2013年福建高考命题研究课题组及学科命题研究室编高考数学(理)模拟试卷4
2013年福建省高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.1．（5分）（2013•福建）已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内，3．（5分）（2013•福建）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（）B由对称性可取双曲线的顶点（，渐近线的顶点（，渐近线d=4．（5分）（2013•福建）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）5．（5分）（2013•福建）满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解6．（5分）（2013•福建）阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（）7．（5分）（2013•福建）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的B中，，的对角线互相垂直，又该四边形的面积：8．（5分）（2013•福建）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以9．（5分）（2013•福建）已知等比数列{a n}的公比为q，记b n=a m（n﹣1）+1+a m（n﹣1）+2+…+a m（n*①=①，当时，，，此时，∴==，10．（5分）（2013•福建）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f （x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置.11．（4分）（2013•福建）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为．＞=故答案为：．12．（4分）（2013•福建）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是12π．2r=r=13．（4分）（2013•福建）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为．BAD=AB=3．故答案为：14．（4分）（2013•福建）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于．可知斜率为可得进而与斜率有关系，，则，解得故答案为15．（4分）（2013•福建）当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+…+x n+…=两边同时积分得：dx+xdx+x2dx+…+x n dx+…=dx从而得到如下等式：1×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1+…=ln2请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1=．=故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（13分）（2013•福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，先，）由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，∴=的概率为．））×=×=，，17．（13分）（2013•福建）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．，）由，18．（13分）（2013•福建）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，连接OB i，过A i作x轴的垂线与OB i，交于点．（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程．）由题意，求出过且与的方程为．联立方程）证明：由题意，过且与的方程为，解得，即都在同一条抛物线上，抛物线消去，解得的方程为19．（13分）（2013•福建）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）、、的方向为，的一个法向量为=，取．∴==20．（14分）（2013•福建）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式（2）是否存在x0∈（），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．=（，）时，＜＜在（，）在（，）内单调递增，而（，=2）×+=个单位长度后得到函数）的图象，，）时，，＜，）内是否有解．（，（））在（，）内单调递增，）﹣（＞）在（，）内存在唯一零点，，，或，，（，），本题设有（21）、（22）、（23）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.21．（7分）（2013•福建）选修4﹣2：矩阵与变换已知直线l：ax+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1（I）求实数a，b的值（II）若点P（x0，y0）在直线l上，且，求点P的坐标．得，则有=，，又点，解得得22．（7分）（2013•福建）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且点A在直线l上．（Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）圆C的参数方程为，试判断直线l与圆C的位置关系．A上，得，＜23．（2013•福建）设不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集为A，且（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值．且。
2013年高考理科数学福建卷-答案
【提示】由对称性可取双曲线2241x y -＝的顶点()2,0±，渐近线12y x =±，利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离．【考点】双曲线的简单几何性质 4.【答案】B【解析】由频率分布直方图40~60分的频率为0.0050.01510)0.(2+⨯=，故估计不少于60分的学生人数为60010().2480⨯-=．【提示】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率⨯总数可求出所求． 【考点】频率分布直方图 5.【答案】B【解析】0a =时，方程变为20x b +=，则b 为1-，0，1，2都有解；0a ≠时，若方程220ax x b +=+有实数解，则2240ab =-∆≥，即1ab ≤．当1a =-时，b 可取1-，0，1，2．当1a =时，b 可取1-，0，1． 当2a =时，b 可取1-，0，故满足条件的有序对(),a b 的个数为443213+++=．【提示】由于关于x 的方程220ax x b +=+有实数根，所以分两种情况：（Ⅰ）当0a =时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于0，由此即可求出a 的取值范围；（Ⅱ）当0a ≠时，方程为20x b +=，此时一定有解．【考点】实系数一元二次方程 6.【答案】A【解析】当10k =时，执行程序框图如下：01S i ==，； 12S i ==，； 123S i =+=，；21224S i =++=，；…28122210S i =++⋯++=，；29122211S i =++⋯++=，【提示】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．解法二：（Ⅰ）由已知得，小明中奖的概率为3，小红中奖的概率为5，且两人中奖与否互不影响． 记“这2人的累计得分3X ≤”的事件为A ，则事件A 包含有“0X =”，“2X =”，“3X =”三个两两互斥的事件，因为221()113550P X ⎛⎫⎛⎫=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，222()13255P X ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭=，222()135135P X ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭=，所以011()()(23)()15P A P X P X P X =====++， 即这2人的累计得分3X ≤的概率为1115． （Ⅱ）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分1X ，都选择方案乙所获得的累计得分为2X ，则1X ，X 的分布列如下：所以102()49993E X ⨯+⨯+⨯==，29124120362525255()E X ⨯⨯⨯==＋＋ 因为12()()E X E X >，【提示】（Ⅰ）把2a =代入原函数解析式中，求出函数在1x =时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（Ⅱ）求出函数的导函数，由导函数可知，当0a ≤时，()0f x '>，函数在定义域(0,)+∞上单调递增，函数无极值，当0a >时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的【提示】（Ⅰ）由题意，求出过,1()9i A i i *∈≤≤N 且与x 轴垂直的直线方程为x i =，i B 的坐标为(10,)i ，即可得到直线i OB 的方程为10i y x =．联立方程10x ii y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，即可得到i P 满足的方程；（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为10y kx =+，与抛物线的方程联立得到一元二次方程，利用根与系数的关系，及利用面积公式4OCM OCN S S =△△，可得124|||x x =．即124x x =-．联立即可得到k ，进而得到直线方程．【考点】抛物线的标准方程，简单的几何性质，直线与抛物线的位置关系 19.【答案】（Ⅰ）取CD 的中点E ，连结BE ．∵AB DE ∥，3AB DE k ==，∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE AD ∥且4BE AD k ==．在BCE △中，∵4BE k =35CE k BC k ==，，∴222BE CE BC +=，∴90BEC ∠=︒，即BE CD ⊥， 又∵BE AD ∥，∴CD AD ⊥．∵1AA ABCD 平面⊥，CD ABCD ⊂平面，∴1AA CD ⊥．又1AA AD A =I ，∴11CD ADD A ⊥平面（Ⅱ）以D 为原点，DA u u u r ，DC u u u r ，1DD u u u ur 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，解得1k=，故所求k的值为1．【提示】（Ⅰ）取DC得中点E，连接BE，可证明四边形ABED是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE CD⊥，即CD AD⊥，又侧棱1AA ABCD⊥底面，可得1AA DC⊥，利用线面垂直的判定定理即可证明．（Ⅱ）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（Ⅲ）由题意可与左右平面1111ADD A BCC B，，上或下面1111ABCD A B C D，拼接得到方案，新四棱柱共有4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出()f k．当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向-∞， 当πx <且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞， 当πx >且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞， 当2πx <且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞．故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =(0,π)内无交点，在(π,2π)内有2个交点； 当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,π)内有2个交点，在(π,2π)内无交点； 当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,π)内有2个交点，在(π,2π)内有2个交点．由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)πn 内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)πn 内恰有2013个交点； 又11a a ==-或时，直线y a =与曲线()y h x =在()(0,ππ),2πU 内有3个交点， 由周期性，20133671=⨯，所以依题意得67121342n =⨯=综上，当11342a n ==，或11342a n =-=，时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)πn 内恰有2013个零点． 解法二：（Ⅰ）、（Ⅱ）同解法一．（Ⅲ）依题意，2()sin cos22sin sin 1F x a x x x a x =+=-++现研究函数()F x 在(0,2π]上的零点的情况．设sin t x =，2()2111()p t t at t =-++-≤≤，则函数()p t 的图象是开口向下的抛物线，又(0)10p =>，(1)1p a -=-，(1)1p a =-当1a >时，函数()p t 有一个零点1)0(1,t ∈-(另一个零点21t >，舍去)，()F x 在(0,2π]上有两个零点12x x ，，且12(π),2πx x ∈，；当1a <-时，函数()p t 有一个零点11(0),t ∈(另一个零点21t <-，舍去)，()F x 在(0,2π]上有两个零点12x x ，，且12)0,π(x x ∈，；当11a -<<时，函数()p t 有一个零点1)0(1,t ∈-，另一个零点21()0,t ∈，()F x 在(0,π)和(0,2π]分别有两个零点．由正弦函数的周期性，可知当1a ≠±时，函数()F x 在(0,)πn 内总有偶数个零点，从而不存在正整数n 满足题意．当1a =时，函数()p t 有一个零点1)0(1,t ∈-，另一个零点21t =； 当1a =-时，函数()p t 有一个零点11t =-，另一个零点t 2∈(0，1)，从而当1a =或1a =-时，函数()F x 在(0,2π]有3个零点．由正弦函数的周期性，20133671=⨯，所以依题意得67121342n =⨯=综上，当11342a n ==，或11342a n =-=，时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)πn 内恰有2013个零点． 【提示】（Ⅰ）依题意，可求得2ω=，π2ϕ=，利用三角函数的图象变换可求得()sin g x x =； （Ⅱ）依题意，ππ,64x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1sin 2x <10cos sin cos2sin cos22x x x x x <<⇒>＞，问题转化为方程2cos2sin sin cos2x x x x =+在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭内是否有解．通过()0G x '>，可知()G x 在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，而π06G ⎛⎫< ⎪⎝⎭，π04G ⎛⎫> ⎪⎝⎭，从而可得答案；。
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【答案】D
【解析】根据题意可知，令 f (x) x 1，则 A 选项正确；
令
f
(x)
5 2
x
5 2
8 (x 1)
(1
x
3)
，则
B
B． A {x | 1 x 3}, B {x | x 8或0 x 10}
D． A Z , B Q
…．．第九循环： S 29 1, i 10, i 10 ．第十循环： S 210 1, i 11, i 10 ，输出 S．
根据选项， S 1(1 210 ) ，故为数列 2n1 的前 10 项和．故答案 A． 1 2
7．在四边形 ABCD 中， AC (1, 2) ， BD (4, 2) ，则四边形的面积为（ ）
12 (2)2 5
2
5
．
4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为 6 组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80),
[80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生 600 名，据此估计，该
模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为（ ）
A． 5
【答案】C
B． 2 5
C．5
D．10
B．计算数列2n1的前 9 项和
D．计算数列2n 1的前 9 项和
【解析】由题意，容易得到 AC BD ．设对角线交于 O 点，则四边形面积等于四个三角形面积之和
即 S= 1 ( AO * DO AO * BO CO * DO CO * BO) 1 ( AC * BD ) ．容易算出 AC 5, BD 2 5 ，
2013年福建省高考(理科)数学试卷及答案(Word解析版)
2013年福建省高考数学试卷及解析（理工农医类）一．选择题1．已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位）、则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D【解析】z 的共轭复数12z i =+、则12z i =-、对应点的坐标为(1,2)-、故答案为D ． 2．已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】3,a A B =⇒⊆2A B a ⊆⇒=、或3．因此是充分不必要条件．3．双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A ．25 B ．45 CD【答案】C【解析】 2214x y -=的顶点坐标为(2,0)±、渐近线为2204x y -=、即20x y ±=．带入点到直线距离公式d ==． 4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生、将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计、得到如图所示的频率分布直方图、已知高一年级共有学生600名、据此估计、该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ） A ．588 B ．480 C ．450 D ．120【答案】B【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和、由图知道(0.030.0250.0150.01)*P =+++=故分数在60以上的人数为600*0．8=480人．5．满足{},1,0,1,2a b ∈-、且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．10 【答案】B【解析】方程220ax x b ++=有实数解、分析讨论①当0a =时、很显然为垂直于x 轴的直线方程、有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对②当0a ≠时、需要440ab ∆=-≥、即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意、分别为（1,2）、（2,1）、（2,2）．(,)a b 共有4*4=16中实数对、故答案应为16-3=13．6．阅读如图所示的程序框图、若输入的10k =、则该算法的功能是（ ）A ．计算数列{}12n -的前10项和 B ．计算数列{}12n -的前9项和C ．计算数列{}21n -的前10项和D ．计算数列{}21n-的前9项和【答案】C【解析】第一循环：1,2S i ==、10i <第二条：3,3,10S i i ==<第三条：7,4,10S i i ==<…．．第九循环：921,10,10S i i =-==．第十循环：1021,11,10S i i =-=>、输出S ．根据选项、101(12)12S -=-、故为数列12n -的前10项和．故答案A ．7．在四边形ABCD 中、(1,2)AC =、(4,2)BD =-、则四边形的面积为（ ）A B ． C ．5 D ．10【答案】C【解析】由题意、容易得到AC BD ⊥．设对角线交于O 点、则四边形面积等于四个三角形面积之和 即S=11(****)(*)22AO DO AO BO CO DO CO BO AC BD +++=．容易算出AC BD ==、则算出S=5．故答案C8．设函数()f x 的定义域为R 、00(0)x x ≠是()f x 的极大值点、以下结论一定正确的是（ ）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点 【答案】D【解析】A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤、错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点、并不是最大值点．B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像、故0x -应是()f x -的极大值点C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像、故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系．D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象、再关于x 轴的对称图像．故D 正确9．已知等比数列{}n a 的公比为q 、记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=∙∙∙∈则以下结论一定正确的是（ ）A ．数列{}n b 为等差数列、公差为mq B ．数列{}n b 为等比数列、公比为2mq C ．数列{}n c 为等比数列、公比为2m q D ．数列{}n c 为等比数列、公比为mm q【答案】C【解析】等比数列{}n a 的公比为q,同理可得2222222,m m m mm m m a a a a a a ++++=∙=∙112...m c a a a =∙∙∙,212...,m m m m c a a a +++=∙∙∙321222...,m m m m c a a a +++=∙∙∙2213c c c ∴=∙∴数列{}n c 为等比数列、2221212211212............m m m m m m m m m ma a a a a a q c q q c a a a a a a +++∙∙∙∙∙∙∙====∙∙∙∙∙∙故选C10．设S 、T 、是R 的两个非空子集、如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(){()|};()i T f x x S ii =∈对任意12,,x x S ∈当12x x <时、恒有12()()f x f x <、那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A ．*,A NB N == B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或C ．{|01},A x x B R =<<=D ．,A Z B Q == 【答案】D【解析】根据题意可知、令()1f x x =-、则A 选项正确；令55(13)()228(1)x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-=-⎩、则B 选项正确； 令1()tan ()2f x x π=-、则C 选项正确；故答案为D ．二．填空题11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a 、则时间“310a ->”发生的概率为________ 【答案】23【解析】13103a a ->∴>a 产生0~1之间的均匀随机数1(,1)3a ∴∈112313p -∴==12．已知某一多面体内接于一个简单组合体、如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示、且图中的四边形是边长为2的正方形、则该球的表面积是_______________【答案】12π【解析】由图可知、图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体、24122R S R ππ∴====球表13．如图ABC ∆中、已知点D 在BC 边上、AD ⊥AC、sin 33BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________【解析】sin sin()cos 23BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD+-∠=∙BD ==14．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左．右焦点分别为12,F F 、焦距为2c 、若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠、则该椭圆的离心率等于__________1【解析】由直线方程)y x c +⇒直线与x 轴的夹角12233MF F ππ∠=或、且过点1-F （c,0）12212MF F MF F ∠=∠∴122123MF F MF F π∠=∠=即12F M F M ⊥12RT F MF ∴∆在中，12122,,F F c FM c F M ===∴由椭圆的第一定义可得21c a c a =∴== 15．当,1x R x ∈<时、有如下表达式:211.......1nx x x x+++++=- 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法、计算：122311111111()()...()_____2223212nn n n n n n C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+ 【答案】113[()1]12n n +-+【解析】由01221......(1)n nn n n n n C C x C x C x x +++++=+两边同时积分得：111112222220001......(1).nn n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：122311*********()()...()[()1]222321212n n n n n n n n n C C C C ++⨯+⨯+⨯++⨯=-++ 三．解答题 16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动、举办方设置了甲．乙两种抽奖方案、方案甲的中奖率为23、中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25、中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会、每次抽奖中将与否互不影响、晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖、小红选择方案乙抽奖、记他们的累计得分为,X Y 、求3X ≤的概率；（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖、问：他们选择何种方案抽奖、累计的得分的数学期望较大？本小题主要考查古典概型．离散型随机变量的分布列．数学期望等基础知识、考查数据处理能力．运算求解能力．应用意识、考查必然和或然思想、满分13分． 解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为23、小红中奖的概率为25、两人中奖与否互不影响、记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A 、则A 事件的对立事件为“5=X ”、224(5)3515==⨯=P X 、11()1(5)15∴=-==P A P X ∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115． （Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X 、都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X 、则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X 、选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X由已知：12~(2,)3X B 、22~(2,)5X B124()233∴=⨯=E X 、224()255=⨯=E X118(2)2()3∴==E X E X 、2212(3)3()5==E X E X12(2)(3)>E X E X∴他们都在选择方案甲进行抽奖时、累计得分的数学期望最大．17．（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈ （1）当2a =时、求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值．本小题主要考查函数．函数的导数．不等式等基础知识、考查运算求解能力、考查函数与方程思想．分类与整合思想、数形结合思想．化归与转化思想．满分13分． 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞、()1'=-a f x x． （Ⅰ）当2=a 时、()2ln =-f x x x 、2()1(0)'=->f x x x、 (1)1,(1)1'∴==-f f 、()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x 、即20+-=x y ．（Ⅱ）由()1,0-'=-=>a x a f x x x x可知： ①当0≤a 时、()0'>f x 、函数()f x 为(0,)+∞上的增函数、函数()f x 无极值； ②当0>a 时、由()0'=f x 、解得=x a ；(0,)∈x a 时、()0'<f x 、(,)∈+∞x a 时、()0'>f x()∴f x 在=x a 处取得极小值、且极小值为()ln =-f a a a a 、无极大值．综上：当0≤a 时、函数()f x 无极值当0>a 时、函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a 、无极大值．18．（本小题满分13分）如图、在正方形OABC 中、O 为坐标原点、点A 的坐标为(10,0)、点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分、分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B 、连结i OB 、过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤． （1）求证：点*(,19)iP i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上、并求该抛物线E 的方程； （2）过点C 做直线l 与抛物线E 交于不同的两点,M N 、若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1、求直线l 的方程．本小题主要考查抛物线的性质．直线与抛物线的位置关系等基础知识、考查运算求解能力．推理论证能力、考查化归与转化思想、数形结合思想．函数与方程思想．满分13分．解：（Ⅰ）依题意、过*(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,)i B i 、∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y 、由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x iiy x 得：2110=y x 、即210=x y 、 ∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上、且抛物线E 方程为210=x y（Ⅱ）依题意：直线l 的斜率存在、设直线l 的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k 、直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N 设：1122(,)(,)M x y N x y 、则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆=OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅<x x 、∴124=-x x分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y、解得32=±k 直线l 的方程为3+102=±y x 、即32200-+=x y 或3+2200-=x y 19．（本小题满分13分）如图、在四棱柱1111ABCD A B C D -中、侧棱1AA ABCD ⊥底面、//AB DC 、11AA =、3AB k =、4AD k =、5BC k =、6DC k =(0)k >．（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67、求k 的值； （3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱、规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同、则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中、记其中最小的表面积为()f k 、写出()f k 的表达式（直接写出答案、不必要说明理由）本小题主要考查直线与直线．直线与平面的位置关系．柱体的概念及表面积等基础知识、考查空间想象能力．推理论证能力．运算求解能力、考查数形结合思想．分类与整合思想．化归与转化思想、满分13分． 解：（Ⅰ）取CD 中点E 、连接BE//AB DE Q 、3AB DE k == ∴四边形ABED 为平行四边形//BE AD ∴且4BE AD k ==在BCE V 中、4,3,5BE k CE k BC k ===Q222BE CE BC ∴+=90BEC ∴∠=︒,即BE CD ⊥、又//BE AD Q 、所以CD AD ⊥1AA ⊥Q 平面ABCD 、CD ⊂平面ABCD 1AA CD ∴⊥、又1AA AD A =I 、CD ∴⊥平面11ADD A（Ⅱ）以D 为原点、1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u r的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系(4,0,0)A k 、(0,6,0)C k 、1(4,3,1)B k k 、1(4,0,1)A k所以(4,6,0)AC k k =-u u u r 、1(0,3,1)AB k =u u u r 、1(0,0,1)AA =u u u r设平面1AB C 的法向量(,,)n x y z =、则由10AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuu r得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取2y =、得(3,2,6)n k =-设1AA 与平面1AB C 所成角为θ、则111,sin |cos ,|||||AA nAA n AA n θ=〈〉=⋅uuu ruuu r uuu r67==、解得1k =．故所求k 的值为1 （Ⅲ）共有4种不同的方案2257226,018()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩20．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π、图像的一个对称中心为(,0)4π、将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）、在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像． （1）求函数()f x 与()g x 的解析式； （2）是否存在0(,)64x ππ∈、使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在、请确定0x 的个数； 若不存在、说明理由．（3）求实数a 与正整数n 、使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点． 本小题主要考查同角三角函数的基本关系．三角恒等变换．三角函数的图像与性质．函数．函数的导数．函数的零点．不等式等基础知识、考查运算求解能力．抽象概括能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想．化归与转化思想、满分14分． 解：（Ⅰ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π、0ω>、得2ω= 又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π、(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=、得2πϕ=、所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象、再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =（Ⅱ）当(,)64x ππ∈时、1sin 2x <<、10cos 22x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解 设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-、(,)64x ππ∈则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈、所以()0G x '>、()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<、()04G π=> 且函数()G x 的图象连续不断、故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x 、 即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 （Ⅲ）依题意、()sin cos 2F x a x x =+、令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =、即()x k k Z π=∈时、cos 21x =、从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解、所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-、()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin xh x x=-、(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x+'=、令()0h x '=、得2x π=或32x π= 当x 变化时、()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时、()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时、()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时、()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时、()h x 趋向于+∞故当1a >时、直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点、在(,2)ππ内有2个交点； 当1a <-时、直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点、在(,2)ππ内无交点； 当11a -<<时、直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点、在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性、可知当1a ≠±时、直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点、从而不存在正整数n 、使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时、直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点、由周期性、20133671=⨯、所以67121342n =⨯=综上、当1a =±、1342n =时、函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点 21．（本题满分14分） （1）（本小题满分7分）矩阵与变换已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=． （1）求实数,a b 的值；（2）若点00(,)p x y 在直线l 上、且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、求点p 的坐标．本小题主要考查矩阵．矩阵与变换等基础知识、考查运算求解能力．考查化归与转化思想．满分7分．解：解：（Ⅰ）设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭、得2x x y y y '=+⎧⎨'=⎩ 又点(,)M x y '''在l '上、所以1x by ''+=、即(2)1x b y ++=依题意121a b =⎧⎨+=⎩、解得11a b =⎧⎨=-⎩（Ⅱ）由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y = 又点00(,)P x y 在直线l 上、所以01x = 故点P 的坐标为(1,0)（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程在平面直角坐标系中、以坐标原点为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为)4π、直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=、且点A 在直线l 上．（1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程；（2）圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩、（α为参数）、试判断直线l 与圆的位置关系．本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化．圆的参数方程等基础知识．考查运算求解能力、考查化归与转化思想、满分7分．解：（Ⅰ）由点)4A π在直线cos()4a πρθ-=上、可得a =所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+= 从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=（Ⅱ）由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+= 所以圆心为(1,0)、半径1r =以为圆心到直线的距离12d =<、所以直线与圆相交 （3）（本小题满分7分）不等式选讲 设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A 、且32A ∈、12A ∉． （1）求a 的值；（2）求函数()2f x x a x =++-的最小值．本小题主要考查绝对猪不等式等基础知识、考查运算求解能力、考查化归与转化思想、满分7分． 解：（Ⅰ）因为32A ∈、且12A ∉、所以322a -<、且122a -≥解得1322a <≤、又因为*a N ∈、所以1a = （Ⅱ）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤、即12x -≤≤时取得等号、所以()f x 的最小值为3。
福建省2013年普通高三数学全国统一模拟考试试题 理 新人教A版
2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试卷(理工农医类)本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）， 第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签）笔或碳素笔书写，字体工整、笔记清楚．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据12,x x ，…，n x 的标准差 锥体体积公式22121[()()()]n s x x x x x x n ---=-+-++-… 13V Sh =其中x -为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh = 2344,3S R V R ==ππ 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的，把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1. 若2ia bi i+=+（,,a b R i ∈为虚数单位），a b +=则（ ） A.1 B. 3 C.－1 D.－32A ．B ．C ．D ． 3．根据某市环境保护局公布2007-2012这六年每年的空天数350340330*********气质量优良的天数，绘制折线图如图．根据图中信息可知，这六年的每年空气质量优良天数的中位数是 A.300B. 305C.315D. 320 ４.已知函数()af x x x=+，则“4a =”是“函数()f x 在(2,)+∞上为增函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5.已知命题“直线l 与平面α有公共点”是真命题，那么下列命题： ①直线l 上的点都在平面α内； ②直线l 上有些点不在平面α内；③平面α内任意一条直线都不与直线l 平行． 其中真命题的个数是 A.3 B.2 C.1 D.06．已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ） A ．8?n ≤ B ．9?n ≤C ．10?n ≤D ．11?n ≤7．已知正方形ABCD 边长为2,在正方形ABCD 内任意取一点M ，则点M 到边BC 的距离大于M 到点A 的距离的概率为( ) A.31 B. 61 C.32 D.65 8.已知点P 是△ABC 所在平面内的一点，边AB 的中点为D ，若2(1)PD PA CB λ=-+，其中R ∈λ，则点P 一定在 A ．AB 边所在的直线上 B ．BC 边所在的直线上 C ．AC 边所在的直线上D ．△ABC 的内部9．在平面直角坐标系xoy 中，两个非零向量,OA OB 与x 轴正半轴的夹角分别为6π和23π，向量OC 满足0OA OB OC ++=，则OC 与x 轴正半轴夹角的取值范围是( ) A.0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B.5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C.2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.25,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭10．定义：平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度相同)称为平面斜坐标系．在平面斜坐标系xOy 中，xOy θ∠=，平面上任意一点P 关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若12OP x y =+e e （其中1e ，2e 分别是x 轴，y 轴同方向的单位向量），则P 点的斜坐标为(x ，y )，向量OP 的斜坐标为(x ，y )．给出以下结论： ①若60θ=，P (2,－1)，则||3OP =；②若11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则1212(,)OP OQ x x y y +=++； ③若11(,)OP x y =，22(,)OQ x y =，则1212OP OQ x x y y ⋅=+；④若60θ=，以O 为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为2210x y xy ++-=．其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2C ． 3D ．4第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 11.341()x x -展开式中常数项为 ．12.已知函数()f x cos ,0,1,0,x x x ≥⎧=⎨<⎩，则22()d f x x π-⎰的值等于 ．13．在区间]2,0[上任取两个数a ，b ，能使函数()f x 1ax b =++在区间]1,1[-内有零点的概率等于________.14．“求方程34()()155x x +=的解”有如下解题思路：设34()()()55x x f x =+，则()f x 在R 上单调递减，且(2)1f =，所以原方程有唯一解2x =。
2013年高考数学真题(理)-福建
2013年高考数学真题（理）-福建（2013 福建 理 1）已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【答案】D【解析】z 的共轭复数12z i =+，则12z i =-，对应点的坐标为(1,2)-，故答案为D 。
（2013 福建 理 2）已知集合{}1,A a =，{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】3,a A B =⇒⊆2A B a ⊆⇒=，或3，因此是充分不必要条件。
（2013 福建 理 3）双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A.25 B.45C.D.【答案】C【解析】2214x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204x y -=，即20x y ±=。
带入点到直线距离公式d ==。
（2013 福建 理 4）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图。
已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）A.588B.480C.450D.120 【答案】B【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道(0.030.0250.0150.01)*100.8P =+++=，故分数在60以上的人数为600×0.8=480人。
（2013 福建 理 5）满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）A.14B.13C.12D.10 【答案】B【解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论：①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对。
2013年福建省高考数学试卷(理科)学生版
2013 年福建省高考数学试卷（理科）一、选择题：此题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分．在每题给出的四个选项中，只有一项切合题目的要求的 .1．（5 分）（2013?福建）已知复数 z 的共轭复数（i 为虚数单位），则 z在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5 分）（2013?福建）已知会合A={ 1，a} ，B={ 1，2，3} ，则 “ a=3是”“A ?B “的（）A ．充足而不用要条件B ．必需而不充足条件C ．充足必需条件D ．既不充足也不用要条件3．（ 5 分）（ 2013?福建）双曲线的极点到渐近线的距离等于 （ ）A ．B ．C ．D ．4．（5 分）（2013?福建）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分红 6 组：[ 40，50），[ 50，60），[ 60，70），[ 70，80），[ 80，90），[ 90，100] 加以统计，获得以下图的频次散布直方图．已知高一年级共有学生 600 名，据此预计，该模块测试成绩许多于 60 分的学生人数为（ ）A ．588B ．480C ．450D ．120， ∈﹣，，，，且对于 x 的方程 2+2x+b=05．（ 5 分）（ 2013?福建）知足 a b {1012} ax 有实数解的有序数对的个数为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．106．（ 5 分）（2013?福建）阅读以下图的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（）A．算数列 { 2n﹣1} 的前 10 和B．算数列 { 2n﹣1} 的前 9 和C．算数列 { 2n1} 的前 10 和D．算数列 { 2n1} 的前 9 和7．（5 分）（2013?福建）在四形ABCD 中，=（1，2），=（ 4， 2），四形的面（）A．B．C．5D．10 8．（5 分）（2013?福建）函数 f（x）的定域 R，x0（ x0≠0）是 f （x）的极大点，以下必定正确的选项是（）A．? x∈R，f（x）≤ f （x0）B． x0是 f （ x）的极小点C． x0是 f （x）的极小点D． x0是 f （ x）的极小点9．（5 分）（2013?福建）已知等比数列 { a n} 的公比 q， b n=a m（n﹣1）+1+a m（n﹣1）+⋯+a m（n﹣1）+m，c n=a m（n﹣1） +1?a m（n﹣1） +2?⋯?a m（n﹣1）+m，（m，n∈N*），以下+2必定正确的选项是（）A．数列 { b n} 等差数列，公差q mB．数列 { b n} 为等比数列，公比为q2mC．数列 { c n} 为等比数列，公比为D．数列 { c n} 为等比数列，公比为10．（ 5 分）（2013?福建）设 S， T 是 R 的两个非空子集，假如存在一个从S 到 T 的函数 y=f（x）知足：（i）T={ f（x）| x∈ S} ；（ ii）对随意 x1，x2∈ S，当 x1＜x2时，恒有 f（x1）＜ f（ x2），那么称这两个会合“保序同构”，以下会合对不是“保序同构”的是（）A．A=N*，B=NB．A={ x| ﹣ 1≤ x≤3} ，B={ x| x=﹣8 或 0＜ x≤10}C．A={ x| 0＜x＜1} ， B=RD．A=Z，B=Q二、填空题：本大题共 5 小题，每题 4 分，共 20 分．把答案填写在答题卡的相应地点 .11．（4 分）（ 2013?福建）利用计算机产生0～1 之间的平均随机数a，则事件“ 3a﹣1＞0”发生的概率为．12．（ 4 分）（2013?福建）已知某一多面体内接于球组成一个简单组合体，假如该组合体的正视图、俯视图、均以下图，且图中的四边形是边长为 2 的正方形，则该球的表面积是．13．（4 分）（ 2013?福建）如图，在△ ABC中，已知点 D 在 BC边上， AD⊥ AC，sin ∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为．14．（4 分）（ 2013?福建）椭圆Γ：=1（ a＞ b＞ 0）的左右焦点分别为F1，F 2，焦距 2c，若直 y=与Γ的一个交点M足∠ MF1F2=2∠MF2F1，的离心率等于．15．（4 分）（2013?福建）当 x∈R，| x| ＜1 ，有以下表达式： 1+x+x2 +⋯+x n+⋯=两同分得：dx+xdx+x2dx+⋯+x n dx+⋯=dx进而获得以低等式： 1× + ×（）2+ ×（）3 +⋯+×（）n+1+⋯=ln2依据以上资料所含的数学思想方法，算：× +×（）2+×（）3+⋯+×（）n+1=．三、解答：本大共5 小，共 80 分．解答写出文字明、明程或演算步 .16．（ 13 分）（2013?福建）某晚会行抽活，方置了甲、乙两种抽方案，方案甲的中率，中能够得 2 分；方案乙的中率，中能够得 3 分；未中不得分．每人有且只有一次抽时机，每次抽中与否互不影响，晚会束后凭分数品．（ 1）若小明方案甲抽，小方案乙抽，他的累得分x，求 x≤3 的概率；（2）若小明、小两人都方案甲或都方案乙行抽，：他何种方案抽，累得分的数学希望大？17．（ 13 分）（ 2013?福建）已知函数 f （x）=x alnx（a∈R）（1）当 a=2 ，求曲 y=f（x）在点 A（1，f （1））的切方程；（2）求函数 f（ x）的极．18．（ 13 分）（ 2013?福建）如，在正方形OABC中， O 坐原点，点 A 的坐（ 10， 0），点 C 的坐（ 0，10），分将段 OA 和 AB 十平分，分点分 A1，A2，⋯，A9和 B1，B2，⋯，B9，接 OB i， A i作 x 的垂与OB i，交于点，．（ 1）求：点，都在同一条抛物上，并求抛物 E 的方程；（2）过点 C 作直线 l 与抛物线 E 交于不一样的两点 M，N，若△ OCM 与△ OCN 的面积之比为 4：1，求直线 l 的方程．19．（ 13 分）（2013?福建）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱 AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k， DC=6k，（k＞0）（1）求证： CD⊥平面 ADD1A1（ 2）若直线 AA1与平面 AB1C 所成角的正弦值为，求k的值（3）现将与四棱柱 ABCD﹣ A1B1C1D1形状和大小完整同样的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完整同样，则视为同一种拼接方案，问共有几种不一样的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记此中最小的表面积为 f（ k），写出 f（k）的分析式．（直接写出答案，不用说明原因）20．（ 14 分）（2013?福建）已知函数f（ x） =sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（， 0），将函数 f（x）图象上全部点的横坐标伸长到本来的 2 倍（纵坐标不变），再将获得的图象向右平移个单位长度后获得函数 g（x）的图象．（ 1）求函数 f（ x）与 g（x）的分析式（ 2）能否存在 x0∈（，），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）依据某种顺序成等差数列？若存在，请确立x0的个数，若不存在，说明原因；（3）务实数 a 与正整数 n，使得 F（x）=f（x）+ag（x）在（ 0，nπ）内恰有2013 个零点．此题设有（ 21）、（22）、（23）三个选考题，每题满分 14 分.假如多做，则按所做的前两题计分.21．（ 7 分）（2013?福建）选修 4﹣2：矩阵与变换7 分，请考生任选 2 题作答，已知直线l：ax+y=1 在矩阵对应的变换作用下变成直线l ：′x+by=1（ I）务实数a，b 的值（ II）若点P（x0，y0）在直线l 上，且，求点P 的坐标．22．（ 7 分）（2013?福建）选修在直角坐标系中，以坐标原点4﹣4：坐标系与参数方程O 为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．已知点A 的极坐标为，，直线l 的极坐标方程为，且点A 在直线l 上．（Ⅰ）求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程；（Ⅱ）圆 C 的参数方程为为参数，试判断直线l 与圆 C 的地点关系．23．（ 2013?福建）设不等式 | x﹣ 2| ＜a（a∈ N*）的解集为 A，且，（Ⅰ）求 a 的值（Ⅱ）求函数 f （x）=| x+a|+| x﹣2| 的最小值．。
2013年福建省高考数学试卷(理科)及解析
2013年福建省高考数学试卷（理科）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分、在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.1、（5分）已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限2、（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件3、（5分）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（）A、B、C、D、4、（5分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图、已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A、588B、480C、450D、1205、（5分）满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（）A、14B、13C、12D、106、（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（）A、计算数列{2n﹣1}的前10项和B、计算数列{2n﹣1}的前9项和C、计算数列{2n﹣1}的前10项和D、计算数列{2n﹣1}的前9项和7、（5分）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（）A、B、C、5 D、108、（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A、∀x∈R，f（x）≤f（x0）B、﹣x0是f（﹣x）的极小值点C、﹣x0是﹣f（x）的极小值点D、﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点9、（5分）已知等比数列{a n}的公比为q，记b n=a m（n﹣1）+1+a m（n﹣1）+2+…+a m（n﹣1）+m，c n=a m（n﹣1）+1•a m（n﹣1）+2•…•a m（n﹣1）+m，（m，n∈N*），则以下结论一定正确的是（）A、数列{b n}为等差数列，公差为q mB、数列{b n}为等比数列，公比为q2mC、数列{c n}为等比数列，公比为D、数列{c n}为等比数列，公比为10、（5分）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）A、A=N*，B=NB、A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}C、A={x|0＜x＜1}，B=RD、A=Z，B=Q二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分、把答案填写在答题卡的相应位置.11、（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为、12、（4分）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是、13、（4分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为、14、（4分）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于、15、（4分）当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+…+x n+…=两边同时积分得：dx+xdx+x2dx+…+x n dx+…=dx从而得到如下等式：1×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1+…=ln2请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1=、三、解答题：本大题共5小题，共80分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16、（13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分、每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品、（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？17、（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值、18、（13分）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，连接OB i，过A i作x轴的垂线与OB i，交于点、（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程、19、（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式、（直接写出答案，不必说明理由）20、（14分）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象、（1）求函数f（x）与g（x）的解析式（2）是否存在x0∈（），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点、本题设有（21）、（22）、（23）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.21、（7分）选修4﹣2：矩阵与变换已知直线l：ax+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1（I）求实数a，b的值（II）若点P（x0，y0）在直线l上，且，求点P的坐标、22、（7分）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系、已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且点A 在直线l上、（Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）圆C的参数方程为，试判断直线l与圆C的位置关系、23、设不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集为A，且（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值、2013年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分、在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.1、（5分）已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【分析】：求出复数z，复数z的对应点的坐标，即可得到选项、【解答】：解：因为复数z的共轭复数，所以z=1﹣2i，对应的点的坐标为（1，﹣2）、z在复平面内对应的点位于第四象限、故选：D、【点评】：本题考查复数的代数表示以及几何意义，基本知识的考查、2、（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件【分析】：先有a=3成立判断是否能推出A⊆B成立，反之判断“A⊆B”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论、【解答】：解：当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选：A、【点评】：本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件、3、（5分）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（）A、B、C、D、【分析】：由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离、【解答】：解：由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，则顶点到渐近线的距离d=、故选：C、【点评】：熟练掌握双曲线的顶点、渐近线方程及得到直线的距离公式是解题的关键、4、（5分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图、已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A、588B、480C、450D、120【分析】：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求、【解答】：解：根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为1﹣10×（0.005+0.015）=0.8、由于该校高一年级共有学生600人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不低于60（分）的人数为600×0.8=480人、故选：B、【点评】：本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力、5、（5分）满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（）A、14B、13C、12D、10【分析】：由于关于x的方程ax2+2x+b=0有实数根，所以分两种情况：（1）当a≠0时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于0，由此即可求出a 的取值范围；（2）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解、【解答】：解：（1）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解；此时b=﹣1，0，1，2；即（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2）四种、（2）当a≠0时，方程为一元二次方程，∴△=4﹣4ab≥0，∴ab≤1、所以a=﹣1，1，2，此时a，b的对数为（﹣1，0），（﹣1，2），（﹣1，﹣1），（﹣1，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），共9种，关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为13种，故选：B、【点评】：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，在解题时要注意分类讨论思想运用、考查分类讨论思想、6、（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（）A、计算数列{2n﹣1}的前10项和B、计算数列{2n﹣1}的前9项和C、计算数列{2n﹣1}的前10项和D、计算数列{2n﹣1}的前9项和【分析】：从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能、【解答】：解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0，i=1；判断i＞10不成立，执行S=1+2×0=1，i=1+1=2；判断i＞10不成立，执行S=1+2×1=1+2，i=2+1=3；判断i＞10不成立，执行S=1+2×（1+2）=1+2+22，i=3+1=4；…判断i＞10不成立，执行S=1+2+22+…+29，i=10+1=11；判断i＞10成立，输出S=1+2+22+ (29)算法结束、故则该算法的功能是计算数列{2n﹣1}的前10项和、故选：A、【点评】：本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律、7、（5分）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（）A、B、C、5 D、10【分析】：通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可、【解答】：解：因为在四边形ABCD中，，，=0，所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又，，该四边形的面积：==5、故选：C、【点评】：本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力、8、（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A、∀x∈R，f（x）≤f（x0）B、﹣x0是f（﹣x）的极小值点C、﹣x0是﹣f（x）的极小值点D、﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点【分析】：A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，故不正确；B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点；C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点；D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f （﹣x）的极小值点、【解答】：解：对于A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A错误；对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点，故B错误；对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点，故C错误；对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确、故选：D、【点评】：本题考查函数的极值，考查函数图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题、9、（5分）已知等比数列{a n}的公比为q，记b n=a m（n﹣1）+1+a m（n﹣1）+2+…+a m（n﹣1）+m，c n=a m（n﹣1）+1•a m（n﹣1）+2•…•a m（n﹣1）+m，（m，n∈N*），则以下结论一定正确的是（）A、数列{b n}为等差数列，公差为q mB、数列{b n}为等比数列，公比为q2mC、数列{c n}为等比数列，公比为D、数列{c n}为等比数列，公比为【分析】：①，当q=1时，b n=ma m（n﹣1），b n+1=ma m（n﹣1）+m =ma m（n﹣1）=b n，此时是常数列，可判断A，B两个选项②由于等比数列{a n}的公比为q，利用等比数列的通项公式可得，=，得出即可判断出C，D两个选项、【解答】：解：①，当q=1时，b n=ma m（n﹣1），b n+1=ma m（n﹣1）+m =ma m（n﹣1）=b n，此时是常数列，选项A不正确，选项B正确；当q≠1时，，=，此时，选项B不正确，又b n﹣b n=，不是常数，故选项A不正确，+1②∵等比数列{a n}的公比为q，∴，∴=，∴===，故C正确D不正确、综上可知：只有C正确、故选：C、【点评】：熟练掌握等差数列与等比数列的定义、通项公式及其前n项和公式是解题的关键、10、（5分）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）A、A=N*，B=NB、A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}C、A={x|0＜x＜1}，B=RD、A=Z，B=Q【分析】：利用题目给出的“保序同构”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即B 是函数的值域，且函数为定义域上的增函数、排除掉是“保序同构”的，即可得到要选择的答案、【解答】：解：对于A=N*，B=N，存在函数f（x）=x﹣1，x∈N*，满足：（i）B={f （x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项A是“保序同构”；对于A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}，存在函数，满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项B是“保序同构”；对于A={x|0＜x＜1}，B=R，存在函数f（x）=tan（），满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项C是“保序同构”；前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有D、故选：D、【点评】：本题是新定义题，考查了函数的定义域和值域，考查了函数的单调性，综合考查了不同类型函数的基本性质，是基础题、二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分、把答案填写在答题卡的相应位置.11、（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为、【分析】：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生随机数a所对应图形的长度，及事件“3a﹣1＞0”对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解、【解答】：解：3a﹣1＞0即a＞，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为P==、故答案为：、【点评】：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关、12、（4分）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是12π、【分析】：由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2，求出球的半径，然后求出球的表面积即可、【解答】：解：由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2，球的直径就是正方体的体对角线的长，所以2r=，r=，所以球的表面积为：4πr2=12π、故答案为：12π、【点评】：本题考查三视图与几何体的关系，球的内接体以及球的表面积的求法，考查空间想象能力与计算能力、13、（4分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为、【分析】：由∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAC=90°，得到∠BAC=∠BAD+90°，代入并利用诱导公式化简sin∠BAC，求出cos∠BAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cos∠BAD的值，利用余弦定理即可求出BD的长、【解答】：解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°，∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=，在△ABD中，AB=3，AD=3，根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD=18+9﹣24=3，则BD=、故答案为：【点评】：此题考查了余弦定理，诱导公式，以及垂直的定义，熟练掌握余弦定理是解本题的关键、14、（4分）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于、【分析】：由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角α=60°、又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，可得，进而、设|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出a，c即可、【解答】：解：如图所示，由直线可知倾斜角α与斜率有关系=tanα，∴α=60°、又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴，∴、设|MF2|=m，|MF1|=n，则，解得、∴该椭圆的离心率e=、故答案为、【点评】：本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含30°角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识，考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法、15、（4分）当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+…+x n+…=两边同时积分得：dx+xdx+x2dx+…+x n dx+…=dx从而得到如下等式：1×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1+…=ln2请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1=、【分析】：根据二项式定理得C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n=（1+x）n，两边同时积分整理后，整理即可得到结论、【解答】：解：二项式定理得C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n=（1+x）n，对C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n=（1+x）n两边同时积分得：从而得到如下等式：=故答案为：、【点评】：本题主要考查二项式定理的应用、是道好题，解决问题的关键在于对C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n=（1+x）n，两边同时积分，要是想不到这一点，就变成难题了、三、解答题：本大题共5小题，共80分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16、（13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分、每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品、（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【分析】：（1）记“他们的累计得分X≤3”的事事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，先根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出他们的累计得分x≤3的概率、（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，甲小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1），都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）、根据题意知X1～B（2，），X2～B（2，），利用贝努利概率的期望公式计算即可得出E（2X1）＞E（3X2），从而得出答案、【解答】：解：（1）由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，记“他们的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，因为P（X=5）=，∴P（A）=1﹣P（X=5）=；即他们的累计得分x≤3的概率为、（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1）都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）由已知可得，X1～B（2，），X2～B（2，），∴E（X1）=2×=，E（X2）=2×=，从而E（2X1）=2E（X1）=，E（3X2）=3E（X2）=，由于E（2X1）＞E（3X2），∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大、【点评】：本题考查利用概率知识解决实际问题，考查分类讨论的数学思想，考查数学期望的计算，确定X服从的分布是解题的关键、17、（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值、【分析】：（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值、【解答】：解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），、（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，，因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0（2）由，x＞0知：①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a、又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0、从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值、综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值、【点评】：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论得数学思想，属中档题、18、（13分）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，连接OB i，过A i作x轴的垂线与OB i，交于点、（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程、【分析】：（I）由题意，求出过且与x轴垂直的直线方程为x=i ，B i 的坐标为（10，i ），即可得到直线OB i 的方程为、联立方程，即可得到P i 满足的方程；（II ）由题意，设直线l 的方程为y=kx +10，与抛物线的方程联立得到一元二次方程，利用根与系数的关系，及利用面积公式S △OCM =S △OCN ，可得|x 1|=4|x 2|、即x 1=﹣4x 2、联立即可得到k ，进而得到直线方程、 【解答】：（I ）证明：由题意，过且与x 轴垂直的直线方程为x=i ，B i 的坐标为（10，i ）， ∴直线OB i 的方程为、 设P i （x ，y ），由，解得，即x 2=10y 、∴点都在同一条抛物线上，抛物线E 的方程为x 2=10y 、（II ）由题意，设直线l 的方程为y=kx +10， 联立消去y 得到x 2﹣10kx ﹣100=0，此时△＞0，直线与抛物线恒有两个不同的交点，设为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2=10k ，x 1x 2=﹣100， ∵S △OCM =4S △OCN ，∴|x 1|=4|x 2|、∴x 1=﹣4x 2、 联立，解得、∴直线l 的方程为、即为3x +2y ﹣20=0或3x ﹣2y +20=0、【点评】：本题主要考查了抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系、三角形的面积等基础知识，考查了推理能力、转化与化归方法、计算能力、数形结合的思想方法、函数与方程得思想方法、分析问题和解决问题的能力、19、（13分）如图，在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1=1，AB=3k ，AD=4k ，BC=5k ，DC=6k ，（k ＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式、（直接写出答案，不必说明理由）【分析】：（1）取DC得中点E，连接BE，可证明四边形ABED是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又侧棱AA1⊥底面ABCD，可得AA1⊥DC，利用线面垂直的判定定理即可证明、（2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案、写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f （k）、【解答】：（1）证明：取DC的中点E，连接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE2+EC2=（4k）2+（3k）2=（5k）2=BC2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD，又∵BE∥AD，∴CD⊥AD、∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD，∵AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1、（2）解：以D为坐标原点，、、的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（4k，0，0），C（0，6k，0），B1（4k，3k，1），A1（4k，0，1）、∴，，、设平面AB1C的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=2，则z=﹣6k，x=3、∴、设AA1与平面AB1C所成角为θ，则===，解得k=1，故所求k=1、（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案、写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）=【点评】：本题主要考查了线线、线面的位置关系、通过建立空间直角坐标系利用法向量求线面角、柱体的定义积表面积、勾股定理的逆定理等基础知识，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力及化归与转化能力、20、（14分）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象、（1）求函数f（x）与g（x）的解析式（2）是否存在x0∈（），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点、【分析】：（1）依题意，可求得ω=2，φ=，利用三角函数的图象变换可求得g（x）=sinx；（2）依题意，当x∈（，）时，＜sinx＜，0＜cosx＜⇒sinx＞cos2x＞sinxcos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（，）内是否有解、通过G′（x）＞0，可知G（x）在（，）内单调递增，而G（）＜0，G （）＞0，从而可得答案；（3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣，x≠kπ（k∈Z）、问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况、通过其导数，列表分析即可求得答案、【解答】：解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，∴ω==2，又曲线y=f（x）的一个对称中心为，φ∈（0，π），故f（）=sin（2×+φ）=0，得φ=，所以f（x）=cos2x、将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，再将y=cosx的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）=cos（x﹣）的图象，∴g（x）=sinx、（2）当x∈（，）时，＜sinx＜，0＜cos2x＜，∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（，）内是否有解、设G（x）=sinx+sinxcos2x﹣2cos2x，x∈（，），则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2﹣sinx），∵x∈（，），∴G′（x）＞0，G（x）在（，）内单调递增，又G（）=﹣＜0，G（）=＞0，且G（x）的图象连续不断，故可知函数G（x ）在（，）内存在唯一零点x0，即存在唯一零点x0∈（，）满足题意、（3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，当sinx=0，即x=kπ（k∈Z）时，cos2x=1，从而x=kπ（k∈Z）不是方程F（x）=0的解，∴方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣，x≠kπ（k∈Z）、现研究x∈（0，π）∪（π，2π）时方程a=﹣的解的情况、令h（x）=﹣，x∈（0，π）∪（π，2π），则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况、h′（x）=，令h′（x）=0，得x=或x=，当x变换时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：x（0，）（，π）（π，）（，2π）h′（x）+0﹣﹣0+h（x）↗1↘↘﹣1↗当x＞0且x趋近于0时，h（x）趋向于﹣∞，当x＜π且x趋近于π时，h（x）趋向于﹣∞，当x＞π且x趋近于π时，h（x）趋向于+∞，当x＜2π且x趋近于2π时，h（x）趋向于+∞，故当a＞1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内无交点，在（π，2π）内有2个交点；当a＜﹣1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点；当﹣1＜a＜1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点；由函数h（x）的周期性，可知当a≠±1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点；又当a=1或a=﹣1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）∪（π，2π）内有3个交点，由周期性，2013=3×671，∴依题意得n=671×2=1342、综上，当a=1，n=1342，或a=﹣1，n=1342时，函数F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点、【点评】：本题考查同角三角函数基本关系，三角恒等变换，三角函数的图象与性质，考查函数、函数的导数、函数的零点、不等式等基础知识，考查运算求解能力，抽象概括能力，推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想，属于难题、本题设有（21）、（22）、（23）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.21、（7分）选修4﹣2：矩阵与变换已知直线l：ax+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1（I）求实数a，b的值（II）若点P（x0，y0）在直线l上，且，求点P的坐标、【分析】：（I）任取直线l：ax+y=1上一点M（x，y），经矩阵A变换后点为M′（x′，y′），利用矩阵乘法得出坐标之间的关系，求出直线l′的方程，从而建立关于a，b的方程，即可求得实数a，b的值；（II）由得，从而解得y0的值，又点P（x0，y0）在直线l上，即可求出点P的坐标、【解答】：解：（I）任取直线l：ax+y=1上一点M（x，y），经矩阵A变换后点为M′（x′，y′），则有=，可得，又点M′（x′，y′）在直线l′上，∴x+（b+2）y=1，。