Tobit模型、泊松模型
Tobit模型
Tobit模型估计方法与应用（一）周华林李雪松2012-10-25 10:01:28 来源：《经济学动态》(京)2012年5期第105～119页内容提要：Tobit模型从最初的结构式模型扩展到时间序列模型、面板数据模型以及非参数模型等形式，无论Tobit模型的结构形式如何变化，现有的估计方法基本上都是在Heckman(1976)两步法的基础上扩展的。
本文结合一些经典文献，介绍了不同类型的Tobit 模型的结构形式、估计方法、估计结果的性质等，为做实证分析的研究者们提供一个分析此类问题的基本方法。
关键词：Tobit模型 Heckman两步法面板Tobit模型 Tobit GARCH ARCH模型作者简介：周华林，中国社会科学院研究生院，电子邮箱：zhimadexin009@16一、引言自从Tobin(1958)研究了被解释变量有上限、下限或者存在极值等问题以来，这类研究受到学者们的广泛关注。
人们为了纪念Tobin对这类模型的贡献，把被解释变量取值有限制、存在选择行为的这类模型称之为Tobit模型。
这类模型实际上包含两种方程，一种是反映选择问题的离散数据模型；一种是受限制的连续变量模型。
第二种模型往往是文献中人们更感兴趣的部分。
Tobit模型不同于离散选择模型和一般的连续变量选择模型，它的特点在于因变量是受限变量，模型实际上由两类方程组成，主要研究在某些选择行为下，连续变量如何变化的问题。
当前，这种模型已经引入了更复杂的形式，面板数据、半参数等形式的Tobit模型在研究中广泛应用。
国外这种模型已经陆续在各领域内广泛使用，国内也有一些实证分析的论文用到了这种模型。
但是人们在应用这些模型分析问题时还存在一些误区，如误认为离散选择模型就是Tobit模型，无法解释样本选择性偏差的经济含义，不区分所建立的模型是否是联立方程，对估计结果的性质不进行检验等。
本文所介绍的经典文献，概括了Tobit模型的起源、结构形式、估计方法、适用的研究问题、自身缺陷等方面，这些经典文献中提到的一些细节问题在实证分析中很重要，然而现在已有的教材或者引文并没有摘录出来，可能导致一些作者在实证分析中对该模型有种种误解。
tobit模型公式(一)
tobit模型公式(一)Tobit模型公式Tobit模型是一种常用的统计模型，用于处理有截断取值的数据。
在该模型中，有些观测值可能无法被观测到，只能观测到其上限或下限。
下面列举了Tobit模型的相关公式，并通过示例进行解释说明。
Tobit模型Tobit模型是由Tobin于1958年提出的，用于处理存在自我选择（指对于某些观测值可能不可观测）的取值。
在Tobit模型中，存在两个阶段的生成过程：一个线性回归方程用于预测变量取值的期望，以及一个二项分布模型来描述观测值的可能取值范围。
Tobit模型公式Tobit模型可以表示为以下公式：1.观测方程： [观测方程]( [观测方程](其中，[观测方程](2.似然函数： [似然函数](其中，[似然函数](3.最大似然估计：最大似然估计的目标是最大化似然函数，从而找到最优的回归系数和误差项方差。
示例解释假设我们想研究商品房的售价与面积之间的关系，但房价数据存在下限（价格为0），无法观测到低于该下限的房价。
我们可以使用Tobit模型来估计房价与面积之间的线性关系。
首先，我们根据样本数据拟合Tobit模型，得到回归系数和误差项方差的最大似然估计。
然后，我们可以根据估计的回归系数，计算面积对房价的影响。
最后，我们可以使用模型进行预测，根据不同的面积值估计对应的房价。
通过Tobit模型，我们可以得出结论，面积与房价呈正相关关系，面积越大，房价越高。
这可以帮助我们了解房价的形成机制，并为房地产市场的决策提供参考。
总结Tobit模型是一种用于处理有截断取值的数据的统计模型。
通过估计回归系数和误差项方差，Tobit模型可以帮助我们理解变量之间的关系，并进行预测。
在实际应用中，Tobit模型在经济学、金融学等领域被广泛使用。
tobit模型
2 yi 0
2
yi 0
4.Tobit模型的最大似然估计（基本模型）
ln L
1 2
yi
0
2(
yi xi
2
)
xi
1
yi 01 ( xi
)
f
( xi
) xi
yi 0
yi
Байду номын сангаас
xi
2
xi
yi 01
1
( xi
)
f
(
xi
)
xi
0
5.Tobit模型的应用
5.Tobit模型的应用
yi* xi i
i ~ N (0, 2 )
yi
yi*
0
if yi* 0
if yi* 0
2.Tobit模型
2.2第二类Tobit模型
y1*i x1i 1 1i
y2*i x2i2 2i
y 2i
y2*i 0
if if
y1*i 0 y1*i 0
i 1,2,....,n
2.Tobit模型
y1*i x1i 1 1i
y y2*i
2i
0
y2*i x2i 2 2i
if y1*i 0 if y1*i 0
y y3*i
3i
0
if y1*i 0
if
y1*i 0
y3*i x3i 3 3i
i 1,2,....,n
3.Tobit模型变量的概率分布（基本模型）
P( yi
0)
5.Tobit模型的应用
研究中遇到的很多问题实际上都是受限因变量问题, 如工资的问题、受教育问题、提供对外援助的问题、用电 消耗量问题、香烟消费问题、工厂选址问题、保险消费问 题等等都是这类问题。
(超全)计量经济学框架图
面
模
二元选择模型
数
型
Logit 模型
据
定性被解释变量
排序模型
多元选择模型
无序模型
系
统
似不相关模型
方
程
模
联立方程模型
型
泊松模型 负二项分布模型
平稳序列 ARMA 模型
单变量序列
非平稳序列
ARIMA 模型 SARMA 模型
单方程模型
平稳序列 建模方法同截面数据
多变量序列 单位根检验
时
协整（同阶单整）
间
Wald 检验、LM 检验和 LR 检验
幂阶梯变换、Cox 变换 模拟，如 Bootstrap
增大 n+OLS ML GMM 非参数方法 数据变换
逐步回归 岭回归 主成分回归 GMM
估计；WLS GLS GMM White 检验等 非正态
内生性
估计：IV 严重多重共线性
异方差
雅克比检验 Hausman 检验
VIF 检验等
同方差
无自相关 正态分布 外生性
无多重共线性
空间相关（空间计量学）
经典假设 线性模型
PE 检验
非线性模型
估计：OLS 检验：t、F 检验 线性化 非线性最小二乘法
经典回归模型
连续性模型
受限因变量模型
截断模型 删失（归并）模型 Tobit
定量被解释变量
期限模型
单
离散性模型
计数模型
方
截
程
Probit 模型
随机效应模型
面
时间效应模型
板
数
据
PVAR
类似时间序列数据的方法
面板单位根
二元选择模型
二元选择摸型如果回归模型的解释变量中含有定性变量，则可以用虚拟变量处理之。
在实际经济问题中，被解释变量也可能是定性变量。
如通过一系列解释变量的观测值观察人们对某项动议的态度，某件事情的成功和失败等。
当被解释变量为定性变量时怎样建立模型呢？这就是要介绍的二元选择模型或多元选择模型，统称离散选择模型。
这里主要介绍Tobit （线性概率）模型，Probit （概率单位）模型和Logit 模型。
1．Tobit （线性概率）模型 Tobit 模型的形式如下，y i = α + β x i + u i (1) 其中u i 为随机误差项，x i 为定量解释变量。
y i 为二元选择变量。
此模型由James Tobin 1958年提出，因此得名。
如利息税、机动车的费改税问题等。
设 1 （若是第一种选择） y i =0 （若是第二种选择）-0.20.00.20.40.60.81.01.2330340350360370380XY对y i 取期望，E(y i ) = α + β x i (2) 下面研究y i 的分布。
因为y i 只能取两个值，0和1，所以y i 服从两点分布。
把y i 的分布记为， P ( y i = 1) = p i P ( y i = 0) = 1 - p i 则E(y i ) = 1 (p i ) + 0 (1 - p i ) = p i (3) 由（2）和（3）式有p i = α + β x i （y i 的样本值是0或1，而预测值是概率。
） (4)以p i = - 0.2 + 0.05 x i 为例，说明x i 每增加一个单位，则采用第一种选择的概率增加0.05。
现在分析Tobit 模型误差的分布。
由Tobit 模型（1）有，u i = y i - α - β x i =⎩⎨⎧=--=--0,1,1i i i i y x y x βαβαE(u i ) = (1- α - β x i ) p i + (- α - β x i ) (1 - p i ) = p i - α - β x i 由（4）式，有E(u i ) = p i - α - β x i = 0因为y i 只能取0, 1两个值，所以，E(u i 2) = (1- α - β x i )2 p i + (- α - β x i )2 (1 - p i )= (1- α - β x i )2 (α + β x i ) + (α +β x i )2 (1 - α - β x i ), （依据(4)式） = (1- α - β x i ) (α + β x i ) = p i (1 - p i ) , （依据(4)式） = E(y i ) [1- E(y i ) ]上两式说明，误差项的期望为零，方差具有异方差。
Tobit模型估计方法与应用
Tobit模型估计方法与应用一、本文概述本文旨在全面探讨Tobit模型估计方法及其应用。
Tobit模型，也称为截取回归模型或受限因变量模型，是一种广泛应用于经济学、社会学、生物医学等领域的统计模型。
该模型主要处理因变量在某一范围内被截取或受限的情况，例如，当因变量只能取正值或只能在某一特定区间内变动时。
本文首先将对Tobit模型的基本理论进行阐述，包括模型的设定、参数的估计方法以及模型的检验等方面。
随后，文章将详细介绍Tobit模型在各个领域中的应用案例，包括工资水平、耐用消费品需求、医疗支出等方面的研究。
通过这些案例，我们将展示Tobit模型在处理受限因变量问题时的独特优势和应用价值。
文章还将对Tobit模型的发展趋势和前景进行展望，以期为相关领域的研究提供有益的参考和启示。
二、Tobit模型的基本原理Tobit模型，也称为受限因变量模型或截取回归模型，是一种广泛应用于经济学、社会学、生物医学等领域的统计模型。
该模型主要处理因变量受到某种限制或截取的情况，例如因变量只能取正值、只能在某个区间内取值等。
Tobit模型的基本原理基于最大似然估计法，通过构建似然函数来估计模型的参数。
截取机制：在Tobit模型中，因变量的取值受到某种截取机制的限制。
这种截取机制可以是左截取、右截取或双侧截取。
左截取意味着因变量只能取大于某个阈值的值，右截取则意味着因变量只能取小于某个阈值的值，而双侧截取则限制了因变量的取值范围在两个阈值之间。
潜在变量：在Tobit模型中，通常假设存在一个潜在变量（latent variable），它是没有受到截取限制的因变量。
潜在变量与观察到的因变量之间的关系由截取机制决定。
潜在变量通常假设服从某种分布，如正态分布。
最大似然估计：在给定截取机制和潜在变量分布的假设下，可以通过构建似然函数来估计Tobit模型的参数。
似然函数反映了观察到的数据与模型参数之间的匹配程度。
通过最大化似然函数，可以得到模型参数的估计值。
泊松扩散模型基本思路
泊松扩散模型基本思路泊松扩散模型是一种常用的数学模型，用于描述随机过程中的粒子扩散行为。
它由法国数学家西蒙·泊松于19世纪中叶提出，被广泛应用于物理、化学、生物、金融等领域的研究中。
本文将从泊松扩散模型的基本思路入手，介绍该模型的原理和应用。
泊松扩散模型的基本思路是将扩散的粒子视为泊松过程，即粒子在时间和空间上的分布服从泊松分布。
泊松分布是一种概率分布，描述了在一个固定时间或空间区间内，事件发生的次数的概率。
在泊松扩散模型中，将粒子的扩散视为一系列独立的随机事件，每个事件表示粒子从一个位置跳到另一个位置的概率。
这些跳跃事件之间的时间间隔服从指数分布，描述了粒子在不同位置之间扩散的速率。
泊松扩散模型的数学表达是通过偏微分方程来描述的。
该方程称为扩散方程，形式上是一个二阶偏导数方程，描述了粒子浓度随时间和空间变化的规律。
扩散方程的解可以通过数值方法或解析方法求得，从而得到粒子的扩散行为。
泊松扩散模型的应用十分广泛。
在物理学中，它被用于描述热传导、电子扩散等过程。
在化学反应动力学中，泊松扩散模型可以用于描述反应物在溶液中的扩散行为。
在生物学中，它被应用于描述细胞内物质的扩散和传输。
在金融学中，泊松扩散模型可以用于描述股票价格的随机波动。
泊松扩散模型的优点是简单易用，适用于描述一些简单的扩散过程。
它可以通过调整模型参数来适应实际情况，从而得到更准确的结果。
然而，泊松扩散模型也有一些局限性。
它假设粒子之间的相互作用是弱的，忽略了粒子之间的相互作用对扩散行为的影响。
对于复杂的扩散过程，泊松扩散模型可能无法给出准确的结果。
泊松扩散模型是一种常用的数学模型，可以描述随机过程中的粒子扩散行为。
它的基本思路是将扩散的粒子视为泊松过程，通过偏微分方程来描述粒子的扩散行为。
泊松扩散模型具有简单易用、适应性强的优点，被广泛应用于物理、化学、生物、金融等领域的研究中。
然而，它也存在一些局限性，对于复杂的扩散过程可能无法给出准确的结果。
古扎拉蒂《计量经济学基础》第15章
问题的提出： LPM的局限：
P 1
（1）ui非正态 （2）ui异方差 （3）Yˆi在[0,1]之外 （4）R 2一般比较小
0
X
从几何图形看，希望模型像右图所示：
1．Logit模型
a．Logit模型中条件概率的表达式
Pi
P(Yi
1|
Xi)
E(Yi
|
Xi)
1
1 e ( 1
2
Xi
)
(1)
比较LPM : Pi P(Yi 1 | X i ) E(Yi | X i ) 1 2 X i
的概率增加0.1021或10.21％。 3．Yˆi的估计值中有12个小于0或大于1。
4． W L S 估 计
Yi 1.2456 1 0.1196 X i
Wi
Wi
Wi
(0.1206)
(0.0069)
t
(10.332)
(1 7 .4 5 4 )
R 2 0.9214
五、对数单位模型（Logit Model)
区间；可以将小于0的值改为0；大于1的值 改为1。 （2）在 log it模型和probit模型中， 可以保证条件期望的值域区间在[0,1]。
4．拟和优度 通常情况下，拟和优度不会太高，在0.2至 0.6之间。
Yˆ
LPM
……….无约束
1
Yˆ
………. 受约束
1
LPM
……….
……….
0
X
X
0
(a)
5．对于这些现象该如何建模：比如每年看 病的次数、给定年份中一个厂商获得专利的个 数、一年中大学教授所发表论文的篇数、五分 钟内接到电话的次数或者五分钟内通过某个收 费站的汽车数量?这些被称为计数数据（count data）或者稀有事件（rare event）数据的现 象都是泊松（概率）过程的例子。
第十讲 受限因变量模型(Tobit)
[95% Conf. .187246 -.2533721 -.2407998 -2.142552 -8.626323 -.9080753 -.0000152 -.7821601 -5.545201
Interval] 1.318625 -0.0209686 0.4514313 8.102282 -1.600061 0.5065954 0.0001876 0.1433702 8.039255
E ( yi | y > 0) = E ( yi | ε i > − xi β )
*
= E ( xi β + ε i | ε i > − xi β ) = xi β + E (ε i | ε i > − xi β ) ≠ xi β
∵
E(ε i | ε i > − xi β ) ≠ 0
f(εi)
-50
2)和3)的关系
∂E[ yi | x] ∂E[ yi | yi > 0, x] ∂F ( z ) = F ( z) * + E[ yi | yi > 0, x] * ( ) ∂x j ∂x j ∂x j = Fi ⋅ β j
Tobit模型的应用 模型的应用
调用数据库： 调用数据库：dairy data
5. 边际效应
Marginal Effects: Latent Variable variable scaler303100 agehh eduhh labper offlab pculti passet roaddistant _cons dF/dx Std. Err. z 2.62 -2.32 0.60 1.14 -2.86 -0.56 1.67 -1.36 0.36 P>z X_at [ 95% C.I. ]
课件：微观面板数据模型 - logitprobit模型Tobit模型
Yit* i X it it
(8.1) E(Yit | X it ) pit P(Yit 1| X it )
1, Yit 0,
Yit* （0 表示已购买住房） Yit* （0 表示未购买住房）
家庭选择购房（Yit 1）的概率,
1 F (i X it ) Yit E(Yit | X it ) it
财大 面板数据与非参数计量
右删失模型
Yit* i Xit it
Yit
Yit* , cu ,
当Yit* cu时 当Yit* cu时
• 在cu处右归并（删失）
财大 面板数据与非参数计量
左右删失模型
Yit* i Xit it
Yit Ycit*l ,
cu
当Yit* cl时 当cl Yit* cu时
财大 面板数据与非参数计量
Ch8 微观面板数据模型
• Ch8.1 微观面板数据模型及估计 • Ch8.2 模型设定检验 • Ch8.3 案例分析
财大 面板数据与非参数计量
Ch8.3 案例分析
① 面板二元离散选择模型 ② 面板Tobit模型
财大 面板数据与非参数计量
面板二元离散选择模型
财大 面板数据与非参数计量
家庭选择不购房（Yit 0）的概率,
P(Yit 0 | X it , ,i ) P(Yit* 0 | X it , ,i )
P(it i X it | X it , ,i )
F (i X it )
1 F (i X it )
P(Yit 0 | Xit ) 1 P(Yit 1| Xit )
当Yit* cu时
• 在cl处左归并（删失）、cu处右归并
财大 面板数据与非参数计量