函数过程性概念的发展
函数概念发展的历史过程
函数概念发展的历史过程函数的概念在数学上被广泛应用，它是描述自变量和因变量之间关系的一种数学工具。
在数学的发展历史上，函数的概念经历了漫长的发展过程，从最初的平面几何到现代的抽象代数，函数的概念不断得到丰富和深化。
本文将从古希腊时期的几何学开始，对函数的概念发展历史进行全面梳理。
古希腊时期的函数概念古希腊的几何学家在研究曲线的运动过程中，开始对函数的概念进行初步的探讨。
在古希腊时期，数学家们主要从几何的角度来研究函数，如阿基米德、亚历山大的庞德等人。
他们主要关注几何图形的变化规律，即自变量和因变量之间的关系。
在这一时期，函数的概念主要是从曲线的运动、几何图形的变化中产生，并没有形成系统的数学理论。
17世纪的微积分学在17世纪，微积分学的发展推动了函数概念的进一步深化。
牛顿和莱布尼兹等数学家发展了微积分学，首次明确地提出了函数的概念，并将其作为研究曲线和图形的基本工具。
微积分学将函数的概念与导数、积分等概念结合起来，形成了现代函数论的雏形。
在这一时期，函数的概念逐渐从几何的范畴中脱离出来，成为了一种独立的数学对象。
19世纪的分析学19世纪是函数概念发展的一个重要时期，分析学的兴起推动了函数概念的进一步发展。
在这一时期，柯西、魏尔斯特拉斯等数学家对函数的性质进行了深入研究，提出了连续性、可导性等概念，逐渐建立起了现代函数论的基本框架。
函数的概念开始从简单的数学工具演变为一种抽象的数学对象，其研究不再局限于几何或微积分学的范畴，而是成为了一种独立的数学分支。
20世纪的抽象代数与拓扑学20世纪是函数概念发展的一个新阶段，随着抽象代数和拓扑学的兴起，函数的研究逐渐从实数域扩展到了更一般的数学结构。
在这一时期，泛函分析、代数拓扑等新的数学分支涌现出来，为函数概念的进一步深化提供了新的视角。
函数不再局限于实数域或复数域，而是被推广到了更一般的数学结构上，如度量空间、拓扑空间等。
函数概念在数学应用中的发展除了在纯数学理论中的发展，函数的概念在数学应用中也得到了广泛的应用。
刍议高中数学“概念”教学过程性的方法
刍议高中数学“概念”教学过程性的方法概念是进行判断、推导推理的基础，清晰的概念是正确思维的前提。
由于数学概念是反映空间形式和数量关系的本质属性，数学概念具有高度的抽象性、概括性、系统性等特点。
所以数学概念不是学生通过简单的记诵、记忆就能形成的，它需要借助于学生自己主动的思维思考、积极的建构才能产生成型。
理解数学概念就意味着去建立概念的系统，确定概念之间的依存关系，这就要求在数学概念的教学中，教师应充分展现其形成过程。
一、揭示概念的形成过程数学中每个重要概念的产生历经了前人长期观察、比较、分析、抽象、概括、创造了漫长过程，其形成过程蕴含着数学的思想方法、数学创造方法，展现数学概念形成过程的教学可使学生领悟形成概念的方法，锻炼思维品质，激发学习兴趣，增强内在活力。
使其在学习过程中处于亢奋状态。
让学生从大量具体例子出发，从他们实际经验的肯定例证中，以归纳方式概括出一类事物的共同本质属性，从而获得概念叫概念的形成。
概念可分为以下几个心理活动阶段，以函数概念为例进行阐述。
⑴观察实例，学生观察下列事例中，指出变量与变量的关系。
①以40米/小时速度行驶的汽车，行驶的路程s与时间t。
②用图表给出的某水库的存水量Q与水深h。
③某一天气温F与时刻t。
④某一次考试的班级学生成绩m与学号n。
⑤一个数y是另一个x的平方。
⑵分析共同属性。
分析各实例的属性，并综合出共同属性。
如上例中各实例的共同属性有：①抽象地看成两变量间关系②一个变量随另一个变量变化而变化③一个变量每取定一个值，另一个变量有唯一确定的值与它对应。
⑶抽象出本质属性，经过猜想，假设等过程，最后得到一个变量每确定一个值，另一个变量也唯一确定一个值与之对应，这是本质属性。
⑷比较正反实例，确认本质属性，如例④中反过来n未必是m的函数；例⑤中开平方x=+y 也不是函数，强化本质属性，排除非本质属性。
⑸概括出概念含义，把抽象出的本质属性推广到同类事物，给出名称。
这时还需要进一步区分各种本质属性的从属关系，找出关键的本质属性下定义。
函数概念发展的历史过程
函数概念发展的历史过程函数概念的发展可以追溯到古希腊数学，特别是毕达哥拉斯学派和欧多克斯学派的数学家。
在古希腊的数学中，函数的概念最初是通过几何问题的讨论而产生的，随后逐渐发展成为独立的数学概念。
函数的概念在数学和物理学等领域中扮演着重要的角色，它的发展历程与数学和物理学领域的发展密切相关。
在古希腊时期，毕达哥拉斯学派和欧多克斯学派的数学家开始讨论角度和传统的几何学问题，这些问题往往需要利用变量和关系式来描述。
例如，在求出一个等腰三角形的斜边与底边的关系时，需要描述角度和直角三角形之间的关系，这种描述可以看做是角度与斜边长度的函数关系。
在此过程中，数学家们开始意识到，不同的输入可以对应到不同的输出，即输入和输出之间有一定的关系，这种关系可以通过公式或者表格来表示。
在欧几里得的《几何原本》中，已经出现了对线性函数的讨论。
在古希腊时期，欧几里得就提出了比例和相似的概念，这是对函数概念的提前探索。
另外，在数学家阿基米德的著作中也出现了对曲线形状和其对应的方程关系的讨论，这也为函数的发展奠定了理论基础。
在中世纪和文艺复兴时期，数学家们又开始重新探讨古希腊时期的数学问题，特别是对函数概念的研究。
文艺复兴时期的数学家伽利略、笛卡尔等人，开始将代数和几何联系起来，提出了解析几何和坐标系的概念。
在笛卡尔的《几何学》中，首次将函数的概念和直角坐标系联系起来，提出了函数与坐标之间的对应关系。
这一理论的提出，对函数的发展起到了重要的推动作用。
在17世纪，微积分的发展进一步推动了函数概念的发展。
牛顿和莱布尼兹分别独立地发明了微积分学，引入了函数的导数和积分的概念。
微积分理论的出现，使函数概念得以系统化和深化，为函数的发展奠定了数学基础。
例如在牛顿的《自然哲学的数学原理》中，函数的概念已经被广泛应用于描述物体的运动、速度和加速度等物理现象。
18世纪和19世纪，函数概念得到了进一步的发展。
在18世纪，欧拉和拉格朗日对函数的极限、连续性和泰勒级数进行了深入的研究，引入了许多函数的概念和性质。
函数概念的产生及其背景
后来，人们又给出了这样的定义：如果一个量依赖 着另一个量，当后一量变化时前一量也随着变化， 那么第一个量称为第二个量的函数。“这个定义 虽然还没有道出函数的本质，但却把变化、运动 注入到函数定义中去，是可喜的进步。”
在函数概念发展史上，法国数学家富里埃的工作影 响最大，富里埃深刻地揭示了函数的本质，主张 函数不必局限于解析表达式。1822年，他在名著 《热的解析理论》中说，“通常，函数表示相接 的一组值或纵坐标，它们中的每一个都是任意 的……，我们不假定这些纵坐标服从一个共同的 规律；他们以任何方式一个挨一个。”
化。函数值可以由解析式给出，也可以由 一个条件给出，这个条件提供了一种寻求 全部对应值的方法。函数的这种依赖关系 可以存在，但仍然是未知的。”这个定义 建立了变量与函数之间的对应关系，是对 函数概念的一个重大发展，因为“对应” 是函数概念的一种本质属性与核心部分。
1837年，德国数学家狄里克莱（Dirichlet）
几个式子来加以表示，甚至究竟能否找出表 达式也是一个问题。但是不管其能否用表达
式表示，在狄里克莱的定义下，这个f（x）
仍是一个函数。
狄里克莱的函数定义，出色地避免了以往函数 定义中所有的关于依赖关系的描述，以完全 清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至 此，我们已可以说，函数概念、函数的本质 定义已经形成，这就是人们常说的经典函数 定义。
函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然 只相差几个字，但却是概念上的重大发展， 是数学发展道路上的重大转折，近代的泛 函分析可以作为这种转折的标志，它研究 的是一般集合上的函数关系。
函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革，形 成了函数的现代定义，应该说已经相当完善了。 不过数学的发展是无止境的，函数现代定义的形 式并不意味着函数概念发展的历史终结，近二十 年来，数学家们又把函数归结为一种更广泛的概 念——“关系”。
函数概念发展的历史过程
函数概念发展的历史过程函数概念的发展是数学领域的一项重要进展，经历了长时间的发展过程。
本文将从古希腊时期的初步思考开始，逐步介绍函数概念的发展历程直至现代数学的函数定义。
最早对函数的思考可以追溯到古希腊数学家们对几何曲线的研究。
古希腊的数学家们研究了一系列的曲线，如圆、椭圆和抛物线等等。
他们发现几何曲线上的每一个点都可以通过其坐标来确定，这种坐标的确定性使得数学家们开始思考是否可以将曲线上的点表示为一个或多个变量的函数关系。
直到17世纪，数学家马克思·奥雷利（Marquis de l'Hôpital）首次提出了函数这一词汇，但在这之前，欧洲数学界对于函数的定义还没有达成一致。
那时的数学家们对于函数抱有一种“坐标”的观念，即函数可以描述曲线上的点与坐标的关系。
在18世纪初，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）对函数的研究做出了重要贡献。
他将函数的概念扩展到了复变函数，并系统地研究了指数函数、三角函数和对数函数等等。
他的研究成果对现代数学的发展起到了重要的推动作用。
到了19世纪，法国数学家阿道夫·科斯提（Augustin-Louis Cauchy）和德国数学家卡尔·威尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）提出了一种更加严格的函数定义。
科斯提提出了连续函数的严格定义，并发展了复变函数的理论基础。
威尔斯特拉斯则通过严格的极限定义来定义函数。
这些严格的函数定义使得数学研究更加系统和准确。
20世纪初，法国数学家勒贝格（Henri Léon Lebesgue）提出了测度论的概念，并将其应用于函数的理论研究中。
他提出了勒贝格积分的概念，从而为函数的积分提供了新的方法和工具。
随着数学的发展和应用的拓宽，函数的概念也得到了进一步的发展。
在现代数学中，函数被定义为将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。
这是一种更加抽象和广泛的定义，使得函数的研究可以应用于各个数学领域，如代数、几何、拓扑等等。
《函数概念的发展历程》教学设计
《函数概念的发展历程》教学设计一、教材分析函数的概念是新教材人教B版必修一第三章第一节的内容。
函数是中学数学中最重要的基本概念之一，也是今后继续研究数学的基础,其实质是揭示了客观世界中量的相互依存又相互制约的关系，函数思想更是广泛地渗透到数学研究的全过程.所以函数不仅是一个数学概念，而且是一种人们改造自然过程中必不可少的工具。
因此对函数概念的发展历程的了解，既能加深学生对函数概念的理解，又有着重要的现实意义。
二、学情分析学生在学习本节内容之前，已经在初中学习过函数的概念，并且知道可以用函数描述变量之间的依赖关系。
然而，函数概念本身的表述较为抽象，学生对于动态与静态的认识尚为薄弱，对函数概念的本质缺乏一定的认识，对进一步学习函数的图象与性质造成了一定的难度。
因此考察函数概念的发展历史及其演变过程，无疑有助于学生更深刻、更全面地理解函数的本质。
三、教学目标1、通过对函数概念的历史发展的了解，可以让学生对函数概念了解更加全面、理解更深刻，也可以激起学生对函数学习的兴趣。
2、通过学生们自己体验对资料的搜集、研读、整理、讨论，概括出函数概念的发展过程，可以形成对函数概念本质的切身体验。
3、在学生经历自主研究性学习后，逐步形成善于质疑，乐于探究，勤于思考、努力求知的积极态度，可激发他们探索、创新的欲望。
四、教学重点和难点教学重点：函数概念的产生背景、发展过程；教学难点：对函数概念演变过程的理解。
五、教学过程1、从认识函数概念的来龙去脉的重要性介绍研究意义设计意图：令同学们意识到研究函数概念的发展历程的重要性，激起同学们学习的积极性。
2、利用照片展示学生对素材的搜集、研读、整理、讨论过程。
设计意图：学生利用多种途径获取信息，并学会整理与归纳信息、判断和识别信息的价值，并恰当的利用信息，从过程中可以培养学生收集、分析和利用信息的能力。
通过照片再现过程情境，增强学生自主探究的自信心和成就感，激励学生以积极的情感、饱满的热情投入到学习中。
注重概念形成过程，深刻理解概念本质——《二次函数的概念》教学片段和反思
教学信息本节课是上教版九年级义务教育教材上学期第26章的第一节课——二次函数的概念。
二次函数是初中数学学习中的重要内容之一，它是在学习了正比例函数、反比例函数、一次函数之后的学习内容，它不仅强化了学生对函数概念的深入理解、对研究函数方法进一步熟悉、而且也为高中继续学习其它函数打好基础。
因此本节课采用了整体感知的教学方法，让学生从已学概念函数出发，通过类比一次函数的学习过程，即通过实例，概括、归纳逐步形成，来学习二次函数。
同时，函数的学习也与其他数学知识内容相联系，从而使学生逐步形成运用模型解决问题的意识。
在教学中要重视学生经历二次函数概念的形成和建构过程，在概念的学习过程中，让学生体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义，从而发展学生的学习能力。
现以“二次函数的概念”一课的课堂教学片段为例，谈谈自己在概念教学中的一些想法。
一、课堂教学实录及策略分析（一）联系生活，引出概念1.复习提问，回顾旧知：（1）什么是函数？（2）我们之前已经学习过哪些函数？（3）这些函数解析式和定义域分别是怎样的？课堂实录：通过老师的一系列问题，使学生理解学习函数的基本套路，对于函数的定义域是怎样确定的，可以追问：三个函数的定义域都是一切实数吗？生：不是，正比例函数和一次函数的定义域是一切实数，反比例函数的定义x ≠0的一切实数。
师追问：为什么？生：因为正比例函数和一次函数是表示自变量的代数整式，而反比例函数是表示自变量的代数分式。
在一次函数y=kx+b 中，这里的k 取值有什么要求？生答：k ≠0。
当k=0时，解析式为y=b （b 为常数），这就不是一次函数了。
师：此时是什么函数？生：常值函数。
师：这里的b 可以为零吗？生：可以。
层层设问目的是让学生会对之后学习的二次函数的解析式的表达形式有初步的印象。
）2.联系实际，情境引入师：函数在我们的日常生活中应用十分广泛，下面我们一起来看4个实际问题，其中两个变量之间又会存在怎样的函数关系呢？（1）一个边长为x 厘米的正方形，若它的面积是y 平方厘米，则y 关于x 的函数关系式是________________；（2）一个圆的半径是x 米，另一个圆的半径是1米，若它们的面积和是y 平方米，则y 关于x 的函数关系式是________________；（3）某厂四月份的产值是100万元，设第二季度每个月产值的增长率相同，都为x （x ＞0），六月份的产值为y 万元，则y 关于x 的函数解析式是__________；（4）如图，用长为20米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过20米），围成一个矩形花圃，设AB 边的长为x 米，花圃的面积为y 平方米，则x 的函数关系式是________________；策略分析1：在教学设计时我没有选择直接给出概念，而是把教学重点放在了概念的形成过程。
函数概念的历史发展(完整版)
函数概念的历史发展（完整版）(文档可以直接使用，也可根据实际需要修改使用,可编辑欢迎下载）函数概念的历史发展众所周知，函数是数学中一个重要概念，它几乎渗透到每一个数学分支，因此考察函数概念的发展历史及其演变过程，无疑有助于我们学生更深刻、更全面地理解函数的本职，并且从中得到有益的方法论启示。
1 函数概念的产生阶段—变量说马克思曾认为，函数概念是源于代数中自罗马时代就已经开始的不定方程的研究，那时，伟大的数学家丢番图对不定方程的研究已有相当程度，据此，可以认为函数概念至少在那时已经萌芽。
实际上作为变量和函数的朴素概念，几乎和数学源于同一时期，因为数学家在研究物体的大小及位置关系时，自然会导致通常称为函数关系的那种从属关系。
但是，真正导致函数概念得以迅速发展则是在16世纪以后，特别是由于微积分的建立，伴随这一学科的产生、发展和完善，函数概念也经历了产生、发展和完善的演变过程。
哥白尼的天文学革命以后，运动成为文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，到了16世纪，对于运动的研究已变成自然科学的中心问题。
在这一时期，函数概念在不同科学家那里有着不同形式的描述。
在伽利略的《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数的思想，他用文字和比例的语言表述函数关系。
例如，他提出：“两个等体积圆柱体的面积之比，等于它们高度之比的平方根。
”“两个侧面积相等的正圆柱，其体积之比等于它们高度之比的反比。
”他又说：“从静止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比。
”这些描述非常清楚地表明伽利略已涉及并讨论变量和函数，但他并没有做出一般的抽象，并且也没有把文字叙述表示为符号形式。
几乎与此同时，许多数学家，如托里拆利、瓦里斯、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹等，从不同角度对函数进行了不同程度的研究.有的数学家是把一些具体的函数看成曲线进行研究,尽管当时还没有建立实连续的概念,但数学家却默认曲线都是连续的。
托里拆利就曾对曲线()0≥y ex进行过研究；而瓦里斯在他的《动学》中研究过正弦曲=xae线，并注意到了这一函数的周期性。
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函数过程性概念的发展Development of the ProcessConception of FunctionAuthor(s): Daniel Breidenbach, Ed Dubinsky, Julie Hawks and Devilyna Nichols一、引言 (4)二、函数的认识论（研究的理论体系） (5)三、研究方法及结果分析 (5)(一) 学校环境的结果 (5)1. WHAT IS A FUNCTION? (6)2. EXAMPLES OF FUNCTIONS (6)(二) 计算机学习的效果 (7)1. WHAT IS A FUNCTION? (8)2. EXAMPLES OF FUNCTIONS (8)3. FUNCTIONS IN SITUATIONS (9)四、函数教学方案的效果 (10)在教学治疗完成后，使用三个独立的工具来获得学生的对函数的新概念及其变化。
(10)(一) 研究工具 (10)1. SOME QUESTIONS ABOUT FUNCTIONS (10)2. INTERVIEWS ABOUT FUNCTIONS IN SITUATIONS (10)3. FINAL EXAM (10)(二) 研究结果 (11)1. SOME QUESTIONS ABOUT FUNCTIONS (11)2. INTERVIEWS ABOUT FUNCTIONS IN SITUATIONS (11)3. FINAL EXAM (12)五、结论与启示 (12)摘要我们在本文中的目标是提出两点。
首先，大学生，即使是那些已经参加过相当数量的数学课程的人，对函数概念依然没有很多的了解;其次，我们一直在发展的认识论理论指向了一种使用计算机的指导教学，这导致许多学生学习函数概念实质性改善。
他们可以形成一个函数的过程性概念，并能够使用它来解决数学问题。
在引言结束之后，我们在第二部分概述了我们的研究所基于的理论体系，并指出它如何适用于函数概念。
在第三到五部分中，我们提供了关于这项研究的具体细节，并描述了我们正在考虑的学生中出现的函数过程性概念的发展。
在最后一部分中，我们解释研究结果并得出相应的结论。
Abstract Our goal in this paper is to make two points. First, college students, even those who have taken a fair number of mathematics courses, do not have much of an understanding of the function concept; and second, an epistemological theory we have been developing points to an instructional treatment, using computers, that results in substantial improvements for many students. They seem to develop a process conception of function and are able to use it to do mathematics. After an introductory section we outline, in Section 2, our theoretical epistemology in general and indicate how it applies to the function concept in particular. In Sections 3, 4, and 5 we provide specific details on this study and describe the development of the function concept that appeared to take place in the students that we are considering. In Section 6 we interpret the results and draw some conclusions.一、引言我们认为，“理解函数概念”，如果它超越仅仅是操纵公式或使用维恩图，必须包括一个过程性的概念。
我们希望学生有能力通过构建一个转换（精神）对象的心理过程来解决某种情况。
我们不是第一个观察到一个过程性概念不是在我们文化中的人类自发产生的，也不是大量的学校教育就能在这方面有很大的影响。
参见Sfard（1987）和Even（1988）所做的研究。
我们在第三部分中给出的数据只是更加确认了这个结论。
我们在本文中的意图不仅仅是观察和分类学生学习函数的困难，我们试图从理论的角度来解释这些困难，并使用这种解释来设计教学方案。
根据我们的理论观点，学生似乎不能达到的一个学习函数主要要求是在他们的头脑中构建过程并使用它们来思考函数问题的能力。
我们的研究数据表明，以某种方式使用计算机似乎可以大体上对学生这样的构建能力有所提高。
我们展示他们不能在我们的教学指导之前对函数概念有所构建。
此外，我们提出这是他们的一种新的学习能力的体现，在教学指导后，他们可以成功地解决大大超过他们现阶段能力水平的数学问题。
我们运用的理论视角来组织和解释从我们的观察中获得的大量数据。
我们试图展示一些例子，说明学生如何通过理论分析来建构建概念，我们提出这是因为教学方案侧重于概念的构建。
我们认为研究结果支持我们的理论观点。
我们在本文中关注的学生，大部分是职前教师，主要是中学，但也有一些小学教师。
我们对函数的一些比对这样的学生通常要求或预期更复杂的理解感兴趣。
这些包括使用函数来分析合理复杂的情况，用复杂方式执行具有特定功能的操作（例如，用不同的分割域来组合或乘以两个函数），诸如保留属性如1-1的功能的理论问题，以及其域和范围是函数集的函数。
最后，我们指出，这不是一个孤立的实验。
我们的教学指导和我们所有的观察发生在两个离散数学的班级一学期课程的情况下。
有一本教科书，Baxter et al（1988），它支持我们的方法，这门课程已经在不同机构和不同导师的教学中在几个场合有所运用。
有大量关于学习函数概念的文献，我们参考Leinhardt et al（1990）进行调查。
我们的工作受益于对学生困难的研究，如Thomas（1969），Orton（1970），Herscovics（1982）和Vinner&Dreyfus（1989）；函数概念的分类法，如Lovell（1971）和Dreyfus&Eisenberg（1983）;考虑课程排序，如Buck（1970）和Freudenthal （1982）;理论分析如SfaFd（1987）;由Schoenfeld（1990）等人开发的微观世界，以及多个表示的研究，如Kaput（1987）。
我们非常依赖Piaget对函数概念（Piaget，1977）和他的关于函数整体理论的基本研究。
他研究从4岁到14岁的学生，并对函数概念、因果关系和他所谓的操作的概念之间的认识论关系感兴趣，主要（但不是唯一地）涉及形式f（x）= ax的非常简单的函数，并试图说明这样的函数如何导致比例的概念。
我们的工作与皮亚杰不同，我们关心的是年龄较大的学生，以及教学设计、实施和评估。
我们在这一领域的工作开始于Ayres（1988）与Dubinsky和Lewin（1986）和Dubinsky et al（1989）等人。
本研究中的学生主要是二年级和初级数学专业，准备成为高中，中学或小学数学教师。
在开始课程之前，他们已经接受了相当数量的本科数学，包括完整的计算序列。
他们在数学上的表现可能很平凡。
这个课程共有62名学生。
二、函数的认识论（研究的理论体系）我们正在开发的数学认识论与诸如本文中所报道的研究在诸如Dubinsky （1991）的许多论文中有所描述。
我们在这里只给出一般性理论体系，以及我们如何尝试将其应用于函数的概念。
我们从下面的论述开始（Dubinsky，1989）：“一个人的数学知识是她或他倾向于通过构建、重建和组织心理过程和对象来应对某些类型的感知问题情境。
在这里我们没有讨论这个论述提出的几个重要问题的篇幅。
本文感兴趣的是，将这种观点应用于数学（或任何其他主题）包括确定构建的具体过程和对象的性质，以及当研究数学时如何组织它们。
动作是任何可重复的物理或精神操纵，以转换对象（例如，数字，几何图形，集合）来获取对象。
当整个行动可以完全在主体的思想中进行，或者只是被想象为发生，而不必贯穿所有具体步骤，我们说行动已经被内化为一个过程。
然后，受试者可以使用该过程来获得新过程，例如通过逆转过程或与其它过程协调它。
这不是对动作和过程之间的区别的完全令人满意的描述。
我们认为这样的规范是一个重要的开放性问题，需要进一步研究，这将是未来论文的目的。
我们在这里给出了我们开始研究的这种区别的理解，并且在第6.4节中，我们描述了基于本文中描述的工作的改进的，更可操作的版本。
最后，当一个进程可能被一些动作转化时，我们说它已经被封装成一个对象。
根据这个理论，虽然有几种方法来构建过程（内部化动作、反向或组合过程），只有一种方法来制作一个数学对象—通过封装一个过程。
这一点的重要性在于，在许多数学情况下，必须能够从对象返回到过程。
理论的原理之一是，这只能通过解封装对象来完成，也就是说，回到被封装以便首先构造对象的过程。
我们现在将一般理论与具体的数学概念联系起来。
在本文中，我们的重点将是函数作为过程性概念。
仅简要提及与过程相关的对象概念。
我们考虑三种思考方式：前置，行动和过程。
对于前置函数，我们认为主体实际上不显示非常多的函数概念。
无论术语对于这样的主题意味着什么，这个含义在执行与功能相关的数学活动中所要求的任务中不是非常有用。
我们将在下一节中提供一些初步概念的例子。
动作是对对象的可重复的心理或物理操纵。
这种功能概念将涉及例如将数字插入代数表达式并计算的能力。
这是一个静态的概念，因为主体将倾向于一次一个步骤（例如，表达式的一个评估）。
一个学生的功能理解只限于行动，可能能够形成通过代数表达式给出的两个函数的组合，将一个表达式中的每个变量替换为另一个表达式，然后简化，但他或她可能会在更一般的情况下无法编写两个函数，例如，当函数具有拆分域时，或者如果它们根本不是由表达式给出。
函数的过程概念包括根据某些可重复手段的对象的动态变换，给定相同的原始对象将总是产生相同的变换对象。