)+∞【解析】【分析】求出函数的导数，设切点为(,)m n ，由导数的几何意义和两点的斜率公式可得e(2)e m m a-=-，设()(2)e x f x x =-，利用导数求出其单调区间和极值，再画出函数的图象，结合图象可得a 的取值范围【详解】由e (0)x y a a =>，得e x y a '=，切点为(,)m n ，则切线的斜率为e m a ，所以切线方程为e ()m y n a x m -=-，因为e m n a =，所以e e ()m m y a a x m -=-，因为点(1,e)P 在切线上，所以e e e (1)m m a a m -=-，得e(2)e m m a-=-，令()(2)e x f x x =-，则()(1)e x f x x '=-，当1x >时，()0f x '>，当1x <时，()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上递增，在(,1)-∞上递减，所以()f x 在1x =处取得极小值e -，当x →-∞时，()0f x →，当x →+∞时，()f x →+∞，由题意可得直线ey a=-与函数()f x 的图象有两个交点，所以ee 0a-<-<，解得1a >，所以实数a 的取值范围为(1,)+∞，故答案为：(1,)+∞12．（1）当a ＞0时，f （x ）的单调递增区间为（﹣∞,﹣2）和（0,+∞），单调递减区间为（﹣2,0）；当a ＜0时，f （x ）的单调递增区间为（﹣2,0），单调递减区间为（﹣∞,﹣2）和（0,+∞）；（2）1e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，.【解析】（1）先求导f '（x ）＝2axex +ax 2ex ＝axex （2+x ），再分a ＞0和a ＜0进行讨论即可得解；（2）根据（1）可知，当a ＞0时，f （x ）在x ∈[1，+∞）上单调递增，则保证f （1）＞0即可得解.【详解】（1）f '（x ）＝2axex +ax 2ex ＝axex （2+x ），令f '（x ）＝0，则x ＝0或x ＝﹣2，①若a ＞0，当x ＜﹣2时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增；当﹣2＜x ＜0时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞0时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增；②若a ＜0，当x ＜﹣2时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减；当﹣2＜x ＜0时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ＞0时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减；综上所述，当a ＞0时，f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞），单调递减区间为（﹣2，0）；当a ＜0时，f （x ）的单调递增区间为（﹣2，0），单调递减区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）.（2）当a ＞0时，由（1）可知，f （x ）在x ∈[1，+∞）上单调递增，若函数没有零点，则f （1）＝ae ﹣1＞0，解得1a e＞，故a 的取值范围为1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性，考查了分类讨论思想，要求较高的计算能力，在高考中考压轴题，属于难题.13．(1)单调递增区间为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)单调递增区间为⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,⎛-∞ ⎝⎭，⎫∞⎪⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）求得导函数，利用导数的正负即可求得单调区间.（2）求得导函数，利用导数的正负即可求得单调区间.(1)2y x x =-，12y x '∴=-，当0y '=时，12x =.当0y '>时，12x <，当0y '<时，12x >，∴2y x x =-的单调递增区间为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)3y x x =-，213y x '∴=-，当0y '=时，3x =.当0y '>时，33x -<<，当0y '<时，3x >，或3x <-∴3y x x =-的单调递增区间为33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,3⎛-∞- ⎝⎭，3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭.14．（1）3211()2132f x x x x =-+++；（2）15,63⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据极值点的定义，可知方程()0f x '=的两个解即为1x =-，2x =，代入即得结果；（2）根据题意，将方程()0g x =转化为()f x m =，则函数()y f x =与直线y m =在区间[2-，4]上有三个交点，进而求解m 的取值范围．【详解】解：（1）因为32()13x f x ax bx =-+++，所以2()2f x x ax b '=-++根据极值点定义，方程()0f x '=的两个根即为1x =-，2x =，2()2f x x ax b '=-++ ，代入1x =-，2x =，可得120440a b a b --+=⎧⎨-++=⎩，解之可得，122a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故有3211()2132f x x x x =-+++；（2）根据题意，3211()2132g x x x x m =-+++-，[2x ∈-，4]，根据题意，可得方程32112132m x x x =-+++在区间[2-，4]内有三个实数根，即函数3211()2132f x x x x =-+++与直线y m =在区间[2-，4]内有三个交点，又因为2()2f x x x '=-++，则令()0f x '>，解得12x -<<；令()0f x '<，解得2x >或1x <-，所以函数()f x 在[)2,1--，(]2,4上单调递减，在(1,2)-上单调递增；又因为1(1)6f -=-，()1323f =，5(2)3f -=，()1343f =-，函数图象如下所示：若使函数3211()2132f x x x x =-+++与直线y m =有三个交点，则需使1563m -< ，即15,63m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦．15．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）求得()f x 的导数，讨论0b =，0b >，0b <，解不等式可得所求单调区间；（2）分别求得()f x 的最大值，()52ln P x x x x =-+的最小值，比较即可得证.【详解】（1）若0a =，则'2(1)(1)()()x x x x be e bx bx b f x e e -+-+-==，（i ）当0b =时，'1()0x f x e-=<，函数()f x 在R 上单调递减；（ii ）当0b ≠时，'1[(1()xb x b f x e ---=，①若0b >，当1(,1)x b∈-∞-时，'()0f x >，函数()f x 单调递增；当1(1,)x b∈-+∞时，'()0f x <，函数()f x 单调递减.②若0b <，当1(,1)x b∈-∞-时，'()0f x <，函数()f x 单调递减；当1(1,)x b∈-+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增.综上可知，当0b >时，函数()f x 的单调递增区间为1(,1)b -∞-，单调递减区间为1(1,)b-+∞；当0b =时，函数()f x 的单调递减区间为R ，无单调递增区间；当0b <时，函数()f x 的单调递增区间为1(1,)b -+∞，单调递减区间为1(,1)b -∞-；（2）若1,3,a b ==则2()(31)x f x x x e -=++，0x >，要证不等式()52ln f x x x x <-+，即证23152ln x x x x x x e++<-+，记()52ln P x x x x =-+，则'1()2ln 1ln P x x x x x=-++⋅=-+，故当(0,)x e ∈时，'()0P x <，函数()P x 单调递减，当(+)x e ∈∞，时，'()0P x >，函数()P x 单调递增，所以()()52ln 5P x p e e e e e ≥=-+=-；又22'2(23)(31)2(2)(1)()()x x x x x x e x x e x x x x f x e e e +-++--++-===-，故(0,1)x ∈时，'()0f x >，函数()f x 单调递增；(1,)x ∈+∞时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，所以0x >时，5()(1)f x f e ≤=因为 2.7e ≈，所以55(5)5()0e e e e --=-+>，所以55e e->，所以0x >时，()52ln f x x x x <-+.【点睛】本题考查利用导数求函数单调性及最值，考查了学生转化的问题的能力及计算能力，是中档题.。

高中数学选择性必修二专题5 3 导数在研究函数中的应用(A卷基础篇)(含答案)

专题5. 3导数在研究函数中的应用（2）（A 卷基础篇）（新教材人教A 版,浙江专用）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2020·全国高二课时练习）设()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，且在(,)a b 内可导，则下列结论中正确的是（）A ．()f x 的极值点一定是最值点B ．()f x 的最值点一定是极值点C ．()f x 在区间[,]a b 上可能没有极值点D ．()f x 在区间[,]a b 上可能没有最值点【答案】C【解析】根据函数的极值与最值的概念知，()f x 的极值点不一定是最值点，()f x 的最值点不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A ，B ，D 都不正确，若函数()f x 在区间[,]a b 上单调，则函数()f x 在区间[,]a b 上没有极值点，所以C 正确．故选：C.2．（2020·全国高二单元测试）如图是函数y ＝f （x ）的导数y ＝f '（x ）的图象，则下面判断正确的是（）A ．在（﹣3，1）内f （x ）是增函数B ．在x ＝1时，f （x ）取得极大值C ．在（4，5）内f （x ）是增函数D ．在x ＝2时，f （x ）取得极小值【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，在（﹣3，32-）上，f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数，A 错误；对于B ，在（32-，2）上，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，x ＝1不是f （x ）的极大值点，B 错误；对于C ，在（4，5）上，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，C 正确；对于D ，在（32-，2）上，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，在（2，4）上，f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数，则在x ＝2时f （x ）取得极大值，D 错误；故选：C ．3．（2020·横峰中学高三月考（文））已知函数()ln f x x ax =-在2x =处取得极值，则a =（） A ．1B ．2C ．12D ．-2【答案】C【解析】 ()'1f x a x=-，依题意()'20f =，即110,22a a -==. 此时()()'112022x f x x x x -=-=>，所以()f x 在区间()0,2上递增，在区间()2,+∞上递减，所以()f x 在2x =处取得极大值，符合题意. 所以12a =. 故选：C4．（2020·霍邱县第二中学高二月考（文））已知函数()31f x ax bx =++的图象在点()1,1a b ++处的切线斜率为6，且函数()f x 在2x =处取得极值，则a b +=（）A ．263-B ．7C ．223D ．263【答案】C【解析】由题可知：()'23f x ax b =+，则36,120,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得23a =-，8b =. 经检验，当23a =-，8b =时，()f x 在2x =处取得极大值，所以223a b +=. 故选：C 5．（2020·北京高二期末）已知函数31()43f x x x =-，则()f x ）的极大值点为（） A ．4x =-B ．4x =C ．2x =-D ．2x = 【答案】C【解析】由31()43f x x x =-，得：()24f x x '=-.由()240f x x '=->，得：2x <-，或2x >. 由()240f x x '=-<，得：22x -<<. 所以函数()f x 的增区间为()(),2,2,-∞-+∞.函数()f x 的减区间为()2,2-.所以，2x =-是函数的极大值点，2x =是函数的极小值点.故选：C.6．（2020·河南信阳市·高二期末（文））设()21cos 2=+f x x x ，则函数()f x （） A ．有且仅有一个极小值B ．有且仅有一个极大值C ．有无数个极值D ．没有极值【答案】A【解析】 ()sin f x x x '=-，()1cos 0f x x ''=-≥，∴()f x '单调递增且()00f '=，∴当0x <时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当0x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，故()f x 有唯一的极小值点.故选：A.7．（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学高二月考（理））函数()33f x x ax a =--在()0,1内有最小值，则a 的取值范围为( )A ．01a ≤<B ．01a <<C ．11a -<<D ．102a << 【答案】B【解析】 ∵函数f （x ）=x 3﹣3ax ﹣a 在（0，1）内有最小值，∴f′（x ）=3x 2﹣3a=3（x 2﹣a ），①若a ≤0，可得f′（x ）≥0，f （x ）在（0，1）上单调递增，f （x ）在x=0处取得最小值，显然不可能，②若a ＞0，f′（x ）=0解得x=当x f （x ）为增函数，0＜x f （x ）在所以极小值点应该在（0，1）内，符合要求．综上所述，a 的取值范围为（0，1）故答案为B8．（2020·佳木斯市第二中学高二期末（文））若函数()321233f x x x =+-在区间(),3a a +内既存在最大值也存在最小值，则a 的取值范围是（）A ．()3,2--B ．()3,1--C ．()2,1--D ．()2,0-【答案】A【解析】由()22(2)0f x x x x x '=+=+=得2x =-或0x =，可以判断()f x 在0x =处取得极小值()203f =-，在2x =-处取得极大值()223f -=. 令()23f x =-，得3x =-或0x =，令()23f x =，得2x =-或1x =，由题意知函数()f x 在开区间(),3a a +内的最大、最小值只能在2x =-和0x =处取得，结合函数()f x 的图象可得：03132a a <+≤⎧⎨-≤<-⎩，解得32a -<<-，故a 的取值范围是()3,2--.故选：A 9．（2020·全国高三专题练习（文））函数()sin xf x ae x =-在0x =处有极值,则a 的值为( ) A ．1-B ．0C ．1D ．e【答案】C【解析】由题意得：()cos x f x ae x '=-()f x 在0x =处有极值 ()0cos010f a a '∴=-=-=，解得：1a =经检验满足题意，本题正确选项：C10．（2020·湖北宜昌市·高二期末）若1x =是函数3221()(1)(33)3f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为（）A ．-3B ．2C ．-2或3D ．–3或2【答案】D【解析】由题意，知：22()2(1)(33)f x x a x a a '=++-+-且()01f '=，∴260+-=a a ，解得：3a =-或2a =.当3a =-时，2()43(1)(3)f x x x x x '=-+=--，即在1x =的左侧(0)30f '=>，右侧(2)10f '=-<，所以1x =是极值点，而非拐点；当2a =时，2()67(1)(7)f x x x x x '=+-=-+，即在1x =的左侧(0)70f '=-<，右侧(2)90f '=>，所以1x =是极值点，而非拐点；故选：D第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2020·四川成都市·高三开学考试（文））已知函数()sin 2f x x x =-，则()f x 在[,]22ππ-上的最小值是_______________.【答案】1-π【解析】在[,]22ππ-上，有()cos 20f x x '=-<，知：()f x 单调递减， ∴min ()()sin 21222f x f ππππ==-⨯=-，故答案为：1-π.12．（2020·昆明呈贡新区中学（云南大学附属中学呈贡校区）高三月考（理））若x ＝2是f (x )＝ax 3-3x 的一个极值点，则a ＝________. 【答案】14 【解析】因为3()3f x ax x =-，所以2()33f x ax '=-，因为x ＝2是f (x )＝ax 3-3x 的一个极值点，所以(2)1230f a '=-=，故14a =，经验证当14a =时，2x =是()f x 的一个极值点. 所以14a =. 故答案为：1413．（2019·浙江高三专题练习）若函数321()3f x x x =-在[1,1]-，则函数的最小值是 _______ ；最大值是_________. 【答案】43-0 【解析】由题得2()=2f x x x '-，令2()=2=0f x x x '-得x=2（舍去）或0，因为42(1),(0)0,f(1)33f f -=-==-，所以函数的最小值是43-，最大值为0. 故答案为4;0.3- 14．（2020·东台创新高级中学高二月考）已知函数()ln f x x x =，则()y f x =的极小值为______．【答案】1e -【解析】因为()ln f x x x =，所以()ln 1f x x '=+，由()0f x '>得1x e >；由()0f x '<得10x e<<；所以函数()ln f x x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()y f x =的极小值为1111ln f e e e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 故答案为：1e-. 15．（2019·西藏拉萨市·拉萨那曲第二高级中学高二月考（文））函数()327f x x x =-的极值是：________和________.【答案】-54 54【解析】由函数()327f x x x =-有()()()2327=333f x x x x '=--+ 令()0f x '>解得3x >或3x <-.令()0f x '<解得33x -<<所以函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，在()3,3-上单调递减，在()3+∞，上单调递增. 所以当3x =-时，函数()f x 有极大值()()()33327354f -=--⨯-=，当3x =时，函数()f x 有极小值()33327354f =-⨯=-. 故答案为：54-， 54.16．（2019·浙江绍兴市·高二期末）函数()2()1xf x x x e =--（其中2.718e =…是自然对数的底数）的极值点是________；极大值=________.【答案】1或－225e【解析】由已知得 ()()'22()1212( 2) (1)x x x f x x x x e x x e x x e =--+-=+-=+-，e 0x >，令'()0f x =，可得2x =-或1x =，当2x <-时'()0f x >，即函数()f x 在(,1)-∞-上单调递增；当21x -<<时，()0f x '<，即函数()f x 在区间(1,0)-上单调递减；当1x >时，'()0f x >，即函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增．故()f x 的极值点为2-或1，且极大值为25(2)f e -=．故答案为(1). 1或－2 (2). 25e ． 17．（2020·全国高三专题练习）设()f x '是奇函数()f x 的导函数，()23f -=-，且对任意x ∈R 都有()2f x '<，则()2f =_________，使得()e 2e 1x x f <-成立的x 的取值范围是_________．【答案】3 ()ln 2,+∞【解析】∵()f x 是奇函数，∴()()223f f =--=，设()()2g x f x x =-，则()()22g f =-41=-，()()20g x f x ''=-<，∴()g x 在R 上单调递减，由()e 2e 1x x f <-得()e e 21x x f -<-，即()()2e x g g <，∴e 2x >，得ln 2x >，故答案为：3；()ln 2,+∞．三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．（2020·全国高三（文））已知函数3()31f x x x =-+.（1）求()f x 的单调区间；（2）求函数的极值；(要列表).【答案】（1）增区间为()(),1,1,-∞-+∞，减区间为()1,1-；（2）极大值为3，极小值为1-.【解析】（1）3()31f x x x =-+，/2()333(1)(1)f x x x x ∴=-=-+，设'()0f x =可得1x =或1x =-.①当/()0f x >时，1x >或1x <-；②当/()0f x <时，11x -<<，所以()f x 的单调增区间为()(),1,1,-∞-+∞，单调减区间为：()1,1-.（2）由（1）可得，当x 变化时，/()f x ，()f x 的变化情况如下表：当1x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为(1)3f -=当1x =时，()f x 有极小值，并且极小值为(1)1f =-.19.（2020·海南省直辖县级行政单位·临高二中高二月考）若()32133f x x x x =+-，R x ∈，求：（1）()f x 的单调增区间；（2）()f x 在[]0,2上的最小值和最大值.【答案】(1) 增区间为()()3,1-∞-+∞，，;(2) ()max 2,3f x = ()min 53f x =-. 【解析】（1）()/223f x x x =+-，由 ()0f x '>解得31x x -或，()f x 的增区间为()()3,1-∞-+∞，，；（2）()2230f x x x =+-='， 3x =-（舍）或1x =， ()15113-33f =+-=, ()00f =, ()32122223233f =⨯+-⨯=， ()max 2,3f x = ()min 53f x =- 20.（2020·北京通州区·高二期末）已知函数3()31f x x x =-+.（1）求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）求()f x 在[1，2]上的最大值和最小值.【答案】（1）310x y +-= ；（2）最大值f (2)3=，最小值f (1)1=- .【解析】（1）由3()31f x x x =-+得，'2()33f x x =-，所以(0)1f =，'(0)3f =-，所以曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程13(0)y x -=--即310x y +-=；（2）令'()0f x >可得1x >或1x <-，此时函数单调递增，令'()0f x <可得11x -<<，此时函数单调递减，故函数()f x 在[1，2]上单调递增，所以()f x 的最大值f （2）3=，最小值f （1）1=-.21．（2020·江苏宿迁市·宿豫中学高二月考）已知函数1()(cos sin )(0)22x f x e x x x π=+≤≤, （1）计算函数()f x 的导数()f x '的表达式; （2）求函数()f x 的值域.【答案】（1）()cos xf x e x '=;（2）211,22e π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）因为1()(cos sin )(0)22x f x e x x x π=+≤≤, 所以11()(cos sin )(sin cos )cos 22x x x f x e x x e x x e x '=++-+=. 故函数()f x 的导数()cos x f x e x '=;（2）02x π≤≤, ()cos 0x f x e x '∴=≥,函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数, 所以m n 0i ()(0)11(cos0sin 0)22e f x f +===, 所以22max 11(cos sin ()()222)22f x e f e πππππ+===; 故函数()f x 的值域为211,22e π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 22．（2020·哈尔滨市第十二中学校高二期末（文））已知函数321()23f x x bx x a =-++，2x =是()f x 的一个极值点．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若当[1,?3]x ∈时，22()3f x a ->恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1) ()y f x =的单调递增区间为(,?1)-∞，(2,?+)∞ (2) 01a <<【解析】（Ⅰ）2()22f x x bx '=-+. ∵2x =是的一个极值点，∴2x =是方程2220x bx -+=的一个根，解得32b =. 令()0f x '>，则，解得1x <或2x >.∴函数()y f x =的单调递增区间为(,?1)-∞，(2,?+)∞. （Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时()0f x '<，(2,3)x ∈时()0f x '>， ∴在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是在区间[1，3]上的最小值，且 2(2)3f a =+. 若当[1,?3]x ∈时，要使22()3f x a ->恒成立，只需22(2)3f a >+，即22233a a +>+，解得 01a <<.。

高三数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析

高三数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析1.我们把形如y＝f(x)φ(x)的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y＝φ(x)lnf(x)，两边求导得＝φ′(x)·ln f(x)＋φ(x)·，于是y′＝f(x)φ(x)[φ′(x)·ln f(x)＋φ(x)·]．运用此方法可以探求得y＝x的单调递增区间是________．【答案】(0，e)【解析】由题意知y′＝x (－ln x＋·)＝x·(1－ln x)，x>0，>0，x>0，令y′>0，则1－ln x>0，所以0<x<e.2.已知函数f(x)＝(ax＋1)e x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在区间[－2,0]上的最小值．【答案】（1）见解析（2）当a>1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为－a·；当0<a≤1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为.【解析】解：依题意，函数的定义域为R，f′(x)＝(ax＋1)′e x＋(ax＋1)(e x)′＝e x(ax＋a＋1)．(1)①当a＝0时，f′(x)＝e x>0，则f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；②当a>0时，由f′(x)>0，解得x>－，由f′(x)<0，解得x<－，则f(x)的单调递增区间为(－，＋∞)，f(x)的单调递减区间为(－∞，－)；③当a<0时，由f′(x)>0，解得x<－，由f′(x)<0解得，x>－，则f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，f(x)的单调递减区间为(－，＋∞)．(2)①当时，)上是减函数，在(－，0)上是增函数，则函数f(x)在区间[－2,0]上的最小值为f(－)＝－a·；②当时，即当0<a≤1时，f(x)在[－2,0]上是增函数，则函数f(x)在区间[－2,0]上的最小值为f(－2)＝.综上，当a>1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为－a·；当0<a≤1时，f(x)在区间[－2,0]上的最小值为.3.函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极小值，则m＝________.【答案】1【解析】f′(1)＝0可得m＝1或m＝3.当m＝3时，f′(x)＝3(x－1)(x－3)，1<x<3，f′(x)<0；x<1或x>3，f′(x)>0，此时x＝1处取得极大值，不合题意，所以m＝1.4.设，曲线在点处的切线与直线垂直.(1)求的值；(2)若对于任意的，恒成立，求的范围；(3)求证：【解析】（1）求得函数f（x）的导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直，即可求a的值；（2）先将原来的恒成立问题转化为lnx≤m(x−)，设g(x)＝lnx−m(x−)，即∀x∈（1，+∞），g（x）≤0．利用导数研究g（x）在（0，+∞）上单调性，求出函数的最大值，即可求得实数m的取值范围．（3）由（2）知，当x＞1时，m＝时，lnx＜(x−)成立．不妨令x＝，k∈N*，得出[ln(2k+1)−ln(2k−1)]＜，k∈N*，再分别令k=1，2，，n．得到n个不等式，最后累加可得．(1) 2分由题设，∴，. 4分(2),，，即设，即.6分①若，，这与题设矛盾. 7分②若方程的判别式当，即时，.在上单调递减，，即不等式成立. 8分当时，方程，设两根为，当,单调递增，，与题设矛盾.综上所述， . 10分(3) 由(2)知,当时, 时,成立.不妨令所以，11分12分累加可得∴∴ ---------------14分【考点】1.利用导数研究曲线上某点切线方程；2.导数在最大值、最小值问题中的应用．5.已知函数.（1）当时，证明：当时，；（2）当时，证明：.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，将当时，转化为，对函数求导，利用单调递增，单调递减，来判断函数的单调性来决定函数最值，并求出最值为0，即得证；第二问，先将转化为且，利用导数分别判断函数的单调性求出函数最值，分别证明即可.(1)时，，令，，∴在上为增函数 3分，∴当时，，得证． 6分(2)令，，时，，时，即在上为减函数，在上为增函数 9分∴①令，，∴时，，时，即在上为减函数，在上为增函数∴②∴由①②得． 12分【考点】导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值.6.已知函数.（1）当a=l时，求的单调区间；（2）若函数在上是减函数，求实数a的取值范围；（3）令，是否存在实数a，当(e是自然对数的底数)时，函数g(x)最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）；（3）存在实数.【解析】（1）把代入函数解析式得，且定义域为，利用导数法可求出函数的单调区间，由，分别解不等式，，注意函数定义域，从而可求出函数的单调区间；（2）此问题利用导数法来解决，若函数在上是减函数，则其导函数在上恒成立，又因为，所以函数，必有，从而解得实数的取值范围；（3）利用导数求极值的方法来解决此问题，由题意得，则，令，解得，通过对是否在区间上进行分类讨论，可求得当时，有，满足条件，从而可求出实数的值.（1）当时，. 2分因为函数的定义域为，所以当时，，当时，.所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 4分（2）在上恒成立.令，有， 6分得，. 8分（3）假设存在实数，使有最小值3，. 9分当时，在上单调递减，，（舍去）； 10分②当时，在上单调递减，在上单调递增.，解得，满足条件； 12分③当时，在上单调递减，，（舍去）. 13分综上，存在实数，使得当时，有最小值3. 14分【考点】1.导数性质；2.不等式求解；3.分类讨论.7.设函数f(x)＝x－2msin x＋(2m－1)sin xcos x(m为实数)在(0，π)上为增函数，则m的取值范围为()A．[0，]B．(0，)C．(0，]D．[0，)【答案】A【解析】∵f(x)在区间(0，π)上是增函数，∴f′(x)＝1－2mcos x＋2(m－)cos 2x＝2[(2m－1)cos2x－mcos x＋1－m]＝2(cos x－1)[(2m－1)cos x＋(m－1)]＞0在(0，π)上恒成立，令cos x＝t，则－1＜t＜1，即不等式(t－1)[(2m－1)t＋(m－1)]＞0在(－1,1)上恒成立，①若m＞，则t＜在(－1,1)上恒成立，则只需≥1，即＜m≤，②当m＝时，则0·t＋－1＜0，在(－1,1)上显然成立；③若m＜，则t＞在(－1,1)上恒成立，则只需≤－1，即0≤m＜．综上所述，所求实数m的取值范围是[0，]．8.已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=xe x，则（）A．1是f（x）的极小值点B．﹣1是f（x）的极小值点C．1是f（x）的极大值点D．﹣1是f（x）的极大值点【答案】B【解析】f（x）=xe x⇒f′（x）=e x（x+1），令f′（x）＞0⇒x＞﹣1，∴函数f（x）的单调递增区间是[﹣1，+∞）；令f′（x）＜0⇒x＜﹣1，∴函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣1），故﹣1是f（x）的极小值点．故选：B．9.若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．【答案】[5，7]【解析】f′(x)＝x2－ax＋(a－1)，由题意，f′(x)≤0在(1，4)恒成立且f′(x)≥0在(6，＋∞)恒成立，即a≥x＋1在(1，4)上恒成立且a≤x＋1在(6，＋∞)上恒成立，所以5≤a≤7.10.已知函数f(x)＝x2－mlnx＋(m－1)x，当m≤0时，试讨论函数f(x)的单调性；【答案】当－1<m≤0时单调递增区间是和(1，＋∞)，单调递减区间是；当m≤－1时，单调递增区间是和，单调递减区间是【解析】函数的定义域为，f′(x)＝x－＋(m－1)＝.①当－1<m≤0时，令f′(x)>0，得0<x<－m或x>1，令f′(x)<0，得－m<x<1，∴函数f(x)的单调递增区间是和(1，＋∞)，单调递减区间是；②当m≤－1时，同理可得，函数f(x)的单调递增区间是和，单调递减区间是.11.若函数f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，则a的取值范围是________．【答案】a≥3【解析】f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，即a≥－2x在上恒成立．令g(x)＝－2x，求导可得g(x)在上的最大值为3，所以a≥3.12.函数y=(3-x2)e x的单调递增区间是()A．(-∞,0)B．(0,+∞)C．(-∞,-3)和(1,+∞)D．(-3,1)【答案】D【解析】y'=-2xe x+(3-x2)e x=e x(-x2-2x+3)>0x2+2x-3<0-3<x<1,∴函数y=(3-x2)e x的单调递增区间是(-3,1).13.若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为________．【答案】-4【解析】∵f(x)＝x3－x2＋ax＋4，∴f′(x)＝x2－3x＋a.又函数f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f′(x)＝0的两根，∴a＝－1×4＝－4.14.函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为 ()．A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)【答案】B【解析】由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－≤0，解得0<x≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．15.已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）若方程有且只有一个解，求实数m的取值范围；（3）当且，时，若有，求证：.【答案】（1）的递增区间为，递减区间为和；（2）；（3）详见解析.【解析】（1）对求导可得，令，或，由导数与单调性的关系可知，所以递增区间为，递减区间为；（2）若方程有解有解，则原问题转化为求f（x）的值域，而m只要在f（x）的值域内即可，由（1）知，，方程有且只有一个根，又的值域为，;（3）由（1）和（2）及当，时，有，不妨设，则有，，又，即，同理，又，，且在上单调递减，，即.试题解析：（1），令，即，解得，令，即，解得，或，的递增区间为，递减区间为和. 4分（2）由（1）知，， 6分方程有且只有一个根，又的值域为，由图象知8分（3）由（1）和（2）及当，时，有，不妨设，则有，，又，即， 11分，又，，且在上单调递减，，即. 13分【考点】1.导数在函数单调性上的应用；2. 导数与函数最值.16.某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为亿元，其中用于风景区改造为亿元。

一轮复习课时训练§2.11：导数在研究函数中的应用和生活中优化问题举例

第二章§11：导数在研究函数中的应用和生活中优化问题举例(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间50分钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．使函数f(x)＝x ＋2cosx 在[0，π2]上取最大值的x 为A ．0B ．π6C ．π3D ．π22．已知a>0，则x 0满足关于x 的方程ax ＝b 的充要条件是A ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0B ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0C ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0D ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 03．已知R 上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x)>0的解集为A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1,2)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)4．若a>2，则函数f(x)＝13x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上恰好有A ．0个零点B ．1个零点C ．2个零点D ．3个零点5．已知函数f(x)＝x 3＋bx 2＋cx ＋d(b ，c ，d 为常数)，当k ∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时， f(x)－k ＝0只有一个实数根；当k ∈(0,4)时，f(x)－k ＝0有3个相异实根，现给出下列4个命题：①函数f(x)有2个极值点；②函数f(x)有3个极值点；③f(x)＝4和 f ′(x)＝0有一个相同的实根；④f(x)＝0和f ′(x)＝0有一个相同的实根．其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1没有极值，则a的取值范围为________．7．若函数f(x)的导函数为f′(x)＝－x(x＋1)，则函数g(x)＝f(log a x)(0<a<1)的单调递减区间是________．8．在一块正三角形的铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一个正三棱柱，尺寸如图所示．当x为________时，正三棱柱的体积最大，最大值是________．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知某工厂生产x件产品的成本为C＝25 000＋200x＋140x2(元)，问：(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知函数f(x)＝x3＋2x2＋x－4，g(x)＝ax2＋x－8.(1)求函数f(x)的极值；(2)若对任意的x∈[0，＋∞)都有f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：f ′(x)＝1－2sinx ，当f ′(x)＝0时，解得x ＝π6，从而可以求得函数f(x)在[0，π2]上的递增区间为[0，π6]，递减区间为[π6，π2]，所以f(x)取最大值时x 为π6.答案：B2．解析：设函数f(x)＝12ax 2－bx ，∴f ′(x)＝ax －b ，由已知可得f ′(x 0)＝ax 0－b ＝0，又因为a>0，所以可知x 0是函数的极小值点，也是最小值点．由最小值定义可知C 项正确．答案：C3．解析：据题意观察函数的图象，由函数的单调性与导数之间的关系可得，当－1<x<1时，f ′(x)<0；当x>1或x<－1时，f ′(x)>0，故(x 2－2x －3)f ′(x)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3>0f ′(x )>0或⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x －3<0，f ′(x )<0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x<－1或x>3x<－1或x>1或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x<3－1<x<1⇔x<－1或x>3或－1<x<1. 答案：D4．解析：f ′(x)＝x 2－2ax ，由a>2，所以在(0,2a)上，f(x)单调递减，所以f(x)在区间(0,2)也是单调递减．因为f(0)＝1，f(2)＝83－4a ＋1＝11－12a 3<0，根据根的存在性定理知道在区间(0,2)上有1个零点．答案：B5．解析：利用数形结合可知①③④正确．答案：C二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：f ′(x)＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，当原函数没有极值时，Δ＝36a 2－36(a ＋2)≤0，解得－1≤a ≤2. 答案：[－1,2]7．解析：由f ′(x)＝－x(x ＋1)≤0得x ≤－1或x ≥0，即f(x)的递减区间为(－∞，－1]或 [0，＋∞)，f(x)的递增区间为[－1,0]．∵0<a<1，∴y ＝log a x 在(0，＋∞)上为减函数． ∴g(x)＝f(log a x)(0<a<1)单调递减时－1≤log a x ≤0，∴1≤x ≤1a .∴g(x)的减区间为[1，1a ]．答案：[1，1a]8．解析：由图可知体积y ＝34(a －2x)2×33x ＝14x(a －2x)2(0<x<a2)，所以 y ′＝14(a －2x)(a －6x)＝0时，解得x ＝a 6或x ＝a 2(舍)，所以当x ＝a6时取最大值，且为a 354.答案：a 6 a 354三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知某工厂生产x 件产品的成本为C ＝25 000＋200x ＋140x 2(元)，问：(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解：(1)设平均成本为y 元，则y ＝25 000＋200x ＋140x 2x ＝25 000x ＋200＋x40，y ′＝－25 000x 2＋140，令y ′＝0得x ＝1 000.当在x ∈(0，1 000)时y ′<0；在x ∈(1 000，＋∞)时y ′>0，故当x ＝1 000时，y 取最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品．(2)利润函数为S ＝500x －(25 000＋200x ＋x 240)＝300x －25 000－x 240，S ′＝300－x20，令S ′＝0，得x ＝6 000，当在x ∈(0,6 000)时S ′>0；在x ∈(6 000，＋∞)时S ′<0，故当x ＝6 000时，S 取最大值，因此，要使利润最大，应生产6 000件产品．10.（本小题满分18分（1）小问8分，（2）小问10分）已知函数f(x)＝x 3＋2x 2＋x －4，g(x)＝ax 2＋x －8. (1)求函数f(x)的极值；(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)都有f(x)≥g(x)，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x)＝3x 2＋4x ＋1，令f ′(x)＝0，解得：x 1＝－1或x 2＝－13.当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下：∴当x ＝－1时，f(x)取得极大值为－4；当x ＝－13时，f(x)取得极小值为－11227.(2)设F(x)＝f(x)－g(x)＝x 3＋(2－a)x 2＋4.F(x)≥0在[0，＋∞)恒成立⇔F(x)min ≥0，x ∈[0，＋∞)． ①若2－a ≥0，显然F(x)min ＝4>0； ②若2－a<0，F ′(x)＝3x 2＋(4－2a)x ，令F ′(x)＝0，解得x ＝0，x ＝2a －43，当0<x<2a －43时，F ′(x)<0.当x>2a －43时，F ′(x)>0.∴当x ∈[0，＋∞)，F(x)min ＝F(2a －43)≥0，即(2a －43)3＋(2－a)(2a －43)2＋4≥0，整理得－4(a －2)327＋4≥0.解不等式得：a ≤5，∴2<a ≤5. 综上所述a 的取值范围为(－∞，5]．。

《利用导数研究函数的性质》典型例题

− + ( ∈ ).在直线
= 上是否存在点,使得过点至少有两条直线与曲线 = ()相切?若存
在,求出点坐标;若不存在,说明理由.
点拨
这是一道考查导数的实际应用问题,了解数学模型中的参数、结论的实际含义.与
存在性有关的不等式证明或求参数取值范围的问题转化为函数最值问题,把图形位
学而优 · 教有方

+ − = − + − ,
典型例题
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
题型3 求导数应用中“存在性”问题(数学建模)
典例3
[简单问题解决能力]已知函数() =

− + ( ∈ ).在直线
= 上是否存在点,使得过点至少有两条直线与曲线 = ()相切?若存

解析由() ≥ + + ,得 − ( + ) − ≥ 在 ∈ 上恒成立.
设() = − ( + ) − ,则′() = − ( + ).
由′() = − ( + ) = ,得 = ( + ), ( > −).
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
人教B版同步教材名师课件
利用导数研究函数的性质
---典型例题
学而优 · 教有方
考情分析
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
导数与函数内容的结合命题已成为高考的热点题型,应引起足够的重视.理解
函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数单调性,掌握利用导数求函
数极值、最值的方法,会利用导数解决某些实际问题.以导数为研究函数的重

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导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)______0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)______0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.
2.函数的极值
(1)判断f(x0)是极值的方法
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值.
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x)；
②求方程________的根；
③检查f′(x)在方程________的根左右值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得__________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得__________.
3.函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则________为函数的最小值，________为函数的最大值；若函
数f(x)在[a，b]上单调递减，则________为函数的最大值，________为函数的最小值.
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的________；
②将f(x)的各极值与____________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
要点梳理
1.><
2.(1)①f′(x)>0f′(x)<0②f′(x)<0f′(x)>0(2)②f′(x)＝0③f′(x)＝0极大值极小值
3.(2)f(a)f(b)f(a)f(b)
(3)①极值②f(a)，f(b)
1. f(x)＝3x－x3的单调减区间为_____________________________________________.
2.函数f(x)＝e x－x在区间(－∞，0)内是单调__________(填“增函数”或“减函数”).
3.函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________.
4.如图是y＝f(x)导数的图象，对于下列四个判断：
①f(x)在[－2，－1]上是增函数；
②x＝－1是f(x)的极小值点；
③f(x)在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数；
④x＝3是f(x)的极小值点.
其中正确的判断是________.(填序号)
5.设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则
( ) A.a <－1
B.a >－1
C.a >－1e
D.a <－1e 一、选择题
1.函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是
( )
A.－2
B.0
C.2
D.4 2.已知函数f (x )的图象过点(0，－5)，它的导函数f ′(x )＝4x 3－4x ，则当f (x )取得最大值－5时，x 的值应为
( ) A.－1 B.0 C.1 D.±1
3.函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝
f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定
( ) A.有最小值
B.有最大值
C.是减函数
D.是增函数
二、填空题 4.若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1
在x ＝1处取极值，则a ＝___________________________________. 5.已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为________.
6.已知函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m 2－4)x ＋m 是偶函数，函数g (x )＝－x 3＋2x 2＋mx ＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m ＝________.
基础自测
1.(－∞，－1)和(1，＋∞)
2.减函数
3.[－3，＋∞)
4.②③
5.A
A组
1.C
2.B
3.D
4.3
5.－37
6.－2。