泊松分布的定义及图形特点
泊松分布的特征
泊松分布的特征
一、泊松分布的概念
泊松分布是一种离散型概率分布，它描述了在固定时间或空间内随机
事件发生的次数。
它的命名来源于法国数学家西蒙·丹尼·泊松。
二、泊松分布的概率密度函数
泊松分布的概率密度函数为：P(X=k)=e^(-λ) * λ^k / k!，其中λ表示单位时间或单位空间内随机事件发生的平均次数。
三、泊松分布的期望与方差
泊松分布的期望为λ，方差也为λ。
这意味着在一个固定时间或空间内，随机事件发生的平均次数越多，其变异程度也越大。
四、泊松分布的应用
1. 人口统计学：在人口统计学中，泊松分布可以用来描述某个地区在
某个时间段内出生或死亡人数、疾病发病率等。
2. 金融风险管理：在金融风险管理中，泊松分布可以用来描述市场上
某种风险事件（如股票价格下跌）发生的概率。
3. 工业质量控制：在工业质量控制中，泊松分布可以用来描述某个时
间段内生产线上出现的缺陷数。
4. 交通流量研究：在交通流量研究中，泊松分布可以用来描述某个时
间段内某个路口通过车辆的数量。
五、泊松分布与其他概率分布的关系
1. 当λ趋近于无穷大时，泊松分布逼近于正态分布。
2. 当λ小于1时，泊松分布逼近于几何分布。
六、总结
泊松分布是一种常见的概率分布，在许多领域都有广泛应用。
它的特点是离散型、单峰型、对称型，并且具有平均值等于方差的特性。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的参数λ来描述随机事件发生次数的概率。
泊松分布
0
1 2 3 4 合计
27.90
42.50 32.37 16.44 6.26
26
40 38 17 7
0.1294
0.1474 0.9775 0.0191 0.0872 1.3606
自由度=组数-1-1=5-2=3
一个放射性物体5分钟测得脉冲数为200次， 这两种物体混合后估计5分钟脉冲数的总体 平均数及标准差是多少？
140+200=340
340 18.44
二、泊松分布的图形
泊松分布的特征只决定于平均数 ，不同的参数对应
不同的Poisson分布，即的大小决定了Poisson分布 的图形特征
x1 ( 38 29 36) / 3 34.33 x 2 ( 25 18) / 2 21.50 u 34.33 21.50 2.732 34.33 / 3 21.50 / 2
u
X1 X 2 X1 X 2 n1 n2
P<0.01，拒绝H0接受H1
用泊松分布对聚集性的研究
例
在室内不同位置放置6个平皿，隔一定时间后进行培
养，得葡萄球菌落数分别为21，26，22，18，19， 32，问细菌在室内不同位置的分布是否随机?
x 23
5.91 6 1 5
2 2 0 .05(5) 11.07 2 2 0 .05(5) , p 0.05
泊松分布资料的差异显著性检验
（三）泊松分布资料的差异显著性检验
1. 样本均数与总体均数比较： 直接计算概率法 例 8-10
例8－11
泊松分布公式掌握泊松分布的关键公式
泊松分布公式掌握泊松分布的关键公式泊松分布是概率论中的一种离散概率分布，用于描述在一个固定间隔内，事件在单位时间内发生的次数的概率分布情况。
泊松分布公式是求解泊松分布概率的关键公式。
本文将详细介绍泊松分布公式及其应用。
一、泊松分布的基本概念在介绍泊松分布公式之前，我们先来了解一下泊松分布的基本概念。
泊松分布是一种离散型概率分布，它描述了在一个固定时间或空间间隔内，事件发生的次数的概率分布情况。
泊松分布适用于以下条件：1. 事件在不同时间或空间间隔内独立发生；2. 在每个小的时间或空间间隔内，事件发生的概率非常小；3. 在整个时间或空间区间内，事件发生的次数不受前一次事件发生与否的影响。
泊松分布的概率质量函数可以用以下公式表示：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!其中，P(X=k)表示事件发生k次的概率，λ为单位时间或单位空间间隔内事件的平均发生次数。
二、泊松分布公式的推导泊松分布公式的推导过程比较复杂，这里我们只给出最终的公式结果。
通过对泊松分布的概率质量函数进行数学推导，可以得到以下泊松分布公式：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!其中，P(X=k)表示事件发生k次的概率，λ为单位时间或单位空间间隔内事件的平均发生次数。
三、泊松分布公式的应用泊松分布公式在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些应用场景的例子：1. 网络流量管理在网络流量管理中，泊松分布可用于描述网络中数据包到达的概率分布情况。
通过泊松分布公式，可以计算出单位时间内到达指定网口的数据包数目的概率。
2. 声音信号处理在声音信号处理领域，泊松分布可用于描述声音信号中事件（例如声音片段、语音信号等）的出现频率。
通过泊松分布公式，可以计算出在给定时间段内出现特定声音片段的概率。
3. 电话呼叫量预测在电话通信领域，泊松分布可用于预测特定时间段内的总呼叫量或某个时间间隔内的呼叫数量。
通过泊松分布公式，可以计算出在给定时间段内呼叫特定数量的概率。
泊松分布 负二项分布 曲线特征
泊松分布、负二项分布和曲线特征1. 引言在统计学和概率论领域，泊松分布和负二项分布是两个重要的概率分布。
它们在描述离散型随机变量的分布特征、事件发生的概率等方面具有广泛的应用。
在本文中，我们将深入探讨泊松分布和负二项分布的定义、特征和应用，并对它们的曲线特征进行分析和讨论。
2. 泊松分布泊松分布是描述单位时间（或单位面积、单位体积等）内随机事件发生次数的概率分布。
在泊松分布中，随机事件的发生是相互独立的，并且在给定时间或空间内的发生概率是恒定的。
泊松分布的概率质量函数可以用以下公式表示：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ代表单位时间内随机事件的平均发生次数，k为实际发生的次数，e为自然对数的底。
泊松分布的期望值和方差均为λ。
3. 负二项分布负二项分布是描述进行一系列独立的伯努利试验，直到出现r次成功所需的试验次数的概率分布。
负二项分布与泊松分布不同，它描述的是成功次数而非事件发生次数。
负二项分布的概率质量函数可以用以下公式表示：P(X=k) = (k-1 choose r-1) * (p^r) * (1-p)^(k-r)其中，p为每次独立伯努利试验中成功的概率，r为成功的次数。
负二项分布的期望值为r/p，方差为r(1-p)/p^2。
4. 曲线特征泊松分布和负二项分布的曲线特征均落在离散型分布的范畴中。
泊松分布的概率质量函数呈现出一个单峰形态，随着λ的增大，峰值不断右移，分布变得更加集中；而负二项分布的形态则呈现出右偏的特点，随着成功次数r的增加，分布形态趋向于单峰。
在实际应用中，泊松分布常用于描述单位时间内随机事件的发生次数，如通信方式交换机接到的通信方式数、客户到达的数量等；而负二项分布则常用于描述成功次数的分布，如一次广告点击的次数、一次销售中获得的订单数等。
5. 总结与展望通过本文的讨论，我们对于泊松分布和负二项分布的定义、特征以及曲线特征有了更进一步的了解。
泊松分布定理
k
k!
, k0,1,2,,
其中 λ >0 是常数,则称 X 服从参数为 的 λ 泊松分布,记作X~P(λ ).
二项分布与泊松分布
历史上，泊松分布是作为二项分布的近 似，于1837年由法国数学家泊松引入的 . 近数十年来，泊松分布日益显示 其重要性,成为概率论中最重要的几 个分布之一. 在实际中，许多随机现象服从或近 似服从泊松分布.
定理1（泊松Poisson定理）
设λ>0是一常数，n是正整数，若limnpn=λ,则 对任一固定的非负整数k，有
lim C p (1 pn )
n k n k n
nk
k
k!
e
一、泊松分布的定义及图形特点 Nhomakorabea设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：
P ( X k ) e
泊松分布产生的一般条件
在自然界和人们的现实生活中,经常要遇 到在随机时刻出现的某种事件.我们把在随机 时刻相继出现的事件所形成的序列,叫做随机 事件流. 若事件流具有平稳性、无后效性、普通性， 则称该事件流为泊松事件流（泊松流）.
下面简要解释平稳性、无后效性、普通性.
平稳性:
在任意时间区间内，事件发生k次(k≥0)的 概率只依赖于区间长度而与区间端点无关.
一、社会生活对服务的各种要求
某电话交换台在一段时间内收到的电话呼叫数； 一个售货员接待的顾客数; 公共汽车站在一段时间内来到的乘客数等等 都近似服从泊松分布。
二、物理学和生物学领域
一放射性源放射出的 粒子数； 放射性分裂落在某区域的质点数，热电子的发射 显微镜下落在某区域中的血球或微生物的数目
泊松分布的特点与应用
泊松分布的特点与应用标题：泊松分布的特点与应用摘要：本文将深入探讨泊松分布，该分布以法国数学家西蒙·泊松命名，被广泛应用于不同领域的事件计数问题。
我们将介绍泊松分布的特点、概率函数以及其在实际问题中的应用。
通过深入了解泊松分布，读者将能够更好地理解该分布的性质和应用，以及如何在实际问题中应用它。
1. 引言1.1 泊松分布的定义与历史背景1.2 泊松分布的特点和概率函数2. 泊松分布的性质2.1 离散性和非负性2.2 泊松分布的概率质量函数（PMF）2.3 期望和方差3. 泊松分布的应用3.1 事件计数问题3.1.1 网络流量3.1.2 自然灾害频率3.2 生物学和遗传学3.2.1 基因突变频率3.2.2 突发疾病发生率3.3 金融和保险3.3.1 保险索赔的发生率3.3.2 股票价格波动4. 结论4.1 对泊松分布的观点和理解4.2 对泊松分布应用的总结和回顾1. 引言1.1 泊松分布的定义与历史背景泊松分布是一种离散概率分布，由法国数学家西蒙·泊松在19世纪中期提出并命名。
该分布用于描述在固定时间或空间范围内事件发生的数量。
泊松分布的应用领域广泛，涵盖了自然科学、社会科学、工程学等众多领域。
1.2 泊松分布的特点和概率函数泊松分布具有以下特点：离散性、非负性和无记忆性。
对于一个满足泊松分布的随机事件，其发生的概率由泊松分布的概率质量函数（PMF）给出。
PMF可用于计算一个特定事件发生的概率。
2. 泊松分布的性质2.1 离散性和非负性泊松分布是离散型分布，意味着它的取值是离散的且不可负。
对于一个随机事件的计数，不可能出现负数的情况。
2.2 泊松分布的概率质量函数（PMF）泊松分布的PMF给出了在特定时间或空间内事件发生次数的概率。
它的表达式为P(X=k) = (e^-λ * λ^k) / k!，其中λ是平均发生率、X是事件计数。
2.3 期望和方差泊松分布的期望和方差均等于λ，即E(X) = λ，Var(X) = λ。
泊松分布的概率分布
泊松分布的概率分布泊松分布是概率论中一种重要的离散型概率分布，它描述了在一定时间或空间范围内，某一事件发生的次数的概率分布情况。
泊松分布常被用来描述单位时间内某事件发生的次数，例如在单位时间内电话接到的次数、某个网站每天收到的访问次数等。
本文将从泊松分布的定义、特点、应用等方面进行介绍。
一、泊松分布的定义泊松分布是一种离散型概率分布，它表示在一个固定时间或空间内，某事件发生的次数的概率分布情况。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，X为事件发生的次数，k为非负整数，λ为单位时间或空间内事件的平均发生次数，e为自然对数的底。
二、泊松分布的特点1. 独立性：泊松分布假设事件的发生是相互独立的，即一个事件的发生不会影响到其他事件的发生。
2. 稀有性：泊松分布适用于事件发生的概率较小的情况，即当λ很小时，泊松分布可以近似描述事件的发生情况。
3. 均值和方差相等：泊松分布的均值和方差都等于λ，即E(X) = Var(X) = λ。
三、泊松分布的应用1. 电话呼叫中心：泊松分布可以用来描述电话呼叫中心在单位时间内接到的呼叫次数。
通过分析呼叫的泊松分布，可以确定合理的客服人员数量，以满足客户的需求。
2. 网络流量：泊松分布可以用来描述网络上的数据包到达的情况。
通过分析网络流量的泊松分布，可以预测网络负载，优化网络性能。
3. 事故发生：泊松分布可以用来描述事故发生的次数。
例如，在某个工厂每月发生的事故次数符合泊松分布，可以通过对泊松分布的分析，制定相应的安全措施，减少事故发生的概率。
4. 遗传突变：泊松分布可以用来描述遗传突变的发生情况。
通过对遗传突变的泊松分布进行分析，可以研究突变的规律，为相关疾病的治疗提供理论依据。
四、泊松分布的优缺点1. 优点：泊松分布具有简单、易于计算的特点，适用于描述稀有事件的发生情况。
在实际应用中，泊松分布通常用来近似描述一些复杂的实际问题。
4.3.2泊松分布
生物统计学
二项分布
一、泊松分布：二项式分布的极限分布
二、分布参数
三、分布形状
一、泊松分布：二项式分布极限分布
应用二项式分布时，往往遇到一个概率p或q是很小
的值，例如小于0.1，另一方面n又相当大，这样以
上二项分布将为另一种分布所接近，或者为一种极
限分布。
这一种分布称泊松概率分布，简称泊松分
布(Poisson distribution)。
二、分布参数
三、分布形状这一分布包括一个参
数m，由m的大小决
定其分布形状如图4.4。
当m值小时分布呈很
偏斜形状，m增大后
则逐渐对称，趋近于
以下即将介绍的正态
分布
观察值：单位空间上的个数
例如，在一定面积上的害昆虫个数的分布；病害作物个数（单株数）的分布。
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2020-5-28
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10
平稳性:
在任意时间区间内，事件发生k次(k≥0)的 概率只依赖于区间长度而与区间端点无关.
无后效性: 在不相重叠的时间段内，事件的发生是相 互独立的. 普通性:
如果时间区间充分小，事件出现两次或 两次以上的概率可忽略不计.
2020-5-28
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11
例如
一放射性源放射出的 粒子数； 某电话交换台收到的电话呼叫数； 到某机场降落的飞机数; 一个售货员接待的顾客数; 一台纺纱机的断头数; …
都可以看作泊松流.
2020-5-28
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12
对泊松流，在任意时间间隔(0,t)内,事件 (如交通事故)出现的次数服从参数为 t 的 泊松分布 . 称为泊松流的强度.
销售数
进货数
2020-5-28
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14
求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的m. 也即 P(X>m) ≤ 0.05
或 查泊松分布表得
于是得 m+1=10, m=9件
2020-5-28
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15
这一讲，我们介绍了泊松分布 n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近 似地服从泊松分布.
我们给出了泊松分布产生的一般条件
分布 • 即 X~P(4) • 因此 P(X=0)=exp(-4)
• P(X=0)=(99/100)^400 • 可以计算(99/100)^400= 0.01795055328
• exp(-4)= 0.01831563889
2020-5-28
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8
我们把在每次试验中出现概率很小的事 件称作稀有事件. 如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等
在实际中，许多随机现象服从或近 似服从泊松分布.
2020-5-28
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3
泊松定理： 设 是一个正整数，
，则有
由此可知 设随机变量Xn~B(n, p), (n＝0, 1, 2,…), 且n很大，p很小，记=np，则
P{X k} k e ,
k!
2020-5-28
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k 0,1,2,...
4
2020-5-28
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5
• Example In his book, Feller discusses the statistics of flying bomb hits in the south of London during the Second World War.
• Assume that you live in a district of size 10 blocks by 10 blocks so that the total district is divided into 100 small squares. How likely is it that the square in which you live will receive no hits if the total area is hit by 400 bombs?
2020-5-28
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13
例1 一家商店采用科学管理，由该商店过去 的销售记录知道，某种商品每月的销售数可
以用参数λ=5的泊松分布来描述，为了以
95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底 至少应进某种商品多少件？
解: 设该商品每月的销售数为X,
已知X服从参数λ=5的泊松分布.
设商店在月底应进某种商品m件, 求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的m .
2020-5-28
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6
2020-5-28
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7
• 用 X 表示落入该小区内的炸弹数，则
• X~B(400,1/100) n=400, p=1/100 • 因此 P(X=0)=(99/100)^400 • 用Poisson分布近似计算。。 • X近似服从参数为 4 =np=400*1/100的Poisson
泊松分布在管理科学、运筹学以及自然 科学的某些问题中都占有重要的地位 .
2020-5-28
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2020-5-28
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由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件 出现的次数近似地服从泊松分布.
2020-5-28
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三、泊松分布产生的一般条件 在自然界和人们的现实生活中,经常要遇 到在随机时刻出现的某种事件.我们把在随机 时刻相继出现的事பைடு நூலகம்所形成的序列,叫做随机 事件流. 若事件流具有平稳性、无后效性、普通性， 则称该事件流为泊松事件流（泊松流）.
一、泊松分布的定义及图形特点
设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：
其中 >0 是常数,则称 X 服从参数为 的 泊松分布,记作X~P( ).
2020-5-28
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1
泊松分布的图形特点：X~P( )
2020-5-28
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2
二、二项分布与泊松分布 历史上，泊松分布是作为二项分布的近 似，于1837年由法国数学家泊松引入的 .