函数概念发展史
函数de发展史
函数概念 欧拉 L．Euler 1707－1783 瑞士数学家
如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一 些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变 量也随之变化，则将前面的变量称为后面变量的 函数． ————Euler
函数概念
狄利克雷 P.G.L.Dirichlet 1805－1859 德国数学家
函数概念的发展历程
函数概念
“function”一词最初由 德国数学家莱布尼兹在1692 年使用． 用“function”表示随曲 线的变化而改变的几何量， 如坐标、切线等．
莱布尼兹 G．W．Leibniz 1646－1716 德国数学家
函数概念
约翰· 伯努利（Bernoulli Johan） 1667-1748 瑞士数学家 强调函数要用公式表示．
17
47 x 16cos t 5 cos t 3 y 12si nt 3 si n 44 t 3
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现实世界是数学的丰富源泉,数 学源于生活、寓于生活、用于生活。 数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大,粒 子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变, 日用之繁,无处不用数学。这是对数学 与生活的精彩描述。这次学习，希望 我们体会到了数学的魅力。
如果对于x的每一个值，y总有完全确定的 值与之对应，则y是x的函数．
函数概念
李善兰 1811－1882 清朝数学家
在1859年和英国传教士伟烈亚力和译的《代 微积拾积》中首次将“function”译做“函数”．
函数的应用
对数函数
叶形线 其解析式为：x3+y3=3axy
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李萨茹曲线
其中
-5
0 x
5
10
Байду номын сангаас
函数概念的发展历史
函数概念的发展历史1.早期函数概念几何观念下的函数十七世纪伽俐略(G.Galileo，意，1564-1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。
1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596-1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。
1673年，莱布尼兹首次使用function(函数)表示幂，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。
与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用流量来表示变量间的关系。
2.十八世纪函数概念──代数观念下的函数1718年约翰柏努利(Johann Bernoulli ，瑞，1667-1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量。
他的意思是凡变量x 和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。
1755，欧拉(L.Euler，瑞士，1707-1783) 把函数定义为如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。
18世纪中叶欧拉(L.Euler，瑞，1707-1783)给出了定义：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。
他把约翰贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了随意函数。
不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。
3.十九世纪函数概念──对应关系下的函数1821年，柯西(Cauchy，法，1789-1857) 从定义变量起给出了定义：在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。
函数的发展历程
函数的发展历程一、古希腊时期古希腊数学家希腊斯科特·伯涅劳斯（Scctonius）在公元前4世纪就提出了函数的概念。
他用字母表示一个量，并用等式将这个量和另一个量联系在一起。
例如，他用f(x)表示x的平方，即f(x)=x^2。
但是，他并没有将函数作为独立的数学概念来看待，只是作为一种辅助工具。
二、17世纪17世纪是函数发展的重要时期。
著名数学家斯特林（Stevin）在其著作《五十个数学问题》中提出了函数的概念。
他指出，函数是一种可以用数学公式表示的规律，即f(x)=x^2。
三、18世纪18世纪是函数发展的关键时期。
著名数学家莫尔（Leibniz）在公元1694年提出了微积分的概念。
他认为，微积分是一种研究变化的工具，可以用来研究连续函数的变化。
这为函数研究开辟了新的天地。
四、19世纪19世纪是函数发展的全盛时期。
著名数学家高斯（Gauss）在公元1801年提出了高维空间的概念。
他认为，高维空间是一个可以用函数表示的数学模型，即可以用函数来描述多维空间的性质。
这为函数的研究提供了更加广阔的空间。
五、20世纪20世纪是函数发展的高潮时期。
著名数学家华罗庚（Huang Qiu-Guang）在公元1943年提出了泛函分析的概念。
他认为，泛函分析是一种研究函数性质的数学方法，可以用来研究连续函数和离散函数的性质。
这为函数的研究提供了更加丰富的内容。
六、21世纪21世纪是函数发展的新时期。
计算机技术的发展使得函数在计算机科学和工程领域中发挥着越来越重要的作用。
函数也被广泛用于数据挖掘和人工智能领域，为科学技术的发展做出了重要贡献。
综上，函数作为一种独立的数学概念，在古希腊时期就已经提出，但是直到17世纪才得到正式的定义。
随着时间的推移，函数在数学和工程领域的应用越来越广泛，为科学技术的发展做出了巨大贡献。
函数发展史
函数发展简史最早提出函数（function）概念的，是１７世纪德国数学家莱布尼茨．后又经历了贝努利、欧拉等人的改译。
１８２１年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数，在柯西的定义中，首先出现了自变量一词。
１８３４年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系以求出每一个ｘ的对应值．康托尔自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数概念就是现在高中课本里用的了。
. 中文数学书上使用的“函数”一词是转译词．是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》一书时，把“function”译成函数。
优美的函数图象笛卡尔的故事当时法国正流行黑死病，笛卡儿不得不逃离法国，于是他流浪到瑞典当乞丐。
某天，他在市场乞讨时，有一群少女经过，其中一名少女发现他的口音不像是瑞典人，她对笛卡儿非常好奇，于是上前问他…… 你从哪来的啊? “法国”“你是做什么的啊?” “我是数学家。
” 这名少女叫克丽丝汀，18岁，是一个公主，她和其它女孩子不一样，并不喜欢文学，而是热衷于数学。
当她听到笛卡儿说名身份之后，感到相当大的兴趣，于是把笛卡儿邀请回宫。
笛卡儿就成了她的数学老师，将一生的研究倾囊相授给克丽丝汀。
而克丽丝汀的数学也日益进步，直角坐标当时也只有笛卡儿这对师生才懂。
后来，他们之间有了不一样的情愫，发生了喧腾一时的师生恋。
这件事传到国王耳中，让国王相当愤怒！下令将笛卡儿处死，克丽丝汀以自缢相逼，国王害怕宝贝女儿真的会想不开，于是将笛卡儿放逐回法国，并将克丽丝汀软禁。
笛卡儿一回到法国后，没多久就染上了黑死病，躺在床上奄奄一息。
笛卡儿不断地写信到瑞典给克丽丝汀，但却被国王给拦截没收。
所以克丽丝汀一直没收到笛卡儿的信…… 在笛卡儿快要死去的时候，他寄出了第13封信，当他寄出去没多久后...就气绝身亡了。
函数概念的历史发展(完整版)
函数概念的历史发展（完整版）(文档可以直接使用，也可根据实际需要修改使用,可编辑欢迎下载）函数概念的历史发展众所周知，函数是数学中一个重要概念，它几乎渗透到每一个数学分支，因此考察函数概念的发展历史及其演变过程，无疑有助于我们学生更深刻、更全面地理解函数的本职，并且从中得到有益的方法论启示。
1 函数概念的产生阶段—变量说马克思曾认为，函数概念是源于代数中自罗马时代就已经开始的不定方程的研究，那时，伟大的数学家丢番图对不定方程的研究已有相当程度，据此，可以认为函数概念至少在那时已经萌芽。
实际上作为变量和函数的朴素概念，几乎和数学源于同一时期，因为数学家在研究物体的大小及位置关系时，自然会导致通常称为函数关系的那种从属关系。
但是，真正导致函数概念得以迅速发展则是在16世纪以后，特别是由于微积分的建立，伴随这一学科的产生、发展和完善，函数概念也经历了产生、发展和完善的演变过程。
哥白尼的天文学革命以后，运动成为文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，到了16世纪，对于运动的研究已变成自然科学的中心问题。
在这一时期，函数概念在不同科学家那里有着不同形式的描述。
在伽利略的《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数的思想，他用文字和比例的语言表述函数关系。
例如，他提出：“两个等体积圆柱体的面积之比，等于它们高度之比的平方根。
”“两个侧面积相等的正圆柱，其体积之比等于它们高度之比的反比。
”他又说：“从静止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比。
”这些描述非常清楚地表明伽利略已涉及并讨论变量和函数，但他并没有做出一般的抽象，并且也没有把文字叙述表示为符号形式。
几乎与此同时，许多数学家，如托里拆利、瓦里斯、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹等，从不同角度对函数进行了不同程度的研究.有的数学家是把一些具体的函数看成曲线进行研究,尽管当时还没有建立实连续的概念,但数学家却默认曲线都是连续的。
托里拆利就曾对曲线()0≥y ex进行过研究；而瓦里斯在他的《动学》中研究过正弦曲=xae线，并注意到了这一函数的周期性。
函数概念发展史
制作人：唐沁
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1.早期函数概念
几何观念下的函数 十七世纪伽俐略 (G.Galileo，意，1564-1642)在《两门 新科学》一书中，几乎全部包含函数 或称为变量关系的这一概念，用文字 和比例的语言表达函数的关系。1673 年前后笛卡尔(Descartes，法，15961650)在他的解析几何中，已注意到 一个变量对另一个变量的依赖关系， 但因当时尚未意识到要提炼函数概念， 因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹 建立微积分时还没有人明确函数的一 般意义，大部分函数是被当作曲线来 -研-- 究的。
1667-1748 瑞士数学
家
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欧拉
L．Euler 1707－1783 瑞士数学家
把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依
赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前
面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为
后面变量的函数。”————Euler
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3.十九世纪函数概念--对应关系下的函数
1821年，柯西(Cauchy，法，1789-
1718年约翰•贝努利(Johann Bernoulli ，瑞，1667-1748)在 莱布尼兹函数概念的基础上对 函数概念进行了定义:“由任一 变量和常数的任一形式所构成 的量。”他的意思是凡变量x和 常量构成的式子都叫做x的函 数，并强调函数要用公式来表 示。
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约翰·伯努利
（Bernoulli Johan）
狄利克雷
P.G.L.Dirichlet
1805－1859
德国数学家
2020/4/2
等到康托(Cantor，德，1845-1918)创 立的集合论在数学中占有重要地位之后， 维布伦(Veblen，美，1880-1960)用 “集合”和“对应”的概念给出了近代 函数定义，通过集合概念把函数的对应 关系、定义域及值域进一步具体化了， 且打破了“变量是数”的极限，变量可 以是数，也可以是其它对象。
函数的发展史
函数的发展史学家从集合、代数、直至对应、集合的角度持续赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。
本文拟通过对函数概念的发展与比较的研究，对函数概念的教学实行一些探索。
1、函数概念的纵向发展1．1 早期函数概念——几何观点下的函数十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这个概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。
1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但因为当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，所以直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝绝大部分函数是被当作曲线来研究的。
1．2 十八世纪函数概念——代数观点下的函数1718年约翰·贝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念实行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。
18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号。
欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。
他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。
1．3 十九世纪函数概念——对应关系下的函数1822年傅里叶(Fourier，法，1768－1830)发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的理解又推动了一个新的层次。
函数的发展历史
3、
用符号Φx 表示一般函数的是瑞士数学家约翰•伯努利（一世）（1667-1748）。 1734 年欧拉（1707-1783）采纳这一定义用 f(x)作为函数的记号。该用法一直保持 到今天。1769 年，达朗贝尔（1717-1783）第一次导出了函数方程 f(x+y)+f(xy)=2f(x)f(y)。柯西（1789-1857）在 1821 年导入了更多的函数方程： f(x+y)=f(x)f(y),f(xy)=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)f(y)。一系列重要的函数方程由阿贝尔 （1802-1827）年解决。
1 ，当 q
x 是有理数
0，当 x 是 0 或者无理数时
8、
（德）魏尔斯特拉斯（1815-1897）构造了一个没有导数的连续函数，即构造了一 条处处没有切线的连续曲线。
4、
傅里叶（1768-1830）引入三角级数，例如：y=sinx/1+sin(3x)/3+sin(5x)/5+┅。 拉格朗日（1736-1813）
∞ sin 2k+1 x k=1 2k+1
5、
狄利克雷（1805-1859）第一个给出函数一般定义的数学家。他于 1837 年给出函 数如下的定义：如果对于给定区间的每一个 x 值，都有唯一的 y 值与之对应，那 么 y 是 x 的函数。他还在 1829 年给出了著名的狄利克雷函数：f(x)=0，x 是无理 数；f(x)=1,x 是有理数。这个函数有四个特点：1）没有公式 2）没有图形 3）不 连续 4）没有实际背景
1、
伽利略（1564-1642）的落体运动定律、牛顿（1642-1727）的万有引力定律、爱 因斯坦（1879-1955）的质能转化公式等等都是用函数概念来表（1638-1675）的文章《论元和双曲线的求积》中。 在费马（1601-1665）、笛卡尔（1596-1650）的工作中也涉及到这些概念。牛顿 开始微积分工作后，一直用“流量”来表示变量间的关系。莱布尼兹（1646-1716） 在 1673 年的一篇手稿里面用了“函数”一词。
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制作人：唐沁
1.早期函数概念
几何观念下的函数 十七世纪伽俐略 (G.Galileo，意，1564-1642)在《两门 新科学》一书中，几乎全部包含函数 或称为变量关系的这一概念，用文字 和比例的语言表达函数的关系。1673 年前后笛卡尔(Descartes，法，15961650)在他的解析几何中，已注意到 一个变量对另一个变量的依赖关系， 但因当时尚未意识到要提炼函数概念， 因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹 建立微积分时还没有人明确函数的一 般意义，大部分函数是被当作曲线来 研究的。
2014-4-5
1822年傅里叶(Fourier，法 国，1768--1830)发现某些 函数也已用曲线表示，也 可以用一个式子表示，或 用多个式子表示，从而结 束了函数概念是否以唯一 一个式子表示的争论，把 对函数的认识又推进了一 个新层次。
傅里叶 (Fourier，法 国，1768-1830)
2014-4-5
中文“函数”名称的 由来
李善兰 1811－1882 清朝数学家
n”译做“函数”， 此译名沿用至今。对为什么这样翻译这个概念， 书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为 彼之函数”；这里的“函”是包含的意思。
伽利略
1673年，莱布尼兹首次使 用“function” (函数)表示“ 幂”，后来他用该词表示 曲线上点的横坐标、纵坐 标、切线长等曲线上点的 有关几何量。与此同时， 牛顿在微积分的讨论中， 使用 “流量”来表示变量间 的关系。
戈特弗里德· 威 廉· 莱布尼茨
2.十八世纪函数概念--代数 观念下的函数
欧拉 L．Euler 1707－1783 瑞士数学家
把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依 赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前 面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为 后面变量的函数。”————Euler
3.十九世纪函数概念--对应关系下的函数
1821年，柯西(Cauchy，法，17891857) 从定义变量起给出了定 义:“在某些变数间存在着一定的 关系，当一经给定其中某一变数 的值，其他变数的值可随着而确 定时，则将最初的变数叫自变量， 其他各变数叫做函数。”在柯西 的定义中，首先出现了自变量一 词，同时指出对函数来说不一定 要有解析表达式。不过他仍然认 柯西(Cauchy，法， 为函数关系可以用多个解析式来 1789-1857) 表示，这是一个很大的局限。
2014-4-5
1837年狄利克雷(Dirichlet， 德，1805-1859) 突破了这一 局限，认为怎样去建立x与y 之间的关系无关紧要，他拓 广了函数概念，指出:“对于 在某区间上的每一个确定的x 值，y都有一个或多个确定的 值，那么y叫做x的函数。” 这个定义避免了函数定义中 对依赖关系的描述，以清晰 的方式被所有数学家接受。 这就是人们常说的经典函数 定义。
1718年约翰•贝努利(Johann Bernoulli ，瑞，1667-1748)在 莱布尼兹函数概念的基础上对 函数概念进行了定义:“由任一 变量和常数的任一形式所构成 的量。”他的意思是凡变量x和 常量构成的式子都叫做x的函 数，并强调函数要用公式来表 示。
约翰· 伯努利 （Bernoulli Johan） 1667-1748 瑞士数学 家
2014-4-5
2014-4-5
狄利克雷 P.G.L.Dirichlet 1805－1859 德国数学家
2014-4-5
等到康托(Cantor，德，1845-1918)创 立的集合论在数学中占有重要地位之后， 维布伦(Veblen，美，1880-1960)用 “集合”和“对应”的概念给出了近代 函数定义，通过集合概念把函数的对应 关系、定义域及值域进一步具体化了， 且打破了“变量是数”的极限，变量可 以是数，也可以是其它对象。
2014-4-5
4.现代函数概念--集合论下的函数
1914年豪斯道夫(F.Hausdorff)在《集合论纲要》 中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避 开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。 库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念 来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。 1930 年新的现代函数定义为“若对集合M的任 意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则 称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)。元素 x称为自变元，元素y称为因变元。”