二次函数顶点坐标公式及其应用
二次函数化顶点坐标公式(一)
二次函数化顶点坐标公式(一)
二次函数化顶点坐标公式
简介
二次函数是数学中常见的一种函数形式，其具备如下一般形式：y = ax^2 + bx + c
其中，a、b和c都是常数，而x和y代表函数中的变量。
二次函数的顶点坐标公式是一种用于确定二次函数顶点位置的公式，它可以帮助我们通过函数的系数确定顶点坐标。
公式推导
二次函数的顶点坐标公式的推导如下： 1. 将二次函数的一般形式表示为标准形式：y = a(x - h)^2 + k。
其中，(h, k)代表顶点的坐标。
2. 展开括号，得到y = ax^2 - 2ahx + ah^2 + k。
3. 通过比较系数，我们可以知道顶点坐标满足以下条件： - 顶点的x坐标为h = -b/(2a) - 顶点的y坐标为 k = c - (b^2)/(4a)
顶点坐标公式的应用举例
下面通过一个具体的例子来解释顶点坐标公式的应用：
假设我们有一个二次函数 y = 2x^2 + 4x + 1，我们想要确定它的顶点坐标。
根据顶点坐标公式，我们可以得到： - h = -b/(2a) = -4/(22) = -1 - k = c - (b^2)/(4a) = 1 - (4^2)/(42) = -1
因此，该二次函数的顶点坐标为 (-1, -1)。
总结
通过顶点坐标公式，我们可以利用二次函数的系数快速确定顶点的坐标。
这样的公式在解决数学问题时非常实用，帮助我们简化计算和分析二次函数的性质。
二次函数顶点坐标公式h和k表示
二次函数顶点坐标公式h和k表示二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的中心概念是顶点，顶点坐标可以用公式h和k来表示。
在本文中，我们将探讨二次函数顶点坐标公式h和k的含义和应用。
什么是二次函数？二次函数是一种形式为y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a不为零。
它的图像是一个抛物线，可以开口向上或向下。
二次函数可以用来描述许多实际问题，如物体的运动轨迹、图像的变化趋势等。
顶点坐标的重要性在研究二次函数时，顶点坐标是非常重要的。
顶点是二次函数的最高点（对于开口向下的抛物线）或最低点（对于开口向上的抛物线）。
顶点坐标的横坐标表示抛物线的对称轴位置，纵坐标表示抛物线的最高点或最低点的高度。
通过研究顶点坐标，我们可以了解二次函数的性质和特点。
顶点坐标公式二次函数的顶点坐标可以用公式h和k来表示。
对于标准形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)表示二次函数。
公式的推导过程要理解顶点坐标公式的推导过程，我们首先需要求得二次函数的顶点。
对于任意一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，我们可以通过完成平方的方法，将它转化为顶点形式。
首先，我们将二次函数写成完全平方式，即a(x - h)^2 + k，其中h和k为待确定的值。
展开平方，得到ax^2 - 2ahx + ah^2 + k。
与原始的二次函数进行比较，我们可以得到以下等式：• a = a•-2ah = b•ah^2 + k = c由第一个等式可得，a与a相等，两边消去a后可以得到1 = 1。
这说明了a 为任意非零常数即可。
由第二个等式可得，ah = -b，然后可以解出h的值为-b/2a。
由第三个等式可得，ah^2 + k = c，将h的值代入后可以解出k的值为c - a(h^2)。
综上所述，我们得到了二次函数顶点坐标公式(-b/2a, c - a(h^2))，其中h = -b/2a，k = c - a(h^2)。
顶点坐标公式二次函数表达式
顶点坐标公式二次函数表达式
一元二次函数是几何中最常见的函数形式，它的结构为y = ax² +bx +c。
其中a，b，c都是常数，x就是未知数。
一元二次函数的解法有多种，但最常用的方法就是顶点坐标公式。
顶点坐标公式法，又称为顶点坐标法，是一种常用的求解一元二次函数的方法，它可以用来求出一元二次函数的顶点，也就是函数图像的最高点或最低点的坐标。
该方法的求解公式为：顶点坐标（x,y）=（-b/2a,f(-b/2a)），其中a，b，c都是一元二次函数的常数，f（x）表示一元二次函数的函数值。
顶点坐标公式的运用非常简单，只要把一元二次函数的常数a，b，c带入上述公式中，就可以求出一元二次函数的顶点坐标，即函数图像的最高点或最低点。
一元二次函数中函数值的变化趋势，以及函数图像的转折点，都可以从顶点坐标公式中获得。
顶点坐标公式是一种非常有用的工具，它可以帮助我们更好地理解函数图像，分析函数的变化趋势，从而更好地掌握一元二次函数的知识。
它不仅可以帮助我们在几何中解决数学问题，还可以作为高等数学中一元二次函数的研究工具。
二次函数顶点坐标公式和对称轴
二次函数顶点坐标公式和对称轴
二次函数，即二次多项式，是几何图形中最简单的曲线，其特点是存在一个顶点，且其它部分的曲线拱向该顶点。
根据二次函数的知识可知，其顶点的横坐标为x，而纵坐标可用一般式描述，即y=ax^2+bx+c（a≠0）。
因此，若要求出二次函数顶点坐标，只需要求出a、b、c，再代入原二次函数中即可得出。
根据求解顶点坐标需要确定a、b、c的思路，可以发现二次函数具有一个特征，那就是其对称轴。
在二次函数中，对称轴的表达式为x=-b/2a，也即x轴上对称中
心的横坐标，取决于a和b的值。
而通过观察二次函数的图像可以发现，其对称轴的横坐标，也正是二次函数顶点的横坐标。
既然能确定二次函数的顶点横坐标，那么它的纵坐标也可以被确定。
换句话说，在已知a、b、c的情况下，只要将其代入二次函数，就能得出顶点纵坐标的值，而这正是顶点的求解过程。
总结起来，若要求出一个二次函数的顶点坐标，不仅需要求出其a、b、c的值，还要注意其对称轴的横坐标，这正是其求解的关键所在。
通过这些必要的步骤，便可以有效地求出二次函数的顶点坐标，探究其几何图形的特征。
二次函数顶点坐标公式及其应用
二次函数顶点坐标公式及其应用二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c都是实数，且a≠0。
它的图像是抛物线。
顶点坐标公式：二次函数的顶点坐标可以用以下公式求得：x=-b/2ay=f(x)=a(x-h)^2+k其中，(h,k)表示顶点的坐标。
通过这个公式，我们可以很方便地求得二次函数的顶点坐标。
应用一：求解最优问题二次函数的顶点坐标在数学上具有重要的意义，它可以用来求解很多最优问题。
例如，我们想要在一个矩形内部，离一条边的距离最远，那么这个问题可以转化为求解顶点坐标的问题。
我们可以通过求解二次函数的极值来找到这个最优解。
应用二：描述物体运动的轨迹二次函数也可以用来描述物体的运动轨迹。
例如，一个物体从离地面一定高度开始自由下落，那么它的运动轨迹可以用二次函数来描述。
我们可以通过求解二次函数的顶点坐标，来确定物体的最高点、落地点和运动轨迹等信息。
应用三：经济学中的边际分析在经济学中，边际分析是一种重要的工具，而二次函数的顶点坐标可以用来分析边际效应。
边际效应是指增加或减少一个单位的其中一种输入所产生的效益变化。
通过求解二次函数的顶点坐标，我们可以找到产生边际效应最大或最小的输入水平，从而指导经济决策。
应用四：求解几何问题在几何学中，二次函数的顶点坐标也有广泛的应用。
例如，在平面几何中，已知一个抛物线和一条直线，我们想要找到抛物线上离直线最近和最远的点，就可以通过求解二次函数的顶点坐标来解决这个问题。
应用五：拟合实验数据二次函数的顶点坐标还可以用来拟合实验数据。
当我们通过实验或观察得到一些数据点时，可以通过求解二次函数的顶点坐标，来得到一个最佳的二次函数模型，以便与观察数据相拟合。
总结：二次函数的顶点坐标公式是一个简单且实用的工具，它在数学和应用领域都有着广泛的应用。
它可以用来解决最优问题、描述物体运动的轨迹、经济学中的边际分析、求解几何问题以及拟合实验数据等。
通过掌握二次函数的顶点坐标公式，我们可以更好地理解和应用这个函数模型。
顶点坐标的公式法
顶点坐标的公式法在数学中，顶点是几何图形的一个重要特征点，它是多边形、曲线或其他几何体的极值点。
在几何图形的分析与求解中，确定顶点坐标是一项关键任务。
顶点坐标的公式法是一种常用的方法，通过这种方法可以方便地求解顶点的坐标。
一、一元二次函数的顶点坐标对于一元二次函数f(x)=ax2+bx+c，其中a eq0，其顶点坐标可以通过公式法求解。
顶点的横坐标为 $x = -\\frac{b}{2a}$，纵坐标为 $y = f(-\\frac{b}{2a})$。
例如，对于函数f(x)=2x2−4x+3，其中a=2，b=−4，c=3，顶点坐标可表示为：横坐标：$x = -\\frac{-4}{2\\times 2} = 1$纵坐标：$y = f(1) = 2\\times 1^2 - 4\\times 1 + 3 = 1$因此，该函数的顶点坐标为(1,1)。
二、二元二次函数的顶点坐标对于二元二次函数f(x,y)=ax2+by2+cx+dy+e，其中a,b eq0，其顶点坐标可通过类似的方法求解。
顶点的横坐标为 $x = -\\frac{c}{2a}$，纵坐标为 $y = -\\frac{d}{2b}$。
例如，对于函数f(x,y)=x2+2y2−4x−6y+5，其中a=1，b=2，c=−4，d=−6，e=5，顶点坐标可表示为：横坐标：$x = -\\frac{-4}{2\\times 1} = 2$纵坐标：$y = -\\frac{-6}{2\\times 2} = 1.5$因此，该函数的顶点坐标为(2,1.5)。
三、应用场景顶点坐标的公式法在数学建模、优化问题等领域有着广泛的应用。
通过准确求解顶点坐标，可以帮助我们更好地理解几何图形的性质，解决实际问题。
综上所述，顶点坐标的公式法是一种有效的方法，能够简洁地求解几何图形的极值点，为数学分析提供了重要的工具。
通过掌握这一方法，我们能够更加灵活地应用于各种数学问题的求解中。
二次函数顶点式坐标公式
二次函数顶点式坐标公式二次函数是一个非常重要的数学概念，在高中数学中经常会涉及到。
顶点式坐标公式是描述二次函数顶点位置的一种形式。
本文将详细介绍二次函数的顶点式坐标公式及其推导过程。
一、二次函数的定义和性质二次函数是指形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是实数常数，且a不等于0。
二次函数的图像通常为抛物线形状，具有以下性质：1.对称性：二次函数的图像关于其顶点对称。
2.开口方向：由二次函数的系数a的正负决定。
若a>0，则开口向上；若a<0，则开口向下。
3. 零点：二次函数的零点也称为根，即函数值为0的横坐标。
若函数存在零点，则会有一个、两个或零个根，取决于判别式b²-4ac的正负。
4.顶点：二次函数的图像的顶点即为抛物线的最高点（若开口向上）或最低点（若开口向下）。
顶点坐标可以通过顶点式坐标公式求得。
二、顶点式坐标公式的推导过程二次函数的顶点式坐标公式可以通过完成平方的方法得到。
我们来推导一下：1.将二次函数的一般式表示为完全平方的形式：y=a(x-h)²+k其中(h,k)为顶点坐标。
2.展开式中只有一项与x有关，我们需要通过调整a的值来消去该项。
展开后得到：y=ax²-2ahx+ah²+k3.为了消去与x有关的一项，我们希望它与函数x²的系数相同。
将其系数设为1：ax²-2ahx+ah²+k = ax²+bx+c4.比较两边的系数，得到：-2ah = bah²+k = c5.求解上面两个方程，解得：h=-b/2ak=c-b²/4a这就是顶点式坐标公式。
三、顶点式坐标公式的应用顶点式坐标公式可以方便地得到二次函数的顶点坐标，进而得到函数的性质和图像。
在实际应用中，具有以下几个重要的应用：1.求顶点：通过顶点式坐标公式，可以直接得到二次函数的顶点坐标，从而确定抛物线的最高点或最低点。
二次函数顶点坐标公式
二次函数顶点坐标公式二次函数是一种非常常见的函数，其形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c是实数且a≠0。
二次函数的图像是一条平滑的曲线，称为抛物线。
其中一个重要的概念是顶点，它代表了抛物线的最高点或最低点。
顶点在二次函数中是一个非常重要的概念，它代表了二次函数的最高点或最低点。
对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，其顶点坐标可以通过以下公式求得：xv = -b/2ayv = f(xv)其中xv是顶点的横坐标，yv是顶点的纵坐标。
顶点的横坐标-xv是由二次项的系数b和a的关系决定的，而纵坐标yv则是通过将顶点的横坐标代入函数中计算得出的。
以下是通过推导得出顶点坐标公式的过程：首先，二次函数f(x) = ax² + bx + c可以通过配方法转化为标准形式：f(x) = a(x - h)² + k。
其中(h, k)是顶点的坐标。
我们对二次函数进行完成平方的操作：f(x) = ax² + bx + c=a(x²+(b/a)x)+c=a(x²+(b/a)x+(b/2a)²-(b/2a)²)+c=a(x²+(b/a)x+(b/2a)²)-a(b/2a)²+c=a(x+b/2a)²-a(b/2a)²+c由于我们需要将二次项变成完全平方的形式，所以我们需要给原来的二次项加上一个平方的项。
我们可以看到，二次项(x + b/2a)²中的(x + b/2a)就是我们要找的顶点的横坐标-xv。
所以我们可以得到：x+b/2a=0x=-b/2a这就是顶点的横坐标。
然后，我们将顶点的横坐标-xv代入二次函数：y=a(x+b/2a)²-a(b/2a)²+c= a(xv + b/2a)² - a(b/2a)² + c= a(xv² + bxv/a + (b/2a)²) - a(b/2a)² + c= axv² + bxv + a(b/2a)² - a(b/2a)² + c= axv² + bxv + c将顶点的横坐标-xv代入得到：y = axv² + bxv + c这就是顶点的纵坐标-yv。
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2a 4 ac b 2
a＜0 向
4a
下
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3
二次函数的图象特点和性质（两种形式的统一）：
二次函数 开口 方向
对称轴
顶点坐标
最 a＞0 值 a＜0 增 a＞0 减 性 a＜0
y=a(x－h)2+k
y=ax2+bx+c
a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
x=h
x b 2a
(h , k)
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6
❖2．抛物线y＝ax2-4x-6的顶 点横坐标是-２，则a=_____.
❖3.已知二次函数y＝x2-6x+m 的最小值为１，则m=____.
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4.抛物线y＝ax2 +2x+c的顶点坐标是
（
1 3
，１），则a=____ ,c=___.
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8
5.求二次函数y＝mx2＋2mx ＋3(m＞0)的图象的对称 轴，并叙述该函数的增减 性.
顶点坐标公式： h=- b 2a
k= 4acb2
4a
▪ ２.熟
作业本
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2、如图所示，△ABC中，AB=6厘米，BC=8厘米，
∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1厘米/秒的速度 移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移 动.当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动. 如
(1)求y与x之间的函数关系式(并且
确定自变量x的取值范围);
(2)当AB为多少时此矩形ABCD面积最 大，并求这个最大面积.
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4.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可 售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售, 增加盈利,商场决定采取适当的降价措施, 经过调查发现,每件衬衫每降价1元,商场 平均每天就可以多卖出 2件.若商场每天 要赢利y元，每件衬衫应降价x元.
果P、Q分别从A、B同时出发,经过x秒△PBQ的面积等于
y平方厘米.
（1）写出y(平方厘米)与x(秒)之 C
间的函数关系式.
Q
（2）经过几秒时△PBQ的面积最大，
最大面积是多少.
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B
A
P
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3.一边靠校园院墙(院墙长22米)， 其它三边用40米的篱笆围成一个矩 形花圃，设矩形ABCD的边AB=x米 (AB边垂直于墙)，面积为y平方米.
(1)写出ｙ与ｘ的函数关系式，并确定自 变量的取值范围.
(2) 当每件衬衫降价多少元时，每天的赢
利最多．最多赢利是多少?
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5、△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=12cm，高
AD=8cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边
QM在BC上，其余两个顶点P、N分别在AB、AC上，
假设这个矩形PQMN的一边长PQ=x(cm), 面积是
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9
应用2.利用二次函数
的最大（小）值解决 实际问题.
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▪例、 用长20cm的铁丝围成 一矩形框架，如果矩形的一
边长为xcm，写出矩形面积y
（cm2）与x（cm）之间的函
数关系式.并求x为多少时，
这个矩形的面积最大，最大
面积为多少？
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1.用6m长的铝合金型材做一个形状如 图所示的矩形窗框．应做成长、宽各为 多少时，才能使做成的窗框的透光面积 最大？最大透光面积是多少？
(1)用含有x的代数式表示BF的长. (2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系
式. (3)当x为何值时D ，SC有最大值，并求出这个最大值.
G
A
EBF
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8.如图：在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AF为BC边上 的高，矩形PQED的边PQ在线段BC上，点D、E分别 在线段AB、AC上，设BP=x.
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图 2 6 .2 .5
12
过程看课本16页的例5
❖ 做练习2题 3题（规范写法）
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13
1.已知直角三角形两条 直角边的和等于8cm,求 当两条直角边各为多少 时,此直角三角形的面积 最大,最大面积是多少?
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14
小结：
▪ 1.抛物线y=ax²+bx+c (a≠0)
第七课时
二次函数的顶点坐标 公式及其应用
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1
复习、抛物线y=ax²+bx+c (a≠0)
顶点坐标公式：
h=- b
2a
k= 4acb2
4a
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2
二次函数y=ax²+bx+c 的图象及性质
条 件
a≠0 开
口
图象
对称轴 顶点
性质
增减性 最 值
a＞0
向 上
b ,
直线x b 2a
(1)求AC、BC长；
(2)设PC的长为x，△ADP的面积为y.当x为何值时，
y最大，并求出最大值.
A
D
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B
P
C
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7.如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°， ∠A=45°，AB=30，BC=x，其中15＜x＜30.作 DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F 处，DF交BC于点G.
y(cm2)
(1)求y与x之间的函数式，
并确定自变量的取值范围．
A
(2)当PQ为多少时,
此矩形的面积最大， 并求这个最大面积.
P
EN
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BQ
DM C
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6.如图，RT△ABC中， ∠C=90°AB= 2 5 ，
sinB= 5 ，点P为边BC上一动点，PD∥AB，
5
PD交AC于点D，连结AP.
b 2a
,
4ac 4a
b2
当x=h时y最小值=k 当x=h时y最大值=k
当 当xx22baba时时yy最最大小==
4ac b2 4a
4ac b2 4a
左减右增
左增右减
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4
应用1.直接求抛 物线的顶点坐标.
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1.y把=a二(x次-h函)²+数k的y=形- 式15 x为²-2_x_+_2_化__为_, 其图象的顶点坐标为____, 对称轴为_____； 当x____时，y随x的增大而增大； 当x____时，y随x的增大而增小.
(1)求矩形PQED的面积y关于x的函数表达式，并写 出自变量x的取值范围；
(2)当x取什么值时，矩形PQED 的面积最大？
(3)连结PE，当PE∥AB时，矩形PQED的面积是多少？
A
D
E
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PF Q
C
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放映结束 感谢各位的批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
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