物理光学第二章光波的叠加与分析
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《物理光学》第二章 光波的叠加和分析
注意
波的叠加不是强度的叠加，也不是振幅的简单相 加，而是振动矢量的叠加
一、 同向传播的平面波的叠加
假设有两个简谐平面波，其时间频率为ω相同，振幅分别为E10和E20，初始位
相分别为10 和 20 ，振动方向平行，传播方向沿着 z 轴，它们被表示为：
E1 E10 exp i kz t 10 E2 E20 exp i kz t 20
(5)驻波的位相因子与z无关，不存在位相的传播问题，故把 这种波称为驻波，反之称为行波。 驻波 (6)因 cos kz 20 10 2 的取值可正可负，所以在每一波 节两边的点，其振动是反相的 驻波：由于节点静止不动，所以波形没有传播。能量以 动能和势能的形式交换储存，亦传播不出去。
E10 exp i10 E20 exp i20 exp i kz t
E0 exp i kz t
其中：
（2.2.1 ）
E0 E10 exp i10 E20 exp i 20
E0 exp i0
2 2 上式中：| E0 | [ E10 E20 2E10 E20 cos(20 10 )]
1 2
E10 sin 10 E20 sin 20 0 arctan[ ] E10 cos 10 E20 cos 20
二、反向传播的平面波的叠加——驻波及其实验
E10 cos 10 E20 cos 20 i E10 sin 10 E20 sin 20
E0 exp i0
(2.2.2)
1 2
上式中：
2 2 | E0 | [ E10 E20 2E10 E20 cos( 20 10 )]
物理光学-2光波的叠加与分析201
§2.1 两个频率相同、振动方向相同的单色光波的叠加
1. 代数加法 两光波在P点的振动可用波函数表示为： E1 = a1 cos(kr1 − ω t ) E2 = a2 cos(kr2 − ω t ) a1 , a2分别是两光波在P点的振幅。
S1 r1
y P
S2
r2
由叠加原理， P点的合振动应为两振动 的叠加： E = E1 + E 2 = a1 cos(kr1 − ω t ) + a 2 cos(kr2 − ω t ) 令α 1 = kr1，α 2 = kr2，可将上式化简为 E = a1 cos(α 1 − ω t ) + a 2 cos(α 2 − ω t )
E B
§2.2 两个频率相同、振动方向相互垂直的光波的叠加
1. 椭圆偏振光
当两波到达 Z轴上 P点时，振动方程为 E x = a1 cos (kz1 − ω t ) E y = a 2 cos (kz 2 − ω t )
x
S1 S2 z1
y
z
P
两波在P点处叠加后的合振动 E = x0 E x + y0 E y = x0 a1 cos(kz1 − ω t ) + y0 a2 cos(kz 2 − ω t )
讨论
2 A2 = a12 + a2 + 2a1a2 cos(α 2 − α1 )
1. 设两单色光波在P点的振幅相等：a1 = a2 = a，则合振动的强度为 I = A2 = a 2 + a 2 + 2aa cos(α 2 − α1 ) = 4a 2 cos 2 式中 I 0 = a 2，是单个光波的光强度；
入射波和反射波的波函数为： E1 = a cos ( kz +ω t ) E1′ = a cos ( kz −ω t+δ )
物理光学 不同频率光波的叠加与分析
合成波的光强为 I A2 4a2 cos2 (km z mt) 2a2[1 cos2(kmz mt)]
合成波的强度随时间和位置在0～4a2之间变化，这种强
度时大时小的现象称为拍。
拍频等于 2，m 即等于振幅调制频率的两倍，或等于两
叠加单色光波频率之差。一个拍的空间长度为 12 /(2 1)
拍频的应用：利用已知的一个光频率1，测量另一个 未知的光频率2。
11
12Biblioteka 132.5 光波的傅里叶分析
1．相同频率而有任意振幅和位相的单色光波 的叠加时，所得到的合成波仍然是单色光波。
2．两个不同频率的单色光波叠加起来，其结 果就不再是单色波，波形曲线不再是正弦或余 弦曲线。
3．反过来，任意一个复杂波也可以分解成一 组单色波。
2.5.1 周期性波的分析
该矩形波的傅里叶级数为：
f (z) 4 (sin kz 1 sin 3kz 1 sin 5kz )
3
5
其中第一项成为基波，它的空间角频率为
k=2π/λ，空间频率为1/λ，是基频。第二项、 第三项是三次谐波和五次谐波[空间频率 m/λ(m≥2)是谐频]。
通常用一种空间频谱图解方法来表示傅里叶 分析的结果。
合成的光波：E 2acos(kmz mt)cos(kz t)
令km z mt 常数，得： vg
, k很小时，vg
d
dk
m
km
1 2
k1 k2
k
z或 t
在时间域上：2 m
2 ：在空间域上 km
群速度和相速度之间的关系
由 vg
d
dk
可得到vg与v之间的关系(用色散表示)。
vg
d
dk
d (kv) dk
合成波的强度随时间和位置在0～4a2之间变化，这种强
度时大时小的现象称为拍。
拍频等于 2，m 即等于振幅调制频率的两倍，或等于两
叠加单色光波频率之差。一个拍的空间长度为 12 /(2 1)
拍频的应用：利用已知的一个光频率1，测量另一个 未知的光频率2。
11
12Biblioteka 132.5 光波的傅里叶分析
1．相同频率而有任意振幅和位相的单色光波 的叠加时，所得到的合成波仍然是单色光波。
2．两个不同频率的单色光波叠加起来，其结 果就不再是单色波，波形曲线不再是正弦或余 弦曲线。
3．反过来，任意一个复杂波也可以分解成一 组单色波。
2.5.1 周期性波的分析
该矩形波的傅里叶级数为：
f (z) 4 (sin kz 1 sin 3kz 1 sin 5kz )
3
5
其中第一项成为基波，它的空间角频率为
k=2π/λ，空间频率为1/λ，是基频。第二项、 第三项是三次谐波和五次谐波[空间频率 m/λ(m≥2)是谐频]。
通常用一种空间频谱图解方法来表示傅里叶 分析的结果。
合成的光波：E 2acos(kmz mt)cos(kz t)
令km z mt 常数，得： vg
, k很小时，vg
d
dk
m
km
1 2
k1 k2
k
z或 t
在时间域上：2 m
2 ：在空间域上 km
群速度和相速度之间的关系
由 vg
d
dk
可得到vg与v之间的关系(用色散表示)。
vg
d
dk
d (kv) dk
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
引入平均角频率ω，平均波数 k ： 引入调制频率ω 和调制波数k 引入调制频率ωm和调制波数km
1 ωm = (ω1 ω2 ) 2
1 ω = (ω1 + ω2 ) 2
1 k = (k1 + k2 ) 2
1 km = (k1 k2 ) 2
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
则合波动式可写成：
E = 2a cos(kz ωt) cos(km z ωmt) 令： A = 2a cos(k z ω t) m m 则 E = Acos(kz ωt) ω 即合成波可看成一个频率为 ，而振幅受到 调制（随时间和位置在–2a到2a之间变化） 调制（随时间和位置在–2a到2a之间变化） 的波。 由于光波频率很高为5 由于光波频率很高为5×1014HZ。若ω1≈ω2， HZ。若ω ω 则 ＞＞ ωm，因而振幅变化缓慢而场振动 变化极快。
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
合成波的强度为
I = A = 4a cos (km z ωmt)
2 2 2
I = A2 = 2a2[1+ cos 2(km z ωmt)]
可见合成波的强度随时间和位置在0 可见合成波的强度随时间和位置在0～4a2之 间变化，这种强度时大时小的现象称为拍。 由式可知，拍频为2 由式可知，拍频为2ωm， ωm为两单色光波 角频率之差的一半。
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
这种由两个交变物理量产生一个差频物理 量的现象称为“拍频现象” 量的现象称为“拍频现象”。 其主要应用价值在于，它把高频信号中的 频率信息和位相信息转移到差频信号之中， 使它们由难以测量变的容易测量。 如用多普勒雷达测量运动物体的速度等， 及光外差探测技术。
§2-4 不同频率的两个单色光波的叠加
光的叠加与分析
光的叠加与分析光是我们生活中不可或缺的一部分，它使得我们看到周围的世界，它给予了我们色彩和光影的变化。
在光的世界中，一个有趣而重要的现象是光的叠加与分析。
本文将探讨光的叠加原理以及相关的分析方法。
光的叠加原理是指当两束或多束光线相遇时，会产生干涉现象。
这是由于光波的特性决定的，当光线相遇时，它们会互相影响，使得光的强弱、亮度和颜色发生变化。
光线的叠加可以分为两种类型，即相干叠加和非相干叠加。
相干叠加是指光线之间存在固定的相位差，这种叠加使得光线增强或抵消，形成明暗条纹。
著名的Young双缝实验就是相干叠加现象的经典案例。
当一束光通过两个微小的缝隙后，在屏幕上形成明暗相间的干涉条纹，这是由于两束光线的相干叠加造成的。
非相干叠加则是指光线之间没有固定的相位差，在时间和空间上都是随机的。
这种叠加使得光线的亮度增强，但不会形成干涉条纹。
常见的非相干叠加现象包括散射和衍射，例如阳光穿过云层时的云影、荧光灯的光线等。
在光的分析中，对光的叠加进行分析有助于我们了解其特性和行为。
其中一个重要的方法是使用干涉仪。
干涉仪是一种用于观察光的干涉现象的仪器，常见的干涉仪有迈克尔逊干涉仪和马赫-曾德尔干涉仪。
这些仪器利用光的干涉现象，通过观察干涉条纹的形成和变化，来研究光的波动性和相干性。
另一个常用的分析方法是光谱分析。
光谱分析是将光线通过光栅或棱镜分离成不同波长的光组成，称为光谱。
通过观察和记录不同波长的光线的强度和位置，我们可以获得光的波长、频率、颜色等信息。
光谱分析在物理、化学、天文学等领域有着广泛的应用。
除了干涉仪和光谱分析，还有其他一些分析技术和方法，如衍射、偏振、相位调制等。
这些方法在光学仪器、光通信等领域发挥着重要的作用。
总结起来，光的叠加与分析是研究光的特性和行为的重要手段。
通过对光的叠加现象的观察和分析，我们可以深入理解光的波动性、干涉现象和光谱特性。
这些知识的应用不仅在科学研究中具有重要意义，也对技术和工程领域有着广泛的应用前景。
光波的叠加
Ey Ey
a2
Ey
a1
, δ = α 2 − α1 )
Ey
Ex
Ex
Ex
Ex
δ=0 Ey
0<δ<π/2 Ey
δ=π/2 Ey
π/2<δ<π Ey
Ex
Ex
Ex
Ex
δ=π
π<δ<3π/2
δ=3π/2
3π/2<δ<2π
五、光学拍 合成光波的强度随位置和时间而变化的现象） （合成光波的强度随位置和时间而变化的现象） 光学拍是由两个频率接近、振幅相同、振动方向相 同且在同一方向传播的光形成的。（图10－32）
当δ＝2mπ时， = mλ时，有 (α1 − α2 ) = 1 ∆ cos I＝I MAX = (a1 + a2 )2； I＝I MIN = (a1 − a2 )2
1 当δ＝(2m +1)π，∆＝(m + )λ，有cos(α1 − α2 ) = −1 2 ±， K （m = 0，1 ± 2， )
说明
右旋光与左旋光
1、右旋光：迎着光的传 播方向观察，合矢量顺 时针方向旋转。
Ey 顺时针：右旋
Ex
此时： α2 − α1) < 0 sin(
2、左旋光：迎着光的传 播方向观察，合矢量逆 时针方向旋转。
Ey 逆时针：左旋
Ex
此时： α2 − α1 ) > 0 sin(
椭圆形状和旋向的分析：(
（图10-30）
（三）对叠加结果的分析：（主要对象为合成的光强） 光强） 光强
2 I＝A2 a12 + a2 + 2a1a2 cos(α1 − α 2 ) ＝
合成光强的大小取决于位相差δ － δ＝α1 α 2
a2
Ey
a1
, δ = α 2 − α1 )
Ey
Ex
Ex
Ex
Ex
δ=0 Ey
0<δ<π/2 Ey
δ=π/2 Ey
π/2<δ<π Ey
Ex
Ex
Ex
Ex
δ=π
π<δ<3π/2
δ=3π/2
3π/2<δ<2π
五、光学拍 合成光波的强度随位置和时间而变化的现象） （合成光波的强度随位置和时间而变化的现象） 光学拍是由两个频率接近、振幅相同、振动方向相 同且在同一方向传播的光形成的。（图10－32）
当δ＝2mπ时， = mλ时，有 (α1 − α2 ) = 1 ∆ cos I＝I MAX = (a1 + a2 )2； I＝I MIN = (a1 − a2 )2
1 当δ＝(2m +1)π，∆＝(m + )λ，有cos(α1 − α2 ) = −1 2 ±， K （m = 0，1 ± 2， )
说明
右旋光与左旋光
1、右旋光：迎着光的传 播方向观察，合矢量顺 时针方向旋转。
Ey 顺时针：右旋
Ex
此时： α2 − α1) < 0 sin(
2、左旋光：迎着光的传 播方向观察，合矢量逆 时针方向旋转。
Ey 逆时针：左旋
Ex
此时： α2 − α1 ) > 0 sin(
椭圆形状和旋向的分析：(
（图10-30）
（三）对叠加结果的分析：（主要对象为合成的光强） 光强） 光强
2 I＝A2 a12 + a2 + 2a1a2 cos(α1 − α 2 ) ＝
合成光强的大小取决于位相差δ － δ＝α1 α 2
物理光学-第2章 光的干涉
2π
m = 0,1,2, … 明条纹 ，半波长的偶数倍 m = 0,1,2, …暗条纹，半波长的奇数倍
λ
6、观察等倾干涉的实验装置 、
23
7、透射光的干涉： 、透射光的干涉：
对于同一厚度的薄膜， 对于同一厚度的薄膜，在某一方向观 察到某一波长对应反射光相干相长， 察到某一波长对应反射光相干相长， 则该波长在对应方向的透射光一定相 干相消。因为要满足能量守恒。 干相消。因为要满足能量守恒。 增透膜、增反膜用在光学仪器的镜头上， 增透膜、增反膜用在光学仪器的镜头上，就 是根据这个道理。 是根据这个道理。
E * = ae i1 e iω1t + be i 2 e iω 2t
= I 1 + I 2 + 2a bcos[(ω1 ω 2 )t + δ ]
I = I1 + I 2 + a bcosδ
6
2.1 光波的叠加
讨论-两个光波就能产生干涉的条件： I = I1 + I 2 + a b cosδ ⑴两个光波的频率相同； ⑵位相差不随时间变化，或者位相差随时间的改变 量远小于毫弧度（rad）； ⑶两个光波的偏振状态不正交。
x = x m +1 x m =
λd 0
D
I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos δ
双缝干涉条纹是与双缝平行的一组明暗相间彼 此等间距的直条纹，上下对称。 此等间距的直条纹，上下对称。
15
六、光强分布
I = I1 + I 2 ± 2 I1 I 2 cos δ
I1 = I 2
I = 4 I1 cos 2 (δ 2)
12
三、双缝干涉的光程差
《物理光学》第二章 光波的叠加和分析
注意
波的叠加不是强度的叠加，也不是振幅的简单相 加，而是振动矢量的叠加
一、 同向传播的平面波的叠加
假设有两个简谐平面波，其时间频率为ω相同，振幅分别为E10和E20，初始位
相分别为10 和 20 ，振动方向平行，传播方向沿着 z 轴，它们被表示为：
E1 E10 exp i kz t 10 E2 E20 exp i kz t 20
(1)、驻波波函数 假设两个简谐平面标量波的时间频率为ω，振幅分别E10 和E20，初始位相为 10 和20 ，一列波沿着z轴正向传播 另一列沿z轴负向传播，假定E10=E20= E0，即有：
E1 E0 exp i kz t 10
E2 E0 exp i kz t 20
光波叠加原理的数学基础：
2 如果光波E1 (r , t ) 和 E 2 ( r , t )都是方程 E E 的解， t 2
2
则它们的线性叠加 C1E1 (r , t ) C2 E2 (r , t ) C3 也显然是该方程
的解，并且构成一个复杂的波
微分波动方程的解的叠加性，构成了光波叠加原理的数学
（2.2.3 ） （2.2.4 ）
E10 sin 10 E20 sin 20 0 arctan[ ] E10 cos10 E20 cos 20
由以上分析得到合成波的表达式为：
E ( z , t ) | E0 | exp i kz t 0 表明：
几束简单的光波复杂的光波叠加分解一标量波和矢量波光波是横波选择传播方向为直角坐标系的z方向则矢量就变成了二维矢量可将之分解为xy方向的分量是矢量光波本质上是矢量波若光波传播的媒质对这两个方向上的分量有相同的性质则这两个分量有相同的传播规律于是任一个分量的波函数就可代表其对应的矢量波则矢量波的处理变为标量波处理
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2 变，将出现一系列的 幅振 为零的点 —波节和一系列振幅为 大最 值
的点—波腹。
2 由 cos k z 0可求得波节的位置为
2
kz n
22
n 1，3，5，
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.2.2 驻波实验
典型的驻波实验是维纳驻波实验。
1. P57 图2.8 2. 感光 3.全反射
E1 a1e xip a1t E2 a2exip a2t
两者叠加的合振动为
EE 1E 2a1ex i p 1ta2ex i p2t a1ex ip 1a2ex ip 2ex ip t
设中括号A内 exi p 的 ，部 则分 上为 式简化为
EAexi pexpitAexi pt
合振动振幅为
A2 a12 a22 2a1a2 cos2 1
当两波到Z达 轴上P点时，振动方程为
Ex Ey
aa12ccoosskkzz12tt
两波P点 在 处 叠加后的合振动为
E xx0 0a E1xcoyk0sE1 zyty0a2coksz2 t
合振动矢量的大小和方向均随时间变化，经简单的数学运算可 得其末端的运动轨迹方程：
这个方Ea12x2程 Ea表 22y2 明 2Ea矢 1x： aE2y量 c合 o末 s振 2 端 动 1的 si轨 n2椭 迹 2 圆 是 1。 一个 物理光学第二章光波的叠加与分析
光驻波现象在多个光学过程中存在，现在见的最 多的是在激光器谐振腔中多次往复反射的光波 形成的驻波。激光输出的这种稳定的驻波称为 激光束的纵模。
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.3 两个频率相同、振动方向相互垂直的光波的叠加
2.3.1 椭圆偏振光
参见图2.10：由光源S1、S2发出两个单色光波，频率相同，振动 方向相互垂直。设两波的振动方向分别平行于X轴和Y轴。
5 由光程差的表达式可知，两光波叠加区域内不同位置处将有不 同的光程差，因而会有不同的光强度，整个叠加区域内将出现 稳定的光强度的周期性变化，这就是光的干涉现象，这种叠加
称为相干叠加，叠加的光波称为相干光波。 物理光学第二章光波的叠加与分析
二 .复数方法
光源S1、S2发出的单色光波在P点的复数形式的波函数为
物理光学第二章光波的叠加与分析
§1 两个同频率、同振向的单色光波的叠加
一.代数加法
参见右图： 两个频率相同、振动方向
s1
r1
y
相同的单色光波分别由光
源s1、s2发出，经过一段传 播路程后在P点相遇，产生
s2
叠加，s1到P点的距离为r1，
r2
P
s2点到P点的 距离为r2。
物理光学第二章光波的叠加与分析
第二章 光波的叠加与分析
1 两个同频率、同振向的单色光波的叠加 2 驻波 3 两个同频率、垂直振向的单色光波的叠加 4 不同频率的两个单色光波的叠加 5 光波的分析
物理光学第二章光波的叠加与分析
对平面波表达式的理解：
• 简单逻辑：传播时间延迟
• 理解沿正反方向平面波表达式（两种理解 方法）
• 要求：已知波源处的平面波的表达式，求 空间某点处的平面波表达式
两光波在P点的振动可用波函数表示为
E1 a1coskr1 t E2 a2 coskr2 t
a1,a2分别是两光P波 点在 的振幅。
由叠加原P理 点， 的合振动应为 的两 叠振 加动 ：
EE1 E2 2 t
令1 kr1，2 kr2，可将上式化简为
Ea1cos1 ta2 cos2 t
A 2 a 1 2 a 2 2 2 a 1 a 2co2 s1 ) (
tgaa11csoi ns1 1 a a2 2scion2 s2
相幅矢量：长度代表振动的振幅大小，它与ox轴的夹角等于该 振动的位相角。
P54 例2.2
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.驻波
2.2.1 驻波的形成
一束单色光波垂直入射到两种介质的界面上时，入射光波和反 射光波成为两个频率相同、振动方向相同、传播方向相反的单 色波，它们的叠加将形成驻波。 参见图2-4：两介质界面的投影沿Y轴方向，两介质折射率分别 为n1、n2，设入射、反射光的沿Z轴方向传播，且两光振幅近似 相等。
物理光学第二章光波的叠加与分析
结论：P点的合振动与两个分振动一样，也是一个简谐振动，其 频率和振动方向也与两个分振动相同。
我们关注的是合振动的强度 I=A2，故进行以下的讨论：
1 设两单色光 P点波的在振幅相 a1 等 a2： a，则合振动的强
I
A2
a2
a2
2aacos 2
14a2
co2s
2
4I02
co2s
2
式中I0 a2，是单个光波的 ；光强度
2 1，是两光P点 波的 在位相差。
2 由1的结果可P点 知的 ，光强度取差 决 于位相 当 2m时， I 4I02，为最大值；
当 m12时， I 0，为最小m 值0。 ， 1， 2，
2
当介于以上两 物理种 光学第时 情 二章0光， 况 波的I叠之 加4与I分间 02析。
3 位相差的表达式 可写为
2
1
kr2
r1
2
r2
r1
2 0
nr2
r1
0是真空中的波长，通仍常简写为；
定义式中的nr2 r1 ，称为光程差。有了相位差和光程差的关系
后，可以将2中的结论转而表述为
当nr2r1m 时I， 4I0 2；
当nr2r1m1 2时I， 0。
4 无论位相差表达式还是光程差表达式，都只适用于两光波的 初位相相同的情况。若非如此，还应加上两光波的初位相差。
入射波和反射 数波 为的波函
E1 acoks zt
E1/ acokszt
为反射时的位 当相 反变 射化 发， 生于 光光 密疏 界面 n1 ， n2即
时， 。
物理光学第二章光波的叠加与分析
两波叠加后函 的数 合为 成波波
EE1E1/ acoksztacokszt
2acokszcost
2 2
此式表明，形成该波的合振动为频率不变的简谐振动。该振动 的特点分析如下： 1 振动的振幅为A 2acoskz ，振幅随传播时的位 坐置 标Z而
合振动的初位相为
tg a1sin1 a2 sin2 a1 co物理s光1学第a二2章c光o波s的叠2 加与分析
三、相幅矢量加法
旋转矢量法：旋转的矢量是想象出来的，真正的矢量是旋转矢 量的投影。
数学根基 有的书：逆时针；本书：顺时针。 利用相幅矢量的概念，通过简单的矢量求和运算，也可以得到
与前相同的结论。
的点—波腹。
2 由 cos k z 0可求得波节的位置为
2
kz n
22
n 1，3，5，
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.2.2 驻波实验
典型的驻波实验是维纳驻波实验。
1. P57 图2.8 2. 感光 3.全反射
E1 a1e xip a1t E2 a2exip a2t
两者叠加的合振动为
EE 1E 2a1ex i p 1ta2ex i p2t a1ex ip 1a2ex ip 2ex ip t
设中括号A内 exi p 的 ，部 则分 上为 式简化为
EAexi pexpitAexi pt
合振动振幅为
A2 a12 a22 2a1a2 cos2 1
当两波到Z达 轴上P点时，振动方程为
Ex Ey
aa12ccoosskkzz12tt
两波P点 在 处 叠加后的合振动为
E xx0 0a E1xcoyk0sE1 zyty0a2coksz2 t
合振动矢量的大小和方向均随时间变化，经简单的数学运算可 得其末端的运动轨迹方程：
这个方Ea12x2程 Ea表 22y2 明 2Ea矢 1x： aE2y量 c合 o末 s振 2 端 动 1的 si轨 n2椭 迹 2 圆 是 1。 一个 物理光学第二章光波的叠加与分析
光驻波现象在多个光学过程中存在，现在见的最 多的是在激光器谐振腔中多次往复反射的光波 形成的驻波。激光输出的这种稳定的驻波称为 激光束的纵模。
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.3 两个频率相同、振动方向相互垂直的光波的叠加
2.3.1 椭圆偏振光
参见图2.10：由光源S1、S2发出两个单色光波，频率相同，振动 方向相互垂直。设两波的振动方向分别平行于X轴和Y轴。
5 由光程差的表达式可知，两光波叠加区域内不同位置处将有不 同的光程差，因而会有不同的光强度，整个叠加区域内将出现 稳定的光强度的周期性变化，这就是光的干涉现象，这种叠加
称为相干叠加，叠加的光波称为相干光波。 物理光学第二章光波的叠加与分析
二 .复数方法
光源S1、S2发出的单色光波在P点的复数形式的波函数为
物理光学第二章光波的叠加与分析
§1 两个同频率、同振向的单色光波的叠加
一.代数加法
参见右图： 两个频率相同、振动方向
s1
r1
y
相同的单色光波分别由光
源s1、s2发出，经过一段传 播路程后在P点相遇，产生
s2
叠加，s1到P点的距离为r1，
r2
P
s2点到P点的 距离为r2。
物理光学第二章光波的叠加与分析
第二章 光波的叠加与分析
1 两个同频率、同振向的单色光波的叠加 2 驻波 3 两个同频率、垂直振向的单色光波的叠加 4 不同频率的两个单色光波的叠加 5 光波的分析
物理光学第二章光波的叠加与分析
对平面波表达式的理解：
• 简单逻辑：传播时间延迟
• 理解沿正反方向平面波表达式（两种理解 方法）
• 要求：已知波源处的平面波的表达式，求 空间某点处的平面波表达式
两光波在P点的振动可用波函数表示为
E1 a1coskr1 t E2 a2 coskr2 t
a1,a2分别是两光P波 点在 的振幅。
由叠加原P理 点， 的合振动应为 的两 叠振 加动 ：
EE1 E2 2 t
令1 kr1，2 kr2，可将上式化简为
Ea1cos1 ta2 cos2 t
A 2 a 1 2 a 2 2 2 a 1 a 2co2 s1 ) (
tgaa11csoi ns1 1 a a2 2scion2 s2
相幅矢量：长度代表振动的振幅大小，它与ox轴的夹角等于该 振动的位相角。
P54 例2.2
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.驻波
2.2.1 驻波的形成
一束单色光波垂直入射到两种介质的界面上时，入射光波和反 射光波成为两个频率相同、振动方向相同、传播方向相反的单 色波，它们的叠加将形成驻波。 参见图2-4：两介质界面的投影沿Y轴方向，两介质折射率分别 为n1、n2，设入射、反射光的沿Z轴方向传播，且两光振幅近似 相等。
物理光学第二章光波的叠加与分析
结论：P点的合振动与两个分振动一样，也是一个简谐振动，其 频率和振动方向也与两个分振动相同。
我们关注的是合振动的强度 I=A2，故进行以下的讨论：
1 设两单色光 P点波的在振幅相 a1 等 a2： a，则合振动的强
I
A2
a2
a2
2aacos 2
14a2
co2s
2
4I02
co2s
2
式中I0 a2，是单个光波的 ；光强度
2 1，是两光P点 波的 在位相差。
2 由1的结果可P点 知的 ，光强度取差 决 于位相 当 2m时， I 4I02，为最大值；
当 m12时， I 0，为最小m 值0。 ， 1， 2，
2
当介于以上两 物理种 光学第时 情 二章0光， 况 波的I叠之 加4与I分间 02析。
3 位相差的表达式 可写为
2
1
kr2
r1
2
r2
r1
2 0
nr2
r1
0是真空中的波长，通仍常简写为；
定义式中的nr2 r1 ，称为光程差。有了相位差和光程差的关系
后，可以将2中的结论转而表述为
当nr2r1m 时I， 4I0 2；
当nr2r1m1 2时I， 0。
4 无论位相差表达式还是光程差表达式，都只适用于两光波的 初位相相同的情况。若非如此，还应加上两光波的初位相差。
入射波和反射 数波 为的波函
E1 acoks zt
E1/ acokszt
为反射时的位 当相 反变 射化 发， 生于 光光 密疏 界面 n1 ， n2即
时， 。
物理光学第二章光波的叠加与分析
两波叠加后函 的数 合为 成波波
EE1E1/ acoksztacokszt
2acokszcost
2 2
此式表明，形成该波的合振动为频率不变的简谐振动。该振动 的特点分析如下： 1 振动的振幅为A 2acoskz ，振幅随传播时的位 坐置 标Z而
合振动的初位相为
tg a1sin1 a2 sin2 a1 co物理s光1学第a二2章c光o波s的叠2 加与分析
三、相幅矢量加法
旋转矢量法：旋转的矢量是想象出来的，真正的矢量是旋转矢 量的投影。
数学根基 有的书：逆时针；本书：顺时针。 利用相幅矢量的概念，通过简单的矢量求和运算，也可以得到
与前相同的结论。