函数概念的发展
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【最新整理，下载后即可编辑】函数概念的历史发展函数概念是中学中最重要的概念之一，它既是数学研究的对象，又是解决数学问题的基本思想方法。
早在16、17世纪，生产和科学技术的发展要求数学不仅研究静止不动的量，而且要研究运动过程中各个量之间的依赖关系，从而促进数学由常量上学时期进入到变量数学时期。
函数也就成为研究变量数学必不可少的概念。
函数（function ）一词，始用于1692年，见著于微积分创始人之一莱布尼兹G.W.Leibnic,1646—1717）的著作。
而f(x)则由欧拉（Euler ）于1724年首次使用。
我国于1859年引进函数的概念，它首次是在清代数学家李善兰与英国传教士伟烈亚历山大合译的《代微积拾级》中出现。
函数在初高等数学中，在物理、化学和其他自然科学中，在经济领域和社会科学中，均有广泛的应用，起着基础的作用。
函数的概念随着数学的发展而发展，函数的定义在发展过程中不断地精确、完善、抽象，函数的概念也不断得到严谨化、精确化的表达。
牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出的“生成量”就是函数概念的雏形。
最初，函数是表示代数上的幂（23,,,x x x …），1673年，莱布尼兹把任何一个随着曲线上的点变动的几何量，如切线、法线，以及点的横坐标都成为函数。
一、解析的函数概念在18世纪占主导地位的观点是，把函数理解为一个解析表达式．1698年，瑞士著名数学家约翰·贝努利定义：由变量x 和常量用任何方式构成的量都可以称为x 的函数．这里任何方式包括代数式子和超越式子．1748年，约翰的学生，杰出数学家欧拉在它著名的《无穷小分析引沦》中把函数定义为“由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式”，这就把变量与常量以及由它们的加、减、乘、除、乘方、开方和三角、指数、对数等运算构成的式子，均称为函数．并且，欧拉还给出了函数的分类，把函数分为：代数函数与超越函数，有理函数与无理函数，整函数与分函数，单值函数与多值函数．当时把函数看作一个解析表达式的还有著名的法国数学家达朗贝尔和拉格朗日．但这种解析的函数概念有其局阳性，如某些变量之间的对应关系不能用解析式子表达出来，那么根据这个定义就不能称之为函数关系．例如著名的狄利克雷（D1richkt）函数1 D(x)=0x x⎧⎨⎩，为有理数，为无理数二、几何的函数概念因为解析表达式在几何上可表示为曲线，一些数学家把曲线称为函数．1746年，达朗贝尔在研究弦振动问题时，提出了用单独的解析表达式给出的曲线是函数．后来欧拉发现有些曲线不一定是由单个解析式给出的，他提出了一个新定义：函数是“xy平面上随手画出来的曲线所表示的y与x间的关系”．即把函数定义为一条随意画出来的曲线．欧拉称之为任意函数，即包括了由单个解析表达式给出的连续函数，也包括由若干个解析式表示的不连续函数(“不连续”函数的名称是欧拉首次提出的)．但是，欧拉的观点没有被达朗贝尔接受，并展开了激烈争论．1822年，法国数学家傅立叶提出了任意函数可展开为三角级数，这实际上是说，不管是连续函数或不能用解析表达式给出的函数(凡能用图形给出)都可以用三角级数表示．因此也说明了，仅从表达式是否“单一”，或函数是否连续来区别是不是函数，显然是不合理的．傅立叶在论文《热的分析理论》中，证明了“由不连续的线给出的函数，能用一个三角函数式来表式”．他举例指出图7．2．1所示的不连续曲线，表达式有无穷多个，即,2(21)40,0,1,2,,(21)2(1)4k x k y x k k k x k πππππππ⎧<<+⎪⎪===±±⎨⎪⎪-+<<+⎩…但可以用单一的三角式表示为sin sin sin 135x x x y =+++…这有力地揭示了，用函数表示式的“单一”与否来区别函数的真伪是不行的，不久人们进一步发现了同一曲线即可用同一个函数，也可用两个以上的函数表示的种种例子：三、科学定义的雏形1775年，欧拉在《微分学》一书中，给出了函数的另一定义：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后者变化时前者也随之变化，则称前面的变量为后面变量的函数．”值得指出的是这里的“依赖”，“随之变化”等的含意不十分确切．例如g ＝x^2，当x 取一3，十3时y 均等于9，y 没有变化．又如常量函数y ＝c ，不论x 如何变化y 总是一个不变的值．因此，该定义限制了函数的外延，只能算函数概念的科学雏型．19世纪最杰出的法国数学家柯西也给出了如下函数定义：“若当x 的每个值，都有完全确定的y 值与之对应，则称y 是f 的函数．”此定义澄清了函数概念与曲线、连续、解析式等纠缠不清的关系，也避免了数学意义欠严格的“变化”一词，但对函数概念的本质---对应思想强调不够．而且，当时柯西仍然考虑f和y的关系用若干个解析式表示的情况．其实，所谓用解析式表示这一点，对x与y的关系并无多大意义，因此该定义也只能算科学函数概念的维型．四、函数概念的精确化1837年，德国数学家黎曼和狄里克雷克服了前述定义的缺陷，给出函数概念的精确化表述：“若对x的每一个值，有完全确定的y值与之对应，不管建立起这种对应的方式如何，都称y 是x的函数．”这个定义彻底地抛弃了前述一些定义中解析式等的束缚，特别强调和突出函数概念的本质——对应思想，使之具有更加丰富的内涵．因而，此定义可视为称得上科学的函数定义．按照此定义，1 D(x)=0x x⎧⎨⎩，为有理数，为无理数就是一个函数了．五、函数定义域限制的取消前述定义基本上达到了精确化的表达．但它对自变量x却存在着一些限制，只允许它在实数集或在实数区间上取值，而不能像f(x)的值那样，既允许取连续的，也允许取不连续的值．因此，为使函数概念的适用范围更加广泛，使保y＝f(x)＝1/x!(x为正整数)也可看作函数，就促使函数概念朝着取消函数定义域限制的方向发展．为此，人们又给出了如下函数概念：“函数y＝f(x)的自变量x可以不必取区间[a，b]中的一切值，而可以仅取其中任一部分．”换句话说是x的取值范围可以是任一数集．这就解除了对自变量x的限制，使函数概念较前广泛得多了．但是，自变量及函数值仍然仅限于数的范围，随着数学的发展．函数概念仍需拓广．六、近代函数定义为了克服上述的局限性，必须重新认识“变量”、“变域”、“常量”等概念．美国数学家维布伦认为：变量是代表某集合中任意一个“元素”的记号．由变量所表示的任一元素，称为该变量的值．变量x所代表的“元素的集合”，称为该变量的变域，而常量是特殊的变量，它是上述集合中只包含一个“元素”情况下的变量．这突破丁“变量是数”的限制，变量可以是数，也可以是别的，如点、线、面、体、向量、矩阵、函数、算子等等，甚至可以泛指任何一种研究对象，这样“变量”、“变域”、“常量”的意义较前一般化了，在此基础上，维布伦给出了近代函数定义：若在变量y的集合与另一变量x的集合之间，有这样的关系成立，即对x的每一值，有完全确定的y与之对应，则称变量y是变量x的函数．建立在“集合对应”基础上的这一函数定义，使得函数概念能广泛地应用于数学的各个分支中，比如，数学分析，复变函数，实变函数，泛函分析中．七、集合函数进人20世纪以后，在德国数学家康托创立的集合论基础上，人们对函数的认识又有深化，出现了“集函数”和“用集合定义的函数”，前者可这样表述：对于以集合为元素构成的集合P的每一个元素A．如果在另一个以集合为元素构成的集合Q中有完全确定的元素B与之对应，那么集合Q叫做集合P的集合函数．显然，当P、Q中的元素A、B是由单元素集构成时，该定义与维布伦的函数定义相吻合．我们说勒贝格(Lebesgue)测度mE是集函数，是把可测集类n 视为这定义中P，非负实数(包括十∞)的单元素集构成的集为这定义中的Q．当然，长度、面积、体积等也可视为集函数．20世纪60年代后，人们开始视函数为集合，这种定义可表述为：设A，B是两个集合，f是乘积⨯=∍∍A B x y x A y B{(,)|,}的一个子集，如果当(x，y)且(x，z)时，总有y＝z，则称f为一个函数．当B为实数集时，此定义确定了一实值函数f，当A，B均为实数集时，定义确定的函数f与数学分析中函数f的定义一致．八、总结目前，使用较多的定义有如下三种：定义1设在某个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，就说y是x的函数，x叫做自变量。
函数的发展历程
函数的发展历程一、古希腊时期古希腊数学家希腊斯科特·伯涅劳斯（Scctonius）在公元前4世纪就提出了函数的概念。
他用字母表示一个量，并用等式将这个量和另一个量联系在一起。
例如，他用f(x)表示x的平方，即f(x)=x^2。
但是，他并没有将函数作为独立的数学概念来看待，只是作为一种辅助工具。
二、17世纪17世纪是函数发展的重要时期。
著名数学家斯特林（Stevin）在其著作《五十个数学问题》中提出了函数的概念。
他指出，函数是一种可以用数学公式表示的规律，即f(x)=x^2。
三、18世纪18世纪是函数发展的关键时期。
著名数学家莫尔（Leibniz）在公元1694年提出了微积分的概念。
他认为，微积分是一种研究变化的工具，可以用来研究连续函数的变化。
这为函数研究开辟了新的天地。
四、19世纪19世纪是函数发展的全盛时期。
著名数学家高斯（Gauss）在公元1801年提出了高维空间的概念。
他认为，高维空间是一个可以用函数表示的数学模型，即可以用函数来描述多维空间的性质。
这为函数的研究提供了更加广阔的空间。
五、20世纪20世纪是函数发展的高潮时期。
著名数学家华罗庚（Huang Qiu-Guang）在公元1943年提出了泛函分析的概念。
他认为，泛函分析是一种研究函数性质的数学方法，可以用来研究连续函数和离散函数的性质。
这为函数的研究提供了更加丰富的内容。
六、21世纪21世纪是函数发展的新时期。
计算机技术的发展使得函数在计算机科学和工程领域中发挥着越来越重要的作用。
函数也被广泛用于数据挖掘和人工智能领域，为科学技术的发展做出了重要贡献。
综上，函数作为一种独立的数学概念，在古希腊时期就已经提出，但是直到17世纪才得到正式的定义。
随着时间的推移，函数在数学和工程领域的应用越来越广泛，为科学技术的发展做出了巨大贡献。
函数概念的发展历程
函数概念的发展历程
17世纪，科学家们致力于运动的研究，如计算天体的位置，远距离航海中对经度和纬度的测量，炮弹的速度对于高度和射程的影响等.诸如此类的问题，都需要探究两个变量之间的关系，并根据这种关系对事物的变化规律做出判断，如根据炮弹的发射角和初速度推测它能达到的高度和射程.这正是函数概念产生和发展的背景.
“function”一词最初由德国数学家莱布尼茨在1692年使用.在中国，清代数学家李善兰在1859年和英国传教士伟烈亚力合译的《代微积拾级》中首次将“function”译作“函数”.
莱布尼茨用“函数”表示随曲线的变化而改变的几何量，如坐标、切线等，1718年，他的学生，瑞士数学家约翰伯努利强调函数要用公式表示.后来，数学家认为这不是判断函数的标准，只是一些变量变化，另一些变量随着变化就可以了.所以，1755年，瑞士数学家欧拉将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数”.
随着对微积分研究的深入，18世纪末19世纪初，
人们对函数的认识向前推进了.德国数学家狄利克雷在1837年提出：“如果对于X的每一个值，Y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是X的函数，这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个X有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图像、表格的形式表示.例如，狄利克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为1；自变量取无理数时函数值为0.它只能用对应的语言予以表达.19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述.。
函数概念的历史发展(完整版)
函数概念的历史发展（完整版）(文档可以直接使用，也可根据实际需要修改使用,可编辑欢迎下载）函数概念的历史发展众所周知，函数是数学中一个重要概念，它几乎渗透到每一个数学分支，因此考察函数概念的发展历史及其演变过程，无疑有助于我们学生更深刻、更全面地理解函数的本职，并且从中得到有益的方法论启示。
1 函数概念的产生阶段—变量说马克思曾认为，函数概念是源于代数中自罗马时代就已经开始的不定方程的研究，那时，伟大的数学家丢番图对不定方程的研究已有相当程度，据此，可以认为函数概念至少在那时已经萌芽。
实际上作为变量和函数的朴素概念，几乎和数学源于同一时期，因为数学家在研究物体的大小及位置关系时，自然会导致通常称为函数关系的那种从属关系。
但是，真正导致函数概念得以迅速发展则是在16世纪以后，特别是由于微积分的建立，伴随这一学科的产生、发展和完善，函数概念也经历了产生、发展和完善的演变过程。
哥白尼的天文学革命以后，运动成为文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，到了16世纪，对于运动的研究已变成自然科学的中心问题。
在这一时期，函数概念在不同科学家那里有着不同形式的描述。
在伽利略的《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数的思想，他用文字和比例的语言表述函数关系。
例如，他提出：“两个等体积圆柱体的面积之比，等于它们高度之比的平方根。
”“两个侧面积相等的正圆柱，其体积之比等于它们高度之比的反比。
”他又说：“从静止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比。
”这些描述非常清楚地表明伽利略已涉及并讨论变量和函数，但他并没有做出一般的抽象，并且也没有把文字叙述表示为符号形式。
几乎与此同时，许多数学家，如托里拆利、瓦里斯、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹等，从不同角度对函数进行了不同程度的研究.有的数学家是把一些具体的函数看成曲线进行研究,尽管当时还没有建立实连续的概念,但数学家却默认曲线都是连续的。
托里拆利就曾对曲线()0≥y ex进行过研究；而瓦里斯在他的《动学》中研究过正弦曲=xae线，并注意到了这一函数的周期性。
函数概念发展史
制作人：唐沁
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1.早期函数概念
几何观念下的函数 十七世纪伽俐略 (G.Galileo，意，1564-1642)在《两门 新科学》一书中，几乎全部包含函数 或称为变量关系的这一概念，用文字 和比例的语言表达函数的关系。1673 年前后笛卡尔(Descartes，法，15961650)在他的解析几何中，已注意到 一个变量对另一个变量的依赖关系， 但因当时尚未意识到要提炼函数概念， 因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹 建立微积分时还没有人明确函数的一 般意义，大部分函数是被当作曲线来 -研-- 究的。
1667-1748 瑞士数学
家
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欧拉
L．Euler 1707－1783 瑞士数学家
把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依
赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前
面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为
后面变量的函数。”————Euler
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3.十九世纪函数概念--对应关系下的函数
1821年，柯西(Cauchy，法，1789-
1718年约翰•贝努利(Johann Bernoulli ，瑞，1667-1748)在 莱布尼兹函数概念的基础上对 函数概念进行了定义:“由任一 变量和常数的任一形式所构成 的量。”他的意思是凡变量x和 常量构成的式子都叫做x的函 数，并强调函数要用公式来表 示。
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约翰·伯努利
（Bernoulli Johan）
狄利克雷
P.G.L.Dirichlet
1805－1859
德国数学家
2020/4/2
等到康托(Cantor，德，1845-1918)创 立的集合论在数学中占有重要地位之后， 维布伦(Veblen，美，1880-1960)用 “集合”和“对应”的概念给出了近代 函数定义，通过集合概念把函数的对应 关系、定义域及值域进一步具体化了， 且打破了“变量是数”的极限，变量可 以是数，也可以是其它对象。
函数概念发展史
函数概念发展史
函数概念的发展史可以追溯到17世纪和18世纪。
以下是函数概念的发展历程：
- 1718年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为：“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量。
”意思是凡变量和常量构成的式子都叫做函数。
贝努利强调函数要用公式来表示。
- 1755年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。
”在欧拉的定义中，就不强调函数要用公式表示了。
- 1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。
”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词。
- 1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基进一步提出函数的定义：“函数是这样的一个数，它对于每一个都有确定的值，并且随着一起变化。
函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法。
函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。
”这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系，可以求出每一个的对应值。
- 1837年，德国数学家狄里克雷认为怎样去建立与之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于x的每一个值，总有一个完全确定的y值与之对应，则y是x 的函数。
”这个定义抓住了概念的本质属性，变量y称为x的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的值和它对应就行了，不管这个。
函数概念发展的四个重要时期
函数概念发展的四个重要时期一、函数概念的萌芽时期函数思想是随数学开始研究事物的运动变化而出现的。
早期的数学是不研究事物的运动变化的。
古希腊数学家亚里斯多德曾指出，数学研究的是抽象的概念，而抽象概念是来自事物静止不动的属性。
例如数学中的数、线、形，这些数学对象都不包括运动，运动变化是物理学研究物体的对象，等等。
受其影响，直到14世纪，数学家才开始研究物体的运动问题。
到了16世纪，因为实践的需要，自然科学转向对运动的研究，自然各种变化和各种变化着的量之间的关系成为数学家注意的对象。
伽利略是最早展开这方面研究的科学家之一，在他的著作中多处使用比例的语言表达了量与量之间的依赖关系，例如从静止状态自由下落的物体所经过的距离与所用时间的平方成正比，等等。
这正是函数概念所表达的思想意义。
16世纪法国数学家笛卡尔在研究曲线问题时，注意到量的变化及量之间的依赖关系，在数学中引时了变量思想，成为数学发展的里程碑，也为数函数的产生准备了思想基础。
但直到17世纪下半期，牛顿-莱布尼茨建立微积分时还没有明确的函数概念。
函数作为数学术语是由德国数学家莱布尼茨在1673年引进的，当时莱布尼茨指的是曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂结的长度等，凡与曲线上的相关的量，称为函数。
从这个定义能够看出，莱布尼茨利用了几何概念，在几何的范围内提示了某些量之间的依存关系。
总之，18世纪以前，函数的研究多从属于曲线的研究，带有“几何”烙印的莱布尼茨的函数定义厅以说是这个时期函数思想发展的总结。
二、函数概念的“解析定义”时期18世纪微积分的发展促动了函数概念“解析定义的发展。
出生于伯努利家族的雅各.伯努利和约翰.伯努利两兄弟，在数学的很多领域有过建树，他们不但整理加工了莱布尼茨零碎而又是梗概性的文章，而且他们对函数概念的发展也做了创造性的工作。
在研究积分计算问题上，约翰.伯努力认为：积分计算的目的是给定变量的微分中，找出变量本身之间的关系。
函数概念的发展历程
函数概念的发展历程函数的概念是数学中重要的基本概念之一，它的发展历程可以追溯到古希腊时期。
本文将详细介绍函数概念的发展历程。
1.古希腊阶段（公元前6世纪-公元前3世纪）在古希腊时期，人们已经开始研究直线、圆和曲线等几何概念。
但是，他们并没有明确讨论函数的概念。
然而，他们开始研究变化的概念，比如速度和加速度，这种变化可以被看作是一些量随着时间的变化而变化。
阿基米德（Archimedes）是古希腊数学家中首次涉及变化和速度的人之一，他使用无穷小的思想来研究速度和曲线的切线。
2.印度数学阶段（公元5世纪-公元7世纪）在印度，数学家Aryabhata（公元476年 - 公元550年）和Brahmagupta（公元598年 - 公元668年）开始研究分析几何和负数的概念。
他们还研究了三角函数，并将其称为"jya"或"kojya"，这些函数是角的正弦和余弦。
尽管他们没有明确将这些函数称为“函数”，但他们的研究为后来函数概念的发展奠定了基础。
3.集合论阶段（18世纪）在17世纪，数学家逐渐开始研究关于连续性、极限和变化的问题。
然而，真正将函数概念系统化的是18世纪的数学家和哲学家。
法国数学家René Descartes（1596年 - 1650年）是最早提出函数概念的人之一、他将函数定义为一个表达式或者规则，它将输入映射到输出。
与此同时，数学家Leonhard Euler（1707年 - 1783年）对函数的概念进行了更详细的研究，并提出了极限和连续性的概念。
17世纪英国数学家IsaacNewton（1643年 - 1727年）和德国数学家Gottfried Leibniz（1646年- 1716年）发明了微积分，这一方法论为函数研究提供了强有力的工具。
4.现代函数论阶段（19世纪）19世纪是函数概念发展的重要时期，特别是在实分析和复分析的领域。
实分析是关于实数和函数的研究，而复分析是关于复数和函数的研究。
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•初中数学新课程标准解读
一、函数概念的发展
从古希腊到十七世纪末这样一个漫长的时期内，并不存在一般函数的定义，就是到了牛顿、莱布尼兹的微积分问世时，函数的一般定义仍没诞生，原因在于：数学家们一直同具体的函数打交道，对具体函数求导、积极分、讨论各种各样的问题，并没有感到定义一般函数概念的需要和动机。
"function"这个词来自于莱布尼兹，他首先用"function"表示"幂"，后来他又用它表示曲线上的点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线长度等所有与曲线上的点有关的几何量，莱布尼兹的两次定义，正反映出函数的几何的和代数的特性。
1718年，莱布尼兹的学生约翰·贝努利继承了代数的思想，把"function"的含义固定在"解析表达式上"，他说："所谓变量的函数，就是指由这些变量和常量所组成的解析表达式"。
而欧拉则继承了几何的思想，认为"function"思想指任意画出的曲线，并把这种函数叫"随意函数"。
这时出现了争论，欧拉认为函数是指任意的曲线，即任意曲线都是函数。
而达朗贝尔则认为不是这样，他从解析式出发认为，只有可以用单一解析式表达的曲线才是函数，而且认为能用单一解析式表达的曲线只有连续且光滑的曲线。
因而，只有连续曲线才是函数。
可以看出，两位数学家争论的焦点在于曲线与解析式之间的
关系，欧拉认为他的定义更广泛，因为任意描画的曲线比任意解析式具有更广的意义，解析表达式可以描为某曲线，而任意曲线不一定有相应的解析式。
达朗贝尔则认为只有连续曲线才能用唯一的解析式表达，才是函数，至于任何唯一解析式的所代表的曲线是否连续，他则没有考虑。
然而，付里叶的研究使数学界大吃一惊，付里叶的结论是："由不连续曲线给出的函数，可以用一个三角函数式表示，"并举例指出下图那样的不连续曲线虽然用
这单一的式子表示出来。
付里叶的研究表明：在解析式与曲线之间并没有不可逾越的鸿沟，通过级数可以把它们相互勾通。
那种视函数为解析式的观点终于得以澄清。
历史的缩影可以在学生的学习中找到，中学生把函数与解析式等同是及其普遍的。
既然函数不再要求用唯一的解析式来表示，所以，无论y是用一个式子还是用多个式子表示都无关紧要，只要对于x的每一个值，y有完全确定的值与之对应，则y就是x的函数，柯西便给出了函数如下定义：对于x每个值，如果y有完全确定的值与之对应，则y叫做x的函数。
由于认识到了解析式对于x与y的关系并无多大意义，所以黎曼和狄里克需更进一步，他们完全抛弃解析式的限制，定义了我们所常说的结论的函数定义：对于x的每个值，如果y有完全确定的值与之对应，不论x、y所建立的对应方式如何，y都叫做x的函数。
至此，函数y已可以任意取值。
然而，自变量的取值却受为约束，这里自变量所能取的值总是一个区间，且自变量总被认为是连续取值的，这显然是一种人为的限制，于是数学家又摆脱了这个限制，指出：
"对于函数f(x)中的自变量x，不必取区间［a,b］上的所有值，而只取其中的任意一些就可以了，换言之，作为x，如果允许在取数中的任意集合，那么不管这些数是有限个还是无限个都是允许的。
但函数的定义仍有不足之处。
首先，变量x与y的取值范围都是数集；其次，函数是以变量为原始概念的，一开始变量又与物理运动相联系的，其意义狭窄不说，而且离开运动而单独去谈变量显然是无意义且又是模糊的，这些被维布伦和林纳所发现，他们便通过对变量进行定义，相应地定义了变域、常量、变量的值等等，在此基础上重新定义了函数。
所谓变量就是代数某集合中任意一个"元素"的记号，组成这一集合的元素既可以是数，也可以不是数。
变量x所代表的"元素的集体"叫做这个变量的变域，常量是特殊的变量，它是上述集合中只包含一个"元素"情况下的变量，由变量x所代表的任意的元素，叫做这个变量的值，于是他们接着定义函数为："在变量y的集合与另一变量x的集合之间，如果存在着'对于x的每个值，y都有确定值与之对应'这样的关系，那么变量y叫做x的函数"。
数集到数集的映射，就是古典数学的函数定义，"数集"与"集"仅一字之差，但含义却有本质的区别，它把函数的古典概念推进到现代集合论的范畴中来，实现了函数概念的重大解析，在现代数学中，常不区别映射，函数、变换，算子，视它们为同义语，按学科的需要而使用。
中学数学中把函数归结为数集到数值的映射，正是为了衔接现代数学的需要。
尽管如此，函数的定义仍然是不严格的：函数概念进入了集合论范畴，就应该纯粹地使用集合论语言。
在函数定义中，X，Y是集合，但从X到Y的"对应"是对外来的，不是集合论本身的语言，且在集合论中"集合"是原始概念，不加定义，数学家们希望一切数学概念应从原始概念派生、发展而来。
"对应"未经定义而使用，在数学中显然是不允许的，所以数学家们完全运用集合论的语言，在定义"有序"、"有序组"、"笛卡尔积"、"关系"以后，把函数定义为特殊的关系，这样就回避了"对应"这一未加定义的术语。
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