各向异性网格
基于各向异性非结构网格的超声速流动自适应计算
吻 合 很 好 。超 声 速 横 向 喷 流 流 场 存 在 激 波 、 分离涡 、 边 界 层 等 流 场 结 构 的 相 互 干 扰 。计 算 研 究 表 明 ， 单 纯 基 于 Ｈｅ ｓ —
和实践 ； 文献 ［ ９ 一 ｌ Ｏ ］ 则将 各 向异 性 自适 应 技术 应 用 于 计算 具有 强 间断 的多介 质界 面流 动问题 ， 并 对计 算 的 可靠性 和 准确性 做 了对 比研 究 。 国 内 已有 的 相关 研 究主要 关 注各 向异性 网格 的 自动生 成工 作口 ］ 。 超 声 速楔形 体 绕 流及 超 声 速 横 向喷 流 问题 是 高 超 声速 飞 行器 流动 控 制 及超 燃 冲压 发 动 机燃 料 喷射
Ｍ ａ ｎ度 量 张 量 的各 向 异性 网格 生成 及 自适 应 算 法 不 能 有 效 模 拟 边 界 层 内 的 流 动 情 况 ， 是 将 来 需 要 进 一 步 开展 的 研
究 挑战。
关键词 ： 各 向异 性 非 结 构 网格 ； 度量张量 ； 自适 应 求 解 ； 超声速楔形体绕 流 ； 超 声 速 横 向 喷 流
第 ３ １卷
第 ｌ期
空
气
动
力
学
学
报
Ｖｏ １ ． ３ １ 。Ｎｏ ． １
Ｆｅ ｂ．， ２ Ｏ１ ３
２ ０ １ ３ 年 ２ 月 文章编号 ： ０ ２ ５ ８ — １ ８ ２ ５ （ ２ ０ １ ３ Ｊ Ｏ １ — ０ ０ ４ ７ — ０ ５
ＡＣＴＡ ＡＥＲｏＤＹ ＮＡＭ Ｉ ＣＡ ＳＩ ＮＩ ＣＡ
基于“各向异性”四面体网格聚合的复杂外形混合网格生成方法
基 于“ 各 向异性 ＂ 四面体 网格 聚 合 的 复 杂 外 形 混合 网格 生成 方 法
赵 钟 ， 张来平 ， 赫 新
（ １ ．中 国空 气 动 力 研 究 与 发 展 中心 计 算 空 气 动 力 研 究 所 ，四 川 绵 阳 ６ ２ １ ０ ０ ０ ； ２ ．空 气 动 力 学 国家 重 点 实 验 室 ，四川 绵 阳 ６ ２ １ ０ ０ ０ ）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
整个计 算 流程 的 ６ ０ ～７ ０ 时间 ， 这 一 点 对 于 复 杂
外形 高质量 粘性 流动 计算 网格 的生成 更 为突 出口 一 。 依照 网格 的拓扑 结构 ， 计算 网格 分为 结构 网格 和 非结 构 网格 。结 构 网格 的优点 是数据 结构 简单 ， 存储
方便 ， 计算 简单 快捷 ， 计算 结果 精度 高 ； 其 缺点是 难 以
效 率低 。非 结构 网格 的缺 点 在 高雷 诺 数 计算 时表 现
得 尤 为突 出 ： 高雷 诺数 边界层 模 拟要求 在物 面法 向有
层推进 方法 胡和 求解 双 曲型 方 程 的方 法 ］ 。这 些
方法在 实 际工程 应用 中得 到 了成 功 的应用 。但是 ， 对 于工业 应用 中很 多极 端复 杂 的实 际外 形而 言 ， 要 生成 边界层 的三 棱柱 网格并 非 易事 ， 往 往会 在几 何 曲率变
的应 用 。
两个 各 向异 性 四面体 单 元 的 中心 连线 和 物 面 法 向 的 偏离 使得计 算 在某些 情况 下不 够精确 （ 如 利用格 心 型 有 限体积 法求解 单元 内的物理 量梯 度时 ） 。
鉴 于复杂外 形 三棱柱 ／ 四面体 混合 网格 生成 的 困
各向异性介质弹性波传播的三维不规则网格有限差分方法
r1 2
+
r2
3
+
54 < 5 x4
1 4!
r1 2
+
r2
4
+ …,
(11)
由上述方程组
,55
<表示为
x
<
的线性组合
5 5
<
x
= η1 <m +1
-
η2 <m
+ η3 <m+2
-
η4 <m- 1
,
(12)
η1
=
1 4
r21
+ 4 r1 r2 + 4 s1 r2 r1 r2 ( r1 + s1 )
,
(13)
1 2!
r1 2
+ s1
2
-
53 < 5 x3
1 3!
r1 2
+
s1
3
+
54 < 5 x4
1 4!
r1 2
+
s1
4
+ …,
(8)
<m
= <i
-
5 < r1 5x 2
+
52 < 5 x2
1 2!
r1 2
2
-
53 < 1 5 x3 3 !
r1 2
3
+
54 < 5 x4
1 4!
r1 2
4
+ …,
2 理论公式
Hale Waihona Puke 方晶系介质弹性系数矩阵 C (9 个独立系数) 定义如
四节点能量正交三角形元及在各向异性网格下的收敛性分析
ｉｆ ， ｎ２
．
其弱形式为： ｔ （ ） 使得 求 ｉ ｅ Ｑ，
ａｕｖ ＝ ／ ｖ Ｖ ∈ ｏｆ ， （，） （ ，） ｖ Ｈ￣ ２ （）
其 中：（ ） Ｖ“ ｄｒ 厂 ｖ＝ 口 ＝ Ｖｖｃ，（，）
．
令 表示Ｑ 上的有限元空问， 则问题 （ ） １ 的离散形式为
（ ｖ） ｆ ｖ） Ｖ ∈ ， ，ｈ＝（ ，ｈ ， （ ２）
收 稿 日期 ：２０ ．３ ｌ ０ ８０ 一１
作者简介： 明亮（ ６． 贝， 张 １ ２， ９ ） 河南兰考人， 河南火学数学学 院洲教授， 研究方向： 有限元方法及应用 基金项 目：国家 自然科学 金项 目（０７ ｌ８１５ ０ ５ ） ｍ省教育厅 自然科学 金项 日（０ ８ １０２． １ ７ １９ ；０ ９ ３３ ２ ０Ａ１００ ）
＋ ＋
２ ２ ２
，１ ｉ２ ＝， ， ３
（ ３） （ ４）
四节点能量正交三 角形元的形函数空问为
ＰＫ）ｓ ａ ｛ ， （ ）＋（ 一 ） ＋ 一 ． （ ＝ ｐ ｎ Ａ， ， Ａ一 （ Ａ）｝
自由度 取为
Ｄ（） Ｖ Ｖ， ， ． Ｖ （Ｉ ２ ， ， ）
ｌ ０
０ ｌ Ｃ＝
０ ０
０ ０
因为 ｄｔ ） ， ，＋３ ０ 所以四个 自由度可唯一确定 ＰＫ 中的元素． ｅ Ｃ ＝ 。 ｔ≠ ， （ ＋ （） 经过计算可以证明下面两式：
（ ）＋ 一 ）＋ 一Ａ）＝６２ ＋ 一 （ （ （ａ
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第３ ４卷第 ４期
Ｊ
ｉ ｅｒ ｉｙ ｏ ｏ ｒ ａ ｆ ｏ ｔ ｗｅｓ Ｕ ｎ ｖ ｓ ｔ ｆ ｒＮａ ｉ ａ ｉｉ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｄ ｔ ｎ ｕ ｎ ｌ Ｓ ｕｈ ｏ ｔ ｔｏｎ ｌｔｅ ｔ ｒ １ ｉｎ ｅＥ ｉ ｏ ｓ ｌ Ｓ ｉBiblioteka 其中： 号 △ ， Ｉｖ ＝
各向异性网格下线性三角形元的超收敛性分析
时 （） Ｖ ： Ｐ（ ） Ｆ ， １ ＝０ Ｑ ：｛ Ｖ ｌ ｈ ｈ Ｋ∈ Ｉ ， Ｋ∈ ｈＶ ０ Ｋ Ｖ ｈ￣ ）
其中 Ｖ ｌ 由 Ｖ ｈ ｈ在 Ｋ 的三个顶点上 的函数值 唯一确 定。
（） ２ 的逼近形式 为
Ｊ ∈ ， 使 Ｉ 找 喈 得
ｎ ｈＶ） （ ，Ｖ ｈ （ ，ｈ＝， ） ∈喈 ． Ｖ
中图分类号： ４ ．１ ０２ ２２
文献标识码：Ａ
１ 引言
各 向异 性有 限元是 当前关注 的热 点 。有 些椭 圆边值 问题 的解 具有各 向异性 ， 即沿 某个方
向解变 化非 常剧烈 ，而沿 另外 方 向解 变化 平缓 。例 如： 奇异摄 动 问题 、对 流扩 散 问题 等ｆ 其
解 出现边 界 层１ 因此 ，从理 论 分析 和 实 际应 用 的观 点来说 ，传 统有 限元 方法 一个 很 大 的 。
文章￣ ： ０—０５２０）３０８—７ １ ５３８ （０７０—４ ７０ ０
各 向异性 网格下线性 三 角形元 的超收敛性 分析 木
石东洋 梁 ， 慧 ，
（一郑州大学数学系，郑州 ４ ０ ５ ； ２ 哈尔滨工业大学数学系，哈尔滨 １０ ０ ） １ ５０２ 一 ５ ０ １
摘 要 ：讨 论 在有 限制 的各 向异 性 网 格 下 用 线 性三 角形 有 限元 逼 近 二 阶 椭 圆 边 值 问题 ，利 用 单 元 构 造 的 特
限制就 是分 析 中对 网格剖 分 的正则性 假 设 ｈ ｐ Ｃ和拟 一致 假 设 ｈ ｈ Ｃ ｇ／Ｋ ／ ，这 里 为
单 元 ，ｈ 和 Ｐ ：分别 是 ｇ ｋ 的直 径 和最 大 内切 圆直径 ，Ｃ是 不依 赖于 ｈ＝ ｍａ ｈ 和 ｈ＝ ｘ ｇ ｍｉ ｈ 的 正常数［ 。在 这种情 况 下 ，一个 明显 能够反 映这 种解 的各 向异性特 征和 克服 上述 ｎ ｇ １ 】 限制的思想就 是采用各 向异性剖 分单元 。此 时上述 比值 可 以非常 大甚至趋 于无穷 。最近 一些
各向异性网格下二阶椭圆齐边值问题的双线性元的超收敛性分析
０ 引 言
本 文给出双线性元关 于二 阶椭 圆边值问题
于有限元各向异性性质的判定 ， 文献 ［ ］ 出了一个 非 常方 ４给
便 和实用的判别方法．
ห้องสมุดไป่ตู้
文 ［］ ８ 给出了双线性单元各 向异性 的证 明 ， 本文 将给 出
｛ｕ ， …一 塞 －＝ Ａｆ
Ｃ 力）． （
在 各向异 性矩形 网格下 整体超 收 敛的一个应 用 ， 中ｆ ｅ 其
基 础理 论研究 ・
各 向异性网格下二阶椭 圆齐边值问题 的 双线性元的超收敛性分析
彭 玉成 ， 迎 达 俞
（ 信阳师范学 院 数学与信息科学 学院 ， 河南 信阳 ４４０ ） ５００
摘 要 ： 用 Ｂａ ｂｅＨｌｅｔ 利 ｒｍ ｌ・ ｉ ｒ 引理 ， 出 了二 阶 椭 圆 齐 次 边 值 问题 的 双 线 性 元 在 各 向 异 性 网格 下 的 整 体 ｂ 给
书写．
个元 的整 体超 收敛性 ． 然而 ， 这些结果都是在对 区域的网格
剖分满足 正则 性条 件或拟一致 假设 这种传统 有 限元 分析 方 法的基础上得 到的．随着计 算机技 术的发 展和 理论分 析 的 件或拟一致假设是 不必 要 的，甚至 限制 了有 限元 的应 用 和
深入 ， 越来越 多的事 实证 明 ， 传统有限元方法中的正则性条 １
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信 阳师范学院学报 ： 然科学版 自 第２卷 第３ １ 期 ２０ ０ ８年 ７月
・
Ｊｕ ｎ ｆＸｉｙ ｎ ｒ ａ ｉｅｓｔ ｏｒ ａ ｏ ｎ ａ ｇＮｏ ｌ Ｕｎｖ ｒｉ ｌ ｍ ｙ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎＶｏ． １Ｎｏ ３Ｊ １２ （ ｔｒ ｌ ｉｎ ｅＥ ｉｏ １２ ． ｕ． ０） Ｓ ｉ ８
Stokes问题各向异性网格Q2-P1混合元超收敛分析
（） ３
｛ ｆｄ ＝ Ｉ ｑｐｇｚ ０ ｔ．ｄ ） ｃ￣ｑｙ ；
Ｖ ｖ Ｖ ｈ ｈ ，
ｖ
．
显然 Ｘ ｏＣ（ （） Ｘ塌（）则 （） Ｐ 础 Ｑ ） ＇ Ｑ ： ２ 的有限元离散形式为：
０ｔ ＝ ／Ｖ Ｖｄｄ．ｂ ． ＝～／ ｄ ｖ：ｇ （ ＝／， （ Ｉ ＇ ） Ｑ ｖｚｙ （ｑ ｖ ） ｔ ２ｑｉ ｄｄ √Ｑ ｆ ｖ ｒ ，， ） ，（
为 了简 单起见 ，设 是 边 界 同坐 标轴 平行 的 凸多 边 形 区域 ． 是 一族均 匀矩 形剖 分 ，即 要 求 所 有 行 ｚ ～轴 的 ＾ 相同 ，所 有 行 一轴 的 ７ 相 同 ，不妨设 ｈ ． 兰ｈ ． ２ ＶＫ ∈Ｔ １ ｈ 三ｈ ， ｈ
＾ １ ｈ
ｈ： 皿 ｈ 是 一 个与 ｈ无关 的正 常数 ．但是 ，从 理 论分 析和 实 际 应 用 的观 点来 说 ，如 此 假 Ｋｃ 设 在很 大 程度上 限 制 了有 限 元方 法 的应 用 范 围 ，同时 对 有些 定 义 在 窄边 区域 的 问题 ，如 果用 正 则 性剖 分 ， 算 量将 非常 大 ；另 一方 面有 些 问题 的解 呈各 向异 性 ，器 沿某 个方 向解 变化 非常 计 ｐ 剧 烈，而 沿另外方 向解 变 化平 缓 ，这 时采 用各 向异性单 元 剖分 ，求 解 的 效果 会更 好 ．本文 基 于
性 【 ．但 这 些研 究 都是 基 于 对 剖 分 的 正 则 性 条 件 或拟 一 致 假 设 【． ２ 一ｊ ５ 即满 足 ｈ ／ Ｋ ｃ 或 ｊ Ｋ Ｐ ，
ｈ ｈ ｃ ∈ ， 中 ／ Ｋ 其 Ｖ
＾ ∈ 』ｈ
分别是 一 般 单元 的最 大直 径和最 大 内切 圆直径 ， ｈ＝ …ａ Ｋ ｍ ｘｈ
二维各向异性介质中地震波场的高阶同位网格有限差分模拟
二维各向异性介质中地震波场的高阶同位网格有限差分模拟祝贺君;张伟;陈晓非【期刊名称】《地球物理学报》【年(卷),期】2009(052)006【摘要】本文将DRP/opt MacCormack有限差分格式用于模拟二维各向异性介质中的地震波传播.DRP/optMacCormack是一种同位网格下的差分格式,避免了传统的交错网格在计算各向异性问题时由于变量插值而导致的误差.而且相对于低阶同位网格差分格式,它具有低色散、低耗散的优点.此格式将中心差分算子分成前向和后向两个空间单边差分,然后在4-6步Runge-Kutta时间积分中使用单边差分组合.在具有垂直对称轴的横向各向同性(VTI)模型下,通过对比DRP/opt MacCormack有限差分和谱元方法的模拟结果,验证了前者具有很高的精度和稳定性.由于实际地质条件下TI介质的对称轴通常是倾斜的(TTI),本文在二维三分量框架下模拟TTI介质中的地震波场.结果显示横波分裂和切平面/反平面运动耦合的特征.数值实验表明DRP/opt MacCormack是一种有效的研究各向异性介质中地震波传播规律的差分格式.【总页数】11页(P1536-1546)【作者】祝贺君;张伟;陈晓非【作者单位】北京大学,地球与空间科学学院计算地球动力学实验室,北京,100871;北京大学,地球与空间科学学院计算地球动力学实验室,北京,100871;Graduate School of Oceanography,University of Rhode Island,USA;中国科学技术大学,地球和空间科学学院,蒙城地球物理国家野外观测研究站,合肥,230026【正文语种】中文【中图分类】P631【相关文献】1.任意倾斜各向异性介质中弹性波波场交错网格高阶有限差分法模拟 [J], 裴正林;王尚旭2.地震波场的高阶交错网格有限差分模拟 [J], 霍凤斌;李振鹏;徐发;张涛;3.基于高阶交错网格有限差分的隧道超前探测地震波场模拟 [J], 张焕钧;陈祖斌;李昊;杨兴林4.基于高阶交错网格有限差分的隧道超前探测地震波场模拟 [J], 张焕钧;陈祖斌;李昊;杨兴林5.二维弹性及粘弹性TTI介质中地震波场数值模拟:四种不同网格高阶有限差分算法研究 [J], 孙耀充;张延腾;白超英因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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各向异性网格
在流场中，梯度变化剧烈的地方，如边界层和激波区域，流场呈现各向异性，在求解各向异性流场时，各向异性网格在这些区域中应该有很好的适应性。
目前关于三角形网格的生成，主要采用Delaunay方法，或其修正方法（Gridgen/pointwise），其网格生成关键是距离测量，要求三角形的外接圆不包含其他节点在内，由于节点所在空间各方向的伸展度均与一致，故生成的单元也最大程度地满足了与方向无关的要求，单元在形状上夜更接近正三角形。
各向异性网格是指网格单元沿某一方向的伸展度较大，而沿另一方向的伸展度较小，单元的形状扁平。
在主流区域由于流场的各向同性，应用各向同性网格是一个很好的选择，因此在常见的商用软件中，非结构网格一般都是各向同性的，因为他们并没有捕捉边界层区域，特别是第一层厚度，即y+值，因此各向同性网格在CFD计算中的对一些问题是不适用的，如在下面一些情况不宜采用各向同性网格：
1、边界层区域，如果在边界层区域采用各向同性网格，那么网格数量将会使巨大的，是目前软件和硬件技术水平所部能承受的。
2、分块网格。
在分块网格中，需要保持穿越网格边界时网格尺寸的近似连续，以便降低认为因素对CFD计算结果的影响。
如图1所示，交界面网格尺寸不连续，这是不好的网格。
3、在形状上，如果表面元素自身是各向异性的。
那么各向异性网格在既可以捕捉关键的几何特征又可以保持网格数量在一个合理的范围。
4、
所以在上述三个问题区域中，采用各向异性网格是一个理想的选择，而采用各向异性网格时，不宜用aspect ratio参数来评价网格质量，因为不管是各向异性结构还是非结构网格，其aspect ratio都是很大的。
在Gridgen/Pointwise中各向异性三角形/四面体网格主要是通过表面变形和顶点变形的方法实现的，如果生成的网格质量没有满足指定值，那么通过最速下降法对网格进行优化，直到满足质量要求，否则会放弃。
Pointwise公司把这项技术称为T-Rex（Anisotropic Tetrahedral Extrusion），其是一项可以在复杂几何形状边界区域快速生成高质量的边界层网格和空间网格，并且可以对网格畸变参数：Equi-Volume，Equi-Angle，Centroid和Max Angle进行控制。
在Gridgen/Pointwise中网格质量一般是检查Max. Included Angle or/and Skewness Centroid。