传染病问题

实验2：传染病问题

一、实验目的

1.巩固微分方程建模的基本思想

2.练习微分方程建模的过程

3.练习应用数学软件Mathematic 或Matlab编程求解微分方程建模。

二、实验问题

一艘远洋游艇上机组与乘客共1000人，其中一名乘客发现患了某种传染病并发病，10小时后有2人被传染发病。由于该传染病没有早期症状，传染者不能被及时隔离。假设直升飞机将在50至60小时内将疫苗送到，试建模估算疫苗送到时游艇上患此传染病的人数。

三、预备知识：动态规划逆序算法的MATLAB程序DynProg.m 简介

1．医学常识表明：传染病的传播速率即与患病人数有关，也与未患病人数有关，患病人数越多（传染源越多）传播速率越快，未患病人数越多（因为会有很多人被传染）传播速率也越快，二者对传播速率的影响均为正比例关系。

2．Mathematic求解常微分方程的语句为

DSolve[eqn, y[x], x] gives solutions for y[x] rather than for the function y itself. Example: DSolve[y'[x] == 2 a x, y[x], x]y x a x2C1. If you include an appropriate initial condition, there are no undetermined coefficients in the solution.

DSolve[ {y'[x] == a y[x] + 1, y[0] == 0}, y[x], x ]

3．Matlab求解微分方程的基本命令

dsolve('eq1','eq2',...,'cond1','cond2',...,'v')

'eq1,eq2,...；--- 要求解的方程（组）

'cond1,cond2,...'---要求解的方程（组）的边界或初始条件

'v' -- 指定自变量的符号，缺省为t

四、实验步骤、内容与要求

1、假设与变量引入

（1）t时刻被传染人数为y(t),则健康者人数为1000-y(t);

（2）传染病的传播速率即与患病人数有关，也与未患病人数有关，二者对传播速率的影响均为正比例关系，比例系数为k .

（3）没有治疗和病人治愈。

2、分析与建立模型

根据假设条件（1）、（2）（3）,

(1000)

(0)1

(10)2

dy

ky

y dt

y

y

=-

=

=

3、编程求解

用Mathmatica软件解为:

当疫苗送达时，大约有31至61人被传染。

4、模型评价与扩展

a)当t时,y->1000，即所有的人终将被传染，全变为病人，这显然不符合实际

情况，其原因是模型没有考虑病人可以治愈，人群中的健康者只能变为病人，

而病人不会变为健康者.

b)许多传染病治愈后，病人体内会产生抗体而具有免疫能力，应考虑治愈免疫移

出的情形。