二项分布,泊松分布,超几何分布
几种常见的分布
十一、几何分布
定义：在第 n 次伯努利实验，才得到第一次成功的机率。更详细的说是：n 次伯努利试验，前 n-1 次皆失败，第 n 次才成功的概率。
应用：射击比赛等。
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十二、超几何分布
定义：在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所 得次品数X=k，是一个随机变量：
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十、负二项分布(Negative binomial distribution)
定义：已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利 试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。
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取r = 1，负二项分布等于几 何分布。其概率质量函数 为
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六、Gamma分布
E[X]=
D[X]=
应用：用于描述随机变量X等到第K件事发生所需等候的时间。
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七、瑞利分布(Rayleigh distribution)
定义：当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分 布时，这个向量的模呈瑞利分布。
应用：瑞利分布常用于描述平坦衰落信号接收包络或独立多径分量接受包络统 计时变特性。如两个正交高斯噪声信号之和的包络服从瑞利分布。
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各种分布之间的关系
Gamma分布与指数分布、正态分布
当gamma分布的形状系数k为正整数时，gamma分布可看作k个独立的指数分布 之和，当k趋向于较大数值时，分布近似于正态分布。
在Gamma分布中：k=n（正整数）时的gamma分布可以看作n个独立的k=1的 gamma分布（即指数分布）之和，按照中心极限定理，独立同分布随机变量 之和趋于正态分布。
关于二项分布与超几何分布问题区别举例
关于“二项分布”与“超几何分布”问题举例概率问题是历年高考必考内容，也是高考试题研究的热点话题；因此，对于这部分内容，我们在备考复习中也投入了大量的精力，作了充分的准备；然而，在平时的练习和模考中，经常会发现学生的错误频频，准确地讲：对“二项分布”和“超几何分布”的概念模糊，判断不准，互相误用，导致错误；为此，本文对“二项分布”和“超几何分布”的概念和应用作出具体的剖析. 一．基本概念 1.超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件⎨X=k ⎬发生的概率为：P(X=k)= nNkn MN k M C C C --⋅,k= 0,1,2,3,⋯⋯,m ；其中，m = min ⎨M,n ⎬,且n ≤ N , M ≤ N . n,M,N ∈ N *为超几何分布；如果一个变量X 的分布列为超几何分布列，则称随几变量X 服从超几何分布.其中，EX= n ⋅ M N2.二项分布在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X,在每次试验中，事件A 发生的概率为P ,那么在n 次独立重复试中，事件A 恰好发生k 次的概率为： P(X=k)= C n k p k (1-p)n-k (k=0,1,2,3,⋯,n),此时称随机变量X 服从二项分布. 记作：X ~ B(n,p),EX= np3.“二项分布”与“超几何分布”的联系与区别 (1)“二项分布”所满足的条件每次试验中，事件发生的概率是相同的；是一种放回抽样. 各次试验中的事件是相互独立的；●每次试验只有两种结果，事件要么发生，要么不发生；❍随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.(2)“超几何分布”的本质：在每次试验中某一事件发生的概率不相同，是不放回抽样，“当样本容量很大时，超几何分布近似于二项分布;(3)“二项分布”和“超几何分布”是两种不同的分布，但其期望是相等的.几何分布”和“二项分布”的这种“巧合”，使得“超几何分布”期望的计算大简化.共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败。
概率论-2-3 常见离散型随机变量的分布
离散型 连续型
随机变量所取的可能值是有限多个或无限 可列个, 叫做离散型随机变量.
随机变量所取的可能值可以连续地充满某个 区间,叫做连续型随机变量.
引入分布的原因
以认识离散随机变量为例, 我们不仅 要知道 X 取哪些值,而且还要知道它 取这些值的概率各是多少,这就需要 分布的概念.有没有分布是区分一般 变量与随机变量的主要标志.
例 某服装商店经理根据以往经验估计每名顾客购买 服装的概率是0.25，在10个顾客中有3个及3个以上顾 客购买服装的概率是多少？最可能有几个顾客购买服 装？
解 设X 表示购买服装的顾客数目，
则 X ~ B(10,0.25)，所以有 3 个及 3 个以上顾客购买服装的概率为
2
P{X 3} 1 P{X k} 2 k0 1 C1k0 (0.25)k (0.75)10k 0.4744 k 0
k 1, 2,
q 1 p
其中，0<p<1，则称X服从参数为p的几何分布，记做
X G( p).
几何分布可作为描述某个试验 “首次成功”的概率模型.
5、超几何分布
如果随机变量X的概率分布为
P{X
k}
CMk
Cnk N M
CNn
(k 0,1, , min(M , n))
其中N,M,n 均为自然数,则称随机变量X服从超几何分 布，记做 X H (M , N, n).
或
X
0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 0-1 分布或两点分布.
例 200件产品中,有190件合格品，10件不合格 品，现从中随机抽取一件，若规定
X
各种离散分布的关系
各种离散分布的关系
离散分布是概率论中的一个重要概念，它描述了离散型随机变量的取值情况及其对应的概率分布。
在实际应用中，我们经常会遇到各种不同的离散分布，比如二项分布、泊松分布、几何分布等等。
这些离散分布之间存在着许多有趣的关系，如：
1. 二项分布是多项分布中只有两个类别时的特殊情况；
2. 泊松分布是当二项分布中试验次数很大、成功概率很小时的极限情况；
3. 几何分布是泊松分布中每个时间间隔只有一个事件发生时的特殊情况；
4. 超几何分布是不放回抽样中从有限总体中抽取的样本中成功次数的概率分布；
5. 负二项分布是几何分布的推广，它描述了在试验中达到给定次数的失败次数的概率分布。
这些分布之间的关系不仅在理论上有着重要的意义，而且在实际应用中也具有重要的作用。
了解各种离散分布之间的关系，不仅可以深入理解概率论的基本概念和方法，而且可以帮助我们更好地应用这些方法去解决实际问题。
- 1 -。
超几何分布的适用范围
超几何分布的适用范围摘要：一、超几何分布的概念二、超几何分布的适用范围1.离散型随机变量2.有限总体3.抽样分布4.概率计算三、超几何分布的应用领域1.实验设计2.产品质量检测3.生物学研究4.社会科学研究四、超几何分布的优缺点1.优点- 易于理解- 计算简便2.缺点- 适用范围有限- 对样本容量要求较高五、与其它分布的比较1.二项分布2.泊松分布3.正态分布正文：超几何分布是一种离散型概率分布，主要用于描述有限总体中抽样得到的成功次数的概率分布。
它在实际应用中具有广泛的使用价值，特别是在实验设计、产品质量检测、生物学研究和社会科学研究等领域。
超几何分布的适用范围主要包括以下几个方面：1.离散型随机变量：超几何分布是一种离散型概率分布，适用于那些成功次数或失败次数为整数的随机变量。
2.有限总体：当对一个有限总体进行抽样时，成功次数的概率分布可以采用超几何分布来描述。
例如，在抽取一定数量的样本时，成功次数的概率分布可以用超几何分布来表示。
3.抽样分布：在实际应用中，超几何分布常用于抽样分布的计算。
例如，在产品检测中，对一批产品进行抽样检测，成功检测到的产品数量可以用超几何分布来描述。
4.概率计算：超几何分布可用于计算各种概率值，如成功概率、失败概率等。
在实验设计中，利用超几何分布可以对实验结果进行预测和分析。
超几何分布在使用过程中具有一定的优点和缺点。
优点在于其易于理解和计算简便，适用于各种实验和场景。
然而，超几何分布的适用范围有限，对样本容量要求较高。
当样本容量较小或成功概率较小时，超几何分布的准确性会受到影响。
与其它分布相比，超几何分布与二项分布、泊松分布和正态分布有一定的区别。
二项分布描述的是多次独立重复实验中成功次数的概率分布，与超几何分布相似，但二项分布适用于无穷总体，而超几何分布适用于有限总体。
泊松分布描述的是在一定时间内，某一事件发生的次数的概率分布，与超几何分布的应用场景有所不同。
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用概率分布是统计学中一个重要的概念，用于描述随机变量在各个取值上的概率分布情况。
常见的概率分布有16种，它们分别是均匀分布、伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布、正态分布、指数分布、负二项分布、超几何分布、Gumbel分布、Weibull分布、伽马分布、Beta分布、对数正态分布、卡方分布和三角分布。
以下将逐一介绍这些概率分布的概率密度函数、意义及其应用。
1. 均匀分布（Uniform Distribution）：概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，意义是在一个区间内所有的取值具有相同的概率，应用有随机数生成、模拟实验等。
2. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：概率密度函数为P(x)=p^x*(1-p)^(1-x)，意义是在两种可能结果中，成功或失败的概率分布，应用有二分类问题的建模。
3. 二项分布（Binomial Distribution）：概率密度函数为P(x)=C(n,x)*p^x*(1-p)^(n-x)，意义是在n次独立重复试验中，成功次数为x的概率分布，应用有二分类问题中的n次重复试验。
4. 几何分布（Geometric Distribution）：概率密度函数为P(x)=p*(1-p)^(x-1)，意义是独立重复试验中，第x次成功所需的试验次数的概率分布，应用有描述一连串同样试验中第一次获得成功之前所需的试验次数。
5. 泊松分布（Poisson Distribution）：概率密度函数为P(x)=(e^(-λ)*λ^x)/x!，意义是在给定时间或空间内事件发生的次数的概率分布，应用有描述单位时间或单位空间内的事件计数问题。
6. 正态分布（Normal Distribution）：概率密度函数为P(x) = (1 / sqrt(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，意义是描述连续变量的概率分布，应用广泛，例如测量误差、人口身高等。
概率论常用的离散分布
目 录
• 引言 • 二项分布 • 泊松分布 • 超几何分布 • 几何分布 • 负二项分布
01 引言
离散分布的定义
离散分布：离散随机变量所有可能取 值的概率分布。
离散分布描述了随机变量取各个可能 值时所对应的概率。
离散分布的应用场景
统计学研究
离散分布在统计学中有着广泛的应用，如人口普 效之 前所经历的试验次数。
02
在生物统计学中，负二项分布可以用于描述在一定时间内捕获
猎物的数量或者在一定时间内发生的事件次数。
在金融领域，负二项分布可以用于描述股票价格在一定时间内
03
上涨或下跌的次数。
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它以法国数学家西莫恩·德尼·泊松的名字命名，他在19世纪中叶首次研究了这种 分布。
泊松分布的性质
泊松分布具有离散性和随机性， 适用于描述在一定范围内随机 事件的次数。
泊松分布的概率函数由两个参 数决定：均值和方差。
当随机事件的概率保持不变且 相互独立时，泊松分布成立。
泊松分布在现实生活中的应用
泊松分布在统计学、物理学、 生物学、经济学等领域有广 泛应用。
在网络请求中，直到得到响应所需要的请求次数可以服从几何分布。
自然选择与遗传
在生物进化过程中，自然选择对某一性状的选择压力可以用几何分 布来描述。
06 负二项分布
负二项分布的定义
负二项分布是一种离散概率分布，描 述了在成功达到某一目标之前需要进 行的独立、同分布的伯努利试验次数。
负二项分布的概率质量函数为 P(X=k) = (n+1) choose k * p^k * (1p)^(n+1-k)，其中 X 表示试验次数， k 表示成功次数，n 表示试验次数上 限，p 表示每次试验成功的概率。
二项分布与其他分布的关系
二项分布与其他分布的关系二项分布与其他分布的关系摘要：二项分布是一种常见的离散型随机变量的概率模型，在概率教学中占有重要地位。
本文从二项分布的定义入手，重点分析和阐述了二项分布和“0-1”分布、超几何分布、泊松分布、正态分布的近似关系及基于这些关系所带来的计算上的便利。
以期在教学中能使学生更全面深入的理解和认识二项分布。
关键词：二项分布“0-1”分布超几何分布泊松分布正态分布近似1.二项分布的定义设随机变量X示n重伯努利试验中事件A发生的次数，其概率函数为：p(x)=P(X=x)=Cxnpxqn-x x=0，1，…，n则称设随机变量X服从参数为n和p的二项分布，记为X～B(n，p)，也称广义贝努里试验。
2.二项分布与其它分布的关系2.1二项分布与“0-1”分布间的关系进行一次试验，其结果要么“成功”，要么“失败”，记X=1成功0失败，即随机变量X表示一次试验中成功的次数，且p(x)=P(X=x)=pxq1-x(x=0，1)则称随机变量X～“0-1”分布，p为试验结果“成功”发生的概率。
该试验也称为贝努里试验。
X～“0-1”分布，其期望、平方的期望、方差及特征函数容易得到：E(X)=0×(1-p)+1×p=pE(X2)=02×(1-p)+12×p=pD(X)=E(X2)-E2(X)=p-p2=p(1-p)φ(t)=E(eitX)=eit?o×(1-p)+eit?1×p=1-p+peit将贝努里试验在相同条件下独立进行n次，并以随机变量Y表示n次试验中“成功”的次数，则Y～B(n，p)。
若以Xi表示第i次试验中成功的次数，则X1，X2…Xn，独立同“0-1”分布(i=1，2…n)且Y=∑ni=1Xi。
则二项分布的期望、方差及特征函数可由二项分布和“0-1”分布间的函数关系得到：E(Y)=E(∑ni=1Xi)=∑ni=1E(Xi)=npD(Y)=D(∑ni=1Xi)=∑ni=1D(Xi)=np(1-p)φY(t)=E(eitY)=E(eit∑ni=1Xi)=∏ni=1E(eitXk)=∏ni=1(1-p+peit)=(1-p+peit)n易见，在教学中利用二项分布和“0-1”分布的关系，使二项分布的上述特征数更容易计算和理解。
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超几何分 布：共N件 产品，M件 次品，取n 件，取到k 件次品的概 率
K
n
0.000000 1.000000 2.000000 3.000000 4.000000 5.000000 6.000000 7.000000 8.000000 9.000000 10.000000 11.000000 12.000000 13.000000 14.000000 15.000000
c(n,k)阶乘
c(n,k)
#NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM!
公式计算单 BINOMDIST(K 次数，N总 数,P概率，0 单个)
0.000550 0.004131 0.015512 0.038822 0.072856 0.109361 0.136770 0.146583 0.137435 0.114518 0.085863
#NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM!
#NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM!
0.001500 0.001500 0.001500 0.001500 0.001500 0.001500 0.001500 0.001500 0.001500 0.001500 0.001500
7.500000 0.036575
7.500000 0.021101
7.500000 0.011304
公式计算累 BINOMDIST(K 次数，N总 数,P概率，1 累计)
0.000550 0.004681 0.020193 0.059014 0.131870 0.241231 0.378001 0.524584 0.662019 0.776537 0.862399
30.000000 100.000000 10.000000 0.000000
30.000000 100.000000 10.000000 0.000000
30.000000 100.000000 10.000000 0.000000
30.000000 100.000000 10.000000 0.000000
图表标题
1.000000
0.800000
0.600000
0.400000
0.200000
0.000000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
系列1
系列2
系列3
1，累计)
图表标题
1.000000
0.900000
0.800000
0.700000
0.600000
0.500000
0.400000
0.998500 0.998500 0.998500 0.998500 0.998500 0.998500 0.998500 0.998500 0.998500 0.998500 0.998500
5000.000000 5000.000000 5000.000000 5000.000000 5000.000000 5000.000000 5000.000000 5000.000000 5000.000000 5000.000000 5000.000000
30.000000 100.000000 10.000000 0.207578
30.000000 100.000000 10.000000 0.099637
30.000000 100.000000 10.000000 0.031451
30.000000 100.000000 10.000000 0.006438
泊松分布
k
P={X=k}
P={X<=k} P
q=1-p
n
0.000000 1.000000 2.000000 3.000000 4.000000 5.000000 6.000000 7.000000 8.000000 9.000000 10.000000 11.000000 12.000000 13.000000 14.000000
求累计
0.022917 0.135625 0.372857 0.654020 0.861598 0.961235 0.992686 0.999124 0.999940 0.999998 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000
1.200000
c(n,k)
#NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM!
POSSION(K次
入
数，入值，0
单个)
7.500000 0.000553
7.500000 0.004148
7.500000 0.015555
7.500000 0.038889
7.500000 0.072916
7.500000 0.109375
7.500000 0.136718
7.500000 0.146484
7.500000 0.137329
7.500000 0.114440
7.500000 0.085830
7.500000 0.058521
POSSION(K次 数，入值，0 单个)
0.000553 0.004701 0.020257 0.059145 0.132062 0.241436 0.378155 0.524639 0.661967 0.776408 0.862238 0.920759 0.957334 0.978435 0.989740
系列1
系列2
系列3
系列4
11
11
图表14 标15题
30.000000 100.000000 10.000000 0.000817
30.000000 100.000000 10.000000 0.000058
30.000000 100.000000 10.000000 0.000002
30.000000 100.000000 10.000000 0.000000
公式求单个
N
M
HYPGEOMDIST (K,n，M,N)
30.000000 100.000000 10.000000 0.022917
30.000000 100.000000 10.000000 0.112708
30.000000 100.000000 10.000000 0.237232
30.000000 100.000000 10.000000 0.281163
0.001500 0.001500 0.001500 0.001500 0.001500 0.001500 0.001500 0.001500 0.001500 0.001500 0.001500 0.001500 0.001500 0.001500 0.001500
0.998500 0.998500 0.998500 0.998500 0.998500 0.998500 0.998500 0.998500 0.998500 0.998500 0.998500 0.998500 0.998500 0.998500 0.998500
0.300000
0.200000
0.100000
0.000000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
系列1
系列2
系列3
系列4
1.200000 1.000000 0.800000 0.600000 0.400000 0.200000 0.000000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1图3 表14 标题
5000.000000 5000.000000 5000.000000 5000.000000 5000.000000 5000.000000 5000.000000 5000.000000 5000.000000 5000.000000 5000.000000 5000.000000 5000.000000 5000.000000 5000.000000
二项分布 发生次数 p={X=k}概率 p={X<=k}概 p（k）概率
实验次数
k
P={X=k}
P={X<=k} P
q=1-p
n
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