平板应力分析
08_压力容器应力分析_典型圆平板分析
3 ( 3 + μ ) pR 2 pR 2 σ r r =0 = σ θ r =0 = ≈ 1.238 2 2 t t 8 2 2 pR pR 3 σ θ r = R = (1 μ ) 2 ≈ 0.525 2 , σ r r = R = 0 t t 4
周边固支和周边简支对圆平板刚度和强度的影响 ① 对挠度的影响 两种支承条件下,板内最大挠度的比值为
2.4 平板应力分析
求解思路:
2.4.3 圆平板中的应力
2.4.3 圆平板中的应力
d 1 d dw Qr r dr r dr = D′ dr Solution of Qr = Qr (r) Boundary Conditions for Circular Plate
dw w = w(r ) → = → ( M θ , M r ) → (σ θ , σ r ) dr → (σ θ max , σ r max )
2.4.3 圆平板中的应力
弯矩在板内的分布如图所示
r = R, pR 2 M θ = -μ 8 pR 2 M r = 8
最大周向弯矩出现在板的中央处,而最大径向弯 矩出现在板的边缘处.此外,弯矩为负的含义表明其 方向与当初规定的方向相反(见图2-29).
2.4 平板应力分析
应力分布公式为
② 周边简支时,挠度方程为 P 3+ μ 2 2 r 2 w= R r + 2r ln R 16π D′ 1 + μ
(
)
wmax
3 + μ PR 2 r =0 = 1 + μ 16π D′
2.4 平板应力分析
2.4.4 承受轴对称载荷时环板中的应力
2.4.4 承受轴对称载荷时环板中的应力 中心开有圆形孔的圆平板称为"环板".以周边 简支,内周边承受均布力矩的环板分析为例.
平板孔口应力集中的ANSYS有限元分析喻光安
平板孔口应力集中的ANSYS 有限元分析一、开孔的应力集中和应力集中系数容器开孔后使承载截面减小，破坏了原有的应力分布，并产生应力集中，而且接管处容器壳体与接管形成不连续结构而产生边缘应力，这两种因素均使开孔或开孔接管部位的局部应力比壳体的薄膜应力大，这种现象称为开孔的应力集中。
常用应力集中系数t K 来描述接管处的应力集中特性。
未开孔时的名义应力为σ，开孔后按弹性方法计算出最大应力若为max σ，则弹性应力集中系数的定义为σσ/max t =K 。
下面以两向拉伸应力作用下的平板为例，利用ansys 有限元分析得出平板的受力情况，求出t K 的值，并与理论解作分析比较。
二、两向拉伸应力作用下平板的理论分析。
如图所示为无限平板受21σσ≥两向拉伸应力作用，由弹性力学的知识可得A 、B 两点的应力为213σσσ-=A ,12-3σσσ=B比较可得 1211max t -3σσσσσ==K 当σσσ==21时 2-31211max t ===σσσσσK 当σσ=1，σσ212=时 5.20.5-31max t ===σσσσσK三、建立模型。
设有中心带圆孔的长方形平板，板的厚度为0.05m ，圆孔的孔半径r=0.05m,材料的弹性模量E 为2e11，泊松比为0.3，板长度为30m ，宽度为230m ，m N /401=σ，m /202N =σ2σ 平板开小圆孔的应力集中取四分之一薄板，模型如下：对模型进行网格划分并施加荷载，并对圆孔周围的区域进行局部网格划分，划分后的模型。
，Ansys计算后的应力云图如下：由应力云图可知，圆孔处最大应力m N /27.100max =σ 验证公式当m /401N ==σσ，m N /20212==σσ时 50675.24027.1001max t ≈==σσK ，基本符合理论解2.5。
中心开小孔的平板孔边应力情况
中心开小孔的平板孔边应力情况说起平板上打小孔，很多人可能第一反应是：这事儿不就是在板子上戳个洞嘛，有啥难的。
嗯，确实，这个动作看起来简单，但是一旦我们把目光放到“应力”上，那就有点复杂了，嘿嘿，不是你想象的那种简单事儿。
在平板上打个小孔，尤其是孔的边缘，它的“应力情况”可不容小觑，稍微不注意，整个板子的稳定性可能就会大打折扣，得不偿失呀。
我们得知道，孔边的应力分布就像是“张扬的孩子”，它总是容易“跑偏”。
尤其是中心开小孔这种情况，孔周围的材料就像是被“压得喘不过气来”一样，四周的应力是特别集中的。
这种集中应力的情况，一旦板子承受不住，就可能会发生裂纹扩展，最后直接导致整个板子的断裂。
想象一下，如果一个平板就像一块饼干，给它中间戳个洞，那么剩下的部分不就特别容易碎吗？可不是嘛，整个结构的“抗压能力”就大大减弱了。
你说得了，怎么能这么脆弱呢？咱们做过力学课的朋友应该知道，材料的力学性能可不是一成不变的，尤其是边缘区域，它最容易“脆弱”。
因为，孔边缘就是应力集中的地方，力都在这儿堆积，哪怕孔的大小只有个头盖那么小，压力可一点也不小。
想象一下，当你给一块铁板打个小孔时，它周围的分子简直就像是在争先恐后地进行“最后一搏”，承受的压力往往是比其他地方要大得多。
就像你试图把气球吹得越来越大，气球表面会有一种“微妙”的膨胀感，到了极限，不就是爆炸嘛，和孔边的应力有异曲同工之妙。
更有意思的是，这个“集中应力”可不是每次都乖乖地呆在一个地方，它们是会随着板材的形状、材料的不同而变化的。
有的板子可能因为本身材质的强度比较高，导致孔边的应力集中比较少；而有的板子可能会因为某些微小的瑕疵，导致应力集中更严重。
这就像是你有时站在地铁里，一会儿被挤到这个方向，一会儿又被推到那个方向，搞得你晕头转向，根本没法放松。
那么问题来了，既然孔边的应力这么麻烦，咱们该如何应对呢？科学家和工程师早就给出了不少办法。
一个常见的技巧就是：孔的边缘不要太尖锐，最好是做个圆弧形的过渡。
板裂缝及挠度计算
板裂缝及挠度计算1.平板的应力分析平板的应力分析可以基于弹性力学的理论进行。
假设平板是均匀的、各向同性的，那么在不受外力作用时，平板内部的应力是各向均匀分布的。
根据弹性力学理论，在弹性范围内，平板内部的应力满足以下关系：σx=Ex*εx+νy*εyσy=νx*εx+Ey*εyτxy = Gxy * γxy其中，σx和σy为平板沿x和y方向的正应力，τxy为平板剪应力，εx和εy为平板的应变，Ex和Ey分别为平板沿x和y方向的杨氏模量，νx和νy为平板沿x和y方向的泊松比，Gxy为平板剪切模量，γxy为平板剪切应变。
2.材料性能参数材料性能参数是计算板裂缝及挠度的重要输入参数。
常用的材料性能参数有杨氏模量（Ex、Ey）、泊松比（νx、νy）和剪切模量（Gxy）等。
这些参数可以通过材料试验或文献资料获得。
3.荷载和边界条件的确定对于板裂缝及挠度计算，需要确定荷载情况和边界条件。
荷载包括集中力、均布力、分布力等。
边界条件包括固支、自由支座、边界固定、边界自由等。
荷载和边界条件的确定需根据具体问题进行分析。
4.板裂缝计算板裂缝的计算可以采用弹性力学理论或断裂力学理论。
在弹性力学理论中，采用裂纹模型，假设裂缝是一个分开的两个平行板，然后应用应力分析，计算得到裂缝的应力集中因子，再根据应力集中因子和材料断裂力学参数计算得到裂缝的长度和深度。
在断裂力学理论中，采用线弹性断裂力学理论，根据材料断裂力学参数和荷载情况计算得到裂缝的长度和深度。
5.板挠度计算板挠度的计算也可以基于弹性力学理论。
通常，挠度可以通过解析方法、数值方法或实验方法计算得到。
解析方法包括弯曲弹性平板理论和细长板理论等。
数值方法主要利用有限元法进行计算。
实验方法包括挠度量测和拟静力试验等。
综上所述，板裂缝及挠度计算是一个较为复杂的问题，需要采取适当的理论和方法进行分析。
在实际工程中，需要根据具体问题的要求和具体材料的性能参数来选择合适的计算方法。
平板封头与椭圆形封头应力测定及分析
平板封头与椭圆形封头应力测定及分析摘要压力容器是内部或外部承受气体或液体压力、并对安全性有较高要求的密封容器。
椭圆形封头和平板封头容器的应力分布情况先从理论上分析了并采用电测法测量其应力，结合ANSYS有限元分析方法进行比较讨论。
应力分析的目的就是求出结构在承受载荷以后，结构内应力分布情况，找出最大应力点或求出当量应力值，然后对此进行评定，以把应力控制在许用范围以内。
经过此次实验并将实验数据与ANSYS有限元法分析所得到的数据进行了对比，得到了以下的分析结果：在实际测得数值与理论数值有些不一样，一些点的误差比较大，实验测得数据与ANSYS所得到的数据相接近。
关键词：压力容器；平板封头；椭圆形封头；应力分析；ANSYS有限元法ABSTRACTPressure vessel is internal or external to gas or liquid pressure, and the security requirements of a sealed container.Analyses the stress distribution in the ellipse head and Flat head containers theoretically,and measures the stress by electrical measurement method,then carries on compare and discuss by combining ANSYS finite element analysis method.The purpose of stress analysis is to find out the structure load, the structure, the stress distribution of the greatest stress or equivalent to stress the value,then this assessment, to put the stress in a control within. after the experiment and experimental data and ansys the finite-element method analysis of data in contrast, the following analysis results：experimental and theoretical values measured there are some differences，the error of some points are relatively large the experimental measured results obtained in good agreement with ANSYS.Keywords:Pressure vessel；Flat head；Ellipse head；Stress analysis；Using the ANSYS finite element metho目录摘要 (I)ABSTRACT (II)第一章绪论 (1)1.1压力容器的结构 (1)1.1.1压力容器典型组成 (1)1.2压力容器主要分类 (3)1.2.1 按介质危害性分类 (3)1.2.2 压力容器分类 (4)1.3世界压力容器规范标准 (6)1.3.1 国外主要规范标准简介 (7)1.3.2 国内主要规范标准简介 (9)第二章椭圆形封头与平板封头的应力分析并计算 (12)2.1载荷分析 (12)2.1.1载荷 (12)2.1.2载荷工况 (14)2.2椭圆形封头的应力分析并计算 (14)2.2.1 回转薄壳的不连续分析 (15)2.2.2 无力矩理论的基本方程 (16)2.2.3薄壁圆筒理论计算公式推导 (19)2.2.4 椭圆形封头理论计算公式推导 (20)2.2.5理论计算并分析已知椭圆形封头的应力 (22)2.3平板封头应力分析 (23)2.3.1 概述 (23)2.3.2 圆平板对称弯曲微分方程 (24)2.3.3 圆平板中的应力 (29)2.3.4理论计算并分析已知圆平板封头的应力 (32)第三章实验法进行封头的应力测定及分析 (34)3.1电测法测定封头应力 (34)3.1.1 电测法的目的、原理及要求 (34)3.1.2实验前装置及仪器准备 (36)3.1.3 实验步骤 (36)3.1.4 电测法实验结果 (36)3.1.5 理论计算与实验结果对比并分析 (38)第四章有限元法对封头进行应力分析 (42)4.1 ANSYS有限元分析简介 (42)4.1.1 ANSYS软件提供的分析类型 (42)4.2 ANSYS对已知平板封头应力分析 (43)4.2.1 ANSYS对已知平板封头应力分析步骤 (43)4.3 ANSYS对已知椭圆形封头应力分析结果 (52)第五章数据处理及误差分析 (56)5.1对椭圆形封头和平板封头的数据处理 (56)5.2将计算法、实验法、有限元法的结果进行对比并进行误差分析 (57)第六章结论 (58)参考文献 (59)致谢.......................................................................................................................... 错误！未定义书签。
孔边导角对开孔方形平板应力集中问题的解析探究
孔边导角对开孔方形平板应力集中问题的解析探究引言：开孔方形平板在工程应用中非常常见，而孔边导角是一种常用的解决孔洞周边应力集中问题的方法。
本文旨在探究孔边导角对开孔方形平板应力集中问题的解析，并分析其优势和适用范围。
一、孔边导角的定义和作用孔边导角是指在开孔结构中，通过对孔洞边缘进行设计和处理，以减小或消除由孔洞引起的应力集中现象。
其主要作用在于改善结构的强度和耐久性，并提高结构的疲劳寿命。
二、孔边导角的原理与机制孔边导角通过改变孔边缘的几何形状和拉伸区域，使应力分布更加均匀，降低应力集中。
具体来说，孔边导角可以分为两个方面的效应：1. 几何效应：通过添加导角，增加孔洞周围的拱形区域，使应力场更加平缓，减少应力集中。
2. 拉伸效应：导角的形状可以改变孔洞周围材料的受力状态，使得应力场分布更加均匀，减小应力集中。
三、导角形状对应力集中的影响导角形状对应力集中的影响是一个重要的研究方向，常见的导角形状包括圆角、梯形、V型等。
以下是几种常见导角形状的特点和适用范围的分析：1. 圆角导角：圆角导角适用于一般应力集中问题，其拱形设计可以有效分散应力，减小应力集中的程度。
2. 梯形导角：梯形导角适用于孔边缘强度较低的情况，其逐渐变宽的设计可以缓解应力集中。
3. V型导角：V型导角适用于高应力集中问题，其尖锐的V型设计可以提供更大的拱形区域，明显降低应力集中。
四、孔边导角的优势和应用范围孔边导角的优势主要体现在以下几个方面：1. 改善结构强度和耐久性：孔边导角可以降低应力集中，使结构在受力时更加均匀，提高结构的强度和耐久性。
2. 延长结构的使用寿命：通过减小应力集中，孔边导角可以延长结构的使用寿命，减少结构的疲劳损伤和断裂风险。
3. 降低结构的重量和成本：采用合理的孔边导角可以减小结构的应力集中程度，降低结构的重量和成本。
孔边导角的应用范围广泛，适用于各类开孔结构，包括但不限于：航空航天器、汽车工程、机械结构等。
《平板应力分析》课件
电子工程
用于封装和电路板等电 子产品的强度和稳定性
分析。
平板应力分析的基
02
本原理
弹性力学基础
01
弹性力学是研究物体在外力作用下的变形和内力的学科。
02
弹性力学的基本假设是物体是线弹性的、变形是微小的，且满
足胡克定律。
弹性力学的基本方程包括平衡方程、几何方程和物理方程，用
03
于描述物体的位移、应变和应力。
人工智能和机器学习等先进技术的应用将有助于提高平板应力分析的自动化程度和 智能化水平。
对实际工程应用的指导意义
平板应力分析的应用范围不断扩大，不仅局限于传统 的机械、建筑等领域，还涉及到新能源、生物医学等
新兴领域。
通过平板应力分析的应用，可以优化平板结构的性能 ，提高产品的质量和可靠性，降低制造成本和风险。
VS
实例演示
以一个简单的平板为例，演示如何使用有 限元分析软件进行建模、加载和求解，并 展示结果的可视化效果。
结论与展望
06
平板应力分析的结论总结
平板应力分析是一种有效的数值分析方法，能 够模拟平板在不同工况下的应力分布和变形情 况。
通过平板应力分析，可以得出平板在不同方向 和不同位置的应力大小和分布规律，为优化平 板设计和改进制造工艺提供依据。
假设平板的材料是均匀、连续和 各向同性的，满足线弹性假设。
平板应力分析的步
03
骤和方法
建立数学模型
确定问题类型
根据实际需求，确定是平面应力问题还是平 面应变问题。
确定材料属性
获取平板材料的弹性模量、泊松比等物理参 数。
建立坐标系
选择合适的笛卡尔坐标系，以便于描述和计 算。
建立控制方程
压力容器应力分析-典型圆平板分析
（1）承受均布载荷时圆平板中的应力板内剪力求解：如图，选取任意位置r 处的圆平板进行受力分析，建立轴向平衡式，可求得Q r22()2r r r r Q p rpr Q Q r ππ⋅=⋅==()r r Q Q r =注意：根据图2-29(c)来确定右图中剪力的符号。
将上述边界条件代入（2－63）式中，求得)µ+最大周向弯矩出现在板的中央处，而最大径向弯矩出现在板的边缘处。
此外，弯矩为负的含义表明其方向与当初规定的方向相反（见图2-29）。
类似于上述方法，可得到挠度方程板的上(负号)、下(正号)表面的应力分布如下()()()222222338(269)33(13)8r p R r t p R r t θσµσµµ⎧=+−⎪⎪−⎨⎪⎡⎤=+−+⎣⎦⎪⎩∓∓可见，板内最大拉应力在板的下表面中央部位处。
薄圆平板应力特点①板内为两向纯弯曲应力，忽略z 方向的应力σz 和剪力Q r 引起的剪应力τ。
②板内的弯曲应力沿径向的分布形式与周边支承形式有关，工程实际中的支承形式介于固支和简支之间。
③在同等条件下，板内的最大应力要远大于薄壳内的应力，故板的厚度要比薄壳厚度大。
（2）承受集中载荷时圆平板中的应力板内剪力求解：如图，选取任意位置r 处的圆平板进行受力分析，建立轴向平衡式，可求得Q r2()2r r r r Q PP Q Q r rππ⋅===()r r Q Q r =中心开有圆形孔的圆平板称为“环板”。
以周边简支，内周边承受均布力矩的环板分析为例。
122123()0102ln 4r r Q Q r d d dw r dr r dr dr C C dw r dr r C r w r C C R ϕ==⎡⎤⎛⎞=⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎧=−=+⎪⎪⎨⎪=−−+⎪⎩2.3.4 承受轴对称载荷时环板中的应力如图所示环板，须注意与上述例子的不同在于，只是边界条件有所不同。
11,,00r r r R M M r R M and w ==−===Boundary Conditions:这样，我们就可以对许多类似的问题进行求解。
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7
2.4 平板应力分析
◆当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲
载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度 分析复杂的多。
◆本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论
8
2.4 平板应力分析
弹性薄板的小挠度理论------克希霍夫Kirchhoff假设 ① 板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切 变形，只有沿中面法线 w 的挠度 。 只有横向力载荷
②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同
一法线上，且法线上各点间的距离不变。 类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍 保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。 ③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应
力较小，可忽略不计。
9
2.4 平板应力分析
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
dQr dr dr dMr Mr+ dr dr t
分析模型
Qr + pz M t/2 t/2 r Mr M d Qr o
z
P
r
a.
y
z
dr
c.
P Qr + dQr dr dr
R
d
M d Mr
r
Mr+ M
r
dMr dr dr
b.
ห้องสมุดไป่ตู้
r+ dr
o
Qr
T
d.
10
2.4 平板应力分析
分析模型
半径R，厚度t的圆平板 受轴对称载荷 pz
（2-63）
式中C1、C3由边界条件确定。
25
2.4 平板应力分析
下面讨论两种典型支承情况(两种边界条件）
周边固支圆平板 周边简支圆平板
p r R z a. 周边固支圆平板 R R z b. 周边简支圆平板 R p r
图2-33 承受均布横向载荷的圆板
26
2.4 平板应力分析
1、周边固支圆平板 在支承处不允许有挠度和转角
得到挠曲面在半径方向的斜率
dw pr 3 C1 r C 2 dr 16D 2 r （2-61）
24
2.4 平板应力分析
C1、C2、C3均为积分常数。 对于圆平板在板中心处（r=0）挠曲面之斜率与挠度均为 有限值，因而要求积分常数C2 ＝0 ，于是上述方程改写为：
dw pr 3 C1 r dr 16D 2 pr 4 C1 r 2 w C3 64D 4
（2-56）
17
2.4 平板应力分析
4、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程
d 2w r z 2 dr z dw r dr
E r r 2 1 E r 2 1
d 2 w dw Ez 2 r 2 1 dr r dr 2 1 dw Ez d w 2 2 1 r dr dr
3 p 2 2 R 1 r 2 1 3 8t
（2-66）
M
t2 6
28
2.4 平板应力分析
最大应力在板边缘上下表面，即
r max
3 pR2 4t 2
29
2.4 平板应力分析
2、周边简支圆平板
R
p
p r R z b. R r
r R, r R,
（2-57）
18
2.4 平板应力分析
4、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程（续）
l
t/2 dz
Mr
r
r
z
z
图2-31 圆平板内的应力与内力之间的关系
t/2
o
Mr
z
o
19
2.4 平板应力分析
通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩 M r 和 M 表示成 w 的形式。 r 、 的线性分布力系便组成弯矩 M r 、M 。 单位长度上的径向弯矩为：
22
2.4 平板应力分析
2.4.3 圆平板中的应力
（圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程的应用）
一、承受均布载荷时圆平板中的应力
二、承受集中载荷时圆平板中的应力
23
2.4 平板应力分析
一、承受均布载荷时圆平板中的应力
据图2-32，可确定作用在半径为r 的圆柱截面上的剪力，即： r 2 p pr Qr 2r 2
z
w0
Mr 0
R
a.
周边简支圆平板 将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数C1、C3：
代入式（2-63） 得周边简支平 板的挠度方程
p 2 w R r2 64D
2
4R 2 R 2 r 2 1
（2-67）
30
2.4 平板应力分析
弯矩表达式：
t/b≤1/5时， w/t≤1/5时， 按小挠度薄板计算
o
x
y
z
6
图2-28 薄板
2.4 平板应力分析
3、载荷与内力 平面载荷 （作用于板中面内的载荷）
载荷
横向载荷 （垂直于板中面的载荷） 复合载荷
内力
薄 膜 力—— 中面内的拉、压力和面内剪力， 并产生面内变形
弯曲内力—— 弯矩、扭矩和横向剪力，
在r、θ 、z圆柱坐标系中
内力：Mr、Mθ 、Qr 三个内力分量 轴对称性 几何对称，载荷对称，约束对称， 在r、θ 、z圆柱坐标系中
挠度 w 只是 r 的函数，而与θ 无关。
11
2.4 平板应力分析
挠度微分方程的建立：基于平衡、几何和物理方程
微元体： 用半径为r和r+dr的
圆柱面和夹角为dθ的
两个径向截面截取板上 一微元体
r
M
dr
y
c.
P Qr + dQr dr dr
13
d
M
2.4 平板应力分析
o
z
y
c.
P M Qr + dQr dr dr
1、平衡方程
R
d
r
d Mr Mr+ M
r
微体内力与外力对圆柱面 切线T的力矩代数和为零， 即Σ MT=0 b.
dr
o
dMr dr dr
dM r d dr dr r dr d M r rd 2M dr sin Qr rddr p z rddr 0 Mr dr 2 2
参照35页壳体的抗弯刚度
（2-58b）
Et 3 ——“抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有 D 2 12 1 关
20
2.4 平板应力分析
d 2 w dw M r D 2 dr r dr
Ez d 2 w dw 2 r 2 1 dr r dr Ez 1 dw d 2w 2 2 1 r dr dr
1
2、压力容器应力分析
CHAPTER Ⅱ
STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS
2.4 平板应力分析
2
§2-4
平板应力分析
3
2.4 平板应力分析
主要内容
2.4.1 概述 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程 2.4.3 圆平板中的应力 2.4.4 承受轴对称载荷时环板中的应力
4
2.4.平板应力分析
2.4.1 概述
1、应用：平封头：常压容器、高压容器；
贮槽底板：可以是各种形状；
换热器管板：薄管板、厚管板；
板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板；
反应器触媒床支承板等。
5
2.4 平板应力分析
2、平板的几何特征及平板分类 中面是一平面 几何特征 厚度小于其它 方向的尺寸
厚板与薄板 分类 大挠度板和小挠度板
横向载荷
圆形薄板小挠度 弯曲微分方程：
d 1 d d Qr r dr r dr D dr
（2-60）
Qr值可依不同载荷情况用静力法求得
21
求解圆平板弯曲应力的基本步骤 外载荷P 剪切内力Qr 圆平板轴对称弯曲微分方程 弯曲内力Mr、 Mθ 弯曲应力σr、 σ θ
（第1假设）
，带入以上两式，
应变与挠度关系 的几何方程
d w r z 2 dr z dw r dr
2
（2-55）
16
2.4 平板应力分析
3、物理方程
根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于 两向应力状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为
E r r 2 1 E r 2 1
M r r zdz
t 2 t 2
t 2 t 2
E d 2 w dw 2 2 z dz 2 r dr 1 dr
（2-58a）
同理
d 2 w dw M r D 2 dr r dr 1 dw d 2w M D r dr dr 2
代入2-60式中
r O r
Mr
Qr
Qr
Mr
均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为
d 1 d dw pr r dr r dr dr 2D
对r连续两次积分
图2-32 均布载荷作用时圆板内Qr的确定
对r连续三次积分 （得到中面在弯曲后的挠度）
pr 4 C1r 2 w C 2 ln r C3 （2-62） 64D 4
d
w
m
m1 dw
r
z